2018届人教B版(文) 轨迹方程问题的探讨 检测卷
2018届高考数学理科人教B版全国通用一轮总复习题组训
§10.5曲线与方程考点轨迹与轨迹方程6.(2011北京,14,5分)曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.其中,所有正确结论的序号是.答案②③解析设动点M(x,y)到两定点F1,F2的距离的积等于a2,得曲线C的方程为·=a2.∵a>1,故原点坐标不满足曲线C的方程,故①错误.以-x,-y分别代替曲线C的方程中的x,y,其方程不变,故曲线C关于原点对称,即②正确.=|PF1|×|PF2|×sin∠F1PF2=a2·sin∠F1PF2≤a2,故③正确.评析本题考查动点轨迹方程的求法,曲线关于原点对称的判定以及三角形面积公式,考查逻辑推理能力.解题的关键是求出曲线的方程,利用曲线上的点关于原点对称的点仍在曲线上,来判定曲线关于原点对称,本题综合性强,属于难题.7.(2014重庆,21,12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解析(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|==c.从而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.8.(2013福建,18,13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连结OB i,过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9).(1)求证:点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积比为4∶1,求直线l的方程.解析解法一:(1)依题意,过A i(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,B i的坐标为(10,i),所以直线OB i的方程为y=x.设P i的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y.所以点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0,此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则因为S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|.又x1·x2<0,所以x1=-4x2,分别代入①和②,得解得k=±.所以直线l的方程为y=±x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.解法二:(1)点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E:x2=10y上.证明如下:过A i(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,B i的坐标为(10,i),所以直线OB i的方程为y=x.由解得P i的坐标为,因为点P i的坐标都满足方程x2=10y,所以点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)同解法一.评析本题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.9.(2011安徽,21,13分)设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足=λ,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足=λ,求点P的轨迹方程.解析由=λ知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2-y0=λ(y-x2),即y0=(1+λ)x2-λy.①再设B(x1,y1),由=λ,即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),解得②将①式代入②式,消去y0,得③又点B在抛物线y=x2上,所以y1=,再将③式代入y1=.则(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2,(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2,2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0.因λ>0,两边同除以λ(1+λ),得2x-y-1=0.故所求点P的轨迹方程为y=2x-1.评析本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基础知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养.解题关键是利用点的坐标构造方程,本题属于难题.。
关于全国卷(新课标)中轨迹方程的研究(二)
关于全国卷（新课标）中轨迹方程的研究（二）本文主要研究圆锥曲线和极坐标与参数方程中关于轨迹方程的几种解法；本文分两篇，其中（一）为讲义，（二）为配套练习。
选题主要是全国卷近10年的真题和各地诊断考试真题。
练习题配置：每套题包含（一）中的五种方法的练习题各2-3个题，共12个题。
本文一共3套题（练习1—练习3） 练习1：1．（2018成都三诊文）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()1,0B ，动点M 满足4MA MB +=.记动点M 的轨迹方程为曲线C ，求曲线C 的方程；2.如图所示，在△ABC 中，已知A （-22,0）B （22，0），且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．3、已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,B 是圆221:()42M x y -+=上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程。
