2019-2020学年人教A版数学选修2-1同步作业：单元卷3

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2019-2020学年数学人教A版选修2-1优化练习：第三章 3.2 第3课时空间向量与空间角、距离 Word版含解析.doc

[课时作业] [A 组基础巩固]1．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC →|·|n |＝－12，所以〈PC →，n 〉＝120°，所以PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，所以PC 与平面ABCD 所成角为30°，故选A. 答案：A2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( ) A.64 B ．104 C.32D.34解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°，设B 1C 1＝1，CC 1＝3＝DD 1. ∴C 1D 1＝3，则有B 1(3，0,0，)，C (3，1，3)，C 1(3，1,0)，D (0,1，3)． ∴B 1C →＝(0,1，3)， C 1D →＝(－3，0，3)．∴cos 〈B 1C →，C 1D →〉＝B 1C →·C 1D →|B 1C →||C 1D →|＝326＝64.答案：A3．已知直二面角α-l -β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33 C.63D ．1解析：∵平面α⊥平面β，且AC ⊥l ，BD ⊥l ，故AC ⊥平面β，BD ⊥平面α，依题意建立坐标系如图所示，在Rt △ACD 中，可得CD ＝2，故A (0,0,1)，B (1，2，0)，C (0，0,0)，D (0，2，0)，则CA →＝(0,0,1)，CB →＝(1，2，0)，CD →＝(0，2，0)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CA →＝0，n ·CB →＝0⇒x ＝－2y ，z ＝0，令y ＝1，可得n ＝(－2，1,0)，故所求距离d ＝|CD →·n ||n |＝23＝63.故选C.答案：C4.如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直)中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：以A 为坐标原点，AC ，AB ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(2,0,1)，Q (1,1,0)，P (0,1,2)，QP →＝(－1,0,2)，所以QP →·AM →＝0，所以QP 与AM 所成角为π2. 答案：D5．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23D.13解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)，DC →＝(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n |·|DC →|＝23，故选A. 答案：A6．设A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，D (1，1,1)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为________．解析：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，所以⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(－1，1，1)＝0，即⎩⎨⎧z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0， ∴⎩⎨⎧z ＝0，y ＝x .令x ＝1，则n ＝(1,1,0)，∴cos 〈n ，AD →〉＝1×0＋1×1＋0×12·2＝12，∴〈AD →，n 〉＝π3.∴直线AD 与平面ABC 的夹角θ＝π2－π3＝π6. 答案：π67．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________. 解析：设平面α的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，记A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0，a )(a ＞0)，则AB →＝(－3,4,0)，AC →＝(－3,0，a ) 由题意知⎩⎨⎧n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，取z ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝3a4，n 1＝(a ，3a4，3)，而n 2＝(0,0,1)是平面xOy 的一个法向量，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝39＋2516a 2×1＝22，又a ＞0，解得a ＝125.答案：1258．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与ACD 垂直．则B 与D 之间的距离为________．解析：由B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ，则可求得AM ＝12， BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32. MN ＝1.由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2(0＋0＋0)＝52， ∴|BD →|＝102. 答案：1029.如图所示，已知在四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2， (1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解析：(1)证明：因为BO ＝DO ，AB ＝AD ，所以AO ⊥BD . 因为BO ＝DO ，BC ＝CD ，所以CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，而AC ＝2，所以AO 2＋CO 2＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD . (2)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0，0,1)，BA →＝(－1,0,1)，CD →＝(－1，－3，0)，所以cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →||CD →|＝24，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°. (1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若二面角D -PC -A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：∵P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB ，又P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AE ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0，0，h )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，B (0,2,0)，AP →＝(0,0，h )，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－hPD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－h ，求得平面P AC 与平面PDC 的一个法向量分别为n 1＝(h ，－3h,0)，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h ，0，32.∵cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝55， ∴h ＝ 3.又可求得平面PBC 的一个法向量n 3＝(3，3，2)，所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n 3|n 3|＝234＝32.[B 组能力提升]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( ) A ．－105 B.105 C ．－155D.155解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)， B (2，2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)．∴BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴n ⊥BD →，n ⊥BB 1→，∴⎩⎨⎧ －2x －2y ＝0，2z ＝0.∴⎩⎨⎧x ＝－y ，z ＝0. 令y ＝1，则n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE →|＝105，设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BE →〉|＝105. 答案：B2．正方形ABCD 所在平面外有一点P ，P A ⊥平面ABCD .若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：建系如图，设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,1)，D (1,0,0)，C (1,1,0)．平面P AB 的法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面PCD 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 2·PD →＝0，n 2·CD →＝0，得⎩⎨⎧x －z ＝0，y ＝0.令x ＝1，则z ＝1.∴n 2＝(1,0,1)，cos 〈n 1，n 2〉＝12＝22. ∴平面P AB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22. ∴此角的大小为45°. 答案：B3．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．解析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a ，n 所成的角为β， sin θ＝|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(－2，3，2)·(4，0，1)17×17＝617. 答案：6174．在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知AA 1＝9，BC ＝63，N 为BC 的中点，则直线D 1C 1与平面A 1B 1N 的距离是________．解析：∵C 1D 1∥平面A 1B 1N ，∴所求距离等于D 1到平面A 1 B 1N 的距离，不妨令|AB |＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(63，0,9)，B 1(63，1,9)，N (33，1,0)， A 1B 1→＝(0,1,0)，B 1N →＝(－33，0，－9)．设平面A 1B 1N 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1B 1→＝0，n ·B 1N →＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，－33x －9z ＝0.取z ＝－3，则n ＝ (3,0，－3)，又D 1A 1→＝(63，0,0)，故D 1到平面A 1B 1N 的距离为 d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝3×6332＋02＋(－3)2＝9.答案：95.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥平面ABD ，且AE ＝ 2. (1)求证：DE ⊥AC ；(2)求DE 与平面BCE 所成角的正弦值．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，则E (0,0，2)，B (2,0,0)， D (0,2,0)，取BD 的中点F ，并连接CF ，AF ，由题意可得CF ⊥BD 且AF ＝CF ＝2，又∵平面BDA ⊥平面BDC ， ∴CF ⊥平面BDA ，所以C 的坐标为C (1,1，2)，∴DE →＝(0，－2，2)，AC →＝(1,1，2)， ∴DE →·AC →＝(0，－2，2)·(1,1，2)＝0，故DE ⊥AC .(2)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z ) 则⎩⎨⎧n ·EB →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎨⎧2x －2z ＝0，x －y －2z ＝0， ∴⎩⎨⎧z ＝2x ，y ＝－x .令x ＝1得n ＝(1，－1，2)，又DE →＝(0，－2，2)，设DE 与平面BCE 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DE →〉|＝|n ·DE →||n ||DE →|＝63.6．(2016·高考全国Ⅰ卷)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解析：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面E FDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF . 由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°.从而可得C (－2,0，3)．所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.。

