2022届高考数学圆锥曲线重难点专题01 直线与椭圆的位置关系(解析版)

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2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第九讲理第八讲文第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案含解析新

第九讲圆锥曲线的综合问题(理)第八讲圆锥曲线的综合问题(文) 第一课时直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f x ，y ＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0， ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac ．当Δ__＞__0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；当Δ__＝__0时，直线和圆锥曲线相切于一点；当Δ__＜__0时，直线和圆锥曲线没有公共点．知识点二直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k (k 不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝__1＋k 2·|x 1－x 2|__或|P 1P 2|＝__1＋1k2·|y 1－y 2|__．(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．知识点三圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0．归纳拓展1．判定直线与圆位置关系的关键是圆心到直线的距离与半径的大小关系． 2．判定过定点的直线与椭圆的位置关系应关注定点与椭圆的位置关系．3．判定过定点的直线与双曲线的位置关系应注意直线斜率与渐近线斜率的关系，过定点与双曲线只有一个公共点的直线可能与双曲线相切，可能与渐近线平行．4．过定点与抛物线只有一个公共点的直线可能与抛物线相切，可能与对称轴平行．双基自测1．(2021·某某模拟)若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝( D )A ．14B ．12C ．2D ．4[解析]因为双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3＋p 216，0，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，所以－3＋p 216＝－p2，得p ＝4，故选D ．2．(2021·某某模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8．又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x ．故选B ．3．(2021·某某某某调研)已知双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值X 围是( A )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞) [解析]双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率b a，所以b a≥1，e 2＝c 2a2＝a 2＋b 2a 2≥2，∴e ≥2．故选A ．4．(2021·某某市质量监测)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A ，B 两点，若△FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为( C )A ．12B ．22C ．33D ．32[解析]如图，由|AB |＝2b 2a，△FAB 是正三角形，得32×2b 2a ＝2c ，化简可得(2a 2－3b 2)(2a 2＋b 2)＝0，所以2a 2－3b 2＝0，所以b 2a 2＝23，所以椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a2＝33．故选C ．5．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |．[解析]设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32．又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－4t －13．从而－4t －13＝52，得t ＝－78．所以l 的方程为y ＝32x －78．(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3．代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1．故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－132＋3＋12＝4133．考点突破·互动探究考点一直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透例1 (1)(2021·某某检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( B )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0(2)(2021·某某某某调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D )A ．3B ．2C ．－2D ．－3(3)(2021·某某某某二中月考)直线l ：y ＝k (x －2)与曲线x 2－y 2＝1(x ＞0)相交于A ，B两点，则直线l 倾斜角α的取值X 围是( B )A ．[0，π)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4[解析](1)∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4．∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B ．(2)由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p2，y ＝p ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，则直线AB 的方程为y －p ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 9，y ＝－2p 3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B⎝⎛⎭⎪⎫2p9，－2p3，所以直线OB的斜率为k OB＝－2p32p9＝－3．故选D．(3)直线l过定点(2，0)，曲线x2－y2＝1(x＞0)的渐近线的倾斜角分别为π4，3π4，又直线的斜率存在，结合图形可知选B．名师点拨研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解．注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别．考点二直线与圆锥曲线相交的弦的问题——多维探究角度1 弦长问题例2 (2021·某某质检)已知M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数－12．设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与y 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，点O 为坐标原点，OA →·OB →＝0，求|AB |．[解析](1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝yx ＋2，k PN ＝y x －2．因为k PM k PN ＝－12，所以y x ＋2·y x －2＝－12，即y 2x 2－2＝－12，即x 22＋y 2＝1(x ≠±2)，所以曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当直线l 的斜率不存在时与题设矛盾，故直线l 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：y ＝kx ＋t ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝kx ＋t ，得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0．所以x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2．Δ＝8(2k 2－t 2＋1)＞0⇒2k 2－t 2＋1＞0．设A ，B 的中点为D (m ，n )，则m ＝x 1＋x 22＝－2kt 1＋2k 2，n ＝km ＋t ＝t 1＋2k 2．故线段AB 的中垂线方程为y －n ＝－1k(x －m )．当x ＝0时，y ＝mk ＋n ＝12，所以－2kt 1＋2k 2k＋t1＋2k 2＝12，化简得1＋2k 2＝－2t ．因为OA →·OB →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0．又y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝2t 2－1k 2＋11＋2k 2－4k 2t 21＋2k 2＋t 2＝0，化简得2k 2＋2＝3t 2．又1＋2k 2＝－2t ，得t ＝－1或t ＝13(舍去)，所以k 2＝12．所以|AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x1x 2]＝1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 22－4 2t 2－21＋2k 2 ＝81＋k 22k 2－t 2＋11＋2k 2＝3．名师点拨处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．〔变式训练1〕(2021·四省八校质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1,0)，且点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，直线m ：x ＝－2，过F 作垂直于l 的直线与直线m 交于点T ，求|TF ||AB |的最小值和此时l 的方程． [解析](1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a 2＝b 2＋c21a 2＋12b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，所以椭圆的方程为：x 22＋y 2＝1．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－1，T (－2,0)，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－22，此时|TF ||AB |＝22，当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x 2＋2y 2－2＝0⇒(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k 2，Δ＝8(k 2＋1)＞0，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝22k 2＋11＋2k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋1x ＝－2⇒T ⎝⎛⎭⎪⎫－2，1k ，∴|TF |＝1＋k 2k 2，所以|TF ||AB |＝1＋2k 222·k 2k 2＋1＝1＋k 2＋k 222·k 2k 2＋1＞21＋k 2·k 222·k 2k 2＋1＝22 (∵1＋k 2≠k 2，所以无法取等号)所以|TF ||AB |的最小值为22，此时l 的方程为：x ＝－1．角度2 中点弦问题例3 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( A )A ．32B ．52C ．2D ．3[解析]由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2．因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32，选A ．名师点拨处理中点弦问题常用的求解方法根与系数的关系→即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解点差法→即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率〔变式训练2〕已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，点A 和点B 关于直线l 对称，l 与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值X围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0__．[解析]设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0．因为直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴，所以方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，因为点A 和点B 关于直线l 对称，所以直线l 为AB 的垂直平分线，其方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，因为k ≠0，所以－12＜x G ＜0，即点G 横坐标的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0．角度3 求直线的方程例4 (2021·某某某某质检)已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 相交于A ，B 两点．(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；(2)点C (－3，－2)，若∠CFA ＝∠CFB ，求直线l 的方程． [解析](1)由题意，可得F (0,1)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2＝4y ，整理得x 2－4kx －8＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－8，又由|FA |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1＝x 1＋x 22－2x 1x 24＋2．显然当k ＝1时，|FA |＋|FB |＝10．(2)由题意可知，FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214－1，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224－1，FC →＝(－3，－3)，由∠CFA ＝∠CFB ，可得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA →·FC→|FA →||FC →|＝FB →·FC→|FB →||FC →|，又|FA|＝x214＋1，|FB|＝x224＋1，|FC|＝32，整理得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，即4＋8k＋8＝0，解得k＝－32，所以直线l的方程为3x＋2y－4＝0．名师点拨设直线方程时一定要关注直线的斜率是否存在，若不能确定，应分类求解，当过点P(a，b)的直线不与x轴垂直时，可设其方程为y＝k(x－a)＋b；当过点P(a，b)的直线不与y轴垂直时，可设其方程为x＝m(y－b)＋a．〔变式训练3〕(2021·某某某某、崇左模拟)椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝22，过点A(－a,0)和B(0，b)的直线与原点间的距离为63．(1)求椭圆M的方程；(2)过点E(1,0)的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当CEDE＝3时，求直线l的方程．[解析](1)据题知，直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab a2＋b2＝63e＝a2－b2a2＝22．解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆M 的方程为x22＋y2＝1．(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)(x2＞0，y2＞0)，设直线l的方程为x＝my＋1(m∈R)．代入椭圆方程整理得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0．Δ＝8m2＋8＞0，∴y1＋y2＝－2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2．①由CEDE＝3，依题意可得：y1＝－3y2，②结合①②得⎩⎪⎨⎪⎧y2＝m m2＋23y22＝1m2＋2，消去y2解得m＝1，m＝－1(不合题意)．所以直线l的方程为y＝x－1．名师讲坛·素养提升“设而不求，整体代换”解决圆锥曲线问题例5 (2021·某某某某模拟)已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，动点C的轨迹为E．(1)求曲线E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(km＜0)与曲线E相交于A，B两个不同点，且OA→·OB→＝5，证明：直线l经过一个定点．[解析](1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离，∴曲线E是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线．设其方程为y 2＝2px (p ＞0)，∴p2＝1，∴p ＝2， ∴曲线E 的方程为y 2＝4x ． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k2， Δ＝(2km －4)2－4m 2k 2＝16(1－km )＞0．∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4kmk 2＝5，∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k ．∵km ＜0，则m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )＞0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)， ∴直线l 必经过定点(5,0)．名师点拨对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果．〔变式训练4〕(2021·某某某某质检)已知椭圆E 的方程为x 2a2＋y 2＝1，点A 为长轴的右端点．B ，C 为椭圆E 上关于原点对称的两点．直线AB 与直线AC 的斜率k AB 和k AC 满足：k AB ·k AC ＝－12．(1)求椭圆E 的标准方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋t 与圆x 2＋y 2＝23相切，且与椭圆E 相交于M ，N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆恒过原点．[解析](1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)由x 20a 2＋y 20＝1得，y 20＝1－x 20a2＝a 2－x 20a 2，由k AB ·k AC ＝－12，即y 0x 0－a ·－y 0－x 0－a ＝－12得，y 20＝a 2－x 202，所以a 2－x 20a 2＝a 2－x 202，所以a 2＝2，即椭圆E 的标准方程为：x 22＋y 2＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋t得：(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2．y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝k 22t 2－21＋2k 2＋－4k 2t 21＋2k 2＋t 2＝t 2－2k 21＋2k 2，又l 与圆C 相切，所以63＝|t |1＋k 2即23＝t 21＋k 2，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2t 2－2＋t 2－2k 21＋2k 2＝3t2－21＋k21＋2k2＝21＋k2－21＋k21＋2k2＝0，所以，OM→⊥ON→，即∠MON＝90°，所以，以线段MN为直径的圆经过原点．。

