单个正态总体参数的假设检验

H1 : 0，拒绝域为
x -0 | t | t / 2 (n 1) s/ n
例1 某车间生产铜丝，铜丝的主要质量指标是折断力
X 的大小。由资料可认为 X ~ N (570, 82 ), 而今换了一 批原料，从性能上看，估计折断力的方差不会有变化， 现抽出10个样品，测得其折断力（斤）为
2 2 2 双边假设检验 H 0 : 2 0 , H1 : 0
拒绝域为
(n 1) s 2
2 0
12 / 2 (n 1) 或 f y

2 2
(n 1) s 2

2 0
2 / 2 ( n 1)
2 12 / 2 (n 1) / 2 ( n 1)
故未落在拒绝域之内，接受H0，可以认为冷却用水 升高温度的均值不多于5°.
⑵ 置信水平为0.95 的σ2的置信区间为
2 2 2 2 ( n 1) s ( n 1) s 4 s 4 s , 2 , 2 2 2 (n 1) 1 (n 1) 0.025 (4) 0.975 (4) 2 2
X -0 取统计量 t ~ t (n 1) S/ n
x -0 拒绝域为 | t | t / 2 (n 1) s/ n
由已知可计算 x , n, s 2 得 | t | 2.997
查表 t0.005 (5) 4.0322 | t | t0.005 (5)
故未落在拒绝域之内，拒绝 H1 ，接受H0 可以认为这批产品合格。
三、单个正态总体均值的假设检验（单边检验） 1. 已知σ2，检验μ （U 检验法） 右边假设检验 H 0 : 0
H1 : 0 ，拒绝域为

x -0 u z / n
左边假设检验 H 0 : 0
z
H1 : 0 ，拒绝域为

x -0 u z / n
X -0 取统计量 t ~ t (n 1) S/ n
x -0 拒绝域为 t t (n 1) s/ n
由已知可得 x 5.34 , n 5 , s 2 0.631,
5.34 5 0.9570 得 t 0.631 / 5
查表 t0.05 (4) 2.1318 t t0.05 (4)
x -0 14.2-14 0.375 计算 u / n 3.2/ 36
查表 z z0.05 1.645 u z0.05 所以未落在了拒绝域之内，故接受 H 0 : 14, 即不能认为这批木材的小头直径在14cm以上。
例7 已知某压缩机的冷却用水，其升高温度 X ~ N ( , 2 ),
问这批木材的平均小头直径能否认为在14cm以上？ （α=0.05） 解: 检验假设 H 0 : 14, H1 : 14 右边检验
X -0 取统计量 U ~ N (0,1) / n
x -0 z 拒绝域为 u / n
由已知可得 x 14.2 , n 36 , 3.6,
例3 某次考试的考生成绩 X ~ N ( , 2 ), , 2 未知， 从中随机地抽取36位考生的成绩，平均成绩为63.5分， 标准差 s =15分。⑴ 问在显著水平0.05下是否可以认为 全体考生的平均成绩为70分？ ⑵ 求μ的置信水平为 0.95的置信区间。 解: ⑴ 提出假设 H 0 : 0 70, H1 : 70