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-1作业：第1章常用逻辑用语1.2 Word版含解析

第一章 1.2一、选择题1．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中为真命题的是( B )A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件解析若ac >bc ，当c >0时，a >b ；当c <0时a <b .故“ac >bc ”既不是“a >b ”的充分条件，也不是“a >b ”的必要条件．若ac ＝bc ，不一定有a ＝b 成立；但a ＝b 时，一定有ac ＝bc 成立．2．(2018·湖南岳阳平江期末)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析等比数列－1，－2，－4，…满足公比q ＝2>1，但{a n }不是递增数列，故充分性不成立．若a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，则{a n }为递增数列，但q ＝12<1，故必要性不成立．故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．3．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，但不是必要条件，则A 与B 的关系是( A )A ．A BB ．B AC ．A ＝BD ．A B 且B A解析 ∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件．∴x ∈A ⇒x ∈B ，x ∈B ⇒/ x ∈A .∴A B .4．不等式x －1x >0成立的充分不必要条件是( A ) A ．x >1B ．x >－1C ．x <－1或0<x <1D ．－1<x <0或x >1解析不等式x －1x >0等价于(x ＋1)(x －1)x>0，如图，用穿根法解得不等式的解集为{x |－1<x <0或x >1}，比较选项得x >1为不等式成立的充分不必要条件，故选A ．5．已知p ：x 2－x <0，那么命题p 的一个必要非充分条件是( B )A ．0<x <1B ．－1<x <1C ．12<x <23D ．12<x <2 解析 x 2－x <0⇔0<x <1，运用集合的知识易知．A 中0<x <1是p 的充要条件；B 中－1<x <1是p 的必要条件；C 中12<x <23是p 的充分条件； D 中12<x <2是p 的既不充分也不必要条件．故选B ． 6．(2018·宁夏银川调研)有下列说法：①“a >b >0”是“a 2>b 2”的充要条件；②“a >b >0”是“1a <1b”的充要条件；③“a >b >0”是“a 3>b 3”的充要条件．其中正确的说法有( A )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 a >b >0⇒a 2>b 2，a 2>b 2⇒|a |>|b |⇒/ a >b >0，故①错．a >b >0⇒1a <1b ，但1a <1b⇒/ a >b >0，故②错． a >b >0⇒a 3>b 3，但a 3>b 3⇒/ a >b >0，故③错．二、填空题7．“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数”的__充要__条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．解析当a ＝0时，函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )即为f (x )＝x 2，为偶函数；若f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数，则f (－x )＝(－x )2＋a (－x )＝x 2－ax ＝f (x )＝x 2＋ax ，则2ax ＝0(x ∈R )，解得a ＝0.8．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的___充要__条件．解析 ∵x 1>0且x 2>0⇒x 1＋x 2>0且x 1x 2>0；x 1＋x 2>0且x 1x 2>0⇒x 1>0且x 2>0.∴x 1>0且x 2>0⇔x 1＋x 2>0且x 1x 2>0.9．有下列五个命题：①在△ABC 中，p ：A >B ，q ：sin A >sin B ，则p 是q 的充要条件；②p ：数列{a n }是等差数列；q ：数列{a n }是单调数列，则p 是q 的充要条件； ③“x <－1”是“x 2－1>0”的必要而不充分条件；④“α≠π6或β≠π6”是“cos(α＋β)≠12”成立的必要不充分条件； ⑤“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根”的充分不必要条件．其中正确命题的序号是__①④⑤__.解析 ①正确．②中，∵常数列为等差数列，∴p ⇒/ q ，故②错．对于③，“x <－1”是“x 2－1>0”的充分不必要条件，故③错．④，⑤都正确．三、解答题10．指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1；(3)已知x ，y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.解析 (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充要条件．(2)因为数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1⇒数列{a n }是等差数列，而数列{a n }是等差数列⇒/ 数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)设p ，q 对应的集合分别是A ，B ，因为p ：A ＝{(x ，y )|x ＝1且y ＝2}，q ：B ＝{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}，A B ，所以p 是q 的充分不必要条件．11．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解析设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B .∴a ≤－4或3a ≥－2.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0.∴a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－4或－23≤a <0. 12．(2018·河北唐山二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求数列{a n }是等比数列的充要条件．解析 a 1＝S 1＝p ＋q ，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝p n ＋q －(p n －1＋q )＝p n －1(p －1)．∵p ≠0且p ≠1，∴当n >1时，a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p . 若{a n }为等比数列，则a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，∴p (p －1)p ＋q＝p ， ∵p ≠0，∴p －1 ＝p ＋q ，∴q ＝－1.则q ＝－1是{a n }为等比数列的必要条件．下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件．当q ＝－1时，S n ＝p n －1(p ≠0且p ≠1)，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1－(p n －1－1)＝p n －1(p －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －1＝p 1－1(p －1)． ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝ p n －1(p －1)． ∵a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p 为常数， ∴q ＝－1时，数列{a n }为等比数列．故数列{a n }是等比数列的充要条件为q ＝－1.。

