高中数学双曲线题型归纳
双曲线的综合问题-高中数学复习
2
是双曲线 － y 2＝1上的任意一点，则｜ AP ｜＝
9
（ −
10
（
9
min＝
2
5）2 ＋
9
−
− 1＝
10 2
9
− 10 + 24 ＝
（ − 5）2 ＋ 2 ＝
10
（ 2
9
− 9） + 24 ＝
9
3
9
2
） ＋ ，所以当 x ＝ 时，｜ AP ｜取得最小值，｜ AP ｜
2
2
2
3
=
3
100
300
x ，由൞
3
3
＝ ，
3
1，
可得
.
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PART
2
微专题 12
“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题
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高中总复习·数学
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化直接导致曲线形状
甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率或范围问题是近几年高考的
热点，这类问题所涉及的知识点较多、综合性强，解法灵活，内涵丰
1
2
2
2
2
2
2
2
2
所以 b ＜ c ，即 b ＜ c ， a － c ＜ c ， a ＜2 c ，所以 e ＞ ，
2
即e＞
（
2
，又因为0＜ e ＜1，所以椭圆离心率的取值范围为
2
2
，1）.故选A.
2
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高中总复习·数学
）
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高中总复习·数学
解析：如图，以接报中心为原点 O ，正东、正北
方向分别为 x 轴， y 轴的正方向，建立平面直角坐标
高中数学双曲线题型归类(全)
高中数学双曲线题型归类目录曲线与方程题型1：曲线的方程的判断题型2：直接法求曲线的方程题型3：定义法求曲线的方程题型4：相关点法求曲线的方程题型5：参数法求曲线的方程题型6：交轨法求曲线的方程双曲线题型1：求轨迹(双曲线)方程题型2：求双曲线的标准方程题型2.1：已知双曲线上一点及焦点，定义法求双曲线标准方程题型2.2：已知双曲线上两点，待定系数法求双曲线标准方程题型2.3：已知a,b,c关系，求双曲线标准方程题型3：双曲线的定义题型4：双曲线的渐近线题型4.1：求双曲线的渐近线题型4.2：已知双曲线的渐近线题型5：双曲线的离心率题型5.1：双曲线的离心率值题型5.2：双曲线的离心率取值范围题型6：双曲线的弦中点题型7：双曲线的焦点三角形题型8：焦点到渐近线的距离题型9：双曲线的弦长、三角形面积题型10：直线与双曲线的位置关系题型10.1：直线与双曲线的位置关系题型10.2：双曲线的切线问题题型11：双曲线中求值问题题型12：双曲线中求取值范围题型13：双曲线中求最值问题题型14：双曲线的定值问题方法是先猜后证。
猜法：取特殊情况或极端情况。
题型14.1：和差相消为定值题型14.2：乘除相约为定值题型15：双曲线的定点问题方法是先猜后证。
猜法：取两种特殊情况或极端情况的交点，或利用对称性判断定点在某直线上。
题型1：曲线的方程的判断1.已知曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则“f 1(x 0,y 0)=f 2(x 0,y 0)”是“点M(x 0,y 0)是曲线C 1与C 2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.方程|y|-1=表示的曲线是()A.两个半圆B.两个圆C.抛物线D.一个圆3.方程x 2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D 中的()A.1个B.2个C.3个D.4个4.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()A. B. C. D.题型2：直接法求曲线的方程1.到（0,2）和（4，-2）距离相等的点的轨迹方程___________2.设动点P 到点F(-1,0)的距离是到直线y=1的距离相等，求点P 的轨迹方程，并判定此轨迹是什么图形.3.动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？题型3：定义法求曲线的方程1.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为．2.过点（-2,0）的直线与圆221x y +=相交于A，B，求弦AB 中点M 的轨迹方程。
高中数学双曲线知识归类总结
高中数学双曲线知识归类总结一、双曲线上点到坐标轴上点的距离最大值及最小值根据两点距离公式,利用双曲线方程,借助代入消元法,消去其中一个变量,得到双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式,将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解,注意变量的取值范围. 先看例题：已知双曲线224:y C x -=求点(1,0)P 到此双曲线上的点的最近距离.整理：焦点在x 轴上的双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任一点(),P x y , (),0M m ,2222222||()()(1)x PM x m y x m b a =-+=---()0,N n ,2222222||()(1)()y PN x y n a y n b =+-=++-两点距离的最值问题转化成二次函数的最值问题进行求解,注意变量,x y 的取值范围,其中||,x a ≥y R ∈焦点在y 轴上的双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 类似处理. 再看一个例题,加深印象例：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率25=e ,点A （0,1）与双曲线上的点的最小距离是5302,求双曲线的方程．总结：1.根据双曲线不同形式的标准方程及两点距离公式,写出双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量x或y的函数表达式.2.根据变量,x y的取值范围,求出二次函数的最值,进而求出双曲线上点到坐标轴上点的距离最值.练习：1.已知双曲线C:221x y-=,点A(a,0) (a>0) 到双曲线上的点的最近距离为d,求解析式d=f(a).2.已知双曲线C:2214xy-=,P是C上的任意点.