2021届高考数学(理)客观题重难点专题08 圆锥曲线(题型突破)(原卷版)
高考数学复习热点08 数列与不等式(原卷版)-2021年高考数学专练(新高考)
热点08 数列与不等式【命题趋势】在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题中新高考比以往的考察有了很大的改变，以前是三角和数列在17题交替考查，现在作为主干知识必考内容，考察位置是17或18题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列均属于解答题第一题或第二题的位置，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式内容新教材删除了线性规划和不等式选讲，新高考主要考察不等式性质和基本不等式。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））设等差数列的前项和为，且{}n a n n S ，则的值为（ ）1144S =378a a a ++A ．11B ．12C ．13D ．142．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，{}n a 1231a a a ++=，则（ ）234+2a a a +=678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．323．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））等差数列的前项和为,且，.设{}n a n n S 10a >500S =，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为（ ）()*12n n n n b a a a n N ++=∈{}nb n nT n A ．23B ．25C ．23或24D ．23或254．（2020·广西高三一模（理））已知数列，，则（ ）21131322n n n a a a --=++12a =()25log 1a +=A ．B ．C ．D ．263log 331-231log 315-363log 231-331log 215-5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，11a d≤b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能成立的是（ ）n *∈N A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．D ．2428a a a =2428b b b =6．（2020·江苏宝应中学高二期中）若a ，b 为正实数，且，则的最小值为（ ）1123a b +=3a b +A ．2B ．C ．3D ．4327．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且{}n a n n S ，，，则的通项公式为（ ）12n n S a n +=+-*n N ∈12a ={}n a A ．B ．C ．D ．121n n a -=-12n n a -=121n n a -=+2nn a =8．（2020·贵州高三其他模拟（理））已知是双曲线的半焦距，则的最c 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>a b c+大值是（ ）A BC D9．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知正项等比数列满足，，又为数{}n a 112a =2432a a a =+n S 列的前项和，则（ ）{}n a n 5S =A ． 或B ．312112312C ．D ．15610．（2020·河南焦作·高三一模（理））在等比数列中，，，则（{}n a 11a =427a =352a a +=）A ．45B ．54C ．99D ．8111．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若{}n a 12a =m n m n a a a +=，则（ ）155121022k k k a a a ++++++=- k =A ．2B ．3C ．4D ．512．（2020·江西高三二模（理））已知等比数列的首项，公比为，前项和为，则“{}n a 10a >q n n S”是“”的（ ）1q >3542S S S +>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知数列的前n 项和，则{}n a ()212,1n n S n a n a =≥=n a =（ ）A ．B ．C ．D ．()21n n +22(1)n +121n-121n -二、多选题14．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．B ．2212a b +≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-+≤15．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知数列{a n }满足：0＜a 1＜1，．则下列说()14n n n a a ln a +-=-法正确的是（ ）A ．数列{a n }先增后减B ．数列{a n }为单调递增数列C ．a n ＜3D ．202052a >三、填空题16．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈17．（2020·广西高三一模（理））已知数列和满足，，，{}n a {}n b 12a =11b =1n n n a b b ++=.则＝_______.114n n n a b a +++=20211008b a 18．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知，若不等式对140,0,1m n m n >>+=24m n x x a +≥-++已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_________．,m n x a 19．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.若，数列满足，前n 项和为，sin sin sin B A C ={}n a 32|cos |2nn a nB =n S 2nS =__________.20．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取,a b 1()(2)2f x x x x =+>-x a =得最小值，曲线在点处的切线与直线_____2ln(1)y x =+()0,0y bx =a b +=四、解答题21．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在①；②为等差数列，其中成131n n n a a a +=+1{}n a 236111,1,a a a +等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答2123111132n n na a a a -++++= 补充完整的题目.已知数列中，______.{}n a 11a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设为数列的前项和，求证：.1,n n n n b a a T +={}n b n 13n T <注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．（2020·安徽高三其他模拟（理））已知公比大于的等比数列满足，，1{}n a 2312a a +=416a =.2log n n b a =（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）若数列的前项和为，求的前项和.{}n b n n S ()()*12n nnn a c n S -=∈N n n T 23．（2020年天津高考数学卷）已知为等差数列，为等比数列，{}n a {}n b ．()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）记的前项和为，求证：；{}n a n n S ()2*21n n n S S S n ++<∈N （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．n ()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数{}n c 2n 24．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，．1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且，求q 与{a n }的通项公式；0q >1236b b b +=（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．0d >1211n c c c d +++<+*()n N ∈25．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））已知数列为公差不为零的等差数列，且，{}n a 23a =1a 3a ，成等比数列.7a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.{}n b 110101n n n b a a +=+{}n b n n S 12n S <。
(2021年整理)高考数学圆锥曲线专题复习.资料
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圆锥曲线一、知识结构1。
方程的曲线在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f（x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x，y）=0，则点P0（x0，y0）在曲线C上⇔f(x0，y 0)=0;点P0(x0,y0）不在曲线C上⇔f（x0,y0）≠0两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1（x,y）=0,f2（x,y）=0，则f1（x0,y0)=0点P0（x0,y0)是C1,C2的交点⇔f2（x0,y0） =0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2。
圆圆的定义:点集：｛M ｜|OM ｜=r},其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： （1）标准方程圆心在c(a ，b ）,半径为r 的圆方程是(x —a ）2+（y-b ）2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2）一般方程当D 2+E 2—4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ）,半径是24F-E D 22+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为（x+2D ）2+（y+2E ）2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点（-2D ,—2E）； 当D 2+E 2—4F ＜0时，方程不表示任何图形。
2021届高考数学(理)客观题重难点专题07 圆锥曲线(考点精讲)(原卷版)
专题07 圆锥曲线-考点精讲重点突破——圆锥曲线性质的2个常考点考法(一) 椭圆、双曲线的离心率的求值及范围问题1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax . [典例] (1)已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP ―→⊥BP ―→，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，2)D ．(1， 2 ] (2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解题方略]椭圆、双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[针对训练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22 B ．2－3 C.5－2D.6－32．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF ―→1·NF ―→1＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)考法(二) 圆锥曲线中的最值问题[典例] (1)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22 D ．1 (2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3,2)，则|P A |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．[解题方略]圆锥曲线中最值问题的求解策略(1)利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值．(2)求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即为所求．(3)利用基本不等式求最值．[针对训练]1．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋3172．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3失误防范——警惕圆锥曲线中的3个易错点1．忽略直线斜率不存在情况致误直线与圆锥曲线位置关系问题中，易忽视直线的斜率不存在这一情形.[练1] 过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．忽略条件致误应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中的条件而导致错误.[练2] 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．3．忽略焦点的位置致误当焦点位置没有明确给出时，应对焦点位置进行分类讨论，椭圆、双曲线有两种情况，抛物线有四种情况.[练3] 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.。
