根植判别法
正项级数的根式判别法和比式判别法
重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨目录摘要 (I)Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3)2正项级数相关概念 (3)2.1 定义 (3)2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3)2.3 三个重要比较级数 (4)2.3.1 几何级数 (4)2.3.2 调和级数 (5)2.3.3 P-级数 (5)3 正项级数敛散性判别法 (6)3.1 判别发散的简单方法 (6)3.2 比较判别法 (7)3.2.1 定理及其推论 (7)3.2.2 活用比较判别法 (9)3.2.3 归纳总结 (11)3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12)3.3.1 柯西判别法 (12)3.3.2 达朗贝尔判别法 (13)3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15)3.4 拉贝判别法 (17)3.5 积分判别法 (19)3.6 两种新方法 (20)3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23)4 在判别级数敛散性中的作用 (23)4.1 证明负项级数的敛散性 (23)4.2 证明变号级数绝对收敛 (24)4.3 证明函数级数收敛 (25)5 结束语 (26)致谢 (27)参考文献: (27)对正项级数敛散性判别法应用性的探讨尹委红（重庆三峡学院数学学院数学与应用数学专业2006级重庆万州 404000）摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.本文主要探讨正项级数∑∞=1 nnu)0(>nu的各种敛散性判别法,主要有积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法.探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题.并简单介绍了它们之间的关系,如强弱性的比较,不同形式的nu适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.最后介绍了正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.关键词: 正项级数;判别法;敛散性Positive Series Convergence Criterion of applicabilityYIN Wei-hong(Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract:Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic nature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed their certification process and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of theu which method to prove its convergence and strength of、suitable for different forms ofndivergence easier. Finally, Introduced the positive series Convergence Criterion of Convergence and Divergence in the identification of the role.Keywords: positive series; criterion; convergence1 引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是一个十分重要的内容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.2正项级数相关概念2.1 定义设有数列{}n u ,即 .,,,,321 n u u u u 将此数列的项依次用加号连接起来,即+++++n u u u u 321 或 ∑∞=1n n u ，称为数值级数,其中n u 称为级数的第n 项或通项.级数就是无限多个数的和.若级数的每一项n u 的符号都是正,则称级数∑∞=1n nu是正项级数.取级数前n 项的和为n s ,即 n n u u u s +++= 21 或 ∑==nk nn us 1,称为级数的n 项部分和.若一级数的部分和数列{}n s 收敛,设s s n n =∞→lim 或 s unk kn =∑=∞→1lim,则称此级数收敛,s是级数的和,表为 +++++==∑∞=n n nu u u u us 3211.若部分和数列{}n s 发散,则称该级数发散,此时级数没有和.2.2 正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.基本判别定理解决了一个级数的收敛问题,不必研究s s n n =∞→lim ,而粗略地估计n s 的值当∞→n 时是否保持有界就可以了,这样就避开了n s 冠以n 的复杂的表达式.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出,但是在具体应用时不大方便.