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-1 章末评估验收(三) Word版含答案

章末评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a ，2b ，b －c D ．c ，a ＋c ，a －c答案：C2．空间直角坐标中A (1，2，3)，B (－1，0，5)，C (3，0，4)，D (4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定解析：因为AB →＝(－2，－2，2)，CD →＝(1，1，－1)，又因为AB →＝－2CD →，所以AB →∥CD →，即AB ∥CD .答案：A3．已知a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12 C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝32答案：C4．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( ) A ．－15 B ．－5 C ．－3D ．－1解析：a ＝(3，2，－1)，b ＝(1，－1，2)，所以5a ·3b ＝15a ·b ＝－15. 答案：A5．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32B ．－32C ．±32D ．1答案：A6．已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)解析：利用向量数量积公式的变形公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|求向量的夹角，各项逐一验证．选项B 中cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝1×12×2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.答案：B7．在平行六面体ABCD -EFGH 中，若AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56D ．1解析：AG →＝AB →＋BC →＋DH →，又AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＝1，y ＝－12，z ＝13，则x ＋y ＋z ＝1－12＋13＝56，故选C.答案：C8．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2，4)B ．(－4, 1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)答案：B9．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°解析：由条件知，|BA1→|＝2a ，|AC →|＝2a ，BA1→·AC →＝(AA1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝AA1→·AB →－|AB →|2＋AA1→·AD →－AB →·AD →＝－|AB →|2－AB →·AD →＝－a 2，所以cos 〈BA1→，AC →〉＝BA1→·AC →|BA1→||AC →|＝－a22a·2a ＝－12.所以向量BA1→与AC →所成的角为120°，故选D.答案：D10．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，由此可得a ·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝14.结合选项易知选D.答案：D11．如图，在正方体ABCD A1B 1C 1D 1中，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．向量AD →与CB1→的夹角为60°答案：D12．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.所以|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|3＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，所以cos 〈CA →， BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2，－1，0)，b ＝(k ，0, 1)，若〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________．解析：因为cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2k 5×k2＋1＝－12＜0，所以k ＜0，且k 2＝511.所以k ＝－5511.答案：－551114．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．答案：(－64，－26，－17)15．非零向量e 1，e 2不共线，使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k 的值是________．解析：若ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线，则ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，所以k ＝±1.答案：±116．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， B (0，1，0)，B 1(0，1，1)，C 1(0，0，1)，则C1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，C1B1→＝(0，1，0)，C1B →＝(0，1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y ，1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧C1A →·n＝0，C1B →·n＝0.解得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，1，则d ＝|C1B1→·n||n|＝113＋1＋1＝217. 答案：217三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD .又因为AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行，所以四边形ABCD 为梯形．18．(本小题满分12分)已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝AB →＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)， b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)ka ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)证明：AC ⊥BC 1；(2)求二面角C 1AB C 的余弦值大小．解：直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，故AC ，BC ，CC 1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)．(1)证明：AC →＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)，所以AC →·BC1→＝0.故AC ⊥BC 1.(2)解：平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，设平面C 1AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，AC1→＝(－3，0，4)，AB →＝(－3，4，0)，由⎩⎨⎧n·AC1→＝0，n·AB →＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4z ＝0，－3x ＋4y ＝0，令x ＝4，则y ＝3，z ＝3，n ＝(4，3，3)，故cos 〈m ，n 〉＝334＝33434.即二面角C 1AB C 的余弦值为33434. 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.证明：因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0.(1)因为AC →＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)，所以AC →·BC1→＝0，所以AC ⊥BC 1.(2)因为CB 1与C 1B 的交点为E ，所以E (0，2，2)．因为DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，2，AC1→＝(－3，0，4)，所以DE →＝12AC1→，所以DE →∥AC1→.因为DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，所以AC 1∥平面CDB 1.21．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB .(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P FC B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．(1)证明：在Rt △ABC 中，因为EF ∥BC ，所以EF ⊥AB ，所以EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又因为EB ∩EP ＝E ，EB ，EP ⊂平面PEB ，所以EF ⊥平面PEB . 又因为PB ⊂平面PEB ，所以EF ⊥PB .(2)解：在平面PEB 内，过点P 作PD ⊥BE 于点D ，由(1)知EF ⊥平面PEB ，所以EF ⊥PD ，又因为BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BCFE ，所以PD ⊥平面BCFE . 在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .如图所示，以B 为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)，又因为AB ＝BC ＝4，所以BE ＝4－x ，EF ＝x . 在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，所以PD ＝32x ，DE ＝12x ，所以BD ＝4－x －12x ＝4－32x ，所以C (4，0，0)，F (x ，4－x ，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，4－32x ，32x . 从而CF →＝(x －4，4－x ，0)，CP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，4－32x ，32x .设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，所以⎩⎨⎧n1·CF →＝0，n1·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x0（x －4）＋y0（4－x ）＝0，－4x0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32x y0＋32xz0＝0，所以⎩⎨⎧x0－y0＝0，3y0－z0＝0，取y 0＝1，得n 1＝(1，1，3)是平面PFC 的一个法向量．又平面BFC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，设二面角P FC B 的平面角为α，则cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n1·n2|n1||n2|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P FC B 的平面角的余弦值为定值，且定值为155. 22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F BE D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论． (1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又DE ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面BDE . (2)解：因为DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°，所以ED BD＝3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n·BF →＝0，n·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量，所以cos 〈n ，CA →〉＝n·CA →|n||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F BE D 的余弦值为1313. (3)解：依题意，设M (t ，t ，0)(t ＞0)，则AM →＝(t －3，t ，0)，因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.所以点M 的坐标为(2，2，0)，此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近点B 的三等分点．。