2021年高考数学专题10 圆锥曲线 (原卷版)
专题10 圆锥曲线易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”如图，已知点0(1)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅，求动点P 的轨迹．【错解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ．【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别． 【试题解析】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ． 故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点(),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程．（4）参数法：若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．1．已知定点(1,0)A -及直线:2l x =-,动点P 到直线l 的距离为d ,若||PA d =. （1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）设,M N 是C 上位于x 轴上方的两点，B 坐标为(1,0),且AM BN ∥,MN 的延长线与x 轴交于点(3,0)D ,求直线AM 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）(1)2y x =+.【解析】（1）设(,)P x y ，则由(1,0)A -，知||PA = 又:2l x =-，∴|2|d x =+，2=∴2221(1)(2)2x y x ++=+， ∴2222x y +=，∴点P 的轨迹方程为2212x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ()120,0y y >>，∵(1,0)(1,0),(3,0)A B D -，， ∴B 为AD 中点， ∵//AM BN ，∴1212,322x x y y +==， ∴1223x x =-，又221112x y +=，∴()222223412x y -+=， 又222212x y +=，∴2151,42x x ==-，∵0y >，∴14y =，∴1112AM y k x ==+， ∴直线AM的方程为1)2y x =+. 【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．易错点2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围已知曲线C ：y＝x 2－2x ＋2和直线l ：y ＝kx (k ≠0)，若C 与l 有两个交点A 和B ，求线段AB 中点的轨迹方程.【错解】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2，y ＝kx ，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有12212212121x x x k y y k y k +⎧==⎪⎪-⎨+⎪==⎪-⎩，故线段AB 中点的轨迹方程为220x y x --=.【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y 的允许范围，故应对x ，y 加以限制．【试题解析】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2y ＝kx，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝11－k 2， ③y ＝y 1＋y 22＝k1－k 2， ④又对②应满足222212221221044(2)(1)0201201k k k k k y y k k y y k ∆⎧-≠⎪=-⨯-⨯->⎪⎪⎨+=>-⎪⎪⎪=>-⎩，解得22<k <1.结合③④，则有x >2，y > 2.所以所求轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2)． 【参考答案】轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2).1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x ,y的取值范围.2．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x yD ．221(1)8y x x -=≥【答案】B【解析】设动圆的圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ， 则由题意可得121,3MC r MC r =+=+，相减可得21122MC MC C C -=<，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支， 由题意可得22,3a c ==，所以b =，故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=≤-，故选B.【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件若方程22186x y k k +=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为________________．【错解】由8060k k ->⎧⎨->⎩，可得68k <<，所以实数k 的取值范围为(6，8)．【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a ＞b ＞0这一限制条件，当a ＝b ＞0时表示的是圆的方程．【试题解析】由806086k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得68k <<且7k ≠，所以实数k 的取值范围为(6，7)∪(7，8)．【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．【参考答案】(6，7)∪(7，8)．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.3．已知F 1，F 2为两定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段【答案】D【解析】虽然动点M 到两个定点F 1，F 2的距离为常数8，但由于这个常数等于|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D ．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F 1F 2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点M 的轨迹是椭圆.易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为2221(0)36x ykk+=>，并且焦距为8，则实数k的值为_____________．1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.②表示焦点在y 轴上的椭圆⇔0,0m n >>且m n <； ③表示椭圆⇔0,0m n >>且m n ≠．对于形如：Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B )的椭圆的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况，当B ＞A 时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当B ＜A 时，表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B ).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.4．关于曲线C ：222214x y a a +=-性质的叙述，正确的是A ．一定是椭圆B ．可能为抛物线C ．离心率为定值D ．焦点为定点【答案】D【解析】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B 错误；因为24a -可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则()22244c a a =--=，∴2c =，2e a=，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-，为定点. 若曲线为双曲线，方程为222214x y a a-=-，则()22244c a a =+-=，∴2c =，2e a =，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-为定点，故选D.【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想.易错点5 忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率32e =，已知点3(0,)2P 到椭圆的最远距离为7，求椭圆的标准方程．1．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的范围就是方程中变量x,y的范围，由22221x ya b+=得222211x ya b=-≤，则||x a≤；222211y xb a=-≤，则||y b≤.故椭圆落在直线x=±a，y=±b围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x，y的取值范围.2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处． 3．（1）解决椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有：①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0<e <1；③一元二次方程有解，则判别式0∆≥.（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种： ①利用定义转化为几何问题处理；②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理； ③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；④利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x 、y 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)B ，且过点2P ． （1）求椭圆C 的方程及其离心率；（2）斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点，当直线,OM ON 的斜率之积是不为0的定值时，求此时MON △的面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=，2e =；（2）1. 【解析】（1）由题意可得1b =．又2P 在椭圆C 上，所以22212a +=，解得2a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，所以c C 的离心率2c e a ==.（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222418440k x kmx m +++-=， 所以22222(8)4(41)(44)6416160km k m k m ∆=-+-=-+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k --+==++． ()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++===222222244841414441m kmk km m k k m k --⨯+⨯+++=-+222444m k m -=-， 由题意，OM ON k k 为定值，所以21444k -=-，即214k =，解得12k =±．