线面平行 面面平行 的判定

2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
1．文字语言：一条直线与一个平面平行，则__过这条直线的任一平面与此平面的交线__与该直线平行．
2．图形语言：
3．符号语言：
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥α
__a ⊂β____α∩β＝b __⇒a ∥b 4．作用：线面平行⇒线线平行．
要点二 面面平行的性质定理
1．文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面__相交__，那么它们的交线__平行
__.
2．图形语言：
3．符号语言：
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥β
__α∩γ＝a ____β∩γ＝b __⇒a ∥b 4．作用：面面平行⇒线线平行．
要点三 平行关系性质的应用
1．若平面α与平面β平行，则α上的任何直线与平面β的位置关系是__平行__. 2．若两个面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线的关系是__平行或异面__. 3．A 是异面直线a ，b 外一点，过A 最多可作__0或1__个平面同时与a ，b 平行． 4．过平面外一点能作__无数__条直线和这个平面平行．
思考： 如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话正确吗？为什么？
提示 不正确，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．
考点一线面平行、面面平行的性质定理
定理可简记为“线面平行，则线线平行”“面面平行，则线线平行”．定理揭示了直线与平面平行中蕴涵着直线与直线平行，即通过直线与平面平行、平面与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法．
【例题1】在下列命题中，正确的有__④__(填序号)．
①若α∩β＝a，b⊂α，则a∥b；
②若a∥平面α，b⊂α，则a∥b；
③若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；
④平面α∥平面β，点P∈α，a∥β且P∈a，则a⊂α.
思维导引：此类题一般是以符号语言为载体的判断题，熟悉相关定理是前提，全面分析是关键，一般通过合理利用模型及排除法解题．
解析①若α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，①不正确；②若a∥α，b⊂α，则a与b异面或a∥b，②不正确；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a与b异面，③不正确；④若α∥β，点P∈α，知P∉β，所以过点P且平行于β的直线a必在α内，故④正确．
【变式1】(1)若直线a，b均平行于平面α，那么a与b的位置关系是__平行、相交或异面__.
(2)若直线a∥b，且a∥平面β，则b与β的位置关系是__b∥β或b⊂β__.
(3)若直线a，b是异面直线，且a∥β，则b与β的关系是__b∥β或b⊂β或b与β相交__.
解析(1)a∥α，b∥α，则知a，b与α无公共点，而a，b平行、相交、异面都有可能．
(2)a∥b，a∥β知b∥β或b在β内．
(3)b与β的三种位置关系都有可能．
考点二线面平行的性质及应用
利用线面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：
(1)先找过已知直线且与已知平面相交的平面；
(2)再找两个平面的交线；
(3)由定理得出结论．
【例题2】如图，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
思维导引：AB∥平面MNPQ，
CD∥平面MNPQ→
MN∥PQ，
NP∥MQ→
四边形MNPQ
是平行四边形
证明因为AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，所以AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可证NP ∥MQ.
所以四边形MNPQ为平行四边形．
【变式2】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F.求证：EF∥B1C．
证明由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD 为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂平面A1DFE，B1C⊄平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．
考点三面面平行的性质及应用
应用平面与平面平行的性质定理的基本思路：
【例题3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点．当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置是__与D重合__.
思维导引：平面AB1C∥平面A1EC1，且都与对角面BB1D1D相交，则交线平行．在平行四边形BB1D1D中再来论证平行线的位置．
解析如图，连接B1D1，BD，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O.连接ME，B1O，因为平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，所以B1O∥ME.又由长方体的性质可知四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD．故E与D重合．
【变式3】已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．
解析直线a，b的位置关系是平行．
如图所示，连接DD′.
因为平面ABC∥平面A′B′C′，
平面A′D′B∩平面ABC＝a，
平面A ′D ′B ∩平面A ′B ′C ′＝A ′D ′， 所以A ′D ′∥a . 同理可证AD ∥b .
又D 是BC 的中点，D ′是B ′C ′的中点，所以DD ′BB ′，又BB ′AA ′，所以DD ′AA ′，
所以四边形AA ′D ′D 为平行四边形，所以A ′D ′∥AD ，所以a ∥b .
考点四 空间平行关系的相互转换
线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行转换．相互间的转换关系如下．
【例题4】 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 的中点．
(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求PQ 的长；
思维导引：通过作辅助线构造平面，从而证得线面平行；或通过线线平行证得线面平行． 解析 (1)证明：方法一 如图，连接AC ，CD 1.AC 与BD 交于点Q .
因为P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点，所以PQ ∥CD 1. 又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1， 所以PQ ∥平面DCC 1D 1.
方法二 取AD 的中点G ，连接PG ，GQ ， 则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG ∩GQ ＝G ， 则平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.
又因为PQ ⊂平面PGQ ，则PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22
a .
【变式4】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD ．
证明 过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连接GF ，则B 1E B 1A ＝B 1G
B 1B
.
因为B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，所以C 1F C 1B ＝B 1G
B 1B .所以FG ∥B 1
C 1∥BC ，
又因为EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ， 所以平面EFG ∥平面ABCD ，
又因为EF ⊂平面EFG ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ．。