5-4单正态总体参数的区间估计

n
, X + uα
2
σ
n
).
19
正态总体均值的区间估计
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本， 1:σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间： X −μ (1)选择包含μ的分布已知函数: U= ~ N ( 0 ,1 ) σ/ n (2)构造U的 一个1-α区间: X −μ P ( −u α < < uα ) = 1 − α σ/ n 2 2 (3)变形得到μ的1-α置信区间:
ˆ −θ ˆ 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. θ 2 1
9
⎧ ⎪ 估计区间优 ⎨ 劣的标准 ⎪ ⎩ 精度
可靠性
ˆ ˆ ⎤ g g g (θ ) 被包含在 ⎡ , 1 2 ⎦内可能性 ⎣
大小，可能性越大，可靠性越高.
ˆ 1, g ˆ2⎤ 随机区间 ⎡ ⎣g ⎦的 平 均 长度越短，精度越高.
可靠度与精度是一对矛盾
n
18
(3) 将不等式λ1 < g < λ2变形,解出μ的范围.
P{ − uα <
2
X −μ
σ
< uα } = P { − uα
2
σ
n
< X − μ < uα
2
σ
n
}
n
2
= P { X − uα
2
σ
n
< μ < X + uα
2
σ
n
} = 1−α
因此μ的置信度为1-α的置信区间为
( X − uα
2
σ
2
α 称作检验水平, 通常α = 5%或1%.
4
概念的注解


被估计参数θ，虽然是未知的，但是却是确 定的。而 θˆ 1,θˆ 2 是样本的函数，对于不同的 样本，其值可能不同，因此是随机变量，故 ˆ ,θ ˆ ) (θ 1 2 是随机区间。因此，用 (θˆ 1,θˆ 2 ) 进 ˆ ,θ ˆ ) 可能包含θ，也可能 行区间估计时， (θ 1 2 不包含θ，但100次运用这个区间，约有 100(1-α)个区间含有θ。
( X − tα ( n − 1) S n , X + tα ( n − 1) S n )
1 n 2 经计算得x ≈ 3057, s = x − ≈ 375.3 ( 3057) ∑ i 11 i =1 查表得tα ( n − 1) = t0.05 (11) = 2.201,
所以μ的95%置信区间为:
P( g ( X 1 , X 2 , X n ,θ ) < a) = α / 2 P ( g ( X 1 , X 2 , X n , θ ) > b) = α / 2
15
0.4 0.3 0.2 0.1 -2u − α
取 α = 0.05
z − z =1.96−(−1.96)
1−α 2
α
2
-1
1
2
u
1
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们 根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估 计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条，也可 能小于1000条.
若我们能给出一个区间,如[1000-10,1000+10]. 在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这 样对鱼数的估计就有把握多了.
5
由图可以看 出，这100 个区间中有 91个包含参 数真15，另 外9个不包 含参数真 值。
图 μ 的置信水平为0.90的置信区间
6
取α=0.50，我们 也可以给出100 个这样的区间， 见图。可以看 出，这100个 区间中有50个包 含参数真值15， 另外50个不包含 参数真值。
图 μ 的置信水平为0.50的置信区间
P { − tα ( n − 1) < = 1−α X −μ S/ n < tα ( n − 1)}
α α
2 2
(3)变形得到μ的1-α置信区间:
( X − tα ( n − 1) S n , X + tα ( n − 1) S n )
O
tα ( n − 1) x
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例 假定初生婴儿(男孩)的体重服从正态分布, 随机 抽取12名婴儿, 测体重为3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540. 试以95%的 置信度估计新生男婴儿的平均体重(单位:克). 解 设新生男婴儿体重为X克, 由于X服从正态 分布, 方差σ2未知, 所以μ的95%置信区间为:
S S σ 未知，μ的置信区间为(X − tα ( n − 1) , X + tα ( n − 1) ) n n 3.由题意得到α，n 根据样本分别计算x , s 查表得到uα，tα ( n − 1)
2
4.代入置信区间，求出具体值
25
练习 有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋 , 称得重 量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值 μ 的置信水平0.95的置信区间. 分析：求总体均值的置信区间，总体方差未知。 解：由题意：σ 2未知，于是μ的置信区间为
1 n 1 2 X = ∑ X i ∼ N (μ , σ ) n i =1 n
于是构造 U =
X −μ
σ
∼ N (0,1)
n
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(2) 对于给定的置信度1 − α , g = U = 确定数λ1 , λ2使得 P {λ1 < g ( X 1 , X 2 , , X n , μ ) < λ2 } = 1 − α .
