高中数学人教A版必修5教案-等差数列教案
高中数学 等差数列第一课时教案 新人教A版必修5 教案
等 差 数 列（第一课时）【教学目标】知识目标：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式. 能力目标：培养学生观察、分析、判断与探究、归纳、猜想的能力.情感目标：渗透数学思想和文化，激发学习兴趣和热情，获得积极的情感体验. 【教学重点】等差数列的概念和等差数列的通项公式. 【教学难点】等差数列“等差”的特点及通项公式的理解. 【教学方法】发现、探究、讲解、演练相结合. 【教学设计】一、新课引入 （一）复习铺垫俗话说：“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴”.翻开今天的日历：注意到11月26日这一天所在行的数字是：23，24，25，26，27，28，29我们知道，象这样按照一定次序排成的一列数叫做数列.请问：（1）这个数列的通项公式是什么？ 22 (,7)n a n n N n *=+∈≤ （2）相邻两项之间的递推关系是什么？ 11(,6)n n a a n N n *+=+∈≤通项公式和递推公式，是给出一个数列的两种重要方法.（通过生活中常见的日历表复习铺垫，同时进行时间观念教育，凸现人文气息.通过复习，培育和预热“等差数列”概念的最近发展区，激发和点燃学生学习的兴趣和热情） （二）发现引入接下来，我们来看一些生活与数学中的数列的例子：从1984年到2000年，我国体育健儿共参加了五次奥运会，获得的金牌数分别为： 15，5，16，16，28．某剧场前8排的座位数分别是： 52，50，48，46，44，42，40，38. 被7除余1的自然数： 1，8，15，22，29，36，…某长跑运动员一周里每天的训练量（单位：m ）是： 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500. 正整数的倒数：111111,,,,,,23456⋅⋅⋅ 从这些例子当中，我们得到6个数列： ① 23，24，25，26，27，28，29； ② 15，5，16，16，28；③ 52，50，48，46，44，42，40，38. ④ 1，8，15，22，29，36，……⑤ 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500. ⑥ 111111,,,,,,23456⋅⋅⋅上述数列来自数学与生活，其中有些数列有共同的特点，你能发现一些吗？这些共同的特点又是什么呢？ “发现”是个美妙的词语，发现令人鼓舞，发现引人注目. （学生讨论交流，教师巡视指导）象①、③、④、⑤这样的数列就是我们这节课要研究的等差数列.（模拟科学研究的程式，从数学和生活中的数列问题出发，通过观察总结，确立研究的课题）二、概念建构 （一） 讨论请大家通过小组讨论交流，从上述四个例子中尝试归纳总结出等差数列的定义. （二）表述一般地，如果一个数列{}n a ，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示. 也就是： 1 (,2){}n n n a a d n N n a *--=∈≥⇔为等差数列.(适度的的形式化是新课程基本理念之一)（三）反馈判断下列数列是否为等差数列：① 23，25，26，27，28，29，30.② 7, 7, 7, 7, 7, 7, …③ 52，50，48，46，44，42，40，35. ④ －1，－8，－15，－22，－29. ⑤ －1，1，－1，1，－1，1，－1，1，…三、性质探究[引子] 已知1 3 n n a a --=，12a =-，求234,,a a a ，100?a =（一）等差数列通项公式的建立 由等差数列的定义，有：2121323214343111 2 3(1) n n n a a d a a d a a d a a d a da a d a a d a d a a d a a n d --=⇒=+-=⇒=+=+-=⇒=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-==+-（叠加，严格的数学推理） （迭代，归纳和猜想） [小组练习] 在等差数列中填写下表：（方程思想，知三求一）（二）等差数列通项公式的应用例1、（1）求等差数列－2，1，4，……的第5项和12项；（2）1126是不是上述等差数列的项？如果是，是第几项？（公式正用、逆用）(源于教材，以本为本)变式Ⅰ：在等差数列{}n a 中，已知51210,31a a ==. （1）求公差d ；（2）求7a . （方程思想，求基本量）一般化：()(,)n k a a n k d n k N *=+-∈；变式Ⅱ：在等差数列{}n a 中，已知716a =，求下列各式的值： （1）68a a +； （2）311a a +；（定义、公式变用，速算法：整体代换，设而不求，从特殊到一般，从简单到复杂，在变化中寻找不变性） 一般化：(,,,)m n p q m n p q m n p q N a a a a *+=+∈⇒+=+（变式训练的设计以一个数列为背景，一题多用、一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展，重在思维训练，多点想，少点算.通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养学生探究问题的能力，提升思维的层次.在解决问题的过程中，激发学生的研究兴趣，培养学生的科学理性精神，体会交流、合作和竞争等现代意识）例2、已知数列的通项公式为n a pn q =+，其中,p q 是常数，且0p ≠，那么这个 数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？＋）1(1)n a a n d =+-量数字 题号分析：判断一个数列是否是等差数列，可以用等差数列的定义. （学生自学教材，体会书写格式）（如此设计有利于培养学生良好的学习习惯，，提高其独立分析和解决问题的能力，变“学会”为“会学”.充分保障学生的主体地位）例如，上述例1中的数列，35n a n =-，相应是图象是一次函数35y x =-所对应的直线上的均匀排开的无穷多个孤立点，如图所示.（等差数列的判定，定义的应用，函数思想，数形结合思想） 例3、在下面的日历表中：（Ⅰ）在23和29两个数中间填上两个数，使得四个数成等差数列；若在a 、b 之间填上两个数呢？ （Ⅱ）已知方程22(52)(52)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为23的等差数列，求m n +的值. （Ⅲ）后续研究：继续观察日历表，你能找出几个公差不同的等差数列？试写出它们的通项公式.你能写出这些等差数列的公差构成的集合吗？（首尾呼应，思维拓展） 四、小结作业（通过形式活泼的连接图，形成知识网络，便于信息的储存的提取；同时，突出核心概念） 作业：（一） 阅读作业：通读教材，复习巩固，思考等差数列的前n 项和的求法； （二） 书面作业：114P （习题3.2） 1,2,10（三） 弹性作业：模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请研究它的定义、通项公式和相关的性质.