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理——积分判别法、比较判别法、柯西判别(又叫根值判别法)、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).2.3 三个重要比较级数在正项级数敛散性的判别中往往需要用到一个比较因子,用比较因子的敛散性来判断一个级数收敛还是发散.常用的比较因子有三个重要的正项级数——几何级数、调和级数、p-级数.下面简单介绍这三个级数,及其它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.2.3.1 几何级数(等比级数)讨论几何级数+++++=-∞=-∑1211n n n ar ar ar a ar的敛散性,其中r a ,0≠是公比.解：1）当0≠r 时,已知几何级数的n 项部分和 +++++=-12n n ar ar ar a s（i ）当1<r 时,存在极限,且.11lim lim rar ar a s n n n n -=--=∞→∞→因此,当1<r 时,几何级数收敛,其和是r a -1,即r aar n n -=∑∞=-111.（ii ）当1>r 时,不存在极限,且.1lim lim ∞=--=∞→∞→rar a s nn n n因此,当1>r 时,几何级数发散. 2）当1=r 时,有两种情况:(ⅰ)当1=r 时,几何级数是)0(≠a , +++++a a a a .na a a a s n n =+++=个∞==∞→∞→na s n n n lim lim 即部分和数列{}n s 发散.（ⅱ）当1-=r 时,几何级数是 .)1(1+-++-+--a a a a a n{,,0,,是偶数是奇数n n a n s =即部分和数列{}n s 发散.于是,当1=r 时,几何级数发散.综上所述,几何级数∑∞=-11n n ar ,当1<r 时收敛,其和是ra-1,当1≥r 时发散. 2.3.2 调和级数证明调和级数+++++=∑∞=n n n 13121111是发散的. 证明 设调和级数∑∞=11n n 的n 项部分和是ns ,即.131211n s n ++++= 由于已知.1]ln )1211[(lim .)ln 1211(lim =+++=-+++∞→∞→n nc n n n n 或（欧拉常数）即当∞→n 时,调和级数的部分和n s n 131211++++= 与n ln 是等价无穷大,即调和级数∑∞=11n n 发散. 2.3.3 P-级数讨论p-级数+++++=∑∞=p p p n p n n 13121111的敛散性,其中p 是任意实数.（该级数又称为广义调和级数）解：1）当1=p 时,广义调和级数就是调和级数∑∞=11n n,已知调和级数发散,即p-级数发散.2）当1<p 时,+∈∀N n ,有n n p 11≥.已知调和级数∑∞=11n n发散,根据比较判别法可知,当1<p 时,p-级数发散.3）当1>p 时,2≥∀n ,有]1)1(1[11111-----<p p p n n p n .于是,N n ∈∀,有1111)11(111)1)1(131212111(111)1)1(1(11)3121(11)2111(1111312111111111111111-=-+<--+=--++-+--+=---++--+--+≤++++=-------------p p p n p n n p nn p p p n s p p p p p p p p p p p p p p p p n 即p-级数的部分和数列{}n s 有上界,从而p-级数收敛.综上所述,当1≤p 时,p-级数发散;当1>p 时,p-收敛.在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性,所以必须要熟练掌握这三个级数.3 正项级数敛散性判别法3.1 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数∑∞=1n nu收敛,,,,0N p N n N N ∈∀>∀∈∃>∀⇔+ε有ε<++++++p n n n u u u 21.取特殊的1=p ,可得推论:若级数∑∞=1n nu收敛,则0lim =∞→nn u .定理2 该推论的逆否命题:若0lim ≠∞→nn u ,则级数∑∞=1n nu发散.例1 快速判断级数∑∞=+12215n n n 的敛散性.解: 由于05115lim22≠=+∞→n n n ,从而根据定理2可知,该级数发散. 如果0lim ≠∞→n n u ,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;如果0lim =∞→nn u ,则不能判断级数是否收敛,因为存在级数满足0lim =∞→nn u 的发散级数，如∑∞=11n n ；也存在级数满足0lim =∞→n n u 的收敛级数，如∑∞=121n n.显然该逆否命题只使用于满足0lim ≠∞→nn u 的发散级数.3.2 比较判别法 3.2.1 定理及其推论定理3 (比较判别法) 有两个正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv,且N n N N ≥∀∈∃+,,有n n cv u ≤,c 是正常数.1）若级数∑∞=1n nv收敛,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nu发散,则级数∑∞=1n nv也发散.证明 因为有定理若去掉、增添或改变级数∑∞=1n nu的有限项,则不改变级数∑∞=1n nu的敛散性,因此,不妨设+∈∀N n ,有 c cv u n n ,≤是正常数.