(Ⅰ)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (Ⅱ)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.答案：1.解：2222222()()12()122a a d x a y x a x x =-+=-+-=-+-,||1x ≥0＜a ≤2时,点A(a ,0)到双曲线的距离的最小值()|1|f a a ==-；当 a ＞2时,点A(a ,0)到双曲线的距离的最小值()f a =(Ⅱ)设P 的坐标为(x ,y ),则|PA |2＝(x －3)2＋y 222(3)14x x =-+-25124()455x =-+.∵|x|≥2, ∴当125x =时,|PA|2的最小值为45,即|PA |的最小值为5.二、有关双曲线中线段的和的最值问题本内研究双曲线中线段之和的最值.根据双曲线的第一定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 先看例题：例：已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |+|PA |的最小值为________.思考：P 是双曲线右支上的动点,答案如何？例如：已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|PA |的最小值为________.整理：根据双曲线的第一定义,利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三 边画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.设P 为平面内一动点,A 、B 为两定点,则||||||PA PB AB +≥当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．B A P P图2再看一个例题,加深印象：例：已知F 是双曲线22: 2C x y -=的右焦点,P 是C 的左支上一点,()0,2A .当APF ∆ 周长最小时,求P 的坐标.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.1.已知F是双曲线C:2218yx-=的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,).当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.2.已知F是双曲线221412x y-=的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________.3.已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=,离心率e=（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图,点A的坐标为(,B是圆22(1x y+=上的点,点M在双曲线右支上,求MA MB+的最小值,并求此时M点的坐标；（Ⅱ）设点D的坐标为,则点A 、D 为双曲线的焦点,||||22MA MD a -== 所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=+++≥ ,B是圆22(1x y +=上的点,其圆心为C ,半径为1,故||||11BD CD -=≥从而||||2||1MA MB BD ++≥由方程组2244x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩得x y ==∴M .三、双曲线中另一种线段之和的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之和1+||eM MFA（|MF|为焦半径,A是定点）的最值.根据双曲线的第二定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.先看例题：例：已知点A（5,3）,F（2,0）,在双曲线2213yx-=上求一点P,使1||||2PA PF+的值最小.显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的右支上,此时P点纵坐标为3,所以所求点P的坐标为P(2,3)注意：题目中PF的系数并不是任意的,它与双曲线的离心率有关.再看一个例题,加深印象例：已知P是双曲线221169yx-=右支上的动点,点F是双曲线的右焦点,定点()8,4A,求45PF PA+的最小值.解：由所求45PF PA+和54e=的特殊性,巧用第二定义化归为平几最值求解.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.练习：1.已知点A（3,2）,F（2,0）,在双曲线2213yx-=上求一点P,使1||||2PA PF+的值最小.2.已知P是双曲线2211620yx-=右支上的动点,点P是双曲线的右焦点,定点()7,6A,求23PF PA+的最小值.答案： 1.解：∵a=1，c=2，e=2ca=， 设点P 到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d ，则||12,||2PF PF d d =∴=即在双曲线上求点P ,使P 到定点A 的距离与到准线的距离之和最小,显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的右支上,此时P 点纵坐标为2,∴所求的点为P（3,2）.2.四、双曲线中线段之差的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之差的最值.根据双曲线的第一定义和第二定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.例：已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |-|PA |的最大值为________.解：由双曲线的图象,连接F A 延长交双曲线于点P ,满足|PF |-|P A |最大.由两点间距离公式，A (1,4),F (-4,0)求得最大值为||AF =整理：根据双曲线第一定义和第二定义利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边,画出图形利用几何图形的性质,三点共线线段之和取得最值.例如：设P为平面内一动点,A、B为两定点,则||||||PA PB AB+≥当且仅当点P在线段AB上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB-≤-≤当且仅当点P在线段AB（或BA）的延长线时取等号．