两个正态总体参数的比较
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两个正态总体均值差及方差比的置信区间
1,2)
均未知,
求方差比
2 1
2 2
的置信度为0.90 的置信
区间. 解 n1 Байду номын сангаас8, n2 13,
0.10,
s12 0.34(mm2 ), s22 0.29(mm2 ),
F / 2(n1 1, n2 1) F0.05(17, 12) 2.59,
F1
/ 2(17,
12)
F0.95 (17,
涉及的两总体分别为
N
(
1
,
2
)和N
(
2
,
2
),
1
,
2
,
2 1
,
2 2
均未知，两样本相互独立，
求
2 1
/
2 2
的置信水平为
0.90的置信区间。
解 现在 n1 7 , n2 8, 1 0.9, / 2 0.05,
1
1
F0.05 (6,7)
3.87 , F10.05 (6,7)
F0.05 (7,6)
2 1
2 2
的一个置信度为
1
的置信区间
S12 S22
F / 2 (n1
1 1, n2
1)
,
S12 S22
1 F1 / 2 (n1
1, n2
1) .
推导过程如下:
由于 (n1 1)S12
2 1
~ 2(n1 1),
(n2 1)S22
22
~ 2(n2 1),
且由假设知
( n1
1)S12
Y
~
N
1
2
,
2 1
n1
2 2
两个总体参数的检验
三、两个总体参数的检验
一、 两个总体均值之差的检验
在研究中，往往需要比较两个总体的差异， 如甲、乙两种不同的生产方法对产品的平均产量 是否有显著性差异，新、旧药品治疗病人的平均 治愈率是否有显著性差异，等等。根据样本获得 方式的不同及方差是否已知，两个总体均值的检 验可分为方差已知和未知两种情形，同时也要参数的检验
在方差相等的情况下，独立样本T检验的结 果应看“假设方差相等”一行，相应的双尾检测概 率“Sig.(双侧)”为0.077，在显著性水平为0.05 的情况下，t统计量的概率P>0.05，故不应拒绝 原假设，因此认为两个样本的均值是相等的，在 本例中，不能认为新、旧两种施肥方案对产量有 显著性的影响。
单击“继续”按钮返回“独立样本T检验”对话框，再单击“确定 ”按钮，运行结果如图6-18和图6-19所示。
图6-18 独立样本T检验的基本描述统计量
图6-19 独立样本T检验结果
三、两个总体参数的检验
图6-18所示为独立样本T检验的基本描述统计量，包括两个 样本的均值、标准差和均值的标准误差。图6 19给出了两种T检 验的结果，分别为在样本方差相等情况下的一般T检验结果和在 样本方差不相等情况下的校正T检验结果。两种T检验结果到底应 该选择哪一个取决于图6-19中的“方差方程的Levene 检验”一 项，即方差齐性检验结果。对于齐性，这里采用的是F检验，表 中第二列是F的值，为0.108，第三列是对应的概率P值，为0.746 。如果显著性水平为0.05，由于概率P值大于0.05，因而可以认 为两个总体方差无显著性差异，即方差具备齐性。
三、两个总体参数的检验
3. 两个总体均值样本匹配的情形
检验两个总体均值之差时，有时两个样本不是独立的而是成 对的，如比较同一组工人使用两种操作方法的生产效率是否相 同，比较同一批消费者对两个不同品牌的评分有何差异，等等 。这类假设检验问题可以转化为一个样本的均值检验问题，其 方法是：先计算出每一对样本数据的差值：di=xi－ xj(i,j=1,2,…,n)；然后将这n个差值看作一个样本，把(μ1－μ2)看 作待检验的一个总体参数(成对差值的总体均值，记为d)，原来 的检验问题就转化为根据一个样本去检验d是否等于（或小于、 大于）假设值d0。为了简便，通常取d0≥0。
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
第58讲 两个正态总体参数假设检验(比较两个正态总体均值的检验)
第58讲：两个正态总体参数的假设检验(比较两个正态总体均值的检验)例1：通常认为男女的脉搏率是没有显著差异的. 现在随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得他们的脉搏率如下:男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,72, 56, 56, 74, 65,女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,76, 70, 97.问题：假设男女脉搏率都是服从正态分布, 这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?