模拟卷关于2008年上海春季高考数学22题的再研究
上海市虹口区2008年高考模拟考试数学理科试卷
上海市虹口区2008年高考模拟考试数学理科试卷一 填空（4’×12）1．若复数(1+ai )·(a 2+i )是纯虚数，则实数a ＝ 2．等差数列{a n }中，S 20＝30，则a 3＋a 18＝3．集合A ＝{x||x|≤4，x ∈R}，B{x||x －3|≤a ，x ∈R}，且A ⊇B ，则实数a 的取值范围是 4．函数y ＝xa2－2a －3是偶函数，且在（0,+∞）上是减函数，则整数a 的取值为5．当x ＞2时，使不等式x+1x －2≥a 恒成立的实数a 的取值范围是6．二次函数f(x)=2x 2+bx+5，如实数p ≠q ，使f(p)=f(q)，则f(p+q)＝ 7．过点A （0,3），被圆（x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线方程是 8．(理)化极坐标方程ρ＝21－sin θ为直角坐标方程，是9．(理)若x 2+2x 10＝a 0+a 1(x+1)＋a 2(x+1) 2+ …+a 10(x+1) 10，则a 0＝10．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任选出由4个数组成的子集，这四个数中任两个数的和都不等于9的概率为 （用分数表示）11．△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，c ＝4，则该三角形的外接圆的半径R ＝12．设S 是至少含有两个元素的集合.在S 上定义了一个二元运算“＊”（即对任意的S b a ∈,，对于有序元素对()b a ,，在S 中有唯一确定的元素a ＊b 与之对应）。
若对任意的S b a ∈,，有a ＊(b ＊a )=b ，则对任意的S b a ∈,，下列等式：①b ＊(b ＊b )= b②(a ＊b )＊[b ＊(a ＊b )]= b ③(a ＊b )＊a = a 中，恒成立的是 （写出序号） 二 选择（4’×4）13．函数f(x)=sinx 在区间[a ,b ]上是增函数，且f(a )=－1，f(b )=1，则cos a +b 2的值为（ ）(A) 0 (B)22(C) 1 (D) －1 14．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1＝1，∠AA 1B=∠A 1D 1B 1=60°，则此长方体的对角线长是 （ ）(A) 2 (B) 5 (C) 3 (D) 215．直线x ＝t ，y ＝x 将椭圆面x 23+y 2≤1分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，任意两块不同色，共有120不同涂法，则t 的取值范围是 （ ）(A) (－32,32) (B) (－3,3) (C) (－3,－32)∪(32,3) (D) (-∞,3)(－3,+∞) 16．数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，则a 2010＝（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 9 17．（12分）已知：－π2＜α＜0，sin α+cos α＝15，求⑴sin α－cos α 的值⑵3 sin 2 α2－2 sin α2cos α2+cos 2 α2 的值18．（14分）已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝3，⑴若E 是棱PB 上一点，过点A 、D 、E 的平面交棱PC 于F ， 求证：BC ∥EF⑵求二面角A －PB －D 的大小EFDCBAP19．（14分）某厂预计从2008年初开始的前n个月内，市场对某种产品的需求总量．．f(n)与月份n的近似关系为：f(n)=n(n+1)(35－2n)，(单位：台)，n∈N*，且n≤12⑴写出2008年第n个月的需求量g(n)与月份n的关系式⑵如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少应为多少？20．（14分）已知−→PB|OB＝（0,1），直线l：y＝－1，动点P到直线l的距离d＝|−→⑴求动点P的轨迹方程M⑵证明命题A：“若直线m交动点P的轨迹M于C、D两点，如m过B点，则−→OD＝－3”OC·−→为真命题⑶写出命题A 的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由21．（16分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2(n+1n )2a n⑴求数列{a n }的通项公式⑵设b n ＝(An 2+Bn+C)·2n ，是否存在常数A 、B 、C ，使对一切n ∈N *，均有a n ＝b n ＋1－b n 成立？若存在，求出常数A 、B 、C 的值，若不存在，说明理由⑶求证：a 1+a 2+…+a n ＜(n 2－2n+2)·2n ，（ n ∈N *）22．（16分）已知一次函数f(x)=a x+b，二次函数g(x)=a x2+b x+c，a＞b＞c，且a+b+c＝0 ⑴证明：y＝f(x)与y＝g(x)图像有两个不同的交点A和B⑵若A1、B1分别是点A、B在x轴上的射影，求线段A1B1长度的取值范围⑶证明：当x≤－3时，恒有f(x)＜g(x)上海市虹口区2008年数学学科高考练习题1．0或1； 2．3 3．（-∞，1]；4．1；5．（-∞，4]； 6．5； 7．x ＝0或y ＝- 13x+3；8．理x 2＝4y+4，文18；9．理3，文[8,14]；10．1135； 11．393；12．①②；CBAD ；17．- 75，1310；18．理⑵arctan113；文⑴arctan 322，⑵arccos 510； 19．⑴g(n)=－6x 2＋72x ，⑵216； 20．⑴x 2＝4y ，⑶假；21．⑴2n ·n 2，⑵A=1,B=－4,C=6；⑶用数学归纳法证； 22．⑵（32，23）。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷·文科)试卷与答案
已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos ，直线 与函数 的图像分别交于M、N两点．
（1）当 时，求｜MN｜的值；题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
9．若函数 （常数 ）是偶函数，且它的值域为 ，则该函数的解析式 ．
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是．
11．在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ．如果 是 围成的区域（含边界）上的点，那么当 取到最大值时，点 的坐标是______．
………………………………5分
（2）
…………...8分
…………………………….11分
∵ …………13分
∴｜MN｜的最大值为 .……………15分
19、【解】（1） .…………….2分
由条件可知， 解得 …………6分
∵ …………..8分
（2）当 ……………10分
即
………………13分
故m的取值范围是 …………….16分
记 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求证：当 是正整数时， ；
（3）已知 ，且存在正整数 ，使得在 ， ， ， 中有4项为100．求 的值，并指出哪4项为100．
2008年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准
__________录入者：福建泉州第七中学 林志敏老师
一、（第1题至第11题）
21、【解】（1）
………………..2分
∵ ………………..4分
2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
二、 选择题 （ 本大题满分１ 分） ６ 本大题共有
４ 每题都给出四个结论， 题， 其中有且只有一个 结论是正确的， 必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内， 选对得 ４ 否则一律得零分． 分，
