人教版高中数学双曲线
高中数学选择性必修一(人教版)《3.2.1双曲线及其标准方程》课件
法二：(定义法) 由题意知双曲线的两个焦点分别为 F1(0，－3)，F2(0,3)，且 A(4，－5)在双曲线上， 则 2a＝||AF1|－|AF2||＝| 20－ 80|＝2 5， ∴a＝ 5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y52－x42＝1.
(2)法一：若焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)． 因为 M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2， 0)．
由正弦定理，得 sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR(R 为△ABC 的外接圆半径)． 因为 2sin A＋sin C＝2sin B， 所以 2a＋c＝2b，即 b－a＝2c， 从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝2 2<|AB|.
[提醒] (1)分清双曲线的焦点所在的坐标轴是哪个． (2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[对点练清]
已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同
时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 解：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B， 根据两圆外切的条件，得 |MC1|＝|AC1|＋|MA|， |MC2|＝|BC2|＋|MB|. ∵|MA|＝|MB|， ∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点 M 与两定点 C2，C1 的距离的差是常数 2，且 2<|C1C2|. 根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支，则 2a＝2， a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8. 因此所求动点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1)．
人教版人教课标高中数学选修1-1 双曲线及其标准方程 课件
16
9
1.
的两种标准方程，并能熟练运用 待定系数法求解曲线的方程.
例题讲评
上 页
下 页
例3 一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚2 s. （ 1 ）爆炸点应在什么样的曲 线上？ F1 （ 2 ）已知 A 、 B 两地相距 800 m，并且此时声速为340 m/s， 求曲线的方程.
双曲线的标准方程：
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形式一： （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 x轴上的双曲线 .焦点是 F1(－c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2.
下 页
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 形式二： a 2 b 2 1 （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 . F1(0，－c)、F2(0， c)，这里c2=a2+b2.
上 页
a
b
①
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程 组 ( 4 2 ) 3 1
2 2
下 页
2 2 a b 9 2 ( ) 25 2 42 1 b a
解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程 2 2 x 为：y 说明：例 2 要求学生熟悉双曲线
4
①
下 页
a
b
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程 组 ( 4 2 ) 2 3 2
2 1 2 a b 9 2 ( ) 25 2 42 1 b a
结 束
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设 2 2 y x 所求双曲线的标准方程为： a>0,b>0) 2 (1 2
人教版高中数学选修课件：双曲线的简单几何性质
y
几何意义
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
B2
c2 b2 a2
cb
A1
A2
0a
x
B1
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
8.等轴双曲线
①定义：实轴与虚轴等长的双曲线
探究新知
4.对于双曲线
y2 a2
x2 b2
1a
0,b
0
顶点分别是什么？
其范围、对称性、
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x 顶点（0，±a）
F1
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
4.双曲线的渐近线 人教版高中数学选修2-1课件：2.3.2双曲线的简单几何性质(共54张PPT)
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
人 教 版 高 中 数学选 修2-1课 件：2 .3.2双 曲线的 简单几 何性质 (共54张 PPT)
曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
形成结论
(1)线段A1A2叫做双曲线的实轴；
(2)由于点B1(0，－b)，B2(0，b)不在双曲线上，线
段B1B2叫做双曲线的虚轴；
(3)实轴长和虚轴的长.
人教版高中数学选择性必修《双曲线的简单几何性质》PPT课件
“形”的角度：观察双曲线
x2
a2
y2
b2
1(a 0, b 0).
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
的范围是 ∈ .
（1）范围
“数”的角度：x2ຫໍສະໝຸດ a2y2b2
x2
a2
x2
a2
1
x
y2
1 2
b
a或x
1,
a.
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
0)
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
图形
焦点
F1 ( c, 0), F2 (c, 0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
0)
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
范围
x
a, x
渐近线
0, b
a, y R
x2
b2
y
1( a
a, y
0, b
a, x R
关于对称轴和坐标原点对称
的范围是 ∈ .
