2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(七)
高三数学-2018年高考仿真试题七数学理 精品
普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类(七)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.解析:①③④正确,②错误.答案: C2.解析:数据变化后,平均数改变而方差不变.答案: A3.解析: 异面直线无交点,逆命题真;B 、C 等价,均错.答案: D4.解析: a =sin1,b =sin(－1)<0,c =1,d =cos1.答案: A5.解析: T 3=T 2+1=26C ·(xa )4·(－2a x )2=x 15.答案: A6.解析: 原来函数的图象相当于把y =cos x 的图象按a =(3π,2)的方向平移得到的.由平移公式,于是原来函数的解析式为y =cos(x －3π)+2.答案: D7.解析: 由图可知,l 应与可行域中边界线CD 重合,此时－a =25134--,故a =32.答案: A 8.解析: ∵|PF 2|－|PF 1|=2a ,∴||||122PF PF =||)2|(|121PF a PF +=|PF 1|+||412PF a +4a ≥2||4||121PF a PF ⋅+4a =8a ,其中|PF 1|=2a 时等号成立.又设P (x ,y )(x ≤－a ),则由第二定义,得|PF 1|=(－x －c a 2)e =－ex －a ≥c －a ,即2a ≥c －a ,∴e =a c ≤3,又∵e >1,∴1<e ≤3.答案: A9.解析: ∵acb 55-=1,∴a (5)2－b 5+c =0.a 、b 、c ∈R.故b 2≥4ac .答案: B10.解析: AB =2BC ,OC =OA +AB +BC =OA +23AB =21AO +23OB ,∴c =－21a +23b .答案: A11.解析: 由题意知,△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成一个正四面体,而GH ∥DF ,IJ ∥DB ,所以GH 与IJ 所成的角为60°.答案: B12.解析: 注意观察第一个数及最后一个数的特征.答案: C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.解析: ∞→n lim (122-n n －121sin2-⋅n n n )=1－∞→n lim (nn n 121sin-)=1－21=21.答案: 21 14.解析: S S '=221222121a a a ⨯⨯⨯=42.答案: 4215.解析: y =2m x ⊗=22)2()2(mx m x --+=mx 2,∴y 2=2mx (y ≥0).答案: y 2=2mx (y ≥0)16.解析: 烷烃的通式为22H C +n n ,设第n 个分子中C 原子个数为a n ,则a n +1=a n +2a n +2,故a n =3n －1(a 1+1)－1=2×3n －1－1.答案: 2×3n －1－1三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解：(1)log 2t －2=3⇒t =32; 6分(2)2122log 2--t ≥0.6⇒8≤log 2t ≤12⇒28≤t ≤212,即t ∈［256,4096］.12分18.(1)证明:∵BA ·CA +AP ·CB －AP 2=(BP +PA )·(CQ +QA )+AP ·(CQ +QP +PB )－AP 2=BP ·CQ +BP ·QA +PA ·CQ +PA ·QA +AP ·CQ +AP ·QP +AP ·PB －AP 2=BP ·CQ +BP ·AP +PA ·CQ －AP 2+AP ·CQ +2AP 2+AP ·PB －AP 2=BP ·CQ ,∴BP ·CQ =BA ·CA +AP ·CB －AP 2.6分(2)解:由余弦定理得cos ∠BAC =AC BA BC AC BA ⋅-+2222=4322)23(4)32(222⨯⨯-+=385,∴BP ·CQ =BA ·CA +AP ·CB －AP 2=|BA ||CA |cos ∠BAC +|AP ||CB |cos α－|AP |2=23×4×385+2×32cos α－(2)2=3+6cos α.12分19.(1)证明:∵AP 在底面ABCD 内的射影为AC ,在正方形ABCD 中AC ⊥BD ,∴AP ⊥BD .3分(2)解:延长B 1P 与BC 的延长线交于点M ,连结AM ,过B 作BN ⊥AM 于点N ,连结B 1N ,则∠B 1NB 即为所求二面角的平面角,设AB =a ,则BM =3a ,∴BN =103a . ∴tan ∠B 1NB =aa 1032=3102.8分(3)解:设AB =a ,C 1P =x ,要使AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线,则∠PAB 1= ∠PAC ,∴cos ∠PAB 1=cos ∠PAC ,即222)2(2a x a a +-=22222222)2(52)(2)2(5a x a a a x a x a a +-⋅+-+-+, 解得x =2105-a , ∴P 到C 1的距离是底面边长的2105-.12分20.(1)证明:2)()(x f x f -+=2])()[()(33b x a x b ax x +-+-+++=b .∴f (x )的图象关于(0,b )成中心对称图形.4分(2)解:由f (0)=f (1),有b =a +b +1,∴a =－1.∴f (x )=x 3－x +b ,f ′(x )=3x 2－1,x ∈［－1,1］.∴f ′(x )∈［－1,2］.∴f (x )上任一点的斜率k 的取值范围是［－1,2］. 8分(3)解:∵0≤x 1<x 2≤1,|y 1－y 2|=|x 13－x 1－x 23+x 2|=|x 1－x 2|·|x 12+x 1x 2+x 22－1|,0<x 12+x 1x 2+x 22<3,即－1<x 12+x 1x 2+x 22－1<2,∴|x 12+x 1x 2+x 22－1|<2. ∴|y 1－y 2|<2|x 1－x 2|=－2(x 1－x 2). ①又|y 1－y 2|=|f (x 1)－f (x 2)|=|f (x 1)－f (0)+f (1)－f (x 2)|≤|f (x 1)－f (0)|+|f (1)－f (x 2)|≤2(x 1－0)+2(1－x 2)=2(x 1－x 2)+2, ②①+②得|y 1－y 2|<1. 12分 21①求映射f 下(1,2)的原象.②若将(x ,y )看作点的坐标,问是否存在直线l 使得直线上的任意一点在映射f 的作用下的点仍在直线上?若存在,求出直线l 的方程,否则说明理由.解:(1)设c =(m ,n ),由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>⋅+⋅=+=+,001,2,022n m n m n m 解得⎩⎨⎧-==,1,1n m ∴c =(1,－1).5分(2)①由题意x (1,1)+y (1,－1)=(1,2),得⎩⎨⎧=-=+,2,1y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,23y x∴(1,2)的原象是(23,－21). ②假设存在直线l 适合题设,平行于坐标轴的直线显然不适合.设所求的直线方程为y =kx +b (k ≠0),在该直线上任作一点P (x ,y ),经过映射f 的作用得到点Q (x ′,y ′)=(x +y ,x －y )仍在该直线上,∴x －y =k (x +y )+b ,即(1+k )y =(1－k )x －b .当b ≠0时,⎩⎨⎧-=--=+,1,11k k k 无解,故这样的直线不存在.当b =0时,(1+k )∶1=(1－k )∶k ,即k 2+2k －1=0,解得k =－1±2. 故这样的直线l 存在,其方程为y =(－1+2)x 或y =(－1－2)x .12分22.(本小题满分14分)已知二次函数f (x )=ax 2+x +1(a >0)的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2. (1)证明(1+x 1)·(1+x 2)=1; (2)证明x 1<－1,x 2<－1; (3)若x 1、x 2满足不等式|lg21x x |≤1,试求a 的取值范围.(1)证明:由题意知,x 1、x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+x +1的两个实数根, ∴x 1+x 2=－a 1,x 1x 2=a1. ∴x 1+x 2=－x 1·x 2,∴(1+x 1)·(1+x 2)=1.①3分(2)证明:由于关于x 的一元二次方程ax 2+x +1有实数根x 1、x 2,故有⎩⎨⎧≥-=∆>.041,0a a∴0<a ≤41.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥⋅-≤-=+,41,412121a x x ax x⎩⎨⎧>=+⋅+<-≤+++,01)1()1(,02)1()1(2121x x x x ⎩⎨⎧<+<+,01,0121x x 即x 1<－1,x 2<－1得证.8分(3)解:由|lg21x x |≤1⇔－1≤lg 21x x ≤1⇔101≤21x x ≤10, 由①得x 1=211x +－1=－221x x +. ∴21x x =－211x +. ∴101≤－211x +≤10,111≤－21x ≤1110.∴a =211x x ⋅=－2221x x +=－(－21x )2+(－21x )=－［(－21x )－21］2+41, 当－21x =21时,a 取最大值为41. 当－21x =111或－21x =1110时,a 取最小值12110. 故a 的取值范围是［12110,41］. 14分。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)(含答案)
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知复数z =2i1i+ (i 为虚数单位)，则z·z =A B ．2 C ．1 D ．122．已知集合A ={x ∈Z |y ，B ={a ，1}，若A ∩B =B ，则实数a 的值为A ．2B ．3C ．1或2或3D ．2或3 3．已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，c =a +b ，c ⊥a ，则a ·b =A ．−2B ．−1C ．1D ．24．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求5次多项式()f x =5432543210a x a x a x a x a x a +++++当0x x =(0x 是任意实数)时的值的过程，若输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，则输出的v 的值为A ．984B ．985C ．986D ．9875．若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线2x +y +b =0对称，则点(k ，b )所在的圆为A ．(x −12)2+(y +5)2=1 B ．(x −12)2+(y −5)2=1C ．(x +12)2+(y −5)2=1 D ．(x +12)2+(y +5)2=1 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8π+2B ．8π+4C ．7π+4D ．8π7．已知命题p ：“a =2”是“直线1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1)y +a 2−1=0平行”的充要条件，命题q ：“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*且0()f n ≤20n ”，则下列命题为真命题的是A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )8．已知实数x ，y 满足约束条件40431208240x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤，则21y x -+的最大值是A ．56 B ．65C ．1D ．2 9．已知a ，b ，l 表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为①若a ⊥α，b ⊥β，l ⊥γ，a ∥b ∥l ，则α∥β∥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l ，则l ⊥γ；③若a ⊂α，b ⊂β，α∩β=a ，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥β；④若a ，b 为异面直线，a ⊥α，b ⊥β，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，l ⊄β，则α与β相交，且交线平行于l ． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④ 10．已知函数()f x =sin()A x ωϕ+(A >0，ω>0， |ϕ|<2π)的导函数()f x '的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数的单调递增区间是A ．[−12π+k π，512π+k π](k ∈Z) B ．[512π+k π，1112π+k π](k ∈Z)C ．[−12π+2k π，512π+2k π](k ∈Z) D ．[512π+2k π，1112π+2k π](k ∈Z)11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，若(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018， (2017a −2)5+2017(2017a −2)3+2018(2017a −2)=−2018， 则下列四个命题中真命题的序号为①2017S =4034；②2018S =4036；③2017S <2S ；④2017a −2a <0． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④12．已知函数()f x =1,01,0ex m x ex m x --⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为A ．(1+1) B ．(1，1e+1) C ．，1) D ．(0二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若()f x =(21)221x x a +-+是R 上的奇函数，则实数a 的值为 ．14．已知cos(2π+α)=2cos(π−α)，则2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-= ．15．某校2017年元旦晚会对2个相声和5个小品安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有 种．16．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为2π的直线l 过2F 且与双曲线交于M ，N 两点，且1F MN ∆是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设数列{n a }的前n 项和为n S ，满足3S =9，n S =n 1n a +−n (n +1)，n ∈N *． (1)求数列{n a }的通项公式；(2)记n b =n a ×1na +，求数列{nb }的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)某中学高三年级共有学生1 000人，将某次模拟考试的数学成绩(满分150分，所有成绩均不低于70分)按[70，80)，[80，90)，…，[140，150]分成8组，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)求x 的值；(2)试估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数；(3)为了研究低分学生的失分情况，3位教师分别在自己电脑上从成绩在[80，100)内的试卷中随机抽取1份进行分析，每人抽到的试卷是相互独立的，ξ为抽到的成绩在[90，100)内的试卷数，写出ξ的分布列，并求数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P −ABCD 中，E 是棱PC 上一点，且2AE AC AP =+，底面ABCD 是边长为2的正方形，∆P AD 为正三角形，且平面P AD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点F ．(1)求证：平面ABE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A −BE −C 的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =12，抛物线E ：24y x =的焦点恰好是椭圆C 的右焦点F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在的直线1l ，2l ，1l 交椭圆C 于点A ，B ，2l 交椭圆C 于点G ，H ，若|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，求|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln x +2a 2x −(a +1)x ． (1)判断()f x 的单调性；(2)若函数()g x =()f x +x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 求证：g (1x )−g (2x )<2a−ln a ． 