的体积Ｖ ＝
１． ３已知向量 ＝（， ３，６ ＝（，）若 ２－ ） 。 ３ ， ∥６ 则 。 等于 ， 【 （） 矧
维普
２０ 年第 ２ ０８ 期
“（） ｈｘ 为偶函 ’ 的
（） Ａ 充分不必要条件． （） Ｂ 必要不充分条件． （） Ｃ 充要条件．
［ （） 答］
凳脚与地面所成 的角均为 ４ 。 确定节点Ｏ分细 ５，
（） ． （） ２ （） 吾 （） 吾 Ａ吾 Ｂ一． ｃ一 ． Ｄ一 ．
Ｕ ‘ ｏ
２
口２ ．
１已 ４ 知椭圆 一 ＋ ． ÷
图 １
＝１长轴 ， 在
９ 知 数列｛ｎ前ｎ ＝言ｎ ． 无穷 已 ０） 项和 ０—
Ｕ
１则数列＿ｎ 的各项和为— ， 【） ０
２ 口２ ．
７ 已知 Ｐ是双 曲线 一 ＝ １ ． 右支上的一 点， 双曲线的一条渐近线方 程为 ３ ＝０ 设 ｘ一 ．
１２ ３上与 、Ｂ两点距离平方和最小的点， ， ，） 则
△Ｐ Ｐ Ｐ 的面积是 １２３
分别为双曲线的左、右焦点． Ｐ Ｉ 若Ｉ ＝ ３ 则Ｉ Ｉ ， Ｐ ＝— — ． ８ 已知一个 凸多面体共有 ９ ． 个面， 所有棱长 均为 １ 其平面展开图如 图 １ ， 所示， 则该凸多面体
ａ ｌ＝ １ ．若 ０ 、 ０ 、０ 成等 比数列， ａ １ ２ ５ 则 ｎ＝
图２
１） ， ， ６简。吾 ｓ ——． １ １． 和 １（，＋３ （，） 直线ｌ ： 以（０ ． ：（ ） ＋＝ ２： ２ 已知Ａ： ２、ｂ３４＝０ 设 ｉ ＝ ＝ 化 ｃ ＋＋ｎ ） ｓ （ ＝０ ３ ｙ １ ． 只是 ｉ 一
2008高考上海数学文科试卷含详细解答(全word版)080625
2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将 答案直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． ．不等式11x -＜的解集是 ． 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<. 2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a = ．【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 【答案】1i +【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-. 4．若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．【答案】()2xx R ∈【解析】令2log (0),y x x =>则y R ∈且2,y x =()()2.x f x x R ∴=∈．若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos73a b a b π=++=||7.a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 【答案】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- ．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ． 【答案】4【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=--=8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中 任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 【答案】45【解析】由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线, 所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -= ．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，， 则该函数的解析式()f x = ． 【答案】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，，224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ． 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小.．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ， 是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标 是 ． 【答案】5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点， 则12PF PF +等于（ ） A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直” 是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”. 14．若{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ， 则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或.．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ．ABB ．BC C ．CD D ．DA【答案】D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方, ∴当Q 在DA 上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点, ∴Q 组成的集合是劣弧DA .三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF .∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan.12分．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得 CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，22022cos 60,CD OD CD OD OC+-⋅⋅⋅=……………6分 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分 解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别交于M 、N 两点． （1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分（2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 2222t t =-……...8分26t π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………………………….11分 ∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN ……………15分．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知，2122,22210,2x x xx-=-⋅-=即解得 21x =±…………6分∵ (220,log 1x x >∴= …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s表示为直线l 的斜率k 的函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,022y x y x -=+= ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分02x ≥λ∴的取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭….16分第3小题满分8分． 已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列 {}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n T b a b a b a b a =++++．（1）若1231264a a a a ++++=，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21、【解】（1） 12312...a a a a ++++()()()12342564786r r r r =++++++++++++++484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
