江西省中考数学第一部分考点研究第四章三角形课时22解直角三角形及其应用练习新人教版【含解析】

第四章 三角形课时22 解直角三角形及其应用 (建议时间：90分钟 分值：84分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．基础过关1. (2016永州改编)下列式子错误的是( )A. cos45°＝sin45°B. tan30°·tan60°＝1C. cos30°·tan30°＝sin30°D. sin60°＝2sin30°2. (2016怀化)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm.则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm3. (2016乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正．．确．的是( )第3题图A . sinB ＝AD AB B . sin B ＝AC BCC . sin B ＝AD AC D . sin B ＝CDAC4. (2016福州)如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠P OB ＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)第4题图 第5题图5. (2016巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A. 斜坡AB的坡度是10°B. 斜坡AB的坡度是tan10°C. AC＝1.2tan10°米D. AB＝1.2cos10°米6. (2016义乌)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是( )A.312B.36C.33D.32第6题图第7题图7. (2016金华)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度 1米，则地毯的面积至少需要( )A. 4sinθ米2B.4cosθ米2C. (4＋4tanθ)米2D. (4＋4tanθ)米2第8题图8. (2016泰安)如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°＝0.9272，sin46°＝0.7193，sin22°＝0.3746，sin44°＝0.6947)( )A. 22.48B. 41.68C. 43.16D. 55.639. 计算：|cos60°·tan45°－1|＝________．10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N.若CM＝3，AN＝4，则tan∠CAN的值为________．第10题图第11题图11. （2016江西样卷四）如图，秋千链子的长度OA＝3 m，静止时秋千踏板处于A位置．此时踏板距离地面0.3 m，秋千向两边摆动．当踏板处于A′位置时，摆角最大，即∠AOA′＝50°，则在A′位置，踏板与地面的距离为________m．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01 m)12. (6分)(2016邵阳)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠O CA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm，温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)第12题图13. (6分)(2016台州)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm.图①是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图②的△ABC.已知BC ＝30 cm，AC＝22 cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)第13题图14. (8分)“4000辆自行车、187个服务网点”，某市7大片区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE 于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.(1)求AD的长；(2)求点E到AB的距离．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，可使用科学计算器)第14题图满分冲关1. (2016淄博)如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A. 12B. 1C. 3D. 2第1题图 第2题图2. (2016重庆B 卷)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A. 30.6B. 32.1C. 37.9D. 39.43. 如图①是手机放在手机支架上，其侧面示意图如图②所示，AB ，OC 是长度不变的活动片，一端A 固定在OA 上，另一端B 可在OC 上变动位置，若将AB 变到AB ′的位置，则OC 旋转一定角度到达OC′的位置．已知OA ＝8 cm ，A B ⊥OC ，∠BOA ＝60°，sin ∠B ′AO ＝0.9，则点B ′到OA 的距离为________．(精确到0.01 cm ，3≈1.732，可使用科学计算器)第3题图4. 小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30°，AC 的长为22米，钓竿OA 的倾斜角是60°，其长为3米，若OA 与钓鱼线OB 的夹角为60°，则浮漂B 与河堤下端C 之间的距离是________．