【名师金典】版高考数学大一轮复习 课时限时检测(九)对数与对数函数
2020版高考数学一轮复习课后限时集训9对数与对数函数(理)(含解析)北师大版
课后限时集训(九) 对数与对数函数(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题 1．函数f (x )＝lnx ＋31－2x的定义域是( )A．(－3,0) B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)A [因为f (x )＝lnx ＋31－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，1－2x＞0，即－3＜x ＜0.]2．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )A BC DA [由题意易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x ＞32时，函数为减函数，当x ＜32时，函数为增函数，故选A.]3．若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( ) A.24B.22C.14D.12A [∵0＜a ＜1，∴函数f (x )在定义域上是减函数，所以当x ∈[a,2a ]时，f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 2a .由已知得1＝3log a 2a ，∴a ＝(2a )3，解得a ＝24.故选A.] 4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜cB [法一：因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 法二：因为a 3＝12＞b 3＝127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.]5．已知定义在R 上的函数f (x )的周期为6，当x ∈[－3,3)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋1，则f (－log 23)＋f (log 2 12)＝( ) A.373 B.403 C.433D.463C [f (－log 2 3)＋f (log 2 12)＝f (－log 2 3)＋f (－6＋log 2 12)＝f (－log 2 3)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 2 316＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－log 2 3＋log 2 3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2316－log 2 316＋1＝3＋log 2 16＋2＋163＝433.故选C.]二、填空题6．计算：lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝________.－1 [原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋12＋32＝－1.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________；方程f (－x )＝12的解是________．－2 －2或1 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2；当x ＜0时，由f (－x )＝log 2(－x )＝12，解得x ＝－2，当x ≥0时，由f (－x )＝2－x＝12，解得x ＝1.]8．若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.－12[∵f (x )是偶函数，∴f (－1)＝f (1)，即lg(10－1＋1)－a ＝lg(101＋1)＋a ，故2a ＝lg(10－1＋1)－lg(101＋1)＝lg 1110－lg 11＝lg 110＝－1，解得a ＝－12，而当a ＝－12时，f (x )＝lg(10x＋1)－12x ＝lg(10x ＋1)＋lg 10－12x ＝lg[(10x＋1)10－12x ]＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1012x ＋10－12x ，此时有f (－x )＝f (x )，综上可知，若函数f (x )＝lg(10x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝－12.]三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． [解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12 (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12－x ，x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，函数f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．B 组 能力提升1．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5zD [令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t 2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3＝lg t lg 9－lg 8lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t 2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5＝lg t lg 25－lg 32lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ， ∴3y ＜2x ＜5z . 故选D.]2．(2019·广东模拟)已知函数f (x )＝(e x －e －x)x ，f (log 5 x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) C [∵f (x )＝(e x －e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x－e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x－e －x )＋x (e x ＋e －x)＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上递增． ∵f (log 5 x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5 x )≤2f (1)，即f (log 5 x )≤f (1)， ∴|log 5 x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.]3．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.9 [f (x )＝|log 3 x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3 x ，0＜x ＜1，log 3 x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )， 可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3 n ＝－log 3 m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上递减，在(1，n ]上递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3 m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm ＝9.]4．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，由f (x )＞0，得x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以x 的取值范围是(0,1)．。
