2022届高考数学圆锥曲线重难点专题19 圆锥曲线与垂心问题(解析版)
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53， 同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53， 故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ， 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)， 并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ． 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上． 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。
重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总(学生版)
重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总题型1直接型题型2二级结论之通径型题型3双曲线渐近线相关题型4坐标法题型5二级结论之焦点弦定比分点题型6二级结论之焦点已知底角题型7焦点三角形已知顶角型题型8焦点三角形双余弦定理题型9利用图形求离心率题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率题型11点差法题型12二级结论之中点弦问题题型13角平分线相关题型14圆锥曲线与圆相关题型15内切圆相关题型16与立体几何相关题型17二级结论之切线方程题型18正切公式的运用题型19圆锥曲与内心结合题型1直接型椭圆与双曲线的离心率公式为：e =ca，注意椭圆的离心率范围(0,1)，双曲线的离心率范围(1，+♾)1(2021·江西南昌·统考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，且AB ⋅AF 1 =0，12|AB |=5|AF 1|，则C 的离心率为1(2021·全国·高三开学考试)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为.2(2021·河北秦皇岛·统考二模)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，已知AF 2 +F 1F 2 ⋅AF 1 =0，AF 1 =43F 1B，则椭圆C 的离心率为()A.57B.22C.53D.133(2023·江西九江·二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P ，盘子的中心为O ，筷子与大椭圆的两交点为A 、B ，点A 关于O 的对称点为C ．给出下列四个命题：①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等；③PA =PB ；④BC 与小椭圆相切.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.44(22·23下·恩施·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24-y 2b2=1b >0 的左右焦点，且F 1到渐近线的距离为1，过F 2的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A ,B 两点，且l ⊥AF 1，则下列说法正确的为()A.△AF 1F 2的面积为2B.双曲线C 的离心率为2C.AF 1 ⋅BF 1=10+46D.1AF 2 +1BF 2=6+2题型2二级结论之通径型椭圆与双曲线的半通径是b 2a , 通径是2b 2a1(2023·重庆·模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ ⊥y 轴，四边形F 1APQ 是等腰梯形，直线F 1P 与y 轴交于点N 0,34b，则椭圆的离心率为( )．A.14B.32C.22D.121(23·24高三上·湖北·阶段练习)已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．2(2023·湖北武汉·三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，点A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点，点F 为椭圆C 的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF 垂直于x 轴.过原点О作直线PA 的垂线，垂足为M ，过原点О作直线PB 的垂线，垂足为N ，记S 1，S 2分别为△MON ，△PAB 的面积.若S 2S 1=409，则椭圆C 的离心率为.3(22·23·赣州·二模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在E 上，满足△F 1PF 2为直角三角形，作OM ⊥PF 1于点M (其中O 为坐标原点)，且有PM =2MF1，则E 的离心率为．4(2023·河北保定·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,B 为虚轴上端点，M 是BF 中点，O 为坐标原点，OM 交双曲线右支于N ，若FN 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为() A.2B.2C.3D.233题型3双曲线渐近线相关双曲线的渐近线求离心率可以直接使用公式：e =1+b 2a2，1(2023·山东潍坊·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条浙近线的垂线，垂足为D ，且DF 2 =22OD ，则C 的离心率为()A.2B.2C.5D.31(2022·贵州毕节·统考模拟预测)已知F 1，F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，过点F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，且PO 平分∠APM ，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.32(多选)(2023·山东潍坊·三模)函数y =ax +bx(ab >0)的图象是双曲线，且直线x =0和y =ax 是它的渐近线．已知函数y =33x +1x，则下列说法正确的是()A.x ≠0，y ≥243B.对称轴方程是y =3x ,y =-33x C.实轴长为23D.离心率为2333(2020上·广西桂林·高三广西师范大学附属中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若tan ∠MAF =12，则C 的离心率为.4(2022·陕西咸阳·统考二模)已知双曲线C ：(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与另一条渐近线交于点P ，交y 轴于点A ，若A 为PF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .5(多选)(2023·河北唐山·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 24=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线y =2a x 的垂线，垂足为P ，O 为坐标原点，且∠F 1PO =π6，过P 作C 的切线交直线y =-2ax 于点Q ，则()A.C 的离心率为213B.C 的离心率为133C.△OPQ 的面积为23D.△OPQ 的面积为43题型4坐标法相对运算较麻烦的一种方法，可以通过联立方程，求出点的坐标，构造等式求出离心率1(2023·河南·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点为A ，P 为C 的一条渐近线上一点，AP 与C 的另一条渐近线交于点Q ，若直线AP 的斜率为1，且A 为PQ 的三等分点，则C 的离心率为．1(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 的直线交E 的左支于点P ，交E 的渐近线于点M ，N ，且P ，M 恰为线段FN 的三等分点，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.5D.32(24·25高三上·浙江·开学考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，弦AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若PF AB=14，则椭圆C 的离心率e =．3(2023·湖北襄阳·模拟预测)如图，已知有公共焦点P 1(-c ,0)、P 2(c ,0)的椭圆C 1和双曲线C 2相交于A 、B 、C 、D 四个点，且满足OA =OB =OC =OD =c ，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=2，则椭圆C 1的离心率为.4(22·23高三上·河南洛阳·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且F 1F 2 =2OB (O 为坐标原点).下列四个结论正确的是()①BF 1 =4c 2-BF 2 2；②若AB =2F 1A ，则双曲线C 的离心率1+102；③BF 1 -BF 2 >2a ；④c -a <AF 1 <2c -a .A.①②B.①③C.①②④D.①③④5(22·23高三上·河北石家庄·期中)椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交C 于A ，B 两点，若3OF 1 =OA +2OB ，AB =BF 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率为题型5二级结论之焦点弦定比分点1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.324(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.32题型6二级结论之焦点已知底角1. 已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =c a =sin (α+β)sin α+sin β2. 已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则e =ca =sin α+sin β|sin α-sin β|，1(2008·全国·高考真题)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120°，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线的离心率为()A.1+22 B.1+32C.1+2D.1+31(2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c ，若直线y =3(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于()A.3-1B.2-1C.32D.222(2020秋·贵州贵阳·高二统考期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y =33x +c 与椭圆的一个交点M 满足∠MF 2F 1=2∠MF 1F 2，则该椭圆的离心率等于()A.3-5B.5-3C.3+1D.3-13(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1，F 2，点Р为椭圆上一点，且tan ∠PF 1F 2=23，tan ∠PF 2F 1=2，则椭圆E 的离心率为 .4(2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)点P 是双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为．5(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点，点A 是双曲线C 的右顶点，点P 在过点A 且斜率为334的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 2F 1=120°，则双曲线的离心率为.题型7焦点三角形已知顶角型可以通过焦点三角形的特征进行解决1(20·21高二上·吉林白城·阶段练习)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率e 2，则1e 21+3e 22=.1(2021·重庆·校联考三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若PF 2 2=PF 2 ⋅QF 2，且△PQF 2的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为() A.102B.3C.5D.222(2021·山东烟台·统考二模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若F 2A ⋅F 2B =0，且|F 2A |=|F 2B|，则C 的离心率为()A.2B.3C.6D.73(2021·浙江·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，直线y =kx 与E 交于A ，B 两点，且∠F 1AF 2=60°，四边形F 1AF 2B 的周长C 与面积S 满足163S =C 2，则E 的离心率为()A.62B.52C.32D.34(2023·上海崇明·一模)已知椭圆Γ1与双曲线Γ2的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点F 1、F 2，P是Γ1与Γ2在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=π6时，双曲线Γ2的离心率等于 .5(2022上·江苏南京·高三南京师大附中校考期中)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 2且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，若△F 1PQ 是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为.