(作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则.阅读作业中的问题思考是后续课堂的铺垫，而弹性作业不作统一要求，供学有余力的学生课后研究,它也是新课标里研究性学习的一部分)【附录】 教学设计说明建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展.元认知理论指出，学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、情、意、行”的和谐统一.备课不只是对知识和教学内容的准备，也包括对学生、学情的分析和掌握.二者的和谐统一是提高教学效果的基本要求.发现、探究、讲解、演练相结合教学法的确立，就是基于对学生认知基础和认知规律的关注.在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念.在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程.强调学生的品德、思维和心理等方面的发展.重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成.同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则.通过讨论交流，进一步加深对概念的理解，完善认知结构，让学生在“平衡－－不平衡－－新平衡”中不断得到丰富和发展.通过讨论交流，实现生生互助，丰富情感体验；实现师生互助，活跃课堂气氛.从知识建构到能力培养,知能统一，信息传递畅通；从情感体验到人文关怀,情意共鸣，创新精神涌动.。
高中数学等差数列 教案(新人教A版必修5)
数学：2.2《等差数列》教案（新人教A必修5）（原创）一、设计思想1、教材分析：本节内容是在学生学习了数列的一些基本知识之后，转入对特殊数列----等差数列的学习。
是本章的重点内容之一，并且等差数列在日常生活中有着广泛的应用，也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习无论在知识上还是方法上都具有积极的意义。
2、学情分析：学生已具有一定的分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
3、设计理念：设计本节课时，力求强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验。
教学时不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情景，让学生自己去发现、证明。
充分体现学生的主体地位，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力，培养学生的创造力。
4、教学指导思想：结合学生的实际情况及本节内容特点，我采用的是“问题教学法”，以探究式教学思想为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出结论，从而使学生获得新知识的同时又提高了能力。
二、教学目标：知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。
三、教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。
四、教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
五、教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。
等差数列公开课教案教学设计(必修五)
《等差数列》教学设计一．教材分析本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修五第二章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。
研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。
在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。
同时也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
二．教学目标知识目标：（1）理解并掌握等差数列的概念；（2）能用定义判断一个数列是否为等差数列；（3）了解等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，会应用等差中项公式，并能在解题中灵活应用它们；（4）初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。
能力目标：（1）培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；（2）在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；（3）通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感目标：（1）通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；（2）通过对等差数列的研究，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
三、教学重点、难点重点：①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及应用。
难点：①理解等差数列"等差"的特点及通项公式的含义。
②如何推导出等差数列的通项公式。
四．教学策略和手段数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇
高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇1. 引言本教案是针对高三数学必修五教材中的《等差数列》内容进行设计的。
《等差数列》是高中数学中的重要概念，对学生理解数列的规律和应用具有重要意义。
本教案旨在通过多种不同的教学方法和活动，帮助学生深入理解等差数列的定义、性质和应用。
2. 教案一：等差数列的定义和性质2.1 教学目标•了解等差数列的定义；•掌握等差数列的通项公式；•理解等差数列的性质。
2.2 教学内容1.等差数列的定义；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的性质。
2.3 教学活动•分组讨论：学生分成小组，讨论等差数列的定义和通项公式，并总结出等差数列的性质；•演示教学：教师通过示例，引导学生理解等差数列的定义和通项公式，并帮助学生掌握等差数列的性质；•练习巩固：学生进行一些练习题，巩固对等差数列的理解。
