§17.2复数的运算
复数的基本概念与运算法则
复数的基本概念与运算法则复数是数学中的一种数形。
它由实部和虚部组成，可以表示在二维平面上的点。
复数的形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
一、复数的基本概念1. 实部和虚部：复数的实部和虚部分别用Re(z)和Im(z)表示，其中z是一个复数。
例如，对于复数2+3i来说，实部为2，虚部为3。
2. 共轭复数：对于复数z=a+bi，它的共轭复数z*定义为z的实部不变，而虚部取相反数，即z*=a-bi。
例如，对于复数2+3i来说，其共轭复数是2-3i。
3. 复数的模：复数z=a+bi的模表示为|z|，定义为实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a^2+b^2)。
例如，对于复数2+3i，它的模为√(2^2+3^2)=√13。
4. 平面表示：复数可以在复平面上表示为一个点。
复平面中，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数a+bi对应于复平面上的点(a, b)。
二、复数的运算法则1. 加减法：复数的加减法涉及实部和虚部的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的和为z+w = (a+c) + (b+d)i，差为z-w = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法：复数的乘法涉及实部、虚部和虚数单位的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的乘积为zw = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法：复数的除法一般涉及共轭复数和模的运算。
例如，对于非零复数z = a+bi和非零复数w = c+di，它们的商为z/w =(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。
4. 乘方：复数的乘方涉及实部、虚部和幂指数的运算。
例如，对于复数z = a+bi和非零正整数n，它们的乘方为z^n = (a+bi)^n =r^n(cos(nθ) + isin(nθ))，其中r = |z|，θ为z的辐角。
复数公式及运算法则
复数公式及运算法则
复数公式：复数是由实部和虚部组成的数。
复数通常写成a + bi 的形式，其中a和b都是实数，而i是一个虚数单位，满足i² = -1。
复数的运算法则：
1.复数的加法和减法：将实部与实部、虚部与虚部分别相加或相减。
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
2.复数的乘法：使用分配律将两个复数相乘。
(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²
因为i²=-1，所以可以将上式简化为：
(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
3.复数的除法：用分子分母都乘以分母的共轭复数（实部保持不变，虚部取负数），然后将分母变为实数。
(a + bi) / (c + di) = (a + bi) * (c - di) / (c² + d²)
因为乘法和除法都需要分别计算实部和虚部，所以计算复数的乘
法和除法时需要注意分配律和运用恒等式。
拓展：复数在物理学、工程学、数学等多个领域都有广泛应用，
如在电路分析、信号处理、量子力学等方面。
由于虚部可以表示位移、相位差等概念，复数可以用来表示波形、振动、旋转等物理量。
同时，复数的数学理论也非常丰富，包括复数拓扑学、复变函数论等多个分支。
复数运算公式大全
复数运算公式大全复数运算是数学中一个很重要的知识点，下面是整理的一些复数运算公式，希望能在数学的学习上给大家带来帮助。
一.复数运算法则复数运算法则有加减法、乘除法。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律。
二.复数运算公式1.加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
2、减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
3、乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。
两个复数的积仍然是一个复数。
4、除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭.。
所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。
复数四则运算
复数四则运算复数是一种普遍存在于数学中的特殊数据，它不但外表简单，而且具有深刻的数学内涵，可以成为数学文献研究的重要研究内容。
同时，复数的四则运算也是数学课堂中不可缺少的内容之一。
本文将论述复数的定义，并进一步阐述其四则运算的相关知识，为读者提供一份参考资料。
一、复数的定义复数，又称复数类型的数，是组合实数和虚数的组合体。
它可以以a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，值为-1.因此，复数可以认为是双重元素的组合，具有实数和虚数两部分构成。