此时MN===， 点O 到直线y kx m =+的距离|5m d =．11||22MON S MN d m ==△== 显然，当21m =（此时214k =，21m =满足226416160k m ∆=-+>），即1m =±时，S 取得最大值，最大值为1．易错点6 忽略双曲线定义中的限制条件已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，点P 的轨迹分别为A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线； 当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．6．如图，在ABC △中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【答案】221(26x y x -=>．【解析】由题意可得(A -，B ．因为2sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得||||||22BC AB AC +=，故|||||12|||AC BC AB AB -=<=， 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为22221()x y x a a b-=>，因为a =c =2226b c a =-=，故所求轨迹方程为221(26x y x -=>．【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．易错点7 忽略双曲线中的隐含条件已知M 是双曲线2216436x y -=上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且1||17MF =，则2MF =_____________．1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d c a ≥-这一隐含条件．2．双曲线方程中,a b 的大小关系是不确定的，但必有0,0c a c b >>>>.3．由22221(0,0)x y a b a b-=>>,知x 2a2≥1,所以x ≤-a 或x ≥a ,因此双曲线位于不等式x ≥a 和x ≤-a 所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.7．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若1=3PFQ π∠,则双曲线的离心率e 等于 A 1 BC 1D 2+【答案】B【解析】由双曲线的对称性可知，12PF F △是以点2F 为直角顶点，且126PF F π∠=，则122PF PF =，由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==， 在12Rt PF F △中，212122tan 2PF a PF F F F c ∠===c e a∴== B. 【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题.易错点8 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论已知双曲线的渐近线方程是23y x=±，焦距为226，求双曲线的标准方程． 2b1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.8．已知双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，且过点()12P ，--，则该双曲线的标准方程为__________．【答案】22133y x -=【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，可设双曲线方程为()220x y λλ-=≠，∵双曲线过点()12P ，--，∴14λ-=，即3λ=-．∴所求双曲线方程为22133y x -=，故答案为22133y x -=．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．易错点9 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况若过点(1,1)P 且斜率为k 的直线l 与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则k =___________．【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐21． 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线． （2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．9．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点． 【答案】见解析．【解析】由22416x y y kx -==⎧⎨⎩消去y 得22(4)160k x --= ①，当240k -=，即2k =±时，方程①无解；当240k -≠时，2204(4)(16)64(4)k k ∆=---=-， 当0∆>，即22k -<<时，方程①有两解； 当0∆<，即2k <-或2k >时，方程①无解； 当0∆=，且240k -≠时，这样的k 值不存在．综上所述，（1）当22k -<<时，直线与双曲线有两个公共点； （2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的k 值； （3）当2k ≤-或2k ≥时，直线与双曲线没有公共点．【名师点睛】研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．易错点10 忽略抛物线定义中的限制条件已知点P 到F (4，0)的距离与到直线5x =-的距离相等，求点P 的轨迹方程．【参考答案】2189y x =+.1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．2．抛物线定义中要求直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．因此当动点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．10．已知圆C 的方程22100x y x +-=，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】220(0)y x x =>或)00(y x =<．【解析】设P 点坐标为(x ，y )，动圆的半径为R ，∵动圆P 与y 轴相切，∴R x =，∵动圆与定圆C ：2252)5(x y -+=外切，∴5PC R =+，∴5PC x =+．当点P 在y 轴右侧，即x ＞0时，5PC x =+，点P 的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P 的轨迹方程为220(0)y x x =>；当点P 在y 轴左侧，即x ＜0时， 5PC x =-+，此时点P 的轨迹是x 轴的负半轴，即方程)00(y x =<．故点P 的轨迹方程为220(0)y x x =>或)00(y x =<．【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定义求解，利用抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离，需要依据条件进行转化．易错点11 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程.【错解】易知准线方程为x ＝－m4，因为准线与直线x ＝1的距离为3， 所以准线方程为x ＝－2， 所以－m4＝－2，解得m ＝8，故抛物线方程为y 2＝8x .【错因分析】题目条件中未给出m 的符号，当m >0或m <0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周到．【试题解析】当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－(－m4)＝3，所以m ＝8.此时抛物线方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x . 【参考答案】y 2＝8x 或y 2＝－16x .1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：图 形标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦点坐标(,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =注：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0． 2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.11．顶点在原点，且过点(1,1)-的抛物线的标准方程是A ．2y x =-B ．2x y =C ．2y x =-或2x y =D ．2y x =或2x y =-【答案】C【解析】当焦点在x 轴上时，设方程为2y ax =，将(1,1)-代入得1a =-，2y x ∴=-；当焦点在y 轴上时，设方程为2x ay =，将(1,1)-代入得1a =，2x y ∴=．故选C ．本题若只考虑焦点在x 轴的负半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在y 轴的正半轴上的情况，则会出现漏解．易错点12 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求过定点(11)P -,，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线l 的方程．直线l y kx b =+：与抛物线22(0)y px p =>公共点的个数等价于方程组22y x p bxy k ⎧⎨==+⎩的解的个数．（1）若0k ≠，则当0∆>时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0∆＝时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0∆<时，直线和抛物线相离，无公共点．（2）若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设x m =，则当0m >时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；当0m =时，直线l 与抛物线相切，有一个公共点；当0m <时，直线l 与抛物线相离，无公共点．12．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．故选A ．本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉k =0.一、曲线与方程 1．求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 2．两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.二、椭圆 1．椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.3．椭圆的几何性质标准方程22221x y a b +=(a ＞b ＞0) 22221y x a b +=(a ＞b ＞0) 图形范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1 (－c ，0)，右焦点F 2 (c ，0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --三、双曲线 1． 双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支；当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+.（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+． 3．双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0) 22221y x a b -=(a ＞0，b ＞0) 图形范围 ||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0)下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )顶点12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -轴线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率e22c ce a a==(1)e >在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2PF PF a -=的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用． 4．等轴双曲线四、抛物线 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>；（2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->；（3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>；（4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 3．抛物线的几何性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 形几 何 性质范 围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R0,y x ≥∈R0,y x ≤∈R对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称焦点(,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =顶 点 坐标原点(0，0)离心率1e =4．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->。