2.4 教学评价教师通过观察学生在讨论和练习中的表现，评价学生对等差数列的理解程度。
3. 教案二：等差数列的求和公式3.1 教学目标•掌握等差数列的求和公式；•理解求和公式的推导过程；•运用求和公式解决实际问题。
3.2 教学内容1.等差数列的求和公式；2.求和公式的推导过程；3.运用求和公式解决实际问题。
3.3 教学活动•演示推导过程：教师通过详细的步骤，演示等差数列求和公式的推导过程，并帮助学生理解每一步的意义；•练习应用：学生进行一些实例练习，运用求和公式解决实际问题；•小组合作：学生分组讨论，互相解答问题，提高合作能力和解决问题的能力。
3.4 教学评价教师通过观察学生在练习和讨论中的表现，评价学生对求和公式的掌握情况。
4. 教案三：等差数列的应用4.1 教学目标•熟练运用等差数列解决实际问题；•发现等差数列在生活和科学中的应用。
4.2 教学内容1.通过例题引入等差数列的应用；2.探究等差数列在生活和科学中的应用。
4.3 教学活动•案例分析：教师通过具体的案例，引导学生发现等差数列在生活和科学中的应用，并分析其规律；•分组讨论：学生分组讨论，提出更多的应用案例，并探究其规律和特点；•学生报告：每个小组选取一个应用案例进行报告，分享给全班同学。
人教A版数学必修五 等差数列教学设计精品教案.docx
河南省濮阳市综合高中2013-2014学年高中数学必修5教学设计：等差数列一、教学内容分析本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用•求数列前n项和是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法.二、学生学习情况分析之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础，高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法.引出倒序相加法, 这是学生学习的障碍.三、设计思想在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法.通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组.织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展.开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习.四、教学目标1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质.五、教学重点和难点本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题;难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得.六、教学过程设计（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？体展示三角形图案）高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子・200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1 +2 +3 +…+100=?据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算岀了正确答案：（1+100）+（2 + 99）+ +（50 + 51） = 101X50=5050.（―）由易到难，在自主探究与合作中学习问题1图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？该题组织学生分组讨论，在合作中.学习，并把小组发现的方法一一呈现.学生可能出现以下求法方法］:原式=（1 + 2 + 3+ ............. + 50） +51方法2：原式=0 + 1+2 + ............ + 50+51方法3：原式=（1+2 + -+25+27- + 51） +26以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与克扬.问题2：求图案中从第1层到第n层（l<n <100, nWN*）共有多少颗宝石？启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形.通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法:VI + 2 + 3 +・・・ (n-1) + nn + (n— 1) + (n—2) + …+ 2 + 1(n+1) + (n+1) + (n+1) + …+ (n+1) + (n+1)n•••l+2+3+・・・+nF—问题3：在公差为d的等差数列｛為｝中，定义前n项和Sn二內+氐+…+為，如何求Sn?由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：V Sn-ai + (ai+d) + (ai+2d) +•••+ [ai+ (n—1) d]S n-a n + (a n—d) + (a n—2d) +•••+[a n— (n—1) d]・ 2S n = (% +%) + (% +%) + ••• + (% +%).・V------------------------- v---------------------- '"个»也严(公式1)组织学生讨论：在公式1中若将a”=a】+ (n-1) d代入又可得出哪个表达式？即：S” + (公式2)2(三)设置典例，促进学生对公式的应用对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取.教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式.例1 为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划(单位：m)如下表：2 4例2已知等差数列5, 4y , 3y ,…求(1)数列｛a…｝的通项公式；125⑵数列(aj的前几项和为丄？7(3)Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。
高中数学教案-人教a版必修5——等差数列
