椭圆题型总结较难

椭圆题型总结

一、焦点三角形

1. 设F 1、F 2是椭圆12

322

=+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。

（法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，，

根据椭圆的定义，1||AF m =

，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得

22)44cos )44cos m m m n n n αα

⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩，

∴m =

n =

∴1

1211

||||2()sin 22

F AB B A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+

α=

=令sin t α=，所以01t <≤，∴2

1()22t g t t t t

=++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2

πα=

时，max 1()3

g t =，故1ABF △

（法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2

+3y 2

=6联立，消x 得 (2m 2

+3)y 2

+4my-4=0 ∵ AB 过椭圆定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则

Δ=48(m 2

+1)

1ABF S ∆=|y 1-y 2

m +

令 t=m 2

+1≥1，m 2

=t-1，则1ABF S ∆

t ∈[1,+∞) f(t)=144t t

++在t ∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1

。注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，

即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。

2. 如图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1) 求点P 的轨迹方程；(2) 若2

·1cos PM PN MPN

-∠＝

，求点P 的坐标.

解：(1) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b =225a c -=，所以椭圆的

方程为22

1.95

x y += (2) 由2

,1cos PM PN MPN

-得cos 2.PM PN MPN PM PN =-①

因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形. 在△PMN 中，

4,MN =由余弦定理有222

2cos .

MN PM PN PM PN MPN =+-②

将①代入②，得2

242(2).PM PN PM PN =+--

故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为23的双曲线2

213

x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组2222

5945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得33,5.

x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩

即P 点坐标为335335335335

(,)-、（，-）、（-，）或（，-）.

二、点差法

定理在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN

的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN -=⋅.

3. 直线l 经过点A (1，2)，交椭圆22

13616

x y +=于两点P 1、P 2，

（1）若A 是线段P 1P 2的中点，求l 的方程；（2）求P 1P 2的中点的轨迹．解：（1）设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116

36116362

222

121y x y x ⇒

016

)

)((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*

∵A (1，2)是线段P 1P 2的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴016)(436

)(22121=-+-y y x x ，即9

121-=--x x y y 。

∴l 的方程为2)1(9

2+--=x y ，即2x +9y -20=0．（2）设P 1P 2的中点M (x ，y )，则x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，

代入*式，得y x x x y y k 942121-=--=，又直线l 经过点A (1，2)，∴2

y k x -=-，

整理，得4x (x -1)+9y (y -2)=0，∴P 1P 2的中点的轨迹：22

()(1)2151029

x y --+=。 4. 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆12

=+y x 有两个不同的交点P 和Q.

（1）求k 的取值围；

（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与

共线？如果存在，求k 的取值围；如果不存在，请说明理由.

解：（1）直线l 的方程为.2+

=kx y

由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.

12,

222y x kx y 得：.0224)12(2

2=+++kx x k 直线l 与椭圆

1222=+y x 有两个不同的交点， )12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得：k ＜2

或k ＞22.

∴k 的取值围是⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,22

22, . （2）在椭圆12

=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴AB B A

设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x OM =

由平行四边形法则可知：.2OM OQ OP =+ OQ OP +与AB 共线，∴OM 与AB 共线.

00y x =

-∴

，从而.2

200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得：21

22-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅k ，.22=∴k 由（1）可知2

=k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k .

三、最值问题

5. 已知P 为椭圆2

214

x y +=上任意一点，M （m ，0）（m ∈R ），求PM 的最小值。

目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。

提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM ，利用二次函数思想求最小值。

解：设P(x,y)，PM=2

()x m y -+=22

()14x x m -+-=2

3214

x mx -+

234()1433

m m x -+-，x ∈[-2,2]，结合相应的二次函数图像可得（1）

43m <-2，即m<3

-时，(PM)min =|m+2|；（2）-2≤43m ≤2,即32-≤m ≤32

时，(PM)min =293m -；

（3）

43m >2，即m>3

时，(PM)min =|m-2|. 说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b ，最远的点是长轴端点，最大值为a ；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c ，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c ；

6. 在椭圆2

214

x y +=求一点P ，是它到直线l ：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。

目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般

处理方法。

提示：（1）可等价转化为与直线l 平行的椭圆的切线与直

线l 之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。

解法一：设直线m ：x+2y+m=0与椭圆2214x y +=相切，则22

x y m x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得8y 2+4my+m 2

-4=0, Δ=0,解得

m=±当

m=P 与直线l

=，此时点P 的

坐标是

(

,)；当

m=-P 与直线l

，此时点P 的

坐标是

。解法二：设椭圆上任意一点P(2cos θ,sin θ),θ∈[0,2π)