高三一轮复习精题组对数与对数函数(有详细答案)
§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析 函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三 对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <bA ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2， 所以0<log π3<20.2<log 39， 所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． 失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组 专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组 专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b .(1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解 由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明 结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明 由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ， 因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减， 故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增． 又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。
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对数与对数函数 【选题明细表】 知识点、方法题号对数的化简求值10对数函数的图象及应用2、6、9对数函数的性质及应用1、3、4、7、8综合问题5、11、12一、选择题 1. (2013泰安高三期末)设a=30.5,b=log32,c=cos 2,则( A ) (A)c<b1,0<b<1,c<0,所以cc>0满足f(a)·f(b)·f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,那么下列不等式中不可能成立的是( D ) (A)x0a (C)x0<b(D)x0<c 解析:画出函数y=2x与y=x的图象可知,满足条件的c只能在函数f(x)的零点的左边,故不可能出现x0<c.故选D. 3.若loga(a2+1)<loga2a1,又loga(a2+1)0可得x>,或x0 等价于lox>,或loxlo, 或lox<-lo, 所以0<x2.故选C. 6.函数y=log2的图象( A ) (A)关于原点对称 (B)关于直线y=-x对称 (C)关于y轴对称 (D)关于直线y=x对称 解析:函数y=f(x)=log2的定义域为(-2,2),又f(-x)=log2=log2,所以f(x)+f(-x)=log2(·)=0,所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.故选A. 二、填空题 7.(2013年高考北京卷)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=.? 解析:∵f(x)=lg x,f(ab)=1, ∴lg(ab)=1, ∴f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2. 答案:2 8.(2013蚌埠市一模)函数y=|lox|的定义域是[a,b],值域为[0,2],则在区间[a,b]的长度b-a的最小值是 .? 解析:结合函数图象,当y=|lox|的定义域为[a,b],值域为[0,2]时,a=,b=1,此时b-a取最小值. 答案: 9.函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c=.? 解析:由图象可求得a=2,b=2, 又易知函数y=logc(x+)的图象过点(0,2), 进而可求得c=,所以a+b+c=2+2+=. 答案: 三、解答题 10.计算: (1)(lg-lg 25)÷10; (2)2(lg)2+lg·lg 5+. 解:(1)(lg-lg 25)÷10=-2×=-2×lg 10÷=-20. (2)原式=lg(2lg+lg 5)+=lg(lg 2+lg 5)+|lg-1|=lg·lg(2×5)+1-lg=1. 11.已知函数f(x)=lo(a2-3a+3)x. (1)判断函数的奇偶性; (2)若y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求a的取值范围. 解:(1)函数f(x)=lo(a2-3a+3)x的定义域为R. 又f(-x)=lo(a2-3a+3)-x=-lo(a2-3a+3)x=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数. (2)若函数f(x)=lo(a2-3a+3)x在(-∞,+∞)上为减函数, 则y=(a2-3a+3)x在(-∞,+∞)上为增函数, 由指数函数的单调性,有a2-3a+3>1, 解得a2. 所以a的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞). 12.(2013厦门模拟)已知函数f(x)=ln. (1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性; (2)对于x∈[2,6],f(x)=ln>ln恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)由>0,解得x1, ∴定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时, f(-x)=ln=ln=ln=-ln=-f (x), ∴f(x)=ln是奇函数. (2)由x∈[2,6]时,f(x)=ln>ln恒成立. ∴>>0, ∵x∈[2,6],∴0<m<(x+1)(7-x)在x∈[2,6]上成立. 令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x∈[2,6], 由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数g(x)单调递增, x∈[3,6]时函数g(x)单调递减, x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7, ∴0<m<7.。