第三课时 等差数列(一)教学方针：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识. 教学重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方式——通项公式和递推公式.这两个公式从分歧的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课1，2，3，4，5，6； ① 10，8，6，4，2，…； ②21，2112 ，22，2212 ，23，2312 ，24，2412 ，25 ③2，2，2，2，2，… ④首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：a n ＝n (1≤n ≤6).数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：a n ＝12－2n (n ≥1).数列③是一递增数列，后一项总比前一项多12 ，其通项公式为：a n ＝2012 ＋12n （1≤n ≤9)数列④的通项公式为：a n ＝2(n ≥1)是一常数数列.综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，凡是用字母d 暗示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，12，0. 2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则据其定义可得：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝da 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n －a n －1＝d若将这n －1个等式摆布两边分别相加，则可得：a n －a 1＝(n －1)d 即：a n ＝a 1＋(n －1)d 当n ＝1时，等式两边均为a 1，即上述等式均成立，则对于一切n ∈N *时上述公式都成立，所以它可作为数列{a n }的通项公式.或者由定义可得：a 2－a 1＝d 即：a 2＝a 1＋d ；a 3－a 2＝d 即：a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2d ；a 4－a 3＝d 即：a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3d ；……；a n －a n －1＝d ，即：a n ＝a n －1＋d ＝a 1＋(n －1)d看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ,便可求得其通项. 如数列①：a n ＝1＋(n －1)×1＝n (1≤n ≤6),数列②：a n ＝10＋(n －1)×(－2)＝12－2n (n ≥1),数列③：a n ＝22＋(n －1) 12 ＝2112 －12n (n ≥1), 数列④：a n ＝2＋(n －1)×0＝2(n ≥1)由通项公式可类推得：a m ＝a 1＋(m －1)d ，即：a 1＝a m －(m －1)d ，则：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .如：a 5＝a 4＋d ＝a 3＋2d ＝a 2＋3d ＝a 1＋4d3.例题讲解［例1］(1)求等差数列8，5，2…的第20项.分析：由给出的三项先找到首项a 1,求出公差d ，写出通项公式，然后求出所要项. 解：由题意可知：a 1＝8，d ＝5－8＝2－5＝－3∴该数列通项公式为：a n ＝8＋(n －1)×(－3)，即：a n ＝11－3n (n ≥1)，当n ＝20时，则a 20＝11－3×20＝－49.答案：这个数列的第20项为－49.(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n ，可使得a n ＝－401.解：由题意可知：a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4,∴数列通项公式为：a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1.令－401＝－4n －1，解之得n ＝100.∴－401是这个数列的第100项.［例2］在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d .解：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10 ①a 1＋11d ＝31 ②这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝－2，d ＝3. 即这个等差数列的首项是－2，公差是3.［例3］在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.思路一：按照等差数列的已知两项，可求出a 1和d ，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a 25.解法一：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则按照题意可得：⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10a 1＋14d ＝25这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32. ∴这个数列的通项公式为：a n ＝4＋32 ×(n －1)，即：a n ＝32 n ＋52. ∴a 25＝32 ×25＋52＝40.思路二：若注意到已知项为a 5与a 15，所求项为a 25，则可直接利用关系式a n ＝a m ＋(n －m )d .这样可简化运算.解法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d ,∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40.思路三：若注意到在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a 25的值.解法三：在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25成等差数列∴2a 15＝a 5＋a 25，即a 25＝2a 15－a 5,∴a 25＝2×25－10＝40.［例4］已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方式上，可以考虑运用方程思想求解基本量a 1和d ，也可以利用性质求d ，再就是考虑运用等差数列的几何意义.解法一：由通项公式，知⎩⎨⎧a 15＝a 1＋14d ＝33a 45＝a 1＋44d ＝153 得：⎩⎨⎧a 1＝－23d ＝4由217＝－23＋4(n －1)，得n ＝61.解法二：由等差数列性质，得a 45－a 15＝30d ＝153－33，即d ＝4又a n ＝a 15＋(n －15)d ，217＝33＋4(n －15)，解得n ＝61.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于P （15，33），Q （45，153），R （n ，217）在同一条直线上.故有153－3345－15 ＝217－153n －45，解得n ＝61. 