BAP P图2再看一个例题：例：P为双曲线x2－y215＝1右支上一点,M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点,则|PM|－|PN|的最大值为__________．解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－y215＝1的两焦点．如图：当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大， |PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和， 同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.总结：1.在遇到双曲线中线段差的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.双曲线上到的双曲线内（不含焦点的区域）一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与双曲线的交点.3.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.练习：1．P 为双曲线2218-=y x 右支上一点,M 、N 分别是圆(x ＋3)2＋y 2＝4和(x －3)2＋y 2＝1上的点,则|PM |－|PN |的最大值为__________．2．设圆C与两圆2222(4,(4x y x y +=+=,中的一个内切,另一个外切. (Ⅰ)求C 的圆心轨迹L 的方程;(Ⅱ)已知点M且P 为L 上动点.求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标.答案：1.解：已知两圆圆心(－3,0)和(3,0)(记为F1和F2)恰为双曲线2218yx-=的两焦点．当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.五、双曲线中另一种线段之差的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之差1-||eM MFA（|MF|为焦半径,A是定点）的最值.根据双曲线的第二定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.先看例题：例：已知点A（5,3）,F（2,0）,在双曲线2213yx-=上求一点P,使1||||2-PA PF的值最大.解：∵a=1，c=2，e=2ca=，设点P到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d，则||12,||2PFPF d d=∴=即在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离之差最大，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的左支上，此时P点纵坐标为3，∴所求的点为P（-2，3）.注意：题目中PF的系数并不是任意的,它与双曲线的离心率有关. 整理：根据双曲线的第二定义,将1||MF e 转化为点到准线的距离,利用三角形两边之和大于第三边,或三角形两边之差小于第三边, 画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之差取得最值.例：已知P 是双曲线221169y x -=右支上的动点,点F 是双曲线的右焦点,定点()5,4A ,求45PF PA-的最大值.解：由所求4|PF|-5|PA|和45=e 的特殊性，巧用第二定义化归为平几最值求解.设P 1为P 在右准线上的射影，A 1为A 在右准线上的射影， 则4|PF|-5|P A |=5（|P A 1|-|P A |）≤5|A 1A |.当且仅当A ,P ,P 1，A 1共线时取最大值. 此时的最大值为116955(5)5955AA =-=⨯=.即4|PF |-5|P A |的最大值为9.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.练习：1.已知点A （3,2）,F （2,0）,在双曲线2213y x -=上求一点P,使1||||2-PA PF 的值最大.2.已知P 是双曲线2211620y x -=右支上的动点,点P 是双曲线的右焦点,定点()7,6A ,求23PF PA-的最大值.答案： 1.解：∵a=1，c=2，e=2ca=， 设点P 到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d ，则||12,||2PF PF d d =∴=即在双曲线上求点P ,使P 到定点A 的距离与到准线的距离之差最大,显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的左支上,此时P 点纵坐标为2,∴所求的点为P （3-,2）.2.解：设P 1为P 在右准线上的射影,A 1为A 在右准线上的射影,则2|PF |-3|P A |=3（|P A 1|-|P A |）≤3|A 1A |. 当且仅当A ,P ,P 1，A 1共线时取最大值. 此时的最大值为1163AA 3(7)196=-=.即4|PF |-5|P A |的最大值为19.。
双曲线的定义,距离之间的绝对值解读
A．(1， 3) B．( 3，2 2) C．(1＋ 2，＋∞)
D．(1,1＋ 2)
答案 D
4、设P为双曲线
x2 a2
y2 b2
1右支上的一点，若
| PF1
|
4 | PF2
|，
求e的范围
答案： 1 e 5 3
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高考调研
题型四
高中数学（新课标版·理）
直线与双曲线
引例 1、 已知双曲线 C：x32－y2＝1.
高考调研
高中数学（新课标版·理）
双曲线的定义，距离之间的绝对值
精辟讲解版
高考调研
高中数学（新课标版·理）
1．双曲线定义：平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2| ＝2c>0)的 距离之差的绝对值 为常数 2a(2a<2c)，则点 P 的轨迹叫双曲线．
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高考调研
高中数学（新课标版·理）
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设点 E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则 x1＋x2＝1－4kk2，x1x2＝－1－6 k2.