则P 到直线l

)10π

θ++

∴当θ=

π时，P 到直线l

的距离最大，最大为此时点P 的坐标是

)；

当θ=54

π时，P 到直线l

的距离最小，最小为，此时点P 的坐标是

(

)。

说明：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值围问题是一个不错的选择。

7. 设AB 是过椭圆22

1925

x y +=中心的弦，F 1是椭圆的上焦点，

（1）若△ABF 1面积为

，求直线AB 的方程；（2）求△ABF 1面积的最大值。

解：（1）设AB ：y =kx ，代入椭圆221925x y +=，得x 2=211925

+=2

225

259k +，∴x 1=-x 2

又，S △ABF 1=1

|OF 1|·|x 1-x 2|=2|x 1-x 2

|=4，∴|x 1-x 2

|=2， ∴

225

259k

+=5，∴k

=，∴直线AB 的方程为y

=x 。（2）S △ABF 1=

|OF 1|·|x 1-x 2|=4

，∴当k =0时，(S △ABF 1)Max =12。▋

8. （2014金山区一模23题）已知曲线)0>>(1=+:1b a b

a x C 所围成的封闭图形的面积为54，曲线

1C 的切圆半径为

2. 记曲线2C 是以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点. （1）求椭圆2C 的标准方程；

（2）若OA m MO =（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求ABM Δ的面积的最小值.

【解答】：(1)C 1是以(–a ，0)、(0，–b )、(a ，0)、(0，b )为顶点的菱形，故，…2分

又a >b >0，解得：a 2

=5，b 2=4，因此所求的椭圆的标准方程为

；……4分

(2)假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y=kx (k ≠0)，A (x A ，y A )，

令，得，，|OA |2=

，…………6分

设M (x ，y )，由题意得：|MO |2

=m 2

|OA |2，(m >0)，即：

，

因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为，代入上式消去k 得：

，又x 2

+y 2≠0，整理得：

(m >0)，……9分

当k =0或斜率不存在时，上式仍然成立，

综上所述，点M 的轨迹方程为(m >0)…………………10分

(3) 当k 存在且不为零时，由(2)得：，，|OA |2=

，

由，得：，，|OM |

………13分

|AB |2

=4|OA |2=

，故=………14分

≥==，当且仅当4+5k 2

=5+4k 2

时，即k =±1时，等号成立，

此时△ABM 的面积的最小值为．…………………16分

当k =0时，==>，当k 不存在时，==>，综上所述，

△ABM 的面积的最小值为．……………………………18分

9. 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（1）若6ED DF =，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值．

（1）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．

如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22

(14)4k x +=，故212

14x x k

=-=

+．①

由6ED DF =知01206()x x x x -=-

，得021215(6)77x x x x =

+==

；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k

．所以212k =

+，化简得2242560k k -+=，解得23k =

或3

k =．（2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别

为

1h =

2h =

又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为

121()2S AB h h =+1

5(14k =

=≤ 当

21k =，即当1

k =

时，上式取等号．所以S 的最大值为解法二：由题设，1BO =，2AO =．

设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为

BEF AEF S

S S =+△△222x y =

当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为

四、垂直关系

10.（春季）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(10)F ，，短轴的两个端点分别为1B 、2B 。 (1) 若112F B B △为等边三角形，求椭圆C 的方程；

(2) 若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11

F P FQ ⊥，求直线l 的方程。解：（1）设椭圆C 的方程为

21x y a b

+=（0a b >>）。根据题意知22

a b a b =⎧⎨-=⎩，解得243a =，21

3b =，故椭圆C 的方程为2214133

x y +=。

（2）容易求得椭圆C 的方程为2

212

x y +=。

当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-。

由22

(1)12

y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=。设11()P x y ，，22()Q x y ，，则2122421k x x k +=+，21222(1)

k x x k -=+，111(1)F P x y =+，，1

22(1)FQ x y =+，，因为11F P FQ ⊥，所以11

0F P FQ ⋅=，即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--

1212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021

k k -==+，

解得21

k =

，即k =

故直线l

的方程为10x +-=

或10x -=。

11. 如图，设椭圆12

=+y x 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l

使得F 为BMN △的垂心。若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

解：由已知可得，B (0，1)，F (1，0)，∴k BF =-1。 ∵BF ⊥l ，∴可设直线l 的方程为y =x +m ，代入椭圆方程整理，得2234220x mx m ++-=。

设11()M x y ，，22()N x y ，，

则1243

x x +=-

，212223m x x -=。

∵BN ⊥MF ，∴1212

11y y x x -⋅=--，即1212120y y x x y x +--=。

∵11y x m =+，22y x m =+，∴121212()()()0x m x m x x x m x +++-+-=。即212122(1)()0x x m x x m m +-++-=，