选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1cos 2sin 2x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数，0<α<2π)，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=． (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的最小值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()|1|2|2|f x x x =++-． (1)解不等式()4f x ≥；(2)设()f x 的最小值为M ，如果正实数a ，b 满足a +b =M ，试求24a b+的最小值．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)答案1．B 【解析】通解 z =2i 1i +=2i(1i)(1i)(1i)-+-=1+i ，z =1−i ，z·z =2，故选B ．优解 由题意知|z|=|2i ||1i |+，利用性质z·z =|z|2，得z·z =2，故选B ．2．D 【解析】由题意知，A ={x ∈Z |y }={1，2，3}，且B ={a ，1}，由A ∩B =B ，知B ⊆A ，则实数a 的值为2或3，故选D ．3．B 【解析】由c ⊥a 得c ·a =0，又c =a +b ，∴c ·a =(a +b )·a =a 2+a ·b =1+a ·b =0，∴a ·b =−1，故选B ．4．C 【解析】执行程序框图，输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，经过第1次循环得v =13，n =2；经过第2次循环得v =35，n =3；经过第3次循环得v =111，n =4；经过第4次循环得v =328，n =5；经过第5次循环得v =986，n =6，退出循环．故输出的v 的值为986．故选C ． 5．A 【解析】由题意知直线y =kx 与直线2x +y +b =0互相垂直，所以k =12．又圆上两点关于直线2x +y +b =0对称，故直线2x +y +b =0过圆心(2，0)，所以b =−4，结合选项可知，点(12，−4)在圆(x −12)2+(y +5)2=1上，故选A ．6．B 【解析】依题意，该几何体是底面直径为2，高为4的圆柱截去一个底面直径为2，高为2的半圆柱后所得到的几何体，其表面积为2π×1×2+π×1×2+2×2+2×π×12= 8π+ 4，故选B ．7．D 【解析】由1l ∥2l 得a (a −1)=2，解得a =2或a =−1，故“a =2”是“直线 1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1) y +a 2−1=0平行”的充分不必要条件，则p 是假命题，¬p 是真命题；“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*或0()f n ≤20n ”，故q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，(¬p )∧q ，p ∧(¬q )均为假命题，(¬p )∧(¬q )为真命题，选D ．8．D 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (0，4)，B (3，0)， C (4，8)．令k =21y x -+，k 的几何意义是可行域内的点M (x ，y )与定点P (−1，2)连线的斜率，故当直线y −2=k (x +1)过点A (0，4)时，k max =4201-+=2，故选D ．9．A 【解析】对于①，a ，b ，l 就相当于平面α，β，γ的法线，因为a ∥b ∥l ，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a ∥b ，由线面垂直的判定定理可知，直线l 不一定垂直于β，只有当a 与b 相交时，l ⊥β，所以③不正确；对于④，由a ⊥α，l ⊥a ，且l ⊄α，得l ∥α．又b ⊥β，l ⊥b ，l ⊄β，所以l ∥β．由直线a ，b 为异面直线，且a ⊥α，b ⊥β，得α与β相交，否则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l ，所以④正确．10．A 【解析】∵()f x =sin()A x ωϕ+，∴()f x '=cos()A x ωωϕ+，由题图知，()f x '的最小正周期为π， ∴ω=2，又A ω=1，∴A =12，又()3f π'=0，∴cos(2×3π+ϕ)=0，∴2×3π+ϕ=2π+k π，k ∈Z ， 又|ϕ|<2π，∴ϕ=−6π，因此()f x =12sin(2x −6π)．将函数()f x =12sin(2x −6π)的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数为y=12sin(2x −3π)，由−2π+2k π2x −3π2π+2k π(k ∈Z)，解得−12π+k πx 512π+k π(k ∈Z)，∴函数y=12sin(2x −3π)的单调递增区间为[−12π+k π，512π+k π](k ∈Z)，故选A ．11．C 【解析】构造函数()f x =5x +2 0173x +2 018x ，∵()f x 为奇函数且单调递增，依题意有2(2)f a -=2 018，2017(2)f a -=−2 018，∴(2a −2)+(2017a − 2)=0， ∴2a +2017a =4．又2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，∴数列{}n a 为等差数列，且公差d ≠0，∴1a +2018a =2a +2017a =4， 则2018S =120182018()2a a +=4036，②正确；∵公差d ≠0，故2017a ≠2018a ，2017S =120172017()2a a +≠4034，①错误；由题意知2a >2，2017a <2，∴d <0，2017S =2018S −2018a =4036−(4−1a )=4032+1a ，2S =1a +2a ，若2017S <2S ，则2a >4032，而此时(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018不成立，因此③错误；∵2a >2，2017a <2，∴2017a −2a <0，④正确．故选C ．12．A 【解析】函数()f x=1,01,0em x em x --⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩有三个不同的零点等价于方程()f x =0有三个不同的实根，当x ≤0时，()f x =xe-−m +1，设()g x =xe-x ≤0，则()g x =x e-为减函数，()g x min =g (0)=0；当x >0时，()f x =xe-m +1，设()h x =xe-，x >0，则()h x '， 当x >12时，()h x '<0，当0<x <12时，()h x '>0，故()h x 在(0，12)上单调递增，在(12，+∞)上单调递减，所以()h x 极大值=h (122e ．分别画出()g x =xe -x -x ≤0)与()h x =x e -x (x >0)的大致图象如图所示，由题意得0<m −，即1<m，故选A ．13．1【解析】∵函数()f x 是R 上的奇函数，∴(0)f =0，∴222a -=0，解得a =1． 14．3【解析】通解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，又cos 2α+sin 2α=1，所以sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3．优解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，所以2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3cos cos αα--=3．15．1 320【解析】若第一个节目排相声甲，有66A =720种排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有1555A A =600种排法．根据加法计数原理可得共有720+600=1 320种排法． 16．y =【解析】由题意知，2F (c ，0)，cM (c ，M y )，由2222M y c a b -=1得2M y =2b ×(22c a −1)=42b a ，|M y |=2b a．因为1F MN ∆是等边三角形，所以2c =3|M y |，即222b c a ac ac -==，即223c a --=0，得3c a =2c =32a ，又2a +2b =2c ，所以2b =22a ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，故双曲线的渐近线方程为y =． 17．【解析】(1)由题意得，121231232269S a a a a a a a =-⎧⎪+=-⎨⎪++=⎩，解得1a =1，2a =3，3a =5，（1分）当n ≥2时，1n S -=(n −1)n a −(n −1)n ， 所以n a =n 1n a +−n (n +1)−(n −1)n a +(n −1)n ， 即1n a +−n a =2．（3分）又2a −1a =2，因而数列{n a }是首项为1，公差为2的等差数列， 从而n a =2n −1． （5分） (2)由(1)知n b =n a ×)1n a +=(2n −1)×2n，n T =1×21+3×22+5×23+…+(2n −3)×12n -+(2n −1)×2n ，2n T =1×22+3×23+5×24+…+(2n −3)×2n +(2n − 1)×12n +． 两式相减得−n T =1×21+ 2×22+ 2×23+…+2×2n −(2n −1)×12n +=−2+2×(21+22+23+…+2n )−(2n − 1)×12n +=−2+2×2(12)12n ⨯--−(2n −1)×12n +=−2+22n +−4−(2n −1)×12n +=−6−(2n −3)×12n +． 所以n T =6+(2n −3)×12n +．（12分）【备注】高考对数列的考查难度不大，以基本题型为主，常常围绕等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式等进行设置，而求和类型以错位相减法、裂项相消法为考查热点，数列的递推关系以及n S 与n a 的关系(即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩)更是常考常新，对考生分析与转化能力有较高的要求，对于基本运算能力的要求更为突出．18．【解析】(1)由(0.002+ 0.005+0.008+2x + 2×0.02+0.025)×10=1，得x =0.01．（2分）(2)由(1)得成绩在[130，150]内的频率为(0.01+0.008)×10=0.18，估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数为1 000×0.18=180． （6分）(3)由图得成绩在[80，100)内的试卷数为1 000×(0.01+0.005)×10=150，其中成绩在[80，90)内的试卷数为50，成绩在[90，100)内的试卷数为100，从中任取1份试卷，则成绩在[80，90)内的概率为5011503=，成绩在[90，100)内的概率为10021503=．（8分） 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，故P(ξ=0)=03C ×02()3×31()3=127，P(ξ=1)=13C ×23×21()3=29，P(ξ=2)=23C ×22()3×13=49，P(ξ=3)=33C ×32()3×01()3=827．（10分）所以ξ的分布列为由于ξ~B (3，23)，所以Eξ=3×3=2．（12分） 【备注】高考对概率与统计的考查常以对立事件、互斥事件、相互独立事件等知识为载体，综合考查事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望，有时也与抽样方法(系统抽样、分层抽样)、频率分布直方图等知识结合构成综合性问题来考查．求解时要分清事件的类型以及事件之间的关系，正确选用公式． 19．【解析】(1)在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴CD ⊥平面P AD ．又AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ．（2分） ∵底面ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ． 又A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD =EF ， ∴AB ∥EF ，∴CD ∥EF ．又2AE AC AP =+，∴E 为棱PC 的中点，F 是棱PD 的中点． ∵△P AD 是正三角形，∴AF ⊥PD ．又PD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD ， ∵AF ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．（5分）(2)取AD 的中点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (−1，2，0)，P (0，0，E (−12，1，AE =(−32，1，BE =(−32，−1，CB =(2，0，0)．（7分） 设平面ABE 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则m ⊥AE ，m ⊥BE ，∴m ·AE =−321x +1y 1z =0，m ·BE =−321x −1y1z =0，解得1y =0，1z1x ，令1x =1，则m =(1，0为平面ABE 的一个法向量．（9分） 设平面BEC 的法向量为n =(2x ，2y ，2z )，则n ⊥BE ，n ⊥CB ， ∴n ·BE =−322x −2y+22z =0，n ·CB =22x =0，得2x =0，2y=22z ， 令2z =2，则n =(02)为平面BEC 的一个法向量．（11分） ∴cos<m ，n>=||||7⋅=m n m n ， 由图知二面角A −BE −C 为钝角， ∴二面角A −BE −C 的余弦值为−7．（12分） 20．【解析】(1)依题意得椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，即c =1，又e =c a =12，∴a =2，2b =3， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（3分） (2)∵|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，∴|AF |2=|AH |2−|FH |2，即|AF |2+|FH |2=|AH |2，∴直线1l ⊥2l ．（5分） 又直线1l ，2l 的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零， 故可设直线1l ：x =ky +1(k ≠0)，直线2l ：x =−1ky +1，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，G (3x ，3y )，H (4x ，4y )， 由221431x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得(32k +4)2y +6ky −9=0， ∴122122634934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，同理得3422342634934k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，（8分） ∴|AF |·|FB2k )|12y y |，|GF |·|FH|=21k)|34y y |， ∴|AF |·|FB |+|GF |·|FH |=(1+2k )|12y y |+(1+21k )|34y y | =(1+2k )·2934k ++(1+21k)·22934k k +=9(1+2k )·(2134k ++2134k+) =2222222263(1)6312(1)12(1)k k k kk +=++++=226311212k k+++， 又2k >0，∴2k +21k≥2，当且仅当2k =1时取等号，（11分） 故|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值为367．（12分）【备注】解决此类问题的一般步骤：(1)利用定义、各基本量之间的关系与圆锥曲线的性质，得到关于基本量的方程(组)，解方程(组)，求出基本量的值，从而得到圆锥曲线的方程；(2)对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解． 21．【解析】(1)由已知得()f x 的定义域为(0，+∞)，()f x '=1x+ax −(a +1)=2(1)1ax a x x -++． 当a =0时，()f x '=1x x-+，当x ∈(0，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减． 当a <0时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<0，因而当x ∈(0，1)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（3分）当0<a <1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a >1，因而当x ∈(0，1)与x ∈(1a，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增，当x ∈(1，1a)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（5分）当a =1时，()f x '=2(1)x x-≥0，因而当x ∈(0，+∞)时，()f x 单调递增．