题型8焦点三角形双余弦定理1(22·23高二下·河南安阳·开学考试)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，MF 2 -MF 1 =a ,MF 1 +NF 1 =NF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.25B.105C.155D.641(22·23上·河南·模拟预测)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，且AF 2 =2F 2B，∠ABF 1=60°，则双曲线C 的离心率为()A.73B.2C.53D.432(2023·浙江·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A ，B 为C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1⎳BF 2，∠AF 1F 2=60°．记AF 2，BF 1交点为P ，过点P 作PQ ⎳AF 1，交x 轴于点Q ．若OQ =2PQ ，则双曲线C 的离心率是．3(23·24高三上·江苏淮安·开学考试)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，直线AF 1与椭圆C 交于另一点B ，若∠AF 2B =120°，则椭圆C 的离心率为．4(22·23高三下·山东菏泽·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⋅F 1B =0，BF 2 =35BA，则C 的离心率为．5(2023·湖南株洲·一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，若PF 1 =43F 1Q ，且PF 2 =F 1F 2，则椭圆C 的离心率为．题型9利用图形求离心率1(2023·安徽安庆·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支相交于点P ，过点O ,F 2作ON ⊥PF 1,F 2M ⊥PF 1，垂足分别为N ,M ，且M 为线段PN 的中点，ON =a ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.5+12C.3+12D.1321(22·23·包头·二模)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，以C 的虚轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 的渐近线y =-b a x 交于点H ，若△F 1HO 的面积为24ac ，则C 的离心率为．2(2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0 的左焦点为F ，直线FD 与双曲线C 的右支交于点D ，A ，B 为线段FD 的两个三等分点，且OA =OB =22a (O为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为.3(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，A 是C 的上顶点，点P 在过A 且斜率为23的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 1F 2=120°，则C 的离心率为()A.1010B.714C.39D.144(2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测)已知椭圆T :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，且△ABO ∼△F 1PF 2,O 为坐标原点，则椭圆的离心率为.题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率1(22·23高二下·湖南·期末)如图，已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的左､右焦点，P ,Q 为双曲线C 上两点，满足F 1P ∥F 2Q ，且F 2Q =F 2P =3F 1P ，则双曲线C 的离心率为()A.105B.52C.153D.1021(2023·河南商丘·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M ,N 是C 的一条渐近线上的两点，且MN =2MO(O 为坐标原点)，MN =F 1F 2 .若P 为C 的左顶点，且∠MPN =135°，则双曲线C 的离心率为()A.3B.2C.5D.72(2023·福建宁德·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点是F ，直线y =kx 交椭圆于A ,B 两点﹐直线AF 与椭圆的另一个交点为C ，若OA OF=AF2CF =1，则椭圆的离心率为．3(23·24高三上·山西大同·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点P (3c ,0)作直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，若PM =2NM ，F 2M =4F 2N则椭圆C 的离心率为4(2022·全国·校联考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得PF 2 =λF 2Q 0<λ<1 ．A 为左支上一点且满足F 1A +F 2P=0 ，F 1F 2 =23AF 2 +13AQ ，△AF 2P 的面积为b 2，则双曲线C 的离心率为()A.33B.2C.102D.35(2021下·山西·高三校联考阶段练习)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |=2|FR |，则E 的离心率为()A.174B.173C.214D.213题型11点差法1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆(或双曲线)方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆(或双曲线)方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两个不同的点M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，x 21a 2+y 21b 2=1,=1\*GB 3\*MERGEFORMAT ①x 22a 2+y 22b 2=1,=2\*GB 3\*MERGEFORMAT ② 由①-②，得1a 2(x 21-x 22)+1b 2(y 21-y 22)=0，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2·x 0y 0，(x 1-x 2≠0，x 1+x 2≠0)1(22·23·吉安·一模)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点P 1,1 ，满足AP =2PC ，BP =2PD ，若直线AB 的斜率为-14，则椭圆的离心率等于()A.14B.32C.12D.131(2023·湖北·模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e ≠22，C 的左右焦点分别为F 1,F 2，点A 在椭圆C 上满足∠F 1AF 2=π2．∠F 1AF 2的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知AB =2BD ，则e =．2(2022下·云南昭通·高二校联考期末)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)斜率为-18的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，P 点的坐标为(-1,2)，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ，如图1.若直线CD 的斜率为-18，则E 的离心率为()A.2B.72C.62D.523(22·23·河北·模拟预测)已知斜率为-2的直线l 1与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右两支分别交于点A ，B ，l 2⎳l 1，直线l 2与E 的左、右两支分别交于点D ，C ，AC 交BD 于点P ，若点P 恒在直线l :y =-3x 上，则E 的离心率为.4(2023·云南·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)(b >c )和上顶点B ，若斜率为65的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，且满足FB +FP +FQ =0 ，则椭圆的离心率为.5(2020上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若AM =34AP，则椭圆C 的离心率是.题型12二级结论之中点弦问题1.椭圆或者双曲线，已知中点时，当椭圆或双曲线的焦点在x 轴，K AB ∙K OM =e 2-12.P 为椭圆上一点，e 为离心率，①A 1，A 2为两个顶点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；②A 1，A 2为关于原点对称的两点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；以上结论也适用于双曲线.1(22·23上·徐州·期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点(异于点A ，B )，直线BP 交x 轴于点D ．若直线AP ，BP 的斜率之积为49，且∠BDO =∠BOD ，则椭圆C 的离心率为．1(22·23下·安徽·一模)已知直线l 与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于M ,N 两点，线段MN 中点P 在直线x =-1上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q -34,0 ，则椭圆E 的离心率是 .2(2023·贵州·模拟预测)设О为坐标原点，A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一个动点，过点A 作椭圆C 内部的圆E ：x 2-2mx +y 2=0m >0 的一条切线，切点为D ，与椭圆C 的另一个交点为B ，D 为AB 的中点，若OD 的斜率与DE 的斜率之积为2，则C 的离心率为.3(2021·全国·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长为4，上顶点为B ，O 为坐标原点，点D 为OB 的中点，双曲线E ：x 2m 2-y 2n2=1(m >0，n >0)的左､右焦点分别与椭圆C 的左､右顶点A 1，A 2重合，点P 是双曲线E 与椭圆C 在第一象限的交点，且A 1，P ，D 三点共线，直线PA 2的斜率k PA 2=-43，则双曲线E 的离心率为()A.355B.32C.810-105D.5+41094(22·23下·南通·阶段练习)已知两点A ，M 在双曲C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右支上，点A 与点B 关于原点对称，BM 交y 轴于点N ，若AB ⊥AM ，且ON 2+8OA ⋅ON=0，则双曲线C 的离心率为()A.5B.6C.7D.22题型13角平分线相关1.角平分线“拆”面积：S △ABC =S △ACD +S △ABD2.角平分线定理性质：AB BD =ACCD1(22·23下·山西·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线E 上一点，PF 2⊥F 1F 2，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点Q ，S △PF 1Q S △PF 2Q=53，则双曲线E 的离心率为()A.2B.2C.52D.31(22·23下·湖北·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.22(22·23高三·云南·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，P 为椭圆上一点，直线AP 与直线x =a 交于点M ，∠PFB 的角平分线与直线x =a 交于点N ，若PF ⊥AB ，△MAB 的面积是△NFB 面积的6倍，则椭圆C 的离心率是.3(2023·山东烟台·校考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，点P 是C 与圆x 2+y 2=c 2的交点，∠PF 1F 2的平分线交PF 2于Q ，若PQ =12QF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.33B.2-1C.22D.3-14(2023春·江西赣州·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2．椭圆C 在第一象限存在点M ，使得MF 1 =F 1F 2 ，直线F 1M 与y 轴交于点A ，且F 2A 是∠MF 2F 1的角平分线，则椭圆C 的离心率为()A.6-12B.5-12C.12D.3-12题型14圆锥曲线与圆相关1(2023·福建漳州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M .若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3-12B.12C.3+14D.7-121(23·24高三上·福建福州·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M ．若BM与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3+12B.32C.5+12D.7+122(2023·全国·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右顶点分别是A 1，A 2，圆x 2+y 2=a 2与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P .