4．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．求曲线C 的方程；5．（2011广东）设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切．求C 的圆心轨迹L 的方程；6.（浙江理）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹,求曲线C 的方程；7.（福建文)如图，已知点F （1，0），直线l :x =-1,P 为平面上的动点，过P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且··,求动点P 的轨迹C 的方程;8、点A,B 的坐标分别是(-2,0)，(2,0)，直线AM ，BM 相交于点M,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的积是34-,求点M 的轨迹方程.9、(2018新课标Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10、已知12,A A 为22194x y +=的长轴的两端点，12,P P 是垂直于12A A 的弦的两端点，则11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程为 ．11、已知椭圆22194x y +=，过点()21Q ，作一条直线交椭圆于A,B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程．12、若,M N 是两定点，6MN =，动点P 满足1PM PN ⋅=，则P 的轨迹方程为 ．练习2：1、点A,B 的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2,则点M 的轨迹是什么?2、在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点()2,0F 的距离与到定直线8x =的距离的比是12.求动点M 的轨迹方程。
2018新课标高考物理计算压轴题预测分析含答案
高中物理计算题专题一2．（15分）如图所示，半径R =0．40 m 的光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆形轨道与光滑的水平面相切于圆环的底端A 。
一质量m=0．50 kg 的小球，以初速度v 0=5．0 m/s 在水平面上向左做匀速直线运动，而后冲上竖直半圆形轨道，小球最后落在水平上面的C 点，取重力加速度g=10m/s 2。
求：（1）小球到达半圆形轨道最高点B 的速度大小v B ；（2）A 、C 间的距离s 。
4．（15分）在水平地面上有一个质量为4.0kg 的物体，物体在水平拉力F 的作用下由静止开始运动。
10s 后拉力大小减小为F /3，并保持恒定。
该物体的速度图象如图所示求：（1）物体所受到的水平拉力F 的大小。
（2）物体所受到的F f 的大小。
（取g =10m/s 2）5．（15分）如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，将一个质量为m 的物块P 轻轻地放在弹簧上，当弹簧被压缩l 时物块速度刚好为零，若换一个质量为3m 的物块Q 轻轻地放在弹簧上，当弹簧也被压缩l 时，物块Q 的加速度和速度的大小分别是多少？7．（15分）如图所示，质量为m 的滑块，在水平力作用下静止在倾角为θ在光滑斜面上，AC/s斜面的末端B与水平传送带相接，传送带的运行速度为v0，长为L；今将水平力撤去，当滑块滑到传送带右端C时，恰好与传送带速度相同。
滑块与传送带间的动摩擦因数为μ。
求：（1）水平作用力力F大小；（2）滑块下滑的高度。
（3）若滑块进入传送带速度大于传送带的速度，滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量。
8．（15分）某学校探究性学习小组对一辆自制小遥控车的性能进行研究。
他们让这辆小车在水平的地面上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的v－t图象，已知小车在0～2s内做匀加速直线运动，2s～10s内小车牵引力的功率保持不变，在10s末停止遥控让小车自由滑行，小车质量m=1kg，整个过程中小车受到的阻力大小不变。
2018届人教B版(文) 轨迹方程问题的探讨 检测卷
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一） 选择题（12*5=60分）1.【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）】双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF = ，120PF PF ∙=，则双曲线的渐近线方程是（ ）A．y =± B．y =± C ．5y x =± D ．34y x =± 【答案】B2.【浙江省温州市2017届高三8月模拟】点P 到图形C 上所有点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C 外的定点A 的距离相等的点的轨迹是（ ）A ．射线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C.【解析】本题主要考查点的轨迹，意在考查学生基本概念定理的辨析.分析题意可知，PA PC r -=，其中r 为定圆的半径，故可知所求点的轨迹为双曲线的一支， 故选C.3.【2016届江西月考】 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ． 221189x y +=B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．2214536x y += 【答案】A4.【2016届辽宁省抚顺市一中高三上学期第一次模拟考试】已知双曲线122=-by x 的两条渐近线的夹角为︒60，且焦点到一条渐近线的距离大于b +122，则b =（ ） A ．3 B ．31C ．3D ．33【答案】C 【解析】设焦点(,0)c 到一条渐近线的距离为d b ==，即b >解得1b >．由题意，知双曲线的渐近线方程为y bx =±，则有2()2tan 60||||1()1b b bb b b--︒===+-- ，解得b =，故选C ．5.【2016届河北省冀州市中学高三上学期一轮复习一】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A 、2248y x y x ==或 B 、2228y x y x ==或 C 、22416y x y x ==或D 、22216y x y x ==或 【答案】C6.【广东省珠海市2017届高三9月摸底】已知双曲线2222:1(00)x y E a b a b-=>>，的离心，则E 的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. y=x ±C. y x =D. y=2x ± 【答案】C . 【解析】因为双曲线2222:1(00)x y E a b a b -=>>，，所以27==a c e ，所以2247a c =， 又因为222a c b -=，所以22247a a b =+，即2243a b =，所以a b 23=，所以E 的渐近线方程为y x =，故应选C . 7.点M 到点F （4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M 的轨迹方程为( )A.x y 162-=B.C.x y 242=D.x y 242-=【答案】B【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线的距离相等.则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、为准线的抛物线.故所求轨迹方程为.8.已知圆922=+y x 的弦过点P （1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ） A ．052=-+y x B ．02=-y C ．02=-y xD ．01=-x【答案】A.