设级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv的n 项部分和分部是n A 与n B ,由上述不等式,有.)(212121n n n n n cB v v v c cv cv cv u u u A =+++=+++≤+++=1）若级数∑∞=1n nv收敛,根据定理1,数列{}n B 有上界,从而数列{}n A 也有上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nu收敛.2）若级数∑∞=1n nu发散,根据定理1,数列{}n A 无上界,从而数列{}n B 也无上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nv发散.推论 有两个正项级数∑∞=1n n u 与)0(1≠∑∞=n n n v v ,且 k v u nnn =∞→lim).0(+∞≤≤k1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞≤<k 0,则级数∑∞=1n nu也发散.证明 1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,由已知条件,N n N N ≥∀∈∃>∃+,,00ε,有0||ε<-k v u n n 或 0ε+<k v u n n,即N n ≥∀,有n n v k u )(0ε+<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也收敛.2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞<<k 0，由已知条件,N n N N k ≥∀∈∃<<∃+,,0:00εε,有 0||ε<-k v u n n 或 n n v u k <-0ε )0(0>-εk ,即N n ≥∀,有n n u k v 01ε-≤,根据定理2,级数∑∞=1n nu也发散.若级数∑∞=1n nv发散,且+∞=k ,由已知条件,,,,0N n N N M ≥∀∈∃>∃+有M v u n n>,即N n N N ≥∀∈∃+,,有n n u M v 1<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也发散. 从比较判别法的内容,我们可以得出以下几点启示:（1）比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断;（2）比较判别法重在“比较”,是利用两个正项级数的通项结构来比较的;要求必须掌握等比级数,调和级数,p-级数的敛散性,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数.（3）要证明某一个级数∑∞=1n nu收敛,需要找一个通项比n u 大的收敛的整形级数∑∞=1n nv,即n n cv u ≤,也就是需要将所求的级数通咯级数项放大;（4）要证明某一个级数∑∞=1n nu发散,需要找一个通项比n u 小的发散的正项级数∑∞=1n nv,即n n u cv ≤,也就是需要将所求的级数通项缩小.比较判别法提供了一个判别级数敛散的简单方法:只须拿一个已知敛散性的级数和要判别的级数作比较便能得出结论.常用的作为比较的级数有等比级数、调和级数、p-级数,因此,正项级数比较判别法的关键是:如何选取比较对象,放大或缩小所求级数的通项.3.2.2 活用比较判别法(1) 当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时,比较对象常常选取p-级数或调和级数. 例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n ,至多差一个系数. 解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛. 例2 判别级数∑∞=+1421n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项421n n +,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是4,这时通项接近341n n n =,原级数也接近于级数∑∞=131n n,这是13>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.解: 因为3444122221n n n n n n n n ==+≤+（分子放大,分数放大）,又由于∑∞=131n n 收敛,则由比较判别法,原级数∑∞=+1421n nn 也收敛. 例3 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数. 解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n 是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的. (2) 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象.主要用到下面两个式子:当0>x 时,.1)11ln(11,sin xx x x x ≤+≤+< 例4 判别级数nn n 3sin21π∑∞=的敛散性.分析: 考虑当0>x 时,x x <sin ,则πππππnnn nn nn)32(323sin2,33sin=⋅<<,而πnn )32(1∑∞=是公比132||<=q 的收敛级数,故原级数收敛. 