（2）对称性
y
x2 y 2
2 1
2
a
b
“形”的角度：
双曲线既关于坐标轴对称，
又关于原点对称．
o
x
（2）对称性
x2 y 2
2 1
2
a
b
y
（ x, y）
“数”的角度：
( x) 2 ( y ) 2
2 1
人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》
双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。
2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。
(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。
5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。
【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。
人教版高中数学选修2-1《双曲线》
(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨 迹是双曲线.( ) )
x2 y 2 (3)方程m－ n ＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.(
x2 y2 x2 (4)双曲线方程 2－ 2＝λ(m>0， n>0， λ≠0)的渐近线方程是 2 m n m y2 x y －n2＝0，即m± n＝0.( ) )
x2 y2 (2)(2016· 九江模拟)已知点 P 为双曲线16－ 9 ＝1 右支上一点， 点 F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF1F2 的内心， 若 S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2 的面积为( A.2 7 B.10 C.8 D.6 )
解析
(1)由双曲线方程，得a＝2，c＝4.设F1，F2分别为双曲
答案 (1)C (2)B
命题角度二
与双曲线的离心率、渐近线相关的问题
x2 y2 【例 2－2】 (1)(2016· 全国Ⅱ卷)已知 F1，F2 是双曲线 E：a2－b2＝1 1 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝3， 则 E 的离心率为( A. 2 3 B.2 ) C. 3 D.2
线的左、右焦点，根据双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝±2a， ∴|PF1|＝|PF2|±2a＝8±4，∴|P R，a＝4，b＝3，c＝5， 因为 S△PMF1＝S△PMF2＋8， 1 所以2(|PF1|－|PF2|)R＝8，即 aR＝8，所以 R＝2， 1 所以 S△MF1F2＝ · 2c· R＝10. 2
性 质
渐近线 离心率
人教版高中数学双曲线教案
人教版高中数学双曲线教案
教学目标：
1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 掌握双曲线的标准方程和图像。
3. 能够利用双曲线方程解决实际问题。
教学重点：
1. 双曲线的定义。
2. 双曲线的标准方程和图像。
3. 利用双曲线求解实际问题。
教学难点：
1. 确定双曲线的焦点和渐近线。
2. 利用双曲线方程解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备双曲线的相关知识讲解。
2. 准备多媒体教学资料，用于展示双曲线的图像。
3. 准备练习题，用于学生巩固练习。
教学过程：
一、引入：
教师通过举例引入双曲线的概念，并讲解双曲线的定义和性质。
二、概念讲解：
1. 讲解双曲线的标准方程和图像。
2. 解释双曲线的焦点和渐近线的概念。
三、例题演练：
1. 讲解双曲线的方程与图像的对应关系。
2. 解答一些实际问题，让学生应用双曲线方程进行求解。
四、课堂练习：
教师出示多个双曲线练习题，让学生在课堂上进行解答。
五、总结：
教师总结本节课的重点内容，强调学生需要重点掌握的知识点。
六、作业布置：
布置相关的练习题作业，要求学生在家中完成，并在下节课上进行讲解和批改。
教学反思：
通过本节课的教学，发现学生在理解双曲线的概念和性质上存在一定的困难，需要进一步加强讲解和练习。
在下节课上会结合学生的实际情况进行有针对性的教学。
新人教版高中数学选择性必修第一册双曲线及其标准方程
2.利用 a,b,c 之间的关系建立等式求解.
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【思维提升】
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
2 2
(1)对于方程 + =1,当 mn<0 时表示双曲线,进一步,当 m>0,n<0 时表示焦点在 x 轴
上的双曲线;当 m<0,n>0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线.
范围.
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【即学即练】
“n>1”是“方程 x2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的圆锥曲线”的 (
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
2 2
2
- 2 =1(a>0,b>0).
由题设知,a=2 5,且点 A(2,-5)在双曲线上,
所以
= 2 5,
25
2
-
4
2
2 = 20,
解得 2
= 1,
= 16.
2 2
故所求双曲线的标准方程为 - =1;
20 16
(2)由已知得 c=6,且焦点在 y 轴上.
因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以 2a=
变,则动点轨迹不存在.
③若常数为0,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
8
2.双曲线的标准方程
焦点所在
的坐标轴
标准方程
x轴
y轴
- =1
________(a>0,b>0)
x2 y2
- 2 =1(a>0,b>0)
2
a b
图形
焦点坐标
a,b,c的关系式
F1(0,-c),F2(0,c)