高中数学人教a版高一必修4课时达标检测(十六)向量加法运算及其几何意义_word版含解析
2015-2016学年人教A版高中数学必修4课时作业16向量加法运算及其几何意义 Word版含答案
课时作业16 向量加法运算及其几何意义时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案：A2．已知下列各式：①AB→＋BC →＋CA →；②(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →； ③OA→＋OC →＋BO →＋CO →；④AB →＋CA →＋BD →＋DC →. 其中结果为0的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由向量加法的运算法则知①④的结果为0.故选B. 答案：B 3．下列说法：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB→＋BC →＋CA →＝0；③若AB→＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①错，若a ＋b ＝0时，方向是任意的；②正确；③错，A ，B ，C 三点共线时也满足；④错，|a ＋b |≤|a |＋|b |.答案：B4．a ，b 为非零向量，|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是方向相反的向量C ．a ＝－bD ．a ，b 无论什么关系均可 解析：由三角形法则，考虑特殊情况即可． 答案：A5．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，有下列结论：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ； ④|a ＋b |<|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. 其中，正确的结论为( ) A ．①② B ．①③ C ．①③⑤D ．③④⑤解析：a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DA →)＝AC →＋CA→＝0，从而易知①③⑤正确． 答案：C6．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：根据所给的四个向量的和是一个零向量，即MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0.当A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________．解析：由图知|BC→＋BA →|＝|BD →|. 又|BC→＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →|，∴|BD →|＝|AC →|. ∴四边形ABCD 为矩形． 答案：矩形 8.根据图示填空： (1)AB→＋OA →＝________； (2)BO→＋OD →＋DO →＝________； (3)AO→＋BO →＋2OD →＝________. 解析：由三角形法则知 (1)AB→＋OA →＝OA →＋AB →＝OB →； (2)BO→＋OD →＋DO →＝BO →； (3)AO→＋BO →＋2OD →＝AD →＋BD →. 答案：(1)OB→ (2)BO → (3)AD →＋BD → 9．设P 为▱ABCD 所在平面内一点，则①P A →＋PB →＝PC →＋PD →；②P A →＋PC →＝PB →＋PD →；③P A →＋PD→＝PB →＋PC →中成立的序号为________． 解析：以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AEC ，则PE 与AC 交于AC 的中点O ，同样以PB ，PD 为邻边作平行四边形PBFD ，对角线BD 与PF 交于BD 的中点O ′，则O 与O ′重合，所以P A →＋PC →＝PB→＋PD →. 答案：②三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10.如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC→|＝300 N. ∴|OA →|＝|OC →|cos30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos60°＝150(N)．∴与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.11.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、AC 、AB 的中点．求证：AD→＋BE →＋CF →＝0. 证明：由题意知：AD →＝AC →＋CD →， BE→＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →. 由平面几何可知：EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD→＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC→＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE→＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0.12．已知△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，求证：|BC→|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2. 证明：如图，以DB ，DA 为邻边作▱ADBE ，于是DB →＋DA →＝DE →. ∵|DE→|＝|AB →|，∴|DB →＋DA →|＝|AB →|. 同理可得|DC→＋DA →|＝|AC →|. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 |BC→|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2.。
人教版高中数学必修4课时卷 向量加法运算及其几何意义
课时提升卷(十六)向量加法运算及其几何意义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.(2013·万州高一检测)在平行四边形ABCD中，++等于( )A. B. C. D.2.已知下列各式：①++；②(+)++；③+++；④+++.其中结果为0的个数是( )A.1B.2C.3D.43.若a，b为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A.若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a+b与a的方向相同B.若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a+b与a的方向相同C.若向量a与b方向相同，则向量a+b与a的方向相同D.若向量a，b不共线时，向量a+b的方向与向量a，b的方向都不相同且|a+b|<|a|+|b|4.已知||=|a|=3，||=|b|=3，∠AOB=60°，则|a+b|= ( )A. B. 3 C.2 D.35.(2013·济南高一检测)在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则四边形ABCD是( )A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定二、填空题(每小题8分，共24分)6.根据图示填空，其中a=，b=，c=，d=.(1)a+b+c= .(2)b+d+c= .7.矩形ABCD中，||=，||=1，则向量++的长度等于.8.