评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要按照具体问题具体分析.［例5］已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54 ，a 7＝－34，求a 15的值. 解法一：利用通项公式，设数列{a n }的首项为a 1,公差为d则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54 a 1＋6d ＝－34 解之得⎩⎨⎧a 1＝94d ＝－12 a 15＝a 1＋14d ＝94 ＋14×(－12 )＝－194解法二：利用等差数列的性质a 7＝a 3＋4d 把已知条件代入,得：d ＝－12∴a 15＝a 7＋(15－7)d ＝－194. 解法三：∵{a n }为等差数列，∴a 3,a 7,a 11,a 15……也成等差数列由a 3＝54 ，a 7＝－34知上述数列首项为54，公差为－2 ∴a 15＝54 ＋(3－1)·（－2）＝－194［例6］两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？分析：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{a n }，这样问题就转化为一个研究数列{a n }的项数问题了.解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{c n }，c 1=11,又数列5，8，11，……的通项公式为a n ＝3n ＋2，数列3，7，11，……的通项公式为b n ＝4n －1.∴数列{c n }为等差数列，且d ＝12.∴c n ＝12n －1又∵a 100＝302，b 100＝399，∴c n ＝12n －1＜302得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项. 解法二：∵a n ＝3n ＋2，b n ＝4n －1，设a n ＝b m则有3n ＋2＝4m －1(n ，m ∈N *)，即n ＝43m －1(n ，m ∈N *) 要使n 为正整数，m 必需是3的倍数.设m ＝3k (k ∈N *)，代入前式得n ＝4k －1又∵1≤3k ≤100，且1≤4k －1≤100，解得1≤k ≤25∴共有25个相同的项.［例7］一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由⎩⎨⎧23＋（6－1）d ＞023＋（7－1）d ＜0得－4.6＜d ＜－236 答案：－4 Ⅲ.课堂练习课本P 34练习1，2，31.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：按照所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：按照题意可知：a 1＝3，d ＝7－3＝4.∴该数列的通项公式为：a n ＝3＋(n －1)×4，即a n ＝4n －1(n ≥1，n ∈N *)∴a 4＝4×4－1＝15，a 10＝4×10－1＝39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：按照题意可知：a 1＝10，d ＝8－10＝－2.∴该数列的通项公式为：a n ＝10＋(n －1)×(－2)，即：a n ＝－2n ＋12，∴a 20＝－2×20＋12＝－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得a n 等于这一数.解：按照题意可得：a 1＝2，d ＝9－2＝7.∴此数列通项公式为：a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5.令7n －5＝100，解得：n ＝15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－312，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：a 1＝0，d ＝－312∴此数列的通项公式为：a n ＝－72 n ＋72令－72 n ＋72 ＝－20，解得n ＝477因为－72 n ＋72＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. 2.在等差数列{a n }中，（1）已知a 4＝10，a 7＝19，求a 1与d ；(2)已知a 3＝9，a 9＝3，求a 12.解：（1）由题意得：⎩⎨⎧a 1＋3d ＝10a 1＋6d ＝19 解之得：⎩⎨⎧a 1＝1d ＝3(2)解法一：由题意可得：⎩⎨⎧a 1＋2d ＝9a 1＋8d ＝3 解之得：⎩⎨⎧a 1＝11d ＝－1∴该数列的通项公式为：a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n∴a 12＝0解法二：由已知得：a 9＝a 3＋6d ，即：3＝9＋6d∴d ＝－1又∵a 12＝a 9＋3d ，∴a 12＝3＋3×(－1)＝0.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a n －a n －1＝d (n ≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：a n ＝a m ＋(n －m )d 的理解与应用.Ⅴ.课后作业课本P 39习题 1，2，3，4。
高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么你对等差数列了解多少呢？这次白话文为您整理了高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇，希望能够给予您一些参考与帮助。
数学等差数列教案篇一【教学目标】一、知识与技能1、掌握等差数列前n项和公式；2、体会等差数列前n项和公式的推导过程；3、会简单运用等差数列前n项和公式。
二、过程与方法1．通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法；2、通过公式的'运用体会方程的思想。
三、情感态度与价值观结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
【教学重点】等差数列前n项和公式的推导和应用。
【教学难点】在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。
【重点、难点解决策略】本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。
利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