2022版新高考数学总复习真题专题--直线与圆锥曲线的位置关系(解析版)

2022版新高考数学总复习--§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系— 五年高考 —考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018课标Ⅰ理,8,5分)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 D2.(2021浙江,16,6分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c >0).若过F 1的直线和圆(x -12c)2+y 2=c 2相切,与椭圆在第一象限交于点P ,且PF 2⊥x 轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 . 答案2√55;√553.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率为√3的直线过抛物线C :y 2=4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则|AB |= . 答案1634.(2019浙江,15,4分)已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是 . 答案 √155.(2021全国乙理,21,12分)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,且F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p ;(2)若点P 在M 上,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.解题指导 (1)利用圆心到焦点F 的距离减去半径等于4构造关于p 的方程,解方程即可;(2)设出点A ,B ,P 的坐标,利用导数的几何意义得到切线斜率,写出两切线PA ,PB 的方程,利用点P 与切线的关系写出直线AB 的方程,从而求得弦长AB 与点P 到直线AB 的距离,进而结合函数的相关知识表示并求出△PAB 面积的最大值.6.(2021全国甲,文21,理20,12分)抛物线C 的顶点为坐标原点O ,焦点在x 轴上,直线l :x =1交C 于P ,Q 两点,且OP ⊥OQ.已知点M (2,0),且☉M 与l 相切.(1)求C ,☉M 的方程;(2)设A 1,A 2,A 3是C 上的三个点,直线A 1A 2,A 1A 3均与☉M 相切.判断直线A 2A 3与☉M 的位置关系,并说明理由. 解析 (1)由题意可设抛物线C 的方程为y 2=2px (p >0),则P ,Q 的坐标为(1,±√2p ),∵OP ⊥OQ ,∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1-2p =0, ∴p =12,∴抛物线C 的方程为y 2=x.∵☉M 的圆心为(2,0),☉M 与直线x =1相切, ∴☉M 的半径为1,∴☉M 的方程为(x -2)2+y 2=1. (2)直线A 2A 3与☉M 相切.理由如下:设A 1(y 02,y 0),A 2(y 12,y 1),A 3(y 22,y 2),∵直线A 1A 2,A 1A 3均与☉M 相切, ∴y 0≠±1,y 1≠±1,y 2≠±1,由A 1,A 2的坐标可得直线A 1A 2的方程为y -y 0=y 0-y 1y 02-y 12(x -y 02),整理,得x -(y 0+y 1)y +y 0y 1=0,由于直线A 1A 2与☉M 相切, ∴M 到直线A 1A 2的距离d =|2+y 01|√1+(y 0+y 1)2=1,整理得(y 02-1)y 12+2y 0y 1+3-y 02=0,①同理可得,(y 02-1)y 22+2y 0y 2+3-y 02=0,②观察①②,得y 1,y 2是关于x 的一元二次方程(y 02-1)x 2+2y 0x +3-y 02=0的两根,∴{y 1+y 2=-2y0y 02-1,y 1y 2=3-y 02y 02-1.(*) 同理,得直线A 2A 3的方程为x -(y 1+y 2)y +y 1y 2=0,则点M (2,0)到直线A 2A 3的距离d'=|2+y 12|√1+(y 1+y 2),把(*)代入,得d'=|2+3-y 0202-1|√1+(-2y0y 02-1)=|2(y 02-1)+3-y 02|√(y 0-1)2+(-2y 0)2=|y 02√y 0+2y 0+1=|y 02+1||y 02+1|=1.∴直线A 2A 3与☉M 相切.解后反思本题第(1)问较为基础,熟练掌握抛物线和圆的标准方程是关键;第(2)问涉及的条件较多,其中直线A 1A 2与圆相切,是最重要的一个条件,由此条件可求出直线A 1A 2的方程,进而直线A 1A 3,A 2A 3的方程就可同理求得,可大大简化运算过程,而由①②归纳出y 1,y 2是方程(y 02-1)x 2+2y 0x +3-y 02=0的两根,则需要有较深的数学功底和知识储备,需要同学们平时不断积累.7.(2020天津,18,15分)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,-3),右焦点为F ,且|OA |=|OF |,其中O 为原点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.解析 (1)由已知可得b =3.记半焦距为c ,由|OF |=|OA |可得c =b =3.又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=18.所以,椭圆的方程为x 218+y 29=1. (2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以AB ⊥CP.依题意,直线AB 和直线CP 的斜率均存在.设直线AB 的方程为y =kx -3.由方程组{y =kx -3,x 218+y 29=1,消去y ,可得(2k 2+1)·x 2-12kx =0,解得x =0或x =12k 2k 2+1.依题意,可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2-32k 2+1).因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为(0,-3),所以点P 的坐标为(6k2k 2+1,-32k 2+1).由3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得点C 的坐标为(1,0),故直线CP 的斜率为-32k 2+1-06k 2k 2+1-1,即32k 2-6k+1.又因为AB ⊥CP ,所以k ·32k 2-6k+1=-1,整理得2k 2-3k +1=0,解得k =12或k =1.所以,直线AB 的方程为y =12x -3或y =x -3.8.(2020浙江,21,15分)如图,已知椭圆C 1:x 22+y 2=1,抛物线C 2:y 2=2px (p >0),点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点,过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ,交抛物线C 2于点M (B ,M 不同于A ).(1)若p =116,求抛物线C 2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点,求p 的最大值.解析 (1)由p =116得C 2的焦点坐标是(132,0). (2)由题意可设直线l :x =my +t (m ≠0,t ≠0),点A (x 0,y 0).将直线l 的方程代入椭圆C 1:x 22+y 2=1得(m 2+2)y 2+2mty +t 2-2=0,所以点M 的纵坐标y M =-mtm 2+2, 将直线l 的方程代入抛物线C 2:y 2=2px 得y 2-2pmy -2pt =0,所以y 0y M =-2pt ,解得y 0=2p (m 2+2)m ,因此x 0=2p (m 2+2)2m 2.由x 022+y 02=1得1p2=4(m +2m)2+2(m +2m)4≥160, 所以当m =√2,t =√105时,p 取到最大值√1040.9.(2020北京,20,15分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1过点A (-2,-1),且a =2b.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点B (-4,0)的直线l 交椭圆C 于点M ,N ,直线MA ,NA 分别交直线x =-4于点P ,Q.求|PB ||BQ |的值. 解析 (1)由已知条件可列方程组{a =2b ,(-2)2a 2+(-1)2b2=1,解得{a =2√2,b =√2,故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1.(2)解法一:由题意知,直线l 的斜率存在,设l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y =k (x +4). 当k ≠0时,直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 联立{y =k (x +4),x 28+y 22=1,化简得(4k 2+1)x 2+32k 2x +(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-84k 2+1,Δ=(32k 2)2-4×(4k 2+1)×(64k 2-8)=32(1-4k 2)>0,解得-12<k <12. 直线MA 的方程为y =y 1+1x 1+2(x +2)-1,令x =-4,得到y P =-2(y 1+1)x 1+2-1,即P (-4,-(2k+1)(x 1+4)x 1+2), 同理直线NA 的方程为y =y 2+1x 2+2(x +2)-1,令x =-4,得到y Q =-2(y 2+1)x 2+2-1,即Q (-4,-(2k+1)(x 2+4)x 2+2), y P +y Q =-(2k +1)(x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2)=-2(2k+1)(x1+2)(x 2+2)[x 1x 2+3(x 1+x 2)+8],因为x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=64k 2-84k 2+1-3×32k 24k 2+1+8(4k 2+1)4k 2+1=0,故y P +y Q =0,即y P =-y Q ,所以|PB ||BQ |=|y P ||y Q|=1.当k =0时,易得直线l 与椭圆C 的两个交点分别为(-2√2,0)和(2√2,0),不妨设M (-2√2,0),N (2√2,0), 则直线MA 的方程为y =-√2+12(x +2√2),直线NA 的方程为y =√2-12(x -2√2),令x =-4,则y P =√2,y Q =-√2, 此时也满足|PB ||BQ |=1. 综上所述,|PB ||BQ |=1.解法二:由题意得直线l 的斜率存在,设l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y =k (x +4),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 联立{y =k (x +4),x 28+y 22=1,化简得(4k 2+1)x 2+32k 2x +(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-84k 2+1,Δ=(32k 2)2-4×(4k 2+1)×(64k 2-8)=32(1-4k 2)>0,解得-12<k <12.直线MA 的方程为y =y 1+1x 1+2(x +2)-1,直线NA 的方程为y =y 2+1x 2+2(x +2)-1,令x =-4,则y P =-x 1-2y 1-4x 1+2,y Q =-x 2-2y 2-4x 2+2, 所以P (-4,-x 1-2y 1-4x 1+2),Q (-4,-x 2-2y 2-4x 2+2),所以|PB ||BQ |=|y P ||y Q|=|-x 1-2y 1-4x 1+2-x 2-2y 2-4x 2+2| =|[(2k+1)x 1+(8k+4)](x 2+2)[(2k+1)x 2+(8k+4)](x 1+2)|=|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|,将x 1+x 2和x 1x 2代入上式,整理得|PB ||BQ |=|(2k+1)(32k24k 2+1+2x 2)(2k+1)(32k24k 2+1+2x 1)|=|-(x 1+x 2)+2x 2-(x 1+x 2)+2x 1|=1. 解法三:易知当l 的斜率为0时,|PB ||BQ |=1. 当l 的斜率不为0时,设直线l :x =my -4,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 由{x =my -4,x 28+y 22=1,得(m 2+4)y 2-8my +8=0,由Δ=64m 2-4×8×(m 2+4)>0,解得m 2>4,且y 1+y 2=8m m 2+4,y 1y 2=8m 2+4, 此时l MA :y +1=y 1+1x 1+2(x +2),令x =-4,得y P =-2(y 1+1)x 1+2-1,同理可得y Q =-2(y 2+1)x 2+2-1,则y P +y Q =-2(y 1+1)x 1+2+-2(y 2+1)x 2+2-2=-2(y 1+1x 1+2+y 2+1x 2+2+1)=-2×(y 1+1)(x 2+2)+(y 2+1)(x 1+2)+(x 1+2)(x 2+2)(x 1+2)(x 2+2),因为(y 1+1)(x 2+2)+(y 2+1)(x 1+2)+(x 1+2)(x 2+2) =(y 1+1)(my 2-2)+(y 2+1)(my 1-2)+(my 1-2)(my 2-2) =m (m +2)y 1y 2-(m +2)(y 1+y 2)=m (m +2)8m 2+4-(m +2)8mm 2+4 =0,所以y P +y Q =0,所以|PB |=|BQ |, 所以|PB ||BQ |=1. 