【解析】因为弦长最短，所以该直线与直线OP 垂直，又因为2OP k =，所以直线的斜率为12-，由点斜式可求得直线方程为250x y +-=，故选A.7.【2016届浙江省十二校高三第一次联考】如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】D222222222cos (cos sin )cos (sin )ay a a x y a θθθθθ=⇒+=++⇒2422222sin sin 2sin cos cos x a y a a θθθθθ=+-，∴点C 的轨迹方程是抛物线，故选D ．9.在ABC ∆中，B ，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A 的轨迹方程是( ).A 1162522=+y xB )5(1162522±≠=+x y xC )5(1251622±≠=+x y x D )5(1112022±≠=+x y x 【答案】B10.以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=【答案】A【解析】依题意可得，双曲线中3,4,5a b c ==∴=.右焦点为（5,0）其中一条.渐近线为4x-3y=0.所以右焦点到渐近线的距离为4d =.所以所求的圆的方程为22(5)16x y -+=.故选A.11. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，过F 2的直线l交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为，则C 的方程为（ ）A. 22132x y +=B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y +=【答案】A【解析】由椭圆的定义可得，AF 1+AF 2=2a ，BF 1+BF 2=2a ,又因为F 1+AF 2+ BF 1+BF 2=,所以4a =a c e a ==c =1， 2222b a c =-=，所以椭圆方程为22132x y +=，故选A.12.中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为e =，且与直线y x =+程为( ).A ．2213216x y +=B ．22163x y +=C ．22184x y +=D ．221124x y +=【答案】C（二）填空题（4*5=20分）13.【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】圆心在抛物线212y x =上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ． 【答案】1)21()1(22=-+±y x 【解析】2212 1.2y x x y p =⇒=⇒=由题意得圆心到抛物线的准线及y 轴距离相等，都等于圆半径，设圆心(,)a b ，则由抛物线定义得21,211,||122p b a b a r a ====⇒=±==，因此圆的标准方程为1)21()1(22=-+±y x14.【山东省东营市、潍坊市2016届高三下学期第三次模拟】圆心在x 轴正半轴上，半径为双曲线221169x y -=的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是______．【答案】()2259x y -+= 【解析】由题意，知3b =，双曲线的渐近线方程为340x y ±=，所以圆的半径为3．设圆的圆心为(,0)(0)a a >3=，解得5a =，所以所求圆的方程为()2259x y -+=．15.【广东省湛江市2016年普通高考测试题（二）】已知圆22:9O x y +=，点()2,0A ，点P 为动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，则动点P 的轨迹方程是______．【答案】15922=+y x16.【浙江省温州市2017届高三8月模拟】以椭圆2214x y +=的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是_____，离心率为_____．【答案】y x =.【解析】由题意得，双曲线的顶点为(，焦点为(2,0)±，故双曲线的标准方程为2213x y -=，渐近线方程为y x =，离心率为c e a ==，故填：y =. (三）解答题（6*12=72分）17. 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.【答案】042=-+y x18、过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程. 【答案】01672922=++y x x （8-≠x ）.19. 【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研】设O 为坐标原点，已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，抛物线22:C x ay =-的准线方程为12y =．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线t 与椭圆1C 交于不同的两点,P Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线t 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）22x y =-，2214x y +=；（2）2,2k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭ .20.【2016届浙江省温州高三一模】如图，已知点(1,0)F ，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上运动，且满足AB AF ⊥，2AD AB = ，设点D 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）若斜率为12的直线l 与轨迹C 交于不同两点P ，Q (位于x 轴上方)，记直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）24(0)y x x =≠；（2）(2,)+∞．21.【2016届河北省邯郸一中高三下学期研七考试】已知A 、B 分别是直线y x =和y x =上的两个动点，线段AB 的长为D 是AB 的中点． （1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 作与x 轴不垂直的直线l ，交曲线C 于P 、Q 两点，若在线段ON 上存在点(),0M m ，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，试求m 的取值范围．【答案】（1）2219xy+=；（2）89m<<22.【广东省惠州市2017届第二次调研考试】已知点()1,0A ，点P 是圆C :()2218x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线C P 交于点E ．（Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）⎛ ⎝。