2 2 左边假设检验 H 0 : 2 0 拒绝域为 , H1 : 2 0

2
(n 1) s
2 0
2

12 (n 1)
12 (n 1)
例6 从一批木材中随机抽取36根，测量其小头直径，
2 X ~ N ( , 3.2 ), 设木材的小头直径 算的平均值 x 14.2cm.
x -0 5.2 10 2.055 计算 | u | 8 / n
查表 z 2 1.96 | u | z 2 1.96 所以落在了拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 ， 认为折断力大小有差别。
例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5 毫米。实际生产的产品其长度X假定服从正态分布，
第八章
§8.2 单个正态总体的 参数假设检验
一、单个正态总体均值的假设检验 二、单个正态总体方差的假设检验
一、单个正态总体均值的假设检验（双边检验） 设总体 X ~ N ( , 2 ) ，其中 X 1 , X 2 ,, X n 为X 的 样本。我们对μ作显著性检验。 1. 已知σ2，检验μ （U 检验法） 双边假设检验 H 0 : 0
数据为578，572，580，568，572，570，572，570， 596，584，问该学生跳远成绩水平是否与鉴定成绩有
显著差异？（α=0.05）
1 n 解: n 10, x xi 576.2 n i 1 n 1 s2 ( xi2 nx 2 ) 74.1778 n 1 i 1
而 20.025 (4) 11.143, 20.975 (4) 0.484
所求置信区间为（0.2265, 5.2149）。
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
检验其折断力的大小有无差别。 （ =0.05） 解: 此问题就是已知方差 2 82 检验假设 H 0 : 570, H1 : 570
X -0 取统计量 U ~ N (0,1) / n
x -0 拒绝域为 | u | z / 2 / n 由已知可得 x 575.2 , n 10
X ~ N ( , 2 ), 2未知. 现从该厂生产的一批产品
中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
（ = 0.01） 假定方差保持不变，问这批产品是否合格? 解: 先提出假设 H 0 : 0 32.5, H1 : 32.5
H1 : 0 ，拒绝域为
| x -0 | | u | z / 2 / n
2. σ2未知，检验μ （t 检验法）
n 1 2 可用样本方差 S 2 ( X X ) 代替σ2 k n 1 k 1
统计量
X -0 t ~ t (n 1) S/ n
双边假设检验 H 0 : 0 ,
z
2. σ2未知，检验μ （t 检验法）
右边假设检验 H 0 : 0
H1 : 0 ，拒绝域为

x -0 t t (n 1) s/ n
左边假设检验 H 0 : 0
t (n 1)
H1 : 0 ，拒绝域为

x -0 t t (n 1) s/ n
查表

2 0.975
(9) 2.700
2 0.025 (9) 19.023
由于 2.7 2 19.023 , 未落在拒绝域之内，故接受H0 。
即可以认为 2 82.
(2) ⑵ 提出假设 H 0 : 0 576, H1(2) : 576
X 0 取统计量 U ~ N (0,1). / n
t (n 1)
确定原假设和被择假设的原则: 等号必须放在原假设里
四、单个正态总体方差的假设检验（单边检验）
2 2 2 右边假设检验 H 0 : 2 0 , H1 : 0 拒绝域为

2
(n 1) s 2

2 0
(n 1)
2
2 (n 1)
观测5台压缩机的冷却用水的升高温的平均值为 x 5.34,
样本方差为 s 2 0.631. ⑴ 在显著水平α=0.05下是否可以
认为冷却用水升高温度的平均值不多于5°？(2)求σ2的
置信水平为0.95的置信区间。
解: ⑴ 先提出假设 H 0 : 0 5, H1 : 0
拒绝域为 | u | z / 2
576.2 576 x 576 0.079 其中 | U | 8 / 10 8/ n
查表 z / 2 z0.025 1.96 0.079 故未落在拒绝域之内,故接受H0 ,即可以认为 576.
综合⑴与⑵,该生跳远成绩水平与鉴定成绩无显著差异.
⑴
提出假设 H (1) : 2 2 82 H (1) : 2 82 0 0 1
2
取统计量
2
(n 1) S
2
02
2 1 / 2
~ 2 (n 1).
2 2
拒绝域为
(n 1) 或 / 2 (n 1)
2 9 74.1778 9 s 2 10.43 其中 2 64 8
X -0 取统计量 t ~ t (n 1) S/ n
x -0 拒绝域为 | t | t / 2 (n 1) s/ n 计算 | t | 2.6
| t | 2.6 t0.025 (35) 2.0301
故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分。 ⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为
x
例4 某次统考后随机抽查26份试卷,测得平均成绩:
2 样本方差 x 75.5分， s 162 ，已知该次考试
成绩 X ~ N ( , 2 ) ，试分析该次考试成绩标准差 是否为σ=12分左右？（=0.05） 解: 提出假设 H 0 : 0 12, H1 : 12 取统计量
2 0.975
(25) 13.12
02.025 (25) 40.646
显然 13.12 2 40.646 ,未落在拒绝域之内,故接受H0 。 表明考试成绩标准差与12无显著差异。