综上,|PB ||BQ |=1.易错警示解决直线与圆锥曲线位置关系问题时,若要设直线方程时,需对该直线的不同特殊位置进行讨论. 10.(2017课标Ⅰ理,20,12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(-1,√32),P 4(1,√32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点. 解析 (1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过P 3,P 4两点. 又由1a 2+1b 2>1a 2+34b 2知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此{1b 2=1,1a 2+34b 2=1,解得{a 2=4,b 2=1.故C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明:设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2.如果l 与x 轴垂直,设l :x =t ,由题设知t ≠0,且|t |<2,可得A ,B 的坐标分别为(t ,√4-t 22),(t ,-√4-t 22).则k 1+k 2=√4-t 2-22t-√4-t 2+22t=-1,得t =2,不符合题设.从而可设l :y =kx +m (m ≠1).将y =kx +m 代入x 24+y 2=1得 (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0.由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.而k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)x 1x 2,由题设k 1+k 2=-1,故(2k +1)x 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)=0. 即(2k +1)·4m 2-44k 2+1+(m -1)·-8km4k 2+1=0.解得k =-m+12. 当且仅当m >-1时,Δ>0,于是l :y =-m+12x +m , 即y +1=-m+12(x -2),所以l 过定点(2,-1).方法总结 1.求解轨迹方程的步骤:①建系、设点→②列式(列出动点所满足的几何等量关系式)→③坐标化(选用合适的公式表示几何等量关系)→④化简(注意化简前后的等价性)→⑤检验(去伪存真). 2.用直线系思想求直线过定点问题的一般步骤: ①先设出双参数的直线方程;②根据题意通过一系列计算消去一个参数(或用一个参数表示另一参数); ③代回所设方程,得单参数直线方程; ④令参数各次幂的系数均为0,得定点坐标.3.若题设条件中涉及两直线斜率的和或积,可以采用齐次化处理,大大降低运算量.这种处理方式对所有的二次曲线均适用.以下为教师用书专用(1—22)1.(2013课标Ⅰ理,10,5分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为 ( )A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=1答案 D 直线AB 的斜率k =0+13-1=12, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则{x 12a 2+y 12b 2=1, ①x 22a 2+y 22b 2=1, ②①-②得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a2·x 1+x 2y 1+y 2. 即k =-b 2a 2×2-2,∴b 2a 2=12.③又a 2-b 2=c 2=9, ④ 由③④得a 2=18,b 2=9.所以椭圆E 的方程为x 218+y 29=1,故选D .评析本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了线段的中点问题.本题也可利用根与系数的关系解决中点问题.2.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 ( )A.16B.14C.12D.10答案 A 如图所示,设直线AB 的倾斜角为θ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足为A 1,B 1,则|AF |=|AA 1|,|BF |=|BB 1|,过点F 向AA 1引垂线FG ,得|AG ||AF |=|AF |-p|AF |=cos θ, 则|AF |=p 1-cosθ,同理,|BF |=p1+cosθ, 则|AB |=|AF |+|BF |=2p sin 2θ,即|AB |=4sin 2θ,因l 1与l 2垂直,故直线DE 的倾斜角为θ+π2或θ-π2, 则|DE |=4cos 2θ,则|AB |+|DE |=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=4(12sin2θ)2=16sin 22θ,则易知|AB |+|DE |的最小值为16.故选A .方法总结利用几何方法求抛物线的焦半径.如图,在抛物线y 2=2px (p >0)中,AB 为焦点弦,若AF 与抛物线对称轴的夹角为θ,则在△FEA 中,cos θ=cos ∠EAF =|AE ||AF |=|AF |-p|AF |, 则可得到焦半径|AF |=p 1-cosθ,同理,|BF |=p1+cosθ, 熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:1|AF |+1|BF |=2p 等的帮助很大. 3.(2015四川理,10,5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x -5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)答案 D 当直线AB 的斜率不存在,且0<r <5时,有两条满足题意的直线l.当直线AB 的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l. 设圆的圆心为C (5,0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22, ∴k AB =y 2-y 1x 2-x 1=y 2-y 1y 224-y 124=2y 0. ∵k CM =y 0x0-5,且k AB k CM =-1,∴x 0=3.∴r 2=(3-5)2+y 02>4(∵y 0≠0),即r >2.另一方面,由AB 的中点为M 知B (6-x 1,2y 0-y 1), ∵点B ,A 在抛物线上,∴(2y 0-y 1)2=4(6-x 1),①y 12=4x 1,②由①,②得y 12-2y 0y 1+2y 02-12=0, ∵Δ=4y 02-4(2y 02-12)>0,∴y 02<12.∴r 2=(3-5)2+y 02=4+y 02<16,∴r <4.综上,r ∈(2,4),故选D .4.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,则|AB |= ( )A .√303B .6C .12D .7√3答案 C 焦点F 的坐标为(34,0),直线AB 的斜率为√33,所以直线AB 的方程为y =√33(x -34),即y =√33x -√34,代入y 2=3x ,得13x 2-72x +316=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=212,所以|AB |=x 1+x 2+32=212+32=12,故选C .5.(2014江西理,15,5分)过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,若M 是线段AB的中点,则椭圆C 的离心率等于 . 答案√22解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12a 2+y 12b2=1①, x 22a 2+y 22b 2=1②. ①、②两式相减并整理得y 1-y2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x2y 1+y 2.把已知条件代入上式得,-12=-b 2a 2×22, ∴b 2a 2=12,故椭圆的离心率e =√1-b 2a 2=√22.评析本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解的关键.本题也可以利用韦达定理求解.6.(2018课标Ⅲ理,16,5分)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = . 答案 2解析本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为x =y k+1,设A (y 1k+1,y 1),B (y 2k+1,y 2),将直线方程与抛物线方程联立得{x =yk +1,y 2=4x ,整理得y 2-4k y -4=0,从而得y 1+y 2=4k ,y 1·y 2=-4.∵M (-1,1),∠AMB =90°,∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(y1k +2)·(y2k+2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,即k 2-4k +4=0,解得k =2. 解法二:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则{y 12=4x 1,①y 22=4x 2,②②-①得y 22-y 12=4(x 2-x 1),从而k =y 2-y 1x 2-x 1=4y 1+y 2.设AB 的中点为M',连接MM'. ∵直线AB 过抛物线y 2=4x 的焦点,∴以线段AB 为直径的☉M'与准线l :x =-1相切. ∵M (-1,1),∠AMB =90°,∴点M 在准线l :x =-1上,同时在☉M'上, ∴准线l 是☉M'的切线,切点为M ,且M'M ⊥l , 即MM'与x 轴平行,∴点M'的纵坐标为1,即y 1+y 22=1⇒y 1+y 2=2,故k =4y1+y 2=42=2.疑难突破运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.7.(2013浙江理,15,4分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.答案±1解析设直线AB方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和抛物线方程,整理得,y2-4my+4=0,由根与系数关系得y1+y2=4m,y1·y2=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知:√(2m)2+(2m2-1-1)2=2,解得m2=1或m2=0(舍去),故直线l 的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切,为满足题意的极限情况).8.(2019天津文,19,14分)设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分.(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有√3a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=(√32a)2+c2,解得c a=12.所以,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=√3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1.由题意,F (-c ,0),则直线l 的方程为y =34(x +c ). 点P的坐标满足{x 24c2+y 23c 2=1,y =34(x +c ),消去y 并化简,得到7x 2+6cx -13c 2=0,解得x 1=c ,x 2=-13c7. 代入到l 的方程,解得y 1=32c ,y 2=-914c. 因为点P 在x 轴上方,所以P (c ,32c). 由圆心C 在直线x =4上,可设C (4,t ). 因为OC ∥AP ,且由(1)知A (-2c ,0),故t 4=32cc+2c ,解得t =2.则C (4,2).因为圆C 与x 轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C 与l 相切,得|34(4+c )-2|√1+(34)2=2,可得c =2.所以,椭圆的方程为x 216+y 212=1.思路分析 (1)由已知条件,得a 与b 的比例关系,代入a 2=b 2+c 2,得a 与c 的齐次关系,进而求得离心率.(2)设出直线方程(含参数c ),联立直线与椭圆方程(含参数c ),得交点P 的坐标(含参数c ),由k AP =k OC ,求得C 点坐标以及圆的半径r ,最后由圆心到直线距离等于半径列出关于c 的方程,求得c 的值,最终确定椭圆方程.9.(2018课标Ⅲ理,20,12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0).(1)证明:k <-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明:|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列,并求该数列的公差. 解析本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算. (1)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1. 