2021年浙江省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线
2021年浙江省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线2021年浙江省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线1．已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），过点E(a 2c ，0)的直线与椭圆相交于点A ，B 两点（两点均在x 轴的上方），且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝7|F 2B |．（1）若b ＝1，求椭圆的方程；（2）直线AB 的斜率；（3）求∠F 1AF 2的大小．【解答】解：（1）由AF 1∥F 2B ，|F 1A |＝7|F 2B |，得 a 2cc a 2c +c =17，从而得 3a 2＝4c 2，又 b ＝1，所以 3（c 2+1）＝4c 2，解得 c 2＝3，a 2＝4，所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1．（2）由（1）知，b 2=a 2?c 2=13c 2，所以椭圆的方程可以写为 3x 2+12y 2＝4c 2，由已知设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且 y 1＞0，y 2＞0，直线 AB 的方程为 x =my +a 2c，即 x =my +4c 3(m ＜0)，则它们的坐标满足方程组 {x =my +4c 33x 2+12y 2=4c2，消去 x 整理，得 (3m 2+12)y 2+8mcy +4c 23=0，根据题意，△＞0，m ＜?2√33，且 y 1+y 2=?8mc 12+3m 2，y 1y 2=4c 23(12+3m 2)，由题设知，AE →=7BE →，所以 y 1＝7y 2，联立三式，计算得出 y 1=?7mc 12+3m 2，y 2=?mc 12+3m 2，将结果代入韦达定理中计算得出m =?4√33 满足题意，所以直线 AB 的斜率为 k =?√34．（3）由（2）得，y 1=?7mc 12+3m 2=√33c ，x 1=0，所以 A(0，√33c)，所以tan∠F 1AO =c√33c =√3，所以∠F 1AO =π3，所以∠F 1AF 2=2π3．2．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为F 1(?√3，0)．（1）求C 的方程；（2）设C 的右顶点为A ，不过C 左、右顶点的直线l ：y ＝kx +m 与C 相交于M ，N 两点，且AM ⊥AN ．请问：直线l 是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，{a =2bc =√3a 2=b 2+c 2，解得：a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2＝1；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程：{y =kx +mx 24+y 2=1整理可得：（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0△＝64m 2k 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）＞0，化简得1+4k 2＞m 2①，∵x 1+x 2=?8mk1+4k 2，x 1x 2=4(m 2?1)1+4k 2，又AM ⊥AN ，A （2，0），{a =2bc =√3a 2=b 2+c 2，∴k AM ?k AN ＝﹣1，∴y 1x 1?2?y 2x 2?2=?1，∴y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4＝0，。
2021年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)
2021年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2021年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.【2021年四川高考】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，那么直线OM的斜率的最大值为？答案】C2.【2021年天津高考】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为？答案】D3.【2021年全国I高考】方程x^2/4-y^2/n^2=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是？答案】A4.【2021年全国I高考】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点，|AB|=42，|DE|=25，那么C的焦点到准线的距离为？答案】B5.【2021年全国II高考】圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，那么a=？答案】A6.【2021年全国II高考】圆F_1,F_2是双曲线E: x^2/4-y^2/9=1的左、右焦点，点M在E上，MF_1与x轴垂直，F_1F_2=b/a*sin∠MF_1F_2，那么E的离心率为？答案】A7.【2021年全国III高考】O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
假设直线BM经过OE的中点，那么C的离心率为？答案】A8.【2021年浙江高考】椭圆C_1: x^2/4+y^2/m^2=1(m>1)与双曲线C_2: x^2/4-y^2/n^2=1(n>0)的焦点重合，e_1，e_2分别为C_1，C_2的离心率，且e_1>e_2，那么m、n的大小关系是？答案】m>n2y-1由AN·BM = (x-a)(y-b)(x+c)(y+c) = (x+c)(y+c)得证。
2021高考数学专题复习：圆锥曲线(2)
12021高考数学专题复习:椭圆1.定义:122.PF PF a +=()()()()()()12122222122222222212,,,0,,0220,021 1.00,2P x y F c F c a PF PF a a c x y y x a A a A A a x y a a c a b x y b B b B B b b a c -⇒=+⇒=>⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧+=⎪⎪-⇒⇒+=⎨⎨=⇒=±⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x y F x a b y x F y ab ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩在轴在轴 222222222222242222112x y cy y a c a b a b b a x c b b b y y MN a a a⎧+=-⎪⇒+=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.长轴长:2a 短轴长:2b 焦距:2c 通径:22b MN a=4.勾股关系: 222a b c =+,1BF a5.离心率: ce a=取值范围: ()0,1 6.椭圆上点P 到焦点1F 的距离最大值为 a c + ,最小值为 a c -7.椭圆22221+=x y a b的左右焦点为,,21F F 过点1F 的弦,AB 则2ABF ∆的周长为 4a ，直线m x =与椭圆交于D C ,两点,当m 时CD F 1,∆的周长最大值为 4a21.定义:()()()121221222PF PF a PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⇒-=⎨⎪-=⎩右支双曲线左支()()()()()()1212222212222222222212,,,0,,0220,021 1.0........0,2P x y F c F c a PF PF a a c x y y x a A a A A a x y a c a a b x y b B b B B b b c aφ-⇒=-⇒=<⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧-=⎪⎪-⇒⇒-=⎨⎨=⇒=-⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x yF x a b y x F y a b⎧-=⎪⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩在轴在轴 222222222222242222112x y cy y c a a ba b b a x c b b b y y MN a a a⎧-=-⎪⇒-=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.实轴长:2a 虚轴长:2b 焦距:2c 通径:22b a4.勾股关系: 222c b a =+,5.离心率: ce a=取值范围: ()1,+∞ 6.渐近线()()..b y x F x aa y x F yb ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩在轴在轴 ()()22222222222222222222222211x y x y b x b y y x F x a b a b a a y x y x a x a y y x F y a b a b b b ⎧-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎪⎨⎪-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎩在轴在轴7.双曲线右支上点P 到左焦点1F 的距离最小值为,a c +P 到右焦点2F 的距离最小值为 c a - 双曲线上点P 到焦点距离最小值为3一.定义:.MF d =()2222,,,0,:2.22222p p p p p M x y F l x x x y x y px ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒=--⇒-+=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二．抛物线px y 22=一点()A A y x A ,焦半径2p x d AF A +== 抛物线px y 22-=一点()A A y x A ,焦半径22p x p x AF A A +-=+= 三．过焦点的直线l 与抛物线px y 22=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B +=焦点弦()p x p x x BF AF AB B A +=++=+=02过焦点的直线l 与抛物线px y 22-=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B += 焦点弦()p x p x p x x BF AF AB B A +-=+=++=+=002241.椭圆的两个焦点为()(),0,1,0,1-椭圆的长轴长为4，则椭圆方程为 ( )A.2214x y += B.2214y x +=C.22134x y +=D.22143x y +=2.椭圆221925x y +=的长轴长是 ( ) A.5 B.6 C.10 D.503.椭圆2212516x y +=上有一点P 到左焦点的距离是4，则点P 到右焦点的距离是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.64.已知椭圆的焦点为()()()0,3,1,0,1,0P-在椭圆上,则椭圆的方程为 ( )A.13422=+y xB.1422=+y x C.14322=+y x D.1422=+x y5.椭圆63222=+y x 的焦距是 ( )A.2B.()232- C.52D.()232+6.椭圆长轴长为,33该椭圆的方程为 ( ) A.221128x y += B.221128x y +=或221128y x += C.22132x y += D.22132x y +=或22132y x +=57.椭圆141622=+y x 上的两个焦点是,,21F F 弦AB 过焦点,1F 则2ABF ∆的周长为 ( ) A ．