例5 判别级数∑∞=+1221ln n n n 的敛散性. 分析: 由于有不等式22221)11ln(1ln n n n n ≤+=+,而∑∞=121n n是收敛的级数,故原级数也收敛.(3) 当所求级数的通项放大、缩小不方便时,可采用比较判别法的推论.利用比较判别法的推论时要注意:（1）把要求的级数当作∑∞=1n nu,另找一个正项级数（往往找调和级数、p-级数或等比级数),作∑∞=1n nv;（2）重点考察极限结果1,因为1在0与∞之间.例6 判别级数∑∞=+-12114n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项1142+-n n ,分子n 的最高幂为1,分母n 的最高幂为2,通项接近nn n 12=,因此就把级数∑∞=11n n作∑∞=1n n v .解: 由于414lim ]1114[lim 222=+-=+-∞→∞→n nn n n n n n ,又因为∑∞=11n n 是发散的,则原级数也发散.例7 另解上面的例5.分析: 我们前面已经讨论过该题,若忘记前面的不等式,而此题的通项又不易进行放大、缩小,可用推论.把)11ln(2n +作为n u ,再找一个n v .观察到n u 中,有对数函数)11ln(2n+出现,考虑用第二重要极限e nnn =+∞→)11(lim ,取.12n v n =解: 因为1)11ln(lim ]1)11ln([lim 2222=+=+∞→∞→n n n n nn,又∑∞=121n n收敛,故原级数也收敛.3.2.3 归纳总结判断正项级数∑∞=1n nu“ 敛散性的一般步骤：(ⅰ) 检查通项。
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛是数列、级数和函数级数中重要的概念，常常用于求解实际问题。
判别一个数列、级数或函数级数是否绝对收敛，可以通过以下方法：
1. 比较判别法：将该数列、级数或函数级数与某个比较级数进行比较，若比较级数收敛，则原数列、级数或函数级数绝对收敛；若比较级数发散，则原数列、级数或函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
2. 比值判别法和根值判别法：对于正项数列、级数和函数级数，可以分别用比值判别法和根值判别法进行判定。
若极限值小于1，则绝对收敛；若极限值大于1，则发散；若等于1，则无法判断，需要采用其他方法。
3. 绝对收敛的充分性：若一个数列、级数或函数级数绝对收敛，则它必定收敛，即条件收敛。
因此，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
4. 瑕积分判别法：对于函数级数，可以用瑕积分判别法进行判定。
若瑕积分收敛，则函数级数绝对收敛；若瑕积分发散，则函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
通过以上方法，可以判别数列、级数和函数级数的绝对收敛和条件收敛性质，为进一步求解实际问题提供有力的数学工具。
- 1 -。
判断幂级数收敛的方法
判断幂级数收敛的方法幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的无穷级数，其中$a_n$ 和 $x$ 是实数或复数。
判断幂级数是否收敛是数学分析中的一个重要问题。
以下是几种判断幂级数收敛的方法：1. 比值判别法：设$L=limlimits_{ntoinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right|$，则有：若 $L<1$，则幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_nx^n$ 收敛绝对；若 $L>1$，则幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_nx^n$ 发散；若 $L=1$，则比值判别法无法确定幂级数的收敛性。
2. 根值判别法：设 $L=limlimits_{ntoinfty}|a_n|^{frac{1}{n}}$，则有：若 $L<1$，则幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_nx^n$ 收敛绝对；若 $L>1$，则幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_nx^n$ 发散；若 $L=1$，则根值判别法无法确定幂级数的收敛性。
3. 积分判别法：将幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_nx^n$ 对 $x$ 在$[0,a]$ 上积分，得到 $int_0^asum_{n=0}^{infty}a_nx^ndx=sum_{n=0}^{infty}dfrac{a_n}{n+1}a^{n+1}$。
若该积分收敛，则幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_nx^n$ 在$[0,a]$ 上一致收敛；若该积分发散，则幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_nx^n$ 在$[0,a]$ 上不一致收敛或发散。
4. Dirichlet 判别法：设数列 ${a_n}$ 满足以下条件：(1) $a_n$ 在 $ntoinfty$ 时单调趋于 $0$；(2) 数列 ${S_n}$，其中 $S_n=sum_{k=0}^na_k$，在$ntoinfty$ 时有一个有限的极限。
级数发散的判定
级数发散的判定
级数是指由一系列无穷多个数相加而成的数列。