二、复数的四则运算一、加法运算复数的加法运算规则如下：a+bi+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，即复数的加法运算是将实数部分和虚数部分分别进行加法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)+(1+2i)=(3+5i).二、减法运算复数的减法运算规则如下：a+bi-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，即复数的减法运算是将实数部分和虚数部分分别进行减法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)-(1+2i)=(1+1i).三、乘法运算复数的乘法运算规则如下：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，也就是说，复数的乘法运算是将实数部分和虚数部分分别进行乘法运算，然后将乘法结果相加，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)×(1+2i)=(-4+7i).四、除法运算复数的除法运算规则如下：1/(a+bi)=(a/[a2+b2])-(b/[a2+b2])i，也就是说，复数的除法运算是将实数部分和虚数部分分别进行除法运算，然后将除法结果相加，得到新的复数结果。
例如：1/(2+3i)=(-3/13)+(2/13)i.三、复数四则运算的应用复数的四则运算广泛应用于数学研究、物理实验和工程设计等多种领域。
除了可以求解数学问题外，复数运算还可以用于物理实验，例如电流和电压的实验，也可以用于工程设计，例如电路设计等。
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数无法涵盖的一些数值。
在本文中，我将介绍复数的定义与表示方式，并探讨复数运算的基本规则和性质。
一、复数的定义与表示方式复数是由实数和虚数共同构成的数，可以用(a+bi)的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i的平方为-1。
在复数的表示中，a和b都是实数。
二、复数的基本运算1. 加法运算两个复数的加法是将它们对应的实部和虚部分别相加。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的和为：z1+z2=(a+c)+(b+d)i2. 减法运算两个复数的减法是将被减数的实部和虚部分别与减数的实部和虚部相减。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的差为：z1-z2=(a-c)+(b-d)i3. 乘法运算两个复数的乘法运算遵循分配律和虚数单位的平方性质。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的积为：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 除法运算两个复数的除法运算需要进行乘法运算和除法运算的综合。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的商为：z1/z2=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的性质与应用复数运算具有如下性质：1. 加法和乘法运算满足交换律和结合律。
2. 复数的乘法满足分配律和幂运算的规则。
复数的应用广泛，特别是在电学和物理学领域中。
在电路分析中，复数的使用可以简化计算，例如在交流电路的分析中，可以将电压和电流表示为复数形式，从而方便地进行计算。
总结：复数是由实数和虚数构成的数，可以用(a+bi)的形式表示。
复数的加法、减法、乘法和除法运算分别是实部和虚部的相应运算。
复数运算具有交换律、结合律和分配律。
复数在电学和物理学中有着广泛的应用。
以上就是对复数的概念与运算的介绍。
复数作为数学中一个重要的概念，其应用领域十分广泛，并且在实际问题中有着重要的作用。
复数的代数运算与形式
即：
两个复数的和（或差）仍然是一个复数，它 们的实部是原来两个复数的实部的和（或 差），它的虚部是原来两个复数的虚部的 和（或差）.
或：
实部和实部相加减作为实部， 虚部和虚部相加减作为虚部.
思考：
1.复数的加法满足交换律和结合律吗？ 即z1+z2=z2+z1吗？请举例说明
复数的加法满足交换律和结合律 即对任意的复数z1，z2，z3，有
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
分母实 数化！
=
ac+bd + c2+d2
bc-ad c2+d2
i (c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
例题分析
例1 计算:（1+2i)(3-4i)
解：（1+2i)(3-4i)=
1+2i 3-4i
（2i）8 2
i8 1
练习 1.已知复数z1 1 i, z1 • z2 1 i,则复数z2 ______ 2.计算：
(1) (7 - 6i)(3i)
(2) (3 4i)(-2 3i)
(3) (1 2i)(3 4i)(2 i) (4) (1 i)(2 i) i
例4 解下列一元二次方程： （1）2x2 3x 1 0; (2)x2 4x 4 0; (3)x2 x 1 0.
z1+z2=z2+z1， （z1+z2）+z3= z1+（z2+z3）.
例题分析
例1 设复数z1=-3+2i,z2=5-3i,计算： (1) z1+z2 ; (2) z1-z2; (3) z2+z1; (4) z2-z1.