考点39 轨迹与轨迹方程-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版)
典型高考数学试题解读与变式2018版考点39 轨迹与轨迹方程【考纲要求】正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等 【命题规律】轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题. 【典型高考试题变式】 （一）求点的轨迹方程例1.【2017新课标卷】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；学@科网（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【变式1】【2016新课标卷】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（2）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【变式2】在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM ·ON ＝1A P ·2A P (O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型． （二）求点的轨迹例2. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )【变式1】已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(0，－1)，(0，1)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线． 【数学思想】①数形结合思想． ②分类讨论思想． ③转化与化归思想. 【温馨提示】区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同.一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程． 【典例试题演练】1. 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝12. 已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP ·QF ＝FP ·FQ ，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x3. 已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝04. 已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5. 平面直角坐标系中，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线6. 已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内一动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线7. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)8. 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)两焦点为F 1，F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( )A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分9. 已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是________．10.【2016广东省湛江市模拟】已知圆22:9O x y +=，点()2,0A ，点P 为动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，则动点P 的轨迹方程是______．11. 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为____________________．12. 在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于点D ，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．13. 设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴左、右顶点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2的交点P 的轨迹方程为________.14. 平面内与两定点距离之比为定值)1(≠m m 的点的轨迹是________.15.【2017广西南宁、梧州联考】已知点C 的坐标为()1 0，，A ，B 是抛物线2y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB ⋅=. （1）求证：点 A C B ，，共线；（2）若()AQ QB R λλ=∈，当0OQ AB ⋅=时，求动点Q 的轨迹方程.。
最新-2018届高三毕业班质量检测试题 精品
2018届高三毕业班质量检测试题物理卷第一卷 选择题（40分）在所给的四个选项中至少有一项是正确的，请将正确选项前的代号选出并填写在答题卡上的相应位置，每小题选全给4分，选对但不全的给2分，有错选或不选的给0分．本题共40分1．拌绳的一端产生一列横波，某时刻的波形如图所示，绳上P 点振动频率为2Hz ，则此波：A ． 波长是0.25m ，波速是0.5m/sB ． 波长是0.5m ，波速是0.5m/sC ． 波长是0.25m ，波速是1.0m/sD. 波长是0.5m ，波速是1.0m/s2.下图是某位同学设想的人造地球卫星轨道，其中可能实现的是：3．如图甲是α、β、γ三种射线穿透能力的示意图，图乙是工业上利用射线的穿透性来检查金属内部的伤痕的示意图，请问图乙中的检查是利用了哪种射线？A ． α射线B ． β射线C ． γ射线D ． 三种射线都可以ABCD乙 甲4．一简谐振动的振动方程为：)45cos(3ππ+=t x ，式中位移x 的单位是cm ，则：A ．振动的振幅为3cmB ．频率为2.5HzC ．初相为4πϕ=D ．t =1s 时的位移为2cm 。