2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：综合测试卷 Word版含解析

2－1综合测试卷一、选择题1．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若∃λ<0，使m ＝λn ，则两向量m ，n 反向，夹角是180°，那么m ·n ＝|m ||n |cos 180°＝－|m ||n |<0；若m ·n <0，那么两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m ＝λn ，所以是充分而不必要条件，故选A. 答案：A2．下列判断正确的是( )A ．“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题为真命题B ．函数f (x )＝x 2＋9＋1x 2＋9的最小值为2C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D ．命题“∀x >0,2019x ＋2019>0”的否定是：“∃x 0≤0,2019x 0＋2019≤0”解析：对于A 选项，“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，不妨取a ＝－2，b ＝1，则a 2≥b 2成立，但a ≥b 不成立，A 选项中的命题不正确；由基本不等式可得f (x )＝x 2＋9＋1x 2＋9≥2x 2＋9·1x 2＋9＝2，当且仅当x 2＋9＝1x 2＋9时，即当x 2＋9＝1时，等号成立，但x 2＋9≥3，B 选项中的命题错误；对于C 选项，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，其逆否命题也为真命题，C 选项中的命题正确；对于D 选项，由全称命题的否定可知，命题“∀x >0,2019x ＋2019>0”的否定是：“∃x 0>0,2019x 0＋2019≤0”，D 选项中的命题错误．故选C.答案：C3．命题p ：∃x 0∈R ，x －2>0，命题q ：∀x ∈R ，x <x ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧qC ．綈p ∨q D. 綈p ∧綈q解析：命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>0为真命题命题綈p ：∀x ∈R ，x －2≤0为假命题命题q ：∀x ∈R ，x <x 为假命题命题綈q ：∃x ∈R ，x 0≥x 0为真命题明显地，答案选A. 答案：A4．设命题p ：f (x )＝1x在定义域上为减函数；命题q ：g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2为奇函数，则下列命题中真命题是( )A ．(綈p )∧q B. (綈p )∧(綈q )C ．p ∧qD ．p ∧(綈q )解析：f (x )＝1x在定义域上不是减函数，故命题p 是假命题，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x 是奇函数，故命题q 是真命题，则(綈p )∧q 为真命题，其余为假命题．答案：A5．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b <0)的一个焦点F 到其一条渐近线的距离为3a ，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析：双曲线的一个焦点为F (c,0)，一条渐近线方程为bx －ay ＝0，所以焦点到渐近线的方程为|bc |b 2＋a 2＝3a ，整理得b 2＝3a 2，即b 2a 2＝3所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2答案：C6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－2,4)，a ∥(a －b )，则x ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．3 D. 1解析：∵a －b ＝(3，x －4)由a ∥(a －b )得，1×(x －4)－3x ＝0，解得x ＝－2，故选A. 答案：A7．双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B.322C ．2 2D ．3 2解析：由a ＝2，b ＝2，c ＝a 2＋b 2＝6，∵|PO |＝|PF |，∴x P ＝62，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y ＝bax 上，∴S △PFO ＝12|OF |·|y P |＝12×6×32＝324，故选A.答案：A8．已知a ＝(2,3)，b ＝(m ，m －1)，c ＝(m,3)，若a ∥b ，则b ·c ＝( ) A ．－5 B ．5 C ．1 D ．－1解析：由于a ∥b ，故2(m －1)＝3m ，解得m ＝－2，于是b ＝(－2，－3)，c ＝(－2,3)，所以b ·c ＝4－9＝－5.故选A. 答案：A9．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则其离心率的值为( )A ．2B ．2 2 C.233 D.322解析：由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±b a x ，而倾斜角为30°，故ba＝tan 30°＝33，因此b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝13，即c 2a 2＝43，则e ＝233，故选C. 答案：C10．若双曲线C ：x 2－y 2b2＝1的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(23，＋∞)C ．(1，2)D ．(22，＋∞)解析：∵双曲线C ：x 2－y 2b2＝1，∴a 2＝1，可得a ＝1，c ＝1＋b 2，∵双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1的离心率大于2，∴1＋b 21>2，解之得b >3，双曲线的虚轴长：2b >23，故选B. 答案：B11．已知O 为坐标原点，点F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆C上的一点，且AF 2⊥F 1F 2，AF 1与y 轴交于点B ，则|OB |的值为( )A.32B.34C.52D.53解析：如下图所示：由AF 2⊥F 1F 2可知： AF 1∥OB 且|AF 2|为椭圆的半通径∵O 为F 1F 2中点，∴OB 为△AF 1F 2的中位线，∴|OB |＝12|AF 2|又|AF 2|＝b 2a ＝32，∴|OB |＝34，本题正确选项为B.答案：B12．如图，F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.3－1B. 3 C ．2 D. 3＋1解析：连结AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°，即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ，∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°，因此，Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据双曲线的定义，得2a ＝|F 2A |－|F 1A |＝(3－1)c ，解得c ＝(3＋1)a ，∴双曲线的离心率为e ＝ca ＝3＋1.故选D.答案：D 二、填空题13．已知直线l 的一个方向向量d ＝(4,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(m,3，－5)，且l ∥α，则m ＝________.解析：由题意可得d ⊥n ，则4m ＋9－5＝0，解得m ＝－1. 答案：－114．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则BA 1→＝________.解析：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c BA 1→＝BA →＋AA 1→＝CA →－CB →＋CC 1＝a －b ＋c 故答案为a －b ＋c . 答案：a －b ＋c15．设F 1，F 2是双曲线x 25－y 24＝1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1||PF 2|＝21，则△PF 1F 2的面积等于________．解析：由于x 25－y 24＝1，因此a ＝5，c ＝3，故|F 1F 2|＝2c ＝6，由于|PF 1||PF 2|＝2 1即|PF 1|＝2|PF 2|，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝25，所以|PF 1|＝45，|PF 2|＝25，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝45，所以sin ∠F 1PF 2＝35，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12.答案：1216．过点(3,0)的直线与抛物线y 2＝6x 的两交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，若AB →＝3BC →，则|AB |＝________.解析：设AB 方程为y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (0，－3k )， AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，BC →＝(－x 2，－3k －y 2)，∵AB →＝3BC →，∴x 1＝4x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)y 2＝6x ，得k 2x 2－(6k 2＋6)x ＋9k 2＝0x 1＋x 2＝6k 2＋6k 2，x 1x 2＝9，∴4x 22＝9，x 2＝32， ∴6k 2＋6k 2＝152，k 2＝4∴|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝952.答案：952三、解答题17．已知a >0，设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，q ：实数x 满足|x －3|<1. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2>0得(x －a )(x －3a )<0，∴a <x <3a 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <3. 由|x －3|<1，得2<x <4，即q 为真时，实数x 的取值范围是2<x <4. 因为p ∧q 为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2,3)； (2)由x 2－4ax ＋3a 2>0得(x －a )(x －3a )<0，所以，p 为真时实数x 的取值范围是a <x <3a .因为p 是q 的必要不充分条件，所以a ≤2且4≤3a .所以实数a 的取值范围为：⎣⎡⎦⎤43，2.18．如图所示，四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝120°，AB ＝2，BE ∥DF ，且BE ＝DF ＝3，DF ⊥平面ABCD .(1)求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；(2)求平面AEF 与平面ABE 所成锐二面角的正弦值．解析：(1)∵BE ∥DF ，DF ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ，又BE ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ABCD .(2)设AC 与BD 的交点为O ，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A (3，0,0)，B (0,1,0)，E (0,1，3)，F (0，－1，3)， ∴EF →＝(0，－2,0)，AE →＝(－3，1，3)，AB →＝(－3，1,0) 设平面AEF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧EF →·n 1＝0AE →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2y 1＝0－3x 1＋y 1＋3z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝0，z 1＝0，∴n 1＝(1,0,1)．设平面ABE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n 2＝0AB →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋y 2＋3z 2＝0－3x 2＋y 2＝0，令x 2＝1，则y 2＝3，z 2＝0，∴n 2＝(1，3，0)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12×2＝24，∴sin 〈n 1，n 2〉＝144，∴平面AEF 与平面ABE 所成锐二面角的正弦值为144.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，P A ＝4.(1)求证：AB ⊥PC ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M －AC －D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)∵AD ＝CD ＝22，BC ＝42，∴AB ＝AC ＝4，∴AB ⊥AC∵P A ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥P A ，∴AB ⊥平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，∴AB ⊥PC ； (2)以A 为原点，以过A 平行于CD 的直线为x 轴， AD ，AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,4)，B (22，22，0)，D (0,22，0)，C (22，22，0)，设PM →＝λPD →，0<λ<1，M (0,22λ，4－4λ)，AM →＝(0,22λ，4－4λ)，AC →＝(22，22，0)设平面MAC 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0m ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22λy 1＋(4－4λ)z 1＝022x 1＋22y 1＝0则m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，2λ－2λ＋2，又平面ACD 的法向量为AP →＝(0,0,4)， ∴|cos 〈AP →，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·m |AP →|·|m |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪42λ2－2λ42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2－2λ2＝cos 45°解得：λ＝23或λ＝2(舍)，M⎝⎛⎭⎫0，423，43，BM→＝⎝⎛⎭⎫－22，1023，43平面MAC的法向量为m＝(1，－1，2)，设BM与平面MAC所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈BM→，m〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BM→·m|BM→|·|m|＝422×1223＝12.20．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点(2，1)且离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足PB→＝2P A→.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由已知点代入椭圆方程得2a2＋1b2＝1由e＝22得ca＝22可转化为a2＝2b2，由以上两式解得a2＝4，b2＝2所以椭圆C的方程为：x24＋y22＝1.(2)存在这样的直线．当l的斜率不存在时，显然不满足PB→＝2P A→，所以设所求直线方程l：y＝kx＋3代入椭圆方程化简得：(1＋2k2)x2＋12kx＋14＝0x1＋x2＝－12k1＋2k2①x1x2＝141＋2k2.②Δ＝(12k)2－4×14×(1＋2k2)>0，k2>74，设所求直线与椭圆相交两点A(x1，y1)，B(x2，y2)由已知条件PB→＝2P A→可得x2＝2x1，③综合上述①②③式子可解得k2＝72>74符合题意，所以所求直线方程为：y＝±142x＋3.21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，M点在线段PB上，PD∥平面MAC，P A＝PD＝6，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．解析：(1)证明：如图，设AC∩BD＝O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM ，∵PD ∥平面MAC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面AMC ＝OM ，∴PD ∥OM ，则BO BD ＝BMBP ，即M 为PB 的中点；(2)解：取AD 中点G ，∵P A ＝PD ，∴PG ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，则PG ⊥AD ，连接OG ，则PG ⊥OG 由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得OG ∥DC ，则OG ⊥AD .以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系，由P A ＝PD ＝6，AB ＝4，得D (2,0,0)，A (－2,0,0)，P (0,0，2)，C (2,4,0)，B (－2,4,0)，M ⎝⎛⎭⎫－1，2，22 ，DP →＝(－2,0，2)，DB →＝(－4,4,0)．设平面的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DP →＝0m ·DB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2z ＝0－4x ＋4y ＝0，取z ＝2，得m ＝(1,1，2)．CM →＝⎝⎛⎭⎫－3，－2，22，∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为：|cos 〈CM →，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CM →·m |CM →|·|m |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－49＋4＋12×2＝269. 22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫2，62.(1)求椭圆C 的方程；(2)P ，M ，N 是C 上不同的三点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－34，证明：M ，N两点的横坐标之和为常数．解析：(1)由题意椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫2，62，所以c ＝1，2a 2＋32b 2＝1，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1(2)设P ，M ，N 三点坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )，设直线PM ，PN 斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 方程为y －y P ＝k 1(x －x P )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y －y P ＝k 1(x －x P )消去y ，得(3＋4k 21)x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k 21x 2P －8k 1x P y P ＋4y 2P －12＝0由根与系数关系可得：x M ＋x P ＝8k 1(k 1x P －y P )3＋4k 21故x M ＝8k 1(k 1x P －y P )3＋4k 21－x P＝4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21 同理可得：x N ＋x P ＝8k 2(k 2x P －y P )3＋4k 22.又k 1·k 2＝－34，故x N ＋x P ＝8k 2(k 2x P －y P )3＋4k 22＝8⎝⎛⎭⎫－34k 1⎝⎛⎭⎫－34k 1x P －y P 3＋4⎝⎛⎭⎫－34k 12＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3 则x N ＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3－x P＝－4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21＝－x M .从而x N ＋x M ＝0 即M ，N 两点的横坐标之和为常数．。