当a >1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<1，因而当x ∈(0，1a)与x ∈(1，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1a，1)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（7分） 综上所述，当a ≤0时，()f x 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减； 当0<a <1时，()f x 在(0，1)与(1a ，+∞)上单调递增，在(1，1a)上单调递减； 当a =1时，()f x 在(0，+∞)上单调递增；当a >1时，()f x 在(0，1a )与(1，+∞)上单调递增，在(1a ，1)上单调递减． (2)()g x = ()f x +x =ln x +2a 2x −ax ，则()g x 的定义域为(0，+∞)，()g x '=1x+ax −a =21ax ax x -+． 若()g x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 则方程a 2x −ax +1=0的判别式Δ=2a −4a >0， 且1x +2x =1，1x 2x =1a>0，（8分） 因而a >4，又1x <2x ，∴21x <1x 2x =1a ，即0<1x g (1x )−g (2x )=ln 1x +212a x −a 1x −ln 2x −222a x +a 2x =ln 1x +ln(a 1x )+2a−a 1x ．（10分） 设()h t =ln t +ln(at )+2a−at ，其中t =1x ∈(0，由()h t '=2t −a =0得t =2a ，由于2a 2a <0，∴()h t 在(0，2a )上单调递增，在(2a 上单调递减， 即()h t 的最大值为h (2a )=2ln 2−ln a +2a −2<2a−ln a ， 从而g (1x )−g (2x )<2a−ln a 成立． （12分）22．【解析】(1)将1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数，0<α<2π)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y−2=(x −12)tanα，即x tan α−y −12tan αα<2π)．将cos sin x y ρθθ=⎧⎨=⎩代入22cos 30ρρθ--=，得22230x y x +--=， 即曲线C 的直角坐标方程为22(1)4x y -+=．（5分）(2)设直线l 的普通方程为yk (x −12)，其中k =tan α， 又0<α<2π，∴k >0， 则直线l 过定点M (12，∵圆C 的圆心C (1，0)，半径r =2，|CM 2213(1)(0)22-+-， 故点M 在圆C 的内部．当直线l 与线段CM 垂直时，|AB |取得最小值，∴|AB |min =2|AM（10分）23．【解析】(1)由题意()|1|2|2|f x x x =++-4，当x −1时，−3x +34，即x −13，所以x −1； 当−1<x <2时，−x +54，即x 1，所以−1<x 1； 当x 2时，3x −34，即x 73，所以x 73． 综上，不等式()f x 4的解集为{x |x 1或x 73}．（5分）(2)()f x =33,15,1233,2x x x x x x -+-⎧⎪-+-<<⎨⎪-⎩≤≥，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知，当x =2时，()f x 取得最小值3，所以M =3，a +b =3．又a >0，b >0，所以24a b +=(24a b +)·3a b +=2+23b a +43ab ，当且仅当a −3，b 时，等号成立，所以24a b+的最小值为．（10分）。
2018届河北省(全国卷Ⅰ)高考仿真冲刺数学(理)卷(七)解析版
2018届河北省（全国卷Ⅰ）高考仿真冲刺数学（理）卷(七)解析版第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z=(a+1)+(a 2-3)i,若z<0,则实数a 的值是( ) (A) (B)1 (C)-1 (D)-答案D 由题意得a 2-3=0,解得a=± 3,而a+1<0,故a=- 3,故选D. 2.已知集合A={x|x-x 2≥0},B={x|y=lg(2x-1)},则A ∩B 等于( )(A)[0,12) (B)[0,1] (C)(12,1] (D)(12,+∞) 答案C A={x|x-x 2≥0}={x|0≤x ≤1},B= x |x >12 , 所以A ∩B=(12,1],故选C. 3.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 ,则AC 等于( ) (A)4 3 (B)2 3 (C) 3 (D) 32 答案B 本小题主要考查正弦定理,由BC sin A =ACsin B知AC=BC sin B sin A=3 2× 2232=2 3.4.已知a=21.2,b=(1)-0.2,c=2log 52,则a,b,c 的大小关系为( ) (A)b<a<c (B)c<a<b (C)c<b<a (D)b<c<a答案C 因为b= 12 -0.2=20.2<21.2=a,所以a>b>1.又因为c=2log 52=log 54<1,所以c<b<a,故选C.5.九江气象台统计,某年5月1日浔阳区下雨的概率为415,刮风的概率为215,既刮风又下雨的概率为110,设A 为下雨,B 为刮风,那么P(A|B)等于( ) (A)12 (B)34 (C)25 (D)38答案B 由题意P(B)=215,P(AB)=110,所以P(A|B)=P (AB )P (B )=110215=34,故选B. 6.已知直线x+y-a=0与圆x 2+y 2=2交于A,B 两点,O 为坐标原点,向量OA →,OB →满足条件|2OA →-3OB →|=|2OA →+3OB →|,则实数a 的值为( ) (A) 2 (B)- 2 (C)±1 (D)± 2 答案D 由题意,|2OA →-3OB →|=|2OA →+3OB →|,两边平方,可得-12OA →²OB →=12OA →²OB →,即OA →²OB →=0.所以∠AOB=90°, 直线x+y-a=0的斜率k=-1,直线必过(- ,0)或( ,0). 当x=- 2,y=0时,a= 2.当x= 2,y=0时,a=- 2.故选D.7.已知m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题,错误的命题是( )(A)若m ∥α,m ∥β,α∩β=n,则m ∥n (B)若α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,则m ⊥n (C)若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m ⊥α (D)若α∥β,m ∥α,则m ∥β 答案DA. 由m ∥α,m ∥β,α∩β=n,利用线面平行的判定与性质定理可得m ∥n,正确;B.由α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,利用线面、面面垂直的性质定理可得m ⊥n,正确.C.由α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,利用线面、面面垂直的性质定理可得m ⊥α,正确.D.由α∥β,m ∥α,则m ∥β或m ⊂β.因此不正确.故选D.8.阅读如图程序框图,如果输出k=5,那么空白的判断框中应填入的条件是( )(A)S>-25 (B)S<-26 (C)S<-25 (D)S<-24答案D 第一次执行循环体后,S=1,k=1,不满足输出的条件,k=2;第二次执行循环体后,S=0,k=2,不满足输出的条件,k=3; 第三次执行循环体后,S=-3,k=3,不满足输出的条件,k=4;第四次执行循环体后,S=-10,k=4,不满足输出的条件,k=5;第五次执行循环体后,S=-25,k=5,满足输出的条件,比较四个答案,可得条件为S<-24满足题意,故选D.9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各面中,面积最大的是( )(A)8 (B)4 5 (C)12 (D)16 答案C根据三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥ABCD, 且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中,所以,在三棱锥ABCD 中,BD=4 2,AC=AB= 42+22=2 5,AD= CD 2+A C 2=6,S △ABC =12³4³4=8.S △ADC =12³4³2 5=4 5,S △DBC =12³4³4=8,在三角形ABC 中,作CE ⊥AB 于E,连接DE,则CE=2 5=8 55,DE= DC 2+C E 2= 16+645, S △ABD =1³2 5³ 16+64=12.故选C.10.若函数f(x)=sin x(sin x- 3cos x)的图象向左平移π12个单位,得到函数g(x)的图象,则下列关于g(x)叙述正确的是( )(A)g(x)的最小正周期为2π (B)g(x)在[-π8,3π8]内单调递增 (C)g(x)的图象关于x=π12对称 (D)g(x)的图象关于(-π8,0)对称 答案C函数f(x)=sin x(sin x- 3cos x)=sin 2x- 3sin xcos x=12-12cos 2x- 32sin 2x=12-sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位,可得12-sin(2x+π6+π6)=12-sin(2x+π3)=g(x).最小正周期T=2π2=π,所以A 不对.由π≤2x+π≤3π,可得π≤x ≤7π,g(x)在[π,7π]内单调递增,所以B 不对;由2x+π=π+k π,可得x=π12+12k π,k ∈Z,当k=0时,可得g(x)的图象的对称轴为x=π12,所以C 对.由2x+π3=k π,k ∈Z,可得x=12k π-π6,k ∈Z,对称中心的横坐标为(12k π-π6,0),k ∈Z,所以D 不对.故选C.11.过双曲线x 2-y 215=1的右支上一点P,分别向圆C 1:(x+4)2+y 2=4和圆C 2:(x-4)2+y 2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为( ) (A)10 (B)13 (C)16 (D)19答案B 圆C 1:(x+4)2+y 2=4的圆心为(-4,0),半径为r 1=2;圆C 2:(x-4)2+y 2=1的圆心为(4,0),半径为r 2=1,设双曲线x 2-y 215=1的左右焦点为F 1(-4,0),F 2(4,0),连接PF 1,PF 2,F 1M,F 2N,可得|PM|2-|PN|2=(|PF 1|2-r 12)-(|PF 2|2-r 22)=(|PF 1|2-4)-(|PF 2|2-1)=|PF 1|2-|PF 2|2-3=(|PF 1|-|PF 2|)(|PF 1|+|PF 2|)-3 =2a(|PF 1|+|PF 2|)-3=2(|PF 1|+|PF 2|)-3≥2²2c-3=13. 当且仅当P 为右顶点时,取得等号,即最小值为13.故选B.12.关于x 的方程xln x-kx+1=0在区间[1e ,e]上有两个不等实根,则实数k 的取值范围是( )(A)(1,1+1e ] (B)(1,e-1] (C)[1+1e,e-1] (D)(1,+∞) 答案A关于x 的方程xln x-kx+1=0,即ln x+1x =k,令函数f(x)=ln x+1x ,若方程xln x-kx+1=0在区间[1e ,e]上有两个不等实根,即函数f(x)=ln x+1,与y=k 在区间[1,e]有两个不相同的交点,f ′(x)=1x -1x 2,令1x -1x 2=0可得x=1, 当x ∈[1e ,1)时f ′(x)<0,函数是减函数,当x ∈(1,e]时, f ′(x)>0,函数是增函数,函数的最小值为f(1)=1.F(1e )=-1+e,f(e)=1+1e.函数的最大值为e-1. 关于x 的方程xln x-kx+1=0在区间[1,e]上有两个不等实根,则实数k 的取值范围是(1,1+1e].故选A. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,1 ,那么这组数据的方差s 2可能的最大值是 . 解析:设这组数据的最后2个分别是10+x,y,则9+10+11+(10+x)+y=50, 得x+y=10,故y=10-x,故s 2=15 [1+0+1+x 2+(-x)2]=25+25x 2, 显然x 最大取9时,s 2最大是1645. 答案:1645 14.已知a=(12, 32),b=(2cos α,2sin α),a 与b 的夹角为60°, |a-2b|= .解析:a=(12, 32),b=(2cos α,2sin α),a 与b 的夹角为60°, 可得|a|= 14+34=1,|b|= 2α+4sin 2α=2, a ²b=|a|²|b|²cos 60°=1³2³12=1, 则|a-2b|= (a -2b )2= a 2+4b 2-4a ·b = 1+4×4−4×1= 13. 答案: 1315.已知不等式组 2x -y ≥0,x -y ≤0,y +x -k ≤0表示的平面区域的面积为43,则y x +1的取值范围为 .解析:画出不等式组 2x -y ≥0,x -y ≤0,y +x -k ≤0表示的平面区域,如图所示.由题意可知k>0,可行域的三个顶点为A(0,0),B(k 2,k 2),C(k 3,2k3), 因为AB ⊥BC,|AB|= 2k 2, 点C 到直线AB 的距离为 2k , 所以S △ABC =12AB ²BC=12³ 2k 2³ 2k 6=43,解得k=4,则B(2,2),C 43,83, 又y 的几何意义为点N(-1,0)与可行域内任一点P(x,y)连线的斜率,所以k NA ≤k ≤k NC , 因为k NA =0,k ≤k NC =87, 所以y x +1的取值范围为0,87. 答案: 0,8716.双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦点为F 1,F 2,其中F 2为抛物线C 2:y 2=2px(p>0)的焦点,设C 1与C 2的一个交点为P,若|PF 2|=|F 1F 2|,则C 1的离心率为 . 解析: 设P 位于第一象限,过P 向抛物线准线作垂线PH,则由抛物线定义,|PH|=|PF 2|=2c=|F 1F 2|, 则PF 2⊥F 1F 2,又P 在双曲线上, 则|PF 1|=2a+2c= 2²2c, 即a=( -1)c. 可得e=1+ . 答案:1+ 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,且满足a n+1=S n +2n+1(n ∈N *).(1)证明数列S n2n为等差数列;(2)求S1+S2+…+S n.(1)证明:由条件可知,S n+1-S n=S n+2n+1,即S n+1-2S n=2n+1,整理得S n+12n+1-S n2n=1,所以数列S n2n是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)可知,S n2n=1+n-1=n,即S n=n²2n,令T n=S1+S2+…+S n,T n=1²2+2²22+…+n²2n,①2T n=1²22+…+(n-1)²2n+n²2n+1,②①-②,-T n=2+22+…+2n-n²2n+1,整理得T n=2+(n-1)²2n+1.18.(本小题满分12分)如图,在圆柱中,矩形ABB1A1是圆柱的轴截面,CC1是圆柱的母线,AB=2,AA1=3,∠CAB=π3.(1)证明:AC1∥平面COB1;(2)在圆O所在的平面上,点C关于直线AB的对称点为D,求二面角D B1C B的余弦值.(1)证明:连接B1C1,BC1,设BC1∩B1C=M,连接MO,因为BB1CC1,所以四边形BB1C1C为平行四边形,所以M为BC1的中点,在△ABC1中,O为AB的中点,所以MO∥AC1,又AC1⊄平面B1CO,MO⊂平面B1CO,所以AC1∥平面COB1.(2)解:如图,因为AB 是圆O 的直径,所以AC ⊥BC.因为C 1C ⊥平面ABC,所以C 1C ⊥AC,C 1C ⊥BC, 又∠BAC=60°,AB=2,所以AC=1,BC= 3,AA 1=3,以点C 为坐标原点,分别以CA,CB,OC 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0, 3,0),C 1(0,0,3),O(12, 32,0),B 1(0, 3,3), 在圆O 上,C,D 关于直线AB 对称,△AOC 为正三角形,且OA=1,所以CD= 3OA= 3,∠ACD=30°,过点D 作DP ⊥x 轴,DQ ⊥y 轴,垂足分别为P,Q(图略),则CP=CD ²cos ∠ACD= 3³ 32=32, CQ=CD ²sin ∠ACD= 3³12= 32,所以D(32, 32,0),所以CD →=(32, 32,0), 设平面CDB 1的一个法向量n=(x,y,z),则 n ·CD →=3x + 3y =0,n ·CB 1→= 3y +3z =0,取y=- ,得n=(1,- ,1), 平面B 1BC 的一个法向量m=(1,0,0), 设二面角DB 1CB 的二面角为θ,则cos θ=|m ·n ||m |·|n |= 5= 55. 故二面角DB 1CB 的余弦值为 55.19.(本小题满分12分)某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为23. (1)求比赛三局甲获胜的概率; (2)求甲获胜的概率;(3)设甲比赛的次数为X,求X 的数学期望. 解:记甲n 局获胜的概率为 P n ,n=3,4,5,(1)比赛三局甲获胜的概率是P 3=C 33(23)3=827. (2)比赛四局甲获胜的概率是P 4=C 32(23)3(13)=827; 比赛五局甲获胜的概率是P 5=C 42(1)2(2)3=16;甲获胜的概率是P 3+P 4+P 5=6481. (3)记乙n 局获胜的概率为 P n ′,n=3,4,5.P 3′=C 33(13)3=127;P 4′=C 32(13)3(23)=227; P 5′=C 42(13)3(23)2=881.故甲比赛次数的分布列为所以甲比赛次数的数学期望是E(X)=3(127+827)+4(827+227)+5(1681+881)=10727. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 27−a 2=1(a>0)的焦点在x 轴上,且椭圆C 的焦距为2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点R(4,0)的直线l 与椭圆C 交于两点P,Q,过P 作PN ⊥x 轴且与椭圆C 交于另一点N,F 为椭圆C 的右焦点,求证:三点N,F,Q 在同一条直线上.