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对一道高考试题的拓展与探究
(2009年辽宁,理20) 已知椭圆C 经过点3(1,)2
A ,两个焦点为(1,0),(1,0)-．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)E ,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值．
如果将这道题的第(Ⅱ)问拓展到双曲线和抛物线后是否成立, 这个问题的逆命题又是否成立呢,再将逆命题拓展到双曲线和抛物线又是否成立呢,经过笔者的探究,可以得到如下的一些结论:
结论1 过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的定点00(,)A x y 0(0)y ≠作两条直线,分别与椭圆相交于另一点B 、C ,若直线AB 、AC 的斜率互为相反数,则直线BC 的斜率为定值2020
b x a y ． 分析 设直线AB 的方程为00()y k x x y =-+,设11(,)B x y ,22(,)C x y ．
由00()y k x x y =-+和22
221x y a b
+=消去y 后,得到方程222220()(2a k b x ka y ++- 22222220002)a k x x a y k a x ++-2002ka x y 220a b -=．则有10x x =
2222222200002222a y k a x ka x y a b a k b +--+,进而有22222222
0000122202()
a y k a x ka x y a
b x x a k b +--=+, 1100()y k x x y =-+=222222220000022202()
a y k a k x y a
b k b x k y x a k b ---++,因为直线AB 和AC 的 斜率互为相反数,所以将上述1,1x y 中的k 换为k -,就可以得到点C 的坐标为2x =
22222222000022202()a y k a x ka x y a b x a k b ++-+,2222222200002022202()
a y k a k x y a
b k b x k y y x a k b --++=++ ,所以直线BC 的斜率为22222220001222120002224BC
a y k a
b k b x k b x y y k x x ka x y a y ---===--． 结论2 过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的定点00(,)A x y 0(0)y ≠作两条直线 ,分别与双曲线相交于另一点B 、C ,若直线AB 、AC 的斜率互为相反数,则直线BC 的
斜率为定值2020
b x a y -． 结论3 过抛物线22(0)y px p =>上的定点00(,)A x y 0(0)x ≠作两条直线,分别与抛物线相交于另一点B 、C ,若直线AB 、AC 的斜率互为相反数,则直线BC 的斜率为定值00
2y x -． 结论2和结论3的证明类似于结论1的证明．
例1 过双曲线2
212
x y -=上的点(2,1)A 作两条直线,分别与双曲线相交于另一点B 、C ,直线AB 和AC 的斜率之和为0,则直线BC 的斜率为_______．
分析 因为22002,1,2,1a b x y ====,所以由上述结论2得直线BC 的斜率为1-．
例2 过抛物线22(0)y px p =>上一点(,)2
p A p ,作两条倾斜角互补的直线,分别与抛物线相交于另一点B 、C ．求证∶不论p 取何实数,直线BC 的斜率始终是一个定值(2008年中数教参杂志社组织的全国高中数学教师解题大赛试题)．
分析 因为直线AB 和AC 的倾斜角互补,所以它们的斜率互为相反数, 02p x =, 0y p =,则由上述的结论3可以得到直线BC 的斜率为定值1-．
实际上,上述结论1、2、3的逆命题也是成立的,分别论述如下∶
结论4 过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的定点00(,)A x y 0(0)y ≠作两条直线,分别与椭圆相交于另一点B 、C ,若直线BC 的斜率为定值2020
b x a y ,则直线AB 和AC 的斜率互为相反数．
分析 设(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b C a b ααββγγ,则0cos ,x a α=
0sin y b α=．由BC 的斜率为定值2020b x a y 得sin sin cos cos b b a a γβγβ-=-2020
b x a y ,进而可得 00sin tan 2cos ay bx βγ
αα
+=-=-． ∴sin sin sin sin cos cos cos cos AB AC b b b b k k a a a a βαγαβαγα
--+=+--,通分后的分子为
[(sin sin )(cos cos )(sin sin )(cos cos )]b βαγαγαβα--+--
[sin()2sin cos cos (sin sin )sin (cos cos )]b βγαααβγαβγ=++-+-+
22tan 2[2sin cos 2cos cos (cos tan sin )]2221tan 2
b βγ
βγβγβγααααβγ++-+=+-+++ sin (2sin cos 2sin cos )2cos cos [cos ()22cos b b βγβγααααααα
+-=-+--sin ]0α+= ,故直线AB 和AC 的斜率互为相反数．
结论5 过双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上的定点00(,)A x y 0(0)y ≠作两条直线,分别与双曲线相交于另一点B 、C ,若直线BC 的斜率为定值2020
b x a y -,则直线AB 和AC 的斜率互为相反数．
分析 设(sec ,tan ),(sec ,tan ),(sec ,tan )A a b B a b C a b ααββγγ,其中1,2k απ≠ ,,,22k k k Z π
π
βπγπ≠+≠+∈则00sec ,tan x a y b αα==．
由直线BC 的斜率为定值2020b x a y -,得22tan tan sec ,sec sec tan b b b a a a a b βγαβγα-⋅=--⋅ 2sin cos sin()1122,,cos cos sin sin 2sin sin 22
βγβγβγβγβγβγαα
---==+---展开并化为正切,得到如下的关系式1tan
tan 12
2,tan tan sin (1tan tan )sin 2222tan tan 22βγβγβγαβγα+=-+=-++．则直线AB 和AC 的斜率之和为tan tan tan tan sec sec sec sec AB AC b b b b k k a a a a βαγαβαγα--+=+--sin()[cos cos b a βααβ-=-+ sin()]cos cos γααγ--1tan tan 1tan tan 2222()tan tan tan tan 2222
b a βαγαβαγα++=+++,通分后的分子为： [(tan
tan )(1tan tan )(tan tan )(1tan tan )]22222222b αγβααβγα+++++2[(1tan )2b α=+ (tan tan )2tan (1tan tan )]22222βγαβγ+++2[sec (sin )(1tan tan )222b αβγ
α=⋅-++
2tan (1tan tan )]222αβγ+[2tan (1tan tan )2tan (1tan tan )]0222222
b αβγαβγ=-+++=, 故直线AB 和AC 的斜率互为相反数．
结论6 过抛物线22(0)y px p =>上的定点00(,)A x y 0(0)x ≠作两条直线,分别与抛物线相交于另一点B 、C ,若直线BC 的斜率为定值00
2y x -
,则直线AB 和AC 的斜率互为相反数． 分析 设221122(2,2),(2,2)B pt pt C pt pt ,由直线BC 的斜率为定值00
2y x -,得到关系式 0001212221200222222y x y pt pt t t pt pt x y p
-=-⇒+=-=--,则直线AB 和AC 的斜率之和为AB AC k k + 1020221020
2222pt y pt y pt x pt x --=+--,通分后的分子为2212120120124()2()2()p t t t t px t t py t t +-+-++ 0220000012001200012000022424()2242420y y y px py t t x y p t t px py py t t x y x y y p p p p
+=⋅-+⋅-++=-⋅= ．故直线AB 和直线AC
的斜率互为相反数．
例3 过椭圆22
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x y +=上点
A 作两条直线,分别与椭圆相交于另一点
B 、
C , 若直线BC 的斜率为3
,直线AB
的倾斜角为60︒,试求直线AC 的倾斜角． 分析 由题意知22006,2,1a b x y
===,因为20
203
b x a y =,所以由上述结论4知直线AB 和AC 的斜率互为相反数,而直线AB 的斜率为tan 60︒=则直线AC 的斜率为,故直线AC 的倾斜角为120︒．
若圆锥曲线的焦点在y 轴上,只需将上述各结论中的斜率中的0x 、0y 交换位置即可!。