高中数学双曲线及抛物线
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
高中数学椭圆双曲线抛物线
LOGO
Y
. . . . C1 OO
F2
C2 A2
X
LOGO
问题1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：aa－ ＋cc＝ ＝66
371＋200 371＋5 100
⇒ 2a＝18 042 km.
问题2：此时椭圆的离心率为多少？ 提示：∵a＝9 021，c＝2 450，
∴e＝ac＝0.271 6. 问题3：“嫦娥一号”卫星的轨道方程是什么?
x2 y2 1 49 25
10
2b
4
18
4
14
范围 | x | 4 2 |x|≥3 |y|≥2 |y|≥5
顶点 4 2,0 (±3,0) (0,±2) (0,±5)
焦点 6,0 3 10 ,0 0,2 2 0, 74
离心率 渐近线
e3 2 4
y 2x 4
e 10
y=±3x
e 2
Y
.
B2
..
F1 A1
. .X
A2 F
2
.B1
(2)离心率：
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
三、典例精析
21
例1:已知双曲线的两个焦点的距离为26，双曲线上 一点到两个焦点的距离之差的绝对值为24，求双 曲线的方程。
解：设焦点F1, F2在x轴上,由题意知 2c 26,2a 24.
y2 a2
x2 b2
1
Y A2
F2
B1 o F1 B2 X
A1
b x b,a y a
关于x轴，y轴， 原点 ,对称。
A(0,a), B(b,0)
e c (0 e 1) 10 a
椭圆的几何性质
双曲线和抛物线的区别究竟在哪？
双曲线和抛物线的区别究竟在哪？安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。
1.从用平面截圆锥的角度比较大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线——也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。
当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图1）；（ 图1） （图2）当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0︒时，交线为双曲线（如图2）。
在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？下面我们来证明上述结论。
为研究问题的方便，我们特作如下的约定：设圆锥AEF 的轴截面AEF 顶角2(0)2EAF παα∠=<<，平面π与圆锥轴线AC 所成的角(0)2πθθ≤≤。
设平面π过母线AE 上的点D ，又C π∈，.AC m =不妨设平面AEF ⊥平面.πA 在平面π上的射影为O ，B 为平面π截圆锥面所得图形上任一动点。
以O 为原点，,CO OA 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系(如图3)，则cos ,sin CO m OA m θθ==，因而(0,cos ,0),(0,0,sin ).C m A m θθ-再设(,,0),B x y 则(0,cos ,sin ),AC m m θθ=--(,,sin )AB x y m θ=-，22cos sin cos .AC AB my m m θθα⋅=-+=两边平方整理可得：2222222222cos (cos cos )2sin cos sin (cos sin )0()x y m y m ααθθθθαθ⋅+-+⋅+-=*1、 当2πθ=时，()*式变为222222cos cos (cos 1)0,x y m ααα⋅+⋅+-=即2222tan x y m α+=，得到一个圆。
高中数学学习中的抛物线与双曲线方程求解方法
高中数学学习中的抛物线与双曲线方程求解方法在高中数学学习中，抛物线与双曲线是重要的二次函数的图像形式。
学生们需要掌握求解抛物线和双曲线方程的方法，以便能够准确地描述并解决与这些图形相关的问题。
本文将介绍高中数学学习中抛物线与双曲线方程求解的方法。
首先，我们来讨论抛物线的方程求解。
一般来说，抛物线的方程通常是二次函数的形式：y = ax² + bx + c。
在求解抛物线方程时，我们通常要考虑以下几种情况：一种情况是已知抛物线上的三个点，我们需要确定抛物线的方程。
对于已知三个点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），我们可以建立三个方程：(1) y₁ = ax₁² + bx₁ + c(2) y₂ = ax₂² + bx₂ + c(3) y₃ = ax₃² + bx₃ + c通过解这个方程组，我们可以找到抛物线的方程。
另一种常见情况是已知抛物线的顶点和一点，需要确定抛物线的方程。
对于已知顶点（h，k）和一点（x₁，y₁），我们可以通过将这两个点代入抛物线的一般方程，得到下面的方程：(1) y₁ = a(x₁ - h)² + k通过解这个方程，我们可以得到抛物线的方程。
在实际问题中，我们常常需要求解与抛物线相关的问题。
例如，给定一个抛物线，我们需要找到它的焦点和准线。
对于抛物线方程 y = ax² + bx + c，我们可以通过求解以下方程得到焦点（p，q）和准线的方程：(1) p = -b / (2a)(2) q = c - (b² - 1) / (4a)通过求解这两个方程，我们可以找到焦点和准线的方程。
接下来，我们转到双曲线的方程求解。
与抛物线类似，双曲线的方程也是二次函数的形式：y = a/x。
在求解双曲线方程时，我们同样需要考虑不同的情况。
一种情况是已知双曲线上的两个点，我们需要确定双曲线的方程。
对于已知两个点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），我们可以建立以下方程：(1) y₁ = a/x₁(2) y₂ = a/x₂通过解这个方程组，我们可以找到双曲线的方程。
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。
2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。
二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。
2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。
3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。
三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。
2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。
3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。
四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。
2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。
3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。
五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。
双曲线及抛物线
一、双曲线知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在．知识点二 双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形性质 范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a x y ＝±a bx 离心率 e ＝ ca，e ∈(1，＋∞)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长||A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长||B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长知识梳理双曲线及抛物线考点一 双曲线的定义及其应用【典例1】(1)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3||PF 1＝4||PF 2，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48(2)设双曲线x 24－y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为__________．【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝10.根据题意和双曲线的定义知2＝|PF 1|－|PF 2|＝43|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|，所以|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24.(2)由双曲线的标准方程x 24－y 22＝1得a ＝2，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝4，|BF 2|－|BF 1|＝4，所以|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝8.因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，当直线l 过点F 1，且垂直于x 轴时，|AB |最小，所以(|AF 2|＋|BF 2|)min ＝|AB |min ＋8＝2b 2a＋8＝10. 