两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m , 于是k =-34m . ① 由题设得0<m <32,故k <-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0). 由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0. 又点P 在C 上, 所以m =34,从而P (1,-32),|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32. 于是|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-1)2+y 12=√(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x 12.同理,|FB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-x 22. 所以|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 即|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列. 设该数列的公差为d ,则2|d |=||FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=12|x 1-x 2|=12√(x 1+x 2)2-4x 1x 2. ②将m =34代入①得k =-1.所以l 的方程为y =-x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2-14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128,代入②解得|d |=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或-3√2128. 思路分析 (1)利用“点差法”建立k 与m 的关系式,由m 的范围得到k 的范围.(2)根据题设FP⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及点P 在C 上,确定m 的值.进一步得出|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的关系,再求公差. 解后反思 (1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程(组),解决相关问题.(2)题中涉及弦的中点坐标时,可以采用“点差法”求解,设出弦端点A 、B 的坐标,分别代入圆锥曲线方程并作差,变形后可出现弦AB 的中点坐标和直线AB 的斜率.10.(2018北京文,20,14分)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆M 的方程; (2)若k =1,求|AB |的最大值;(3)设P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D.若C ,D 和点Q (-74,14)共线,求k.解析 (1)由题意得{a 2=b 2+c 2,c a=√63,2c =2√2,解得a =√3,b =1.所以椭圆M 的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由{y =x +m ,x 23+y 2=1 得4x 2+6mx +3m 2-3=0.所以x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34. |AB |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=√2(x 2-x 1)2=√2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√12-3m 22. 当m =0,即直线l 过原点时,|AB |最大,最大值为√6. (3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得x 12+3y 12=3,x 22+3y 22=3.直线PA 的方程为y =y 1x1+2(x +2).由{y =y1x 1+2(x +2),x 2+3y 2=3,得[(x 1+2)2+3y 12]x 2+12y 12x +12y 12-3(x 1+2)2=0.设C (x C ,y C ). 所以x C +x 1=-12y 12(x 1+2)2+3y 12=4x 12-124x 1+7. 所以x C =4x 12-124x 1+7-x 1=-12-7x 14x 1+7. 所以y C =y 1x1+2(x C +2)=y14x 1+7. 设D (x D ,y D ). 同理得x D =-12-7x 24x2+7,y D =y 24x 2+7. 记直线CQ ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ , 则k CQ -k DQ =y 14x 1+7-14-12-7x 14x 1+7+74-y 24x 2+7-14-12-7x 24x 2+7+74=4(y 1-y 2-x 1+x 2).因为C ,D ,Q 三点共线, 所以k CQ -k DQ =0. 故y 1-y 2=x 1-x 2. 所以直线l 的斜率k =y 1-y 2x 1-x 2=1.11.(2018天津理,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53,点A 的坐标为(b ,0),且|FB |·|AB |=6√2. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l :y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q.若|AQ ||PQ |=5√24sin ∠AOQ (O 为原点),求k 的值.解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2c ,由已知有c 2a 2=59, 又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b.由已知可得,|FB |=a ,|AB |=√2b ,由|FB |·|AB |=6√2,可得ab =6,从而a =3,b =2.所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1>y 2>0,故|PQ |sin ∠AOQ =y 1-y 2. 又因为|AQ |=y2sin ∠OAB ,而∠OAB =π4,故|AQ |=√2y 2. 由|AQ ||PQ |=5√24sin ∠AOQ ,可得5y 1=9y 2.由方程组{y =kx ,x 29+y 24=1,消去x ,可得y 1=√9k +4.易知直线AB 的方程为x +y -2=0,由方程组{y =kx ,x +y -2=0,消去x ,可得y 2=2kk+1.由5y 1=9y 2,可得5(k +1)=3√9k 2+4,两边平方, 整理得56k 2-50k +11=0,解得k =12,或k =1128.所以,k 的值为12或1128.解题关键利用平面几何知识将|AQ ||PQ |=5√24sin ∠AOQ 转化为点P 、Q 坐标间的关系是解决第(2)问的关键.方法归纳求椭圆标准方程的基本方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a 2,b 2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;②根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a 、b 、c 的方程组,注意c 2=a 2-b 2的应用;④解方程组,求得a 、b 的值,从而得出椭圆的方程.12.(2018课标Ⅰ文,20,12分)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM =∠ABN.解析 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM 的方程为y =12x +1或y =-12x -1.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y =k (x -2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0. 由{y =k (x -2),y 2=2x得ky 2-2y -4k =0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=-4.直线BM ,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).①将x 1=y1k +2,x 2=y2k +2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k=-8+8k =0. 所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN. 综上,∠ABM =∠ABN.方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.失分警示 (1)由于忽略点M ,N 位置的转换性,使直线BM 方程缺失,从而导致失分;(2)由于不能将“∠ABM =∠ABN ”正确转化为“k BM +k BN =0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.13.(2017天津文,20,14分)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F (-c ,0),右顶点为A ,点E 的坐标为(0,c ),△EFA 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q 在线段AE 上,|FQ |=32c ,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM ∥QN ,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c. (i )求直线FP 的斜率; (ii )求椭圆的方程.解析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力. (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c +a )c =b 22. 又由b 2=a 2-c 2,可得2c 2+ac -a 2=0,即2e 2+e -1=0.又因为0<e <1,解得e =12.所以,椭圆的离心率为12.(2)(i )依题意,设直线FP 的方程为x =my -c (m >0),则直线FP 的斜率为1m .由(1)知a =2c ,可得直线AE 的方程为x 2c +yc =1,即x +2y -2c =0,与直线FP 的方程联立,可解得x =(2m -2)c m+2,y =3cm+2,即点Q的坐标为((2m -2)c m+2,3c m+2).由已知|FQ |=32c ,有[(2m -2)cm+2+c]2+(3c m+2)2=(3c 2)2,整理得3m 2-4m =0,所以m =43,即直线FP 的斜率为34.(ii )由a =2c ,可得b =√3c ,故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 23c 2=1. 由(i )得直线FP 的方程为3x -4y +3c =0,与椭圆方程联立得{3x -4y +3c =0,x 24c 2+y 23c 2=1,消去y , 整理得7x 2+6cx -13c 2=0,解得x =-13c7(舍去),或x =c.因此可得点P (c ,3c 2),进而可得|FP |=√(c +c )2+(3c 2)2=5c2,所以|PQ |=|FP |-|FQ |=5c 2-3c2=c.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP. 因为QN ⊥FP ,所以|QN |=|FQ |·tan ∠QFN =3c 2×34=9c8,所以△FQN的面积为12|FQ ||QN |=27c 232,同理△FPM的面积等于75c 232,由四边形PQNM 的面积为3c ,得75c 232-27c 232=3c ,整理得c 2=2c ,又由c >0,得c =2.所以,椭圆的方程为x 216+y 212=1.方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求a ,c ,利用定义求解;(2)构造a ,c 的齐次式,利用方程思想求出离心率e 的值.2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k =y 1-y2x 1-x 2(x 1≠x 2),其中两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a =(m ,n ),则k =nm(m ≠0);(4)点差法.3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.14.(2016课标Ⅱ文,21,12分)已知A 是椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点,斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA.(1)当|AM |=|AN |时,求△AMN 的面积; (2)当2|AM |=|AN |时,证明:√3<k <2. 解析 (1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x +2. (2分) 将x =y -2代入x 24+y 23=1得7y 2-12y =0.