设△MPA 2的内切圆圆心为I ,A 2I ⊥x 轴，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.53(22·23·马鞍山·三模)已知F 1 ， F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1 (a >0 ， b >0)的左，右焦点，点M 在双曲线上，MF 1⊥MF 2，圆O :x 2+y 2=32(a 2+b 2)，直线MF 1与圆O 相交于A ,B 两点，直线MF 2与圆O 相交于P ,Q 两点，若四边形APBQ 的面积为27b 2，则C 的离心率为()A.62B.324C.32D.984(22·23上·全国·阶段练习)已知圆C 1:x 2+y -2332=163过双曲线C 2:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点F 1，F 2，曲线C 1与曲线C 2在第一象限的交点为M ，若MF 1 ⋅MF 2 =12，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.3C.2D.3题型15内切圆相关1(22·23高三下·江西·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.点P 在C 上且位于第一象限，圆O 1与线段F 1P 的延长线，线段PF 2以及x 轴均相切，△PF 1F 2的内切圆为圆O 2.若圆O 1与圆O 2外切，且圆O 1与圆O 2的面积之比为9，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.742(22·23下·宁波·阶段练习)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I 为△PF 1F 2的内心，记直线OP ,OI 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1=32k 2，则椭圆E 的离心率为() A.13B.12C.33D.223(23·24高三上·云南昆明·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0(c >0)，过F 1作倾斜角为π4的直线交椭圆于A ,B 两点，若△ABF 2的内切圆半径r =26c ，则该椭圆的离心率为．4(2023·山西·二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，点M x 0,y 0 x 0>c 是C 上一点，点A 是直线MF 2与y 轴的交点，△AMF 1的内切圆与MF 1相切于点N ，若|MN |=2F 1F 2 ，则椭圆C 的离心率e =．5(22·23·红河·一模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若E 上存在点P ，满足OP =12F 1F 2 ，(O 为坐标原点)，且△PF 1F 2的内切圆的半径等于a ，则E 的离心率为．题型16与立体几何相关1(2023·安徽安庆·一模).如图是数学家Ger min al Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为4和1，球心距O 1O 2 =6，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，(E ，F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于()A.339B.63C.22D.161(22·23高三下·河北衡水·阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2作直线AB ⊥F 1F 2交C 于A ,B 两点. 现将C 所在平面沿直线F 1F 2折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A ,B 两点的对应点分别为A ,B ，且∠A F 1B =β⋅若1-cos α1-cos β=2516，则C 的离心率为()A.3B.22C.3D.322(2023·云南大理·模拟预测)某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图甲)，该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM (图乙)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF 卷后为圆柱O 1O 2的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以O 为坐标原点的平面直角坐标系，设P x ,y 为裁剪曲线上的点，作PH ⊥x 轴，垂足为H ．图乙中线段OH 卷后形成的圆弧OH (图甲)，通过同学们的计算发现y 与x 之间满足关系式y =3-3cos x3(0≤x <6π)，现在另外一个纸板上画出曲线y =1-cos x2(0≤x <4π)，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为()A.255B.55C.12D.533(2022·辽宁沈阳·一模)如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.4(22·23下·辽宁·阶段练习)如图所示圆锥，C 为母线SB 的中点，点O 为底面圆心，AB 为底面圆的直径，且SC ，OB ，SB 的长度成等比数列，一个平面过A ，C ，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为．5(多选)(2023·江苏南通·模拟预测)如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β题型17二级结论之切线方程圆锥曲线切线方程的常用结论【结论1】(1)经过圆x 2+y 2=r 2上一点M x 0,y 0 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2．(2)当M x 0,y 0 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2．【结论2】(1)若圆心不在原点，圆的方程：x -a 2+y -b 2=r 2，若M x 0,y 0 为圆上一点，则过M x 0,y 0 切线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2(2)若M x 0,y 0 在圆外，过M 点切线有两条：切点弦所在直线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．【结论3】(1)过圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x a2+y 0yb 2=1．(3)设过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 外一点M x 0 , y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2+y 1yb 2=1，x 2x a 2+y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2+y 1y 0b 2=1，x 2x 0a 2+y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2+y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论4】(1)过圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为y 0y a 2+x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为y 0y a 2+x 0xb2=1．【结论5】(1)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为x 0x a 2-y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：x 0x a2-y 0yb2=1．(3)设过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 外一点M x 0,y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2-y 1yb 2=1 , x 2x a 2-y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2-y 1y 0b 2=1 , x 2x 0a 2-y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2-y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论6】(1)过双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为y 0y a 2-x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：y 0y a 2-x 0xb2=1．1(2023·重庆·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A x 1,y 1 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B ，若cos ∠F 1AF 2=12，且F 1B =2BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.22B.5C.2D.31(22·23高三上·全国·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 上的一点M (异于顶点)，过点M 作双曲线C 的一条切线l .若双曲线C 的离心率e =233，O 为坐标原点，则直线OM 与l 的斜率之积为()A.13B.23C.32D.32(2022·全国·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与椭圆x 24+y 23=1．过椭圆上一点P -1,32作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ的中点，则双曲线C 的离心率为()。
2022届数学圆锥曲线题型归纳讲义 (3)
高考中的圆锥曲线问题题型一范围问题例1 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=√32，直线x+√3y-1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|∙|MB|，求λ的取值范围思维总结：解决圆锥曲线中的取值范围问题需要从以下几个方面考虑：（1）利用圆锥曲线的几何关系或判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（2）利用已知的范围求新参数范围时，着重去寻找并建立两个参数之间的等量关系式（3）利用题目中隐含的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（4）利用题目中已知的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（5）利用函数中求值域的方法，把需要求的量表示为其他相关变量的函数，求函数的值域，确定出参数的取值范围。
变式1 已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.（1）若△PO F2为等边三角形，求C的离心率（2）如果存在点P，是的P F1⊥P F2，且△F1P F2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围.题型二最值问题例2（几何法求最值）已知抛物线C1：y²=4x和C2：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1）且F1F2⊥OP（O为坐标原点）.（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN 面积的最小值.例3（代数法求最值）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左右焦点的椭圆E恰好）.经过点（1，√22（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（-2，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，，求△F2MN面积的最大值.思维总结：圆锥曲线最值问题的两种求解方法1.利用几何法，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2.利用代数法，把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（某些）参数的函数（或解析式），利用函数方法或不等式等方法进行求解.变式2 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .变式3 椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.（1）求椭圆C的方程（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√32，求△AOB面积的最大值.题型三定点问题例4 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（−√3，0），F2（√3，0），且经过点A（√3，12）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点B（4，0）的一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′，证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.思维总结：求圆锥曲线综合问题的一般步骤（1）求出圆锥曲线方程（一般根据待定系数法或定义法）；（2）设直线方程并于曲线方程联立，得到关于x或y的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系（或求出交点坐标）；（4）将第三步得出的关系式代入，解决范围、最值或定点、定值等问题；（5）反思回顾，考虑方程有解条件和图形的完备性.变式4 已知椭圆C：x 22+y2=1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D.（1）求四边形QAHB（O为坐标原点）的面积的取值范围；（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.题型四定值问题例5 设F1，F2为椭圆x 24+y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足M F1⊥M F2，已知△M F1F2的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设C的上顶点为H，过点（2，-1）的直线与椭圆交于R，S两点（异于H），求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.思维总结：圆锥曲线定值问题的常见类型及解题思路（1）求代数式为定值：根据题意设出条件，得到与代数式中参数相关的等式，代入代数式中，从而化简得出定值.（2）求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得到相关的解析式，利用题设条件化简、变形得出定值.（3）求线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再根据题目中的条件对解析式进行化简、变形得出定值.变式5 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，且过点A（2，1）.（1）求C的方程；（2）点M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.题型五证明问题例6 设椭圆E：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为√22，△AB F2的周长为4√6. （1）求椭圆E的方程；（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.思维总结：圆锥曲线中证明问题常见的有以下两种：（1）位置关系：如证明直线与曲线相切，直线间的平行，垂直，直线过定点等；（2）数量关系：如存在定值，恒成立，相等等。