【方法技巧】(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立为|PF 1|·|PF 2|的关系．(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．【变式1】椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共焦点为F 1，F 2，若P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －aB ．m 2－a 2 C.m －a2 D.m －a【解析】由题意，不妨设P 在双曲线的右支上，F 1为左焦点，则|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m 2－a 2.经典例题剖析考点二双曲线的标准方程【典例2】(2018·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1 B.x212－y24＝1 C.x23－y29＝1 D.x29－y23＝1【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，b2a)，B()c，－b2a，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝|bc－b2|a2＋b2＝bc－b2c，d2＝|bc＋b2|a2＋b2＝bc＋b2c，因为d1＋d2＝6，所以bc－b2c＋bc＋b2c＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，即a2＋9a2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x23－y29＝1，故选C.【方法技巧】求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．【变式2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为5 4；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．【解析】(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知2b ＝12，e ＝c a ＝54，所以b ＝6，c ＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)因为双曲线经过点M (0,12)，所以M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25.所以双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)，所以⎩⎨⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.所以双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 考点三 双曲线的几何性质及其应用【典例3】【2019年全国Ⅱ卷】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．2e ∴=，故选A ．【举一反三】(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x(3)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为_____．【解析】(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)，所以a 2＋b 2＝9②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5.故选B.(2)由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.(3)双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233.【方法技巧】双曲线中一些几何量的求解方法(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程：依据题设条件求出a ，b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程． (4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长：依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．【变式3】(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是__________．【解析】一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，由题知bc a 2＋b 2＝32c ，所以b c ＝32，即c 2－a 2c 2＝34，即()a c 2＝14，所以e 2＝4，所以e ＝2.考点四 直线与双曲线的位置关系【典例4】（辽宁鞍山一中2019届模拟）一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于点R ，且OP →·OQ →＝－3，PR →＝3RQ →，求直线和双曲线的方程．【解析】因为e ＝3，所以b 2＝2a 2，所以双曲线方程可化为2x 2－y 2＝2a 2.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，2x 2－y 2＝2a 2得x 2－2mx －m 2－2a 2＝0，所以Δ＝4m 2＋4(m 2＋2a 2)>0，所以直线l 一定与双曲线相交．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2.因为PR →＝3RQ →，x R ＝x 1＋3x 24＝0，所以x 1＝－3x 2，所以x 2＝－m ，－3x 22＝－m 2－2a 2，消去x 2，得m 2＝a 2.又OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )·(x 2＋m )＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4a 2＝－3，所以m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2.直线l 的方程为y ＝x ±1，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.【方法技巧】解有关直线与双曲线的位置关系的方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．【变式4】（河北衡水中学2019届模拟）若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若||AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．【解析】(1)由⎩⎨⎧c a＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎨⎧ a 2＝1，c 2＝2.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①因为直线与双曲线右支交于A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>0，x 1·x 2>0，Δ>0，即⎩⎨⎧ k ＞1，Δ＝2k2－41－k 2×－2＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜2，即k 的取值范围是(1，2)． (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2（1＋k 2）（2－k 2）（k 2－1）2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，所以k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，所以k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )，因为点C 是双曲线上一点，所以80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14，故k ＝52，m ＝±14.二、抛物线知识点一 抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．知识点二 抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向向右向左向上向下知识梳理知识点三 与焦点弦有关的常用结论设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．【知识必备】设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|F A |＋1|FB |＝2p ；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．考点一 抛物线的定义及其应用【典例1】（天津耀华中学2019届模拟）(1)定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则点M 到y 轴的最短距离为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2经典例题剖析(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为__________．