【教学用具】多媒体软件，电脑【教学过程】一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务:本节课我们来学习《等差数列的前n项和》，那么什么叫数列的前n项和呢，对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记sn=a1+a2+a3+…+an，如S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7，下面我们来共同探究如何求等差数列的前n项和。
二、问题牵引，探究发现问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少圆宝石吗？即: S100=1+2+3+······+100=？著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。
《等差数列》教案人教版必修5
《等差数列》教案一、教学目标（一）知识与技能:1.通过实例，理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2.引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，并能在解题中灵活应用；3.初步引入“数学建模”的思想方法并能运用.（二）过程与方法:1.让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；2.由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.（三）情感态度与价值:在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情.二、教学重难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，理解等差数列是一种函数模型.难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.三、教学过程（一）创设情景上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列. （二)课题引入请同学们观察课本36-37的四个实例引出的四个特殊数列，引导同学们发现其中的共同规律.①从0开始数数，每隔5数一次，数到的数组成的数列为：0,5,10,15,20…特点：无穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5.②较轻的4个举重级别：（我们可以发现举重级别级差是5）48,53,58,63.特点：有穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5.③定期放水清理水库，自然放水每天水位降低2.518,5.10,8,5.5.15,13,5.特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于.④ 银行单利问题，单利即不把利息加入本金计算下一期的利息，也就是说每一年算利息时本金都是1000，只是利息逐年累加而已.10072,10144,10216,10288,10360.特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于72. 它们共同的特点是？从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数. 我们把有这一特点的数列叫做等差数列. (三)新课探究 1.等差数列的定义过渡：对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72. 对定义的理解应注意：（1）“从第2项起”是因为第一项没有前一项.（2）“每一项与它的前一项的差”指出了作差的顺序性，即后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒. （3）定义中的“同一个常数”是指d a a a a a a n n ==-==-=-- 12312，其中d 是与n 无关的常数.因此，等差数列的定义可用数学符号语言描述为：-1 (,2*)n n a a d d n n N -=≥∈是常数且或者+1 (,*)n n a a d d n N -=∈是常数试一试：它们是等差数列吗？ ①1,1-,1,1-,1,1-… ②4-,1-,2,5,8… ③每一项都是5的常数列④每一项都是a 的常数列（其中a 是常数） 2.等差中项的定义定义：由三个数a ，A ，b 组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.且有：22b a A b a A +=⇒+=不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项. 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项. 看来73645142,a a a a a a a a +=++=+从而可得在一等差数列中，若m +n =p +q ，则q p n m a a a a +=+ 3.等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容. （1）等差数列的通项公式(求法（一)：迭代法)如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，那么这个等差数列432,,a a a 如何表示？n a 呢？ 根据等差数列的定义可得：d a a =-12 ，d a a =-23，d a a =-34，…所以： d a a +=12，()32112a a d a d d a d=+=++=+，()431123a a d a d d a d=+=++=+，猜想：514a a d=+，……由此猜想:dn a an)1(1-+=，因此等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈注：需要特别强调的是在求432,,a a a 的过程中采用了迭代法，由猜想归纳出n a 的通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们引入第二种方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=，*N n ∈ （2）等差数列的通项公式(求法（二)：迭加法) 根据等差数列的定义可得：d a a =-12da a =-23 da a =-23…… ()1-n 个式子相加12n n a a d---= 1n n a a d--=将以上1-n 个式子累加得等差数列的通项公式就是: dn a a n )1(1-+=，*2N n n ∈≥且当1=n 时也满足上述式子，所以：等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈4、等差数列的判定 （1）引入由课本38页的例3，得出一种等差数列的判定方法，再强调定义和等差中项都可以用来判定等差数列，其中定义和例3的方法最常用. 