解得y =0或y =127,所以y 1=127.因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449.(4分)(2)将直线AM 的方程y =k (x +2)(k >0)代入x 24+y 23=1得 (3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-12=0.由x 1·(-2)=16k 2-123+4k 2得x 1=2(3-4k 2)3+4k 2,故|AM|=|x1+2|√1+k2=12√1+k23+4k2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+2),故同理可得|AN|=12k√1+k23k2+4.(7分)由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.又f(√3)=15√3-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(√3,2)内,所以√3<k<2.(12分)评析本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了设而不求,整体运算的技巧,考查了函数的思想方法,属难题.15.(2016四川理,20,13分)已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.解析(1)由已知,a=√2b,则椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1.由方程组{x22b2+y2b2=1,y=-x+3,得3x2-12x+(18-2b2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为x26+y23=1.点T坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l'的方程为y=12x+m(m≠0),由方程组{y =12x +m ,y =-x +3,可得{x =2-2m3,y =1+2m 3.所以P 点坐标为(2-2m 3,1+2m 3),|PT |2=89m 2. 设点A ,B 的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由方程组{x 26+y 23=1,y =12x +m ,可得3x 2+4mx +(4m 2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m 2),由Δ>0,解得-3√22<m <3√22. 由②得x 1+x 2=-4m 3,x 1x 2=4m 2-123.所以|PA |=√(2-2m3-x 1)2+(1+2m 3-y 1)2=√52|2-2m3-x 1|,同理|PB |=√52|2-2m3-x 2|. 所以|PA |·|PB |=54|(2-2m 3-x 1)(2-2m3-x 2)| =54|(2-2m 3)2-(2-2m3)(x 1+x 2)+x 1x 2|=54|(2-2m 3)2-(2-2m 3)(-4m 3)+4m 2-123|=109m 2.故存在常数λ=45,使得|PT |2=λ|PA |·|PB |.评析本题考查了直线与圆锥曲线相交的问题,这类题中常用的方法是方程法,并结合根与系数的关系,两点间距离公式,难点是运算量比较大,注意运算技巧.16.(2016天津文,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 23=1(a >√3)的右焦点为F ,右顶点为A.已知1|OF |+1|OA |=3e|FA |,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H.若BF ⊥HF ,且∠MOA =∠MAO ,求直线l 的斜率.解析 (1)设F (c ,0),由1|OF |+1|OA |=3e |FA |,即1c +1a =3ca (a -c ),可得a 2-c 2=3c 2,又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4.所以,椭圆的方程为x 24+y 23=1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0), 则直线l 的方程为y =k (x -2). 设B (x B ,y B ),由方程组{x 24+y 23=1,y =k (x -2)消去y ,整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x +16k 2-12=0.解得x =2,或x =8k 2-64k 2+3,由题意得x B =8k 2-64k 2+3,从而y B =-12k4k 2+3.由(1)知,F (1,0),设H (0,y H ),有FH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,y H ),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9-4k24k 2+3,12k4k 2+3).由BF ⊥HF ,得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FH ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以4k 2-94k 2+3+12ky H 4k 2+3=0,解得y H =9-4k 212k. 因此直线MH 的方程为y =-1k x +9-4k 212k .设M (x M ,y M ),由方程组{y =k (x -2),y =-1k x+9-4k 212k消去y ,解得x M =20k 2+912(k 2+1).在△MAO 中,∠MOA =∠MAO ⇔|MA |=|MO |,即(x M -2)2+y M 2=x M 2+y M 2,化简得x M =1,即20k 2+912(k 2+1)=1,解得k =-√64,或k =√64.所以,直线l 的斜率为-√64或√64.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.17.(2015福建理,18,13分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点(0,√2),且离心率e =√22.(1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l :x =my -1(m ∈R )交椭圆E 于A ,B 两点,判断点G (-94,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析解法一:(1)由已知得{b =√2,c a =√22,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆E的方程为x 24+y 22=1.(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为H (x 0,y 0). 由{x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my -3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而y 0=mm 2+2.所以|GH |2=(x 0+94)2+y 02=(my 0+54)2+y 02=(m 2+1)y 02+52my 0+2516.|AB |24=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)24=(1+m 2)(y 1-y 2)24=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]4=(1+m 2)(y 02-y 1y 2),故|GH |2-|AB |24=52my 0+(1+m 2)y 1y 2+2516=5m 22(m 2+2)-3(1+m 2)m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0,所以|GH |>|AB |2.故点G (-94,0)在以AB 为直径的圆外. 解法二:(1)同解法一.(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则GA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94,y 1), GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+94,y 2). 由{x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my -3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94)(x 2+94)+y 1y 2=(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+54m (y 1+y 2)+2516=-3(m 2+1)m 2+2+52m 2m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0,所以cos<GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ >>0.又GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以∠AGB 为锐角. 故点G (-94,0)在以AB 为直径的圆外.评析本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 18.(2015安徽理,20,13分)设椭圆E的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a ,0),点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足|BM |=2|MA |,直线OM 的斜率为√510. (1)求E 的离心率e ;(2)设点C 的坐标为(0,-b ),N 为线段AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72,求E 的方程. 解析 (1)由题设条件知,点M 的坐标为(23a ,13b), 又k OM =√510,从而b 2a =√510.进而得a =√5b ,c =√a 2-b 2=2b.故e =c a =2√55. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB 的方程为√5b +yb=1,点N 的坐标为(√52b ,-12b).设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为(x 1,72),则线段NS 的中点T 的坐标为(√54b +x 12,-14b +74).又点T 在直线AB 上,且k NS ·k AB =-1,从而有{ √54b+x 12√5b +-14b+74b=1,72+12b x 1-√52b =√5,解得b =3.所以a =3√5,故椭圆E 的方程为x 245+y 29=1.评析本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.19.(2014课标Ⅰ理,20,12分)已知点A (0,-2),椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF的斜率为2√33,O 为坐标原点.(1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 解析 (1)设F (c ,0),由条件知,2c =2√33,得c =√3.又c a =√32,所以a =2,b 2=a 2-c 2=1.故E 的方程为x 24+y 2=1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意,故设l :y =kx -2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2). 将y =kx -2代入x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2-16kx +12=0.当Δ=16(4k 2-3)>0,即k 2>34时,x 1,2=8k±2√4k 2-34k 2+1. 从而|PQ |=√k 2+1|x 1-x 2|=4√k 2+1·√4k 2-34k 2+1.又点O 到直线PQ 的距离d =√k +1,所以△OPQ 的面积S △OPQ =12d ·|PQ |=4√4k 2-34k 2+1.设√4k 2-3=t ,则t >0,S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t . 因为t +4t≥4,当且仅当t =2,即k =±√72时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为y =√72x -2或y =-√72x -2.评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线的方程以及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线综合问题,考查方程思想、函数思想、整体代换以及换元法的应用.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.20.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A ,B 为曲线C :y =x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 解析本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4,。

