电磁场7.1-7.3

辐射ra dia tio n：辐：车轮的辐条。

射：用弓放箭。

两个字合在一起可能是日本人的创造，他们对自己的汉语水平缺乏自信，担心别人理解不了，就用两个含义相近的字来表达。

久而久之，汉语中用两个含义相近的字组成的词汇越来越多了，一个字反而对我们不习惯了。

轫致辐射brak ing ra dia tio n：轫：用来阻止车轮滚动的木头。

有的书上用“韧致辐射”，这是错误的，“韧”的意思是柔软而坚实、不易折断。

例如坚韧，韧带。

第7章电磁波的辐射本章讨论导体中的振荡电流在无限大真空中激发的电磁辐射。

第1节讨论电磁辐射特性，说明电磁辐射如何描述，怎样才能产生电磁辐射，场量与距离、时间之间的关系。

第2节通过引入电磁位函数，分别得到磁矢位和电标位的约束方程。

第3节通过求解非齐次亥姆霍兹方程，导出磁矢位和电标位的显式解。

第4节研究电偶极子的辐射特性。

第5节研究磁偶极子的辐射特性。

第6节分析、计算对称细直天线的辐射。

电磁辐射是指振荡的电荷、振荡的电流或加速度不恒为零的运动带电粒子向外部空间输送电磁能量，并以确定速度在空间传播的过程，例如1. 天线辐射2. 电子的回旋辐射（v v，回旋加速度的方向是沿着半径指向圆心）3. 轫致辐射（v v，X射线，直线加速器中的辐射，C RT，电力线辐射。

轫致辐射是指高速电子打到靶上后速度骤减，电子的动能转化成辐射能，放出电磁波。

轫致辐射也称碰撞辐射，又形象地称为刹车辐射。

）历史上最先提出产生无线电波方法的是菲茨杰拉德，他从辐射研究中得出振荡电流会产生电磁辐射，并计算出辐射功率与线圈磁矩的2次方成正比，与振荡电流周期的4次方成反比。

他在1883年发表的一篇论文中提出了具体产生办法。

G.F.F itzGerald，1851-1901后来德国物理学家赫兹进一步发展了他的工作，用实验验证了电磁波的存在。

再后来，意大利的马可尼和俄国的波波夫将电磁波用于无线电报，一直发展到今天的无线电广播、无线电通信、遥测、遥控等。

中国人最早接触到电磁波的概念是光绪（1875-1908）庚子（1900年）秋天出版的《无线电报》（1898年6月30日英国克尔撰，美国卫理口译，上海范熙庸笔述，制造局锓板（qǐn bǎn：刻书））：电磁浪（电磁波），赫而此浪（赫兹波），磁界(磁场)，以脱（ether：以太），法耳台（法拉第），感电（电磁感应）。

7.1 电磁辐射的特性7.1.1 电磁辐射的刻画从本质上看，电场和磁场都是由电荷产生的。

假定无限大真空中有一个电荷系统，该电荷系统位于一个三维有界区域内，我们在电荷系统外任取一个静止的三维有界真空区域V ，V 的表面是闭曲面S ，如图7-1-1所示。

当电荷系统向外辐射电磁能量时，将有一部分电磁能量进入区域V ，然后再穿出区域V 向更远处传播。

为了描述电磁辐射，设闭曲面S 上的电场是E 、磁场是H ，我们使用从V 内辐射出去的瞬时电磁功率()()d d SSp t S =⨯⋅=⋅⎰⎰E H S n ∏ (7-1-1)来刻画。

式中∏是S 上的坡印亭矢量，n 是S 上指向外侧的单位法向矢量。

()p t 不能恒为正数，因V 内没有电磁辐射源；()p t 不能恒为负数，因V 是有界的真空区域，不消耗能量；()p t 也不能恒为零，因电磁辐射能量要穿过区域V 向远处传播。

()p t 的变化规律必然是：在一段时间内()0p t <(辐射源将电磁辐射能量送进区域V )，在另一段时间内()0p t >(进入区域V 中的电磁辐射能量释放出去)。