2025年高考数学一轮复习课时作业-对数与对数函数【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-对数与对数函数【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)计算:lg4+2lg5+log28+823=()A.8B.9C.10D.12.(5分)函数f(x)=log0.5(2 -1)的定义域为()A.(12,1]B.[12,1)C.(-∞,12]D.[1,+∞)3.(5分)若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2xB.12C.lo g12x D.2x-24.(5分)设a=14log213,b=(12)0.3,则有()A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab5.(5分)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=a x的图象如图所示,则函数f(x)=log a(-x+1)的部分图象大致为()6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=|log a(x+1)|(a>1),下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减C.函数f(x)在区间[-12,1]上的最小值为0D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2]7.(5分)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1815=.8.(5分)(2023·泸州模拟)若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是.9.(5分)已知f(x)=ln(x2+2x+m).若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是.10.(10分)已知f(x)=log a x+log a(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在[1,72]上的值域.11.(10分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.(1)若f(x)≤0,求x的取值范围;(2)当14≤x≤8时,求函数f(x)的值域.【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则()A.f(ln2)=ln52B.f(x)是奇函数C.f(x)在(0,+∞)上单调递增D.f(x)的最小值为ln213.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc 的取值范围是.14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-对数与对数函数【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)计算:lg4+2lg5+log28+823=()A.8B.9C.10D.1【解析】选B.因为lg4+2lg5=lg4+lg52=lg4+lg25=lg100=2,log28=log223=3, 823=(23)23=22=4,所以lg4+2lg5+log28+823=2+3+4=9.2.(5分)函数f(x)=log0.5(2 -1)的定义域为()A.(12,1]B.[12,1)C.(-∞,12]D.[1,+∞)【解析】选A.由题意,要使函数f(x)=log0.5(2 -1)有意义,则满足log0.5(2x-1)≥0,所以0<2x-1≤1,解得12<x≤1,即函数f(x)的定义域为(12,1].3.(5分)若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2xB.12C.lo g12x D.2x-2【解析】选A.函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=log a x,又f(2)=1,即log a2=1,所以a=2.故f(x)=log2x.4.(5分)设a=14log213,b=(12)0.3,则有()A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab【解析】选A.因为a=14log213=-14log23,32<log23<2,所以-12<-14log23<-38,即-12<a<-38,b=(12)0.3>(12)1=12,所以a+b>0,ab<0,所以a+b>ab.5.(5分)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=a x的图象如图所示,则函数f(x)=log a(-x+1)的部分图象大致为()【解析】选D.由函数y=a x的图象可判断出a>1.当a>1时,y=log a x的图象经过定点(1,0),且为增函数.因为y=log a x与y=log a(-x)的图象关于y轴对称,所以y=log a(-x)的图象经过定点(-1,0),为减函数.而f(x)=log a(-x+1)可以看作y=log a(-x)的图象向右平移1个单位长度得到的.所以f(x)=log a(-x+1)的图象经过定点(0,0),为减函数.6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=|log a(x+1)|(a>1),下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减C.函数f(x)在区间[-12,1]上的最小值为0D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2]【解析】选ACD.将(0,0)代入函数f(x)=|log a(x+1)|(a>1),成立,故A正确;当x∈(0,+∞)时,x+1∈(1,+∞),又a>1,所以f(x)=|log a(x+1)|=log a(x+1),由复合函数单调性可知,当x∈(0,+∞)时,f(x)=|log a(x+1)|=log a(x+1)单调递增,故B错误;当x∈[-12,1]时,x+1∈[12,2],所以f(x)=|log a(x+1)|≥log a1=0,故C正确;当x∈[1,2]时,f(x)=|log a(x+1)|=log a(x+1)≥1恒成立,所以由函数为增函数知log a2≥1,解得1<a≤2,故D正确.7.(5分)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1815=.【解析】log1815=lg15lg18=lg3+lg5lg2+2lg3= - +12 + .lg2+2lg3=lg3+1-lg2答案: - +12 +8.(5分)(2023·泸州模拟)若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是.【解析】因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以f(x)=log5x,则f(x2-2x)=log5(x2-2x).设μ=x2-2x,则f(μ)=log5μ,由x2-2x>0,解得x<0或x>2,因为f(μ)=log5μ在其定义域上单调递增,又μ=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以y=f(x2-2x)的单调递减区间是(-∞,0).答案:(-∞,0)9.(5分)已知f(x)=ln(x2+2x+m).若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是.【解析】因为f(x)的值域为R,所以x2+2x+m取遍大于0的所有实数,则4-4m≥0,解得m≤1,所以实数m的取值范围是(-∞,1].答案:(-∞,1]10.(10分)已知f(x)=log a x+log a(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域;【解析】(1)由f(2)=2得,log a2+log a(4-2)=2,解得a=2,所以f(x)=log2x+log2(4-x).