5．甲、乙两质点在一直线上做匀加速直线运动v ——t 图象如图所示，在3s 末两质点在途中相遇，两质点出发点间的距离是： A ．甲在乙之前2mB ．乙在甲之前2mC ．乙在甲之前4mD ．甲在乙之前4m6．如图两个内壁光滑、半径不同的半球形碗，放在不同高度的水平面上，使两碗口 处于同一水平面．现将质量相同的两个小球（小球半径远小于碗的半径），分别从两个碗的边缘由静止释放，当两球分别通过碗的最低点时：A ． 两小球的速度大小相等B ． 两小球的速度大小不相等C ． 两小球对碗底的压力大小相等D ． 两小球对碗底的压力大小不相等7．汽车消耗的主要燃料是柴油和汽油，柴油机是利用压缩汽缸内的空气而点火的；而汽油机做功冲程开始时，汽缸中的汽油——空气混合气体是靠火花塞点燃的，但是汽车蓄电池的电压只有12V ，不能在火花塞中产生火花，因此，要使用如图所示的点火装置.该装置的核心是一个变压器：变压器的初级线圈通过开关连接到蓄电池上，次级线圈接到火花塞的两端，开关由机械自动控制，做功冲程开始时，开关由闭合变成断开，从而在次级线圈中产生10000V 以上的电压，这样就能在火花塞中产生火花了.下列说法正确的是：A ． 柴油机的压缩点火过程是通过做功使空气的内能增大的.B ． 汽油机点火装置的开关若始终闭合，次级线圈的两端也会产生高压.C ． 汽油机火花塞产生的火花实质是混合气被电离时产生的弧光放电.D ． 汽油机的点火装置中变压器的次级线圈匝数必须远大于初级线圈的匝数.8．如图所示，在平行金属板A 、B 间分布着正交的匀强电场和磁场，磁感应强度垂直纸面向里，一个质子以初速度v 0垂直于电磁场沿OO ′入射，恰能沿OO ′运动，则：A ．A 的电势高于B 板的电势B ．电子以初速度v 0垂直于电磁场沿OO ′从左端入射，仍沿OO ′作直线运动C ．He 42以初速度v 0垂直于电磁场沿OO ′从左端入射，仍沿OO ′作直线运动D ．He 42以初速度v 0垂直于电磁场沿OO ′从右端入射，仍沿OO ′作直线运动9.闭合线圈A 与直导线L 在同一平面内，线圈两边与直导线L 平行（如图所示），直导线上有减小的直流电，方向末标出.根据以上条件，可以求出：A ． 线圈上的感应电流方向.B ． 线圈各边所受安培力方向.C ． 整个线圈所受安培力方向.D ． 以上三项都求不出.10．甲、乙、丙三个完全相同的时钟，甲放在地面上，乙、丙分别放在两架航天飞机上，航天飞机沿同一方向高速飞离地球，但是乙所在的飞机比丙所在的飞机飞得快。
2018年高考数学专题(轨迹方程问题汇总)+已可排版打印+(详细解析)+新人教A版
轨迹方程问题汇总11.已知点M (－3，0)、N (3，0)、B (1，0)，⊙O 与MN 相切于点B ，过M 、N 与⊙O 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为__________.解析:如图，|PM |－|PN |=|PA |+|AM |－|PC |－|CN |=|MA |－|NC |=|MB |－|NB |=4－2=2.∴P 点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支,c =3,a =1,b 2=8.∴方程为12x －82y =1(x >1).答案:x 2－82y =1(x >1)12.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________.解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y =c a 2=8,e =21.由c =2,c a 2=8,得a =4,满足e =a c =42=21.∴椭圆方程为162y +122x =1.答案: 162y +122x =116.(本小题满分10分)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 2=4的左、右两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹方程.解:如图,F 1(－22，0)、F 2(22，0)、M (x ,y )，延长F 1M 与PF 2相交于点N ，设N (x 0,y 0). 由已知可得M 为F 1N 的中点,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+=⇒-=.22,2222220000y y y y x x x x又|NF 2|=|PN |－|PF 2|=|PF 1|－|PF 2|=2a =4, ∴(x 0－22)2+y 02=16.∴(2x +22－22)2+(2y )2=16.∴x 2+y 2=4.评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.17.(本小题满分12分)如图，某农场在P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA 或PB 送到庄稼地ABCD 中去，已知PA =100 m ，PB =150 m ，∠APB =60°.能否在田地ABCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA 送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB 送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.ABCD P解:设M 是这种界线上的点， 则必有|MA |+|PA |=|MB |+|PB |, 即|MA |－|MB |=|PB |－|PA |=50. ∴这种界线是以A 、B 为焦点的双曲线靠近B 点的一支.建立以AB 为x 轴，AB 中点 O为原点的直角坐标系，则曲线为22a x －22by =1,其中a =25,c =21|AB |.∴c =257,b 2=c 2－a 2=3750.∴所求曲线方程为6252x －37502y =1(x ≥25,y ≥0).18.(本小题满分12分)已知点F (1，0)，直线l :x =2.设动点P 到直线l 的距离为d ,且|PF |=22d ,32≤d ≤23. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若PF ·OF =31，求向量OP 与OF 的夹角.解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P 的轨迹为椭圆.由条件知c =1,ca 2=2,∴a =2.e =a c =21=22满足|PF |=22d .∴P 点的轨迹为22x +12y =1.又d =c a 2－x ,且32≤d ≤23,∴32≤2－x ≤23.∴21≤x ≤34. ∴轨迹方程为22x +y 2=1(21≤x ≤34).(2)由(1)可知，P 点的轨迹方程为22x +y 2=1(21≤x ≤34),∴F (1,0)、P (x 0,y 0).OF =(1,0),OP =(x 0,y 0),PF =(1－x 0,－y 0).∵PF ·OF =31,∴1－x 0=31. ∴x 0=32,y 0=±37.又OP ·OF =|OP |·|OF |·cos θ, ∴1·x 0+0·y 0=2020y x +·1·cos θ.∴cos θ=2200y x x +=979432+=112=11112. ∴θ=arccos 11112. 1．【苍山诚信中学·文科】21．（本小题满分12分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.（I ）求曲线E 的方程；（II ）过点A 且倾斜角是45°的直线l 交曲线E 于两点H 、Q ，求|HQ|.【解】（1）.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ……………5分∴曲线E 的方程为.1222=+y x ………………6分 （2）直线l 的斜率.145tan =︒=k∴直线l 的方程为.1-=x y …………………………8分由.043121222=-⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x x y y x x y 得消去………………10分 设0,34),,(),,(21212211==+x x x x y x Q y x H 则， .234)34(24)(1||1||2212212212=⋅=-+⋅+=-+=∴x x x x k x x k HQ 12分2．【09届苍山·文科】22．（本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点21,),23,1(F F 分别为椭圆C 的左、右两个焦点，且离心率⋅=21e （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点F 2与椭圆C 交于M 、N 两点。
