9年级2次函数知识精炼
初三二次函数知识点和练习
二次函数的图象与解析式一、二次函数的图象1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向及开口大小 正负性决定开口方向，绝对值大小决定开口大小．a 越大，抛物线开口越小；温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，图象经过平移、中心对称（旋转180︒）a 不变．（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（口诀：左同右异）（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 2．二次函数的图形信息（1）根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断2ba-的大小． （3）根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．（4）根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．（5）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c ，，的等式． （6）根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小2.二次函数图象的画法若是无图，建议画出图象然后根据图象来分析进行解答，数形结合是解答压轴题的终极方法，因为二次函数的图象能极大的方便做题，简易绘图法：根据以下五条就可以画图二次函数的简易图象 ①a 的正负性，看图形的开口方向是往上还是往下 ②c 的正负性，看图象与y 轴的交点是在正半轴还是负半轴 ③△的正负性，看图象与x 轴有无交点 ④对称轴的位置，看a 和b 的符号是否一致 压轴题绘图法：因为压轴题的作图需要精准，以帮助解答，所以需要画出带刻度的坐标系 ①利用对称轴公式，计算出对称轴，然后画出图形的对称轴②将对称轴代入解析式，算出顶点的纵坐标（若不为整数，则舍弃这一步） ③找出与y 轴交点，并利用对称轴画出对称点，④令0y =，算出与x 轴两个交点（若不为整数，则舍弃这一步） ⑤利用对称轴画出一条尽量对称且平滑的曲线三、二次函数的图象及性质1． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质（1）开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下（2）对称轴：2bx a=-（或x h =） （3）顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）（4）最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）；⑸单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性） ①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a>-， y 随x 的增大而增大；②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2b x a>-， y 随x 的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=）成立的x 值．考点一：根据二次函数的定义确定参数的值☞考点说明：根据二次函数的定义反求参数，一般情况下会结合在综合题中处，也有可能以填空题的形式出现，考察点在二次项系数不为零【例1】 函数()()2223ay a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；当____a =，它为一次函数．【例2】 若抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，则______m =考点二：二次函数的对称轴☞考点说明：在求二次函数的对称轴时，根据解析式的不同，求法也不尽相同，并不仅仅只有2bx a=-的这一种求法，需灵活掌握，一般情况下，以选择、填空出现的可能性较大。
人教版九年级数学下二次函数中考知识点总结
人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如 y ax 2 bx c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ） 的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数 a 0 ，而 b ，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2二次函数 y ax bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数， 右边是关于自变量 x 的二次式， x的最高次数 2． ⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二次函数各种形式之间的变换二次函数 y ax 2 bx c 用配方法可化成： ya x h 2k 的形式，其中 hb， k 4ac b 2 .2a4aax 2 ；二 次 函 数 由特 殊到 一般 ， 可分 为以 下几 种 形式 ： ① y② y ax 2 k ；③ y a x h 2 ；④ y a x h 2 k ；⑤ y ax 2bx c .二次函数解析式的表示方法 一般式： 顶点式： 两根式：标） .y ax 2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；y a( x 2k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；h) y a( x x 1 )( x x 2 ) （ a 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的 二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示． 二次函数解析式的这三种形式可以互化 .2二次函数 y ax bx c 图象的画法五 点 绘 图法 ： 利 用配 方 法将 二 次 函 数 y ax 2 bx c 化 为 顶 点 式y a( x h) 2 k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0 ，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与 x 轴的交点 x 1 ，0 ， x 2 ，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） . 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点 . 二次函数 yax 2 的性质a的符号开口方顶点坐对称 向 标轴a 0向上0 ，0y 轴a 0向下0 ，0y轴性质x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y随 x 的增大而减小； x 0 时， y有最小值 0 ．x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y随 x 的增大而增大； x 0 时， y有最大值 0 ．二次函数 y ax2 c 的性质a 的符号开口方顶点坐对称性质向标轴x0 时，y随x的增大而增大； x 0 时，a0向上0 ，c y 轴0 时，y有最小y 随 x 的增大而减小；x值 c ．x0 时，y随x的增大而减小； x 0 时，a0向下0 ，c y 轴0 时，y有最大y 随 x 的增大而增大；x值 c ．二次函数 y a x h 2 的性质：a 的符号开口方顶点坐对称性质向标轴x h 时，y随x的增大而增大； x h 时，a0向上h ，0X=hh 时，y有最小y 随 x 的增大而减小；x值 0 ．x h 时，y随x的增大而减小； x h 时，a0向下h ，0X=hh 时，y有最大y 随 x 的增大而增大；x值 0 ．二次函数 y a x h 2k 的性质a 的符号开口方顶点坐对称性质向标轴x h 时，y随x的增大而增大； x h 时，a0向上h ，k X=hh 时，y有最小y 随 x 的增大而减小；x值 k ．x h 时，y随x的增大而减小； x h 时，a0向下h ，k X=hh 时，y有最大y 随 x 的增大而增大；x值 k ．2a 的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 xb. 特别地， y 轴记作直线 x0.2a顶点坐标：（b 4ac b 22a，）4a顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数， 如果二次项系数 a 相同， 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线 y ax 2 bx c 中， a, b, c 与函数图像的关系二次项系数 a2bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．二次函数 y ax ⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开 口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小．一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下，当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵ 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．