在数学中，有些级数是收敛的，也就是说它们的和是有限的，而有些级数则是发散的，也就是说它们的和无限大或无限小。
判定一个级数是否收敛或发散，是数学中的一个重要问题。
下面介绍几种常见的级数发散的判定方法。
1. 正项级数判别法
如果级数的每一项都是非负数，并且这些项呈递减趋势，那么这个级数一定是收敛的。
反之，如果级数的每一项都是非负数，并且这些项不呈递减趋势，那么这个级数一定是发散的。
2. 比较判别法
如果一个级数的每一项都大于另一个级数的对应项，而后者是收敛的，那么前者也是收敛的。
反之，如果一个级数的每一项都小于另一个级数的对应项，而后者是发散的，那么前者也是发散的。
3. 比值判别法
如果一个级数的相邻两项的比值有极限，且这个极限小于1，那么这个级数是收敛的。
反之，如果这个极限大于1或不存在，那么这个级数是发散的。
4. 根值判别法
如果一个级数的相邻两项的根的比值有极限，且这个极限小于1，那么这个级数是收敛的。
反之，如果这个极限大于1或不存在，那么这个级数是发散的。
以上是几种常见的级数发散的判定方法，它们为数学家们判断级数收敛性提供了一些基本的工具。
级数收敛性判断方法总结
级数收敛性判断方法总结级数是由无限多项式相加而成的一个数列，对于级数来说，有两个重要的性质，即级数的收敛性和发散性。
收敛性是指级数的和可以无限接近一些数，而发散性是指级数的和无法无限接近一些数，可能趋向于无穷大或无穷小。
判断一个级数是否收敛的方法有很多，下面是一些常用的方法总结：1.有限和法：如果一个级数的部分和随着项数的增加趋于一些有限数，那么该级数收敛，否则发散。
2.单调有界法：如果一个级数的一般项是单调递减（或递增）的，并且一般项的绝对值是有界的，那么该级数收敛。
3.比较判别法：如果一个级数的一般项与一个已知的收敛（或发散）级数的一般项相比，它们之间的大小关系足够清楚，那么该级数的收敛性与已知级数的收敛性相同。
a. 比较判别法之比较法：若对于级数∑an和∑bn来说，存在一个正数c，使得当n足够大时，有，an，≤c，bn，那么∑bn收敛必有∑an收敛；b. 比较判别法之极限判别法：若对于级数∑an和∑bn来说，当n趋向于无穷时，有lim(an/bn)=c（其中c为常数）存在而不为0和正无穷大，那么∑bn与∑an同时收敛或∑bn与∑an同时发散。
4. 比值判别法：对于级数∑an来说，如果存在正数c，当n足够大时，有，an+1/an，≤c（0≤c<1），那么级数∑an收敛；如果存在正数c，当n足够大时，有，an+1/an，≥c（c>1），那么级数∑an发散；如果不存在这样的c，那么级数∑an的收敛与发散是不确定的。
5. 根值判别法：对于级数∑an来说，如果存在正数c，当n足够大时，有(√(，an+1，))/√(，an，)≤c（0≤c<1），那么级数∑an收敛；如果存在正数c，当n足够大时，有(√(，an+1，))/√(，an，)≥c（c>1），那么级数∑an发散；如果不存在这样的c，那么级数∑an的收敛与发散是不确定的。
6.积分判别法：对于非负函数f(x)，当函数在[1,+∞)上单调递减有界，则级数∑f(n)与曲线y=f(x)所围成图形的面积为收敛；若级数∑f(n)与曲线y=f(x)所围成的图形面积为发散。
级数收敛的比较判别法与根值判别法
级数收敛的比较判别法与根值判别法在数学中，级数是由一系列的项相加得到的，判断级数的收敛性是数学分析中的一个重要问题。
为了判断一个级数是否收敛，数学家们发展了多种方法和判别法，其中比较判别法和根值判别法是较为常用和重要的两种方法。
一、比较判别法比较判别法是用来判断正项级数收敛与发散的方法之一。
该方法可以将一个给定级数与一个已知的收敛或发散的级数进行比较，从而得出所要判断的级数的收敛性。
比较判别法分为比较法和比较审敛法两种情况。
1. 比较法比较法又分为大于、小于比较法和极限形式比较法。
（1）大于、小于比较法：当一个级数的每一项都大于（或小于）另一个级数的每一项，并且另一个级数是收敛的，则可以得出原级数也是收敛的结论。
同样，如果另一个级数发散，那么原级数也是发散的。
（2）极限形式比较法：当一个级数a_n和一个已知的级数b_n满足以下条件时，可以利用极限形式比较法。
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L其中，L是一个常数且0<L<∞。
如果收敛级数\sum b_n收敛，则a_n的级数也收敛；如果收敛级数为无穷大（发散），则a_n的级数也发散。
2. 比较审敛法当一个级数内的每一项都与一个已知收敛的“比较级数”的每一项都取不等号，并且比较级数的部分和是有界的，则原级数也是收敛的；反之，如果比较级数的部分和是无界的，则原级数发散。
比较判别法的基本思想在于将要研究的级数与已知的级数进行比较，通过比较得出原级数的收敛性。
虽然比较法的应用范围较广，但也存在一些局限性，例如比较级数必须满足一定条件，才能得出准确的结论。
二、根值判别法根值判别法是一种判断级数收敛性的重要方法。
它通过计算级数的一般项的n次根的极限来判断级数的收敛性。
根值判别法的基本思路是计算级数的一般项 a_n 的 n 次根：\sqrt[n]{a_n}如果极限\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L满足 L<1，则原级数收敛；如果 L>1 或该极限不存在（L为无穷大），则原级数发散。
判断级数收敛的方法
判断级数收敛的方法有很多种，常见的方法包括以下几种：
1.比较判别法：将所要判断的级数与一个已知收敛或发散的级数
比较大小关系，利用比较结果判断所要判断的级数的收敛性或发散性。
2.比值判别法：计算相邻项的比值，通过判断比值是否趋于零来
判断级数的收敛性或发散性。