8 B ．16 C ．24 D ．328.21,F F 是椭圆191622=+y x 两焦点,过2F 的直线交椭圆于点B A ,,若5=AB ,则=+11BF AF ( ) A.9 B.10 C.11 D.16 9.椭圆的焦距等于2，则=m ( ) A.5或3B.8C.5D.1610.椭圆2214x y +=的左焦点为,F P 为椭圆上一点，其横坐标为,3则=PF ( ) A.12 B.32 C.52 D.7211.()()22223310x y x y +++-=表示的曲线的标准方程为12.椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(),2,0则=m ( )A.2B.3C.5D.613.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是(),1,0那么=k14.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 ( )A.116922=+y x B.1162522=+y x C.1162522=+y x 或1251622=+y xD.以上都不对615.椭圆的焦点坐标为()(),0,1,0,121F F -过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于Q P ,两点,且3=PQ ,求椭圆的方程16.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( ) A.22 B.2 C.21D.2317.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(),0,1F 离心率等于21,则C 的方程是 ( ) A.14322=+y xB.13422=+y xC.12422=+y xD.13422=+y x18.焦点在x 轴的椭圆过,21,3,22,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B A 则椭圆的离心率为 ( ) A.23 B.21C.26D.3319.若椭圆的两焦点为()(),0,2,0,2-且椭圆过点,23,25⎪⎭⎫⎝⎛-则椭圆方程是720.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则=m ( )A.41B.21C.2D.421.椭圆121022=-+-m y m x 焦点在y 轴上，若焦距为4，则=m ( )A.4B.5C.8D.1422.21,F F 是椭圆125922=+y x 的焦点,直线AB 是过点(),4,0-若8=AB ,则=+B F A F 22 ( )A.12B.16C.4D.823.已知椭圆离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为24.已知椭圆焦点在x 轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短 距离为3,这个椭圆方程为825.已知椭圆的离心率32=e ,短轴顶点坐标为()54,0±,椭圆的方程26.已知椭圆C: ()222210x y a b a b+=>>的左顶点和下顶点分别为,,A B AB =过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2求椭圆C 的方程27.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()2,1A --,且2a b =．求椭圆C 的方程28.圆()()(),.164:22+∈=-+-N m m y x C 直线43160x y --=过椭圆()0,1:2222>>=+b a by a x E的右焦点,交圆C 所得弦长为()32,3,15A 在椭圆E 上.=m ，椭圆E 方程9()()()()()()()()()()()222221122221242,13.2255210.35410.41,2.511.32612.74416.84416,511.91,4/4.110.2115,3162a a c b D a a a C a PF D c b a C x y c A a c b D a l a B a l a AB AF BF C c a b A P D x y a c =⇒==⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒+=⇒==⇒=⇒+=⇒=⇒==⇒=⇒=⇒==⇒=⇒===⇒+=⇒===⇒⎫⇒⎪⎭==⇒+()()()()()()()()2222222222222 1.51212645.6255131115294141.539221315323202143116::.1171,2.212181x y m m C my x k k k a b b a b C a c a b b a x y a a a b aa c abc A c e a b D m mx ny =+=⇒=+⇒=⇒+=⇒=+⇒=+==⎧⎧⇒-=⇒⇒⎨⎨==⇒-=⎩⎩⎧-=⎪⇒=⇒--=⇒=⇒=+=⎨⎪=⎩=⇒==⇒=⇒=++=⇒()()()()()()()()2222122222222222112141421314192110612014.112124108.22420812:113632236,2323:3632n m x y e n m n x y a PF PF A C x y A mmm m m C F A F B AB a F A F B Ax y x a e c b y x y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩=+===+=+=⇒=⇒-=+-⇒=⇒++=⇒+=-=⇒+===⇒=⇒=⇒+=1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩10()()()()()()2222222222222222122::2:243 1.1292::232512 1.144802026 1.16412712148242823,12a b c a x y b a c c e a b c x y a b a b x y bax y x y b b b c a a AF AF A E b ⎧⎧==⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩⎧=⇒=⎪⇒=⇒+=⎨⎪=⎩⎧+=⎪⇒+=⎨=⎪⎩+=⇒=⇒+=⎧=⎧=⎪⇒=+=⇒⎨⎨∈=⎪⎩224: 1.1618251631612455r x y E l m d m =⎧⎪⎪⇒+=⇒⎨=⎪⎪⎩⎩--===⇒=2021高考数学专题复习:双曲线(2)1.双曲线22145x y -=的离心率为 ( ) A.23 B.43 C.32D.22.以双曲线2213x y -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程可以是 ( ) A.()2224x y -+= B.()2222x y +-= C.()2222x y -+= D.()2224x y +-=3.双曲线221412x y -=的离心率等于 ；渐近线方程为 .4.双曲线2291x y -=-的渐近线方程为 .5.双曲线方程为2221x y -=,则它的右焦点坐标为 ( )A.,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭D.)6.双曲线8222=-y x 的实轴长是 ( ) A.2 B.22 C.4 D.247.已知双曲线15222=-y ax 的右焦点为()0,3,则该双曲线的离心率等于 ( )A.14 B.4 C.32 D.438.双曲线122=-x my 与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y =B.3y x =±C.13y x =± D.3y x =±9.双曲线12222=-bx a y 的两条渐近线互相垂直，则离心率=e ( )A.2B.3C.2D.2310.与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为 ( )A.221312x y -= B.18222=-x y C.18222=-y x D.221312y x -=11.双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则=m ( )A.41- B.4- C.4 D.4112.以15422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为13.双曲线116922=-y x 上的点M 到点()0,5-的距离为,7则M 到点()0,5的距离为 ( ) A.1或13 B.15 C.13 D.114.双曲线122=-my x 的一个焦点坐标为(),0,5-则双曲线的渐近线方程为 ( )A. x y 41±=B. xy 21±=C. x y 2±=D. x y 4±=15.双曲线1322=-y m x 的离心率为,2则=m .16.经过点()62,62-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为 ( ) A.22186y x -= B.22168x y -=C.22186x y -=D.22168y x -=17.已知双道曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为 ( )A ．y x =±B ．y x =C ．y =D ．y x =18.焦点在y 轴上的双曲线的离心率为,3则它的渐近线方程为 ( )A.2y x =±B.2y x =± C.x y 2±= D.x y 22±=19.已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的离心率为3,2实轴长为4,则双曲线的方程为 .20.已知双曲线1822=-y m x 的离心率为,3则实数=m ．21.以椭圆192522=+y x 的焦点为焦点，离心率2=e 的双曲线方程是 ( )A.112622=-y x B.114622=-y x C.114422=-y x D.112422=-y x22.双曲线122=-y mx 的焦点到它的渐近线的距离为23.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为 ( )A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -=24.双曲线过点()(),6,3,3,2B A -则该双曲线的方程为25.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x 21,,F F 分别是 双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则=2PF( )A.2B.18C.2或18D.1626.已知双曲线焦点在x 20y -+=平行，若点()3,2在双曲线上，求 双曲线的标准方程27.已知双曲线13222=-by x 的右焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.332 D. 22328.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 和椭圆191622=+y x 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求双曲线的方程29.若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为,8则点P 到它的左焦点的距离是 ( ) A ．4B ．12C ．4或12D ．630.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线112yx =+平行，则它的离心率为( )31.与椭圆1121622=+x y 共焦点且过点()3,1的双曲线的标准方程为32.F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为33.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为,,21F F 过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于 Q P ,两点，且点P 的横坐标为,2则Q PF 1∆的周长为 ( )A ．3B ．C ．3D ．34.0241022=+-+x y x 的圆心是()0.19222>=-a y ax 的一个焦点,此双曲线渐近线方程为 ( ) A.x y 34±= B.x y 43±= C.x y 53±= D.x y 54±=35.双曲线223x y m m -1=的一个焦点是()2,0,椭圆221y x n m-=的焦距等于,4则=n36.与双曲线12422=-y x 共焦点，且过点()2,3的椭圆方程37.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为,x y -=双曲线方程38.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点()1,2Q 的双曲线方程39.已知12,F F 为双曲线22:1916x y C -=的左右焦点,点P 在C 的渐近线上12,0,PF PF P ⋅<横坐标取值 范围40.已知椭圆()()102222=++++-y c x y c x 的短轴长为2,b 那么直线:30l bx cy ++=截圆122=+y x 所得的弦长为41.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为42青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为 ( ) A ．