∵222242(1)()033m m m m m -⋅+-⋅-+-=，∴2

340m m +-=，∴43

m =-或1m =。

由222(4)12(22)2480m m m ∆=--=->，得23m <

又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴4

3m =-，

故存在直线l ：4

y x =-满足题设条件。

O x

12. （2012年高考（理））设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且。当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H 。是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。

解析：

（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m

=。①

因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=。②

将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2

22 1 (0,1)y x m m m

+=>≠且。

因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以

当

01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)；当

1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(0,

。

（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得

222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=。

依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得

21122244k x x x m k -+=-

+，即21

4m x x m k =+。因为点H 在直线QN 上，所以21

21222

224km x y kx kx m k -==+。

于是11(2,2)PQ x kx =--，2211

21212222

42(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k

m k

=--=-++。而PQ PH ⊥等价于222122

4(2)04m k x PQ PH m k

-⋅==+，即

220m -=，又0m >，得m =

故存在m 2

212

y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥。

∀y 1)y ， 22⎩222221212()()0m x x y y -+-=。③

依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合，故1212()()0x x x x -+≠。于是由③式可得212121212()()()()

y y y y m x x x x -+=--+。④

又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121

2y y y x x x +=+。

于是由④式可得2

11212121121212()()12()()

PQ PH y y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+。

而PQ PH ⊥等价于1PQ PH

k k ⋅=-，即2

m -=-，又0m >，得m

故存在m 2

212

y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥

13. （10/21）已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2

22:1x C y m +=，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.

(1) 当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；

(2) 设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆，数m 的取值围.

【解】（Ⅰ）因为直线:l 202m x my --=经过2F 2

m =

，得22m =，又因为1m >，所以m =

，故直线l 的方程为10x -=.

（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y

由2

22221m x my x y m

⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得：22

2104m y my ++-=

则由22

8(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <，且有212121,282

m m y y y y +=-⋅=-

图2 (01)m <<

图3 (1)m >

图1

由于12(,0),(,0)F c F c -，由重心坐标公式可知1122(,),(,)3333

x y x y G H .222

1212()()99x x y y GH --=+

设M 是GH 的中点，则1212

(

,)66

x x y y M ++，由题意可知2MO GH < 即22

2212121212()()4[()()]6699

x x y y x x y y ++--+<+

，即12120x x y y +< 而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++22

1(1()82m m =+-），所以21082m -<，即24m <

又因为1m >且0∆>，所以12m <<，所以m 的取值围是(1,2).

14. （09/22）设椭圆E ：22

221x y a b

+=（a ，b >0）过M (2

，N

，1)两点，O 为坐标原点.

(1) 求椭圆E 的方程；(2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，

B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值围；若不存在，说明理由.

【解】（Ⅰ）因为椭圆E ：22

221x y a b

+=（a ，b >0）过M （2

），N

，1)两点，

所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得2211

114a b

⎧=⎪⎪⎨⎪=

⎪⎩，所以2284a b ⎧=⎨=⎩. ∴椭圆E 的方程为22184x y +=.

（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+，

解方程组2218

4x y y kx m

+==+⎧⎪

⎨⎪⎩，得222()8x kx m ++=，即222(12)4280k x kmx m +++-=，

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，122

1224122812km x x k m x x k ⎧

+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

，要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=， 2

12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++2222222

222

(28)48121212k m k m m k m k k k --=-+=

+++ 即222

28801212m m k k k --+=++，所以223880m k --= 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为r =，222

228381318

m m r m k ===-++

，∴r b <

此时圆228

x y +=都在椭圆的部，所以圆的切线与椭圆必有两个不同的交点，且OA OB ⊥.

而当切线的斜率不存在时，切线x =

与椭圆22

184x y +=的两个交点为(

，)或

(，，满足OA OB ⊥. 综上，存在圆心在原点的圆228

y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥.

12||AB x x =-=

①当0k ≠

时||AB =

221

448k k ++≥

所以221

101844k k <

++≤，所以2

232321

]1213344

k k

+++≤，

||AB ≤

k =±

时取“=”. ②当0k =时，||AB 而当AB 的斜率不存在时，两个交点为，)或

(

，)，所以此时||AB =，

综上，|AB |

【另解】对于求||AB 如图，设AOT θ∠=，则cot AB θ+tan AT OT

θ=

所以当tan 1θ=时，|AB 当tan θmax ||AB =

五、存在性问题

15. 以椭圆)1

x的短轴的一个端点)1,0(B为直角顶点作椭圆的接等腰直角三角形，问这样的

直角三角形是否存在？如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形；如果不存在，请说明理由.