(1)解:因为椭圆C:x 22+y22=1(a>0)的焦点在x 轴上,所以a 2>7-a 2,即a 2>72, 因为椭圆C 的焦距为2,且a 2-b 2=c 2, 所以a 2-(7-a 2)=1,解得a 2=4, 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)证明:由题知直线l 的斜率存在,设l 的方程为y=k(x-4),点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),N(x 1,-y 1), 则y =k (x -4),3x 2+4y 2=12,得3x 2+4k 2(x-4)2=12,即(3+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-12=0,Δ>0,x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2,由题可得直线QN 方程为y+y 1=y 2+y 1x 2-x1(x-x 1), 又因为y 1=k(x 1-4),y 2=k(x 2-4), 所以直线QN 方程为y+k(x 1-4)=k (x 2-4)+k(x 1-4)x 2-x1(x-x 1), 令y=0,整理得x=x 1x 2-4x 2-x 12+4x 1x 1+x 2-8+x 1=2x 1x 2-4(x 1+x 2)x 1+x 2-8=2×64k 2-123+4k 2-4×32k23+4k232k23+4k2-8=-243+4k232k 2-24-32k23+4k2=1, 即直线QN 过点(1,0),又因为椭圆C 的右焦点坐标为F(1,0), 所以三点N,F,Q 在同一条直线上.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax 2-a-ln x,其中a ∈R. (1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a 的所有可能取值,使得f(x)>1x-e 1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数). 解:(1)f ′(x)=2ax-1x =2ax 2-1x(x>0).当a ≤0时,f ′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减. 当a>0时,由f ′(x)=0,有x= 2a. 此时,当x ∈(0, 2a )时,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当x ∈( 2a,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增. (2)令g(x)=1x -1e x -1,s(x)=e x-1-x . 则s ′(x)=e x-1-1. 而当x>1时,s ′(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又由s(1) =0,有s(x)>0, 从而当x>1时,g(x)>0.当a ≤0,x>1时,f(x)=a(x 2-1)-ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<12时, 2a>1. 由(1)有f( 2a )<f(1)=0,而g( 2a)>0, 所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立. 当a ≥12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x ≥1), 当x>1时,h ′ (x)=2ax-1x +1x 2-e 1-x>x-1x +1x 2-1x =x 3-2x+1x 2>x 2-2x+1x 2>0,因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0, 即f(x)>g(x)恒成立.综上,a 的所有可能取值为[12,+∞) . 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是 x =−2+2cos θy =2sin θ(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=4sin θ. (1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标;(2)A,B 两点分别在曲线C 1与C 2上,当|AB|最大时,求△OAB 的面积(O 为坐标原点).解:(1)因为曲线C 1的参数方程是 x =−2+2cos θy =2sin θ(θ为参数), 所以曲线C 1的普通方程为(x+2)2+y 2=4. 又由曲线C 2的极坐标方程是ρ=4sin θ, 得ρ2=4ρsin θ,所以x 2+y 2=4y, 把两式作差,得y=-x, 代入x 2+y 2=4y,得2x 2+4x=0,解得 x =0,y =0或 x =−2,y =2,所以曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标为(0,0),(-2,2). (2)如图,由平面几何知识可知:当A,C 1,C 2,B 依次排列且共线时, |AB|最大,此时|AB|=2 +4, O 到AB 的距离为 , 所以△OAB 的面积为 S=12(2 2+4)³ 2=2+2 2. 23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.(1)若关于x 的不等式f(x)<g(x)有解,求实数a 的取值范围; (2)若关于x 的不等式f(x)<g(x)的解集为(b,72),求a+b 的值. 解:(1)当x=2时,g(x)=a-|x-2|取最大值为a,因为f(x)=|x+1|+|x-3|≥4,当且仅当-1≤x ≤3,f(x)取最小值4, 因为关于x 的不等式f(x)<g(x)有解, 所以a>4,即实数a 的取值范围是(4,+∞). (2)当x=7时,f(x)=5, 则g(72)=-72+a+2=5,解得a=132, 所以当x<2时,g(x)=x+92, 令g(x)=x+92=4,得x=-12∈(-1,3), 所以b=-12,则a+b=6.。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分. 1．已知复数z =2i 1i+ (i 为虚数单位)，则z·z = A ．2 B ．2 C ．1 D ．12 2．已知集合A ={x ∈Z |y =243x x --}，B ={a ，1}，若A ∩B =B ，则实数a 的值为A ．2B ．3C ．1或2或3D ．2或33．已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，c =a +b ，c ⊥a ，则a ·b =A ．−2B ．−1C ．1D ．24．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求5次多项式()f x =5432543210a x a x a x a x a x a +++++当0x x =(0x 是任意实数)时的值的过程，若输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，则输出的v 的值为A ．984B ．985C ．986D ．9875．若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线2x +y +b =0对称，则点(k ，b )所在的圆为 A ．(x −12)2+(y +5)2=1 B ．(x −12)2+(y −5)2=1 C ．(x +12)2+(y −5)2=1 D ．(x +12)2+(y +5)2=1 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8π+2B ．8π+4C ．7π+4D ．8π7．已知命题p ：“a =2”是“直线1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1)y +a 2−1=0平行”的充要条件，命题q ：“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*且0()f n ≤20n ”，则下列命题为真命题的是A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )8．已知实数x ，y 满足约束条件40431208240x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤，则21y x -+的最大值是 A ．56 B ．65C ．1D ．29．已知a ，b ，l 表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为:①若a ⊥α，b ⊥β，l ⊥γ，a ∥b ∥l ，则α∥β∥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l ，则l ⊥γ；③若a ⊂α，b ⊂β，α∩β=a ，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥β；④若a ，b 为异面直线，a ⊥α，b ⊥β，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，l ⊄β，则α与β相交，且交线平行于l ．A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④10．已知函数()f x =sin()A x ωϕ+(A >0，ω>0， |ϕ|<2π)的导函数()f x '的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数的单调递增区间是A ．[−12π+k π，512π+k π](k ∈Z) B ．[512π+k π，1112π+k π](k ∈Z) C ．[−12π+2k π，512π+2k π](k ∈Z) D ．[512π+2k π，1112π+2k π](k ∈Z) 11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，若(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018，(2017a −2)5+2017(2017a −2)3+2018(2017a −2)=−2018，则下列四个命题中真命题的序号为①2017S =4034；②2018S =4036；③2017S <2S ；④2017a −2a <0．A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④12．已知函数()f x =1,01,0x x e x m x ex m x --⎧-+>⎪⎨--+≤⎪⎩有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为 A ．(1，2e +1) B ．(1，1e+1) C ．(2e ，1) D ．(0，2e ) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若()f x =(21)221x x a +-+是R 上的奇函数，则实数a 的值为 ． 14．已知cos(2π+α)=2cos(π−α)，则2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-= ． 15．某校2017年元旦晚会对2个相声和5个小品安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有 种．16．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为2π的直线l 过2F 且与双曲线交于M ，N 两点，且1F MN ∆是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设数列{n a }的前n 项和为n S ，满足3S =9，n S =n 1n a +−n (n +1)，n ∈N *．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)记n b =n a ×1(2n a +），求数列{n b }的前n 项和n T ． 18．(本小题满分12分)某中学高三年级共有学生1 000人，将某次模拟考试的数学成绩(满分150分，所有成绩均不低于70分)按[70，80)，[80，90)，…，[140，150]分成8组，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)求x 的值；(2)试估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数；(3)为了研究低分学生的失分情况，3位教师分别在自己电脑上从成绩在[80，100)内的试卷中随机抽取1份进行分析，每人抽到的试卷是相互独立的，ξ为抽到的成绩在[90，100)内的试卷数，写出ξ的分布列，并求数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P −ABCD 中，E 是棱PC 上一点，且2AE AC AP =+，底面ABCD 是边长为2的正方形，∆PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点F ．(1)求证：平面ABE ⊥平面PCD ；(2)求二面角A −BE −C 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =12，抛物线E ：24y x =的焦点恰好是椭圆C 的右焦点F ． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在的直线1l ，2l ，1l 交椭圆C 于点A ，B ，2l 交椭圆C 于点G ，H ，若|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，求|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln x +2a 2x −(a +1)x ． (1)判断()f x 的单调性；(2)若函数()g x =()f x +x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )，求证：g (1x )−g (2x )<2a −ln a ． 选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数，0<α<2π)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的最小值．23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()|1|2|2|f x x x =++-．(1)解不等式()4f x ≥；(2)设()f x 的最小值为M ，如果正实数a ，b 满足a +b =M ，试求24a b+的最小值．；。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)答案1．B 【解析】通解 z =2i 1i +=2i(1i)(1i)(1i)-+-=1+i ，z =1−i ，z·z =2，故选B ．优解 由题意知|z|=|2i ||1i |+z·z =|z|2，得z·z =2，故选B ．2．D 【解析】由题意知，A ={x ∈Z |y =，2，3}，且B ={a ，1}，由A ∩B =B ，知B ⊆A ，则实数a 的值为2或3，故选D ．3．B 【解析】由c ⊥a 得c ·a =0，又c =a +b ，∴c ·a =(a +b )·a =a 2+a ·b =1+a ·b =0，∴a ·b =−1，故选B ．4．C 【解析】执行程序框图，输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，经过第1次循环得v =13，n =2；经过第2次循环得v =35，n =3；经过第3次循环得v =111，n =4；经过第4次循环得v =328，n =5；经过第5次循环得v =986，n =6，退出循环．故输出的v 的值为986．故选C ．5．A 【解析】由题意知直线y =kx 与直线2x +y +b =0互相垂直，所以k =12．又圆上两点关于直线2x +y +b =0对称，故直线2x +y +b =0过圆心(2，0)，所以b =−4，结合选项可知，点(12，−4)在圆(x −12)2+(y +5)2=1上，故选A ．6．B 【解析】依题意，该几何体是底面直径为2，高为4的圆柱截去一个底面直径为2，高为2的半圆柱后所得到的几何体，其表面积为2π×1×2+π×1×2+2×2+2×π×12= 8π+ 4，故选B ．7．D 【解析】由1l ∥2l 得a (a −1)=2，解得a =2或a =−1，故“a =2”是“直线 1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1) y +a 2−1=0平行”的充分不必要条件，则p 是假命题，¬p 是真命题；“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*或0()f n ≤20n ”，故q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，(¬p )∧q ，p ∧(¬q )均为假命题，(¬p )∧(¬q )为真命题，选D ．8．D 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (0，4)，B (3，0)，C (4，8)．令k =21y x -+，k 的几何意义是可行域内的点M (x ，y )与定点P (−1，2)连线的斜率，故当直线y −2=k (x +1)过点A (0，4)时，k max =4201-+=2，故选D ．9．A 【解析】对于①，a ，b ，l 就相当于平面α，β，γ的法线，因为a ∥b ∥l ，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a ∥b ，由线面垂直的判定定理可知，直线l 不一定垂直于β，只有当a 与b 相交时，l ⊥β，所以③不正确；对于④，由a ⊥α，l ⊥a ，且l ⊄α，得l ∥α．又b ⊥β，l ⊥b ，l ⊄β，所以l ∥β．由直线a ，b 为异面直线，且a ⊥α，b ⊥β，得α与β相交，否则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l ，所以④正确．10．