2008年上海市普通高等学校春季招生考试(数学)
2008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则AB = ． 【答案】{}4x x <【详解】略 2．计算：131lim 32n n n n +→∞+=+ ． 【答案】13【详解】 113131133lim lim 3232333n n n n n n n n n n n n ++→∞→∞++==++． 3．函数()1f x x =-的定义域是 ． 【答案】[2,1)(1,3]-【详解】 定义域满足22360110x x x x x -≤≤⎧-++≥⎧ ⇒⎨⎨≠-≠⎩⎩4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 ． 【答案】712x π= 【详解】 12cos 1cos 44243x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =．若125a a a 、、成等比数列，则n a =．【答案】21n a n =-【详解】设公差为d ，则251,14a d a d =+=+，则21(14)(1)2d d d ⨯+=+⇒=．6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】cos α【详解】（方法一）：利用＂两角和公式＂直接求解；（方法二）：cos sin sin sin 36236πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin sin 2sin cos cos 666πππαααα⎛⎫⎛⎫=-++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=．设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点．若23PF =，则1PF = ．【答案】5【详解】由双曲线的一条渐近线方程为30x y -=可得：2a =，又双曲线的定义知12112325PF PF a PF PF -=⇒-=⇒=．8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V = ．【答案】16+【详解】凸多面体为：下半部分为正方体3111V ==，上半部分为正四棱锥221132V =⨯⨯．9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 ．【答案】1-【详解】 由113n n S a =-可得：11113n n S a --=-，两式相减得并化简：112n n a a -=-， 又11113132a a a =-⇒=-．所以1lim 11n x a S q →∞==--． 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）． 【答案】112【详解】如下图，当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性。
2008年上海市高考春季招生数学试题与解答
2008年上海市高考春季招生数学试题与解答
无
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2008(000)002
【总页数】3页(P35-37)
【作者】无
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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2008年上海市普通高等学校春季高三数学招生考试试卷
2008年上海市普通高等学校春季高三数学招生考试试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接 填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.11或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则AB = .2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ . 3．函数()f x =的定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 . 5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = . 6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图 如右图所示，则该凸多面体的体积V = . 9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列 中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）.11．已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+,n b ++，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式：1122n n a b a b a b +++=11223a L c L c L +++k k c L +n n c L ++，则k c = (2)k n ≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于 [答] ( )（A ）23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23-. 14．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 [答]（ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8.15．已知函数()()f x g x 、定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x 、均为奇函 数”是“()h x 为偶函数”的 [答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 16．已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)已知cos ,32πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值. [解]18. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离. [解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.已知函数()2()log 21xf x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）记1()-f x 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围. [证明]（1）[解]（2）20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分. 