解：①过点)1,0(B分别作斜率为1±的直线，必与椭圆1

x各另有一交点N

M,，则BMN

∆即为所求的等腰直角三角形，故这样的接等腰直角三角形至少有一个；

②如除了(1)给出的接等腰直角三角形外，还存在其他的接等腰直角三角形，那么设直线1

=kx

l，1

l，)1

(≠

k，则

l与

l均过点)1,0(B，且互相垂直，

l与

l与椭圆分别交于F

E，，

⎩

⎨

⎧

⇒0

)

1(2

+kx

a⇒)

(

用

-代k，得)

(

⇒)

(

)[

)

E+

=，

)[

]

[

)

F+

∵1

,0≠

k，∴|

|BF

BE=⇔

⇔2

31k

⇔1

(

)(1

(

由1

,0≠

k得，3

a⇒3

a，由于椭圆关于y轴对称，故当3

a时，还存在斜率1

≠

k的接等腰直角三角形两个.

综合：①当13

<≤1），②当3

a时，可作出三

F 2

F 1

P Q

个椭圆的接等腰直角三角形（图2）.

16. （2015虹口二模）已知圆1

F ：

(1)8x y ，点2F (1,0)，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分

线交

QF 于点P .

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)设M N 、分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=,

O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；

(3)过点

(0,)

3S -的动直线l 交曲线C 于A B 、两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)因为

QF 的垂直平分线交

QF 于点P .所以

2PF PQ

=，从而

1211

12222,PF PF PF PQ FQ F F +=+==>=

所以，动点P 的轨迹C 是以点

F F 、为焦点的椭

圆. ……3分

设椭圆的方程为122

22=+b y a x ，则22,222==c a ，

1222=-=c a b ，

故动点P 的轨迹C 的方程为2

2x y += ……5分

(2)设

1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)

a b a b >><<，则

2222112222,22

a b a b +=+=①

因为122OM ON OF +=，则121222,20a a b b +=-+=②

由①、②解得

11221

5,,2

448a b a b =

==-=- ……8分

所以直线MN 的斜率

k 2121b b a a -=

- . ……10分

(3)设直线l 的方程为1,3y kx =-则由2

21312y kx x y ⎧

=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22

9(21)12160,k x kx +--=

由题意知，点1

(0,)

3S -在椭圆C 的部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则

1212

22416

,.3(21)9(21)k x x x x k k +=

=-++……12分

假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=-

因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以

1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-=即

1212()()0

()

x x y m y m +--=*……14分

因为

112211,,

33y kx y kx =-=-故()*可化为 2

121212221212()121

(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++

22222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)

k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++

++-++-=

由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅=恒成立，故2

,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪

⎩解得1m =. 因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). ……16分

17. （2015嘉定二模）已知椭圆1:22

22=+b

y a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，

过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且12220F F F D +=。

（1）求证：△21F BF 是等边三角形；

（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；

（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点。在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

（1）设)0,(0x D （00

c b x 2

0-=，故⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=0,22c c b F ，（2分）又)0,2(21c F F =，故由02221 =+F F F 得032

=-c

b c ，所以，223c b =。（3分）所以，3tan 12==

∠c

F BF ，︒=∠6012F BF ，即△21F BF 是等边三角形。

（4分）（2）由（1）知，c b 3=，故c a 2=，此时，点D 的坐标为)0,3(c -，（1分）又△2BDF 是直角三角形，故其外接圆圆心为)0,(1c F -，半径为c 2，（3分）所以，

c c 22

3|=--，1=c ，3=b ，2=a ，

（5分）所求椭圆C 的方程为13

2=+y x 。（6分）（3）由（2）得)0,1(2F ，因为直线l 过2F 且不与坐标轴垂直，故可设直线l 的方程为： )1(-=x k y ，0≠k 。

（1分）由22(1)

143

y k x x y =-⎧⎪⎨+

=⎪⎩，得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，（2分）

设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有2

221438k k x x +=+，22214312

4k k x x +-=，（3分）由题意，11(,)M x y -，故直线QM 的方向向量为),(1212y y x x d +-=

，

所以直线QM 的方程为

121y y y y x x x x ++=

--，（4分）令0=y ，得)

1()1()1()1()(121

221121*********-+--+-=

++=++-=

x k x k x x k x x k y y x y x y x y y x x y x k x x k x x k x kx 2)()(2212121-++-=2)()(2212121-++-=x x x x x x 2

4384384312422

222

22-++-+-⋅=k k k k k k 46

24=--=。

（5分）即直线QM 与x 轴交于定点）0,4(。

所以，存在点)0,4(N ，使得M 、Q 、N 三点共线。（6分）

（注：若设0(,0)N x ，由M 、Q 、N 三点共线，得01

110

=-x y x y x ，得2

2210y y y x y x x ++=

。）

六、定点或定直线问题

18. 已知椭圆方程为22

142

x y +=，当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上

取点Q

=Q 总在某定直线上

解：设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP AQ PB

λ=

，则0λ>且1λ≠

又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP PB λ=-，AQ QB λ=，于是1241x x λλ-=