2019-2020年高中数学人教A版选修2-1单元优选卷：(10)立体几何中的向量方法 Word版

姓名，年级：时间：单元优选卷（10）立体几何中的向量方法1、在三棱锥A BCD -中,平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为12,n n ，若12,3n n π=，则二面角A BD C --的大小为（）A 。

3πB 。

23π C.3π或23π D.6π或3π2、在正方形1111ABCD A B C D -中，若E 为11A C 的中点，则直线CE 垂直于( ) A 。

ACB 。

BDC 。

1A DD.1A A3、设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ,若2,3a n π=,则l 与α所成的角为( ） A 。

23π B 。

3πC 。

6πD.56π 4、若平面,αβ的法向量分别为1,1,3,(1,2,6)2a b ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则( ) A.//αβ B.α与β相交但不垂直 C 。

αβ⊥D.//αβ或α与β重合5、若AB CD CE λμ=+,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（） A 。

相交B 。

平行C 。

在平面内D 。

平行或在平面内6、已知平面α的一个法向量是(1,1,1),(2,3,1),(1,3,2)n A B =,则直线AB 与平面α的关系是（） A.//AB α B.AB α⊥C 。

AB α⊄D 。

//AB α或AB α⊂7、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点,,M P Q 分别为棱,,AB CD BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出以下结论：①11//A M D P ;②11//A M B Q ;③1//A M 平面11DCC D ;④1//A M 平面11D PQB 其中正确的有（） A.1个B 。

2个C 。

3个D 。

4个8、在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1C C 的中点,则直线BE 与平面1B BD 所成的角的正弦值为（） A.105-B 。

105C.55-D.559、如图所示,已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA AD AC ==,点F 为PC 的中点，则二面角C BF D --的正切值为（）A 。