()()12221212122221,,,,,,,,,,,n n X X X N Y Y Y N X Y S S μσμσ∙∙∙ 12假设：是来自的样本是来自的样本，两样本相互独立.并记,分别为两样本的均值和方差.()012112.:,:,H H μμμαμ=≠检验假设显著水平22121.σσ当和已知时2212012,.~(0X Y X Y C H X Y N n n σσ∙--≥∙-+ 检验统计量拒绝域形式 当成立时，，）.221212σσ-=+X YZ n n 记: 2α≥--Z z z 则检验拒绝域为：检验{}00002212122(1(),.σσ-=≥=-Φ-=+H P P Z z z x yz n n 其中:222122.σσσ当==但未知时2σ首先利用合样本给出参数的无偏估计量()()22112221211 .2wn S n SS n n -+-=+-1211-=+w X Y T S n n 可取检验统计量为：()21212211wX Y T t n n S n n α-=≥+-+检验拒绝域为：{}{}00120012||||2(2)||11--=≥=+-≥-=+H w P P T t P t n n t x yt P s n n 其中为::值——两样本精确t检验22123.σσ≠当且未知时221212.-=+X Y T S S n n 取检验统计量为:22221212.S S σσ以样本方差分，别代替，{}{}000||||2||,--=≥=≥H P P T t P Z P t 值为:(1)当两个样本量都很大时，利用中心极限定理{}/2||α≥T z 检验的拒绝域为:0221212~(01).-=+x y Z N t s sn n 其中: ，，12min(1,1),=--k n n (2)当两个样本为小样本时都很大时，统计量近似服从t 分布，自由度为22211222222112212(//)(/)(/)11+=+--S n S n k S n S n n n 或更精确的近似自由度{}/2||()α≥T t k 检验的拒绝域为: {}{}000||||2()||.--=≥=≥H P P T t P t k t P 值为: t ——两样本近似检验22112212221201,~(,),~(,),16,13,65.31,75.69,56.36,211.40,.X Y X N Y N n n x y s s H H μσμσμμμμ=======≠1212检验假设在例1中设分别表示男女的脉搏率，由已知数据计得:,:：算221256.36,211.40,s s t ==注意到相差很大，采用不等方差的检验法，结论：拒绝原假设，认为男女脉搏率的均值不相同。
两个正态总体的假设检验
两个正态总体的假设检验
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
分别从两个正态总体N1(μ1,σ21),N2(μ2,σ22)中独立抽取样本容量为n
三种情况-两总体方差已知：u检验
检验两个均值是否相等：可分为以下三种情况： 两总体方差已知：u检验。根据正态分布性质，有
u X1 X 2 1 2 ~ N (0,1)
2 1
2 2
mn
在H0:μ1=μ2成立的条件下，上式化为：
u = X1 — X 2 ~ N(0,1)
0.3069 0.4286
0.7161
df
0.71612 24
(1 0.7161)2 19
1
(0.02137 0.00424)1
(0.02561)1
39
例3-1
用两种不同的配合饲料饲养肉鸡，56日龄后体重分别为 饲料A：2.56, 2.73, 3.05, 2.87, 2.46, 2.93, 2.41, 2.58, 2.89, 2.76; 饲料B：3.12, 3.03, 2.86, 2.53, 2.79, 2.80, 2.96, 2.68, 2.89。 问这二种饲料效果是否有差异？
(1)样本平均数差数的平均数等于总体平均数的差数，即
(2)样本平均数差数的方差等于两样本平均数方差除以各自 样本容量之和。即
u X1 X 2 1 2 ~ N (0,1)
2 1
2 2
mn
t 分布
μ = 0 分布具有以下特征：
(1)t分布曲线是左右对称的，围绕平均数
u / 2 ua
二、双样本检验步骤
双样本检验步骤与单样本基本相同。 （1）只是H0中的μ=μ0要改为μ1=μ2，即现在不再是检验总体参数 是否等于某一数值，而是检验两个总体参数是否相等。 （2）统计量和分布都有所变化。 （3）检验步骤相同，建立统计假设、选择显著性水平、建立拒 绝域、计算统计量并解释结果等。
7-2正态总体参数的检验
第二节 正态总体参数的假设检验
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
两个正态总体均值的检验.