设P为□ABCD所在平面内一点，则①+=+；②+=+；③+=+中成立的序号为.三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.如图，O为正六边形ABCDEF的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和：(1)+.(2)+.(3)+.10.如图，已知向量a，b，c，d，(1)求作a+b+c+d.(2)设|a|=2，e为单位向量，求|a+e|的最大值.11.(能力挑战题)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，求证：||2=|+|2+|+|2.答案解析1.【解析】选A.由向量加法的平行四边形法则可知+=，所以++=+=.2.【解析】选B.①++=0②(+)++=③+++=④+++=0【变式备选】对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是( ) A.+ B.++C.++D.++【解析】选C.+=.++=+=，++=+=，++=++=.3.【解析】选B.由向量加法的三角形法则可知选项A，C，D中的说法都是正确的；对于选项B，因为a与b方向相反，|a|<|b|，所以a+b与b的方向相同，与a的方向相反，故B不正确.4.【解析】选D.在平面内任取一点O，作=a，=b，以a，b为邻边作□OACB，则=a+b.由图形可知，||=2×3×sin60°=3.5.【解析】选B.因为四边形ABCD为平行四边形.所以+=，+=，又|+|=|+|，所以||=||，所以该平行四边形ABCD为矩形.6.【解析】(1)a+b+c=++=.(2)b+d+c=++=++=.答案：(1)(2)7.【解析】因为ABCD是矩形，所以+=，所以++=+.如图所示，过点C作=，则+=，所以|++|=||=2||=2=2=4.答案：48.【解题指南】分别对等式的两端用向量加法的平行四边形法则求和向量，然后利用平行四边形对角线互相平分的性质分析两侧和向量是否相等.【解析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC 的中点O，同样以PB，PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD的中点O′，则O与O′重合，所以+=+.答案：②9.【解析】(1)因为四边形OABC是平行四边形，所以+=. (2)因为BC∥AD∥FE，BC=FE=AD，所以=，=，所以+=+=.(3)因为||=||，且与反向，所以利用三角形法则可知+=0.10.【解析】(1)在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则=a+b+c+d.(2)在平面内任取一点O，作=a，=e，则a+e=+=，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，||即|a+e|最大，最大值是3.【举一反三】本题中，求|a+e|的最小值.【解析】由图示可知当点B在点B2时，O，A，B2三点共线，||即|a+e|最小，最小值是1.11. 【证明】如图，由于∠BAC=90°，AD⊥BC，因此，若以DB，DA为邻边作矩形ADBE，则||=||，且+=，所以|+|2=||2=||2.同理|+|2=||2，所以|+|2+|+|2=||2+||2=||2.关闭Word文档返回原板块。
高中数学 课时作业16 向量加法运算及其几何意义A必修4 试题
课时作业十六：向量加法运算及其几何意义一、选择题(每一小题5分，一共25分)1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以下各式中运算的结果与向量AC 1一共线的有( ) ①(AB →＋BC →)＋CC 1→②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．假设向量a 表示向东走1 km ，向量b 表示向南走1 km ，那么向量a ＋b 表示( ) A ．向东南走 2 km B ．向东南走2 km C ．向东北走 2 kmD ．向东北走2 km3．向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，那么向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向一样 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向一样D ．与向量b 方向相反4．在平行四边形ABCD 中，以下式子： ①AD →＝AB →＋BD →；②AD →＝AC →＋CD →； ③AD →＋AB →＝AC →；④AB →＋BC →＝AC →； ⑤AD →＝AB →＋BC →＋CD →；⑥AD →＝DC →＋CA →. 其中不正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．65．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，那么以下等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＝c B ． a ＋d ＝b C ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |二、填空题(每一小题5分，一共15分)6. 如图，△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，那么在以下结论中正确的选项是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋BC →|＝|CA →|；③|AB →＋CA →|＝|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.7．A ，B ，C 为圆O 上的三点，假设AO →＝12(AB →＋AC →)，那么AB →与AC →的夹角为________．8．向量a ，b 满足|a |＝8，|b |＝12，那么|a ＋b |的最大值和最小值分别是________． 三、解答题(每一小题10分，一共20分)9. 点D ，E ，F 分别是△ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，求证：(1)AB →＋BE →＝AC →＋CE →； (2)EA →＋FB →＋DC →＝0.10．矩形ABCD 中，宽为2，长为23，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出向量a ＋b ＋c ，并求出其模的大小．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义作业 含解析高中数学人教A版必修4
