正态总体参数估计
正态分布的基本特性和参数估计
正态分布的基本特性和参数估计正态分布，也称为高斯分布，是统计学中最为重要的分布之一。
它具有许多独特的特性和应用，被广泛应用于各个领域的数据分析和建模中。
本文将介绍正态分布的基本特性，并探讨参数估计的方法。
一、正态分布的基本特性1. 对称性：正态分布是一种对称分布，其概率密度函数在均值处取得峰值，并向两侧逐渐减小。
这种对称性使得正态分布在实际应用中具有很大的优势，能够较好地描述许多自然现象和随机变量的分布。
2. 峰度和偏度：正态分布的峰度和偏度分别为3和0。
峰度反映了分布的尖锐程度，而偏度则反映了分布的对称性。
正态分布的峰度为3，表示其相对于均匀分布而言具有更为尖锐的峰值。
而偏度为0，表示其对称性较好，左右两侧的分布相似。
3. 68-95-99.7法则：正态分布具有一个重要的特性，即约68%的数据落在均值的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
这个法则在实际应用中非常有用，可以帮助我们对数据进行初步的分析和判断。
二、参数估计的方法在实际应用中，我们常常需要根据给定的样本数据来估计正态分布的参数，包括均值和标准差。
以下介绍两种常用的参数估计方法。
1. 极大似然估计：极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是找到最有可能使得观测到的样本数据出现的参数值。
对于正态分布，我们可以通过最大化似然函数来估计均值和标准差。
具体的计算方法可以使用数值优化算法，如梯度下降法等。
2. 方法 of moments：方法 of moments（矩估计）是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过样本矩与理论矩的对应关系来估计参数。
对于正态分布，我们可以通过样本均值和样本方差来估计均值和标准差。
具体的计算方法比较简单，只需要求解一组方程即可。
三、正态分布的应用正态分布在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 统计推断：正态分布是统计推断中的重要工具，它可以用来进行假设检验、置信区间估计等。
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
正态总体参数区间估计的MATLAB实现
试求该课程平均成绩 的置信区间 ．置信度 １ ａ： ． ） （ 一 ０９ ５ 解 在 ＭＡ Ｌ Ｂ的编 辑窗 口建立 如下 的 Ｍ一文件 （ ＴＡ 并保 存 为
ａ ｈ ：００ ； ｌ ａ ．５ ｐ ｓｍ ：１．； ｉ ａ ３５ ｇ
正 态 总体 参 数 区间估 计 的 ＭＡ Ｌ Ｂ实现 ＴＡ
陈少云
（ 四川建筑职业技术学院 计算机 系， 四川 德阳 ６８０ ） １ ０ ０
摘 要 ： 本文介绍了Ｍ ＴＡ 软件的 ｎ ｍ ｔ 函数在求解正态总体参数的区间估计中的长处和短处， ＡＬ Ｂ ｏ ｆ） ｒｉ （ 结合实例
编写 了 Ｍ １ Ａ 程序求解标准差 ｄ已知时均 值 的置信 区间 和均 值 已知时 标准差 口的 置信 区间 ， ＡＬ Ｂ ｒ 弥补 了
分布的参数 和 的估计值 ， ｕｉ ｉｎｃ分别为它们的置信区间， ｍ ｃ，ｇ ａ ｓｒ ｉ 置信度为（ 一 ｌ ａ ×１ ％， ｐａ １ ａ ｈ） ０ ｐ ０ ａ ｈ 为 ｌ
显著性 水平 ． 例 １ 商 店用 机器包 装某种 商 品 ， 每包重量 服从 正态 分 布 ， 为检查 包 装 的质 量 ， 机器 包装 的商Leabharlann 品 对 抽测 ８ ， 包 其重量 为
ｕ ｎｎｉ （ 一 ｌ ａ２０ １； ％计算置信度为 ｌ ａ ｈ／ ＝ ｏｎ ｖ１ ａ ｈ／ ，，） ｎ ｐ — ｌ ａ２的正态分布临界值 ｐ ｍ ｃ＝［ ｕ ｕ ｓｒ ｓｍ ＇ ｎ ， ｕ ｕ ｓｒ ｓ ｍ ＇ ｎ ］ ｕｉ ｍ — ＊ ｑｔ ｉ ａ ／ ）ｍ ＋ ＊ ｑ （ ｇ ａ ／ ） （ｇ Ｃ ２ ｔｉ Ｃ ２ 运行 后 显示结 果为
ｎｎｔ（函数在该方面的不足 ． ｏ ｎｔ） ｌ
正态总体参数的区间估计实验结论