例3：已知数列{}n a 的通项公式为q pn a n+=，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?分析：可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列，也就是计算n n a a -+1是不是一个与n 无关的常数.解：取数列}{n a 中的任意相邻两项1-n n a a 与（n ＞1），求差得pq p pn q pn q n p q pn a a n n =+--+=+--+=--](])1{[)(1它是一个与n 无关的数.所以}{n a 是等差数列. （2）归纳等差数列的三种判定方法（3）应用1、等差数列的通项公式的应用例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义. 解：⑴由1a =8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820-=-⨯-+=a⑵由1a =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45--=---=n n a n由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立. 解这个关于n 的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.注：在应用等差数列的通项公式()d n a a n 11-+=过程中,对n a ,1a ,n ,d 这四个基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程的思想，我们称作“知三求一”.例2：某市出租车的计价标准为2.1元/km ，起步价为10元，即最初的km 4（不含4km ）计费10km 14处的目的地且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费?分析：这道题需要个别注意的是“最初的km 4（不含4km ）”km 处的计费为10元，在4.1km 处的计费为11.2元，在4.0km 处的计费也为11.2元.法一、那么在1km 处的计费应和13km 处的计费一样，为10+1.2+（13-4）*114km 处的计费为10+1.2+（14-4）*1.2=23.2元.法二、如果我们从第km 4处开始，每隔km 1记一次费，那么所记的数组成的数列是一个首项2.112.1101=+=a ，公差2.1=d 的一个等差数列，那么，当出租出行至km 14处时，11=n ，此时所要支付的车费为()2.232.11112.1111=⨯-+=a 元.注：在利用等差数列方法解决实际问题时，一定要分清楚首项、项数、公差、末项等关键问题. （四）小结1、等差数列的定义，定义的符号形式，等差数列的定义2、等差数列的通项公式: d n a a n )1(1-+=公差*1(N n d d a a n n ∈=-+是常数，；3、知三求一：等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式()d n a a n 11-+=求余下的一个量；4、等差数列的判定 （五）作业课本39页的练习1、2、3。
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等差数列的概念的理解与掌握 等差数列通项公式推导及应用 观察、分析、对比 教 师 活 动
由电影《红高粱》主题曲“酒神曲”引入等 差数列定义
探 求 问题：多媒体演示，观察----发现？ 新知 一、等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差， 通常用字母 d 表示。
由 an=a1+(n-1)d ∴
a20 =a1+(n-1)d =10+(20-1)×(-2) = -28
例 4：
在等差数列{an}中 ，
已知
a6=12 ，a18=36 ,求通项 an 。
分析： 此题已知 a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18 分别代入通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含 a1 与 d 两个未 知 数组成方程组，可解出 a1 与 d 。
思考、讨论、推断 理解、掌握关键字词 口答
例 1： 观察下面数列是否是等差数列：…. 二、等差数列通项公式： 已知等差数列 ｛an｝ 的首项是 a1， 公差是 d。 则由定义可得： a2-a1=d a3-a2=d 思考、讨论、解答 探讨
a4-a3=d ……
an-an-1=d 即可得： an=a1+（n-1）d
解：由题意可得 a1+5d=12 a1+17d=36 ∴ d=2 a1 =2
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
练习 1. 判断下列数列是否为等差数列： ① 23，25，26，27，28，29，30； 巩 固 ② 0, 0, 0, 0, 0, 0, …③ 52， 50， 48， 46， 44， 练习 42，40，35； ④ －1，－8，－15，－22，－29； 答案：①不是 ②是 ①不是 ②是
2.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，
-3a-5，-10a-1，则 a 等于（ ）
A. 1 B. -1 C.- 1/3 D.5/11 提示：(-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 ) 3. 在数列{an}中 a1=1，an= an+1+4，则 a10= .
提示：d=an+1- an=-4
教师继续提出问题
已知数列{an}前 n 项和为……
思考、讨论、解答 探讨
扩 展 思维
小结 作业
本节课你学到了什么？ 本节课你疑惑的部分是什么？ P116 习题 3.2 1,2
学生总结 表疑
3.2 等差数列（一）
教者：李振忠
海林市朝鲜族中学
2004.12.
例2 已知等差数列的首项 a1 是 3，公差
d 是 2，求它 的通项公式。 分析：知道 a1 , d ，求 an 。代入通项公 式 解： ∵ a1=3 , d=2
∴ an=a1+(n-1)d =3+(n-1) ×2 =2n+1 例 3 求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 …的第 20 项。 分析： 根据 a1=10，d= -2，先求出通项公 式 an ，再求出 a20 解： ∵ a1=10, d=8-10= -2 ， 得 n=20
学科 教师
数学 李振忠 知识目标
题目 单位
等差数列(一) 海林市朝鲜族中学 等差数列通项公式
课型 时间
新授课 2004.12
等差数列定义
教 学 目 标
教学 重点 学习 方法 教学 差数列定义
等差数列通项公式
培养学生的观察、推理、归纳能力 教学难点 教学方法 等差数列 “等差”的 理解、把握和应用 启发、研讨 学 生 活 动 听歌、观察、口答