总结：常数项 c⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0；⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法2 2公 式 法 ： y ax 2bx c a xb 4ac b ，∴顶点是2a4a（b4ac b 2b.，）2a4a，对称轴是直线 x2a配方法：运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为 y a x h 2 k 的形 式，得到顶点为 ( h , k ) ，对称轴是直线 x h .运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形， 所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴， 对称轴与抛物线的交点是顶点 .用配方法求得的顶点， 再用公式法或对称性进行验证， 才能做到万无一失 .用待定系数法求二次函数的解析式一般式： yax 2bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 .顶点式： y a x 2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 . h 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式：y a x x 1 x x 2 .直线与抛物线的交点y 轴与抛物线 yax 2 bx c 得交点为 (0,c).与 y 轴平行的直线 xh 与抛物线 yax 2bx c 有且只有一个交点( h , ah 2bh c ).抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数 yax 2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1、 x 2 ，是对应一元二次方程 ax 2 bx c 0 的两个实数根 . 抛 物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点 0抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点（顶点在 x 轴上）0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 0抛物线与 x 轴相离 . 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时， 两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2bx c k 的两个实数根 .一次函数 y kxn k 0 的图像 l 与二次函数 yax 2 bx c a0 的图像 G 的交点，由方程组y kx n 的解的数目来确定：①方程y ax2bx c组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ; ②方程组只有一组解时 l与 G 只有一个交点；③方程组无解时 l 与 G 没有交点 .抛物线与 x 轴两交点之间的距离： 若抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x 1，0，B x 2，0 ，由于 x 1、 x 2 是方程 ax 2 bx c0 的两个根，故x 1 x 2b, x 1 x 2caa24c b24acAB x 1 x 22x 1 24x 1 x 2bx 1 x 2x 2a aaa二次函数图象的对称 :二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于 x 轴对称y2 b xcyax 2 bx ca x；关于 x 轴对称后，得到的解析式是y a x h 2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是ya x h 2 k ；关于 y 轴对称2 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2；y a x y ax bx cb x cy a xh 2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是y a x2k ；h关于原点对称y2b x 关c 于原点对称后，得到的解析式是 yax 2bxc ；a x2关于原点对称后，得到的解析式是2；ya x hya xh kk关于顶点对称y2 b x 关于顶点对称后，得到的解析式是y2 bx cb 2 ； a xcax2a22y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 yax h k．关于点 m ，n 对称y a x h2k关 于 点 m ，n 对 称 后 ， 得 到 的 解 析 式 是y a x h22n k2m总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x 2hk ，确定其顶点坐标 h ，k ；⑵ 保持抛物线 y ax 2 的形状不变， 将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax 2+ky=ax 2向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．概括成八个字 “左加右减，上加下减” ．。
人教版九年级数学二次函数知识点梳理与总结超副本
人教版九年级数学二次函数知识点梳理与总结超副本Jenny was compiled in January 2021《二次函数》单元知识梳理与总结一、二次函数的概念1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2、注意点：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而b 、c 为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。
（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数（c bx ax ++2为整式）3、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， )（2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）, 对称轴:直线x=22x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标). 二、二次函数的图象1、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到 3、二次函数c bx ax y ++=2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.三、二次函数的性质注：常用性质： 1、增减性：当a>0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少； 2、最大或最小值：当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b2- ， y 最小 ＝a b ac 442-当a<0时，函数有最大值，并且当x=ab2- ， y 最大 ＝a b ac 442-四、.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。
初中数学《二次函数》知识点归纳及相关练习题
九上数学二次函数知识点归纳及相关练习题(一)定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.【名师推荐你做】1.判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项：（1）d =12n 2-32n ；（2）2y x =-；（3）y =1-x 2．2.判断①y =5x -4，②t =23x 2-6x ，③y =2x 3-8x 2+3，④y =38x 2-1，⑤y =2312x x-+是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项．3.已知2(1)31k ky k x x +=-++是关于x 的二次函数，求k 的值．【答案与解析】1.【解析】（1）d =12n 2-32n 是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为12、32-、0；（2）2y x =-是一次函数，不是二次函数；（3）y =1-x 2是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为-1、0、1．2.【解析】①y =5x -4，③y =2x 3-8x 2+3，⑤y =2312x x-+不符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x ，④y =38x 2-1符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为23、-6、0，④y =38x 2-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别为38、0、-1.3.【答案】-2．【解析】∵函数2(1)31k ky k xx +=-++是关于x 的二次函数，∴2102k k k -≠⎧⎨+⎩=，解得k =-2．（二）二次函数y =ax 2的性质(1)抛物线y =ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数y =ax 2的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠0）.