3.根值判别法：计算相邻项的根式，通过判断根式是否趋于零来
判断级数的收敛性或发散性。
4.积分判别法：将级数转化为函数的积分形式，通过判断函数的
积分是否收敛来判断级数的收敛性或发散性。
5.阿贝尔定理：对于有限项的级数，如果它满足阿贝尔条件，则
该级数收敛。
阿贝尔条件包括以下两个条件：①级数的部分和数列有界；②级数的公比数列收敛或者是常数。
以上是常见的几种判断级数收敛的方法，不同的方法适用于不同类型的级数，需要根据具体情况选择合适的方法。
无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1） 比值差别法：例1：1(1)3n n ∞=+-级数1(1)3n n ∞=+-发散，但极限1lim n n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=发散而级数1(1)3n n ∞=-∑收敛。
所以级数1(1)3n n ∞=+-发散。
而11n n n u u ++=是摆动数列，故11lim n n n n nu u ++→∞=并不存在。
当然，p-级数∑∞=11n n p 也是一个典型的反例, 1lim n n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛; 1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：例2：1(1)3n n n ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数1(1)3nn n ∞=⎤-⎥⎣⎦∑收敛，但(1)lim 3n n n →∞-=并不存在。
2(1)21033n n n ⎡⎤⎛⎫-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭ 而113n n ∞=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1(1)3n n n ∞=⎤-⎥⎣⎦∑(1)3n -=是摆动数列。
故(1)lim 3n n n →∞-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：n n ∞=n u =， 显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n n n n n u n n n ⎤--⎣⎦===-----由级数2(1)1n n ∞=--∑ 收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数n n ∞=发散。
例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞= n n nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n n n n ， 根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n n n n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数n n nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。
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根植判别法
根植判别法是一种用于区分不同植物种类的方法。
它是通过观察和比
较植物的根系特征来确定它们的分类。
下面将从以下几个方面详细介
绍根植判别法。
一、根系结构
根系结构是根植判别法的一个重要方面。
不同植物种类的根系结构有
着明显的差异，可以通过观察和比较这些差异来确定它们的分类。
1.主根类型
主根是指从种子发出并向下生长的第一个根。
不同植物种类的主根类
型有所不同，可以分为三种类型：锥形主根、纺锤形主根和球形主根。
锥形主根：如松、柏等针叶类植物，其主要特征是细长而深入地下。
纺锤形主根：如豆科等草本植物，其特征是粗壮而浅入地下。
球形主根：如甜菜等蔬菜类作物，其特征是短而粗壮。
2.侧生枝
侧生枝是指从主干或侧枝上生出来的小型分支根。
不同植物种类的侧
生枝数量、长度和分布位置等都有所不同，可以通过观察这些差异来
确定它们的分类。
3.根毛
根毛是指从根表面生长出来的细小毛状物，其作用是吸收水分和养分。
不同植物种类的根毛密度、长度和形态等也有所不同，可以通过观察
这些差异来确定它们的分类。
二、根系颜色
除了结构外，根系颜色也是根植判别法中一个重要的方面。
不同植物
种类的根系颜色也有所不同，可以通过观察这些差异来确定它们的分类。
1.白色或浅黄色
如豆科等草本植物，其根系呈白色或浅黄色。
2.深棕色或黑色
如松、柏等针叶类植物，其根系呈深棕色或黑色。
3.红褐色或灰褐色
如甜菜等蔬菜类作物，其根系呈红褐色或灰褐色。
三、应用范围
1.农业生产中的应用
在农业生产中，根植判别法可以用于鉴别不同作物的品种和优良性状，为作物选育和生产提供科学依据。
2.生态环境中的应用
在生态环境研究中，根植判别法可以用于鉴别不同植物种类的适应性
和对环境的响应能力，为保护生态环境提供科学依据。
3.药用植物中的应用
在药用植物研究中，根植判别法可以用于鉴别不同药材的品种和质量
等指标，为药材的选取和质量控制提供科学依据。
四、总结
根植判别法是一种简单而有效的方法，通过观察和比较不同植物种类的根系结构和颜色等特征来确定它们的分类。
它在农业、生态环境和药用植物等领域都有着广泛的应用。
同时，随着科学技术的发展，根植判别法也在不断地完善和发展。