2018届高考物理第一轮总复习全程训练周测四 曲线运动
．(2017·江苏徐州模拟)如图所示为河的横截面示意图．小明先后两次用脚从河岸边同一位置将石子水平踢出，石子两次的初速度分别为v0、2v0，石子分别落在A点和B点，在空中运动的时间分别是、t B的比可能是( )1∶1 B．1∶23∶4 D．2∶5(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示．则以下判断正确的是 ( )．当地的重力加速度大小为R bv2＝c时，杆对小球的弹力方向向上OO1以恒定的角速度壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度为太阳系中的天王星，它绕太阳O的匀速圆周运动．天文学家经长期观测发现，天王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，我国的“天链一号”星是地球同步轨道卫星，可为载人航天器及中低轨道卫星提供数据、赤道平面内的低轨道卫星的张角分别为θ1和θ2(θ2图中未标出(8分)图示装置可用来验证机械能守恒定律．摆锤A拴在长L的轻绳一端，另一端固定在O点，在A上放一个小铁片，现将摆锤拉起，使绳偏离竖直方向成θ角时由静止开始释放摆锤，当其到达最低位置时，受到竖直挡板P的阻挡而停止运动，之后铁片将飞离摆锤而做平抛运动．(1)为了验证摆锤在运动中机械能守恒，必须求出摆锤在最低点的速度．若测得摆锤遇到挡板之后铁片的水平位移s和竖直下落高度h，则根据测得的物理量可知摆锤在最低点的速度v＝________.(2)根据已知的和测得的物理量，写出摆锤在运动中机械能守恒的关系式为s2＝________.(3)改变绳偏离竖直方向的角θ的大小，测出对应摆锤遇到挡板之后铁片的水平位移s，若以s2为纵轴，则应以________(填“θ”“cosθ”或“sinθ”)为横轴，通过描点作出的图线是一条直线，该直线的斜率k0＝________(用已知的和测得的物理量表示)．10.(12分)如图所示，在距水平地面高为H的上空有一架飞机在进行投弹训练，飞机沿水平方向做匀加速直线运动．当飞机飞经观察点B点正上方A点时落下第一颗炸弹，当炸弹落在观察点B正前方L处的C点时，飞机落下第二颗炸弹，它最终落在距观察点B正前方3L处的D点(空气阻力不计，重力加速度为g)．求：(1)飞机第一次投弹的速度大小；(2)两次投弹时间间隔内飞机飞行的距离；(3)飞机水平飞行的加速度大小．11．(13分)如图甲所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1 kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25 m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可忽略不计，细线能承受的最大拉力为8 N，A、B间的动摩擦因数μ2＝0.4，B与转盘间的动摩擦因数μ1＝0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力．转盘静止时，细线刚好伸直，力传感器的读数为零，当转盘以不同的角速度匀速转动时，力传感器上就会显O′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球，万有引力常量为G，根据万有引力定律有：。
2017-2018学年人教B版数学选修1-1(检测)：3.1 导数含答案
课时作业1—14(限时:10分钟)1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为（ ）A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1解析:错误!＝错误!＝错误!＝4.1。
答案：D2．函数y ＝－1x 在点错误!处的切线方程为( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x ＋4解析:Δy ＝－错误!＋错误!＝－错误!＋2＝错误!，∴错误!＝错误!。
∴切线斜率k ＝y′｜x=12＝li 错误! 错误!＝4。
∴所求切线方程为y ＋2＝4错误!，即y ＝4x －4.答案:B3．物体自由落体的运动方程为s (t )＝错误!gt 2，g ＝9。
8m/s 2，若v＝li 错误! 错误!＝9。
8 m/s ，那么下列说法中正确的是( ）＝2＋3Δx－错误!＝3Δx＋错误!，错误!＝错误!＝3＋错误!，∴li错误!错误!＝li错误!错误!＝5，∴f′(1）＝5。
方法二(导函数的函数值法）：Δy＝f(x＋Δx）－f(x）＝3(x＋Δx）－错误!－3x＋错误!＝3Δx－错误!＋错误!＝3Δx＋错误!,错误!＝3＋错误!，∴f′(x)＝li错误!错误!＝li错误!错误!＝3＋错误!。
∴f′（1）＝3＋2＝5。
(限时：30分钟）1．已知函数y＝错误!，当x由2变为1。
5时，函数值y的增量为（)A．1B．2C。
错误! D.错误!解析：Δy＝错误!－错误!＝错误!－1＝错误!。
解析：瞬时速度v＝li错误!错误!＝li错误!错误!＝li错误!错误!＝12.答案:128．给出下列四个命题:①若函数f(x)＝错误!，则f′（0）＝0;②若函数f（x)＝2x2＋1的图象上点(1,3）邻近的一点为（1＋Δx,3＋Δy)，则错误!＝4＋2Δx；③瞬时速度是动点位移函数s（t）对时间t的导数;④曲线y＝x3在点(0，0）处没有切点．其中正确的命题是________．解析：①f(x）＝错误!在x＝0处导数不存在；④y＝x3在点(0,0）处存在切点（0，0)．②③正确．答案：②③9．求曲线y＝错误!在点错误!处的切线的斜率,并写出切线方程．解析：∵y＝错误!，∴k＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝－错误!。
2018届高三新课标数学理大一轮复习课时达标检测四十八