正态总体参数的区间估计实验结论正态总体参数的区间估计是统计学中一种常用的方法，可以帮助我们估计未知正态总体参数的取值范围。
通过构建置信区间，我们可以在一定的置信水平下对总体参数的取值范围进行估计。
以下是一个关于正态总体参数的区间估计实验结论。
在本实验中，我们以某个地区的成年人男性身高为研究对象，采集了一组样本数据。
通过对样本数据的分析和计算，得出了平均身高和标准差的估计值，并以此构建了置信区间。
首先，我们计算出了样本数据的均值为175cm，并且样本的标准差为5cm。
接下来，我们选择了一个置信水平为95%的置信区间进行计算。
根据正态分布的性质，我们可以使用标准正态分布表来确定置信区间的边界。
通过查表，我们找到了置信水平为95%对应的临界值，记为z。
在本实验中，z的取值为1.96。
然后，我们可以根据样本的均值、标准差和样本容量来计算置信区间的上限和下限。
置信区间的上限计算公式为：上限 = 均值 + z * (标准差/ √样本容量)；置信区间的下限计算公式为：下限 = 均值 - z * (标准差/ √样本容量)。
根据实验数据的计算，最终得出了置信区间为(172.04cm,177.96cm)。
这意味着在95%的置信水平下，我们可以合理地推断该地区成年男性的平均身高位于该区间内。
这个实验结论具有以下几个指导意义。
首先，通过正态总体参数的区间估计，我们可以更准确地估计未知总体参数的取值范围，有助于我们了解总体的特征。
其次，通过选择合适的置信水平，我们可以控制估计结果的可靠性和精确度。
在本实验中，我们选择了95%的置信水平，意味着我们有95%的把握让估计结果覆盖真实总体参数。
最后，置信区间的上下限提供了关于总体参数范围的重要信息，可以用来支持决策和制定策略。
总之，正态总体参数的区间估计是一种重要的统计方法，可以为我们提供对未知总体参数取值范围的估计。
通过该方法，我们可以在一定的置信水平下对总体参数进行准确的估计，从而为实际问题的分析和决策提供科学依据。
第五节正态总体参数的区间估计汇总
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2
正态总体参数的区间估计实验结论
正态总体参数的区间估计实验结论在统计学中，正态分布是一种非常重要的分布，许多自然现象和实验数据都可以用正态分布来描述。
而在实际应用中，我们常常需要估计正态总体的参数，比如均值和标准差。
在这篇文章中，我将介绍如何利用区间估计的方法来估计正态总体的参数，并给出一个实验结论。
让我们来回顾一下区间估计的基本原理。
区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一种方法，其核心思想是利用样本数据给出一个参数的估计区间，该区间包含真实参数的概率较高。
在正态总体参数的区间估计中，我们通常使用样本均值和样本标准差来进行估计。
接下来，我将介绍一个实际的例子来说明正态总体参数的区间估计方法。
假设我们有一批产品的重量数据，我们想要估计这批产品的平均重量。
我们随机抽取了一部分产品进行称重，得到了样本均值和样本标准差。
根据中心极限定理，我们知道样本均值的分布是正态分布的，可以利用这一性质来构建参数的置信区间。
假设我们得到的样本均值为100，样本标准差为5，样本量为30。
我们可以利用正态分布的性质来构建样本均值的置信区间，假设置信水平为95%，那么我们可以计算出置信区间为(98, 102)。
这意味着在95%的置信水平下，真实的总体平均重量落在98到102之间。
通过这个简单的例子，我们可以看到区间估计的重要性和实际应用。
在实际问题中，我们往往无法得知总体参数的真实值，只能通过样本数据来进行估计。
区间估计可以帮助我们对参数的估计进行更准确的评估，同时也可以给出参数估计的不确定性范围。
总的来说，正态总体参数的区间估计是统计学中一种常用的方法，通过构建置信区间来估计总体参数的真实值。
在实际应用中，我们可以根据样本数据来进行参数的估计，同时也可以评估参数估计的置信水平。
通过区间估计的方法，我们可以更准确地了解总体参数的情况，为决策提供更可靠的依据。
希望本文能帮助读者更好地理解正态总体参数的区间估计方法，并在实际问题中应用到实践中。
正态分布估计公式