[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 为矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D. 2．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.3. 如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( )A.CD →B.OC →C.DA →D.CO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反解析：选A.a ∥b 且|a |＞|b |＞0，所以当a ，b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a ，b 反向时，因为|a |＞|b |，所以a ＋b 的方向仍与a 相同．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →7．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.解析：因为|OA →|＝|OB →|且∠AOB ＝90°，所以|a ＋b |为以OA →，OB →为两邻边的正方形的对角线的长，所以|a ＋b |＝3 2.答案：328．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________． 解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.|BC →＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|.∴四边形ABCD 为矩形． 答案：矩形9．2014年12月28日在搜救亚航失联客机中，我国海上救援中心派出一架救援直升飞机对婆罗洲和勿里岛之间的气象条件进行实地侦察，该飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到达B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解：如图所示，设AB →，BC →分别是直升飞机的两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km.在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD ―→|2＋|DC ―→|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°方向，且距离A 地40 3 km 处．10．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →， ∴AB →＝DC →.∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形．[B.能力提升]1．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →|＝2|AB →|＝2.故选B.2．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →解析：选C.因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.3．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.答案：82 北偏东45°4．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③5．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30° ＝150 3 N ， |OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6．(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d ，(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值． 解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →.因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)． 由图可知当B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。
人教A版必修4：课时跟踪检测(十六) 向量加法运算及其几何意义 含解析
课时跟踪检测（十六）向量加法运算及其几何意义层级一学业水平达标1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝a B．u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rAC＝0C．u u u rAB＋u u u rBA＝0 D．u u u rCA＋u u u rAC＝uuu rOA＋u u u rCO＋u u u rAC解析：选B由向量加法可知u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rAC＝u u u rAC＋u u u rAC＝2u u u rAC.2．(u u u rAB＋u u u u rMB)＋(u u u rBO＋u u u rBC)＋u u u u rOM等于()A．u u u rBC B．u u u rABC．u u u rAC D．u u u u rAM解析：选C原式＝u u u rAB＋u u u u rMB＋u u u rBO＋u u u rBC＋u u u u rOM＝(u u u rAB＋u u u rBC)＋(u u u u rMB＋u u u rBO＋u u u u rOM)＝u u u rAC＋0＝u u u rAC.3．下列各式不一定成立的是()A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝aC．u u u rAC＋uuu rCB＝u u u rAB D．|a＋b|＝|a|＋|b|解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.4．在矩形ABCD中，|u u u rAB|＝4，|u u u rBC|＝2，则向量u u u rAB＋u u u rAD＋u u u rAC的长度等于()A．25B．4 5 C．12 D．6解析：选B因为u u u rAB＋u u u rAD＝u u u rAC，所以u u u rAB＋u u u rAD＋u u u rAC的长度为u u u rAC的模的2倍，故答案是4 5.5．已知平行四边形ABCD，设u u u rAB＋uuu rCD＋u u u rBC＋u u u rDA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，u u u rAB＋uuu rCD＝0，u u u rBC＋u u u rDA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．6．uuu r PQ ＋u u u u r OM ＋uuu r QO ＋u u u u rMQ ＝________.解析：原式＝uuu r PQ ＋uuu r QO ＋u u u u r OM ＋u u u u r MQ ＝uuu r PQ ＋u u u u r QM ＋u u u u r MQ ＝uuu rPQ .答案：uuu r PQ7．已知正方形ABCD 的边长为1，u u u rAB ＝a ，u u u r AC ＝c ，u u u r BC ＝b ，则|a ＋b ＋c |＝________.解析：|a ＋b ＋c |＝|u u u r AB ＋u u ur BC ＋u u u r AC |＝|u u u r AC ＋u u u r AC |＝2|u u u r AC |＝2 2.答案：2 28.如图，在平行四边形ABCD 中，(1)u u u r AB ＋u u u rAD ＝________； (2)u u u r AC ＋uuu r CD ＋u u u rDO ＝________；(3)u u u r AB ＋u u u r AD ＋uuur CD ＝________； (4)u u u r AC ＋u u u r BA ＋u u u rDA ＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为u u u rAC . (2)u u u r AC ＋uuu r CD ＋u u u r DO ＝u u u r AD ＋u u u r DO ＝u u u r AO .(3)u u u r AB ＋u u u r AD ＋uuur CD ＝u u u r AC ＋uuu r CD ＝u u u r AD . (4)u u u r AC ＋u u u r BA ＋u u u r DA ＝u u u r BA ＋u u u r AC ＋u u u r DA ＝u u u r BC ＋u u u rDA ＝0.