2019-2020年高中数学人教A版选修2-1单元优选卷：(2)充分条件与必要条件 Word版含答案

单元优选卷（2）充分条件与必要条件1、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D.无法判断2、下列式子:①1x <；②01x <<；③11x -<<；④10x -<<.其中，可以是21x <的一个充分条件的所有序号为( ) A.①②B.①②③C.②③D.②③④3、“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A.14m >B.01m <<C.0m >D.1m >4、集合1|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}|B x a x b a =-<-<.若“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( ) A.[)2,0-B.(]0,2C.(2,2)-D.[]2,2-5、设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使a b ab=成立的充分条件是( )A.a b =-B.//a bC.2a b =D.//a b 且a b =6、下列说法正确的是( )A.“0x >”是“1x >”的必要条件B.已知向量,m n ，则“//m n ”是“m n =”的充分条件C.“44a b >”是“a b >”的必要条件D.在ABC △中，“a b >”不是“A B >”的充分条件 7、“ln(1)0x +<”是“0x <”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.无法判断D.既不充分也不必要条件8、已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3απ>”是“k >( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.无法判断D.既不充分也不必要条件9、已知命题“若p ,则q ”，假设其逆命题为真，则p 是q 的( ) A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.无法判断10、已知,αβ表示两个不同平面，直线m 是α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.无法判断D.即不充分也不必要条件11、已知2:230p x x --<，若1a x a -<-<是p 的一个必要条件，则使a b >恒成立的实数b 的取值范围是________.12、“若a b c d ≥⇒>”和“a b e f <⇒≤”都是真命题，则“c d ≤”是“e f ≤”的______条件.(填“充分”或“必要”) 13、已知集合{}1|28,R ,|11,R 2x A x x B x x m x ⎧⎫=<<∈=-<<+∈⎨⎬⎩⎭,若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是________.14、已知“1k m -<<”是“方程2220x y kx k +++=表示圆”的充分条件，则实数的取值范围是_______.15、“2b ac =”是“,,a b c 成等比数列”的_________条件.(填“充分”或“必要”)答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：∵乙⇒甲，丙⇒乙，乙丙，∴丙⇒甲，甲丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件2答案及解析：答案：D解析：∵21x <，∴11x -<<，∴②③④可以是21x <的充分条件.3答案及解析：答案：C解析：要使不等式20x x m -+>在R 上恒成立,则有140m ∆=-<,即14m >,“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是0m >,选C.4答案及解析：答案：C解析：{}{}|11,|A x x B x b a x a b =-<<=-<<+，∵由1a =，得A B ⋂≠∅，当1a =时，{}|11B x b x b =-<<+，∴1111b b +>-⎧⎨-<⎩∴22b -<<，∴实数b 的取值范围是(2,2)-.5答案及解析：答案：C解析：对于A ，当a b =-时，a b ab ≠；对于B ，注意当//a b 时，a a与b b可能不相等；对于C ，当2a b =时，22a b b ab b==；对于D ，当//a b 且a b =时，可能有a b =-，此时a b ab≠.综上所述，使a b ab=成立的充分条件是2a b =.6答案及解析：答案：A解析：当1x >时，有0x >，所以A 正确；当//m n 时，m n =不一定成立，所以B 不正确；当a b >时，44a b >不一定成立，所以C 不正确；在ABC △中，当a b >时，有A B >，所以“a b >”是“A B >”充分条件，所以D 不正确.故选A7答案及解析：答案：A解析：ln(1)0x +<的解集为{}|10x x -<<，故选A8答案及解析：答案：B解析：根据正切函数的函数图像可知，若倾斜角3απ>，则斜率k >0k <；若斜率k >23αππ>>.所以“3απ>”是“k >.9答案及解析：答案：B解析：∵“若q ，则p ”为真，∴q 可以推出p ，∴p 是q 的必要条件.10答案及解析：答案：A解析：,αβ表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线，若//αβ，则//m β，∴“//αβ”是“//m β”的充分条件；若//m β，不能推出//αβ，故不是必要条件，∴“//αβ”是“//m β”的充分不必要条件.故选A11答案及解析：答案：(,2)-∞解析：2:23013;1p x x x a x a --<⇔-<<-<-<11a x a ⇔-<<+.依题意得{}{}|13|11x x x a x a -<<⊆-<<+，所以1113a a -≤-⎧⎨+≥⎩解得2a ≥，则使a b >恒成立的实数b 的取值范围是(,2)-∞.12答案及解析：答案：充分解析：因为“a b c d ≥⇒>”是真命题，所以它的逆否命题“c d a b ≤⇒<”也是真命题.又因为“a b e f <⇒≤”是真命题，所以“c d a b e f ≤⇒<⇒≤”.故“c d ≤”是“e f ≤”的充分条件.13答案及解析：答案：(2,)+∞ 解析：∵128,R 2x x <<∈，∴集合{}|13A x x =-<<，∵x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，∴A B ≠⊂,∴13m +>，即2m >.14答案及解析：答案：(]1,1-解析：当方程2220x y kx k +++=表示圆时，22340k k +->，解得11k -<<，所以11m -<≤，即实数m 的取值范围是(]1,1-.15答案及解析：答案：必要解析：,,a b c 成等比数列，可得2b ac =.。

2019-2020学年人教A版数学选修2-2同步作业：单元测试卷1 Word版含解析

姓名，年级：时间：第一章单元测试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

已知f(x)的定义域为R，f(x）的导函数f′(x）的图像如图所示，则( )A．f(x)在x＝1处取得极小值B．f（x）在x＝1处取得极大值C．f（x)是R上的增函数D．f（x）是（－∞，1）上的减函数，（1，＋∞）上的增函数答案C解析由导函数f′(x)的图像知，在R上f′（x)≥0恒成立，故f(x）是R上的增函数，选C. 2．设f(x）在x＝x0处可导，且lim错误!＝1，则f′（x0）等于（)Δx→0A．1 B．0C．3 D。

错误!答案D3．经过原点且与曲线y＝错误!相切的切线方程为（）A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0C．x＋y＝0或x＋25y＝0 D．以上皆非答案D4．已知函数f（x）＝错误!x4－2x3＋3m，x∈R，若f（x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（)A．m≥错误!B．m＞错误!C．m≤错误!D．m＜错误!答案A解析因为函数f（x）＝错误!x4－2x3＋3m,所以f′（x)＝2x3－6x2.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）＝3m－错误!.不等式f（x）＋9≥0恒成立,即f（x)≥－9恒成立，所以3m－错误!≥－9，解得m≥错误!.5．点P在曲线y＝x3－x＋错误!上移动,设点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是（）A．［0，错误!）B．[0，错误!)∪[错误!π，π)C．［错误!π，π）D．（错误!，错误!π］答案B6．在区间[错误!,2]上,函数f(x）＝x2＋px＋q与g（x）＝2x＋错误!在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在［错误!，2］上的最大值是( ）A。

错误! B.错误!C．8 D．4答案D7．函数f(x)＝cos2x－2cos2错误!的一个单调增区间是( )A.错误!B.错误!C。

2019-2020学年人教A版数学选修2-1同步导练作业：综合测试1 Word版含解析

姓名，年级：时间：第一章综合测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分100分，考试时间100分钟第Ⅰ卷（选择题，共32分)一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分)1．命题“若A⊆B,则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（)A．0 B．2C．3 D．4解析：原命题是假命题，则否命题是真命题，逆命题“若A＝B，则A ⊆B”是真命题．答案:B2．已知命题p:若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为0；命题q：若a〉b，则错误!<错误!。

给出下列四个复合命题:①p∧q②p∨q③┐p④┐q其中真命题的个数为（)A．1 B．2C．3 D．4解析：p是真命题,q是假命题，因为当a>0，b<0时不成立,则②④是真命题．答案：A3．（2015年高考·四川卷）设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3〈log b3"的( ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：条件3a>3b>3等价于a〉b>1.当a〉b〉1时，log3a〉log3b>0.所以，错误!<错误!，即log a3<log b3。