解 依题意, 两总体 X 和 Y 分别服从正态分布
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
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解：(1)检验假设
(2) 计算统计量
H 0 : 1 2 H1 : 1 2 2 X 56.5 , S1 9.4, n1 75
Y 65, S 5.5, n2 65
2 2
56.5 65 u 18.56 2 2 9.4 5.5 S1 S 2 ( ) ( ) 75 65 n1 n2
小样本情况下的检验步骤：
1、假设： H 0 : 1 2、统计量 t
2 , H1 : 1 2
~ t ( df )
( X Y ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n1 n2 3、查临界值：给出显著水平
，
查附表7，得到临界值 t (df ) 。
2
t 4、结论： t t , 拒绝H 0， t , 接受H 0 。
解：(1)检验假设 H 0
(2) 计算统计量
: 1 2 H1 : 1 5, S 0.0012, n1 4 Y 8.87, S 0.0018 n2 4 ,
2 2
(n1 1) S (n2 1) S S n1 n2 2
3.两位药师对同一样品测得结果的比较；
4.在动物试验中，通常把在遗传上和环境 上差别很小的同胎、同性别、体重相近的小 白鼠配成对子做试验，对子之一做甲种处理， 另一只做乙种处理，比较其反应的强弱。
配对资料的特点是：一对数据间存在着某 种联系。
我们把满足这种特点的资料称为配对的资 料。
二、配对的作用：
§4-4 两个正态总体的参数检验
关于两个正态总体的问题: 1、在动物身上做比较试验来鉴定使用和不使 用某种药物的效果； 2、临床试验中比较新药和旧药对于治疗某 种疾病的疗效。 3、在制药工业中比较新旧工艺间的优劣。 等等
4-4.1 配对比较两个正态总体均数的差异
一、配对的资料: 1.同一批病人治疗前后的某些生理、生化指 标（如血压、血糖、血液中红细胞数等）； 2.人或动物的器官是成对的，以一侧器官做 对照，另一侧器官组织做药物处理；
解：(1)检验假设 H0: (2)计算统计量 n1=4 S12 0.0012 2 n2=4 S2 0.0018
2 1 2 2
S 0.0018 F 1.5 S 0.0012
(3)查临界值
F0.05 (3,3) 15.44
2
2
2 2 2 1
(4)结论 F F0.05 , 认为两个总体方差相等。
大样本 : u ( X Y ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n1 n2
~ N (0,1)
2 1 2 2 2
小样本 : t
( X Y ) ( 1 2 ) S S n1 n2
2 1 2 2
S S ~ t (df ) ( ) n1 n2 df 2 2 S1 2 S 2 2 ( ) ( ) n1 n2 n1 1 n2 1
当两组对象间的差异较大时，对象本身的差异 必然会导致试验误差的增大，不利于反应总体 本质间的差异，为了减少试验误差，在条件允 许的情况下，常常做配对的比较。 三、配对资料的处理： 设总体X和总体Y的均数分别为 1和 2 。 两个总体的样本资料如下：
?? 1 2
X
x1
1 2
d 0
2
2
（4）结论 t t 0.05 ，拒绝 H ; 认为两 0 批黄连的小檗碱含量差异有显著性意义。
例5 在中成药的研究中，需要镜检六味地 黄丸中茯苓的菌丝数。检测75次，得其均 数 X 56.5，方差 S12 9.4 ；镜检熟地的棕色 核状物数，检测65次，得其均数 Y 65 ， 方差 S 2 5.5 。问镜检六味地黄丸中菌丝数 2 与熟地的棕色核状物数的差异是否有显著性意
S
n1 n2 2
大样本情况下的检验步骤：
1、假设： H 0 : 1 2、统计量
u
2 , H1 : 1 2
S S n2 n1
2 1 2 2
( X Y ) ( 1 2 )
~ N (0,1)
3、查临界值：给出显著水平
，
2
查附表5，得到临界值 u 。
X Y
（3）查临界值
0.01, u 0.01 2.58
2
2
（4）结论 u u 0.01，拒绝 H 0 ; 认为六 味地黄丸中镜检的菌丝数和熟地的棕色核 状物数之间差异有极显著意义。
例6 某中西医结合医院科研室，成组比较 单味大黄与西药（氨甲苯酸）治疗急性上 消化道出血的效果，以止血天数为指标 (假设其服从正态分布)，结果如表. 取 0.05 ，试问单味大黄治疗组的效果 是否优于西药治疗组？
