高中数学 等差数列的教学设计教案

等差数列的教学设计教学理念：数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。

数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。

设计思想：本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

一、教材分析：1、教学内容：高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

2、教学地位:本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。

在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

同时也是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

3、教学重点：理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。

4、教学难点：对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

二、学习者分析：高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。

他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

三、教学目标：1、知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。

2、能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。

3、情感目标:①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。

②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。

③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。

四、教法和学法的分析：1、通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。

利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。

2、在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。

教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。

五、教学媒体和教学技术的选用多媒体计算机和几何画板通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。

本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。

六、教学程序：（一）设置问题，引导发现形成概念师：看大屏幕。

情景1（播放奥运会女子举重场面）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63情景2 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。

如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）18，15.5，13，10．5，8，5．5情景3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。

按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金⨯（1+利率⨯存期）例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表（假设5年既不加存款也不取款，Array且不扣利息税）各年末本利和（单位：元）10072，10144，10216，10288，10360师：思考上述各组数据反映了什么样的信息？每行数有何共同特点？请同学们互相讨论。

（学生纷纷议论，有的几个人在一起商量）（从宏观上 : 情景 1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志；情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识；情景3 倡导节约意识，纳税意识。

）从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。

师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？ 学生1：不一样，要加上同一个常数。

学生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？ 学生2：不一样，必须从第二项开始。

学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

（教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征：①同一个常数；②从第二项起） 师：能不能用数学语言表示？ 学生4： 1n n a a d --= 师：等价吗？学生4：应加上（d 是常数）,*2,n n N ≥∈.(让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性) 师：对式子进行变形可得*1(2,n n a a d d n n N -=+≥∈是常数），。

这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？ 学生5：某剧场前8排的座位数分别是52，50，48，46，44，42，40，38.学生6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。

师：如何用数列表示？学生8：设相邻两盏之间的距离为a,该数列为a,a,a,a,……，为常数列，即常数列都具有这种特征。

（让学生举例，加深感性认识）师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？ 学生（共同）：等差数列。

师：（学生叙述，板书定义）一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d 为公差，a 1为数列的首相。

*2132431,,,......(2,)n n a a d a a d a a d a a d n n N --=-=-=-=≥∈提出课题《等差数列》对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。

注意对概念严谨性的分析。

师：回到表格中，分别说出它们的公差。

学生9:依次是d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72.师：在计算年末本利和的问题中求68,a a 时，能不能不按本利和=本金⨯（1+利率⨯存期）求而按数列的特征求呢？学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。

（再提出问题，引导发现求通项公式的必要性） （二）启发、引导推出等差数列的通项公式师：把问题推广到一般情况。

若一个数列123,,,......,,......n a a a a 是等差数列，它的公差是d ，那么数列{}n a 的通项公式是什么？启发学生：（归纳、猜想）可用首相与公差表示数列中任意一项。

学生10：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此可得：d n a a n )1(1-+=师：从第几项开始归纳的？ 学生10：第二项，所以n ≥2。

师：n=1时呢？学生10：当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+= （n ∈N *）师：很好!（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？ 学生11：还可用下面的方法归纳：当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+= （n ∈N *）师：我们把这种方法称为迭代法。

大家按照该同学的思路推导一下。

（把一个学生推导的情况用投影仪投在大屏幕上）还有其他的推导方法吗？ （学生面露难色）122331223......(1)n n n n n n a a d a d d a d a d d a d a n d-----=+=++=+=++=++=+-启发：看方法一的第一个式子d a a =-12d a a =-23d a a =-341n n a a d --= 有何规律？学生12：可以用累加的方法，左边累加后得1n a a -，右边累加的d+d+d+…….+d 共n-1个即1n a a -=d+d+d+…….+d ，1n a a -=（n-1）d ，d n a a n )1(1-+=师：总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累差法。

共同特点：利用观察、归纳、猜想的数学思想方法，它的合理性在以后学习的数学归纳法中可以得到证明。

注意两点：1、对通项公式进行分析，通项公式中含有1,,,n a d n a 四个量，其中1,a d 为基本量，当1,a d 确定后，通项公式就确定了。

若已知三个量，可用方程的思想求第四个量（即知三求一）。

2、对通项公式变形，对任意的p 、q ∈N +。

在等差数列中，有a p =a 1+(p-1)d ① a q =a 1+(q-1)d ②①-②有a p -a q =(p-q)d ， ∴a p =a q +(p-q)d其中p,q 关系可以有p ＞q ，p=q ，p ＜q 。

通项公式的变形式a p =a q +(p-q)d ，请同学记熟，它在解题过程中经常被应用。

（三）通项公式的应用大屏幕给出例题，由学生代表讲解 例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项解：由a 1=8，d=5-8=-3，n=20，等差数列的通项公式得 a 20=8+（20-1）×（-3）=-49（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。