所以|EF|＝ x1－x22＋y1－y22
＝ 1＋k2x1－x22
＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝
1＋k2·2
2 3－k2 |1－k2| .
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题型二 双曲线的标准方程
例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与已知双曲线 x2－4y2＝4 有共同渐近线且经过点(2,2)；
变式：与已知双曲线 x2－4y2＝4 有共同焦点且过点(3,1) 变式：与已知双曲线 x2－4y2＝4 有相同离心率且过点(3,1)
高中数学圆锥曲线复习(二)——双曲线
圆锥曲线复习（二)---—双曲线一.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点F 1（-)0,c ，F 2()0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 ｜ F 1F 2|=2c222c b a =+范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称 顶点 (-a ，0）。
（a ，0） （0，—a ）（0，a ） 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率)1(>=e ac e 准线 c a x 2±=ca y 2±= 渐近线0=±bya x 0=±ayb x 到焦点的,c a =-最近距最远距无b Rt ∆焦渐距，第二个二、常见的结论：（1）与双曲线22221x y a b -=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k-=-+(2）与双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0),有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222by a x (a 〉0，b>0，λ≠0）, 当 λ>0 时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ〈0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 (3）等轴双曲线的性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0（4）双曲线形状与e 的关系：b k a ===，e 越大,即渐开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法(强调取一支还是两支）。
高中数学双曲线经典考点及例题讲解
双曲线考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题．[基础梳理]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程与几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( )A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45答案：C2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案：B3.x 22＋m －y 2m ＋1＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x考点一 双曲线定义及应用|易错突破[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B.x 22－y 214＝1(x ≥2) C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，求△F 1PF 2的面积．[解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2.故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1.(2)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.[答案] (1)D[易错提醒][纠错训练]1．(2018·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50解析：如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.答案：B2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，求|AP |＋|AF 2|的最小值．解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.考点二 双曲线的方程及性质|方法突破命题点1 求双曲线的方程[例2] (1)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的标准方程为( )A.y 29－x 23＝1 B.x 29－y 23＝1 C.y 24－x 26＝1 D.x 24－y 26＝1 (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________。
高三数学双曲线知识点总结归纳
高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。
下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。
一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。
双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。
横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。
二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。
2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。
3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。
4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。
5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。
四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。
2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。
五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。
2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。
高中数学最全双曲线二级结论大全
双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 12．AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) L =17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222002222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=⋅-.19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot 2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b -=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知双曲线22221x y a b -=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a-=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-. 44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A到双曲线两焦点的距离，则ab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=()2222()a n m a ma mb n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||ab PA c=时取等号）. 54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =. 55．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+. 57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-； ()22||||4c AB CD a a b a+≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()bx a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b --=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a -.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。
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高中数学双曲线题型归纳
类型一 双曲线的定义
【例1】已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．
1-1设P 是双曲线120
162
2=-
y x 上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( ) A ．1 B ．17 C ．1或17 D ．以上答案均不对
1-2已知F 是双曲线112
42
2=-
y x 的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF |＋|P A |的最小值为( ) A ．5 B ．5＋43 C ．7 D ．9
1-3已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．
类型二 几何性质
【例2】设F 1，F 2分别为双曲线122
22=-b
y a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右
支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0
B ．3x ±5y ＝0
C ．4x ±3y ＝0
D ．5x ＋4y ＝0
2-1若双曲线()01322
2>=-b b y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的4
1，则该双
曲线的虚轴长是（ ） A .2
B .1
C .
5
5 D .
5
5
2
2-2设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线122
22=-b
y a x (a ＞0，
b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．
2-3中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2， 且F 1F 2＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．
类型三双曲线的标准方程
【例3】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则双曲线的方程是( )
3-1双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（）
A.- 1
4B.-4 C.4 D.1
4
3-2设双曲线与椭圆
1
36
27
2
2
=
-
y
x
有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为
(15，4)，则此双曲线的标准方程是．3-3根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为5 4；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3)经过两点P(－3，27)和Q(－62，－7)．
类型四直线与双曲线的位置关系
【例4】(1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为23.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
【例4】(2)双曲线1
2=
2
x的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）-y
A. 1
y D. 3
=x
2+
=x
2-
y
2-
=x
y B. 2
2-
=x
y C. 3
4-1已知双曲线,问过点A （1，1）能否作直线,使与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
4-2已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线12
2
2
=-y x 于A 、B 两点，且
)(2
1
+=
，求直线AB 的方程。
12
2
2
=-y x l l l。