例 3某中西医结合医院科研室，成组比较 单味大黄与西药（氨甲苯酸）治疗急性上 消化道出血的效果，以止血天数为指标 (假设其服从正态分布)，结果如表. 取 0.05 ，问两总体的方差是否相等。
西药组
n1 20 x 6.90天 S1 6.9天 30 y 1.50天 S1 0.88天
一、 ， 未知， 但
2 1 2 2 2 1
2 2
检验H 0 : 1 2，H 1 : 1 2
大样本 : u ( X Y ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n2 n1
~ N (0,1)
( X Y ) ( 1 2 ) 小样本 : t ~ t (n1 n2 2) 1 1 S 2 2 n1 n2 2 (n1 1)S1 (n2 1)S2
2
4-4.3 成组比较两个正态总体均数的差异
1 2
X ~ N ( 1 , )
2 1
x1 , x2 ,.....,xn1 y1 , y 2 ,.....,y n2
2 1 2 2
Y ~ N (2 , )
2 2
X总体的样本均数X , 方差S ， 例数n1 ; Y总体的样本均数 , 方差S ， 例数n2 ; Y
X t S/ n
Y
y1
d
x1-y1=d1
x2
…. xn
y2
…. yn
x2-y2=d2
….. xn-yn=dn
d 0 Sd / n
配对t检验的一般步骤:
1、假设：H0 : d 0(1 2 ), H1 : d 0(1 2 ) 2、统计量
d 0 t ~ t (n 1) Sd / n
2 2 1
(4 1) 0.0012 (4 1) 0.0018 0.0015 442
X Y 8.95 8.87 t 2.92 1 1 1 2 1 S ( ) 0.0015 ) ( n1 n2 4 4
（3）查临界值
0.05, t 0.05 (6) 2.447
2 2
u u 4、结论： u , 拒绝H 0， u , 接受H 0 。
小样本情况下的检验步骤：
1、假设： H 0 : 1 2、统计量
2 , H1 : 1 2
( X Y ) ( 1 2 ) t ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
) (4)结论:t> t 0.01 (11 ,差异有极差著意义.
2
2
4-4.2 方差齐性检验(方差齐性与非齐性)
2 1
2 2
X ~ N ( 1 , )
2 1
x1 , x2 ,.....,xn1 y1 , y 2 ,.....,y n2
2 1 2 2
Y ~ N (2 , )
2 2
X总体的样本均数X , 方差S ， 例数n1 ; Y总体的样本均数 , 方差S ， 例数n2 ; Y
7.29 0.01
17.64 0.04 4.41 7.29
3.61 5.76
18.49 1.21
解: (1)检验假设 H0: (2) 计算统计量
d 0
差值的均数和标准差: d
2.06, Sd 1.39
d 0 2.06 t 5.12 Sd / n 1.39 / 12 (3) 查临界值:查附表7, t 0.01 (11) 3.106
西药组
n1 20 x 6.90天 S1 6.9天 30
单味大黄组 n2
y 1.50天 S2 0.88天
解：(1)检验假设 H 0
(2) 计算统计量
2
2
。
4、结论：
F F 或 F F1 , 拒绝H 0，
2
F1 F F , 接受H 0 。
2 2
例2．为了比较两批中药黄连的小檗 碱的含量，分别随机取出若干个150g的 样品，在同样条件下测定其含量，第一 批测得4个数据（Xg）为8.96，8.90， 8.96，8.98。第二批测得4个数据（Yg） 为8.82，8.90，8.85，8.91。试检验这两 批黄连小檗碱的含量的方差是否有显著 性差异。( 0.05)
义。
( 0.01)
解：(1)检验假设 H0: (2)计算统计量 n1=75
2 1
2 1 2 2
S 9.4 n2=65 S 5.5 2 S1 9.4 F 2 1.71 S2 5.5
2
2 2
(3)查临界值
F0.05 (74,64) 1.67
(4)结论 F F0.05 2 认为两个总体方差不等。
3、查临界值：给出显著水平
2
，
查附表7，得到临界值 t (n1 n2 2) 。
2 2
t 4、结论： t t , 拒绝H 0， t , 接受H 0 。
二、 ， 未知， 但
2 1 2 2 2 1
2 2
检验H 0 : 1 2，H 1 : 1 2