A 【解析】∵()f x =sin()A x ωϕ+，∴()f x '=cos()A x ωωϕ+，由题图知，()f x '的最小正周期为π， ∴ω=2，又A ω=1，∴A =12，又()3f π'=0，∴cos(2×3π+ϕ)=0， ∴2×3π+ϕ=2π+k π，k ∈Z ， 又|ϕ|<2π，∴ϕ=−6π，因此()f x =12sin(2x −6π)．将函数()f x =12sin(2x −6π)的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数为y=12sin(2x −3π)，由−2π+2k π 2x −3π 2π+2k π(k ∈Z)，解得−12π+k π x 512π+k π(k ∈Z)，∴函数y=12sin(2x −3π)的单调递增区间为[−12π+k π，512π+k π](k ∈Z)，故选A ．11．C 【解析】构造函数()f x =5x +2 0173x +2 018x ，∵()f x 为奇函数且单调递增，依题意有2(2)f a -=2 018，2017(2)f a -=−2 018，∴(2a −2)+(2017a − 2)=0， ∴2a +2017a =4．又2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，∴数列{}n a 为等差数列，且公差d ≠0，∴1a +2018a =2a +2017a =4， 则2018S =120182018()2a a +=4036，②正确；∵公差d ≠0，故2017a ≠2018a ，2017S =120172017()2a a +≠4034，①错误；由题意知2a >2，2017a <2，∴d <0， 2017S =2018S −2018a =4036−(4−1a )=4032+1a ，2S =1a +2a ，若2017S <2S ，则2a >4032，而此时(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018不成立，因此③错误；∵2a >2，2017a <2，∴2017a −2a <0，④正确．故选C ．12．A 【解析】函数()f x=1,01,0em x e m x --⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩有三个不同的零点等价于方程()f x =0有三个不同的实根，当x ≤0时，()f x =xe-m +1，设()g x =xe-x ≤0，则()g x =x e-()g x min =g (0)=0；当x >0时，()f x =xe-m +1，设()h x =xe-x >0，则()h x '， 当x >12时，()h x '<0，当0<x <12时，()h x '>0，故()h x 在(0，12)上单调递增，在(12，+∞)上单调递减，所以()h x 极大值=h (12． 分别画出()g x =xe-x ≤0)与()h x =x e-x >0)的大致图象如图所示，由题意得0<m −1<mA ．13．1【解析】∵函数()f x 是R 上的奇函数，∴(0)f =0，∴222a -=0，解得a =1． 14．3【解析】通解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，又cos 2α+sin 2α=1，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3．优解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，所以2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3cos cos αα--=3．15．1 320【解析】若第一个节目排相声甲，有66A =720种排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有1555A A =600种排法．根据加法计数原理可得共有720+600=1 320种排法．16．y =【解析】由题意知，2F (c ，0)，cM (c ，M y )，由2222M y c a b -=1得2M y =2b ×(22c a −1)=42b a ，|M y |=2b a．因为1F MN ∆是等边三角形，所以2cM y |，222b c a ac a c -==，即22c a --=0，得c a =2c =32a ，又2a +2b =2c ，所以2b =22a ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，故双曲线的渐近线方程为y =．17．【解析】(1)由题意得，121231232269S a a a a a a a =-⎧⎪+=-⎨⎪++=⎩，解得1a =1，2a =3，3a =5，（1分）当n ≥2时，1n S -=(n −1)n a −(n −1)n ， 所以n a =n 1n a +−n (n +1)−(n −1)n a +(n −1)n ， 即1n a +−n a =2．（3分）又2a −1a =2，因而数列{n a }是首项为1，公差为2的等差数列， 从而n a =2n −1． （5分） (2)由(1)知n b =n a ×1n a +=(2n −1)×2n，n T =1×21+3×22+5×23+…+(2n −3)×12n -+(2n −1)×2n ，2n T =1×22+3×23+5×24+…+(2n −3)×2n+(2n − 1)×12n +．两式相减得−n T =1×21+ 2×22+ 2×23+…+2×2n−(2n −1)×12n +=−2+2×(21+22+23+ (2))−(2n − 1)×12n +=−2+2×2(12)12n ⨯--−(2n −1)×12n +=−2+22n +−4−(2n −1)×12n +=−6−(2n −3)×12n +．所以n T =6+(2n −3)×12n +．（12分）【备注】高考对数列的考查难度不大，以基本题型为主，常常围绕等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式等进行设置，而求和类型以错位相减法、裂项相消法为考查热点，数列的递推关系以及n S 与n a 的关系(即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩)更是常考常新，对考生分析与转化能力有较高的要求，对于基本运算能力的要求更为突出． 18．【解析】(1)由(0.002+ 0.005+0.008+2x + 2×0.02+0.025)×10=1，得x =0.01．（2分）(2)由(1)得成绩在[130，150]内的频率为(0.01+0.008)×10=0.18，估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数为1 000×0.18=180． （6分）(3)由图得成绩在[80，100)内的试卷数为1 000×(0.01+0.005)×10=150，其中成绩在[80，90)内的试卷数为50，成绩在[90，100)内的试卷数为100，从中任取1份试卷，则成绩在[80，90)内的概率为5011503=，成绩在[90，100)内的概率为10021503=．（8分） 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，故P(ξ=0)=03C ×02()3×31()3=127，P(ξ=1)=13C ×23×21()3=29，P(ξ=2)=23C ×22()3×13=49，P(ξ=3)=33C ×32()3×01()3=827．（10分） 所以ξ的分布列为由于ξ~B (3，23)，所以Eξ=3×3=2．（12分）【备注】高考对概率与统计的考查常以对立事件、互斥事件、相互独立事件等知识为载体，综合考查事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望，有时也与抽样方法(系统抽样、分层抽样)、频率分布直方图等知识结合构成综合性问题来考查．求解时要分清事件的类型以及事件之间的关系，正确选用公式．19．【解析】(1)在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴CD ⊥平面P AD ．又AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ．（2分） ∵底面ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ． 又A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD =EF ， ∴AB ∥EF ，∴CD ∥EF ．又2AE AC AP =+，∴E 为棱PC 的中点，F 是棱PD 的中点．∵△P AD 是正三角形，∴AF ⊥PD ．又PD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD ， ∵AF ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．（5分）(2)取AD 的中点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (−1，2，0)，P (0，0，E (−12，12)，AE =(−32，1，2)，BE =(−32，−1，2)，CB =(2，0，0)．（7分）设平面ABE 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则m ⊥AE ，m ⊥BE，∴m ·AE =−321x +1y +21z =0，m ·BE =−321x −1y 1z =0，解得1y =0，1z 1x ，令1x =1，则m =(1，0为平面ABE 的一个法向量．（9分）设平面BEC 的法向量为n =(2x ，2y ，2z )，则n ⊥BE，n ⊥CB ，∴n ·BE =−322x −2y +22z =0，n ·CB =22x =0，得2x =0，2y =22z ，令2z =2，则n =(02)为平面BEC 的一个法向量．（11分）∴cos<m ，n >=||||⋅=m n m n ， 由图知二面角A −BE −C 为钝角，∴二面角A −BE −C 的余弦值为−7．（12分） 20．【解析】(1)依题意得椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，即c =1，又e =c a =12，∴a =2，2b =3， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（3分） (2)∵|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，∴|AF |2=|AH |2−|FH |2，即|AF |2+|FH |2=|AH |2，∴直线1l ⊥2l ．（5分） 又直线1l ，2l 的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零， 故可设直线1l ：x =ky +1(k ≠0)，直线2l ：x =−1ky +1，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，G (3x ，3y )，H (4x ，4y )，由221431x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得(32k +4)2y +6ky −9=0， ∴122122634934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，同理得3422342634934k y y k ky y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，（8分） ∴|AF |·|FB2k )|12y y |，|GF |·|FH21k )|34y y |， ∴|AF |·|FB |+|GF |·|FH |=(1+2k )|12y y |+(1+21k )|34y y | =(1+2k )·2934k ++(1+21k )·22934k k +=9(1+2k )·(2134k ++2134k +)=2222222263(1)6312(1)12(1)k k k kk +=++++=226311212k k+++，又2k >0，∴2k +21k≥2，当且仅当2k =1时取等号，（11分） 故|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值为367．（12分）【备注】解决此类问题的一般步骤：(1)利用定义、各基本量之间的关系与圆锥曲线的性质，得到关于基本量的方程(组)，解方程(组)，求出基本量的值，从而得到圆锥曲线的方程；(2)对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解．21．【解析】(1)由已知得()f x 的定义域为(0，+∞)，()f x '=1x +ax −(a +1)=2(1)1ax a x x-++． 当a =0时，()f x '=1x x-+，当x ∈(0，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减． 当a <0时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<0，因而当x ∈(0，1)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（3分）当0<a <1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a >1，因而当x ∈(0，1)与x ∈(1a，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增，当x ∈(1，1a)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（5分）当a =1时，()f x '=2(1)x x-≥0，因而当x ∈(0，+∞)时，()f x 单调递增．当a >1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<1，因而当x ∈(0，1a)与x ∈(1，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1a，1)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（7分） 综上所述，当a ≤0时，()f x 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减； 当0<a <1时，()f x 在(0，1)与(1a ，+∞)上单调递增，在(1，1a)上单调递减； 当a =1时，()f x 在(0，+∞)上单调递增；当a >1时，()f x 在(0，1a )与(1，+∞)上单调递增，在(1a ，1)上单调递减． (2)()g x = ()f x +x =ln x +2a 2x −ax ，则()g x 的定义域为(0，+∞)，()g x '=1x +ax −a =21ax ax x-+． 若()g x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 则方程a 2x −ax +1=0的判别式Δ=2a −4a >0， 且1x +2x =1，1x 2x =1a>0，（8分） 因而a >4，又1x <2x ，∴21x <1x 2x =1a ，即0<1xg (1x )−g (2x )=ln 1x +212a x −a 1x −ln 2x −222a x +a 2x =ln 1x +ln(a 1x )+2a−a 1x ．（10分）设()h t =ln t +ln(at )+2a −at ，其中t =1x ∈(0， 由()h t '=2t −a =0得t =2a ，由于2a<0， ∴()h t 在(0，2a )上单调递增，在(2a上单调递减， 即()h t 的最大值为h (2a )=2ln 2−ln a +2a −2<2a−ln a ， 从而g (1x )−g (2x )<2a−ln a 成立． （12分） 22．【解析】(1)将1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数，0<α<2π)消去参数t ，得直线l 的普通方程为yx −12)tan α，即x tan α−y −12tan α=0(0<α<2π)．将cos sin x y ρθθ=⎧⎨=⎩代入22cos 30ρρθ--=，得22230x y x +--=，即曲线C 的直角坐标方程为22(1)4x y -+=．（5分）(2)设直线l 的普通方程为y−2=k (x −12)，其中k =tan α，又0<α<2π，∴k >0，则直线l 过定点M (12，∵圆C 的圆心C (1，0)，半径r =2，|CM，故点M 在圆C 的内部．当直线l 与线段CM 垂直时，|AB |取得最小值， ∴|AB |min =2|AM（10分）23．【解析】(1)由题意()|1|2|2|f x x x =++- 4，当x −1时，−3x +3 4，即x −13，所以x −1；当−1<x <2时，−x +5 4，即x 1，所以−1<x 1； 当x 2时，3x −3 4，即x 73，所以x 73．综上，不等式()f x 4的解集为{x |x 1或x 73}．（5分）(2)()f x =33,15,1233,2x x x x x x -+-⎧⎪-+-<<⎨⎪-⎩≤≥，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知，当x =2时，()f x 取得最小值3，所以M =3，a +b =3．又a >0，b >0，所以24a b +=(24a b +)·3a b +=2+23b a +43a b2+3，当且仅当a 3，b =6−所以24a b 的最小值为．（10分）。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)含解析