由 >0,4- >0,解得0<x<4,故f(x)的定义域为(0,4).(2)求f(x)在[1,72]上的值域.【解析】(2)由(1)及条件知f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4],设t(x)=-(x-2)2+4,x∈[1,72],则当x=2时,t(x)max=4;当x=1时,t(x)=3;当x=72时,t(x)=74,所以当x∈[1,72]时,t(x)∈[74,4],所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log274=log27-2,所以f(x)在[1,72]上的值域为[log27-2,2].11.(10分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.(1)若f(x)≤0,求x的取值范围;【解析】(1)令log2x=t,则y=t2-t-2,t∈R,由f(x)≤0得t2-t-2≤0,解得-1≤t≤2,所以-1≤log2x≤2,解得12≤x≤4,即x的取值范围为[12,4].(2)当14≤x≤8时,求函数f(x)的值域.【解析】(2)当14≤x≤8时,-2≤t≤3,因为y=t2-t-2,则当t=12时,有最小值-94;当t=-2或3时,有最大值4.所以函数f(x)的值域为[-94,4].【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则()A.f(ln2)=ln52B.f(x)是奇函数C.f(x)在(0,+∞)上单调递增D.f(x)的最小值为ln2【解析】选ACD.f(ln2)=ln(e2ln2+1)-ln2=ln52,A正确;f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln e x=ln e2 +1e =ln(e x+e-x),所以f(-x)=ln(e x+e-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,B错误;当x>0时,y=e x+e-x在(0,+∞)上单调递增,因此y=ln(e x+e-x)在(0,+∞)上单调递增,C正确;由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(0)=ln2,D正确.13.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc 的取值范围是.【解析】由题意知,在(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点(如图),所以ab=1,0<c<lg10=1,所以abc的取值范围是(0,1).答案:(0,1)14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式;【解析】(1)当x<0时,-x>0,由题意知f(-x)=log a(-x+1),又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x).所以当x<0时,f(x)=log a(-x+1),所以函数f(x)的解析式为f(x)=log ( +1), ≥0,log (- +1), <0.(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.【解析】(2)因为-1<f(1)<1,所以-1<log a2<1,所以log a1 <log a2<log a a.①当a>1时,<2,>2,解得a>2;②当0<a<1时,>2,<2,解得0<a<12.综上,实数a的取值范围为(0,12)∪(2,+∞).。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：9对数与对数函数Word版含解析
础巩课时作业9对数与对数函数一、选择题1 .函数y = “ Iog3 2x—1 +1的定义域是(C )A . [1,2] B. [1,2)2 2C._3,D.3，+^'Iog3(2x—1 )+ 1 > 0,解析：由I2x—1>0，r 1Iog3(2x—1 戸Iog33，2即彳解得x> 3.I x>l 3x>2，2. 若函数y= f(x)是函数y= a x(a>0，且1)的反函数，且f(2)=1,则f(x)= ( A )1A. log2XB.^C. Iog1 xD. 2x—22解析：由题意知f(x)= log a x(a>0，且a^1), vf(2)= 1, /Jog a2 = 1, /a= 2./f(x) = log2X.3. 函数f(x) = x a满足f(2) = 4,那么函数g(x) = |log a(x + 1)|的图象大致为(C )解析：由 f(2) = 2a =4,得 a = 2•所以 g(x) = |log 2(x + 1)|, 则g(x)的图象由y =|log 2x|的图象向左平移一个单位得到，C 满足. 4. (2019惠州市调研)若a = 20.5, b = log3, c = 吨谆 则 (D )A . b>c>aC . c>a>b<1,2>1，得 c<0,故 a>b>c ,故选 D.5. 若函数 f(x) — lg(x 2— 2ax +1 + a)在区间(一*, 1]上递减，则 a 的取值范围为(A )A . [1,2)B . [1,2]C . [1，+* )D . [2，+x )解析：令函数 g(x) = x 2 — 2ax +1 + a — (x — a)2+1+ a —a 2,对称轴解得 1< a<2，即 a € [1,2).6. (2019 洛阳市第一次联考)设 a — log s 6, b — log 510, c — log 714, 则(D )A . c>b>aB . b>c>aC . a>c>bD . a>b>cJ LJ L\O X\ BB . b>a>c D . a>b>c解析: 依题意，得 a>1,0<b = log n 3<log n n — 1,而由 Ovsin 2"为x —a,要使函数在(一x g( 1 )>0,,1]上递减，则有' 2—a>0, 即a > 1,C D解析：因为a—log36—log33 + log s2 —1 + log32, b—log510—log55 + logf = 1 + log52 , c = log7l4 = log77 + log72 = 1 + log72 ,因为log32>log52>log72，所以a>b>c,故选D.7. （2019贵阳市摸底考试）20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M = IgA—IgA。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业9对数与对数函数+Word版含解析.docx
因为函数 ,y=log2x 是增函数，且 2yli>3y[3>\[26 , 所以 b>a>c. 答案： B
[l+lg （2—x）, x<l, 8. （2018-河北正定质检）设函数伦） = 】
J10<x<100,
U>o
10<x<100,故函数的定义域为 {x|10<x<100} ? 答案 : {x|10<r<100}
Q
12. ______________________________________ 已知 2' = 3, log43=y,则
x+2y 的值为 _____________________________
答案 : A 3. (2018-河南新乡二模 , 4)设 a=604, Z?=log0.40.5, c=log80.4,则 a, b, c 的大小关
系是 ()
A. a<b<c B. c<h<a
C. c<a<b D. h<c<a
解析： a—6°1 2 3 4> 1, b=logo.40.5W(0,l), c=log8( ).4v0, /.a>b>c. 故选 B. 答案：
值范围是 [-4,4）,选 D.