-，1211y y λλ-=-，121x x x λλ

+=+，121y y y λλ+=+。从而222

41x x x λλ

-=-，（1）222

1y y y λλ

-=-，（2）

又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,

(3)x y +=22

2224,

(4)x y +=

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4x +2y =4，即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上。

19. 已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2

，短轴长为

(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．

解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则

22222,

c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩

解得2,

a b =⎧⎪⎨

=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．……… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m

⎧⎪

+=⎨⎪=+⎩消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=………… 6分

由题意△()(

)()2

84344120km k

=-+->，整理得：22340k m +->① …………7分

设()()1122,,M x y N x y 、，则122

834km

x x k +=-+，212241234m x x k -=+……… 8分

由已知，AM AN ⊥，且椭圆的右顶点为A (2,0)，∴()()1212220x x y y --+=………… 10分即

()()()2

1240k x x km x x m

++-+++=，也即

()()22

222412812403434m km

k km m k k

--+⋅+-⋅++=++，整理得2271640m mk k ++=．解得2m k =-或27

m =-

，均满足①…………… 11分当2m k =-时，直线l 的方程为2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27k m =-

时，直线l 的方程为27y k x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭，过定点2(,0)7，

故直线l 过定点，且定点的坐标为2

(,0)7

． ……………………… 13分

20. 在直角坐标系xOy 中，点M 到F

1(、F

20)的距离之和是4，点M 的轨迹C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l ：y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． (1) 求轨迹C 的方程；(2) 当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：（1）∵点M

到(

，0)的距离之和是4，

∴M 的轨迹C 是长轴长为4，焦点在x 轴上焦距为2

214

x y +=…………………3分（2）将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得2

(14)8440k x kbx b +++-=…………………5分

因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，

所以22

644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+>．①

设1122()()P x y Q x y ，，，，则122

814kb

x x k +=-+，21224414b x x k -=+． ②………7分

且2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++．③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点(2,0)A -，

所以11(2,)AP x y =+，22(2,)AQ x y =+，由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=，………………………10分所以(2)(65)0k b k b --=，即2b k =或6

b k =．经检验，都符合条件①．当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．

显然，此时直线l 经过定点(2,0)-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65

b k =

时，直线l 的方程为65()56y kx k k x =+=+．显然，此时直线l 经过定点6

(,0)5-点，且不过点

A ．

综上，k 与b 的关系是：65

b k =

，且直线l 经过定点6

(,0)5-点．…………13分

(完整版)高考椭圆题型总结

椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A 。充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ） A 。椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点 Q 的轨迹是( ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断动点M 的轨迹。 5. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是。 (二) 标准方程求参数范围 1. 若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。（3，4）U(4，5） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。必要不充分条件 C 。充要条件 D 。既不充分又不必要条件

3. 已知方程11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是。 4. 已知方程22 2=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 . 6. 如果方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 8. 已知方程222 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 . (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程: （1）两个焦点的坐标分别为（0,5)和（0，－5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程。 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为。 3. 如果椭圆:k y x =+224上两点间的最大距离为8,则k 的值为 . 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点,且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为 354和3 5 2，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-; （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6。

(完整版)椭圆常见题型总结

椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=；

椭圆题型总结较难

椭圆题型总结一、焦点三角形 1. 设F 1、F 2是椭圆12 322 =+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。（法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，，根据椭圆的定义，1||AF m = ，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得 22 22)44cos )44cos m m m n n n αα ⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩， ∴m = n = ∴1 1211 ||||2()sin 22 F AB B A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+ α= =令sin t α=，所以01t <≤，∴2 1()22t g t t t t = =++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2 πα= 时，max 1()3 g t =，故1ABF △ （法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2 +3y 2 =6联立，消x 得 (2m 2 +3)y 2 +4my-4=0 ∵ AB 过椭圆定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则 Δ=48(m 2 +1) 1ABF S ∆=|y 1-y 2 |= 2 23 m + = 令 t=m 2 +1≥1，m 2 =t-1，则1ABF S ∆ = t ∈[1,+∞) f(t)=144t t ++在t ∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1 。注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学 - 椭圆常考题型汇总及练习第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义 :平面内与两定点 F 1、F 2 距离和等于常数 2a （大于 F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆 . 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2c . 椭圆的几何性质 : 以 22 x 2 y 2 1 a b 0 为例 a 2 b 2 22 xy 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标 x,y 都适合不等式 2 1, 2 1，即 ab x a, y b 说明椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形里（封闭曲线） .该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题 . 2.对称性 :关于原点、 x 轴、 y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 4. 长轴、短轴： 5. 离心率 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个： A 1 a,0 、 A 2 a,0 、 B 1 0, b 、 B 2 0,b . A 1A 2 叫椭圆的长轴， A 1A 2 2a, a 是长半轴长； B 1B 2 叫椭圆的短轴， B 1B 2 2b,b 是短半轴长 . 1）椭圆焦距与长轴的比 e a c 0, 0e 2） Rt OB 2F 2 , B 2F 2 OB 2 2 OF 2 ，即 a 2 b 2 2 c 2 .这是椭圆的特征三角形，并 cos OF 2B 2 的值是椭圆的离心率 . 椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关 .当 e 接近于 1 时， c 越接近于 22 a ，从而 b a c 越小，椭圆越扁；当 e 接近于 0 时，c 越接近于 0，从而 b 22 ac 越大，椭圆越接近圆。 2b 2 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）， 2b a 7.设 F 1、 F 2 为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，当 P 、 F 1、F 2 三点不在同一直线上时，