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。

2023届高三数学一轮复习专题直线与圆锥曲线的综合运用讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

新高考核心考点与题型圆锥曲线第4讲直线与圆锥曲线相交 - 解析

第4讲直线与圆锥曲线相交基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b+=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b-=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨-=⎩，消元代入后可得： ()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。

所以要分情况进行讨论当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。

2024届高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系-第1课时+直线与椭圆的位置关系

A. B. C. D.
3. （2022山东菏泽期末）第24届冬季奥林匹克运动会闭幕式于2022年2月20日在国家体育场（鸟巢）举行.国家体育场的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两层的钢骨架是离心率相同的椭圆.假设内层椭圆的标准方程为，外层椭圆的标准方程为
A
A. B. C. D. 不确定
，若由外层椭圆上的一点向内层椭圆引切线，，且两切线斜率都存在，则两切线斜率的积等于( )
例1 已知点，椭圆的离心率为 , 是椭圆的右焦点，直线的斜率为2，为坐标原点.
（1）求的方程；
[解析] 由离心率，得，直线的斜率为，解得，，，∴椭圆的方程为 .
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求的值.
A. 或1 B. C. D.
B
[解析] 由题意知，即，所以点在椭圆的内部.故所求交点个数是2.
2. 已知直线和椭圆有公共点，则的取值范围是( )
A. 或 B. C. 或 D.
C
[解析] 由得 ,∵直线与椭圆有公共点， ,解得或 .
①若，则当圆锥曲线是双曲线时，直线与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线与抛物线的对称轴平行或重合.
②若，则，时，直线和圆锥曲线相交于不同两点. 时，直线和圆锥曲线相切于一点. 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离.
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设斜率为的直线与圆锥曲线相交于，两个不同的点，则 . 或提醒解决直线与椭圆、双曲线的位置关系问题的规律：联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘.
第八节直线与圆锥曲线的位置关系
第1课时直线与椭圆的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)