3B ．62C ．213D ．7243.(多选)12,F F 为双曲线()2222:1,,0x y C a b a b-=>的左右焦点,点P 在C 上,若渐进线方程为30,x y ±=焦距为42,下列说法正确的是 A.实轴长2 B.离心率2C.双曲线焦点到渐近线距离6D.存在点P ，使得21F P =44.（单选）双曲线221:14x C y -=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双曲线12,C C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是 ( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222212.32,.43.351.11226 1.9579542.841.319.10.11.12.13.14.151.16.17.18.19 1.45204.2122123.49112413613C D e y y x x y c e C x y a a C y x c A C A A C C C D C D x y D D m n m mx ny x m n n ===±-=⇒=⇒=⇒+==-=⇒=⇒=⇒-=⇒-=+==⎧⎧+=⇒⇒⇒⎨⎨+==-⎩⎩()()()()()()2222221 2.325.26 1.327.2814329.130::2:1:2y e C y x C x y C b a b c e D a -=⇒=-=-==⇒==⇒()()()()()()()()()2222222222231310,211344421442232216,42121628.233242345,04.353411,253236166Py x y x F t t t t t t t t t t m b l a m b x c PQ x PQ l a PQ A a F a B y m m m x c n nx y c t t t t ±⇒-=⇒-=⇒+-=-+⇒=⇒=⇒-=--===+=+===⇒⊥⇒==⇒=+=⇒⇒=⇒-+=⇒=-⇒+==⇒==⇒+=⇒+=++()()()()()()()())222222222221213122612031.93::1:1:37 1.2424483812 1.323953,43,3.338405.5541,:t t t t t t t x y a b a b c y x a b c c x y x F t y t t PF PF OP c P a d l a PO PFF l ⇒++=+⇒+-=⇒=⇒+=⎧=⇒=⎪==-=⎨=⇒=⎪⎩⇒-=⇒=⇒-=-⊥⇒==⇒⇒-=⇒===⇒===()()()()()222222222122224214424143::22,20::1:243.2.2181632442:2:12P S y x x y a a b a b c e a bb P a a y a bc BC a b e PF c a c c a S ab ab b a b a b⎧⎛⎪⇒⇒== ⎨ =⎝⎭⎪⎩⎧-=⎪⇒-=⇒=⇒=⇒=⎨⎪⎩±=⇒=⇒===≥-==⇒=⎪⎩⎧===⇒=⎪⇒⎨⎪=⇒=⎩.4B ⎧⇒⎨=⎩2021高考数学专题复习:抛物线(3)1.抛物线24y x =的准线方程是 ( ) A.1y = B.1y =- C.116y = D.116y =-2.已知抛物线22y px =的准线方程是2,x =-则=p ( ) A.2 B.4 C.2- D.4-3.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是 ( )A.1B.2C.3D.44.已知抛物线x y 42=的焦点,F 该抛物线上的一点A 到y 轴的距离为3，则=AF( )A.4B.5C.6D.75.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于点,A 若3,AF =则点A 的坐标为 ( )A.()22,2B.()22,2-C.()22,2± D.()2,1±6.抛物线x y 412=上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到y 轴的距离是 ( ) A ．1716 B.78 C.1 D ．15167.O 为坐标原点,直线x =2与抛物线()2:2,0C y px p =>交于D ,E 两点,若,OD OE ⊥则C 的焦点坐标为8.抛物线x y 82-=的准线与双曲线12822=-y x 的两条渐近线所围成的三角形的面积为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.29.已知点P 在抛物线y x 42=上，且点P 到x 轴的距离与点P 到此抛物线的焦点的距离之比为1:3, 则点P 到x 轴的距离是 ( ) A.41 B.12 C.1 D.210.若抛物线212y x m=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则m =11.点P 是抛物线x y 42=上一点P ,到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 ( ) A ．2 B. 3 C. 4 D.512.抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为10,则P 的坐标为 ( ) A.()9,6± B.()6,9 C.()6,9± D.()9,613.双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为F P ,为抛物线的焦点，若,5=PF 则 双曲线的渐近线方程为 ( ) A.02=±y x B.02=±y x C.03=±y x D.03=±y x14.过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()2211,,,y x B y x A 两点,若==+AB x x ,821( )A.10B.8C.6D.415.过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线与B A ,两点，若中点的横坐标为3，则=AB ( ) A.10 B.8 C.6 D.416.过24y x =的焦点直线l 交抛物线于()()2211,,,y x Q y x P 两点，如果,621=+x x 则=PQ17.()0.22>=p px y 上一点M 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,该点横坐标为 ( )A.10或 1B.9或 1C.10或2D.9或218.已知双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为19.抛物线y x 22=上有一点,P 它到()3,1A 的距离与到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.()1,2-B.11,2⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2D.()2,1-20.双曲线2221x y a-=()0>a 的一个焦点与抛物线218x y =的焦点重合,则此双曲线的离心率为( )A ．332 B ．3 C ．233 D ．43321.已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-= 的距离是,2d 则12d d +的最小值是 ( ) A.3B.23C.62D.322. 点()2,1A -x y 4,2-=的焦点是P F ,是24y x =-上的动点，为使PA PF +取得最小值，则P 点坐标为 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 B.()22,2- C.⎪⎭⎫⎝⎛--1,41 D.()22,2--23.双曲线22214x y b-=右焦点与抛物线x y 122=焦点重合,双曲线的焦点到其渐近线距离等于 ( )A.5B.24C.3D.524.440kx y k --=与x y =2交B A ,两点,若,4=AB 弦AB 的中点到直线102x +=的距离 ( ) A ．74 B.2 C ．94D.425.抛物线焦点在x 轴，经过点()O y M ,,20为坐标原点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ( )A ．．．4 D ．26.24x y =焦点为,F 上有两点()()1122,,,A x y B x y 满足2AF BF -=,则221122y x y x +--=( )A.4 B ．6 C.8 D ．1027.双曲线()2222 1.0,0-=>>x y a b a b与抛物线28y x =有一个共同焦点F ,两曲线的一个交点为P ，若5,=PF 则点F 到双曲线的渐进线的距离为 ( )B.2D.328.抛物线mx y =2的焦点为,F 点()22,2P 在此抛物线上M ,为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为 ( ) A.1 B.23 C.2 D. 2529.()0,22>=p px y 焦点为()()()333222111,,,,,,y x P y x P y x P F 在抛物线上,2132x x x =+,则有( )A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+D.3122FP FP FP ⋅=30.双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程是,3x y =它的一个焦点在抛物线x y 682=的准线上,求双曲线的方程31.抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在第一象限,l PA ⊥,垂足为A ,4PF =, 则直线AF 的倾斜角等于 （ ） A ．712π B ．23π C ．34π D ．56π32.等轴双曲线C 的焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,34,=AB 则C 的 方程为33.双曲线C 的焦点在x 轴上,离心率为,25C 与抛物线x y 82=的准线交于,A B 两点,2,=AB 则C 的 方程为34.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变12米，此时 桥洞顶部距水面高度约为 米35.已知抛物线2:12C y x =的焦点为,F A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于,B D 两点，且,,A F B 三点共线，则FA =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．836.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ,准线为l ,P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线 （ ）A. 经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP37.F 为24y x =的焦点,C B A ,,为该抛物线上三点,若0=++FC FB FA ,FA FB FC ++=（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．338.(2020青岛模拟15)已知直线():1l y k x =-与抛物线()2:2,0C y px p =>在第一象限交点为,A l 过C 的焦点,3,F AF =则抛物线的准线方程为 ，k =39.圆058:22=-+++ay x y x C 经过抛物线:E y x 42=焦点E ,的准线与圆C 相交所得弦长为40.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点()2,0A 的距离与P 到该抛物线准线的距离d 之 和的最小值为 （ ）A B ．3 CD ．9241.抛物线()0.2:2>=p px y C 的准线为l ，过()0,1M l 相交于点A ，与C 的一个 交点为B ,若,=则p = ．