【解析】 (1)如图所示，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |.又M 为AB 中点，由梯形中位线定理得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32，则M 到y 轴的距离d ≥32－12＝1(当且仅当AB 过抛物线的焦点时，等号成立)，所以d min ＝1，即点M 到y 轴的最短距离为1.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.故|PB |＋|PF |的最小值为4.【方法技巧】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．【变式1】（湖南株洲二中2019届模拟）已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则||P A ＋||PQ 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.所以|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋7－12－1＝10－1＝9，当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9.考点二 抛物线的标准方程及其几何性质【典例2】【2019年全国Ⅱ卷】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p+=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【举一反三】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D 5【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24b a =，2b a =，∴225c a b e a +===【方法技巧】(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【变式2】已知点F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，点P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若||PF 1＋||PF 2＝12，则抛物线的准线方程为__________．【解析】 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎨⎧x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，即点P的横坐标为3a .而由⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，所以|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1，所以抛物线的准线方程为x ＝－2.考点三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题【典例3】设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【解析】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24，得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42m ＋1.由题设知|AB |＝2|MN |，即42m ＋1＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.【方法技巧】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式||AB ＝x 1＋x 2＋p ；若不过焦点，则必须用弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【变式3】设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． (1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .【解析】 (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，故∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0.由⎩⎨⎧y ＝k x －2，y 2＝2x得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2. ①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k ＝－8＋8k ＝0.所以k B M ＋k B N ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .考点四 综合考查直线与抛物线的问题【典例4】【2019年全国Ⅰ卷】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．323AP PB =【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =．【变式4】已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__________．【解析】 由题意知抛物线开口向右，且a ＞0，当x ＝1时，y ＝±2a ，所以4a ＝4，即a ＝1，所以抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)．1．（江西省景德镇一中2019届模拟）如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1Q F 2为矩形，则双曲线的离心率为( )A ．2＋ 6 B.2＋ 6 C ．2＋ 2D.2＋ 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 2＝1C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y24＝13．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B.(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)4．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|P Q|＝( )A ．9B ．8C ．7D ．65．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB.x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y6．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )课后作业A ．y 2＝－12x B.y 2＝－8x C ．y 2＝－6x D ．y 2＝－4x7．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为( )A.13 B.33 C.32D ．18．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD ―→·EB ―→的最小值．9．（江苏省徐州一中2019届模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．【参考答案】1、由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y ＝x 代入双曲线C 的方程，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2，所以2·a 2b 2b 2－a 2＝c ，所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2)，即2(e 2－1)＝e 4－2e 2，所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e ＞1，所以e 2＝2＋2，所以e ＝ 2＋2，故选D.2、因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，所以a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.3、如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a b x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c 2，即M ()－bc 2a ，c 2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故()－bc2a2＋()c22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝ca＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.4、抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|P Q|＝|PF |＋|Q F |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.5、设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .故抛物线方程为y 2＝－x 或x 2＝－8y .6、设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.7、设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′. 因为直线l 过抛物线的焦点， 所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角是120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角是30°，斜率是33.故选B. 8、(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意得x －12＋y 2－|x |＝1，化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ， 则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)， 则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 所以AD ―→·EB ―→＝(AF ―→＋FD ―→)·(EF ―→＋FB ―→) ＝AF ―→·EF ―→＋AF ―→·FB ―→＋FD ―→·EF ―→＋FD ―→·FB ―→ ＝|AF ―→|·|FB ―→|＋|FD ―→|·|EF ―→| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝1＋()2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4()k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD ―→·EB ―→取最小值16.9、(1)因为e ＝2，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，则MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )．所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，因为M 点在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0，所以 MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3.所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10、(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，②又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3()c a4－8()c a2＋4＝0，所以(3e 2－2)(e2－2)＝0，因为e ＞1，所以e ＝2，所以双曲线的离心率为 2.。
双曲线和抛物线的区别究竟在哪？
双曲线和抛物线的区别究竟在哪？安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。
1.从用平面截圆锥的角度比较大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线——也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。
当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图1）；（ 图1） （图2）当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0︒时，交线为双曲线（如图2）。
在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？下面我们来证明上述结论。
为研究问题的方便，我们特作如下的约定：设圆锥AEF 的轴截面AEF 顶角2(0)2EAF παα∠=<<，平面π与圆锥轴线AC 所成的角(0)2πθθ≤≤。
设平面π过母线AE 上的点D ，又C π∈，.AC m =不妨设平面AEF ⊥平面.πA 在平面π上的射影为O ，B 为平面π截圆锥面所得图形上任一动点。
以O 为原点，,CO OA 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系(如图3)，则cos ,sin CO m OA m θθ==，因而(0,cos ,0),(0,0,sin ).C m A m θθ-再设(,,0),B x y 则(0,cos ,sin ),AC m m θθ=--(,,sin )AB x y m θ=-，22cos sin cos .AC AB my m m θθα⋅=-+=两边平方整理可得：2222222222cos (cos cos )2sin cos sin (cos sin )0()x y m y m ααθθθθαθ⋅+-+⋅+-=*1、 当2πθ=时，()*式变为222222cos cos (cos 1)0,x y m ααα⋅+⋅+-=即2222tan x y m α+=，得到一个圆。
高中抛物线知识点双曲线
高中抛物线知识点：双曲线双曲线是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形和函数的研究中起着重要的作用。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、性质和应用。
一、双曲线的定义双曲线是平面上一条特殊的曲线，它的定义是到两个固定点的距离差的绝对值等于一个常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的数学表示形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 (焦点在 x 轴上时) (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1 (焦点在 y 轴上时)其中，(h, k)是双曲线的中心点，a和b分别是 x 轴和 y 轴的半轴长度。
二、双曲线的性质 1. 双曲线的形状：双曲线在中心点附近呈现出两条分离的曲线，形状类似于两个对称的开口。
这两个开口的形状由离心率决定，离心率越大，开口越窄。
2.对称性：双曲线关于中心点对称。
3.渐近线：双曲线有两条渐近线，分别接近于曲线的两个分支。
渐近线的方程为 y = k ± (b/a)(x-h)。
4.焦点和直纹的关系：对于双曲线上的任意一点P，其到两个焦点的距离差的绝对值等于双曲线的离心率。
三、双曲线的应用双曲线不仅仅是一种数学图形，它在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用。
1.物理学中的光学系统：双曲线可以用来描述光线在光学系统中的传播路径。
例如，抛物面镜和椭圆面镜都是双曲线的特殊情况。
2.工程学中的电子设备：双曲线可以用来描述天线的辐射模式和电磁波的传播。
在雷达和卫星通信等领域，双曲线经常被用来分析和设计天线系统。
3.经济学中的成本函数：在经济学中，双曲线可以用来描述成本函数和供应曲线。
这对于研究企业的生产和供应决策非常重要。
双曲线作为一种重要的几何图形和函数形式，在高中数学中占据着重要的地位。
通过了解双曲线的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一知识点，进一步拓宽数学的视野。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线及抛物线（讲义）知识点睛一、双曲线1. 双曲线的标准方程我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ．12{|||||||2}P M MF MFa =-=．因为12|| ||MF MF ==所以2a =±． ①类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得22222222()()c a x a y a c a --=-，两边同除以222()a c a -，得222221x y a c a-=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以．类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得22221(00)x y a b a b-=>>，． 双曲线的标准方程：22221(0 0)x y a b a b，-=>>．2.双曲线的几何性质R R对称轴二、抛物线1.抛物线的标准方程我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2px =-．设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{|||}P M MF d==．因为||||2pMF d x ==+，所以||2px =+．将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>．2. 抛物线的几何性质1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点在x轴上，经过点(，3；（3）焦点为(06)-，，(06)，，且经过点(25)-，．2.双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，与2222(0)x ya bλλ-=≠有相同的（）A．实轴B．焦点C．渐近线D．以上都不对3.