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知复数z =(i 为虚数单位)，则z·=2i1i+zAB ．2C ．1D ．122．已知集合A ={x ∈Z |y }，B ={a ，1}，若A ∩B =B ，则实数a 的值为A ．2B ．3C ．1或2或3D ．2或33．已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，c =a +b ，c ⊥a ，则a ·b =A ．−2B ．−1C ．1D ．24．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求5次多项式=当(是任意实数)时的值()f x 5432543210a x a x a x a x a x a +++++0x x =0x 的过程，若输入=2，=−5，=6，=−4，=7，=2，，则输出的的值为0a 1a 2a 3a 4a 5a 03x =vA ．984B ．985C ．986D ．9875．若直线与圆的两个交点关于直线2x +y +b =0对称，则点(k ，b )所在的圆为y kx =22(2)1x y -+=A ．(x −)2+(y +5)2=1 B ．(x −)2+(y −5)2=11212C ．(x +)2+(y −5)2=1 D ．(x +)2+(y +5)2=112126．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8π+2B ．8π+4C ．7π+4D ．8π7．已知命题p ：“a =2”是“直线：ax +2y −6=0与直线：x +(a −1)y +a 2−1=0平行”的充要条件，命题1l 2l q ：“n ∈N*，∈N*且>2n ”的否定是“∈N*，N*且≤2”，则下列命∀()f n ()f n ∃0n 0()f n ∉0()f n 0n 题为真命题的是A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )8．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值是40431208240x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤21y x -+A ．B ．C ．1D ．256659．已知a ，b ，l 表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为①若a ⊥α，b ⊥β，l ⊥γ，a ∥b ∥l ，则α∥β∥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l ，则l ⊥γ；③若a α，b β，α∩β=a ，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥β；⊂⊂④若a ，b 为异面直线，a ⊥α，b ⊥β，l ⊥a ，l ⊥b ，α，β，则α与β相交，且交线平行于l ．l ⊄l ⊄A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④10．已知函数=(A >0，>0，||<)的导函数的部分图象如图所示，将函数()f x sin()A x ωϕ+ωϕ2π()f x '的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数的单调递增区间是()f x 12πA ．[−+，+](∈Z)B ．[+，+](∈Z)12πk π512πk πk 512πk π1112πk πk C ．[−+2，+2](∈Z)D ．[+2，+2](∈Z)12πk π512πk πk 512πk π1112πk πk 11．已知为数列的前n 项和，且2=+(m ∈N*，m ≥2)，n S {}n a m a 1m a -1m a +若(−2)5+2017(−2)3+2018(−2)=2018，2a 2a 2a (−2)5+2017(−2)3+2018(−2)=−2018，2017a 2017a 2017a 则下列四个命题中真命题的序号为①=4034；②=4036；③<；④−<0．2017S 2018S 2017S 2S 2017a 2a A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④12．已知函数=有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为()f x 1,01,0em x e m x --⎧+>⎪⎨-+≤⎪⎩A ．(1+1) B ．(1，+1) C ．，1) D ．(0)1e二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若=是R 上的奇函数，则实数a 的值为．()f x (21)221x x a +-+14．已知cos(+α)=2cos(π−α)，则=．2π2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-15．某校2017年元旦晚会对2个相声和5个小品安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有种．16．已知双曲线 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线过且与双曲22221x y a b -=1F 2F 2πl 2F 线交于M ，N 两点，且是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 ．1F MN ∆三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设数列{}的前n 项和为，满足=9，=n −n (n +1)，n ∈N *．n a n S 3S n S 1n a +(1)求数列{}的通项公式；n a(2)记=×，求数列{}的前n 项和．n b n a 1na +nb n T 18．(本小题满分12分)某中学高三年级共有学生1 000人，将某次模拟考试的数学成绩(满分150分，所有成绩均不低于70分)按[70，80)，[80，90)，…，[140，150]分成8组，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)求x 的值；(2)试估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数；(3)为了研究低分学生的失分情况，3位教师分别在自己电脑上从成绩在[80，100)内的试卷中随机抽取1份进行分析，每人抽到的试卷是相互独立的，ξ为抽到的成绩在[90，100)内的试卷数，写出ξ的分布列，并求数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P −ABCD 中，E 是棱PC 上一点，且2，底面ABCD 是边长为2的正AE AC AP =+方形，PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点F ．∆(1)求证：平面ABE ⊥平面PCD ；(2)求二面角A −BE −C 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：(a >b >0)的离心率e =，抛物线E ：的焦点恰好是椭圆C 的右焦点22221x y a b +=1224y x =F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在的直线，，交椭圆C 于点A ，B ，交椭圆C 于点G ，H ，若|AF |是1l 2l 1l 2l |AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，求|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数=ln x +−(a +1)x ．()f x 2a 2x (1)判断的单调性；()f x (2)若函数=+x 有两个极值点，(<)，()g x ()f x 1x 2x 1x 2x 求证：g ()−g ()<−ln a ．1x 2x 2a选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为 (为参数，0<α<)，以坐标原点l 1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 2πO 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．22cos 30ρρθ--=(1)求直线的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；l (2)若直线与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的最小值．l 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数．()|1|2|2|f x x x =++-(1)解不等式；()4f x ≥(2)设的最小值为M ，如果正实数a ，b 满足a +b =M ，试求的最小值．()f x 24a b+2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)答案1．B 【解析】通解 z ===1+i ，=1−i ，z·=2，故选B ．2i 1i +2i(1i)(1i)(1i)-+-z z优解 由题意知|z|=，利用性质z·=|z|2，得z·=2，故选B ．|2i ||1i |+z z2．D 【解析】由题意知，A ={x ∈Z |y }={1，2，3}，且B ={a ，1}，由A ∩B =B ，知B A ，则⊆实数a 的值为2或3，故选D ．3．B 【解析】由c ⊥a 得c ·a =0，又c =a +b ，∴c ·a =(a +b )·a =a 2+a ·b =1+a ·b =0，∴a ·b =−1，故选B ．4．C 【解析】执行程序框图，输入=2，=−5，=6，=−4，=7，=2，，经过第1次循0a 1a 2a 3a 4a 5a 03x =环得=13，n =2；经过第2次循环得=35，n =3；经过第3次循环得=111，n =4；经过第4次循环v v v 得=328，n =5；经过第5次循环得=986，n =6，退出循环．故输出的的值为986．故选C ．v v v 5．A 【解析】由题意知直线y =kx 与直线2x +y +b =0互相垂直，所以k =．又圆上两点关于直线2x +y +b =012对称，故直线2x +y +b =0过圆心(2，0)，所以b =−4，结合选项可知，点(，−4)在圆(x −)2+(y +5)2=11212上，故选A ．6．B 【解析】依题意，该几何体是底面直径为2，高为4的圆柱截去一个底面直径为2，高为2的半圆柱后所得到的几何体，其表面积为2π×1×2+π×1×2+2×2+2×π×12= 8π+ 4，故选B ．7．D 【解析】由∥得a (a −1)=2，解得a =2或a =−1，故“a =2”是“直线：ax +2y −6=0与直线：1l 2l 1l 2l x +(a −1) y +a 2−1=0平行”的充分不必要条件，则p 是假命题，¬p 是真命题；“n ∈N*，∈N*且∀()f n >2n ”的否定是“∈N*，N*或≤2”，故q 是假命题，¬q 是真命题．所以()f n ∃0n 0()f n ∉0()f n 0n p ∧q ，(¬p )∧q ，p ∧(¬q )均为假命题，(¬p )∧(¬q )为真命题，选D ．8．D 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (0，4)，B (3，0)， C (4，8)．令k =，k 的几何意义是可行域内的点M (x ，y )与定点P (−1，2)连线的斜率，故当直线y −2=k (x +1)过21y x -+点A (0，4)时，k max ==2，故选D ．4201-+9．A 【解析】对于①，a ，b ，l 就相当于平面α，β，γ的法线，因为a ∥b ∥l ，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a ∥b ，由线面垂直的判定定理可知，直线l 不一定垂直于β，只有当a 与b 相交时，l ⊥β，所以③不正确；对于④，由a ⊥α，l ⊥a ，且l α，得l ∥α．又⊄b ⊥β，l ⊥b ，l β，所以l ∥β．由直线a ，b 为异面直线，且a ⊥α，b ⊥β，得α与β相交，否则⊄a ∥b ，与a ，b 异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l ，所以④正确．10．A 【解析】∵=，∴=，()f x sin()A x ωϕ+()f x 'cos()A x ωωϕ+由题图知，的最小正周期为π，()f x '∴=2，又=1，∴A =，又=0，∴cos(2×+)=0，ωA ω12(3f π'3πϕ∴2×+=+，k ∈Z ，3πϕ2πk π又||<，∴=−，因此=sin(2x −)．ϕ2πϕ6π()f x 126π将函数=sin(2x −)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数()f x 126π12π为y=sin(2x −)，由−+2 2x − +2(∈Z)，123π2πk π3π2πk πk 解得−+ x +(∈Z)，12πk π512πk πk ∴函数y=sin(2x −)的单调递增区间为[−+，+](∈Z)，故选A ．123π12πk π512πk πk 11．C 【解析】构造函数=+2 017+2 018x ，∵为奇函数且单调递增，()f x 5x 3x ()f x 依题意有=2 018，=−2 018，∴(−2)+(− 2)=0，2(2)f a -2017(2)f a -2a 2017a ∴+=4．又2=+(m ∈N*，m ≥2)，2a 2017a m a 1m a -1m a +∴数列为等差数列，且公差d ≠0，∴+=+=4，{}n a 1a 2018a 2a 2017a 则==4036，②正确；∵公差d ≠0，故≠，2018S 120182018()2a a +2017a 2018a =≠4034，①错误；由题意知>2，<2，∴d <0，2017S 120172017()2a a +2a 2017a =−=4036−(4−)=4032+，=+，2017S 2018S 2018a 1a 1a 2S 1a 2a 若<，则>4032，而此时(−2)5+2017(−2)3+2018(−2)=2018不成立，因此③错误；∵2017S 2S 2a 2a 2a 2a >2，<2，∴−<0，④正确．故选C ．2a 2017a 2017a 2a12．A 【解析】函数=有三个不同的零点等价于方程=0有三个不同的实()f x 1,01,0em x e m x --⎧+>⎪⎨-+≤⎪⎩()f x根，当x ≤0时，=−m +1，()f x xe -设=，x ≤0，则=为减函数，min =g (0)=0；()g xxe-()g x x e -()gx 当x >0时，=−m +1，()f x xe -设=，x >0，则，()h x xe-()h x '当x >时，<0，当0<x <时，>0，故在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递12()h x '12()h x '()h x 1212减，所以极大值=h (．()h x 12分别画出=(x ≤0)与=x >0)的大致图象如图所示，由题意得0<m，()g x xe-()h x x e-即1<m A ．13．1【解析】∵函数是R 上的奇函数，∴=0，∴=0，解得a =1．()f x (0)f 222a -14．3【解析】通解 由cos(+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，又cos 2α+sin 2α=1，2π所以，sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则==3．2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-2sin cos cos sin αααα-+-优解 由cos(+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，2π所以===3．2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-2sin cos cos sin αααα-+-3cos cos αα--15．1 320【解析】若第一个节目排相声甲，有=720种排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不66A 能排相声甲，有=600种排法．根据加法计数原理可得共有720+600=1 320种排法．1555A A16．【解析】由题意知， (c ，0)，c，设M (c ，)，y =2F M y 由=1得=×(−1)=，||=．因为是等边三角形，所以2222M y c a b -2M y 2b 22ca 42b a My 2b a1F MN ∆2c =||，即=0，得=3，又M y 222b c a ac ac -==22c a ac -c a =2c 2a +=，所以=2，双曲线的渐近线方程为，故双曲线的渐近线方程2a 2b 2c 2b 2a by x a=±为．y =17．【解析】(1)由题意得，，解得=1，=3，=5，（1分）121231232269S a a a a a a a =-⎧⎪+=-⎨⎪++=⎩1a 2a 3a 当n ≥2时，=(n −1)−(n −1)n ，1n S -n a 所以=n −n (n +1)−(n −1)+(n −1)n ，n a 1n a +n a 即−=2．（3分）1n a +n a 又−=2，因而数列{}是首项为1，公差为2的等差数列，2a 1a n a 从而=2n −1． （5分）n a (2)由(1)知=)=(2n −1)×，n b n a 1n a +2n=1×21+3×22+5×23+…+(2n −3)×+(2n −1)×，n T 12n -2n 2=1×22+3×23+5×24+…+(2n −3)×+(2n − 1)×．n T 2n12n +两式相减得−=1×21+ 2×22+ 2×23+…+2×−(2n −1)×n T 2n12n +=−2+2×(21+22+23+…+)−(2n − 1)×2n12n +=−2+2×−(2n −1)×2(12)12n ⨯--12n +=−2+−4−(2n −1)×=−6−(2n −3)×．22n +12n +12n +所以=6+(2n −3)×．（12分）n T 12n +【备注】高考对数列的考查难度不大，以基本题型为主，常常围绕等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式等进行设置，而求和类型以错位相减法、裂项相消法为考查热点，数列的递推关系以及与的关系(即)更是常考常新，对考生分析与转化能力有较高的要求，对于n S n a 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩基本运算能力的要求更为突出．18．【解析】(1)由(0.002+ 0.005+0.008+2x + 2×0.02+0.025)×10=1，得x =0.01．