(精确到0.1米，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)第4题图5. 在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos ∠B ＝22，则BC 边长为________． 6. (8分) (2016赣州模拟)如图①是一个新款水杯，水杯不盛水时按图中所示的位置放置，这样可以快速晾干杯底，干净透气．将图①的主体部分抽象成图②，此时杯口与水平直线的夹角为35°，四边形ABCD 可以看作矩形，测得AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，过点A 作A F ⊥CE ，交C E 于点F.第6题图(1)求∠BAF 的度数；(2)求点A 到水平直线CE 的距离AF 的长．(精确到0.1 cm ，参考数据：sin 35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002)7. (8分)（2016江西样卷一）小华在“科技创新大赛”中制作了一个创意台灯作品，现忽略支管的粗细，得到它的侧面简化结构图如图①所示．已知台灯底部支架CD平行于水平面，FE⊥OE，GF⊥EF，台灯上部可绕点O旋转，OE＝20 cm，EF＝20 3 cm.(1)如图②，若将台灯上部绕点O逆时针转动，当点G落在直线CD上时，测量得∠EOG ＝65°，求FG的长度(结果精确到0.1 cm)；(2)将台灯由图②位置旋转到图③的位置，若此时F，O两点所在的直线恰好与CD垂直，求点F在旋转过程中所形成的弧的长度．(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，3≈1.732.可使用科学计算器)第7题图【试题链接】其他试题见精讲版P108～115.【答案】基础过关 1. D 【解析】2. C 【解析】∵sinA ＝AB ＝45，∴设BC ＝4a ，AB ＝5a ，则AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.3. C 【解析】第4题解图4. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥O B 于点C ，则在Rt △O PC 中，OC ＝OP ·cos ∠P OB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．5. B 【解析】斜坡AB 的坡角是10°不是坡度，选项A 错误；坡度＝坡比＝坡角的正切，选项B 正确；AC ＝ 1.2tan10°米，选项C 错误．AB ＝ 1.2sin10°米，选项D 错误．综上，只有选项B 是正确的．第6题解图6. B 【解析】根据题意作图，如解图，不妨设BC ＝2a ，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AB ＝23a.由解图知，AB ＝AE ＝DE ＝23a ，△ADE 为等腰三角形，过点E 作EF ⊥A D 于点F ，则F 为AD 的中点，∵AD ＝BC ＝2a ，∴AF ＝a ，则cos ∠EAD ＝AF AE ＝a 23a ＝36.7. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝C A ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4t an θ)×1＝(4＋4t an θ)米2.第8题解图8. B 【解析】由题意知MN ＝30×2＝60，∠AMP ＝68°，∠BNP ＝46°，∴∠PMN ＝22°，∠PNC ＝44°.如解图，过点P 作PC ⊥MN 的延长线于点C ，PC 就是轮船与灯塔的最近距离．∵∠PMN ＝22°，∠PNC ＝44°，∴∠MPN ＝22°，∴PN ＝MN ＝60.∵sin ∠PNC ＝PCPN，∴PC ＝PN ·sin ∠PNC ＝60×sin44°≈60×0.6947＝41.68(海里)．9. 12 【解析】原式＝|12×1－1|＝|12－1|＝|－12|＝12.10. 23 【解析】∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，∴∠B ＝∠MCB ，∵∠CAN ＋∠CNA ＝90°，∵AN ⊥CM ，∴∠MCB ＋∠CNA ＝90°，∴∠MCB ＝∠CAN ，∴∠B ＝∠CAN ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.第11题解图11. 1.37 【解析】如解图，作A′D ⊥OA 于点D ，A ′C 垂直于地面于点C ，延长OA交地面于点B ，则四边形BCA′D 为矩形，∴A ′C ＝DB ，∵∠AOA ′＝50°，且OA ＝OA′＝3 m ，∴在Rt △OA ′D 中，OD ＝OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.6428≈1.9284 m ，又∵AB＝0.3 m ，∴OB ＝OA ＋AB ＝3.3 m ，∴A ′C ＝DB ＝OB －OD ≈1.37 m.12. 解：根据题意，在Rt △OBC 中，∵tan ∠OB C ＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ，(2分) 在Rt △OAC 中，sin ∠OAC ＝OCOA＝sin75°≈0.97， ∴OC OA≈0.97，(4分) 即33BC ∶40≈0.97， ∴BC ≈67.3 cm .(5分)答：该台灯照亮水平面的宽度BC 约为67.3 cm.(6分)第13题解图13. 解：他的这种姿势不符合保护视力的要求．(1分)理由如下：如解图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，由题意可得，BC ＝30 cm ，∠ACB ＝53°. 