高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结
高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
练习：1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF2.方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）3.已知点)0,22(Q 及抛物线4x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
圆锥曲线中的定值问题(解析版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线
专题6 圆锥曲线中的定值问题一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍(一) 定值问题解题思路与策略定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：(1)设参数；(2)用参数来表示要求定值的式子；(3)消参数.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【例1】(2022届河北省张家口市高三上学期期末)已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2,右顶点D（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C交于,A B两点,且0,OA OB O⋅=为坐标原点,点O到直线l的距离是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由.【分析】（1）结合双曲线的离心率,顶点到渐近线的距离求得,a b,由此求得双曲线C的方程.（2）根据直线l 与坐标轴平行或不平行两种情况进行分析,结合根与系数关系以及0OA OB ⋅=列方程,化简后根据点到直线距离公式求得O 点到直线l 的距离. 【解析】（1）由题意,得双曲线C 的渐近线方程为by x a=±, 右顶点为(),0D a .又222+=a b c ,,2ab c e c a====, 所以12a c =,故b = 又2234a a +=,解得21a =, 所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()()1122,,,A x y B x y .当直线l 和轴线平行时,1122,x y x y ==,解得1122x y x y ====, 所以点O 到直线l当直线l 和轴线不平行时, 设直线l 的方程为x my t =+,由221,3y x x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()222316330m y mty t -++-=, ()()()22222Δ(6)4313312310mt m t m t =---=+->,所以2121222633,3131mt t y y y y m m --+==--. 又1122,x my t x my t =+=+,所以()()()()2212121212121210OA OB x x y y my t my t y y m y y mt y y t ⋅=+=+++=++++=,得()()()2222222133631031m t m t t m m +--+-=-,解得22233t m =+.又点O 到直线l的距离为d ,则222312tdm==+,故d=所以点O到直线l【例2】（2022届上海市松江区高三一模）2222Γ:1(0,0).x ya b y xa b-=>>=已知双曲线的焦距为渐近线方程为（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m R∈,直线y kx m=+与双曲线Γ总有公共点,求实数k的取值范围；（3）若过点()1,0的直线l与双曲线Γ交于M N､两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PM PN⋅为常数？若存在,求出点P的坐标及此常数的值,若不存在,请说明理由.【分析】（1）由离心率及渐近线方程求出,a b即可得双曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程,消元得方程,分类讨论,当方程为一元一次方程时不符合题意,当方程为一元二次方程时利用判别式求解即可;（3）假设存在P, 计算PM PN⋅,根据韦达定理化简,当满足7202a-=时,PM PN⋅为常数.【解析】（1）由题意可知,bca==因为222c a b=+,所以1a b==,所以双曲线的方程为2212xy-=；（2）联立221,2xyy kx m⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)42(1)0k x kmx m---+=,当2120k-=时,此时易知0m=时,直线与双曲线没有公共点,不符合题意,所以2120-≠k,且0∆≥,即222(4)8(12)(1)0km k m+-+≥,所以2221m k≥-,所以2210k-<,解得k<<所以k<<（3）设1122(,),(,)(,)，M x y N x y P a b , 所以1122(,),(,)PM x a y PN x a y =-=-,当斜率不存在时,可知不符合,所以设直线(1)y k x =-, 所以2121212()PM PN x x a x x a y y ⋅=-+++ 22221212(1)()()k x x a k x x a k =+-++++,①联立2212(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,得2222(12)42(1)0k x k x k -+-+=, 所以22121222422,2121k k x x x x k k ++==-- ②, 把②代入①化简得：2222227234232221221ak k a PM PN a a a k k --+⋅=+=-++--, 所以当7202a -=时,得74a =,此时1716PM PN ⋅=. (二) 与线段长度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值【例3】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ,点⎭在椭圆C 上,过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交于D 、E 两点,且四边形12A DA E 的面积为6． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线()()22y k x m m =--<<与椭圆C 相交于M 、N 两点,且与x 轴相交于点P ,若22PM PN +的值与m 无关,求斜率k 的值．【分析】（1）根据题干条件可得出关于a 、b 的方程组,解出这两个量的值,即可得出椭圆C 的标准方程； （2）联立直线与椭圆的方程,设点()11,M x y 、()22,N x y ,列出韦达定理,可得出22PM PN +的表达式并化简,结合已知条件可求得k 的值. 【解析】（1）由题意知122A A a =．将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±,所以22bDE a=, 所以由四边形12A DA E 的面积为6,得2121122622b A A DE a a ⋅=⨯⨯=,所以b =又点⎭在椭圆C 上,所以222312a b +=,所以,2a =. 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()222223484120k x k mx k m +-+-=, 则()()()422222226443441248430k m k k m k k m ∆=-+-=+->．设()11,M x y 、()22,N x y ,则2122834k mx x k +=+,2212241234k m x x k -=+, 易知(),0P m ,所以()()()22212221P k x m x N m M P ⎡⎤=+-+-+⎣⎦()()()2221212121222k x x x x m x x m ⎡⎤=++--++⎣⎦()2222222222841281222343434k m k m k m k m m k k k ⎡⎤⎛⎫-=+-⨯-⨯+⎢⎥ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2222221643243434k m k k k +⎡⎤=--++⎣⎦+．由上式可知要使22PM PN +的值与m 无关,必有2430k -=,解得k = 所以直线()y k x m =-的斜率k的值为 (三)与面积有关的定值问题【例4】与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 已知O 为坐标原点,椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ,动直线l ：()11y x m =-与Γ相交于B ,C 两点,点B 关于x 轴的对称点为B ',点B '到Γ的两焦点的距离之和为4． （1）求Γ的标准方程．（2）若直线B C '与x 轴交于点M ,OAC ,AMC 的面积分别为1S ,2S ,问12S S 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．【分析】（1）用椭圆的定义及性质即可得解；（2）利用“设而不求法”表示出OAC ,AMC 的面积,即可求出12S S . 【解析】（1）由对称性得点B '在椭圆Γ上,根据点B '到Γ的两焦点的距离之和为4及椭圆的定义,得24a =,解得2a =． 因为Γ所以c a =所以c =所以222431b a c =-=-=所以Γ的标准方程为2214x y +=．（2）12S S 是定值,且该定值为1．理由如下：由()221,411,x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()22144my y ++=,即()224230m y my ++-=． 设()11,B x y ,()22,C x y ,则()11,B x y '-,且12224m y y m +=-+,12234y y m =-+． 易得直线B C '的方程为112121y y x x y y x x +-=+-, 令0y =,得211121x x x y x y y -=++ ()1211211my y y my y y -=+++22121112211my y my my my y y y -++=++121221my y y y =++223241424m m m m -⨯+=+=-+． 所以当m 变化时,直线B C '与x 轴交于定点()4,0M ． 所以1222114212CCOA OA S S AM AM y y ⨯⨯=⨯=-⨯==, 即12S S 是定值,且定值为1．(四) 与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.【例5】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,直线21y x =-与抛物线交于M ,N 两点,且||||4MF NF +=． （1）求抛物线C 的方程；（2）若(4P ,)(0)m m >是抛物线C 上一点,过点(1,4)Q -的直线与抛物线C 交于A ,B 两点（均与点P 不重合）,设直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,求证：12k k 为定值．【分析】(1)联立直线和抛物线方程,根据抛物线定义和焦半径公式得到12||||22p pMF NF x x +=+++,根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点P 坐标可得到参数m 的值,设直线AB 的方程为1(4)x t y -=+,联立该直线和抛物线方程,34123434343444161644(4)(4)4()16y y k k x x y y y y y y --=⨯==--+++++,代入韦达定理可得到最终结果.【解析】（1）设点1(M x ,1)y ,点2(N x ,2)y ,联立2221y pxy x ⎧=⎨=-⎩,整理得24(42)10x p x -++=, ∴1242142p px x ++==+, 由抛物线的定义知12||||14222p p pMF NF x x p +=+++=++=, 解得2p =,∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）(4P ,)(0)m m >为抛物线C 上一点,4m ∴=,即(4,4)P ,设3(A x ,3)y ,4(B x ,4)y ,直线AB 的方程为1(4)x t y -=+,由21(1)4x t y y x-=+⎧⎨=⎩,消去x 得241640y ty t ---=, 344y y t ∴+=,34164y y t =--,34123434343444161616444(4)(4)4()1616444163y y k k x x y y y y y y t t --=⨯====--+++++--+⨯+, 即12k k 为定值．