高考椭圆题型总结有答案

高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题一)定义: 命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足 PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。

x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。二)标准方程求参数范围试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。 m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件。若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在的象限是第二象限。方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。

已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1. 1.根据下列条件求椭圆的标准方程： 1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； 2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)； 3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。二、简单几何性质椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。

椭圆题型归纳大全

椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆2 2:(4)100 C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；例2. 方程 2 x =+所表示的曲线是练习： 1.方程 6 对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 10对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程 10 =成立的充要条件是（） A. 2 2 12516x y += B.2 2 1 259 x y += C. 22 11625 x y += D. 22 1925 x y +=

（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为 F 的椭圆被直线 32 y x =-截得的弦的中点的横坐标为12 ，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题例 1.已知椭圆 22 11625 x y +=上一点P 的纵坐标为53 ，椭圆的上下两个焦点分别为2 F 、1 F ，求1 PF 、2 PF 及 12 cos F PF ∠；题型四.椭圆的几何性质例1.已知P 是椭圆 22 221x y a b +=上的点，的纵坐标为53 ，1 F 、2 F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则1 2 PF PF 的最大值与最小值之差为例 2.椭圆 22 22 1x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；

例 3.若椭圆 22 114 x y k +=+的离心率为 12 ，则 k = ；例4.若P 为椭圆 22 221(0)x y a b a b +=>>上一点，1 F 、2 F 为其两个焦点，且0 12 15PF F ∠=，0 21 75PF F ∠=，则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程 22 221(1) x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；题型六.椭圆的第二定义的应用例1. 方程 2 x y =++所表示的曲线是例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆 22 1259 x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52 ，那么P 到右焦点的距离为例4．已知椭圆 13 42 2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴

椭圆常见题型和典型方法归纳

椭圆常见题型与典型方法归纳考点一椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c <0的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点,这条定直线叫做椭圆的准线,这个常数e 是椭圆的离心率. 注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12F F ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例动点P 到两个定点1F 〔- 4,0、2F 〔4,0的距离之和为8,则P 点的轨迹为〔 A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二椭圆的标准方程一标准方程 1焦点在x 轴上标准方程是：22221x y a b +=〔其中222 ,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c - 2焦点在y 轴上标准方程是：22221y x a b +=〔其中222 ,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c - 3焦点位置判断哪项分母大焦点就在相应的轴上如求22 179 x y +=的焦点坐标 4椭圆过两定点,焦点位置不确定时可设椭圆方程为2 2 1mx ny +=〔其中0,0m n >> 例已知椭圆过两点1),(2)A B -,求椭圆标准方程 5 与122 22=+b y a x 〔a ＞b ＞0共焦点的椭圆为12222=+++k b y k a x 二重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例已知12,F F 为椭圆 22 1259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。2.标准方程要注意焦点的定位例椭圆 2214x y m +=的离心率为12 ,=m 。练习.1如果方程2 2 x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围为

椭圆题型归纳大全

椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆2 2 :(4)100C x y ++=相内切,且过点(4,0)A ,求这个动圆圆心M 的轨迹方程；例2. 方程2x =+所表示的曲线是练习： 1.6=对应的图形是〔 A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是〔 A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.10=成立的充要条件是〔 A. 2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22 1925 x y += 4.1m =+表示椭圆,则m 的取值范围是 5.过椭圆2 2 941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点,则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于； 6.设圆2 2 (1)25x y ++=的圆心为C ,(1,0)A 是圆内一定点,Q 为圆周上任意一点,线段 AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为；题型二. 椭圆的方程〔一由方程研究曲线例1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；〔二分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点(3,0)P ,求椭圆的方程；〔三用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点1P 、2(P ,求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；