（2分）(2)由(1)得成绩在[130，150]内的频率为(0.01+0.008)×10=0.18，估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数为1 000×0.18=180． （6分）(3)由图得成绩在[80，100)内的试卷数为1 000×(0.01+0.005)×10=150，其中成绩在[80，90)内的试卷数为50，成绩在[90，100)内的试卷数为100，从中任取1份试卷，则成绩在[80，90)内的概率为，成绩在[90，100)内的概率为．（8分）5011503=10021503=由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，故P(ξ=0)=××=，03C 02(331(3127P(ξ=1)= ××=，13C 2321(329P(ξ=2)=××=，23C 22(31349P(ξ=3)=××=．（10分）33C 32()301()3827所以ξ的分布列为ξ0123P1272949827由于ξ~B (3，)，所以Eξ=3×=2．（12分）2323【备注】高考对概率与统计的考查常以对立事件、互斥事件、相互独立事件等知识为载体，综合考查事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望，有时也与抽样方法(系统抽样、分层抽样)、频率分布直方图等知识结合构成综合性问题来考查．求解时要分清事件的类型以及事件之间的关系，正确选用公式．19．【解析】(1)在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴CD ⊥平面PAD ．又AF 平面PAD ，∴CD ⊥AF ．（2分）⊂∵底面ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，又AB 平面PCD ，CD 平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ．⊄⊂又A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD =EF ，∴AB ∥EF ，∴CD ∥EF ．又2，∴E 为棱PC 的中点，F 是棱PD 的中点．AE AC AP =+ ∵△PAD 是正三角形，∴AF ⊥PD ．又PD ，CD 平面PCD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD ，⊂∵AF 平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．（5分）⊂(2)取AD 的中点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (−1，2，0)，P (0，0)，E (−，1)，=(−，1)，12AE 32=(−，−1)，=(2，0，0)．（7分）BE 32CB 设平面ABE 的法向量为m =(，，)，则m ⊥，m ⊥，1x 1y 1z AE BE∴m ·=−+=0，AE 321x 1y 1zm ·=−−=0，BE 321x 1y 1z解得=0，，1y 1z 1x令=1，则m =(1，0)为平面ABE 的一个法向量．（9分）1x 设平面BEC 的法向量为n =(，，)，则n ⊥，n ⊥，2x 2y 2z BE CB∴n ·=−−=0，n ·=2=0，得=0，，BE 322x 2y 2z CB 2x 2x 2y 2z令=2，则n =(0，2)为平面BEC 的一个法向量．（11分）2z ∴cos<m ，n >=，||||⋅=m n m n 由图知二面角A −BE −C 为钝角，∴二面角A−BE −C 的余弦值为．（12分）20．【解析】(1)依题意得椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，即c =1，又e ==，∴a =2，=3，c a 122b 故椭圆C 的标准方程为．（3分）22143x y +=(2)∵|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，∴|AF |2=|AH |2−|FH |2，即|AF |2+|FH |2=|AH |2，∴直线⊥．（5分）1l 2l 又直线，的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零，1l 2l 故可设直线：x =ky +1(k ≠0)，直线：x =−y +1，A (，)，B (，)，G (，)，H (，)，1l 2l 1k1x 1y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 由消去x ，得(3+4)+6ky −9=0，221431x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2k 2y ∴，同理得，（8分）122122634934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩3422342634934k y y k kyy k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴|AF |·|FB =(1+)||，2k 12y y |GF |·|FH =(1+)||，21k 34y y ∴|AF |·|FB |+|GF |·|FH |=(1+)||+(1+)|| 2k 12y y 21k34y y =(1+)·+(1+)·2k 2934k +21k 22934k k +=9(1+)·(+)2k 2134k +2134k +==，2222222263(1)6312(1)12(1)k k k k k +=++++226311212k k+++又>0，∴+≥2，当且仅当=1时取等号，（11分）2k 2k 21k2k 故|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值为．（12分）367【备注】解决此类问题的一般步骤：(1)利用定义、各基本量之间的关系与圆锥曲线的性质，得到关于基本量的方程(组)，解方程(组)，求出基本量的值，从而得到圆锥曲线的方程；(2)对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解．21．【解析】(1)由已知得的定义域为(0，+∞)，()f x =+ax −(a +1)=．()f x '1x2(1)1ax a x x -++当a =0时，=，当x ∈(0，1)时，>0，单调递增，()f x '1x x-+()f x '()f x 当x ∈(1，+∞)时，<0，单调递减．()f x '()f x 当a <0时，由==0，得x =1或x =<0，()f x '(1)(1)ax x x --1a因而当x ∈(0，1)时， >0，单调递增，()f x '()f x 当x ∈(1，+∞)时，<0，单调递减．（3分）()f x '()f x 当0<a <1时，由==0，得x =1或x =>1，()f x '(1)(1)ax x x --1a因而当x ∈(0，1)与x ∈(，+∞)时， >0，单调递增，1a()f x '()f x 当x ∈(1，)时，<0，单调递减．（5分）1a ()f x '()f x 当a =1时，=≥0，因而当x ∈(0，+∞)时，单调递增．()f x '2(1)x x-()f x 当a >1时，由==0，得x =1或x =<1，()f x '(1)(1)ax x x --1a 因而当x ∈(0，)与x ∈(1，+∞)时， >0，单调递增，1a()f x '()f x当x ∈(，1)时，<0，单调递减．（7分）1a()f x '()f x 综上所述，当a ≤0时，在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减；()f x 当0<a <1时，在(0，1)与(，+∞)上单调递增，在(1，)上单调递减；()f x 1a 1a当a =1时，在(0，+∞)上单调递增；()f x 当a >1时，在(0，)与(1，+∞)上单调递增，在(，1)上单调递减． ()f x 1a 1a(2)= +x =ln x +−ax ，则的定义域为(0，+∞)，()g x ()f x 2a 2x ()g x =+ax −a =．()g x '1x21ax ax x -+若有两个极值点， (<)，()g x 1x 2x 1x 2x 则方程a −ax +1=0的判别式Δ=−4a >0，2x 2a 且+=1，=>0，（8分）1x 2x 1x 2x 1a因而a >4，又<，∴<=，即0<，1x 2x 21x 1x 2x 1a 1x g ()−g ()=ln +−a −ln −+a =ln +ln(a )+−a ．（10分）1x 2x 1x 212a x 1x 2x 222a x 2x 1x 1x 2a 1x 设=ln t +ln(at )+ −at ，其中t =∈(0，()h t 2a 1x 由=−a=0得t =，由于<0，()h t '2t 2a 2a∴在(0，)上单调递增，在()上单调递减，()h t 2a 2a 即的最大值为h ()=2ln 2−ln a +−2<−ln a ，()h t 2a 2a 2a 从而g ()−g ()<−ln a 成立． （12分）1x 2x 2a 22．【解析】(1)将(为参数，0<α<)消去参数，得直线的普通方程为y=(x −)1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 2πt l 12tan α，即x tan α−y −tan α=0(0<α<)．122π将代入，得，cos sin x y ρθθ=⎧⎨=⎩22cos 30ρρθ--=22230x y x +--=即曲线C 的直角坐标方程为．（5分）22(1)4x y -+=(2)设直线的普通方程为y=k (x −)，其中k =tan α，l 12又0<α<，∴k >0，2π则直线过定点M ()，l 12∵圆C 的圆心C (1，0)，半径r =2，|CM =1，故点M 在圆C 的内部．当直线与线段CM 垂直时，|AB |取得最小值，l ∴|AB |min =2|AM．（10分）23．【解析】(1)由题意 4，()|1|2|2|f x x x =++-当x −1时，−3x +3 4，即x −，所以x −1；13当−1<x <2时，−x +5 4，即x 1，所以−1<x 1；当x 2时，3x −3 4，即x，所以x ．7373综上，不等式 4的解集为{x |x 1或x }．（5分）()f x 73(2)=，画出函数的图象如图所示，由图可知，()f x 33,15,1233,2x x x x x x -+-⎧⎪-+-<<⎨⎪-⎩≤≥()f x 当x =2时，取得最小值3，所以M =3，a +b =3．()f x又a >0，b >0，所以=()·=2++ ，24a b +24a b +3a b +23b a 43a b当且仅当a −3，b 时，等号成立，所以的最小值为．（10分）24a b +。
【高考模拟】普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(一)数学(理)(word版有答案)
绝密★启用前2018届普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N = （） A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02A ．B ．C ．12D 3．如图所示的阴影部分是由轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A．2πB．12C．1πD．3π4A．4-B．C．13-D．135．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．4+C．4+D．4+6．已知实数，y满足2210x yxy+-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my=+的最大值为10，则m=（）A．B．C．D．7．已知()201720162018201721f x x x x=++++，下列程序框图设计的是求()0f x的值，在“ ”中应填的执行语句是（）开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（） A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A，B P，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（） A ．B CD 10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（）A ．2213612x y -=B ．221186x y -=C ．22193x y -=D ．2213xy -=11．设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（） A．(0,2B ．(0,3C ．(2+D ．(212．若关于的方程e 0e exx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828= 为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x xx x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．1B ．C ．1m -D ．1m +第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷文七20180428118
2018 年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷文（七）本试题卷共14 页，23 题（含选考题）。
全卷满分150 分。
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2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
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5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·孝义模拟]已知全集U 1,2,3,4 ，若A 1,3 ，B 3 ，则ðð等于（）U A U BA． 1,2 B． 1,4 C． 2,3 D． 2,4- 1 -【答案】D【解析】根据题意得到U A 2,4 ð 1,2,4 ，故得到 ð ð 2,4 ．故答ð，U B U A U B案为：D．2．[2018·海南二模]已知复数z满足z 3 4i 3 4i，z为z的共轭复数，则z（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意得：z34i34i34i724i72434i34i34i9162525i，∴724zi，252522z7241，故选：A．25 253．[2018·大同一中]如果数据x，1x，…，2x的平均数为x，方差为82，则5x2，n15x 2，…，5x 2的平均数和方差分别为（）2nA．x，82B．5x 2，82C．5x 2，25 82D．x，25 82【答案】C【解析】根据平均数的概念，其平均数为5x 2，方差为25 82，故选C．4．[2018·龙岩期末]《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】Ba尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，由已知得：【解析】设第一天织布1a d721281a d a4d a7d 15111a ，d 1，∴第十日所织尺数为a a d，11101910，解得故选B．5．[2018·宁德质检]已知a 1.90.4，b log 1.9，c 0.41.9，则（）0.4A．a b c B．b c a C．a c b D．c a b- 2 -【答案】C【解析】 a 1.90.4 1.90 1，b， 0 c 0.41.9 0.40 1，log 1.9 log 1 00.40.4a cb ，故选 C ．6．[2018·佳木斯一中]如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒 200 颗黄豆，数 得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为 （）A ．5.3B ． 4.3C ． 4.7D ．5.7【答案】B【解析】由古典概型概率公式概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分的概率为114 1 ，因为正方形的面积为10，所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为200 114 10 1 4.3，故选 B ．2007．[2018·深圳中学]某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．2 3B ．1C ．4 3D ．8 3【答案】CV 1 1 4【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积 2 2 23 2 3．故选 C ．- 3 -f x2017x log x2 1 x 2017 x 3，则关于x 8．[2018·海南二模]已知函数2017的不等式f 1 2x f x 6的解集为（）A． ,1 B． 1, C． 1,2 D． 1,4 【答案】Ag x2017x2017x log x2 1 x为奇函数且在【解析】由题意易知：2017， 上单调递增，∴g 1 2x 3 g x 3 6，即g x g 2x 1 ，∴x 2x 1，∴x 1，∴不等式f 1 2x f x 6的解集为 ,1 ，故选：A．9．[2018·宿州一模]在如图所示的程序框图中，若输入的s 2，输出的s 2018，则判断框内可以填入的条件是（）开始输入xi 1是否s 2s输出si i 1结束A．i 9B．i≤10C．i≥10D．i≥11【答案】D【解析】输入S 2，i 1，S 4 22；i 2，S 8 23；当i 10，S 211 2048；当i 10 1 11，当i≥11时，满足条件，退出循环，S 2048，故选D．- 4 -10．[2018·天门期末]函数 f x A sin x (A 0, 0) 的图像如图所示，则ff f f 的值等于（ ）1 2 318A ．2 2B ． 2C ． 2 2D ．1【答案】CT ， T 8， 2【解析】由图知 A 2 ， 6 2284， 2sin 2 2 ，4Z ， 2k k Z ， 2sin2k k f x x，2 24所以 f 1 f 2 f 3 f 18 2 f 1 2 f 2 2 f8 f 1 f 2f 1 f 2 2 2，选 C ．11．[2018·孝义模拟]已知函数f x ln x 2ax，若有且仅有一个整数 k ，使得 fk 1，x则实数 a 的取值范围是（ ）A ． 1, 3B ． 1 ln2 1 , 1 ln3 142 6 21 1 C ． ln2 1, ln3 1 2 31 D ． 1,e 1e【答案】B【解析】函数f xln x 2ax，若有且仅有一个整数k，使得f k 1，不等式xln x 2a 1 x只有一个整数解，在同一坐标系中画出图像，可知这个整数解就是2，故得到ln2 22a 1，ln3≤3 2a 1 ，解得不等式组解集为 1ln2 1,1ln3 14262．故选B．- 5 -12．[2018·佳木斯一中]已知椭圆y 2521与抛物线 x 2 ay 有相同的焦点 F ，O 为原点，x点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且 AF 4，则 PA PO 的最小值为 （）A ． 2 13B ． 4 2C ．3 13D ． 4 6【答案】A【解析】 椭圆 y 25 ， c 2 5 1 4 ，即 c 2，则椭圆的焦点为0, 2 ，不妨取 x 2 1焦点 0, 2 ， 抛物线 ax ay 424ya ， 抛物线的焦点坐标为 0, 4 ， 椭圆 y 25 a与抛物线 x 2 ay 有相同的焦点 F ， 2 ，即 a 8，则抛物线方程为 x 2 8y ，x 2 14准线方程为 y 2， AF 4 ，由抛物线的定义得： A 到准线的距离为 4 ， y 2 4， 即 A 点的纵坐标 y 2 ，又点 A 在抛物线上， x 4 ，不妨取点 A 坐标 A 4, 2 ， A 关于 准线的对称点的坐标为 B 4, 6 ，则 PA PO PB PO OB ，即O ， P ， B 三点共 线时，有最小值，最小值为2OB2，故选 A ．4 616 36 52 2 13第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(一)学生版