(3057 − 2.201 375.3 12 , 3057 + 2.201
375.3 12
)
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即 (2818, 3295).
求正态总体的均值μ的置信区间
step:1.判断σ 2已知还是未知？ 2.选取置信区间 σ 已知，μ的置信区间为(X − uα
2 2 2
σ σ , X + uα ) n n 2
g( X x , X 2, , X n ,θ )
取枢轴量
X −μ ~ N (0,1) g(X1, X2, , Xn , μ ) = 1/5
12
给定置信水平 1 − α ,定出常数 a , b ,使得 P ( a < g ( X 1 , X 2 , X n , θ ) < b) = 1 − α 如前例中要找一个区间,使其包含 μ 的真 值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
2 2
由已知得X = 5, α = 0.05, n = 9. α Φ( uα ) = 1 − = 0.975 查表得u0.025 = 1.96, 2 2 所以所求置信区间为 (5 − 1.96 0.9 , 5 + 1.96 0.9 ) 3 3 所求置信区间为 (4.412，5.588).
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2. μ未知, σ2未知, 求μ的置信度为1-α置信区间. 设总体X~N(μ,σ2), X1, X2, …, Xn 为一组样本, μ 未知,σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间. − μ X − μ ~ t ( n − 1) X = (1)选择包含μ的分布已知的函数: T U= S σ // n n y (2)选择T的一个1-α区间: P(| T |< tα (n − 1) = 1 − α
2. 叙述时，一般说：区间以多大的概率包含未 知参数，而不说参数以多大的概率落入区间.
8
ˆ ,θ ˆ ) 3. 要求 θ 以很大的可能被包含在区间(θ 1 2 ˆ <θ<θ ˆ } 要尽可能大 . 内，就是说，概率 P{θ 1 2
即要求估计尽量可靠. 4. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度
( X − uα
2
σ
( X ± uα 2
σ ) n
n
ห้องสมุดไป่ตู้
, X + uα
2
σ
n
)
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例某厂生产的零件长度 X 服从 N(μ , 0.04),现 从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度 测量值如下(单位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 求:µ 的置信水平为0.95的区间估计. 解：n = 6，α = 0.05，z1-α/2 = z0.975 = 1.96， σ2=0.22 . 通过计算，得 X = 14.95, 所求置信区间为
7
四点说明: 1. 置信度 1 − α 的意义
ˆ <θ<θ ˆ } = 1 − α = 0.9 P {θ 1 2 ˆ ,θ ˆ 是样本函数,所以抽取一组样本观测值， 因为θ
1 2
ˆ ,θ ˆ 得到一个置信区间，再抽取一组又得到一个. 代入θ 1 2
若抽取100个样本，则得到的置信区间里有90个 包含未知参数θ .
⎛ 1 ⎞ ⇒ X − μ ~ N ( 0, 1) X ~ N⎜μ, ⎟ 1 ⎝ 5⎠ 5
取 查表得
α = 0.05
uα / 2 = 1.96
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例中 由
a = − 1 .9 6, b = 1 .9 6
a < g( X1, X2 , Xn ,θ) < b 解出T1 , T2
得置信区间 ( T1 , T2 ) 例中
(X −
σ
n
z1-α 2 , X +
σ
n
z1-α 2 ) = (14.79, 15.11) .
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例 . 设总体X~N(μ,0.92),X1, X2,…,X9为来自总 体的简单随机样本,样本均值为5,求μ的置信度为 95%的置信区间. 解：由题意得 σ = 0.9 , 这是方差已知的总体均值的区间估计， 从而μ的置信区间为 σ σ ( X − uα , X + uα ) n n 2 2