注：一般地,与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++；〔四定义法求轨迹方程；例 5.在ABC ∆中,,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ,且(1,0),(1,0)B C -,求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；〔五相关点法求轨迹方程；例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ,Q 为椭圆2 214 x y +=上任一点,求AQ 的中点M 的轨迹方程；〔六直接法求轨迹方程；例7.设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆2 2 24x y +=交于,A B 两点,点P 是直线l 上满足 1PA PB =的点,求点P 的轨迹方程；〔七列方程组求方程例8.中心在原点,一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为 1 2 ,求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题例1.已知椭圆 2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53 ,椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ,求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；题型四.椭圆的几何性质例1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点,的纵坐标为5 3 ,1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c ,则12PF PF 的最大值与最小值之差为例2.椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ,若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率为；例3.若椭圆 22114x y k +=+的离心率为1 2 ,则k =；例 4.若P 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点,1F 、2F 为其两个焦点,且

椭圆综合题总结[附答案及解析]

一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；〔提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别 2.设交点坐标；〔提醒:之所以要设是因为不去求出它,即"设而不求" 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；〔提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①"以弦AB 为直径的圆过点0"〔提醒：需讨论K 是否存在 ②"点在圆内、圆上、圆外问题" ⇔"直角、锐角、钝角问题" ⇔"向量的数量积大于、等于、小于0问题" ⇔12120x x y y +>>0； ③"等角、角平分、角互补问题" ⇔斜率关系〔1 20K K +=或12K K =； ④"共线问题" 〔如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法；〔如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤"点、线对称问题"⇔坐标与斜率关系； ⑥"弦长、面积问题"⇔转化为坐标与弦长公式问题〔提醒：注意两个面积公式的合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、"常规求值"问题：需要找等式,"求范围"问题需要找不等式； 2、"是否存在"问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,

椭圆题型及方法总结

椭圆题型及方法总结（一）句子填空：方法点睛：弄清逻辑上的衔接这部分对我国考生而言有很高的难度，因为它考查了中国人说话写文章最缺少严密的逻辑性。西文，尤其是商务文章极其讲究逻辑的缜密性，中心思想明确，意群段之间有清晰的.逻辑关系，句与句之间紧密相连。知道了这样的思维差异，在解题时便有了方向：通过各种衔接手段来解题。词汇的衔接、语法的衔接，最重要的是逻辑上的衔接。其实，任何两句话之间的逻辑关系不外乎两种情况：不是顺着意思讲下去顺接，就是意思发生了转折逆接。判断空格前后句之间的顺逆接关系，再寻找正确的选项解题就容易多了。平时考生在做阅读训练的时候要特别注意句子之间的逻辑关系。（二）阅读理解题：方法点睛：跳跃式阅读这部分其实是前两部分的综合。在读文章时只需抓住文章和各段的Main Idea即可，有较强阅读能力的考生尽可能快地速读出句子之间的逻辑关系，而细节跳跃式阅读法效果很好。解题时，学生要放松心态，因为题目不难，只是在做一个定位＋同义词、近义词游戏罢了。值得注意的是这部分与四六级及考研阅读理解题不同，BEC阅读理解题目不能过细地去推敲，正确选项一般都是原句＋改写。（三）完型填空题：方法点睛：习惯用法结合语境考点词汇一般不是商务术语，是四级以下的普通词汇。大多题目较容易，有个别题目较难。学生应该从搭配、习惯用法结合语境的方法解题。不过，想在此部分得满分是极难的。考生不要轻信自己的语感，这种感觉可能是错觉，真正的语感是以长期积累的实力为基础的。语法题：牢记BEC知识点。没有必要去把语法知识详细完全地进行复习，而只需将BEC经常考核的知识点简要地总结并牢记在大脑里就可以了。BEC语法题历年考试所涉及的语法点十分有限。名称记不清，记忆像猩猩--牢记住考点语法名称，完全可以在这两部分获得满分。

椭圆及其性质知识点题型总结

椭圆知识清单 1.椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数}。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）. 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3 参数方程：焦点在x 轴，⎩⎨ ⎧==θ θ sin cos b y a x （θ为参数） 4 一般方程：)0,0(12 2 >>=+B A By Ax 5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）； ④椭圆的准线方程：对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2 1:-=；右准线c a x l 22:=

(完整版)椭圆大题题型汇总例题+练习

椭圆大题题型解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识： x?xy?y1212A(x,y)，B(x,y)?,y x?yx,的中点坐，其中1、中点坐标公式：是点 221122标。)()，Bx,yxA(,y0)k??b(y?kx在直线上，2、弦长公式：若点2112b?kx??y?kxb，y则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2121 222222 )?kx)(kx?kx)x?))?(y?y(1?(x?x)??(?AB(x?x2121211221 22?4x)x?k])[(x?x?(12112111 22222)yy??(1?)((x?x)??(yAB?y)(x?xy?(y?))?或者22211212112kkk 12)[(y?y)?4?(1?yy]。12122kl:y?kx?b,l:y?kx?bkk??1、两条直线垂直：则321121122rrg v0v?两条直线垂直，则直线所在的向量1220)0(a??axbx?c?x,x则：，同的根不次元若一二方程有两个理达、4韦定21bcx?x??,xx?。2211aa 常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，。