正态分布估计公式正态分布估计公式是统计分析中一种最为基础的估计方法，用于针对样本数据推测总体的分布情况。
又称为最大似然估计法，适用于样本容量较大、近似正态分布的数据。
本文将详细介绍正态分布估计公式及其在实际应用中的优缺点。
一、正态分布正态分布是概率论中的一种常见分布形式，也被称为高斯分布。
它的密度函数具有如下形式：$$ \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) =\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$其中，$\mu$ 表示均值，$\sigma^2$ 表示方差。
正态分布是唯一一个在大量应用中被广泛应用的分布，它具有中心极限定理、最大似然估计等很多重要的数学性质。
二、最大似然估计最大似然估计的原理是在已知样本数据的情况下，估计它们是由什么概率分布所产生。
最大似然的目标是，从所有可能的分布中，选出一个具有最大概率的分布，使得生成当前样本的风险最小化。
在正态分布中，我们要找到一个均值 $\mu$ 和标准差$\sigma$，最大化样本数据的似然函数：$$ L = \prod_{i=1}^n \mathcal{N}(x_i |\mu,\sigma^2 ) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$由于连乘十分复杂，我们可以对 $\log{L}$ 取极大值，使得求解最大似然估计可以转化为极大化对数似然。
$$ \log L = -\frac{n}{2}\log(2\pi) - n \log\sigma - \sum_{i=1}^n \frac{(x_i -\mu)^2}{2\sigma^2} $$此时，对 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 分别求导，令其等于$0$，就可以求解出最大似然估计值。
双正态总体参数的区间估计
双正态总体参数的区间估计双正态总体参数的区间估计是统计学中的一种方法，用于估计由两个正态分布组成的总体的参数。
这种方法适用于当我们需要估计两个总体的平均值或比例时，且这两个总体可以被假定为来自两个不同的正态分布。
下面我们将详细介绍双正态总体参数的区间估计的原理和步骤。
双正态总体参数的区间估计可以分为两种情况：一种是当我们需要估计两个总体的平均值，另一种是当我们需要估计两个总体的比例。
首先，假设我们需要估计两个总体的平均值。
我们可以用样本平均值来估计总体平均值，并通过计算标准误差来构建置信区间。
如果我们假设两个总体的方差相等，则可以使用统计学中的配对t检验方法来进行推断。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本的观测值。
2.计算样本平均值。
对于每个总体，计算对应样本的平均值。
3.计算差值。
对于每个配对样本，计算它们的差值。
如果我们关注的是总体平均值的差异，则用两个总体对应样本的平均值之差来作为差值。
4.计算标准差。
计算差值样本的标准差，用来估计差值的标准误差。
5.确定置信水平。
选择一个置信水平，通常为95%。
这意味着我们希望有95%的置信度认为估计的区间包含真实的总体差异。
6.计算临界值。
确定配对t检验的自由度，并使用自由度和置信水平来查找相应的t临界值。
7.构建置信区间。
使用差值平均值±t临界值*标准误差来构建置信区间，这个区间将包含真实的总体差异。
另一种情况是当我们需要估计两个总体的比例。
在这种情况下，我们可以使用两个样本中的比例差异来估计总体的比例差异。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本中的成功次数和总次数。
2.计算样本比例。
对于每个总体，计算对应样本的比例，即成功次数除以总次数。
3.计算差异。
对于每个配对样本，计算它们的比例之差。
4.计算标准误差。
计算比例差异样本的标准误差，用来估计比例差异的标准误差。
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有
|t|=5.712>2.598，
所以拒绝假设H0，即认为正常成年男、女性 红细胞数有显著差异.