已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的一条渐近线方程是y=，它的一个焦点在直线6x=-上，则双曲线的方程为（）A．22136108x y-=B．221927x y-=C．22110836x y-=D．221279x y-=4.若双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，）A．2y x=±B．y=C．12y x=±D．2y x=±5. 已知F 为双曲线C ：221916x y -=的左焦点，P ，Q 为C 上的点． 若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5 0)A ，在线段PQ 上， 则△PQF 的周长为__________．6. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若(1 4)A ，，则||||PF PA +的最小值是__________．7. 如图，1F ，2F 是椭圆221 +14x C y =：与双曲线2C 的公共焦点， 点A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ） ABC ．32D8. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？9.点()M x y，到定点(5 0)F，的距离和它到定直线l：165x=的距离之比是常数54，求点M的轨迹方程．10.已知双曲线2212yx-=，过点(11)P，能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？如果能，求出直线l的方程；如果不能，请说明理由．11. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）关于x 轴对称，并且经过点(5 4)M -，； （2）准线方程是4x =； （3）焦点是(0 8)F -，；（4）对称轴是x 轴，且顶点与焦点的距离等于6．12. 如图，M 是抛物线212y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM为终边的角∠xFM =60°，则||FM =__________．13. 如图，已知直线1 4360l x y --=：和直线2 1l x =：，抛物线 24y x =-上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） AB ．2C ．115D ．314. 如图，斜率为1的直线l 经过抛物线为24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．15. 如图，过抛物线28y x =-的焦点F 的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，若||6AF =，求BF 的长．16.如图，已知直线l与抛物线22(0)=>交于A，B两点，且OA⊥OB，ODy px p⊥AB交AB于点D，若点D的坐标为(2 1)，，求p的值．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】 知识点睛一、x 轴、y 轴原点 2a 2b 2c by x a=±ay x b=±(1)+∞， 22a b + 二、x 轴y 轴2px =-2p x = 2p y =- 2p y =精讲精练1．（1）221169x y -=；（2）2213y x -=；（3）2212016y x -=2．C 3．B 4．B 5．44 6．97．D8．点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，以r 为实轴长的双曲线9．点M 的轨迹方程是221169x y -=10．不存在满足条件的直线l11．（1）2165y x =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±12．1213．B14．815．||3BF =16．54p =双曲线及抛物线（随堂测试）1. F 1，F 2为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．162. 若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线22y bx =的焦点分成长度之比为7:5的两部分，则此双曲线的离心率为__________．3. 已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，有一点A (3，2)，则|P A |+|PF |取最小值时点P 的坐标为 __________．【参考答案】1．B 23．(22)，双曲线及抛物线（作业）例1： 已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A． B． C ．3 D ．5【思路分析】先求出抛物线的焦点坐标，代入求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【过程示范】∵抛物线212y x =的焦点坐标为(30)，，∴双曲线22214x y b-=的右焦点坐标为(30)，，即c =3，∴249b +=，即b =∴双曲线的渐近线方程为2y x =±20y ±=，∴双曲线的焦点到其渐近线的距离d ==A ．例2： 如图，1F ，2F 是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，过点1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）C ．2 D【思路分析】利用三角形的边长比例关系，研究三角形的性质，再结合双曲线的定义，求出实轴长与焦距的比例关系．设||3AB t =，则2||4BF t =，2||5AF t =，可得△2ABF 是以B 为直角顶点的直角三角形；根据双曲线的定义，得2112||||||||AF AF BF BF -=-， 根据11||||||BF AB AF =+，得115||||34t AF AF t t -=+-，解得1||3AF t =，∴21||||22AF AF t a -==，即a t =， ∵∠1290F BF =︒，∴12||F F ==，即c =，∴离心率ce a==A ． 例3： 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于A ，B两点，若线段AB 的长为8，则p 的值为__________． 【思路分析】利用抛物线的几何定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离． 【过程示范】 如图所示：∵AB ⊥OF ，||8AB =， ∴||4AF =，∴点A 到准线2px =-的距离4d =， ∵点A 到准线2px =-的距离为p ，∴4p =．17. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，a =(52)A -，； （2）焦距为230x y ±=．18.倍，且一个顶点的坐标为(0 2)，，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -= B ．22144y x -=C ．22148y x -=D ．22184x y -=19. 过点(22)-，且与2212xy -=有公共渐近线的双曲线的方程是（ ）A ．22124y x -=B ．22142x y -= C ．22142y x -=D ．22124x y -=20. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．25B ．45C．5D．521. 设1F ，2F 是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若在C 上存在一点P ，使212PF F F ⊥，且1230PF F ∠=︒，则 C 的离心率为__________．22. 已知点P 为双曲线221916x y -=右支上的一点，M ，N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值为__________．23. 如图，1F ，2F 是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△2ABF 是等边三角形，则双曲线C 的离心率为__________．24. 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，则k 的取值范围是__________．25. 点(53)M ，到抛物线2y ax =的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ） A ．212x y =B ．2112x y =或2136x y =- C ．236x y =-D ．212x y =或236x y =-26. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．427. 已知点M 为抛物线22y x =上的一个动点，则点M 到点(02)，的距离与点M 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）AB ．3 CD ．9228. 已知直线l 与抛物线28y x =交于A ，B 两点，且直线l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，求线段AB 的中点到准线的距离．29. 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，||3AF =，求此抛物线的方程．【参考答案】1．（1）2212016x y-=；（2）22194x y-=或22194y x-=2．B3．A4．C56．978．k<k>9．D10．C11．A12．25 413．23y x=。