答案：(1)u u u r AC (2)u u u r AO (3)u u u rAD (4)09.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：①u u u r DG ＋u u u r EA ＋uuu r CB ； ②u u u r EG ＋u u u r CG ＋u u u r DA ＋u u u r EB .解：①u u u r DG ＋u u u r EA ＋uuu r CB ＝u u u r GC ＋u u u r BE ＋uuu r CB ＝u u u r GC ＋uuu r CB ＋u u u r BE ＝uuu r GB ＋u u u r BE ＝u u u r GE . ②u u u r EG ＋u u u r CG ＋u u u r DA ＋u u u r EB ＝u u u r EG ＋u u u r GD ＋u u u r DA ＋u u u r AE ＝u u u r ED ＋u u u r DA ＋u u u r AE ＝u u u r EA ＋u u u rAE ＝0.10．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝1u u u u u u u r＋i i A A(i ＝1,2，…，7)，b j ＝u u u u rj OA (j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.解：因为3u u u u r OA ＋7u u u u rOA ＝0，所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝23u u u u u r A A ＋56u u u u u r A A ＋2u u u u r OA ＋5u u u u r OA ＋7u u u u r OA＝(2u u u u r OA ＋23u u u u u r A A )＋(5u u u u r OA ＋56u u u u u r A A )＋7u u u u r OA ＝6u u u u rOA ＝b 6.层级二 应试能力达标1.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )A ．u u u r FD ＋u u u r DA ＝u u u r FAB ．u u u r FD ＋u u u r DE ＋u u u r EF ＝0C ．u u u r DE ,＋u u u r DA ＝u u ur ECD ．u u u r DA ＋u u u r DE ＝u u u r FD解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，u u u r DA ＋u u u r DE ＝u u u r DF ≠u u u rFD .2．下列命题错误的是( ) A ．两个向量的和仍是一个向量B ．当向量a 与向量b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不同向，且|a ＋b |＜|a |＋|b |C ．当向量a 与向量b 同向时，a ＋b ，a ，b 都同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．如果向量a ＝b ，那么a ，b 有相同的起点和终点解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A 、B 、C 都正确；D 错误，如平行四边形ABCD 中，有u u u r AB ＝u u u rDC ，起点和终点都不相同．3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足u u u r PA ＋u u u r PB ＝u u ur PC ，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上 C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P 在△ABC 的外部解析：选D u u u r PA ＋u u u r PB ＝u u ur PC ，根据平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外部．4．下列命题正确的是( )A ．如果非零向量a ，b 的方向相反或相同，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同B．若u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rCA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥bD．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0解析：选C当a＋b＝0时，A选项不正确；若u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rCA＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a＋b与a 不共线，故C选项正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|＞|b|)，故D选项不正确．5．如果|u u u rAB|＝8，|u u u rAC|＝5，那么|u u u rBC|的取值范围为________．解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．答案：[3,13]6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，设u u u rAB＝a，u u u rBC＝b，则u u u rAC＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|u u u rAC|＝82，∠BAC＝45°.答案：8 2 km北偏东45°7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：u u u rAB＋u u u rAC＝u u u rAP＋uuu rAQ.证明：u u u rAB＝u u u rAP＋u u u rPB，u u u r AC＝uuu rAQ＋uuu rQC，∴u u u rAB＋u u u rAC＝u u u rAP＋u u u rPB＋uuu rAQ＋uuu rQC.∵u u u rPB与uuu rQC大小相等，方向相反，∴u u u rPB＋uuu rQC＝0，故u u u rAB＋u u u rAC＝u u u rAP＋uuu rAQ＋0＝u u u rAP＋AQ.8.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作uuu rOA＝a，u u u rAB＝b，u u u rBC＝c，uuu rCD＝d，则u u u rOD＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作uuu rOA＝a，u u u rAB＝e，则a＋e＝uuu rOA＋u u u rAB＝uuu rOB，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，所以|uuu rOB|即|a＋e|最大，最大值是3.。
【高中教育】高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义学业达标测试 新人教A版必修4.doc
高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义学业达标测试
新人教A版必修4
1．在平行四边形ABCD中，AB→＋CA→＋BD→等于( )
A.AB→
B.BA→
C.BC→
D.CD→
解析：原式＝CA→＋AB→＋BD→＝CD→.