【名师推荐你做】1.观察函数y =3x 2与y =-3x 2的图像，回答：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及函数的单调性．【解析】（1）抛物线y =3x 2的开口方向是向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴上方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐上升，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐下降；二次函数y =-3x 2的开口方向是向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴下方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐下降，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐上升．（三）二次函数c bx ax y ++=2、k ax y +=2、()2h x a y -=、()kh x a y +-=2A.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.B.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a b ac k abh 4422-=-=，.C.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax 2；②y =ax 2+k ；③y =a (x -h )2；④y =a (x -h )2+k ；⑤y =ax 2+bx +c .【名师推荐你做】1.将抛物线y =-2x 2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（）A.y =-2(x -3)2-5B.y =-2(x +3)2-5C.y =-2(x +3)2+5D.y =-2(x-3)2+5【答案与解析】1.【答案】D【解析】由“左加右减”的原则将函数y =-2x 2的图象向右平移3个单位，所得二次函数的解析式为：y =-2(x -3)2；由“上加下减”的原则将函数y =-2(x-3)2的图象向上平移5个单位，所得二次函数的解析式为：D.y =-2(x -3)2+5．所以选D.（四）抛物线A.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
二次函数的初三数学知识点归纳
二次函数的初三数学知识点归纳二次函数的初三数学知识点归纳二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax+bx+c （a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax+bx+c （且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。
下面店铺整理了二次函数的初三数学知识点归纳,希望对复习的学生有所帮助。
仅供大家参考。
1.二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a0)2.关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的'截距,即二次函数图象必过(0，c)点.3. y=ax20)的特性：当y=ax2+bx+c (a0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax20);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：(1)图象关于y轴对称;(2)顶点(0，0);4.求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值,从而求出解析式-------待定系数法.5.二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k(a 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标(h, k)，对称轴方程x=h和函数的最值y最值= k.6.求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标(h,k)和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.7.二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动;y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：k值增大=图象向上平移;k值减小图象向下平移;(x-h)值增大=图象向左平移;(x-h)值减小图象向右平移.8.二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象及几个重要点的公式：9.二次函数y=ax2+bx+c(a0)中，a、b、c与的符号与图象的关系：(1)a=抛物线开口向上;0 抛物线开口向下;(2)c=抛物线从原点上方通过;c=0 抛物线从原点通过;c=抛物线从原点下方通过;(3)a, b异号=对称轴在y轴的右侧;a, b同号=对称轴在y轴的左侧;b=0对称轴是y轴;(4)b2-4ac=抛物线与x轴有两个交点;b2-4ac =0=抛物线与x轴有一个交点(即相切);b2-4ac=抛物线与x轴无交点.10.二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.。
九年级数学 “二次函数”基础知识梳理
⑤ 2a+b 看顶点横坐标 ������ = −������ 与������ = ������ 的位置
������������
2a-b 看顶点横坐标 ������ = −������ 与������ = −������ 位置
⑴ 已知顶点及另外一点。
例题：9、①已知二次函数顶点坐标是（1，2），且经过点（2，1），求表达式。
②已知二次函数当 x=1 时有最小值是 2，并且函数图象经过点（2，1），求表达式。
解：设 y = ������(������ − 1)2 + 2 ，把（2，1）代入，得„„
⑵ 已知对称轴及另外两点 例题：10、① 已知二次函数 y = ������������2 + b������ + ������ 的对称轴是 x = 1，且经过点(-1，-2)、(2，1)
������������
例题：6 左图： ∵顶点在 x=1 左边
∴ −b < 1
2������
× 2a(正数) ∴−b < 2a ∴0 < 2a + b ∴2a + b > 0
右图： ∵顶点在x = −1右边
∴ −b > −1
2������
× 2a(负数) ∴−b < −2a ∴2a − b < 0
四、实际问题与二次函数：
1、建立平面直角坐标系{ 一般利用抛物线对称性，使对称轴为������轴（研究投铅球例外）
一般把目标点（问题点）放在第一象限（研究水面下降例外）
2、实际问题求最大值（最大利润，最大面积）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
初三数学二次函数知识点总结及经典习题
《二次函数》学问点总结一. 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数.这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二. 二次函数的图像和性质y=a(x-h)2x=h0）y 随x 的增大而减小最小值y =0a ＜0向下直线x=h（h ，0）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =0 ④y=a(x-h)2+ka ＞0向上直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小当x=h 时，y 有最小值，即最小值y =k a ＜0向下直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =k ⑤ y=ax 2+b x+c 可化为： y=a(x+)2ab 2+a ＞0向上直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-） ①当x ＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小 当x=-ab 2时，y 有最小值，最小值y =ab ac 442-a ＜0向下直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-）①当x ＞-ab 2时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大当x=-ab 2时，y 有最大值，即 y 最大值=ab ac 442-三. 二次函数图象的平移 1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要驾驭了顶点是如何平移的，就驾驭了二次函数图像间的平移. 四.二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中．五．二次函数解析式的三种表示方法但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.六．二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a【a确定抛物线的开口方向，|a|确定抛物线开口的大小】⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，a的值越小，开口越大；⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越大，开口越大，a的值越大，开口越大．