#
***
例8.2.3 甲、乙两种稻种分别种在10块试验田 中, 每块田中甲、乙稻种各种一半. 假设两种稻 种产量X、Y 服从正态分布, 且方差相等. 10块田 中的产量如下表 (单位: 公斤) ，两种稻种的产 量平均值是否有明显差异？ (α=0.05).
#
***
例8.2.5 为研究正常成年男、女红细胞的平 均数之差别, 检查某地正常成年男子 156名, 正 常成年女子74名, 计算得男性红细胞平均数为 465.13万/mm3，样本标准差为54.976万/mm3； 女性红细胞平均数为422.16万/mm3，样本标准 差为49.536万/mm3.
试检验该地正常成年男子与女子的红细胞数 标准差是否相等(α=0.1).
***
解 设X表示正常成年男性的红细胞数，
Y表示正常成年女性的红细胞数，
X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22) 需作检验： H0: σ12 = σ22； H1: σ12 ≠σ22
由于μ1 和μ2未知, 采用 F 检验法，若H0真
则统计量
F
S12
S
2 2
2 1
2 2
S12 S 22
~ F (n1 1, n2 1),
Sn
x
1 6
6
xi
i1
1314 ,
s
n
1
1
6
i1
xi
x 2
3.521,
t x 1314 1310 2.783, s n 1 3.521 6
***
若取α=0.05，查t 分布表可得 t0.025(5)=2.5706，
因为
|t|=2.783> t0.025(5)=2.5706，
所以在显著性水平0.05下，拒绝H0，即可 认为该种测温枪有系统误差.
试检验该地正常成年人的红细胞平均数是否 与性别有关(α=0.01). （假设方差相等）
***
解 设X表示正常成年男性的红细胞数, Y表示正常成年女性的红细胞数， 假定X~N(μ1,σ2), Y~N(μ2,σ2)
需作检验： H0: μ1= μ2; H1: μ1≠μ2. 由于未知σ2, 故采用 t 检验法, 取检验统计量
有
|t|=4.9457>2.1009，
所以拒绝假设H0，即显著性水平0.05下 认为两种稻种的平均产量有明显差异.
***
解二 设X~N(1, 2), Y~N(2, 2),
H0: μ1 μ2 = 0 ， H1: μ1 μ2 ≠0；
若H0 成立，则
T
Z
(1
SZ
2)
Z n
SZ
～t(n－1)，
n
其 中 Z
1 n2
2 [(n1
1)S12
(n2
1)S22 ]
n1
1 n2
2
n1 (Xi i 1
X )2
n2
(Y j
j1
Y
)2
拒绝域为： t t (n1 n2 2)
2
***
特别 n1 n2 n时
T n X Y ~ t(2n 2)
S12
S
2 2
成年人红细胞数 与性别的关系
两种稻种的平均值差异
***
3) 配对试验 t 检验法 设总体X~N(μ1, σ12), Y~N(μ2, σ22), X与Y相
互独立，当成对抽样时(n1=n2 )，如何检验：
H0: μ1 = μ2 ， H1: μ1 ≠ μ2 ；
分析 记 Z i X i Yi , i 1,2, , n;
则有
Z
1 n
n
Zi
i 1
1318 1315 1308 1316 1315 1312
若用更精确的方法测的铁水温度为1310oC (可视为铁水真正温度)，问这种测温枪有无系 统误差？ 解 根据题意要求，需检验
H0: μ=1310，H1： μ≠1310
***
由于σ2 未知，故采用 t 检验法.