()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()201.2.3.4.5.6.172,22,0.28.9.110.1611.12.133,3.148210.152********181,61710,6362101820.2229,6118D B C A C D D y x D B B C P m y D AB A AB x p B PQ p M p p M p p p B p M c ⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭⇒=⇒=⇒=+=⇒=+=+=⇒=+==⇒±⎧⎪⎛⎫⎛⎫-±⇒=-⇒--=⇒⇒⎨⎪ ⎪=⇒±⎝⎭⎝⎭⎪⎩=()()()()22255 1.4::1:2:1191.22082.212,0,y a b x a b c x y B y x c a C F d C⎧⎪==⇒-=⎨=⎪⎩=⇒=⇒=⇒=⇒=-==⇒()()()()(()()()()0022212121212121221.4233,2.1792442.2442532242,.2261122,4448.y x A c a b d A x x d C pp y x M OM A y y y y x x y y y y D =⇒=-⇒==⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒±⇒=⇒+-+=⇒-=⇒-=-=-=⇒31()(()()()()()()((1221313222213213222273,,2,0221.352841,0.22292222230 1.618::2313,1,AF P F a PF PF a b A y x F M d D FP FP x x pp FP x FP x p FP FP FP Cx x x c x y a b a b c P A k ±⇒=-=⇒=⇒=⎛=⇒⇒⇒=⇒⎝+=++⎧⎪⎪=+⇒=+⇒+=⇒⎨⎪+=⎪⎩⎧=⎪⇒==-=⎨=⎪⎩⇒-⇒=()(()()()()()()()2222222.1612321,4,1422411331,2,11141222228,64181834,14146,.776,2362359,9312.36B x y A t a a t t tx y x y A t t m am x ay a x y d y m am AF FB A y AF PQ ⇒--=-⇒=⇒=⇒=⇒=⎛-=-⇒-=⇒=⇒-= ⎝⎭⇒=⎧⎪⎛⎫=⇒=-⇒=-⇒⇒-⇒==⎨⎪+⇒=+⎝⎭⎪⎩=⇒⇒=+==()()()()()()()(()()()()()()()123123123222min.371110336.381,0:4, 1.32,54225390,1421:140.241,2PF B x x x x x x FA FB FC x x x B F C y xx AFA k r x yF a AB l d l y PA d PA PF PA PFAF A p A ⇒⇒-+-+-=⇒++=⇒++=+++=⇒⇒==-=⇒⇒=⎧=⎧+++=⎪⇒=⇒⇒⇒==⎨⎨==-⎩⎪⎩+=+⇒+==⇒-())22222222,1,0,1241202B A p p p x B y M AM MB y x y pxp p p ⎧⎛⎫⎧⎫=+++⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪=⇒⇒⇒⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎝⎭⎪⎪=-=⎩⎩+-=⇒=322021高考数学专题复习:面积方程问题1.点P在椭圆1222=+yx上21,,FF两焦点012,90,F PF∠=则21PFF∆的面积是2.21,FF为双曲线141622=-yx两焦点，双曲线上点P满足021120=∠PFF,21PFF∆的面积为( )A．334B．25C.2D.53.21,FF为椭圆22214x yb+=两个焦点,,221=FF点P在双曲线上且,90021=∠PFF21PFF∆的面积是4.P为椭圆13422=+yx上的一点,21,FF为该椭圆的两个焦点，若,60021=∠PFF则21PFF∆的面积等于 ( )A.3B.3C.32 D.25.椭圆C两焦点()()0,4,0,421FF-P,在C上，若21FPF∆面积的最大值为C,12方程为336.已知21,F F 为双曲线1:22=-y x C 左右焦点,点P 在C 上,=⋅=∠21021,60PF PF PF F ( )A ．2 B.4 C.6 D.87.21,F F 是14922=+y x 的两焦点,P 是椭圆上的点，且,1:2:21=PF PF 21F PF ∆面积为 ( ) A.4 B.6 C.22 D.248.2218y x -=两个焦点为12,F F P ,是双曲线上的一点，,4:3:21=PF PF 则=∆21F PF S ( ) A.310 B.38 C.58 D.5169.设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上,0,21=⋅PF PF=3410.1422=+y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点，当021120=∠PF F 时,=∆21PF F S . 当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标取值范围11.椭圆22221x y a b+=两焦点为()(),0,1,0,1-满足P b a ,4322=在椭圆上,1,21=-PF PF 椭圆方程 =∠21cos PF F12.已知点P 是椭圆22184x y +=上一点,21,F F 分别为左右焦点,若12PF F ∆的面积为,312cos F PF ∠=3513.双曲线15422=-y x 与椭圆1162522=+y x 交于点,P 左右焦点分别为12,,F F=14.已知()(),0,5,0,5BA -动点C 到B A ,两点的距离之和为6,设P 为C 上一点,0,=⋅=15.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =16.21,F F 是椭圆12222=+by a x 的左右焦点,()4,3P 是椭圆上一点,,21PF PF ⊥椭圆方程36()()()()()()()()()000022220121211tan 45142.tan 6033tan 45 3.43tan 30.1512835 1.22592414286cos 604.222274,2,4.6:3:486,2S S A S S B x y b b a m n mn c mn mn B mn mnm nm n F F PF PF S A m n m n m n m =⋅===⇒=⋅==⋅=⇒=⋅⋅⇒=⇒=⇒+=-+-+-=⇒=⇒=⇒=⎧⇒===⊥⇒=⇒⎨+=⎩=⎧⇒=⎨-=⎩()()()122200221221121218,68.249 2.121101tan 6012.22::211 1.431534,2212A A A n F F S C m n mn m n S S c y y x x a x y a b c c b PF PF PF PF PF PF F F c ==⇒=⋅⋅=⇒+=⎧⇒=⎨+=⎩⎛=⋅===⋅⋅⇒=⇒=⇒∈ ⎝⎭=⎧⎧=⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩⎧⇒+===⎪⇒⎨-=⎪⎩==()()()()2222121122122222203cos .252347124tan3tancos cos 2cos 1.2242522510134100168421.4146321208.94tan 454215::1:PF PF F F F PF PF PF m n mn mn m n x y m n a b m n mn S b b e a b c θθθθθ⎧+-⎪⇒∠==⎨⋅⎪⎩⋅=⇒=⇒=⇒=-=+=⎧⇒=-=⇒=⎨-=⎩+=⇒=⇒=⇒+=⇒+=⇒===⇒===()222221219161624415 1.2444520a x y S cb bc c c c c ⎧⎪⇒=⎨⎪⎩=⋅=⇒=⇒+=⇒=⇒+=+372021高考数学专题复习:离心率1.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.41B.21C.22D.232.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则该椭圆的离心率为 ( ) A.51 B.43 C.33 D.213.直线:220l x y -+=与坐标轴的交点分别是一个椭圆的焦点和顶点，椭圆的离心率为 ( )A.5B.5C.5或5 D.254.椭圆()5.15222>=+a y ax 的的左焦点为,F 直线x m =与椭圆相交于点,,B A FAB ∆的周长的最大值 是12,则该椭圆的离心率=e38 5.已知点12,F F分别是椭圆()2222:1,0x yC a ba b+=>>的左右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,且满足12212,3,F F OP tan PF F=∠=则C的离心率为6.已知P是以21,FF为焦点的双曲线()0,,12222>=-babyax上一点,若21tan,2121=∠⊥FPFPFPF,则双曲线的离心率为7.设21,FF分别是双曲线()0,0,12222>>=-babyax的左右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()OPFOFOP,022=⋅+为坐标原点,=则该双曲线的离心率为（）1B.12++2+8.设双曲线()0,0.1:2222>>=-babyaxC的左右焦点分别为21,FF P,是C上的点,,212FFPF⊥,45021=∠FPF则C的离心率为399.已知21,F F 是双曲线22221-=x y a b的左右焦点,点P 是以21,F F 为直径的圆与双曲线的一个交点，且12215,PF F PF F ∠=∠则双曲线离心率为10.已知双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线截圆()11:22=+-y x M，则该双曲线的离心率为 ( ) A.43B.3C.35311.已知21,F F 是双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左支交于B A ,两点．若5:4:3::22=AF BF AB ,则双曲线的离心率为.12.已知抛物线x y 82=的准线与双曲线1:222=-y ax C 相切，则双曲线C 的离心率为 ( )A.25B.23C.552D.33240 13.设点P是双曲线(abyax12222=-)0,0>>b与圆2222bayx+=+在第一象限的交点，其中21,FF分别是双曲线的左右焦点，且212PFPF=,则该双曲线的离心率为14.21,FF是双曲线22221x ya b-=的左右两个焦点,过点1F作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于BA,两点2,ABF∆是直角三角形,则该双曲线的离心率为15.已知21,FF是双曲线22221x ya b-=的左右两个焦点,过点1F作垂直于x轴的直线与双曲线分别交于BA,两点2,ABF∆是直角三角形,则该双曲线的离心率是16.过双曲线()0,0.12222>>=-b a b y a x 的右焦点F 作垂直于x 轴的直线,交双曲线的渐近线于,A B 两点， 若OAB ∆(O 为坐标原点)是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )D.217.21,F F 是双曲线12222=-b y a x 左右焦点,过2F 作与x 轴垂直的弦,PQ 且==∠e Q PF ,6001 ( ) A.3 B.2 C.2 D.2618.过双曲线()0,0.12222>>=-b a b y a x 的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ( )A ．2BC ．3D ．219.椭圆22221x y a b +=的左、右顶点分别是B A ,,左右焦点分别是21,F F 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则此椭圆的离心率为20.椭圆2222+=1x y a b的左右焦点分别是,,21F F 过2F 作倾斜角为0120的直线与椭圆的一个交点为,M 若1MF 垂直于x 轴,则椭圆的离心率为21.双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的渐近线与抛物线21y x =+相切,该双曲线的离心率为 ( )B.2C.5D.622.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 焦距为1161,1022+=x y 与其渐近线相切,双曲线方程为（ ） A.22182x y -= B.22128x y -= C.2214x y -= D.2214y x -=23.点P 在椭圆12222=+by a x 上21,,F F 是椭圆的两个焦点,90,021=∠PF F 且21PF F ∆的三条边长成等差数列， 则此椭圆的离心率是24.已知双曲线一个焦点为(),0,51-F 点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为()2,0，则此双曲线 的离心率是 .25.双曲线的中心为原点O ,实轴在x 轴上,虚轴顶点为A ，左右焦点分别为,,21F F 线段12,OF OF 的中点 分别为12,B B ,且21B AB ∆是直角三角形,该双曲线的离心率为26.设12,F F 是双曲线1:2222=-b y a x C 的两个焦点.若在C 上存在一点,P 使,30,02121=∠⊥F PF PF PF则C 的离心率为 .27.椭圆22221+=x y a b 上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为28.点A 是抛物线()0,2:21>=p px y C 与双曲线:2C 22221x y a b -=的一条渐近线的交点，若点A 到 抛物线1C 的准线的距离为,p 则双曲线2C 的离心率等于 ( ) A.2 B.3 C.5 D.629.设双曲线的一个焦点为,F 虚轴的一个端点为,B 如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此 双曲线的离心率为 ( )30.椭圆的两个焦点和短轴两顶点是一个含060角的菱形的四个顶点，则椭圆离心率为31.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 离心率[],2,2∈e 则两条渐近线夹角θ的取值范围是32.12,F F 是双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b 的两个焦点,过2F 作x 轴的垂线交双曲线于,A B 两点，若1,3AF B π∠<则双曲线离心率取值范围为33.