注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大抛物线的形态一样，即|a|一样.2.一次项系数b【由a和对称轴共同确定】对称轴在y轴的左侧，a，b同号；对称轴在y轴的右侧，a，b异号.（左同右异 b为0时，对称轴为y轴）3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线及y轴的交点在x轴上方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线及y轴的交点为坐标原点，即抛物线及y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线及y轴的交点在x轴下方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c确定了抛物线及y轴交点的位置．七．二次函数图象（抛物线）及x轴交点状况的推断：y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）1.△=b²-4ac＞0⇔抛物线及x轴有两个交点2.△=b²-4ac=0⇔抛物线及x轴有一个交点3.△=b²-4ac＜0⇔抛物线及x轴没有交点①当0y>；a>时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0②当0y<．a<时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0八.二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象及x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进展推断）.2.二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c ＜0的解.九.二次函数的应用二次函数应用☆☆二次函数抛物线简洁的图形变换☆☆（1）顶点式【ky+=2)(（a≠0）】-hxa（2）一般式【c+=2（a≠0）】y+bxax①平移：如将二次函数c=2向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n+bxaxy+＞0）个单位，得到n c bm am x b am ax n c m x b m x a -+-+--=-+-+-=222)2()()(y ②对称注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再依据须要进展求解.二次函数对应练习试题一.选择题1.二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2.把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A.22(1)y x =-+B.22(1)y x =--C.221y x =-+D.221y x =-- 3.函数2y kx k =-和在同始终角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及局部图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.方程的正根的个数为（ ）A.0个B.1个C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),及y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++ 二．填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______.10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，假如y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）.12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线及两坐标轴所围成的三角形面积为 .13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= .14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14). 三．解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且及y 轴的交点为(0,52-).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x 在什么范围内改变时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上上升度h （米）和时间t （秒）符合关系式 （0<t ≤2），其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，推断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-及坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线及x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
专题07 二次函数 (7大考点)九年级数学上学期期末考点(北师大版)
2a
2a
y最小值
4ac b2 4a
最大值，
y最大值
4ac 4a
b2
期末复习
【典例 1】（2022•绍兴）已知函数 y＝﹣x2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求 b，c 的值．
（2）当﹣4≤x≤0 时，求 y 的最大值．
（3）当 m≤x≤0 时，若 y 的最大值与最小值之和为 2，求 m 的值．
变式 3：（2023•神木市一模）把抛物线 y＝x2+bx+c 向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到抛物 线 y＝x2﹣4x+3，则 b、c 的值分别为 （ ） A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6
【解答】解：将抛物线 y＝x2﹣4x+3 化成顶点式为 y＝（x﹣2）2﹣1， 将抛物线 y＝x2﹣4x+3 向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位得新抛物线解析式为 y＝（x﹣2+4）2 ﹣1+3，即 y＝x2+4x+6，即抛物线 y＝x2+bx+c 的解析式为 y＝x2+4x+6，∴b＝4，c＝6，故选：D．
∴﹣ ＝1，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方，
∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵x＝﹣1 时，y＞0，∴a﹣b+c＞0， ∵a＞0，∴2a﹣b+c＞0，故②错误；∵b＝﹣2a，∴a＝﹣ ，
由图象可得 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＝﹣ b+c＞0，∴3b﹣2c＜0，故③正确；
由 x＝1 时函数取最小值可得 am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b， ∵a＝﹣ ，∴am2+bm≥ ，∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确．故选：D．
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初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：左加右减。
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=
，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．
当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值2
44ac b a
-．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
，．当2b
x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值
2
44ac b a
-． 七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”
3. 常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
总之，只要a b c ，
，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++； 3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，
然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次
方程()2
00ax bx c a ++=≠
的两根．这两点间的距离21AB x x =-.
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'
当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：。