所以，利用()p t 正负交替变化的特性就可以刻画电磁辐射。

图7-1-1 无限大真空中的电荷系统7.1.2 电磁辐射的产生条件电荷分布可分为连续和离散两种情况。

导体中的电荷可认为是连续分布，空间中单个运动的带电粒子可认为是离散分布。

导体中电荷的运动可归类为以下三种情况之一。

第一种情况：电荷静止。

静止电荷产生的电场≠0E ，产生的磁场0H =，所以坡印亭矢量=⨯=E H 0∏，从而()0p t =。

这说明静止电荷系统不向外辐射电磁能量。

第二种情况：电荷匀速运动。

匀速运动的电荷形成稳恒电流，稳恒电流周围既有电场E ，又有磁场H ，而且电场和磁场都不随时间变化，即t∂=∂E 0和t∂=∂H 0于是得tε∂∇⨯==∂E H和 0tμ∂∇⨯=-=∂H E 0这样，从区域V 向外辐射的电磁功率为()()()d d SVp t V=⨯⋅=∇⋅⨯⎰⎰E H S E H()()d 0VV =⋅∇⨯-⋅∇⨯=⎡⎤⎣⎦⎰H E E H即匀速运动的电荷不产生电磁辐射。

第三种情况：电荷加速运动。

加速运动是指加速度不恒等于零的运动。

此时，真空区域V 中的电场E 和磁场H 满足以下方程组：tε∂∇⨯=∂E H 和 0tμ∂∇⨯=-∂H E从而由区域V 向外辐射的电磁功率为()()()d Vp t V=⋅∇⨯-⋅∇⨯⎡⎤⎣⎦⎰H E E H00d V V t t με⎛⎫∂∂=-⋅+⋅ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎜⎠H E H E ()2200d 1d d 2V H E V t με=-+⎛⎜⎠ ()d d W t t=-(7-1-2)可见，只要区域V 内的瞬时电磁能量W 满足d d 0W t ≠，电荷系统就有可能向周围辐射能量，而要使d d 0W t ≠，只有电荷加速运动才有可能。

以上分析说明，导体中的静止电荷和匀速运动电荷都不产生电磁辐射，只有加速运动的电荷才可能产生电磁辐射。

7.1.3 场量大小与距离的关系导体中的电荷加速运动会产生电磁辐射，这里要问：当电荷周围是三维无限大真空时，空间场量E 和H 与距离r (场点与源点之间的距离)的关系如何？下面我们来分析。

在三维无限大真空中，设场强与距离的关系为1111E ,H rrδδ++∝∝这里0δ≥。

从而坡印亭矢量的模与距离的关系为221rδ∏=+⨯∝E H在远离电荷系统的地方，电荷系统可看作是一个点电荷，作一个以点电荷为球心的球面0S ，则从球面0S 上辐射出来的电磁功率满足22224π4πd Sr rrδδ∏+⋅∝=⎰S (7-1-3)如果0δ>，当r →∞时，上式右端是零，说明电荷系统没有向四周辐射电磁能量；如果0δ<，当r →∞时，上式右端是无限大，说明电荷系统具有无限大能量，但这不可能。

所以只能取0δ=。

也就是说，只有场量与距离之间满足关系1E r -∝和1H r -∝时，电荷系统才能向四周辐射电磁能量。

在无限大真空中，电场和磁场随距离r 的变化规律与场源的性质有关。

在静电场中，电偶极子的场强以3r -衰减，点电荷的场强以2r -衰减；在稳恒磁场中，磁偶极子的场强以3r -衰减，有限长线电流的场强以2r -衰减；而在随时间变化的电磁场中，电偶极子和磁偶极子的场强都以1r -衰减（见7.4节和7.5节），因此这样的电磁场能够到达更远的地方。