用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）2xy?l轴上是否存在一点两点，在x交于A、例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：B xx ABE?，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。E(,0)00 2x21?y?OF已知椭圆例题2的左焦点为，、为坐标原点。2x??2FO、相切的圆的方程；（Ⅰ）求过点，并且与FA、BABx的垂直平分线与（Ⅱ）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段GG横坐标的取值范围。，求点轴交于点 22yx1301?a??bC:)?(e?),(1。过点1练习：，且离心率已知椭圆2222ab（Ⅰ）求椭圆方程；l:y?kx?m(k?0)NMNM的垂直、，且线段与椭圆交于不同的两点（Ⅱ）若直线1)0G(,k平分线过定点，求的取值范围。8

椭圆常见题型总结

椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ∆中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α= +-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α∆= =2tan 2 b α⋅（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y k x b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则 12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点

为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为22 1Ax By +=；椭圆方程的常见题型 1、点P 到定点(4,0)F 的距离和它到定直线10x =的距离之比为1:2，则点P 的轨迹方程为； 2、已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2 214 x y +=上的动点，则AQ 中点M 的轨迹方程是； 3、平面内一点M 到两定点2(0,5)F -、2(0,5)F 的距离之和为10，则M 的轨迹为（） A 椭圆 B 圆 C 直线 D 线段 4、经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆为（） A 2211510x y += B 2211015x y += C 221510x y += D 22 1105 x y += 5、已知圆2 2 1x y +=，从这个圆上任意一点P 向y 轴做垂线段1PP ，则线段1PP 的中点M 的轨迹方程是（） A 2 2 41x y += B 2 2 41x y += C 2214x y -= D 22 14 y x += 6、设一动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方

椭圆重点题型整理

椭圆重点题型整理椭圆一.椭圆的定义 1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 2.定点12,F F ，且128F F =，动点P 满足128PF PF +=，则点P 的轨迹是（） :A 椭圆 :B 圆 :C 直线 :D 线段 3.设定点()3,01-F ，()3,02F ，动点()y x P ,满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点 P 的轨迹是（） A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D. 不存在 4.方程x = （） :A 圆 :B 椭圆 :C 半圆 :D 半个椭圆 5. 焦点为21,F F 的圆 22 1259 x y +=上点P ，51=PF ；则=2PF （） :A 5 :B 6 :C 4 :D 10 6.过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ?，那么2ABF ?的周长是（）

A. 22 B. 2 C. 2 D. 1 7.若AB 为过椭圆 22 110064x y +=左焦点1F 的弦，则2F AB ?（2F 为右焦点）的周长是 . 8．若点P 在椭圆12 22 =+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且9021=∠PF F ，则21PF F ?的面积是（） A. 2 B. 1 C. 2 3 D. 21 9．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．二.椭圆的几何性质 1.椭圆2 2 66x y +=的长轴的端点坐标是（） :A )0,1(± :B )6,0(± :C )0,6(± :D )6,0(± 2．椭圆6322 2 =+y x 的焦距是（） A ．2 B ．)23(2- C ．52 D ．)23(2+ 3. 已知椭圆1422=+y m x 的离心率为2 2，则此椭圆的长轴长为。 4．椭圆 22

椭圆题型归纳大全

椭圆题型归纳大全 LT

椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆2 2:(4)100 C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；例2. 方程 2 x =++所表示的曲线是练习： 1.方程 6 =对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 10=对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程 10 =成立的充要条件是（） A. 2 2 12516x y += B.2 2 1 259 x y += C. 22 11625 x y += D. 22 1925 x y +=

4. 1 m =+表示椭圆，则 m 的取值范围是 5.过椭圆2 2941 x y +=的一个焦点1 F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2 F 构成的2 ABF ∆的周长等于； 6.设圆2 2(1) 25 x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程为；题型二. 椭圆的方程（一）由方程研究曲线例 1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 P 、2 (P ，求椭圆的方程；

椭圆各类题型分类汇总

椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．例2 椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值．例3 方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值围．例4 1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值围．例5 动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的部与其相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

2.焦半径及焦三角的应用例1 椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？假设存在，那么求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．例2椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积〔用a 、b 、α表示〕． 3.第二定义应用例1椭圆112 162 2=+y x 的右焦点为F ，过点() 31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

例2椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．例3椭圆15 92 2=+y x 有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22 3PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用例1求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．