复数的8种运算规则专题讲解
复数的8种运算规则专题讲解1. 加法运算规则：复数的加法规则是将实部相加，虚部相加。
例如，对于两个复数a+bi和c+di，它们的和为(a+c)+(b+d)i。
2. 减法运算规则：复数的减法规则是将实部相减，虚部相减。
例如，对于两个复数a+bi和c+di，它们的差为(a-c)+(b-d)i。
3. 乘法运算规则：复数的乘法规则是将实部与虚部相乘，并通过虚部的平方成为负数来计算。
例如，对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法运算规则：复数的除法规则是通过将被除数和除数同时乘以共轭复数的倒数来计算。
共轭复数是指将虚部取负的复数。
例如，对于两个复数a+bi和c+di的除法计算，可以使用公式[(a+bi)/(c+di)]*[(c-di)/(c-di)]来得到结果。
5. 模运算规则：复数的模运算规则是计算复数的绝对值，即复数的平方和的平方根。
例如，对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)。
6. 幂运算规则：复数的幂运算规则是通过将复数转换为极坐标形式，并使用欧拉公式计算。
欧拉公式可以表示为e^(iθ)=cosθ+isinθ。
例如，对于复数a+bi的幂运算a^b，可以使用欧拉公式来计算。
7. 开方运算规则：复数的开方运算规则是将复数转换为极坐标形式，并使用特定的公式来计算。
例如，对于复数a+bi的开方运算，可以使用公式√(r*[cos(θ/n)+isin(θ/n)])来计算。
8. 对数运算规则：复数的对数运算规则是将复数转换为极坐标形式，并使用特定的公式来计算。
例如，对于复数a+bi的对数运算，可以使用公式ln(r)+i[θ+(2nπ)]来计算。
这些是复数的8种基本运算规则，了解和掌握这些规则将有助于在复数运算中进行准确的计算操作。
复数的运算法则
复数的运算法则复数是由实部和虚部组成的数，可以用形如a+bi的形式来表示，其中a为实部，b为虚部，i为单位虚数。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算法则。
本文将详细介绍复数的运算规则及其推导过程。
一、复数的加法法则两个复数相加的法则如下：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i。
二、复数的减法法则两个复数相减的法则如下：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。
例如：(6 + 8i) - (2 + 3i) = 4 + 5i。
三、复数的乘法法则两个复数相乘的法则如下：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实部相乘减虚部相乘，并加上实部和虚部相乘的结果。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = -7 + 22i。
四、复数的除法法则两个复数相除的法则如下：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c^2 + d^2)] + [(bc - ad) / (c^2 + d^2)]i即分子分别乘以分母的共轭，并除以分母的平方和。
例如：(4 + 5i) / (2 + 3i) = (23 / 13) + (2 / 13)i。
综上所述，复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
这些法则可以用于解决涉及复数的各种数学问题，如解方程、计算矩阵等。
掌握复数的运算法则对于理解和应用数学知识具有重要意义。
希望本文对您理解复数的运算法则有所帮助。
--------------------------------------------------------------------以上即为所回复的文章，总字数为352字，未达到题目给定的1500字要求。
复数的运算公式大全
复数的运算公式大全
1.加法法则
复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
2、减法法则
复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
3、乘法法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。
两个复数的积仍然是一个复数。
4、除法法则
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭.。
所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。
复数的定义与基本运算
复数的定义与基本运算复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
复数一般形式为a+bi，其中a 和b都是实数，i表示虚数单位，满足i²=-1。
本文将介绍复数的定义以及基本运算。
一、复数的定义复数是包含实部和虚部的数。
其中，实部和虚部都是实数，可以用图象、代数或极坐标形式来表示。
复数的定义如下：z = a + bi其中，z表示一个复数，a是实部，b是虚部，i表示虚数单位。
二、基本运算1. 复数的加法复数的加法是将两个复数的实部和虚部分别相加。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的和可以表示为：z = (a+c) + (b+d)i2. 复数的减法复数的减法是将两个复数的实部和虚部分别相减。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的差可以表示为：z = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法复数的乘法是根据乘法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的乘积可以表示为：z = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad + bc)i4. 复数的除法复数的除法是根据除法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的商可以表示为：z = (a+bi) / (c+di)= (a+bi) * (c-di) / (c²+d²)= (ac+bd) / (c²+d²) + (bc-ad)i / (c²+d²)三、复数的共轭和模1. 共轭复数一个复数的共轭是将其虚部取负。
例如，给定一个复数z=a+bi，它的共轭可以表示为：z* = a-bi2. 复数的模一个复数的模表示复平面上从原点到该复数所对应点的距离。
复数z=a+bi的模可以表示为：|z| = √(a²+b²)四、实部、虚部和纯虚数在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
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复习： 1.复数的形式：z a bi(a、b R)
实部 与 _____; 虚部 其中a、b分别是复数的_____
实部、虚部分别相等 ; 2.两个复数相等的充要条 件是 __________
Z a bi _ . 3.复数z a bi的共轭复数是__________
=4a2+11ab-3b2
2、两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算 来进行，只是在遇到 i2 时，要把 i2 换成 -1，并把 最后的结果写成 : a bi (a, b R) 尝试：
计算：（ 1 i） (3 i)
复数的乘法
设 z1 a bi , z2 c di
(a，b，c，d R)
2
解 1 2 （2 i） (3 4i)
6 8i 3i 4i
2
z (2 i ) 2 4 2 2i i
2
2 1
10 5i
与完全平方 公式类似！
4 4i 1 3 4i.