这种场强以1r -衰减、能够到达更远处的电磁场是由随时间变化的电场和磁场相互激发而产生的，电场与磁场相互依存、以波动的形式向远处传播。

说明：只有波源向三维无限大空间辐射电磁能量时，场量与距离之间才满足1E r -∝和1H r -∝。

如果电磁波定向辐射，这样的关系并不成立，例如电磁波在波导内传播时就不符合这种关系，见6.6节内容。

7.1.4 场量大小与时间的关系导体内电荷()q t 的运动会形成电流，()d d i t q t =，但不一定产生电磁辐射，只有22d d d d i t q t =不恒等于零时，才会产生电磁辐射。

为了使电磁能量连续不断地从电荷系统辐射出去，导体中电荷随时间必须在22d d 0d d i q tt=> 和22d d 0d d i q tt=<之间变化。

如果导数22d d d d i t q t =的符号不改变，则意味着电流随时间单调增或单调减，这将导致导体中的电流()lim t i t →∞→∞所以，如果电荷系统能稳定地向外辐射电磁能量，电荷量的大小以及空间场量（电场强度和磁通密度）的大小必然随时间上下波动。

这种以波动形式运动的电磁场就是电磁波。

电磁波是电磁场在时变情况下的一种表现形式。

7.2 电磁位函数及其约束方程当场源周围是无限大真空时，电磁场满足麦克斯韦方程组：tε∂∇⨯=+∂E H J (7-2-1)t∂∇⨯=-∂B E (7-2-2)v 0ρε∇⋅=E (7-2-3)∇⋅=B (7-2-4)根据矢量微分公式()0∇⋅∇⨯=F ，由式(7-2-4)可引入矢量A ，满足=∇⨯B A(7-2-5)矢量A 称为磁矢位。

把式(7-2-5)代入式(7-2-2)，得tt t ⎛⎫∂∂∂∇⨯+=∇⨯+∇⨯=∇⨯+= ⎪∂∂∂⎝⎭B A E E A E 0 对比矢量微分公式u ∇⨯∇=0，可引入一个标量函数ϕ，满足tϕ∂+=-∇∂A E (7-2-6)ϕ称为电标位。

由上式可见，电标位的单位是伏(V)，磁矢位的单位是韦每米或特米(W b/m =T m ⋅)。

下面导出无限大真空中电磁位函数ϕ和A 所分别满足的约束方程。

把t ϕ=-∇-∂∂E A 代入方程v 0ρ∇⋅=E ，得2v 0tρϕε∂∇+∇⋅=-∂A (7-2-7)再利用=∇⨯B A ，方程0t ε∇⨯=+∂∂H J E 可写成()2000201t t t tϕεϕεεμ⎛⎫∂∂∂∂∇⨯∇⨯=+-∇-=-∇- ⎪∂∂∂∂⎝⎭A AA J J 根据矢量微分公式2()()∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇F F F ，上式成为22000002tt ϕεμμεμ∂∂⎛⎫∇-=-+∇∇⋅+ ⎪∂∂⎝⎭AA J A (7-2-8)由矢量场解的唯一性定理可知，为了确定磁矢位A 的变化规律，仅有旋度∇⨯=A B 还不够，还需要知道散度∇⋅A 的表达式。

为此，令式(7-2-8)右端括号内的值为000tϕεμ∂∇⋅+=∂A(7-2-9)利用上式，式(7-2-7)和(7-2-8)分别成为22v 221c tρϕϕε∂∇-=-∂ (7-2-10) 220221ct μ∂∇-=-∂A A J(7-2-11)式中c =(7-2-12)是真空中的光速。

以上两式就是真空中电标位ϕ和磁矢位A 的约束方程。

这两个方程形状一样，称为波动方程。

当从以上两个波动方程求出电磁位ϕ和A 后，代入t ϕ=-∇-∂∂E A 和=∇⨯B A 就可以求出场量。

说明：如果不引入电磁位，而是直接求解麦克斯韦方程组(7-2-1)-(7-2-4)，则会得到以下两个方程：22v2211cttμρε∂∂∇-=+∇∂∂E J E22221ct∂∇-=-∇⨯∂H H J与方程(7-2-10)和(7-2-11)相比，以上两式右端变得复杂了。

所以当求解含有场源J 和v ρ的电磁场问题时，引入电磁位常常会使求解变得简单。