答案：D
2．若C是线段AB的中点，则AC→＋BC→＝( )
A.AB→
B.BA→
C．0 D．以上均不正确
解析：∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB，∴AC→与BC→方向相反，模相等，∴AC→＋BC→＝0.
答案：C
3．设a＝(AB→＋CD→)＋(BC→＋DA→)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|；⑥|a＋b|＞|a|＋|b|.
A．①②⑥B．①③⑥
C．①③⑤D．③④⑤⑥
解析：∵a＝(AB→＋CD→)＋(BC→＋DA→)＝AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝AD→＋DA→＝0.故只有①③⑤正确．
答案：C
4．a表示“向东走4 km”，b表示“向南走3 km”，则|a＋b|＝________km.
解析：
如图，|a|＝4，|b|＝3
∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＝5
答案：5
5.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC. 求证：AB→＋AC→＝AP→＋AQ→.
证明：∵AP→＝AB→＋BP→，
AQ→＝AC→＋CQ→，
∴AP→＋AQ→＝AB→＋AC→＋BP→＋CQ→.
又∵BP＝QC且BP→与CQ→方向相反，
∴BP→＋CQ→＝0.
∴AP→＋AQ→＝AB→＋AC→，
即AB→＋AC→＝AP→＋AQ→.。
人教版高中数学高一A版必修4达标训练 向量加法运算及其几何意义
更上一层楼 基础•巩固 1.如图2-2-13，填空：图2-2-13 (1)AD AB +=__________；(2)DO CD AC ++=_________；(3)CD AD AB ++=_________；(4)DO BA AC ++=__________.答案：(1)AC (2)AO (3) AD (4)02.如图2-2-14，已知向量a 、b 、c 不共线，求作a +b +c .图2-2-14解:如图.3.已知向量a 、b 、c 、d 分别表示下列位移：“向北10 km”“向南5 km”“向西10 km”“向东5 km”.请说明向量a +b ，b +b ，a +c ，a +b +b ，a +d +d 的意义.解：(1)a +b 表示“向北5 km”；(2)b +b 表示“向南10 km”；(3)a +c 表示“向西北210 km”；(4)a +b +b 表示“位移为0”；(5)a +d +d 表示“向东北210 km”.4.某人从点A 向东位移60 m 到达点B ，又从点B 向东偏北30°方向位移50 m 到达点C ，又从点C 向北偏西60°方向位移30 m 到达点D ，选用适当的比例尺作图，求点D 相对于点A 的位置.解：如图2-2-16，构造了三个直角三角形：△CFB ，△CED 和△DMA.在Rt △CFB 中，|CF |=50×sin30°=25，|BF |=50×cos30°=325.在Rt △CED 中，|CE |=30×cos30°=315，|DE |=30×sin30°=15.∴||||||EM DE DM +==15+25=40，310315325||||||||||=-=-=-=EC BF MF BF BM .∴在Rt △DMA 中，||DM =40，||AM =60+310.∴|AD |=22)31060(40++≈87.tan ∠DAM=3106040||||+=AM DM ≈0.517 3.由计算器计算得∠DAM=27°18′.∴D 在A 点东偏北27°18′且距A87米处.综合•应用5.已知图2-2-15,电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1=20 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2=12 N.求F 1和F 2的合力.图2-2-15解：如图,根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F =F 1+F 2=OC .在△OCA 中，|F 1|=24，||=12，∠OAC=60°，∴△OAC 为直角三角形.∴||=24×sin60°=24×31223=.∴F 1与F 2的合力为312 N ，与F 2成90°角竖直向上.6.在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶的速度为v 1=3.46 km/h ，河水流动的速度v 2=2.0 km/h ，试求小船过河实际行驶速度的大小和方向.解：如图，设OA 表示小船垂直于河岸行驶的速度，OB 表示水流的速度，以OA 、OB 为邻边作OACB ，则OC 就是小船实际航行的速度.在Rt △OBC 中，|BC |=|v 1|=3.46，|OB |=|v 2|=2.0.所以|OC |=22220.246.3||||+=+BC OB ≈4.0. 因为tan ∠BOC=||||OB BC =1.73，所以∠BOC ≈60°.所以小船实际航行速度的大小约为4 km/h ，方向与水流方向约成60°角.7.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s.现在有风，风使雨滴以3.0 m/s 的速度水平向东移动，那么雨滴将以多大的速度着地?这个速度的方向怎样?解：如图,用OA 表示雨滴下落的速度，OB 表示风使雨滴水平向东的速度.以OA 、OB 为邻边作OACB ，就是雨滴实际下落的速度.在Rt △OAC 中，|OA |=4，|AC |=3，∴|OC 534||||2222=+=+AC OA . ∵tan ∠43==0.75， ∴∠AOC ≈37°.∴雨滴下降到地面的速度为5 m/s ，与垂直方向成37°角. 回顾•展望8.如图2-2-16，在一场足球比赛中，中场队员在A 点位置得球，将球传给位于B 点的左边锋，随即快速直向插上.边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前.球到达C 点时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分.若BC=20 m ，∠ABC=37°.图2-2-16(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等?解：(1)在Rt △ACB 中，|BC |=20，由||BC AC =tan ∠ABC,∴|AC |=|BC |tan37°≈20×0.75=15.∴足球的位移为15 m ，沿垂直球门的方向.(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移相等，即AC =AB +BC .。