某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O 分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）. [解]（1）（2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列. （1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k AA +、、2k A +，判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证： >n q m p A A j A A j ⋅⋅. [解]（1）（2）[证明]（3）22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）. [证明]（1）[解]（2）（3）表一、的取值或表达式线段s与线段1s的关系m rs所在直线平行于1s所在直线s所在直线平分线段s1s长度相等线段s与线段12008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1.{}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]-. 4. 712x π=.5. 21n a n =-.6. cos α.7. 5.8. 1+9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32. 二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分 21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又 cos ,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，sin θ∴==， …… 9分2c o s4s i n 2s i n 2θθθ∴-=-. …… 12分 18. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分 ∴ 点F 到直线AB 的距离为=. …… 12分 19. [证明]（1）任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+，11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=->， …… 9分[解法一]1()()m f x f x-∴=- =()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， …… 11分当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++，m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21x xm -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， …… 11分22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH .由题意可得，BH =设细钢管上下两段之比为λ. 已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即 45OBH ∠=.303,13BH OH λλ=∴=+，解得，0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63. （2）设120,24B AB BC ∠=∴==，AC =/设△ABC 的重心为H ，则8,BH AH == …… 10分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =. 设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，则 560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， ∴ 对应于A B C 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ， 36.1cm 和60.8cm . …… 14分21. [解]（1） 1n a n =， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>，∴ {}n A 是T 点列. …… 3分 （2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-，()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. …… 5分点2A 在点1A 的右上方，1210ba a ∴=->， {}n A 为T 点列，10nb b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<. ∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分（3）[证明]1,m n p q m q n p ≤<<<+=+，q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++-12()q q p p b b b q p b --=+++≥-. ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤-. ③ …… 12分由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ，即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得z b =-， …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分()240b c ∆=-<，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C 上.…… 10分 [解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一. [解]（3）表一线段s 与线段1s 的关系、m r 的取值或表达式得分 s 所在直线平行于1s 所在直线1m =，1r ≠12分s 所在直线平分线段1s22(1)1r m --=，1m ≠15分线段s 与线段1s 长度相等()22145m r+=18分。
2008上海春季高考数学
2008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则AB = .2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ . 3．函数()f x =的定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 . 5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = . 6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图 如右图所示，则该凸多面体的体积V = .9．已知无穷数列{}n a前n项和113n nS a=-，则数列{}n a的各项和为. 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是（结果用数值表示）.11．已知12,,,na a a；12,,,nb b b（n是正整数），令112nL b b b=+++，223L b b=+,nb++，n nL b=. 