答案： D
10. 若实数 a, h, c 满足 log6/2<log/,2<logr2,则下列关系中不可能成立的是 （） A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a D. a<c<h 解析：由 log?2<log/?2<logr2 的大小关系，可知 a, b, c有如下四种可能 : ① 1<c<b<a ；② 0Sv1<c<b ；③ 0<b<a< 1<c ；④ 0<c<b<a< I.
高三大一轮复习讲义数学文课时作业：对数与对数函数北师大 含解析
课时作业(九) 对数与对数函数A 级1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －22．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 3．(2012·大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x4．(2012·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 5．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>06．(2011·陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >010x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.7．8．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．9．(2012·南京月考)若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是__________．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．11．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (x )定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间．B 级1．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m 、n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为( )A.12、2 B.12、4 C.22、 2 D.14、4 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1 x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．3．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)．答案课时作业(九) A 级1．A f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .2．C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 12(2x ＋1)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C.3．D ∵x ＝ln π＞ln e ，∴x ＞1. ∵y ＝log 52＜log 55，∴0＜y ＜12.∴z ＝e －12＝1e ＞14＝12，∴12＜z ＜1.综上可得，y ＜z ＜x .4．C 依题意得f (3)＝log 122，f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232，f (0)＝log 121，又log 122<log 1232<log 121，所以f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)．故选C. 5．D f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，由x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )是增函数且f (x )>0，得函数f (x )在(2,3)上也为增函数且f (x )>0，而直线x ＝2为函数的对称轴，则函数f (x )在(1,2)上是减函数，且f (x )>0，故选D.6．解析： ∵x ＝－2<0，∴f (－2)＝10－2＝1100>0，所以f (10－2)＝lg 10－2＝－2，即f (f (－2))＝－2.答案： －27．解析： 原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案： 128．解析： 令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数数，所以有log 12t ≤log128＝－3.答案： (－∞，－3] 9．解析： 当2a >1时， ∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意． 综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，110．解析： (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．11．解析： (1)因为f (x )的定义域为R ， 所以ax 2＋2x ＋3>0对任意x ∈R 恒成立， 显然a ＝0时不合题意，从而必有⎩⎨⎧a >0Δ<0，即⎩⎨⎧a >04－12a <0，解得a >13.即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，＋∞.(2)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)， 单调递减区间是(1,3)．B 级1．A f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1－log 2x ，0<x <1，根据f (m )＝f (n )及f (x )的单调性，知0<m <1，n >1，又f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，故f (m 2)＝2，易得n ＝2，m ＝12.2．解析： 当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1. ∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2. ∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}． 答案： {x |－1＜x ≤0或x ＞2}3．解析： (1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b . 由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 2x －122＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2log 2(x 2－x ＋2)<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2或0<x <1－1<x <2⇒0<x <1.∴x 的取值为(0,1)．。
高考数学一轮复习课时分层训练9对数与对数函数理北师大版
课时分层训练(九) 对数与对数函数A 组 基础达标一、选择题1．函数f (x )＝ln(x ＋3)1－2x 的定义域是( )【导学号：79140051】A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)A [因为f (x )＝ln(x ＋3)1－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，1－2x ＞0，即－3＜x＜0.]2．(2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞cB [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]3．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图像如图263所示，则下列函数图像正确的是( )图263B [由题图可知y ＝log a x 的图像过点(3,1)， 所以log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．6D ．－6B [∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即30＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (log 35)＝3log 35－1＝4，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝－4.] 5．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[2，＋∞)C [因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.] 二、填空题6．计算：lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 32＝________.【导学号：79140052】－1 [原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋12＋32＝－1.]7．(2018·陕西质检(一))已知函数y ＝4a x －9－1(a ＞0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则log m n＝________.12[由于函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)恒过定点(0,1)，故函数y ＝4a x －9－1(a ＞0且a ≠1)恒过定点(9,3)，所以m ＝9，n ＝3，所以log m n ＝log 93＝12.]8．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．