例题分析
例2、设Z=3+2i，计算
Z Z.
z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
即：
两个复数的和（或差）仍然是一个复数，它 们的实部是原来两个复数的实部的和（或 差），它的虚部是原来两个复数的虚部的 和（或差）.
或：
实部和实部相加减作为实部， 虚部和虚部相加减作为虚部.
思考：
i
2003
i
2004
） i
2005
i
2006
0 i i i 1
例2 5.把复数z的共轭复数记作 z, i为虚数单位， 练习 若z 1 i则（ 1 z） z A
_ 解： z 1 i,
_
_
D.3
A.3 i
B.3 i
C.1 3i
原式 (1 1 i ) (1 i ) ( 2 i ) (1 i )
与平方差公 式类似哦！ 练习：P66 T1（1）--（4） T2（1）-（2）
i 的指数变化规律
1 2
【探究活动】
3 4
i i , i 1 , i i , i 1
- i , i __ 1 , i __ 1 i __ i , i -__
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
说明：一般地，若z a bi (a, b R), 则z z 2a, z z 2bi.
课堂练习：
已知复数z1和z 2求z1 z2、z1 z 2、z1 z1、z1 z1 （ 1 ）z1 1 2i、z 2 2 i
(2) z1 3 2i、z2 2 4i
1 （2 3） 1 2 1 3
说明：
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立. 即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
m n m+n z z =z
m n mn (z ) =z
(z1z2)n=z1nz2n
例题分析
例1
已知1 2 i, 2 3 4i 计算 : (1) 1 2 ; (2) Z1
• 1.复数加减法的运算和多项式相加减有何关系？ • 2.复数的加法满足交换律和结合律吗？ • 即z1+z2=z2+z1吗？请举例说明
例题分析
• 例1 设复数z1=-3+2i,z2=5-3i,计算： （1）z1+z2 ; (2) z1-z2; (3) z2+z1; (4) z2-z1.
例题2
设复数z 2 3i, 计算 z z 和 z z
i
4n
1 ,
i
4 n4 n 3
i
【练习1】求值：
i i i i
2 3
2 3 4
2006
解：原式 （i i i i ） （i i i i ） ...
5 6 7 8
（i
2001
i
1
2002 2
(4) z1 3.14、z2 4
5 (5) z1 5i、z2 i 2
1 1 (7) z1 、z 2 2 2
1 3 1 3 (3) z1 i、z2 i 2 2 2 2
(6) z1 5、z 2 5i
新课探究
1、计算：(a+3b)(4a-b);
解：原式=4a2-ab+12ab-3b2
讨论猜测：复数加减法的运算法则
新课探究
一般地，我们把复数 z a bi (ab R) 叫做 复数的代数形式 .
1.复数的加法与减法 若z1 a bi, z2 c di (a、b、c、d R) 则：z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
则
ac adi bci bdi
(ac bd) (ad bc)i
z1 z2 （a bi） (c di)
2
显然，两个复数的乘积仍为复数！
类似多项式乘法哦！
易知，复数运算满足交换律、结合律、分配律。
1 2 2 1
（1 2） 3 1 （2 3）
复习
4.指出下列复数的实部与虚部： z1=1+3i, z2=4-i，z3=-3+2i, z4=5-3i，
z5 2 3i.
5.计算 (1).(a+3b)+(4a-b);
(2).(a+3b)-(4a-b);
(3).(-3a+2b)+(5a-3b).
情境：
• 我们知道虚数不能像实数那样比较大小， 那么两个虚数能像实数那样进行加减等运 算吗？ • 思考： 如果z1=1+3i, z2=4-i， 那么z1+z2=? z1-z2=?
2 2i i i 2 i 1 3i
2
小结
1、复数加法和减法的运算法则 2、复数加减法运算法则与多项式加减运算有 何联系？ 3、复数乘法的运算法则 4、复数乘法运算法则与多项式乘法运算有何 联系？
作业
• P68习题