(五) 与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值.【例6】（2022届广东省广州市高三上学期12月调研）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F,2F 分别为椭圆C 的左,右焦点,M 为椭圆C 上一点,12MF F △的周长为4+（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为圆225x y +=上任意一点,过P 作椭圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,判断PA PB ⋅是否为定值?若是,求出定值：若不是,说明理由,【分析】（1）由离心率和焦点三角形周长可求出,a c ,结合关系式得出b ,即可得出椭圆C 的方程； （2）由PB 平行于y 轴特殊情况求出0PA PB ⋅=,即1PA PB k k ⋅=-；当PB 平行于y 轴时,设过P 的直线为()00y k x x y =-+,联立椭圆方程,令0∆=化简得关于k 的二次方程,由韦达定理即可求解. 【解析】（1）由题可知,224c e a c a ==+=+解得2,a c ==又222a b c =+,解得1b =,故椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）如图所示,当PB 平行于y 轴时,PA 恰好平行于x 轴,()()()0,12,0,2,1A B P ,()()2,0,0,1PA PB =-=-,0PA PB ⋅=； 当PB 不平行于y 轴时,设()00,P x y ,设过点P 的直线为()00y k x x y =-+, 联立()220014x y y k x x y ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()2220000418410k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 令0∆=得()()()2222000064164110k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,化简得 ()22200004210x k x y k y --+-=,设12,PA PB k k k k ==,则20122014y k k x -⋅=-,又22005x y +=,故220012220014144y x k k x x --⋅===---,即0PA PB ⋅=. 综上所述,0PA PB ⋅=.【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知()0,1P 为椭圆C ：22143x y +=内一定点,Q 为直线l ：3y =上一动点,直线PQ 与椭圆C 交于A ､B 两点（点B 位于P ､Q 两点之间）,O 为坐标原点.（1）当直线PQ 的倾斜角为4π时,求直线OQ 的斜率； （2）当AOB 的面积为32时,求点Q 的横坐标；（3）设AP PB λ=,AB BQ μ=,试问λμ-是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.【分析】（1）先得到直线PQ 的方程为：1y x =+,由13y x y =+⎧⎨=⎩得到Q 的坐标求解；（2）设直线PQ 的方程为1y kx =+,由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,结合韦达定理求得12x x -,再由121322AOB S OP x x =⋅-=求解.（3）设直线PQ 的方程为()1x m y =-,由()221431x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得到()()()224318180m y y +-+--=,,有()()1212228811,114343y y y y m m -+-=--⋅-=-++,再根据AP PB λ=,AB BQ μ=,得到12121122221333,11333y y y y y y y y y y λμ---+--====-+----求解.【解析】（1）因为直线PQ 的倾斜角为4π,且()0,1P , 所以直线PQ 的方程为：1y x =+,由13y x y =+⎧⎨=⎩,得()2,3Q , 所以直线OQ 的斜率是32OQ k =；（2）易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为1y kx =+,由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()2234880k x kx ++-=, 设()()1122,,,A x y B x y ,则12122288,3434k x x x x k k +=-⋅=-++,所以12x x -==所以121322AOBSOP x x =⋅-==, 解得214k =,即12k =±, 所以直线PQ 的方程为112y x =+或112y x =-+, 由1123y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得()4,3Q ； 由1123y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩,得()4,3Q -； （3）易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为()1x m y =-, 由()221431x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得()()()224318180m y y +-+--=,设()()1122,,,A x y B x y ,则()()1212228811,114343y y y y m m -+-=--⋅-=-++, 所以()()12121111y y y y -+-=-⋅-, 因为AP PB λ=,AB BQ μ=, 所以12121122221333,11333y y y y y y y y y y λμ---+--====-+----, 所以112213113y y y y λμ---=++--, ()()()()()()1111222112111113y y y y y y ⎡⎤-+-+--⎣⎦=+=--.(六) 与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值【例8】已知A ,B 是双曲线221:13y C x -=的左、右顶点,P 是双曲线1C 上不同于A ,B 的一点． （1）若线段PB 的垂直平分线分别交PB ,P A 于点(),M M M x y ,(),N N N x y ,求M N x x -；（2）若O 为坐标原点,射线OP 交椭圆222:13y C x +=于点Q ,设直线P A ,PB ,QA ,QB 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,4k ,求22221234k k k k +--的值．【分析】（1）由双曲线1C 的方程可得()1,0A -,()10B ,,设()()000,P x y x ≠1,则001,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭,写出直线PB , P A 的方程,联立求解得N x ,即可求解； （2）由斜率公式结合题意求解即可【解析】（1）由双曲线1C 的方程可得()1,0A -,()10B ,,设()()000,P x y x ≠1, 又M 是线段PB 的中点,则001,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭ 直线PB 的斜率为001y x -,直线P A 的斜率为001y x +, 又PB MN ⊥,则直线MN 的方程为00001122y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 即2000001122x x y y x y y --=++, 又直线P A 的方程为00(1)1y y x x =++, 联立得()2220000011(1)221x y y x x x x --++=++, 代入()220031y x =-,消去2y ,解得0214x x -=, 即0214N x x -=,则001213244M N x x x x +--=-=． （2）设()11,Q x y ,则0000111112342200110122111111y y x y y y x y k k k k x x x x x x +++=+++=++-+---, 易知220013y x -=,221113y x +=,化简得011234016x x k k k k y y ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭,因为O ,P ,Q 三点共线,所以0101y y x x =, 所以12340k k k k +++=．易知20001220003111y y y k k x x x =⋅==+--,同理可得343k k =-, 由12340k k k k +++=,得22221212343422k k k k k k k k ++=++,所以2222123412k k k k +--=-．(六) 与定值有关的结论1.若点A ,B 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A ,B 不重合的点,则22PA PBb k k a⋅=-；2.若点A ,B 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A ,B 不重合的点,则22PA PBb k k a⋅=. 3.设点是椭圆C ：上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,则直线AB 斜率为定值；4. 设点是双曲线C ：一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,直线AB 斜率为定值； 5. 设点是抛物线C ：一定点,点A,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,直线AB 斜率为定值. 6.设,,A B C 是椭圆上不同3点,B,C 关于x 轴对称,直线AC,BC 与x 轴分别交于点,M N ,则2OM ON a =.7.点A ,B 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上动点,O 为坐标原点,若OA OB ⊥,则2211OA OB+=2211a b +（即点O 到直线AB 为定值）8. 经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2,则212||||PA PA b ⋅=.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x轴于P,则||||2PF eMN =. 10. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P 引x 轴、y 轴的平行线,交y 轴、x 轴于,M N ,交直线by x a=-于,Q R ,记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,则：(),P m n ()222210x y a b a b+=>>()220bm n an ≠(),P m n ()222210,0x y a b a b-=>>()220bm n an-≠(),P m n ()220y px p =>()0pn n-≠()222210x y a b a b+=>>122ab S S +=. 【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数0m >且1m ≠,椭圆Γ：2221x y m +=,点P 是Γ上的动点．（1）若点P 的坐标为()2,0,求Γ的焦点坐标；（2）设3m =,若定点A 的坐标为()2,0,求PA 的最大值与最小值； （3）设12m =,若Γ上的另一动点Q 满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点）,求证：O 到直线PQ 的距离是定值．【分析】（1）由题可得2m =,c =即得；（2）由题可得()222282459x PA x y x =-+=-+,利用二次函数的性质即得； （3）当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+,联立椭圆方程可得()2224210k x ktx t +++-=,利用韦达定理及条件可得2215k t +=,进而可得O 到直线PQ 的距离为定值,当直线PQ 斜率不存在时,可得x =易得O 到直线PQ 的距离为定值,即证.【解析】（1）∵椭圆Γ：2221x y m +=,点P 的坐标为()2,0,∵2m =,c∵Γ的焦点坐标为()),；（2）设(),P x y ,又()2,0A ,由题知2219x y +=,即2219x y =-,∵()()222222288912214599942x x PA x y x x x ⎛⎫=-+=-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭,又33x -≤≤,∵当3x =-时,2PA 取得最大值为25；当94x =时,2PA 取得最小值为12；∵PA 的最大值为5,. （3） 当12m =时,椭圆Γ：2241x y +=, 设()()1122,,,P x y Q x y ,当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+,则由2241y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,得()2224210k x ktx t +++-=, ∵()()()222212122221,,2441044kt t x x x x kt k t k k--+==∆=-+->++, 由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,即12120x x y y +=,∵()()12120x x kx t kx t +++=,即()()22121210k x x kt x x t ++++=,∵()22222121044t ktk kt t k k--+⋅+⋅+=++,可得2215k t +=,满足0∆>,∵O 到直线PQ 的距离为d ==为定值；当直线PQ 斜率不存在时,OP OQ ⊥,可得直线方程为x =,O 到直线PQ综上,O 到直线PQ 的距离是定值． 三、跟踪检测1．