某人用右图分析得到恒等式：1122n na b a b a b+++=11223a L c L c L+++k kc L+n nc L++，则kc=(2)k n≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B，直线1l：20,:0x l y==和3:l x+3y10-=. 设iP是il(1,2,3)i=上与A、B两点距离平方和最小的点，则△123PP P的面积是.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分. 13．已知向量(2,3),(3,)a bλ=-=，若//a b，则λ等于[答] ( ) （A）23. （B）2-. （C）92-. （D）23-.14．已知椭圆221102x ym m+=--，长轴在y轴上. 若焦距为4，则m等于[答]（）（A）4. （B）5. （C）7. （D）8.15．已知函数()()f xg x、定义在R上，()()()h x f x g x=⋅，则“()()f xg x、均为奇函数”是“()h x为偶函数”的[答] ( )（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.16．已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)已知cos ,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值. [解]18. (本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离. [解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.已知函数()2()log 21xf x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）记1()-f x 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围. [证明]（1）[解]（2）20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）.[解]（1）（2）21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列. （1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +， 判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证： >n q m p A A j A A j ⋅⋅. [解]（1）（2）[证明]（3）22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）. [证明]（1）[解]（2）（3）表一一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1.{}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]-. 4. 712x π=.5. 21n a n =-.6. cos α.7. 5.8. 16+. 9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32. 二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题） 17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分 21cos sinsin cos cos θθθθθ-==.…… 5分又cos ,32πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，sin θ∴==， …… 9分 2c o s4s i n 2s i n2θθθ∴-=- …… 12分 18. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分 于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭.…… 9分 ∴ 点F 到直线AB 的距离为 8=. …… 12分 19. [证明]（1）任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+，11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分 [解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=->， …… 9分[解法一]1()()m f x f x-∴=-=()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， …… 11分当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21x xm -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， …… 11分22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH .由题意可得，BH =设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=.303,13BH OH λλ=∴=+，/解得，0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠=∴==，AC =设△ABC 的重心为H ，则8,BH AH == …… 10分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =. 设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，则 560.82AA CC OA ''===≈，536.12BB OB '===≈， ∴ 对应于A BC 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ， 36.1cm 和60.8cm . …… 14分21. [解]（1） 1n a n =， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>，∴ {}n A 是T 点列. …… 3分 （2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-，()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. …… 5分点2A 在点1A 的右上方，1210ba a ∴=->， {}n A 为T 点列，10nb b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<. ∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分 （3）[证明]1,m n p q m q n p ≤<<<+=+，q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++-12()q q p p b b b q p b --=+++≥-. ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤-. ③ …… 12分由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ，即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得z b =-， …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分()240b c ∆=-<，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C 上.…… 10分 [解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一. [解]（3）表一。