课时达标检测（四十八） 曲线与方程[练基础小题——强化运算能力]1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( ) A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：选A 设P 点的坐标为(x ，y )， 则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2， 整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.2．方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( ) A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线解析：选D 依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0.3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1解析：选D 如图，∵M 为AQ 的垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴M 的轨迹方程为4x 225＋4y 221＝1.4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝λ1OA ＋λ2OB (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：选A 设C (x ，y )，因为OC ＝λ1OA ＋λ2OB ，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹是直线，故选A. 5．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选B 设椭圆的右焦点是F 2，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ，所以|PF 1|＋|PO |＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆．2．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN 2＝λAN ·NB ，当λ＜0时，动点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选C 设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN 2＝y 2，λAN ·NB ＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y 2λ＝1.又因为λ＜0，所以动点M的轨迹为双曲线．3．已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且OD ＝BE ，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是( )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1)解析：选A 设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)．4．(2017·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ＝2PA ，且OQ ·AB ＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ＝2PA ，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ ·AB ＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y＞0)．5．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：选C 依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y3.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．6.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D 当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.二、填空题7．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________________．解析：设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形，∴|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，∴顶点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．答案：x 2＋y 2＝4(x ≠±2)8．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ＋OB ＝2OP ，则点P 的轨迹方程为____________．解析：设B (x 0，y 0)，由OA ＋OB ＝2OP ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ，代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.答案：(x －2)2＋y 2＝19．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________．解析：由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，则|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O 为F 1F 2的中点，连接OD ，则OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝410．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是______________．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)三、解答题11．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP ＝22PB ，求点P 的轨迹C 的方程． 解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，则AP ＝(x －x 0，y )，PB ＝(－x ，y 0－y )，因为AP ＝22PB ， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.所以点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎝ ⎛y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 29＋y 24＝1得x 29＋[k (x －x 0)＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0，Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.。