所以，“3a>3b〉3”是“log a3〈log b3”的充分条件．但a＝错误!，b＝3也满足log a3〈log b3,而不满足a〉b>1.所以,“3a〉3b〉3”是“log a3<log b3”的不必要条件．故选B。

答案：B4．下列全称命题为真命题的是( )A．所有的素数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的平行向量均相等解析：A是假命题，2是素数但不是奇数C是假命题，x＝错误!时不成立D是假命题，平行向量是指共线向量．答案：B5．已知a，b是实数,则“a〉0且b>0”是“a＋b〉0且ab〉0”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:由a＞0且b＞0⇒a＋b＞0且ab＞0，反之a＋b＞0且ab＞0⇒a ＞0且b＞0.所以二者互为充要条件．答案：C6．下列命题中，假命题为（）A．存在四边相等的四边形不．是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R,且x＋y〉2,则x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N＋,C0n＋C错误!＋…＋C错误!都是偶数解析:(验证法)对于B项，令z1＝－1＋m i，z2＝9－m i(m∈R），显然z1＋z2＝8∈R,但z1,z2不互为共轭复数,故B为假命题，应选B。

2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第三章 _空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算

第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算1.在空间四边形OABC中,+-等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:原式=-=.故选C.2.下列命题中正确的个数是( A )①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;②a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b 为零向量,a不为零向量时,λ不存在,故③错误.故选A.3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( B )(A)-a+b+c (B)a+b+c(C)a-b+c (D)-a-b+c解析:因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,=a,=b,=c,所以=+=+(+)=(+)+=a+b+c.故选B.4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )(A)A,B,D (B)A,B,C(C)B,C,D (D)A,C,D解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( A )(A)P∈AB (B)P∉AB(C)点P可能在直线AB上(D)以上都不对解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即-=n(-),即=n,所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A.6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D )(A)m,n,p共线(B)m与p共线(C)n与p共线(D)m,n,p共面解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于( D )(A)(B)9 (C)(D)解析:因为a,b,c三向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).所以所以λ=.8.给出下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中错误命题的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:显然①正确;若a,b共线,则|a+b|=|a|+|b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C.9.下列命题:①空间向量就是空间中的一条有向线段;②不相等的两个空间向量的模必不相等;③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;④向量与向量的长度相等.其中真命题是(填序号).解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.答案:④10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(-)-;②(+)-;③(-)-2;④(+)+.其中能够化简为向量的是.(把你认为正确的序号填上)解析:如图所示.①(-)-=-=;②(+)-=-=;③(-)-2=-2≠;④(+)+=.综上可得,只有①②能够化简为向量.答案:①②11.如图,三棱锥P-ABC中,M是AC的中点,Q是BM的中点,若实数x,y,z 满足=x+y+z,则x-y+z= .解析:因为=+=+=+(-)=+[(+)-]=++,所以x=,y=,z=.所以x-y+z=0.答案:012.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).解析:根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且AB,AC有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2= -4·(-e1+e2)=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确.答案:②③④13.如图所示,已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.(1)化简++,并在图中标出其结果;(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点(靠近C1点),设=α+β+γ,求α,β,γ的值.解:(1)取DD1的中点G,过点G作DC的平行线GH,使GH=DC,连接AH(如图),则++=.(2)因为M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点(靠近C1点),所以=+=+=(-)+(+)=++,所以α=,β=,γ=.14.如图,H为四棱锥P-ABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC,点G在AH 上,AG=mAH.四边形ABCD为平行四边形,若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.解:如图,连接BD,BG.因为=-且=,所以=-.因为=+,所以=+-=-++.因为=,所以==(-++)=-++.又因为=-,所以=-++.因为=m,所以=m=-++.因为=-+=-+,所以=(1-)+(-1)+.又因为B,G,P,D四点共面,所以1-=0, 即m=.15.求证:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分.已知:如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G,H,P,Q分别是所在棱的中点.求证:EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.证明:如图,连接EG,GP,QH,HF,EH,GF.因为E,G分别为AB,AC的中点,所以EG BC.同理,HF BC,所以EG HF.从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O 为它们的中点.只要能证明向量=-,就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点.事实上,=+,=+.因为O为GH的中点,所以+=0.易知GP CD,QH CD,所以=,=.所以+=+++=0.所以=-.故PQ经过O点,且O为PQ的中点.所以EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有( C )①+与+是一对相反向量;②-与-是一对相反向量;③+++与+++是一对相反向量;④-与-是一对相反向量.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:利用图形及向量的运算可知②中是相等向量,①③④中是相反向量.故选C.17.若P,A,B,C为空间四点,且有=α+β,则α+β=1是A,B,C 三点共线的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若α+β=1,则-=β(-),即=β,显然A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ,故-=λ(-),整理得=(1+λ)-λ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1.故选C.18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为.解析:因为A,B,C三点共线,所以存在唯一实数k,使=k,即-=k(-),所以(k-1)+-k=0,又λ+m+n=0,令λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0.答案:019.已知空间四边形ABCD中,=b,=c,=d,若=2,且=xb+yc+zd(x,y,z∈R),则y= .解析:如图所示,=+=-+=-+(-)=-++=-b+c+d.因为=xb+yc+zd(x,y,z∈R),所以y=.答案:20.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC, △PCD,△PDA的重心.(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.(1)证明:如图,分别连接PE,PF,PG,PH并延长,交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM,因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R是所在边的中点,且=,=,=,=.由题意易知四边形MNQR是平行四边形,所以=+=(-)+(-)=(-)+(-)=(+).又=-=-=,所以=+,由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.(2)解:平行.证明如下:由(1)得=,所以∥,所以EG∥平面ABCD.又=-=-=,所以∥.所以EF∥平面ABCD.又因为EG∩EF=E,所以平面EFGH与平面ABCD平行.。