(完整word版)必修四向量加法运算及其几何意义(附答案)
向量加法运算及其几何意义[学习目标] 1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义。
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。
3。
了解向量加法的交换律和结合律,并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．知识点一向量的加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a。
2．向量求和的法则三角形法则如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作错误!＝a,错误!＝b,则向量错误!叫做a与b的和，记作a＋b,即a＋b ＝错误!＋错误!＝错误!平行四边形法则如图，已知两个不共线向量a,b，作错误!＝a，错误!＝b，以错误!，错误!为邻边作▱ABCD,则对角线上的向量错误!＝a＋b思考如图,已知向量a， b，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a＋b.答案作法1：在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b。
作法2：在平面内任取一点O,作OA→＝a,错误!＝b,以OA,OB为邻边作▱OACB，连接OC，则错误!＝错误!＋错误!＝a＋b.知识点二向量的加法和向量的模(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b｜<|a｜＋｜b｜；（2)当a与b同向时,a＋b，a，b的方向相同,且|a＋b｜＝|a|＋｜b|；（3）当a与b反向时，若｜a｜≥｜b|,则a＋b与a的方向相同,且｜a＋b|＝|a|－｜b｜。
若｜a|<|b｜,则a＋b与b的方向相同，且｜a＋b｜＝｜b｜－|a｜.知识点三向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律（a＋b)＋c＝a＋（b＋c）思考1 根据下图中的平行四边形ABCD，验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a。
(注：错误!＝a，错误!＝b）答案∵错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝a＋b.∵错误!＝错误!＋错误!,∴错误!＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.思考2 根据下图中的四边形ABCD，验证向量加法的结合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）．答案∵错误!＝错误!＋错误!＝（错误!＋错误!）＋错误!，∴错误!＝(a＋b）＋c，又∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋(错误!＋错误!），∴错误!＝a＋（b＋c），∴（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．题型一向量加法及其运算律例1 化简:（1)错误!＋错误!；(2)错误!＋错误!＋错误!；(3)错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!。
人教A版高中数学必修四课时作业向量加法运算及其几何意义
2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义选题明细表知识点、方法题号向量的加法运算1,2,3,4 向量加法与平面几何的综合应用5,6,7,10,11,12,13 向量加法的实际应用8,9基础巩固1.如图所示,在▱ABCD中,++等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:++=++=+0=.故选A.2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:在原图上取点M,使+=,如图所示,而=.故选C.3.下列说法正确的是( B )(A)0+0=0(B)对任意向量a,b都有a+b=b+a(C)对任意a,b都有|a+b|>0(D)等式|a+b|=|a|+|b|不可能成立解析:选项A不正确;选项B正确;选项C不正确,对任意a,b都有|a+b|≥0;选项D不正确,当a与b同向或其中一个(或两个)向量为0时,|a+b|=|a|+|b|,故选B.4.下列向量的运算结果为零向量的是( D )(A)+(B)++(C)+++(D)+++解析:A项,+=+=;B项,++=++=;C项,+ ++=(++)+=0+=;D项,+++=(+)+ (+)=+=0.5.已知P为△ABC所在平面内一点,当+=成立时,点P位于( D )(A)△ABC的AB边上(B)△ABC的BC边上(C)△ABC的内部(D)△ABC的外部解析:如图,+=,则P在△ABC的外部.6.如图,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|= .解析:因为++=++=,所以|++|=||=2.答案:27.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为的是.(1)++;(2)++;(3)++;(4)++.解析:在(1)中++=+=;在(2)中++=+=;在(3)中++=+=;在(4)中++=+=+=.答案:(3)8.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h.