人教版初中数学中考解直角三角形及其应用学案

解直角三角形
知识点梳理
1、 解直角三角形的概念：
在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2、 直角三角形的组成：
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角． 3、 解直角三角形的主要依据：
设在Rt ABC ∆中，=90C ∠ ，A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、，AB 边上的高为h ，则有：
（1）三边之间的关系：222a b c +=（勾股定理）．
（2）边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot ,a b a b
A A A A c c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b a b a
B B B B c c a b ====
（3）面积公式：11
22
ABC S ab ch ∆==
解直角三角形的类型与解法：
4、 仰角和俯角：
如图1所示，在进行测量时从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往
5、 方位角、方向角：
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角，如
图2中，目标方向线P A ，PB ，
PC 的方位角分别是40135245︒︒︒，
，．
图
2 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90︒的水平角，叫做方向角，如图3中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30︒，南偏东45︒，南偏西80︒，北偏西60︒． 6、 坡度和坡角：
坡度与坡角：如图4所示，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h
i l
=
． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有tan h
i l
α==． 注意：
（1） 坡度通常写成1:m 的形式．
（2） 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
在实际问题中，若已知坡比可求斜坡的坡角，反之，若已知坡角α的度数，可求出斜坡的坡度（或坡比）．所依据的关系式为：tan i α=．
典型例题分析
1、 解直角三角形；
C
例1、在Rt ABC ∆中，90C ∠= ，cosA 、cosB 是方程2
210x -+=的两个根． （1） 求证：cosB sinA =； （2） 求B ∠、A ∠的度数；
（3） 若斜边c 是方程250x x c -+=的一个根，求直角边a 、b 的长． 【答案：（1）略；（2）45B A ∠=∠=︒；（3）a b ==
例2、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，15,13,8,AB CD AD B ===∠是锐角，B
∠的正弦值为
4
5
，那么BC 的长为_________． 【答案：22或12 】 例3、如图，已知4
tan 3
O =
，点P 在边OA 上，5OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，如果2MN =，那么PM = ．
】
例4、如图，已知ABC ∆是等边三角形，6AB ＝，点D 在AC 上，2AD CD ＝，CM
是ACB ∠的外角平分线，联结BD 并延长与CM 交于点E ． （1）求CE 的长；
（2）求EBC ∠的正切值．
【答案：3CE =,tan EH EBC BH ∠=
= 】 例5、已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，
14BC =，12AD =，4
sin 5
B =，求：
（1）线段DC 的长； （2）tan EDC ∠的值．
【答案：（1）5 （2）
12
5
】 例6、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，
6CD =，3
cos 5
ADC ∠=，2tan 3
B =
． （1）求AC 和AB 的长；（2）求sin BAD ∠的值．
【答案：sin AB BAD =∠= 】
2、 仰角、俯角；
例7、一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞
机与监测点的距离是 ．
【答案：
例8、在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角
为45°，则该旗杆的高度为_____________米．（结果保留根号）
【答案：5+】
例9、2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于
世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测的上海中心大厦顶部的仰角是22.3︒．已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为____________米（精确到1米）．（参考数据：sin 22.30.38,cos 22.30.93.tan 22.30.41︒≈︒≈︒≈） 【答案：632】
例10、在某反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为300，位于军舰A 正上方2000
D
C
米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为680，试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．
（结果保留整数．参考数据：0
68096804682517sin .cos .tan ..≈≈≈≈，，）
【答案：潜艇C 离开海平面的下潜深度约为615米．】 3、 方位角、方向角；
例11、B 在A 北偏东30°方向（距A ）2千米处，C 在B 的正东方向（距B ）2千米
处，则C 和A 之间的距离为 千米．
【答案：
例12、如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10海里，货轮
C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离是 海里．
【答案：210 】
例13、如图，点P 表示某港口的位置，甲船在港口北偏西
30方向距港口50海里的A
处，乙船在港口北偏东
45方向距港口60海里的B 处，两船同时出发分别沿AP 、
BP 方向匀速驶向港口P ，1小时后乙船在甲船的正东方向处，已知甲船的速度
是10海里/时，求乙船的速度．
P
东
B
A
海平面。