H0 成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1)
x
2
2(n)
***
2) 未知μ X1,…,Xn 是从正态总体N(μ,σ2)中抽取的样
本，检验 H0: σ2 = σ02；H1： σ2 ≠ σ02
原假设成立时，
2
(n
1)
S2
2 0
~ 2(n 1)
拒绝域为：
2
2
(n
1)
或
2
2
2 1
(n
1)
2
***
2( x;n 1)
12 2(n 1)
x
2
若取α=0.01，查t 分布表可得 t0.005(5)=4.0322，
因为
|t|=2.783<t0.005(5)=4.0322，
所以在显著性水平0.01下，接受H0，即可认 为该种测温枪没有系统误差.
***
#
***
例8.2.2 为研究正常成年男、女红细胞的平 均数之差别, 检查某地正常成年男子 156名, 正 常成年女子74名, 计算得男性红细胞平均数为 465.13万/mm3，样本标准差为54.976万/mm3； 女性红细胞平均数为422.16万/mm3，样本标准 差为49.536万/mm3.
2
(
n
1)
车床加工精度
***
2. F 检验法
X1,
X 2,
,
X
n1
来
自
正
态
总
体N
(
1
,
2 1
)
Y1 ,Y2 ,
,
Yn2
来
自
正
态
总
体N
(
2
,
2 2
)
检验
H0: σ12 = σ22; H1: σ12 ≠σ22
1) 已知μ1 和 μ2 原假设成立时，
***
n1
n2 ( X i 1 )2
F i1
n2
长度xi : 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12
频数yi : 1
3 7 10 6 3 1
解 检验假设 H0：σ=σ0=0.424， H1：σ≠σ0
若原假设H0成立，则有
计算得
***
2
(n
1)S 2
2 0
～
2(n 1)
x
1 n
7
ni xi
i 1
11.084,
7
(n 1)s2 ni xi2 nx 2 i 1
T X Y (1 2 )
Sw
11 n1 n2
***
H0成立，则
T
X Y
Sw
11 n1 n2
～t(n1+n2－2)
n1 156, x 465.13万 / mm 3 , s1 54.976万 / mm 3
n2 74, y 422.16万 / mm 3 , s2 49.536万 / mm 3
)
Y1 ,Y2 ,
,
Yn2
来
自
正
态
总
体
N
(
2
,
2 2
)
未
知
2，
1
2，
2
但
有
2 1
2 2
2
检验 H0: μ1= μ2 ，H1:μ1≠μ2
***
原假设成立时，检验统计量
T (X Y ) (1 2) X Y
Sw
11 n1 n2
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2)
其 中 ，S w2
n1
X Y
~ N (0,1)
2 1
2 2
n1 n2
拒绝域为： u u 2
***
u 检验法的要点 1.构造服从标准正态分布的统计量U 作 为检验统计量； 2. 为进行标准化，必须已知总体的方差.
未知方差时,如何检验关于正态总体均值 的有关假设？
2. t 检验法 1) 单样本 t 检验法
***
X1,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本， μ,σ2 未知，检验
H0: μ= μ0，H1： μ≠μ0
原假设成立时， T X 0 ~ t(n 1)
Sn
拒绝域为： t t (n 1)
2
铁水温度的测量
***
采用不同的显著性水平α,常得到不同的 结论.即检验的结果取决于显著性水平α的
选择.
2) 双样本 t 检验法
X1,
X 2,
,
X
来
n1
自
正
态
总
体
N
(
1
,
2 1
***
2) 双样本u 检验法
X1,
X 2,
,
X
来
n1
自
正
态
总
体
N
(
1
,
2 1
)
Y1 ,Y2 ,
,
Yn2
来
自
正
态
总
体
N
(
2
,
2 2
)
已知σ12与σ22，检验假设
H0: μ1= μ2，（或μ1μ2=0） H1:μ1≠μ2
原假设H0成立时，
***
U ( X Y ) (1 2 )
2 1
2 2
n1 n2
甲 140 137 136 140 145 148 140 135 144 141 乙 135 118 115 140 128 131 130 115 121 125