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02．[2018·台州期末]（i 为虚数单位）） A ．2 B ．1C ．12D3．[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．2πB ．12C ．1πD ．3π4．[2018·滁州期末]）A ．4-B ．4C ．13-D ．135．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2B．4+C．4+D．4+6．[2018·天津期末]已知实数x ，y 满足2210x yx y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my =+的最大值为10，则m =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1班级 姓名准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封数，则a的取值范围为（）A．()0,4B．()0,+∞C．()3,4D．()3,+∞9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（0k>且1k≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B，当P，A，B不共线时，PAB△面积的最大值是（）A．B C D10．[2018·郴州一中]双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率e=，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF∠=∠，AOF△的面积为，则双曲线C的方程为（）A．2213612x y-=B．221186x y-=C．22193x y-=D．2213xy-=11．[2018·昆明一中]设锐角ABC△的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1c=，2A C=，则ABC△周长的取值范围为（）A．(0,2+B．(0,3+C．(2++D．(212．[2018·济南期末]若关于x的方程ee exx xxmx++=+有三个不相等的实数解1x，2x，3x，且123x x x<<<，其中m∈R，e 2.71828=为自然对数的底数，则3122312111e e e xx xxx x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A．1 B．e C．1m-D．1m+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(一)教师版
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =（ ） A ．{}0,2 B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得20x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0MN =．选D ．2．[2018·台州期末]（i 为虚数单位））A ．2B ．1C D【答案】C【解析】2 i1iz⎛⎫= ⎪-⎝⎭11i2i2-==--，11i22z∴=-=，选C．3．[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由x轴及曲线siny x=围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A．2πB12C．1πD．3π【答案】A【解析】由题意，得矩形区域OABC的面积为1π1πS=⨯=，阴影部分的面积为()20sin d cos2S x x xππ==-=⎰，由几何概型的概率公式，得在矩形区域OABC内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为212πSPS==．故选A．4．[2018·滁州期末]已知()cos2cos2ααπ⎛⎫+=π-⎪⎝⎭，则tan4απ⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．4-B．4C．13-D．13【答案】C【解析】因为()cos2cos2ααπ⎛⎫+=π-⎪⎝⎭，所以sin2cos tan2ααα-=-⇒=，所以1tan1tan41tan3αααπ-⎛⎫-==-⎪+⎝⎭，故选C．5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2B 422+C ．442+D ．462+【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的侧面积22222442S =⨯+⨯⨯=+，故选：C ．6．[2018·天津期末]已知实数x ，y 满足2210x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my =+的最大值为10，则m =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】作出可行域，如图ABC △内部（含边界），其中()2,4A ，()2,1B ，()1,1C -，若A 是最优解，则2410m +=，2m =，检验符合题意；若B 是最优解，则210m +=，8m =，检验不符合题意，若8m =，则z 最大值为34；若C 是最优解，则110m -+=，11m =，检验不符合题意；所以2m =，故选B ．7．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+【答案】A【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++++，首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i =-． 8．[2018·达州期末]若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞【答案】C【解析】如图，若()24x f x a =--()34a ∈，，故选C ．9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A ．22 B ．2 C ．223D ．23【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()P x y ，，2PA PB＝；()()2222121x y x y++∴-+＝，两边平方并整理得：()222261038x y x x y +-+=⇒-+=．∴PAB △面积的最大值是1222222⨯⨯=，选A ．10．[2018·郴州一中]双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率233e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积为33，则双曲线C 的方程为（ ）A B C D 【答案】C【解析】由点A 所在的渐近线为0,bx ay -=三个该渐近线的倾斜角为α，则AOF OAF ∠=∠，所以直线AF 的倾斜角为2α，2222tan 2tan21tan aba bααα==--， 与0bx ay -=联立解得122AOFab S c ab c∴=⨯⨯==△，因为双曲线的离心率，，b a ∴=联立得3a =，b =C ． 11．[2018·昆明一中]设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ）A B C D 【答案】C【解析】因为ABC △为锐角三角形，；又因为2A C =， 所以sin 2sin cos A C C =，又因为1c =，所以2cos a C =；由，所以24cos 2cos a b c C C ++=+，令cos t C =，242y t t =+C ．12．[2018·济南期末]若关于x 的方程有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数，则） A ．1 B ．eC ．1m -D ．1m +【答案】A【解析】化可原式可化为，()()2110t m t m ∴++++=，由韦达定理可得()1a b t t m +=-+，1a b t t m ⋅=+，的值为1，故选A ． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)
理科数学(七)
本试卷分必考和选考两部分．
必考部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求的．
1．已知集合A ={x |2
x −5x +4 0}，B ={x |(x −2)(x +1)>0}，则A ∪(R B ð)=
A ．[−1，4]
B ．[1，2]
C ．(−1，4]
D ．(−∞，−1)∪[1，+∞) 2．已知复数z 满足(z +1)(2+3i)=5−2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为
A ．−
1913 B ．1913 C ．−913 D ．913
3．给出下列三个命题：
①回归直线ˆˆˆ=+y
bx a 恒过样本点的中心(x ，y )，且至少过一个样本点； ②“x =−1”是“2
x −5x −6=0”的必要不充分条件；
③“存在0x ∈R ，使得2
0x +0x +1<0”的否定是“对任意的x ∈R ，均有2
x +x +1<0”．
其中真命题的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A ．
B ．
C ．
D ．5．欧阳修的《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自
钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有直径为1 cm 的圆孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽
略不计)，则油滴正好落入圆孔的概率为
A ．
19 B ．29 C ．13 D ．49
6．若将函数y =3sin(2x +3π)+12的图象向右平移6
π
个单位长度，则平移后图象的对称中心为
A ．(2k π+4π，12)(k ∈Z)
B ．(2k π+4π，0)(k ∈Z)
C ．(2k π，12)(k ∈Z)
D ．(2
k π，0)(k ∈Z)
7．已知实数x ，y 满足2310+⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≥≤≥x y
x y y 若目标函数z =mx +y (m >0)的最大值为5，则m 的值为
A ．
15 B ．1
2
C ．2
D ．5 8．已知双曲线C ：
22
214
x y m m -=+
1F ，2F ，则双曲线C 上满足120MF MF ⋅=
的点M 构成的图形的面积为
A ．
285 B ．565 C ．745 D ．96
5
9．已知函数()f x =2
x −2x +1，()g x =x ()f x +b 2
x +a ，若()'g x =0在区间(
1
2
，1)上有解，则实数b 的取值范围为
A ．(−1，2)
B ．(1，2)
C ．[1，2)
D ．(0，2
10．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为23
2，则判断框内应填写
A ．i <45
B ．i <46
C ．i >45
D ．i >46
11．已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若SC ⊥AC ， SC ⊥BC ， SC =AB =AC =1，
BC
O 的表面积为 A ．
53π B ．43
π
C ．5π
D ．4π 12．已知函数()f x =2
2|2|,0,0
x x x x -+⎧⎨
>⎩≤()g x =4
()3k x -(k ∈R )．若存在唯一的整数x ，使得
()()
0f x g x x -<，则k 的取值范围是
A ．[−35，−37]
B ．(−∞，−3)∪(−35，−37
]
C ．(−∞，−3]
D ．(−∞，−3]∪(−35，−3
7
]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =CD =2，BC =4，若向量a ，b 满足
BA =2a +b ，
AD =2a ，则向量a ，b 的夹角为 ．
14．(22
x −x −1)4(1)-x 的展开式中含3
x 项的系数是 ．
15．一艘货轮在航海中遇险，发出求救信号．在离遇险地点A 南偏西45°方向10海里的B
处有一艘海难搜救艇收到求救信号后展开搜救，已知遇险货轮的航行方向为南偏东75°，且正以9海里/时的速度向一小岛靠近．若海难搜救艇的最大速度为21海里/时，且在C 处追上货轮，则海难搜救艇追上货轮所需的最短时间为 小时．
16．已知抛物线C ：2
y =16x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴的交点为P ，A 为抛物线C 上任意
一点，若|AP
|=
3
|AF |，则△APF 的面积S = ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =1，1+n S −2n S =1(n ∈N*)． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足n b =+n
n
n a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．(本小题满分12分)
为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛，某市重点中学准备举办一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示：
(1)从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；
(2)现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC −111A B C 中，BC AB =AC =1AA =1，1C 是1A P 的中点，AP 与棱1C C 相交于点D ．
(1)求证：1PB ∥平面1BDA ； (2)求二面角1A −1B D −P 的正弦值． 20．(本小题满分12分)
已知椭圆C ：22221x y a b
+=(a >b >0)的离心率为1
2，左、右焦点分别为1F ，2F ，在直线
0x y -=上有且只有一个点M 满足120MF MF ⋅=
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点0(1,)P y 是椭圆C 上第一象限的点，弦AB 过椭圆C 的右焦点2F ，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆C 交于另一点Q ，问：是否存在A ，B ，使得四边形P ABQ 是平行四边形?若存在，求出弦AB 所在直线的方程；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分12分)
已知函数()g x =ln x x ，()h x =−2a x +a
x
−1(a ∈R)，且函数()f x =()g x +()xh x 有两个不同的极值点1x ，2x ． (1)求实数a 的取值范围； (2)证明：12ln ln +x x >2．
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−6cos θ=0，直线l
的参数方程为3212
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩x t y t (t 为参数)，l 与C 交于1P ，2P 两点．
(1)求曲线C 的直角坐标方程及l 的普通方程；
(2)已知0P (3，0)，求|01P P |·|02P P |的值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲
已知函数()f x =|12
-
x |+|+a
x x |，()g x =x +3．
(1)当a =4时，画出函数()f x 的图象； (2)当a =2时，求不等式2()f x <()g x 的解集．。