(1)小船在河流中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少?(2)如果小船在河南岸M处,对岸北偏东30°处有一码头N,小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头N?(河水自西向东流)解:(1)小船顺流行驶时实际速度最大,最大值为20 km/h,小船逆流行驶时实际速度最小,最小值为 0 km/h,此时小船是静止的.(2)如图所示,设表示水流的速度,表示小船实际过河的速度.设MC⊥MA,||=||=10,∠CMN=30°,因为+=,所以四边形MANB为菱形,在△MNB中,||=||=10,所以∠BMN=60°,而∠CMN=30°,所以∠CMB=30°,所以小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30°.能力提升9.(2018·宝塔区高一期中)已知向量a表示“向东航行3 km”,向量b 表示“向南航行3 km”,则a+b表示( B )(A)向东南航行6 km (B)向东南航行3 km(C)向东北航行3 km (D)向东北航行6 km解析:设=a,=b,则OA=OB=3,OA⊥OB,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,由平行四边形法则可知=a+b. 因为OA⊥OB,OA=OB,所以平行四边形OACB是正方形,所以OC方向为东南方向.因为OA=OB=3,所以OC=3.故选B.10.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是( B )(A)菱形(B)矩形(C)正方形(D)不确定解析:因为四边形ABCD为平行四边形,所以+=,+=.又|+|=|+|,所以||=||.所以平行四边形ABCD为矩形.11.设P为▱ABCD所在平面内一点,则①+=+;②+=+;③+=+中成立的序号为.解析:以PA,PC为邻边作平行四边形PAEC,则PE与AC交于AC的中点O,同样以PB,PD为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD与PF交于BD的中点O′,则O与O′重合,所以+=+.答案:②12.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.证明:=+,=+,因为四边形ABCD是平行四边形,所以=.因为FD=BE,且与的方向相同,所以=.所以+=+,即=,所以AE与FC平行且相等.所以四边形AECF是平行四边形.探究创新13.已知:O是正三角形ABC的重心,求证:++=0.证明:如图所示,根据平行四边形法则,作出=+,易知四边形OBEC 为菱形.所以OE平分∠BOC.由正三角形性质得∠AOC=∠BOC=120°,所以∠EOC=60°,所以∠AOE=180°,所以A,O,E三点共线.||=||=||=||,所以+=0,所以++=+=0.故++=0成立.。
高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义课时作业 新人教A版必修4
2.2.1 向量加法运算及其几何意义课时目标 1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量________叫做a 与b 的和(或和向量)，记作__________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋______＝______. (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝______________.(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝______________________.一、选择题1．已知向量a 表示“向东航行1 km”，向量b 表示“向南航行1 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行 2 km D ．向东北航行2 km2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形D ．四边形ABCD 一定是平行四边形4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可5. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A. BD →B. DB →C. BC →D. CB →6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.8．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________． 9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____． 10. 设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________.三、解答题 11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12. 如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．能力提升13．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______.14．在水流速度为4 3 km/h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义答案知识梳理1．(1)AC → a ＋b AC → 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC → 2．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．A 2.C 3.D 4.A5．C [BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.]6．B [|AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.] 