已知双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b 的左顶点为,A 右焦点为(),0,c F 直线c x =与双曲线C 在第一象限的交点为,P 过F 的直线l 与双曲线C 过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP 交于点,B 若ABF ∆与PBF ∆的面积的比值为2，则双曲线C 的离心率为34.已知1,F 2F 是双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，若直线2y x =与双曲线C 交于,P Q 两点，且四边形12PF QF 是矩形，则双曲线的离心率为 （ ）A ．525-B ．525+C ．5+25D ．525-35.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为,,21F F 线段21F F 被抛物线22y bx =的焦点 分成5:7的两段,则此双曲线的离心率为36.已知抛物线()0,22>=p px y 与双曲线12222=-b y a x 有相同的焦点,F 点A 是两曲线的交点， 且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 ( )51+2131+ D.221237.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 左右焦点分别为A F F ,,21是双曲线上一点122,,⊥F F AF 若直线1AF 与圆22229++=a b x y 相切,切点为,M 则双曲线离心率为38.椭圆22221+=x y a b 的左焦点1,F 该椭圆上一点A 满足1OAF ∆是等边三角形,则椭圆离心率为39.双曲线()22221,,0x y a b a b -=>的左、右焦点分别为为12,,F F 过2F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲 线的左支分别交于点,,A B 若()21,2OA OB OF =+则该双曲线的离心率为40.已知双曲线()22221,,0x y a b a b-=>的左右焦点分别为12,,F F 圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为,M 若123,MF MF =则该双曲线的离心率为41.设双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1,F 直线:43200l x y -+=过点1F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点1,,OP OF =则双曲线C 的右焦点的坐标为 ，离心率为 ．42.已知F 为双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点,,A B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为 ( )1B.1- 1+ 143.已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF//OA ，若0AB OB ⋅=,则双曲线C 的离心率为 ( )D.244.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线分别为1l ,2l ,点A 是x 轴上与坐标原点O 不重合的一点,以OA 为直径的圆交直线1l 于点O ,B ,交直线2l 于点O ,C ,若2BC OA =,则该双曲线的离心率是45.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A , 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为 ( )A ．2 B ．7 C D ．46.已知,,A B C 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>>上的三个点,AB 经过坐标原点,O AC 经过双曲线的右焦点2,F 若22,2,BF AC AF CF ⊥=则该双曲线的离心率是 ( ) A.53 B.17 C.17 D.9447.设双曲线()222210x y C a b a b-=>0,>：的左、右焦点分别为12122,,2,F F FF c F =过作x 轴的垂线，与双曲线 在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.48.双曲线()222210x y a b a b-=>0,>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为,A 交另一条渐近线于点,B 且221,3AF F B =则双曲线的离心率为 ( ) A.53 17 17 D.9449.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且123PF F π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为12,,e e 则221213e e +的值为 ( ) A.1 B.2512C.4D.16。
专题08压强(原卷版)
专题08压强一．选择题1．（2021•淮安）大气压强与人们日常生活的关系非常密切。
以下事实中主要利用了大气压强的是（）A．飞镖的箭头很尖B．拦河坝的截面上窄下宽C．用吸管吸取饮料D．大型客机在空中水平飞行2．（2021•南通）用矿泉水瓶做的下列小实验中，探究影响液体压强大小的因素的是（）A．水量越多形变越大B．纸片托住满瓶泉水C．孔位越低流速越大D．用力吹气喷出水雾3．（2021•常州）新冠疫情期间，下班时，某企业要求员工利用戳孔器把口罩打孔破坏后再丢弃。
确保废弃口罩不会被重复使用，如图所示。
双手共同作用对口罩施加竖直向下、等大的力。
口罩受到钉子的压强最大的是（）A．B．C．D．4．（2021•常州）2021年4月19日，“机智号”电动直升机在火星地表首飞成功，如图所示。
在匀速上升、空中悬停、匀速下降阶段，“机智号”旋翼受到的升力分别为F1、F2、F3，不计机身受到的火星气体阻力，则（）A．F1＞F2＞F3B．F1＜F2＜F3C．F1＝F3＞F2D．F1＝F2＝F35．（2021•无锡）如图所示，将压强计的金属盒放在水中某一深度处，U形管两侧液面出现高度差。
下列操作会使高度差增大的是（）A．仅将金属盒向上移动B．仅将金属盒水平移动C．仅改变金属盒面的朝向D．仅在水中加入食盐，食盐溶解后6．（2021•苏州）在下列几种航空器中，主要利用流体压强和流速的关系获得升力的是（）A．观光热气球B．民航客机C．武装直升机D．运载火箭7．（2021•连云港）水枪是孩子们喜爱的玩具，如图所示是常见的气压式水枪储水罐。
从储水罐充气口充入气体，达到一定压强后，关闭充气口，扣动扳机将阀门M打开，水即从枪口喷出。
在水不断喷出的过程中，则（）A．气体对水做功B．气体的压强变大C．气体的压强不变D．水喷出的速度不断增大8．（2020•南通）在综合实践活动中，小明制作了一只长12cm、宽5cm的小纸船，如图甲。
图乙是按图甲所示箭头方向观察到的船的主视图。
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专题08 圆锥曲线-题型突破
[A 级——“12＋4”保分小题提速练]
1．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±5x 2．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ) A.12
B ．1 C.32
D ．2 3．若双曲线
C ：x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的离心率为2，则b ＝( ) A ．1 B.2 C. 3
D ．2
4．A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A ．x ＝－1
B ．y ＝－1
C ．x ＝－2
D ．y ＝－2
5．已知双曲线y 24
－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( )
A ．1 B.2 C ．2 2 D ．4
6．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103
，则|AB |＝( ) A.133
B.143 C ．5 D.163
7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 24
＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )
A ．1
B ．13
C ．4或10
D ．1或13
8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直
平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22
的最小值为( ) A ．6
B ．3 C. 6 D.3
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.
63 B.33 C.23 D.13
11．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |
＝( ) A. 2
B ．2 C. 5
D ．5 12．已知抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线
E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的距离不大于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是( )
A ．(1， 2 ]
B ．(1,2]
C ．[2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
13．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________． 14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若AF ―→＝
m FB ―→，则m 的值为________．
15．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，
则1k AB ＋1k AC ＋1k BC
＝________. 16．已知点A 在椭圆x 225＋y 29
＝1上，点P 满足AP ―→＝(λ－1)OA ―→ (λ∈R)(O 是坐标原点)，且OA ―→·OP ―→＝72，
则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．
[B 级——中档小题强化练]
1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( ) A. 6
B.233
C.10
D.3
2．以双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点，与y 轴交于P ，Q 两点．若△MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率等于( ) A. 2
B.3 C ．2 D.5
3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )
A ．(1,3]
B ．[3，＋∞)
C ．(0,3)
D ．(0,3] 4．过双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35
|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭
⎫53，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫54，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤1，53 D.⎝⎛⎦
⎤1，54 5．已知抛物线Γ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 在Γ上且|PK |＝2|PF |，则△PKF 的面积为________．
6．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF ―→·NF ―→＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．
[C 级——压轴小题突破练]
1．已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )
A.72
B ．3 C.52 D ．2 2．双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，
若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫1，52
B.⎝⎛⎭
⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭
⎫54，＋∞ 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )
A.52
B.3
C. 5
D.52 4．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA ―→＋OB ―→－3OP ―→＝
0，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．。