如图,点M 是圆22:(1)16A x y ++=上任意点,点(0,1)B ,线段MB 的垂直平分线交半径AM 于点P ,当点M 在圆A 上运动时,（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）//BQ x 轴,交轨迹E 于Q 点（Q 点在y 轴的右侧）,直线:l x my n =+与E 交于,C D （l 不过Q 点）两点,且直线CQ 与直线DQ 关于直线BQ 对称,则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论？ ∵直线l 恒过定点；∵m 为定值；∵n 为定值．【分析】（1）根据题意得P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆,进而根据椭圆的定义求解即可； （2）根据题意0CQ DQ k k +=,再设1122()()C x y D x y ，，，,进而直线l 与椭圆联立方程,结合韦达定理得整理得(21)(223)0m m n -+-=,再根据C ,D ,Q 三点不共线得12m =. 【解析】（1）如图,由A 方程,得(0,1)A -,半径4r =,∵P 在BM 的垂直平分线上,∵PM PB =, 所以||||||||||4||2PA PB PA PM AM AB +=+==>=, ∵P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆, 由24a =,则2a =,1c =,23b =,∵点P 的轨迹E 的方程为22143y x +=．（2）解：∵直线l 与轨迹E 交于C ,D 两点,设1122()()C x y D x y ，，，,如图22143x my n y x=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x ,得22()143y my n ++=, 整理,得222(34)84120m y mny n +++-=,122834mn y y m +=-+，212241234n y y m -=+,因为CQ 与DQ 关于BQ 对称,//BQ x 轴, 所以0CQ DQ k k +=,312Q ⎛⎫⎪⎝⎭，,132x ≠,232x ≠, 12121103322y y x x --+=--,即122133(1)(1)022y x y x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵11x my n =+,22x my n =+,∵整理：121232()2302my y n m y y n ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭,22241238223034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭, 即24(48)230m n m n +--+=, 即(21)(223)0m m n -+-=,若2230m n +-=,点312Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足:l x my n =+,即C ,D ,Q 三点共线,不合题意, ∵210m -=,即12m =, ∵直线l 中m 为定值12．2．（20022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）如图,已知抛物线：2:C x y =,()0,1M ,()0,1N -,过点M 垂直于y 轴的垂线与抛物线C 交于B ,C ,点D ,E 满足CE CN λ=,()01ND NB λλ=<<.（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点为Q ,记BCQ △与DEN 的面积分别为1S ,2S ,求12S S 的值. 【解析】（1）易知()()1,1,1,1B C -,设(),D x y ,由ND NB λ=,可得()(),11,2x y λ+=, 故有(),21D λλ-,同理()1,12E λλ--,于是直线DE 的方程是()()()2142y x λλλ--=--,即()()24221y x λλ=---∵与抛物线方程联立,即()()224221y x x y λλ⎧=---⎪⎨=⎪⎩得到()()2210x λ--=,此方程有两个相等的根：)1(2x λ=-代入∵,得()221y λ=-, 故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()2,2121Q λλ--（2）()()()()2211112*********BCQ Q S S BC h y λλλ==⋅=⨯⨯-=⨯⨯--=-△ 设直线DE 与y 轴交于G ,则()()20,21G λ--, 于是()()()()()222112122211DEN D E S S NG x x λλλλλ==⋅-=⋅---=⋅--+△ 故有122S S =.3．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ,作MD x ⊥轴于点D ,作NQ MD ⊥于点Q .（1）令MOD α∠=,若4a =,1b =,3πα=,求点Q 的坐标； （2）若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；（3）设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点1B ,2B ,若点E ､F 分别满足3AE OE =-,243AF OB =,设直线1B E 和2B F 的交点为K ,设直线l ：2ax c=及点(),0H c ,（其中c ,证明：点K 到点H 的距离与点K 到直线l 的距离之比为定值ca.【解析】（1）设(),Q x y ,则由题知4cos 23sin 3x y ππ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩,因此Q ⎛ ⎝⎭（2）（2）设MOD α∠=及(),Q x y ,则由题知cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：()222210x y a b a b +=>>. （3）设(),K x y ,由题知,()10,B b ,,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()20,B b -,3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,1B E l ：14x ya b +=,即4bx ay ab +=,2B F l ：34y b xa b b +=-+,即44bx ay ab -=,联列上述直线方程,解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.KH =817a c =-令点K 到直线l 的距离为PM ,则2881717c c a PM a a c a a c ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭.因此有KH cPMa=.4．（2022届衡水金卷高三测试）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ,直线1x my =+交C 于A ,B 两点,过点A ,B 分别作l 上的垂线,垂足分别为A ',B '.（1）若梯形ABB A ''的面积为求实数m 的值；（2）是否存在常数λ,使得2A B AF BF λ''=⋅成立?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由? 【解析】（1）由题得准线:1l x =-,直线1x my =+过焦点(1,0)F . 设()11,A x y ,()22,B x y ,则()11,A y '-,()21,B y '-,联立21,4x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=,所以124y y m +=,124y y =-,所以()21212242x x m y y m +=++=+,221212116y y x x ==,12y y -===而梯形ABB A ''的面积()()1212111122S AA BB A B x x y y '''=+'=+++- (2244m =+=解得m .（2）()()12||||11AF BF AF BF x x ⋅=-⋅=-++()()()2212121142141x x x x m m =-+++=-+++=-+,又()222212161A B A B y y m ''''==-=+,所以24A B AF BFλ''==-⋅为常数.5．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,当l x ⊥轴时,2AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ,过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ,直线PF 交抛物线C 于另一点Q .∵是否存在定点M ,使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在,求出定点M 的坐标；若不存在,请说明理由.∵求证：QAF QBF S S ⋅△△为定值.【解析】（1）当l x ⊥轴时,易得2AB p =, 所以22p =,解得1p =,所以抛物线C 的方程为22y x =；（2）∵解：易知直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为()102x my m =+≠, 代入抛物线C 的方程22y x =,并整理得2210y my --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,由根与系数的关系得12=2y y m +,121y y =-.所以21212121222x x my my m ++++==,所以线段AB 的中点N 的坐标为221,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,连接QM ,若四边形AQBM 为平行四边形,则N 是QM 的中点, 易知10,2D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因此211,82P mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 设直线PQ 的方程为12x ty =+,代入抛物线C 的方程22y x =,整理得2210y ty --=,所以112P Q Q y y y m=-⋅=-, 故2Q y m =,因此()22,2Q m m ,故可得22212212M m x m +=⨯-=,220M y m m =-=,故点M 的坐标为()1,0M ,因此存在定点()1,0M ,使得四边形AQBM 为平行四边形；∵证明：点()22,2Q m m 到直线1:2l x my =+的距离d =由()11,A x y ,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,可得1AF =,因此11124QAF S AF d y =⋅=△, 同理可得214QBFS y =, 所以12111616QAF QBFSSy y ⋅==,为定值.6．已知过点()0,1A -且斜率大于零的直线1l 与抛物线()2:20C x py p =>及圆22670x y x +-+=都相切.（1）求p 的值；（2）过点()0,2B 的动直线2l 与抛物线C 交于点P ,Q ,以BP 为直径的圆与直线0y y =交于点M ,N ,若MN 为定值,求0y 的值.【解析】（1）解法一：由22x py =,得22x y p=,x y p '=. 设直线1l 与抛物线C 切于点2,2t t p ⎛⎫⎪⎝⎭,易知0t >,则1l 的斜率212t t p k p t+==,得t =k ∵直线1l的方程为1y =-. 圆22670x y x +-+=的标准方程为()2232x y -+=,∵圆心为()3,0,其到直线1l的距离d ==得2p =.解法二：由题设直线1l 的方程为()10y kx k =->, 由直线1l 与圆22670x y x +-+=即圆()2232x y -+=相切,=得1k =,故直线1l 的方程为1y x =-,将其代入()220x py p =>,得2220x px p -+=.∵直线1l 与抛物线()2:20C x py p =>相切,∵2480p p ∆=-=,∵2p =.（2）设()11,P x y ,则2114x y =,以BP 为直径的圆的圆心11,122x y E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,()2222221111112444BP x y y x y y =+-=+-+=+.连接EM ,过E 作直线0y y =的垂线,垂足为G ,则10,2x G y ⎛⎫⎪⎝⎭,MN ====当01y =时,2MN =,为定值,故01y =.7．已知1F ,2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=(0a >,0b >)的左、右焦点,126F F =,P 是C 上一点,112PF F F ⊥,且12PF PF +=（1）求双曲线C 的标准方程；（2）经过点2F 的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点,过点A 作直线2x =的垂线,垂足为D ,过点O 作OM BD ⊥(O 为坐标原点),垂足为M .则在x 轴上是否存在定点N ,使得MN 为定值？若存在,求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】（1）由题意得212PF PF a -=, ∵112PF F F ⊥,1226F F c ==, ∵222136PF PF -=,又12PF PF +=236a ⋅=,解得a = ∵26a =,2293b a =-=,∵双曲线C 的标准方程为22163x y -=.（2）由(1)得()23,0F ,设()11,A x y ,()22,B x y ,则()12,D y , 易知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为3x ty =+,t ≠,联立直线l 与双曲线C 的方程,消去x 得()222630t y ty -++=,∵()22410t ∆=+>,∵12262t y y t +=--,12232y y t =-. ∵直线BD 的斜率21212221y y y y k x ty --==-+, ∵直线BD 的方程为()211221y y y y x ty --=-+, 设BD 交x 轴于E 点,如图,∵OM ∵BD ,∵若在x 轴上存在定点N ,使得MN 为定值,则E 为定点,N 为OE 中点,12MN OE =,即直线BD 过x 轴上的定点E .