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练高考1.【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．2.【2015高考天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A) 221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D)2213y x -= 【答案】D3. 【2016高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+= 【解析】设(,0),(0)C a a >，2,3a r =⇒===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+= 4.【2016高考新课标Ⅲ】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．5．【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 2.练模拟1.【广东省惠州市2017届高三第一次调研】双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>实轴的两个顶点为,A B ，点P 为双曲线M 上除A B 、外的一个动点，若QA PA QB PB ⊥⊥且，则动点Q 的运动轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】C2. 【2016届山东省寿光现代中学高三下学期开学检测】已知双曲线22221x y a b-=的一个实轴端点恰与抛物线24y x =-的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22131x y -=D ．2213y x -=【答案】D 【解析】由抛物线方程知其焦点为(1,0)-，所以1a =．又2ca=，所以21c a ==，所以3b ==，所以双曲线的方程为2213y x -=，故选D ．3.【2016届浙江省温州市高三一模】如图，已知1F ，2F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为第一象限内一点，且满足2||F P a = ，1122()0F P F F F P +⋅= ，线段2PF 与双曲线C 交于点Q ，若225F P F Q =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．y x =C ．y x =D ．y =± 【答案】A ．4.【2016届山东省济南一中高三月考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--,则双曲线的标准方程为（ ）A ．221164x y -=B ．22184x y -=C ．2214x y -=D ．2212x y -=【答案】C5.【2016届福建省厦门一中高三上学期期中考试】已知点()2,4A 在抛物线22y px =上，且抛物线的准线过双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>>的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线方程为 ．【答案】2213y x -=【解析】∵点A （2，4）在抛物线22y px =上， ∴16=4p ，即p =4．∴抛物线的准线方程为2x =-．又抛物线的准线过双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>>的一个焦点，则2c =，而2ce a==，∴a =1， 则222413b c a =-=-=，∴双曲线方程为2213y x -=．5.【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试】已知点C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点(1,0)A 和AP 上的点M ，满足0MQ AP ∙=，2AP AM = .（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，直线l 与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且3445OF OH ≤∙≤时，求k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）k ≤≤k ≤≤6. 【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟】如图，P 为圆(22:24M x y +=上的动点，定点()Q ，线段PQ 的垂直平分线交线段MP 于点N ． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）记动点N 的轨迹为曲线 C ，设圆22:2O x y +=的切线l 交曲线C 于,B A 两点，求OA OB 的最大值．【答案】（1）22163x y +=；（2）3.练原创1.已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =·，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D【解析】由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2PA PB x = ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( ) A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y【答案】C【解析】设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x y x x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得 3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 【答案】)4(1316162222a x a y a x >=- 【解析】由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a ,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 4. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.【答案】动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)5. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.【答案】(1)2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程. (2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222n m m -,离心率e =mn m 22-； (ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222m n n -,离心率e =nm n 22-.。