在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·sin53°≈30×0.8＝24 cm.DC ＝BC ·cos53°≈30×0.6＝18 cm.∴AD ＝AC －CD ＝22－18＝4 cm.(4分)利用勾股定理可得AB ＝BD 2＋AD 2＝242＋42≈24.3 cm. ∵24.3 cm<30 cm ，∴他的这种姿势不符合保护视力的要求．(6分) 14. 解：(1)在Rt △ADF 中，由勾股定理得，AD ＝AF 2－FD 2＝252－202＝15 cm.(3分)第14题解图(2)AE ＝AD ＋CD ＋EC ＝15＋30＋15＝60 cm.(4分)如解图，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，在Rt △AEH 中，sin ∠EAH ＝EH AE， ∴EH ＝AE ·sin ∠EAH ＝AE ·sin75°≈60×0.97＝58.2 cm.(7分)答：点E 到AB 的距离为58.2 cm.(8分)满分冲关1. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE ，设小正方形的边长为1，则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵PQ 2＝PE 2＋QE 2，∴∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QE PE＝2.第1题解图 第2题解图2. D 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥A B 于点F ，过点B 作BG ⊥CD 的延长线于点G ，在Rt △BCG 中，BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝1∶3，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝AF ＋BF ＝20＋63＋9≈39.4米．3. 6.24 cm 【解析】∵A B ⊥OC ，∴∠ABO ＝90°，在Rt △ABO 中，∵∠BOA ＝60°，OA ＝8 cm ，∴AB ′＝AB ＝OA ·sin ∠BOA ＝8×32＝43(cm)，如解图，过点B′作B′P⊥OA 于点P ，在Rt △AB ′P 中，∵sin ∠B ′AO ＝0.9，∴B ′P ＝AB′·sin ∠B ′AO ＝43×0.9≈6.24(cm)．第3题解图 第4题解图4. 1.4米 【解析】如解图，延长OA 交B C 于点D ，∵OA 的倾斜角是60°，∴∠ODB ＝60°.∵∠ACD ＝30°，∴∠CAD ＝180°－∠ODB －∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，AD ＝AC ·tan ∠ACD ＝22×33＝236，∴CD ＝2AD ＝436.又∵∠O＝60°.∴△BOD 是等边三角形，∴BD ＝OD ＝OA ＋AD ＝3＋23 6.∴BC ＝BD －CD ＝3＋236－436＝3－236≈1.4米． 5. 7或17 【解析】∵cos ∠B ＝22，∴∠B ＝45°，当△ABC 为钝角三角形时，如解图①，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，∵AB ＝122，∠B ＝45°，∴AD ＝BD ＝12，∵AC ＝13，∴在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝BD －CD ＝12－5＝7；当△ABC 为锐角三角形时，如解图②，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，同理可得CD ＝5，∴BC ＝BD ＋CD ＝12＋5＝17.第5题解图 第6题解图6. 解：(1)如解图，设AF 与BC 交于点O ，过点B 作BN ⊥EC 于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠BCD ＝90°，∵∠AOB ＝∠COF ，∠BCN ＋∠CBN ＝90°，∠FOC ＋∠BCN ＝90°，∴∠DCE ＝∠CBN ＝90°－35°＝55°＝∠DAF ，∠DAF ＝∠DCE ，∴∠BAF ＝90°－55°＝35°；(3分)(2)如解图，过点B 作BM ⊥AF 于M ，则MF ＝BN ＝BC ·sin35°≈0.5736×8＝4.5888(cm)， AM ＝AB ·cos35°≈10×0.8192≈8.192(cm)，(6分)∴AF ＝AM ＋MF ＝8.192＋4.5888≈12.8(cm)；即点A 到水平直线CE 的距离AF 的长约为12.8 cm. (8分)第7题解图①7. 解：(1)如解图①，过点G 作GH ⊥OE ，垂足为点H .∵FE ⊥OE ，GF ⊥EF ，∴四边形EFGH 为矩形．∴GH ＝EF ＝203，FG ＝EH .(1分)在Rt △GHO 中，tan ∠HOG ＝GH OH ， ∴OH ＝GH tan ∠HOG ＝203tan65°≈16.2(cm)．(2分) ∴FG ＝EH ＝OE －OH ≈20－16.2＝3.8(cm)；(3分)第7题解图②(2)如解图②，连接FO ，则FO ⊥CD .在Rt △OEF 中，OE ＝20 cm ，EF ＝20 3 cm ， ∴tan ∠FOE ＝EF OE ＝20320＝ 3. ∴∠FOE ＝60°，(5分)∴∠OFE ＝30°，∴OF ＝2OE ＝2×20＝40(cm)．(6分)∵∠DOE ＝∠DOF ＋∠FOE ＝90°＋60°＝150°，∴台灯上部绕点O 旋转的角度为：150°－65°＝85°.∴OF 绕点O 顺时针旋转85°，点F 在旋转过程中所形成的弧以点O 为圆心，以OF 为半径，圆心角为85°.(7分) ∴弧长l ＝85×40π180＝1709π(cm)．(8分)。