直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳直线和圆锥曲线是几何学中常见的两种基本图形，它们的位置关系十分复杂。

在学习和研究数学问题时，了解它们的位置关系具有重要意义。

下面将总结归纳直线和圆锥曲线的位置关系。

一、直线与椭圆的位置关系1. 直线不经过椭圆：直线与椭圆没有交点，此时直线和椭圆之间没有任何位置关系。

2. 直线与椭圆相切于一点：直线与椭圆相切于一点，此时直线与椭圆的位置关系为切线。

3. 直线与椭圆相交于两点：直线与椭圆相交于两个点，此时直线与椭圆的位置关系是两个交点的连线。

4. 直线穿过椭圆：直线与椭圆相交于四个点，此时直线与椭圆的位置关系是四个交点的连线。

二、直线与双曲线的位置关系1. 直线不经过双曲线：直线与双曲线没有交点，此时直线和双曲线之间没有任何位置关系。

2. 直线与双曲线相切于一点：直线与双曲线相切于一点，此时直线与双曲线的位置关系为切线。

3. 直线与双曲线相交于两点：直线与双曲线相交于两个点，此时直线与双曲线的位置关系是两个交点的连线。

4. 直线穿过双曲线：直线与双曲线相交于四个点，此时直线与双曲线的位置关系是四个交点的连线。

三、直线与抛物线的位置关系1. 直线不经过抛物线：直线与抛物线没有交点，此时直线和抛物线之间没有任何位置关系。

2. 直线与抛物线相切于一点：直线与抛物线相切于一点，此时直线与抛物线的位置关系为切线。

3. 直线与抛物线相交于一个点：直线与抛物线相交于一个点，此时直线与抛物线的位置关系为交点。

4. 直线穿过抛物线：直线与抛物线相交于两个点，此时直线与抛物线的位置关系是两个交点的连线。

通过以上总结，我们可以看出，直线和圆锥曲线的位置关系与它们之间的交点有关，交点的个数和位置决定了它们的位置关系。

这对于学习和研究圆锥曲线成立方程、性质等问题非常有帮助。

2022届高考数学总复习：直线与椭圆的位置关系

2022届高考数学总复习：直线与椭圆的位置关系1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以4m 2＋n2＞2，所以m 2＋n 2＜4.所以m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2≤1，所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个．2．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2D ．2解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴S △F 1PF 2＝12mn ＝1.5．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥2解析：选ABC 由题意，得⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝32，4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2.故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1，A 正确；由于k OM ＝1－02－0＝12，B 正确；∵直线l 的斜率k＝k OM ＝12，又l 在y 轴上截距为m ，所以l 的方程为y ＝12x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同点，所以Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＞0，解得－2＜m ＜2.∴C 正确，D 错误．6．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线解析：选BC 设P (x 0，y 0)，x 20a 2＋y 20b 2＝1，则k PB 1·k PB 2＝y 0＋b x 0·y 0－b x 0＝y 20－b 2x 20＝－b 2a2，因此A 不正确；∵点P 在圆x 2＋y 2＝b 2外，∴x 20＋y 20－b 2＞0，∴PB 1―→·PB 2―→＝(－x 0，－b －y 0)·(－x 0，b －y 0)＝x 20＋y 20－b 2＞0，B正确；当点P 在长轴的顶点A 时，∠B 1PB 2最小且为锐角，设△PB 1B 2的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：2r ＝2b sin ∠B 1PB 2≤2b sin ∠B 1AB 2＝2b sin 2∠OAB 2＝2b 2ab a 2＋b 2＝a 2＋b 2a .∴r ≤a 2＋b 22a .∴△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22a ，C 正确；直线PB 1的方程为y ＋b ＝y 0＋bx 0x ，直线QB 2的方程为y －b ＝y 0－b －x 0x ，两式相乘可得y 2－b 2＝y 20－b 2－x 20x 2，化为y 2b 2－x 2a 2＝1，由于点P不与B 1，B 2重合，∴M 的轨迹为双曲线的一部分，∴D 不正确．故选B 、C.7．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．解析：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.答案：x 225＋y 275＝18．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12.答案：－129．已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．解析：由题意知c ＝1，离心率e ＝ca ，因为P 在直线l ：y ＝x ＋2上移动，所以2a ＝|P A |＋|PB |.点A 关于直线y ＝x ＋2的对称点C ，设C (m ，n )，则⎩⎨⎧nm ＋1＝－1，12n ＝12(m －1)＋2解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1即有C (－2,1)，则2a ＝|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |≥|BC |＝10，当C ，P ，B 共线时，a 有最小值102，对应的离心率e 有最大值105. 答案：10510．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0， Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2，所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52.答案：(1)x 24＋y 23＝1 (2)5211．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m 2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.12．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E上时，求直线l 的方程．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2，即k ＝±2，此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.13．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)．14．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．解析：由e ＝12，得a ＝2c ，易知|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，由余弦定理，得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos A ＝|F 1F 2|2，即4＋(2a －2)2－2×2×(2a －2)×12＝a 2，解得a ＝2，则c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k 3＋4k 2， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又M ⎝⎛⎭⎫0，18，则k MN ＝18＋3k 3＋4k 20－4k 23＋4k 2＝－24k ＋3＋4k 232k 2.∵MN ⊥PQ ，∴k MN ＝－1k ，得k ＝12或32，则k MN ＝－2或k MN ＝－23，故直线MN 的方程为16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝0.答案：x 24＋y 23＝1 16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝015.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．解：(1)因为点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，所以|AF 1|＝|BF 2|.又|AF 1|＋|BF 1|＝4，所以|BF 2|＋|BF 1|＝2a ＝4，所以a ＝2.又∠F 1AF 2的最大值为π3，知当A 为上、下顶点时，∠F 1AF 2最大，所以a ＝2c ，所以c＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线NA 斜率存在，设直线NA 的方程为y ＝k (x ＋4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋4)，x 24＋y 23＝1消去y 并整理得(4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0.因为直线与椭圆交于两点，所以Δ＝(32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)＞0，解得－12＜k ＜12.设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.①直线A ′E 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)，令y ＝0，得x M ＝x 2y 1－x 1y 1y 1＋y 2＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1＋x 2＋8，②由①②得x M ＝2(64k 2－12)－128k 2－32k 2＋8(4k 2＋3)＝－1.所以点M 为左焦点F 1(－1,0)．因此|NF 1|＝3，|MF 2|＝2，所以|NF 1|·|MF 2|＝6.16．在圆O ：x 2＋y 2＝4上取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆O 上运动时，设线段PD 中点M 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)试问在曲线E 上是否存在M ，N 两点关于直线l ：y ＝kx ＋305对称，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设M (x ，y )，则点P (x,2y )，将P (x,2y )代入圆O ：x 2＋y 2＝4，可得x 2＋4y 2＝4，∴曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)显然，直线MN 斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝－1kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋m ，x 2＋4y 2＝4消去y 并整理得(k 2＋4)x 2－8mkx ＋4k 2·(m 2－1)＝0，Δ＝(－8mk )2－16k 2(k 2＋4)(m 2－1)＞0，化为k 2＋4＞k 2m 2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8mkk 2＋4，x 1x 2＝4k 2(m 2－1)k 2＋4.依题意得OM ⊥ON ，即OM ―→·ON ―→＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1k x 1＋m ⎝⎛⎭⎫－1k x 2＋m ＝1k 2x 1x 2－m k (x 1＋x 2)＋m 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2x 1x 2－mk (x 1＋x 2)＋m 2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24k 2(m 2－1)k 2＋4－m k ·8mk k 2＋4＋m 2＝0，解得k 2＝45m 2－4.又MN 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝kx ＋305上，∴y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋305，∴－1k x 1＋m －1k x 2＋m 2＝k ·x 1＋x 22＋305，化为3mk 2k 2＋4＋305＝0，把k 2＝45m 2－4代入化为10m 2＋30m －6＝0，解得m ＝3010(舍去)或m ＝－305， ∴k 2＝45×⎝⎛⎭⎫－3052－4＝2，解得k ＝±2，满足k 2＋4＞k 2m 2，即满足Δ＞0.∴在曲线E 上存在两点M ，N 关于直线l ：y ＝kx ＋305对称，且以MN 为直径的圆恰好30经过坐标原点，直线l的方程为y＝±2x＋5.。