2019-2020学年人教A版数学选修2-1：单元质量评估(一)含答案

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单元质量评估(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016·宜昌高二检测)下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则ac2>bc2;④矩形的对角线互相垂直.其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 D.①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当c=0时不成立;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定垂直.【补偿训练】下列命题是真命题的是( )A.y=tanx的定义域是RB.y=的值域为RC.y=的递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞)D.y=sin2x-cos2x的最小正周期是π【解析】选 D.当x=kπ+,k∈Z时,y=tanx无意义,A错;函数y=的定义域为.答案:【拓展延伸】完美解决参数问题通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:(1)熟练掌握真值表,判断单个命题p,q的真假.(2)具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围.(3)辅助应用集合的运算确定参数的最后范围.15.(2016·徐州高二检测)已知命题p:≤1,命题q:x2-2x+1-m2<0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m的范围是.【解析】命题p首先化简为-1≤x≤3,命题q是二次不等式,p是q的充分不必要条件说明当-1≤x≤3时不等式x2-2x+1-m2<0恒成立,故又m>0,故可解得m>2.答案:(2,+∞)16.给出下列命题:①数列,3,,,3…的一个通项公式是;②当k∈(-3,0)时,不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立;③函数y=sin2-sin2是周期为π的奇函数;④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.其中,真命题的序号是.【解析】①数列,3=,,,3=…的被开方数构成一个以3为首项,以6为公差的等差数列,故它的一个通项公式是,故①正确;②当k∈(-3,0)时,因为Δ=k2+3k<0,故函数y=2kx2+kx-的图象开口朝下,且与x轴无交点,故不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,故②正确;③函数y=sin2-sin2=sin2-cos2=-cos=sin2x,是周期为π的奇函数,故③正确;④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内,故④正确.故真命题的序号是①②③④.答案:①②③④【补偿训练】下列正确命题有.①“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件;②如果命题“(p或q)”为假命题,则p,q中至多有一个为真命题;③设a>0,b>1,若a+b=2,则+的最小值为3+2;④函数f(x)=3ax+1-2a在(-1,1)上存在x0,使f(x0)=0,则a的取值范围是a<-1或a>.【解析】①由θ=30°可得sinθ=,反之不成立,因此“sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件;②命题“(p或q)”为假命题,则p,q都是假命题;③a+b=2,所以a+b-1=1,+=(a+b-1)=3++≥3+2,最小值为3+2;④由题意得f(-1)f(1)<0,所以(-5a+1)(a-1)<0,所以a<-1或a>.答案:③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数.(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.(3)?x∈{x|x>0},x+≥2.(4)?x0∈Z,log2x0>2.【解析】(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(3)命题中含有全称量词“?”,是全称命题,真命题.(4)命题中含有存在量词“?”,是特称命题,真命题.18.(12分)已知f(x)=x2,g(x)=-m,若对?x1∈,?x2∈,有f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.【解析】根据题意知,f(x1)min≥g(x2)min,当x1∈时,f(x1)min=0.当x2∈时,g(x2)=-m的最小值为g(2)=-m.因此0≥-m,解之得m≥.故实数m的取值范围是.19.(12分)(2016·马鞍山高二检测)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件,证明你的结论.【解题指南】先求出必要条件,再证明其充分性.【解析】必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|==1,则G2-4F=1.充分性:若G2-4F=1,x2+Gx+F=0有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.故所求的充要条件是G2-4F=1.20.(12分)(2016·汕头高二检测)已知p:-2≤1-≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【解题指南】先解不等式求出p真和q真的条件.p真:-2≤x≤10;q真:1-m≤x≤1+m,然后利用p是q的必要不充分条件,根据集合之间的包含关系建立关于m的不等式,求出m的取值范围.【解析】由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,所以q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.由-2≤1-≤2,得-2≤x≤10.所以p:B={x|x>10或x<-2},因为p是q的必要不充分条件,所以A B,所以21.(12分)(2016·聊城高二检测)设命题p:函数f(x)=lg的定义域为R:命题q:3x-9x<a对一切的实数x恒成立,如果命题“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.【解析】要使函数f(x)=lg的定义域为R,则不等式ax2-x+>0对于一切x∈R恒成立, 若a=0,则不等式等价为-x>0,解得x<0,不满足恒成立.若a≠0,则满足条件即解得即a>2,所以p:a>2.因为g(x)=3x-9x=-+≤,所以要使3x-9x<a对一切的实数x的恒成立,则a>,即q:a>.要使p且q为假,则p,q至少有一个为假命题.当p,q都为真命题时,满足即a>2,所以p,q至少有一个为假命题时有a≤2,即实数a的取值范围是a≤2.22.(12分)(2016·福州高二检测)已知a>0,b>0,函数f(x)=ax-bx2.(1)求证:?x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件.(2)当b=1时,求f(x)≤1,x∈恒成立的充要条件.【解析】(1)f(x)=ax-bx2=-b+,因为?x∈R,f(x)≤1,所以≤1,又a>0,b>0,所以a≤2,所以?x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件.(2)因为b=1,所以f(x)=ax-x2,当x=0时,f(x)=0≤1成立,当x∈(0,1]时,f(x)≤1恒成立,即a≤x+在(0,1]上恒成立,又=2,此时x=1,所以0<a≤2,当0<a≤2时,a≤x+在(0,1]上恒成立,所以f(x)≤1在(0,1]上恒成立,所以f(x)≤1,x∈(0,1]上恒成立的充要条件为0<a≤2.关闭Word文档返回原板块。

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1
第三章章末测试卷
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)

1．已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则AB→＋12(BD→＋BC→)＝()
A.AG
→B.CG→

C.BC→D.12BC
→

答案A
解+析在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以BG
→＝12(BD→＋BC→)，从而AB→＋12(BD→＋BC→
)

＝AB→＋BG→＝AG
→
.

2.如图，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设AA′
→＝a，AB→

＝b，AC→＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用向量a，b，c表示
向量MN→等于()
A．a＋12b＋12cB.12a＋12b＋12c
C．a＋12bD.12a
答案D
解+析MN
→＝12BB′→＝12AA′→
＝12a.

3．以下四个命题中，正确的是()
A．向量a＝(1，－1，3)与向量b＝(3，－3，6)平行

B．△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·AC
→
＝0

C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a－b，b－c，c－a构成空间的另一基底
答案D
4．向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，若ka－b与b垂直，则实数k＝()
A．7B．－7
C．6 D．－6
答案A
2

解+析ka－b＝k(－1，0，1)－(1，2，3)＝(－k－1，－2，k－3)，若ka－b与b垂直，则(ka
－b)·b＝0，即(－k－1)－4＋3(k－3)＝0，解得k＝7.
5．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹
角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
答案C

解+析设向量a＋b与c的夹角为α，

因为a＋b＝(－1，－2，－3)，|a＋b|＝14，cosα＝（a＋b）·c|a＋b||c|＝
1
2
，所以α＝60°.因为向量a

＋b与a的方向相反，所以a与c的夹角为120°.故选C.
6．三棱柱ABC－A1B1C
1中，底面ABC为正三角形，侧棱长等于底面边长，A1

在底面的射

影是△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()

A.13B.
2
3

C.33D.
2
3

答案B

解+析如图，设A
1
在底面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，建立

如图所示的空间直角坐标系．

设△ABC边长为1，则A(33，0，0)，B1(－32，12，63)，
所以AB1→＝(－536，12，63)．
平面ABC的法向量n＝(0，0，1)，

则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα＝|cos〈AB1→，n〉|＝637536＋14＋69＝
2
3
.故选B.

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM→，D1N
→
〉

＝()
A.459B.
4
9