(－∞，－1) (－1，＋∞) [作出函数y ＝log 2x 的图像，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图像，再将图像向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图像(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．] 三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． [解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .【导学号：79140053】(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12(－x )，x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，函数f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．B 组 能力提升11．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093D [由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN最接近的是1093. 故选D.]12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (2)D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C [由f (2－x )＝f (x )，得f (1－x )＝f (x ＋1)，即函数f (x )图像的对称轴为直线x ＝1，结合图像，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (0)＝f (2)，故选C. ]13．(2016·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.【导学号：79140054】4 2 [∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a ＞b ＞1，∴log a b ＜log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b＝b b 2，∴b 2b＝b b 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.]14．已知函数f (x )＝log 21＋axx －1(a 为常数)是奇函数．(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)＞m 恒成立．求实数m 的取值范围． [解] (1)因为函数f (x )＝log 21＋axx －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋axx －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax， 所以a ＝1，令1＋xx －1＞0，解得x ＜－1或x ＞1，所以函数的定义域为{x |x ＜－1或x ＞1}． (2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )， 当x ＞1时，x ＋1＞2， 所以log 2(1＋x )＞log 22＝1.因为x ∈(1，＋∞)，f (x )＋log 2(x －1)＞m 恒成立， 所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1]．。
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课时限时检测(九) 对数与对数函数
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2013·重庆高考)函数y ＝1log 2x －
的定义域是( ) A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(2,3)∪(3，＋∞)
D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】 C
2．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( )
A.13
B.36
C.33
D.24
【答案】 D
3．若函数f (x )＝a x －1的图象经过点(4,2)，则函数g (x )＝log a 1x ＋1
的图象是( )
A B C D
【答案】 D
4．(2013·课标全国卷Ⅱ)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )
A ．a ＞c ＞b
B ．b ＞c ＞a
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
【答案】 D 5．(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 12＝ ( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】 D
6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ， x ＞0，log 12－x ， x ＜0，
若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0,1)
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分) 7．(2013·四川高考)lg 5＋lg 20的值是________．
【答案】 1
8．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点______．
【答案】 (2,2)
9．已知函数f (x )＝ln x ，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e 且x 1＜x 2，则 ①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0
②f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22 ③x 1f (x 2)＞x 2f (x 1) ④x 2f (x 2)＞x 1f (x 1)
上述结论中正确的命题序号是________．
【答案】 ③
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1.
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；
(3)若a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．
【解】 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.
故所求函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}．
(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，
且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )
＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，
故f (x )为奇函数．
(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}内是增函数，
所以f (x )＞0⇔x ＋11－x
＞1，解得0＜x ＜1. 所以使f (x )＞0的x 的解集是{x |0＜x ＜1}．
11．(12分)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12
log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0，且a ≠1)的最大
值是1，最小值是－18
，求a 的值． 【解】 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝
⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18
. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32
. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．
∵f (x )是关于log a x 的二次函数，
∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．
若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，
此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12
， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(12
)－32＝22∈[2,8]，符合题意， ∴a ＝12
. 12．(13分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)．
(1)判断函数f (x )在其定义域内的单调性；
(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)内恒为正，试比较a －b 与1的大小关系．
【解】 (1)由a x －b x ＞0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b
x ＞1. ∵a ＞1＞b ＞0，∴a b
＞1，∴x ＞0，
∴f (x )定义域为(0，＋∞)．
设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则由a ＞1＞b ＞0，得a x 2＞a x 1，b x 1＞b x 2
，
所以a x 2－b x 2＞a x 1－b x 1
＞0，
∴f (x 2)＝lg(a x 2－b x 2)＞lg(a x 1－b x 1
)＝f (x 1)，
∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数．
(2)由(1)，得x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)恒成立．要使f(x)＞0，则只需f(1)≥0，即a－b≥1.。