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则，
又点和点在椭圆上， ①， ②，
① ②得，易知，则，得，
，，D错误.
故选：BC.
10．若直线l被圆所截得的弦长不小于，则在下列曲线中，与直线l一定会有公共点的曲线是（）
A． B． C． D．
【解析】设直线l的方程为，
由题知，圆M的圆心到直线l的距离为，
对于A，∵抛物线，开口向右，顶点在原点，
设椭圆的方程为：，因为椭圆过点，可得，
又由及，解得，，所以椭圆的方程为 .
方法二：由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
所以，得，
所以，所以椭圆的方程为 .
（2）当直线与x轴重合时不满足题意；
当直线与x轴不重合时，设直线方程为，由，
消化简得，设，得，
因为弦中点在直线，所以解得，
A． B． C． D．
【解析】由知椭圆焦点在x轴上，故，，椭圆方程为，
设，则B在直线上，，，
联立，化简得，则，，
则的面积为
，解得，故选：C.
二、多选题
9．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（）
A．的最小值为2B．面积的最大值为
A． B． C． D．
【解析】由椭圆的方程可得，，所以，
所以下焦点，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，
设，，联立，整理可得：，
可得：，，
所以，
设，则，
因为，所以单调递增，所以，所以，故选：C.
8．已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点， .当的面积为时，则的值为（）.
由消去y并整理得：，
设，，则，，
于是得，
而，则线段的中点坐标为，
因为点在轴上，且，则为线段的垂直平分线与轴的交点，
当时，，，则，
当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，则有，于是得，
当直线的斜率不存在时，，取或能满足，
综上所述，存在实数满足题意.
设，，则，．
直线与的斜率之和
．
因此直线与的斜率之和为定值．
22．已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．
【解析】（1）由圆的面积为，可得，即；
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，
所以△ABF面积的最大值为12.故选：D
5．已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（）
A． B． C． D．
【解析】设与直线平行的直线：，
联立，消可得，
，解得，所以所求直线为或，
直线与直线的距离为 .
直线与直线的距离为 .
所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为，故选：C
6．直线被椭圆截得最长的弦为（）
A． B． C． D．
【解析】联立直线和椭圆，可得，
解得或，则弦长，
令，则，
当，即，取得最大值，故选：B
7．已知F是椭圆的下焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的取值范围是（）
B．椭圆E的离心率为
C．曲线经过E的一个焦点
D．直线与E有两个公共点
【解析】设，则，
所以 .
于是，
当且仅当时取等号，依题意，得，解得，
故E的方程为，A正确；
离心率为，B错误；
焦点为，曲线经过焦点，C正确；
直线过点，且点在E内，
故直线与E有两个公共点，D正确.
故选：ACD.
∴取直线l为，易知直线与抛物线无交点，故A错误.
对于B，满足到圆M的圆心距小于等于1的点的轨迹为单位圆围成的封闭区域，直线l一定过这个单位圆内的一点，椭圆的，，所以单位圆一定在椭圆内部，故直线l一定与椭圆相交，故B正确.
对于C，双曲线的顶点坐标为，开口向左右两边，同样取直线l为，易知直线与双曲线无交点，故C错误.
故答案为：且
14．直线交抛物线于A，B两点．若AB的中点横坐标为2，则弦长为______
【解析】设，易知k=0不合题意，将直线代入抛物线方程得：，所以，
因为AB的中点横坐标为2，所以，
所以，则 .
15．已知，则的最值为_________.
【解析】满足题设的点的轨迹是定点，的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在、长半轴a满足，即 .线段长为，即，所以椭圆的短半轴长 .又椭圆长轴所在直线方程为 .如图可知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过 .
21．已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．
（1）求的值；
（2）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．
【解析】（1）由椭圆的方程可得，，
由题意可得，解得或．
当时，点，都在直线的下方，不符合题意，
故．
（2）联立消去可得，
所以直线的方程为或 .
19．设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．
【解析】（1）设F(－c，0)，由，知．
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，
2022
专题01直线与椭圆的位置关系
一、单选题
1．已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（）
A． B． C． D．
【解析】设 , 则 ,
点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 曲线的方程是：
设与直线平行且与曲线相切的直线方程为 .由得，，，，
当时，，；当时，，；又中靠近的点应该在椭圆的下方，曲线上到直线的距离最近的点的坐标是 .
故选：
2．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（）
A． B． C． D．
【解析】由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝ .故选：A.
3．椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）．
A． B． C． D．
【解析】联立椭圆方程与直线方程，得，，
解得，于是，解得，又，从而，c＝1，
所以椭圆的方程为．
（2）设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．
求解可得x1＋x2＝，x1x2＝．因为A( ，0)，B( ，0)，
对C,如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为 ,故C正确.
对D,设则 .
又由C可知直线的斜率为 ,故 .所以 .
故 .故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．当k变化时，直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是___________
【解析】直线过定点，因为直线与椭圆总有公共点，
所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，即，且，解得且，
C．直线的斜率为 D．为钝角
【解析】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，
则四边形为平行四边形，，
，
当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由得，，
的面积，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，设，则，，
故直线的斜率，C正确；
对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，
即，解得 .
椭圆上任意一点均满足 .
由，
得的最大值为，最小值为 .
16．已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是______．
【解析】由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值．
当为椭圆的右顶点时，最小，此时，
此时恰为椭圆的左顶点，最大，此时，此时的最小值为，
12．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是
A．四边形为平行四边形B．
C．直线的斜率为 D．
【解析】对A,根据椭圆的对称性可知, .故四边形为平行四边形.
故A正确.
对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时, .此时 .由题意可知不可能在上下顶点,故 .故B正确.
对于D，单位圆圆心到圆的圆心的距离为1，小于两圆半径差，故两圆呈内含关系，直线l一定过圆内一点，故直线l一定与圆相交.故D正确.
故选：BD.
11．已知P是椭圆上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率分别为，，若的最小值为1，则下列结论正确的是（）
A．椭圆E的方程为
又椭圆的右焦点为，故，
联立方程组，解得，所以椭圆的方程为 .
（2）当直线的斜率存在且不为0时，可设，
联立方程组，整理得，
解得，，所以，
而圆心到直线的距离，，
所以，
当且仅当，即时取等号；
当直线的斜率不存在时，，可得，
当直线的斜率为0时，重合，与题意不符；