7．0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0. 8．213解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213. 9．8解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8. ∴|a ＋b |的最大值为8.10．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →11．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 (km/h)． ∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝5 3 (km/h)，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10 (km/h)，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h. 12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形． 13．0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0，∴GA →＋GB →＋GC →＝0. 14．解如图，设AB →表示水流速度，则AC →表示船航行的实际速度，作AD 綊BC ，则AD →即表示船航行的速度．因为|AB →|＝4 3，|AC →|＝12，∠CAB ＝90°，所以tan ∠ACB ＝4 312＝33，即∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°.所以|AD →|＝8 3，∠BAD ＝120°.即船航行的速度大小为8 3 km/h ，方向与水流方向所成角为120°.。
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高中数学人教a 版高一必修4课时达标检测(十六)向量加法运
算及其几何意义_word 版含解析
课时达标检测（十六）向量加法运算及其几何意义
一、选择题
1．对任意四边形ABCD ，下列式子中不等于BC 的是( )
A ．BA ＋AC
B ．BD ＋DA ＋AC
C ．AB ＋B
D ＋DC D ．DC ＋BA ＋AD
答案：C
2．下列各式不一定成立的是( )
A ．a ＋b ＝b ＋a
B ．0＋a ＝a
C ．AC ＋CB ＝AB
D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |
答案：D
3．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )
A ．FD ＋DA ＝FA
B ．FD ＋DE ＋EF ＝0
C ．DE ＋DA ＝EC
D ．DA ＋D
E ＝FD
答案：D 4．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA ＋BC ＋AB ＝( )
A ．CD
B ．O
C C ．DA
D ．CO 答案：B 5．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＝PC ，则下列结论中正确的是( )
A ．P 在△ABC 的内部
B ．P 在△AB
C 的边AB 上
C ．P 在AB 边所在的直线上
D ．P 在△ABC 的外部
答案：D
二、填空题
6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB ＝a ，AC ＝c ，BC ＝b ，则|a ＋b ＋c |＝________.
答案：2 2
7．PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝________.
答案：PQ
8．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 答案：8 2 km 北偏东45°
三、解答题
9．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且|AB |＝|AD |＝1，OA ＋OC ＝OB ＋OD ＝0，
cos ∠DAB ＝12
.求|DC ＋BC |与|CD ＋BC |. 解：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD ＝0，
∴OA ＝CO ，OB ＝DO .
∴四边形ABCD 是平行四边形．
又|AB |＝|AD |＝1，知四边形ABCD 为菱形．
又cos ∠DAB ＝12
，∠DAB ∈(0，π)， ∴∠DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．
∴|DC ＋BC |＝|AB ＋AD |＝|AC |＝2|AO |＝3，|CD ＋BC |＝|BD |＝|AB |＝1.
10．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB |＝2，求|BC ＋DC |.
解：如右图，设菱形对角线交点为O ，
∵BC ＋DC ＝AD ＋DC ＝AC ，
∠DAB ＝60°，
∴△ABD 为等边三角形．
又∵AB ＝2，
∴OB ＝1.在Rt △AOB 中，
|AO |＝|AB |2－|OB |2＝3，
∴|AC |＝2|AO |＝2 3.
11．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解：作AB ＝v 水，AD ＝v 船，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，
则AC ＝v 实际，如图.
由题意可知∠CAB ＝90°，
在Rt △ABC 中，
| AB |＝|v 水|＝10 m/min ，,| BC |＝|AD |＝|v 船|＝20 m/min ，
∴cos ∠ABC ＝|AB ||BC |＝1020＝12
， ∴∠ABC ＝60°，从而船与水流方向成120°角．
故船行进的方向与水流的方向成120°角．。