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Using the research method of literature, means of observation, behavioral approach, conceptual analysis and the pattern of information-seeking of local and overseas were analyzed and compared,Basic pattern strategies of technology information-seeking关于2008年上海春季高考数学22题的再研究华东师大二附中 施洪亮 201210华东师大二附中08届1班 温彦斌 2012102008上海春季高考作为秋季高考的风向标，历来受到学校、教师与学生的关注。
本次春考数学卷第22题因为其关注研究性学习能力的考察引起了大家的高度重视和研究兴趣，笔者对该问题进行了探究。
原题描述： 已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.原题略解： 22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得z b =-，∴ 点(),z P b -或(),z P b -，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上.（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m=-+-，()240b c ∆=-< ，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C 上.[解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. 以下同解法一。
在原问题的基础上，我们可以从不同角度深入研究：1、将原题（1）的直线方程一般化。
命题一 已知z 是实系数方程022=++c bx x 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为)Im ,(Re z z P z . 若),(c b 在直线t kx y +=上，z P 落在一个圆上。
解： 令00Im ,Re y z x z ==，由一元二次方程的根与系数关系及虚根共轭性，可知c z z y x b x =⋅=+-=20200, ①又),(c b 在直线t kx y +=上，即 t kb c += ② ①代入 ②中，得t kx y x +-=+202即z P ),(00y x 在圆t k y k x +=++4)2(22020上 特别的，当0,2=-=t k 时，即为原题第一小题，其中z P 落在圆 1)1(22=+-y x 上（见图一）。
若3,2=-=t k ，同样得到),(c b 在直线上运动时，z P 对应在另一个圆（见图二）上。
2、我们通过原题1的求解以及原题2的计算与证明发现，一条开线段（不包括两端点的线段）对应一个圆，一个圆确定后，对应的开线段也能确定。
原题3从两条线段（一定一动）的位置关系，研究了动线段对应的圆的相关参数关系。
事实上从两圆（一定一动）的位置关系，也可以研究了动圆对应的线段的相关参数关系。
命题二 若⊙1与⊙2相外切（且不妨设⊙2在⊙1右侧，0<k ，如图三），则有42=-k t （其中⊙1为1)1(22=+-y x ，⊙2为若),(00c b 在开线段t kx y +=上移动时方程02002=++c x b x 的虚根0z 在直角坐标平面上的对应点为)Im ,(Re 000z z P z 的轨迹）。
解：设0z P ),(00y x有⊙2即0z P 轨迹，为t k y k x +=++4)2(22020⊙1：1)1(22=+-y x由⊙1与⊙2相外切，则t k k ++=--41122（*）42=-⇒k t 图三命题三 若⊙1与⊙2相内切（如图四，0>k ），则也有42=-k t解：设0z P ),(00y x有⊙2即0z P 轨迹，为t k y k x +=++4)2(22020 ⊙1：1)1(22=+-y x由⊙1与⊙2相内切，则14212-+=+t k k （**）42=-⇒k t 图四读者不妨思考：命题二与命题三的结论的相似之处说明了什么？在此，笔者只是做了一个已知圆与未知圆的相切关系，至于两圆相交或相离，也只需在（*）和（**）式中做不等式即可。
而若两圆都未知，留给读者自己思考。
（提示：方法类似，只需改变未知数）3、若),(c b 在其他曲线上运动，z P 会落在什么形态的曲线上？反之又会如何？命题四 若),(c b 在抛物线py d x 2)(2=-上，z P 所在的轨迹在一条二次曲线（除圆）上 解：由),(c b 在抛物线py d x 2)(2=-上，可知 pc d b 2)(2=- ③①代入③中，得)(2)(202020y x p d x +=+ 即z P 在二次曲线上，特别地，21=p 时，z P 所在的轨迹在一条抛物线上 命题五 若z P 在一条二次曲线（除圆）上，那么，),(c b 的轨迹在一条抛物线上。
显然，要是用直角坐标系来解答这个问题有些许繁琐，读者可自行完成。
在此，笔者仅用极坐标的方法简要解决这个命题。
我们观察①式，即c z z y x b x =⋅=+-=20200, ，那么220y x +一般表示什么呢？是点到原点的距离的平方。
正是2ρ！那2200y x x +表示什么呢？正是θcos ！那不正建立了),(00y x 对应到极坐标中的),(θρ的关系吗？为此下面引入极坐标。
则由命题一中的①式可知， cb y x xc -=+==2200cos ,θρ ④解：设z P 的轨迹在极坐标的表示为θρcos 1e ep-= ⑤④式代入⑤，得22)(1b p e c c b e epc -=⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= ⑥容易看出这是一条焦点在y 轴的抛物线。
（右图仅为简要地做出抛物线的大致图像）图五后续研究：笔者发现由于z P 是一个一元二次方程的虚根，那么点),(c b 就可对应两点),(00y x （即)Im ,(Re z z P z ），如果将原方程的次数加以升高，使)Im ,(Re z z P z 成为一个一元三次方程的虚根，探讨),(c b 的轨迹可以对应到的点),(00y x （即)Im ,(Re z z P z ）的轨迹。
研究思路 1、简化三次方程。
设一元三次实系数方程为),,(023R c b a c bx ax x ∈=+++； 将y x x '+'=（y '为一任意常数）代入方程中，得0)()()(23=+'+'+'+'+'+'c y x b y x a y x 考察其关于x '的二次项系数，为a y +'3；则只要取3ay -='，即可使关于x '的二次项系数为零。
通过上述证明，我们可以取适当的y '，使一元三次实系数方程简化为一个二次项为0的一元三次实系数方程。
2、讨论一种较简单的情况。
设一元三次实系数方程为),(03R c b c bx x ∈=++ ⑴，设其三个根分别为321,,x x x ，其中32,x x 为共轭的两个虚根， 已知z 是一元三次实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为)Im ,(Re z z P z ，讨论一元三次实系数方程的各项系数与z P 轨迹的关系由00Im ,Re y z x z ==，不妨令i y x x 002+= ⑵，则i y x x 003-= ⑶由根与系数关系，知0321=++x x x ⑷b x x x x x x =++323121 ⑸c x x x -=321 ⑹由⑵⑶⑷知 012x x -= ⑺ 将⑵⑶和⑺代入⑸⑹ 得20203x y b -= ⑻ )(220200y x x c += ⑼由此可见，⑻和⑼确立了一个从点),(c b 到点),(00y x ，从而一个点),(c b 的轨迹就可简略确定点),(00y x ),(c b 在一条直线上，不妨假设为kx y = 即c 将⑻⑼代入，有3()(202020200x y k y x x -=+为一个三次图像。
右图为1=k 时 ⑽ 的图像（此图象近似于叶形线）图六2008-1-5。