在直线BD 的方程()211221y y y y x ty --=-+中,令0y =,得()12112121121222ty y y ty y y x y y y y y ++=-=--+-1122121233152222263222222t ty y t t t t y y t t ++--=-=-=+=⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭, ∵直线BD 过定点5,02E ⎛⎫⎪⎝⎭.∵5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭,则1524MN OE ==.综上,在x 轴上存在定点5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭,使得MN 为定值54.8．（2022届四川省南充市高三一诊）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ,2B ,且122B B =,过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当1k =时,求OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值． 【解析】（1）因为122B B =,所以22b =,即1b =,,所以c a 设c m =,则a =,0m >,又222c a b =-,即2222m m b =-,解得1m =或1-（舍去）,所以a =1b =,1c =,所以椭圆的标准方程为2212x y += （2）由22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222220x x ++-=23860x x ++=,284360∆=-⨯⨯<所以直线与椭圆无交点,故OMN 的面积不存在．（3）由题意知,直线l 的方程为2y kx =+,设()11,M x y ,()22,N x y ,则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()2221860k x kx +++=,则()()22122122Δ846120821621k k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩, 因为直线和椭圆有两个交点,所以()()22824210∆=-+>k k ,则232k >, 设(),T m n ,因为1B ,T ,M 在同一条直线上,则111111313y kx n k m x x x +++===+, 因为2B ,T ,N 在同一条直线上,则222221111y kx n k m x x x -+-===+, 由于()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+,所以12n =,则交点T 恒在一条直线12y =上,故交点T 的纵坐标为定值12. 9．（2022届】河北省邯郸市高三上学期训练）在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到点30,2T ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =-的距离大12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点T 的直线l 与动点P 的轨迹C 交于,A B 两点,问11AT BT+是否为定值？若是求出定值,不是说明理由.【解析】（1）方法一：设动点(),P x y ,()112y ++*.若1y ≥-,则()*32y =+,两边平方并化简可得：26x y =；若1y <-,则()*12y =--,两边平方并化简可得：242x y =-,显然不成立.∴动点P 的轨迹C 的方程为26x y =.方法二：由动点P 到点30,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =-的距离大12,知动点P 到点30,2T ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与它到直线3:2l y =-的距离相等,满足抛物线定义；由抛物线的定义知：动点P 的轨迹C 的方程为：26x y =.（2）易知直线l 斜率存在,设直线l 的方程为：32y kx =+,由2326y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2690x kx --=,则236360k ∆=+>, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则126x x k +=,129x x =-,21263y y k ∴+=+,1294y y =. 抛物线26x y =焦点为T ,由抛物线定义知：132AT y =+,232BT y =+, ()121212121212331111333933222422y y y y AT BT y y y y y y y y ++++∴+=+==⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22226666293999363424k k k k ++===++⨯++, ∴11AT BT +为定值23. 10．（2022届云南省昆明市高三摸底）已知点0(,2)M x 在抛物线2:2(0)C y px p =>上,C 的焦点为F ,2MF =．（1）求抛物线C 的方程及0x ；（2）经过点(2,2)-的直线l 与C 交于A ,B 两点,且A ,B 异于点M ,若直线MA 与MB 的斜率存在且不为零,证明：直线MA 与MB 的斜率之积为定值．【解析】（1）由题知：000422122px p px x =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩. 所以抛物线C 的方程：24y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时,直线l 为2x =,联立224x y x =⎧⎨=⎩,得(2,A,(2,B -.2MA k ==,2MB k ==-,则()()224MA MB k k ⋅=-=-.当直线l 的斜率存在时,设直线l 为2(2)+=-y k x ,设11(,)A x y ,22(,)B x y , 则：1121MA y k x -=-,2221MB y k x -=-. 联立22(2)4y k x y x+=-⎧⎨=⎩得：22204ky y k ---=因为2112()022k ∆=++>,所以124y y k+=,1288y y k =--．所以121222121212121222(2)(2)161611(2)(2)2()4(1)(1)44y y y y y y x x y y y y y y ----⋅===--+++++--,所以121222164881184y yx xk k--⋅==-----++,所以直线MA与MB的斜率之积为定值4-．。
2022届高考数学圆锥曲线重难点专题17 圆锥曲线与内心问题(解析版)
1ΔMPF S =121(22PF F Sa =+222a b a ==，即(1e +又12121325PF F SF F a an ==，解得4．已知A 、B 是抛物线2(0)Px P >的两点，ABO 的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ） ．2P x = ．(221)2x -=【解析】因为A |OB ，ABO 的内心恰是此抛物线的焦点，所以所以由三角形角平分线的性质得化简得, 24m0m >,所以22的大致图像，120GP GF GF ++=，若(12GI F F R λλ=∈ ） B ．2 C 【解析】设()()()0102,0,,,0,F c F c P x y -，由题意得120GP GF GF ++=，所以点()12GI F F R λλ=∈，所以//GI x 轴，则12F PF S =m =，则222PF m a m =+=+， ()120121211232F PF y SPF PF F F =++⋅=(012222y m a =++，则2c m =2PI IQ=，所以椭圆的离心率12IQPI=.故选：二、多选题2ac=23=的内切圆半径为r ，则15y ， 1,F G 为12PF F △的重心，则下列说法正确的是（的离心率为3212PI xPF yPF =+，则12//IG F F 【解析】由题意，双曲线22:145x y C ，可得，所以A 正确； 的内切圆与边PF 12=PF F12215(2,),(7,15),(1,3PI PF PF=--=--=--12PI xPF yPF=+，可得1515yx y-=--，解得24,99x y==，可得29y x-=，所以C正确；0000(,)(0,0)P x y x y>>12=PF FS2cym n++，即m+(1221IPF IP F F IF SSSλλ=+∈PH 垂直x 轴于点H ，则【解析】A. 2122b F F c a==，故有(1221IPF IP F F IF S SSλλ=+∈121122PF r PF r F F λ⋅=⋅+121a c e==-，故C 对121212111,,2222IPF IPF IF FS PF r S PF r S c r ===⋅⋅，因为121232IPF IPF IF FS S S-=△△△，所以11122PF r PF-可得1232c PF PF a=-=，故2223334c a b=+=PEF的内心在【解析】设直线l：y=()22,F x y，则211x tx-，直线12x x+=15．已知椭圆的方程为I为1PF△PQ IQλ=，则λ【解析】如图所示，分别是12PF F∠和1IQ FQ+13IQPI=.所以3PI IQ=，所以4PQ IQ=，故λ，求12F F，求点P1）设1PF m=，cos60，解得1sin60532mn⋅=)(0000,0,x y x y>的内切圆半径为r，112F F知，12PF PF-=P在第一象限，解得1FQM ，2F QP 的面积分别为【解析】（1）因为离心率为()12,0F -，(22,0F 2，3a =，1b =，所以椭圆1FQM 以2F QP 以1212QM PQ =，∵12F h h F =()00,P x y ，∴203y +=+AB K K +BAC ∠=12⎫-⎪⎭,同理可得12Rt ABC S AB ∆=⨯32322r ∴=22．在双曲线。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
圆锥曲线(选填题)压轴题系列专题(一)：圆锥曲线与“四心”问题(第4讲)(解析版)
专题一：圆锥曲线与四心问题（内心、重心、垂心、外心）从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。
而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。
“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．专题目录：第1讲、圆锥曲线与内心问题第2讲、圆锥曲线与重心问题第3讲、圆锥曲线与垂心问题第4讲、圆锥曲线与外心问题第4讲、圆锥曲线与外心问题：三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点 知识储备：(1)、O 是ABC ∆的外心||||||OC OB OA ==⇔(或222OC OB OA ==)；(2)、若点O 是ABC △的外心，则()()()OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅=0.(3)、若O 是ABC ∆的外心，则sin 2sin 2B sin 02A OA OB C OC ⋅+⋅+⋅=; (4)、多心组合：ABC ∆的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即OG ∥OH 经典例题例1．（2019年成都七中半期16题）1F ,2F 分别为双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为12，则该双曲线的离心率为_______ .1 【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，122PF PF a -=，则()()2222212121224PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-，()()2222121212484PFPF PFPF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =，=，整理得24c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1e =. 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.例2．（2018全国高中数学联赛（湖北预赛））已知点P 的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，12F F 、为双曲线的两个焦点，且210PF PF ⋅=，则12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为____.1- 【解析】由120PF PF ⋅=，知1290PPF ∠=︒.设12,PF m PF n ==， 又122F F c =，则可得()1,22R c r m n c ==+-， 2224m n c +=， ① 2m n a -=. ②设rk R=，则()122r kR kc m n c ===+-，即有()22m n k c +=+. ③由①②③可得()22222248k c a c ++=，所以()22222213122c a k c e -+==-=，解得1k =-.故12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R1- 例3.（2020年河南省质量检测（二）改编）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ ∆的外心为G ，则2ABGF 的值为 .【答案】4【解析】由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()212221213434m AB y m m +=-=-++. 因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++，所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 值为4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题.例4.（2020年湖北省宜昌市高三调研12题）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】由题,因为()0OD OI λλ=≠,所以O 、D 、I 三点共线,因为点D 为线段FP 的中点,∆POF 的外心为I ,所以DI PF ⊥,即OD PF ⊥, 设双曲线的左焦点为(),0F c '-,则点O 为线段F F '的中点,则在PFF '中,//PF OD ',即PF PF '⊥,所以PFF '是直角三角形,所以222F F F P PF ''=+,因为PF b =,由双曲线定义可得2PF PF a '-=,所以2PF a b '=+, 则()()22222c a b b =++,因为222c a b =+,整理可得2b a =,所以c =,则ce a==,故选:D 【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用.例5.（2019年衡水中学联考12题）已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3CD ．5【答案】C【解析】不妨设点M 在第二象限，设(,)M m n ，2(,0)F c ，由D 为2MF 的中点，O 、I 、D 三点共线知直线OD 垂直平分2MF ，则:1OD y x a=，故有n a m c =--，且1122m c n a +⋅=⋅，解得21a m c-=，2n a c =， 将212,a a M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，即2222,a c a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2222222241aca a c c--=，化简可得225c a =，即e =当点M 在第三象限时，同理可得e =故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线OD 垂直平分2MF ，并用a c ，表示出点M 的坐标是解决此题的难点，属于中档题.例6.（2019云南省曲靖市二模16题）已知斜率为1的直线与抛物线24y x =交于,A B 两点，若OAB ∆的外心为(M O 为坐标原点）,则当AB MO最大时，AB =____.【答案】.【解析】由题意知,MO 为OAB 外接圆的半径，在OAB 中,由正弦定理可知,2sin AB R AOB=∠(R 为OAB 外接圆的半径),当sin 1AOB ∠=,即90AOB ∠=︒时,AB MO取得最大值2.设()11,A x y ,()22,B x y ,易知10y ≠,20y ≠,则12120x x y y +=,得221212016y y y y ⋅+=,即12160y y +=.设直线AB 的方程为y x t =+,即x y t =-,代入24y x =得,2440y y t -+=,则124y y +=,124y y t =,所以4160t +=,解得4t =-.故12AB y y =-==.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，直线与抛物线的关系，弦长公式，属于中档题.课后训练：变式1．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点，12,F F 分别为C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为（ ） AB ．2CD ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 为右支上的点，则122PF PF a -=，设双曲线的半焦距为c ，则22b PF a=，212b PF a a =+，又12Rt PF F 外接圆半径为21122b PF a a=+. 12Rt PF F 内切圆的半径为222222-22b bc ac a a a r c a+---===， 因为12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，故252=2b aac a +-， 故22560c ac a -+=，所以2c a =或3c a =，即2e =或3e =.故选：D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．变式2．（2018上海市高三模拟）已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，其中012m ＜＜，若两者图像在第二象限的交点为A ，椭圆的左右焦点分别为B 、C ，T 为△ABC 的外心，则•AT BC 的值为_____. 【答案】16.【解析】已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，焦距相等所以焦点相同，设(,0),(,0),B c C c c -=A 为两曲线在第二象限的交点，||||AB AC <，84AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，||2AB =， 设000(,),42A x y x -<<-，220016m y m x =-，||AB ==0424c x ===+=，08x c ∴=-，因为O 为BC 中点，△ABC 的外心T 在y 轴上，0OT BC ⋅=，08()(,)(2,0•)16AT B OT OA BC OA BC y c cC =-⋅=-⋅=--⋅=【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.变式3. P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上的一点，12,F F 分别为左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A．3 B．4 C．3或3 D．4或4-【答案】C【解析】212PF F F ⊥，∴点P 的坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22b PF a =,则212b PF a a =+12PF F ∆的外接圆半径21122PF b r a a==+ 其内切圆半径222222b bc a a a r c a +--==- 12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，123r r ∴=,即()232b a c a a+=-化简可得22670c ac a --=即2670e e --=解得3e =±C【点睛】本题主要考查了计算双曲线的离心率，结合题意先计算出外接圆和内切圆的半径，然后结合数量关系求出结果，属于中档题.变式4．（2018年四川省棠湖中学三诊16题）已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时，a 的最小值为__________． 【答案】4【解析】由G 是△PF 1F 2的外心，则G 在y 轴的正半轴上，120GF GF GP λ++=， 则1212()GP GF GF GO λλ=-+=-，则P ，G ，O 三点共线，即P 位于上顶点，则△PF 1F 2的面积S=12×b×2c=bc=8，由a 2=b 2+c 2≥2bc=16，则a ≥4，当且仅当时取等号， ∴a 的最小值为4，故答案为4．【点睛】(1)本题主要考查平面向量的共线定理和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出1212()GP GF GF GO λλ=-+=-，得到P ，G ，O 三点共线，即P 位于上顶点.变式5．F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=（a ，b >0）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足12PF PF ⋅=0，若△PF 1F 2的内切圆半径与外接圆半径之比为13，则该双曲线的离心率为_____.【答案】2【解析】120PF PF =，12PF PF ∴⊥．∴12PF F ∆的外接圆半径为1212F F c =，∴12PF F ∆的内切圆的半径为3c．设12PF F ∆的内切圆的圆心为M ，过M 作x 轴的垂线MN ，连接1MF ，2MF ，则3cMN =，设1NF m =，2NF n =，则2m n c +=，①不妨设P 在第一象限，由双曲线的定义可知122PF PF m na -=-=，② 由①②可得m a c =+，n c a =-，12PF PF ⊥，且1MF ，2MF 分别是12PF F ∠，21PF F ∠的角平分线，12214MF F MF F π∴∠+∠=，又121tan 33()MN c c MF F NF m a c ∠===+，2123()MN cMF F NF c a ∠==-， ∴2223()3()119()c c c a c a c c a ++-=--，化简可得2292a c =，故292e =，32e ∴=．故答案为：322．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题变式6. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点)4,0(),0,2(B A ，若其欧拉线方程为02=+-y x ，则顶点C 的坐标是 ．【答案】()4,0-【解析】设(),C m n ，由重心坐标公式得，ABC ∆的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭, 代入欧拉线方程得：242033m n++-+=,整理得：40m n -+= ① AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，AB 的中垂线方程为()1212y x -=-，即230x y -+=． 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩.．ABC ∴∆的外心为()1,1-．则()()22221131m n ∴++-=+，整理得：22228m n m n ++-= ②联立①②得：4,0m n =-=或0,4m n ==．当0,4m n ==时,B C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是()4,0-． 考点：1新概念问题;2三角形的外心,重心,垂心.。
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AOB的垂心恰好是此抛
=
【解析】如图所示，F为AOB的垂心，
垂直平分线段AB
)
2
2,2
pt pt
-，其中F为垂心，1
AF
=-，
1-
，解得2
5
4
t=，AB的方程为
2
OA BF
⋅=，即
2
a∴2c=
24
y x
=的焦点为
MNF的垂心在抛物线C上，则MNF的面积为（
．1B．2
MNF 的垂心为的横坐标为1，可得点MH FN ⊥0HM FN ⋅=，2
04y HM ⎛= ⎝(2,FN =-())2
2
0002122202y HM FN y y ⎫⋅=--+-=--=⎪⎭
，解得所以，点M 的坐标为()1,2，所以，MN 1
222
⨯⨯=4．已知双曲线22x y
若OAB ∆的垂心为抛物线AF OB ⊥得到：(22
221x y a b
-=C 的一条渐近线上，则
显然不可能，
F F P的垂心为
12
．2
【解析】椭圆
由题意，易知直线
⎛
12F F P 的垂心为PH x ⊥轴，则1F H PF ⊥
ABC，AB 相切，则下列结论正确的是（
的取值范围是
AOB 的垂心恰是此抛物,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
2p x x ⎛=- ⎝
AO BC
⋅=0，即（
所以C的坐标为：
OAB
S=
恰为PQM的垂心，则
1，
333
PF MQ
⋅=，又()(
112
1
PF x y MQ x
，，，
=--=
2121
PF MQ x m x x y y
⋅=++--
22
4222
333
m m
m m
--
-+--
2
4
33
m
m
-+=
2
34
m m
+-=，经检验满足m2＜3
∴存在满足条件直线
2
BD DA
=，则
2
3
BD BA
=，即
的左焦点为G，连接BG．
3
MF BN
⋅=，又(1
1
MF x
-(2,
BN x
=
)
2
30
y-=，又
11
3
3
y x
=+
2
3
3
x
=+
)
212
4
30
3
x x x m
+--+=
3
3
m
⎫⎛
--
⎪⎪
⎭⎝
OAB 的面积为PMN 的面积为，求证：PMN 的垂心在定直线上)1y ，)(22,B x y 2
4y =得y (1
112
x y x x -=
-，整理得12x x -
AOB
S=
，同理
PMN
S=
）仿照（1）知
22
y
--
PMN的垂心，
MH x
⎛
=
⎝
2
2
x
PN
⎛
=
⎝
MH PN
⎛
⋅=⇒
⎝
212
04
x x
x
--0
20
2
x
x
⇒⋅-，
PMN的垂心在定直线1
y=-上
．已知①如图，长AB，宽为1
2
的矩形A､B为焦点的椭圆
SD SC =MS MD =+所以根据椭圆的定义可得轴不重合，故点的轨迹方程为：2(0,1)B 21B B k =-，于是设直线m +，联立直线和椭圆方程可得：(81)0∴∆=->，21(,B P x =2(BQ x =21(B P BQ x x =根据113y x =23x =+代入得到12121((1)(31)(x x y y x m -=++-12143()(x x m x m m ++将韦达定理代入上式可得1214)(1)x x x m m +++-1AF FB ⋅=，|1OF =．两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM 的垂心？
|1OF =，所以1AF FB ⋅=，所以21b =， 2
2
2,1,a b ==）假设存在直线PQM 的垂心()(112,,,x y Q x 1=，所以设直线y x m =+)(283-=-PQM 的垂心，所以(1MP FQ x ⋅=)()210x m ++=，所以2(22
203m m m m -⎫++-=⎪⎭，解得所以存在直线l 交椭圆于两点，使点F PQM 的垂心，且直线相交于两点
()110CA CB ⋅=.又(1CA x =(2CB x =()11CA CB x ⋅=()()
(22
111y y =--+
)()211y --⋅⎡⎣，所以)12122y y y y +++20t -+=，所以所以直线: AB x =(1)0m y -+=，所以它经过定点)1-.
1m
0AE PB ⋅=，即 EA EP EA EB ⋅=⋅①. ，则()()101011EA EP x x y y ⋅=--+②，
()2
2221
21212224y y y y y m m +=+-=++，x ()()()12121212111EA EB x x y y x x x x ⋅=--+=-++由①②③得：()()1010111x x y y m --+=-，即()01x -同理：由BE PA ⊥可得：(0x ()11, x y ，(x 故此方程表示直线。