2020年天津市九校联考高考数学模拟试卷(二)(3月份)(有答案解析)
2020年天津市九校联考高考数学模拟试卷（二）（3月份）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁U B=（）A. {3}B. {4}C. {3，4}D. ∅2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A. 6B. 19C. 21D. 453.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 3B. 10C. -6D. -154.设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则函数y=f（x）是（）A. 奇函数，其图象关于点（π，0）对称B. 奇函数，其图象关于直线x=对称C. 偶函数，其图象关于点（π，0）对称D. 偶函数，其图象关于直线x=对称6.已知函数f（x）=的定义域是（-），当x i，i=1，2，3时，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x1+x3＞0，则有f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A. 恒等于零B. 恒小于零C. 恒大于零D. 可能小于零，也可能大于零7.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为8.设f（x）=，g（x）=kx-1（x∈R），若函数y=f（x）-g（x）在x∈[-2，3]内有4个零点，则实数k的取值范围是（）A. （2，）B. （2，]C. （2，4）D. （2，4]二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.设复数z满足=i,其中i为虚数单位，则复数z的虚部是______．10.若（x+）8的展开式中x4的系数为56，则实数a=______．11.在极坐标系中，直线被圆ρ=2a sinθ（a＞0）所截弦长为2，则a=______．12.已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，AB＝BD＝2，CD＝1，则三棱锥的外接球的体积为____．13.已知a＞0，b＞0，c＞1，且a+b=1，则（）•c+的最小值为______．14.在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=4，若=，动点D满足||=1，则||的最小值是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=7，角A=60°，且sin B+sin C=．（1）求bc的值；（2）若b＜c，求cos（2B+A）的值．16.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．17.在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF∥AB，DE=EF=1，DC=2，∠EAD=30°．（1）求证：CD⊥平面ADE；（2）在线段BD上是否存在点G，使得平面EAD与平面FAG所成的锐二面角的大小为30°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18.数列{a n}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为S n，数列{b n}是等差数列，b1=8，前n项和T n满足T n=nλ•b n+1（λ为常数，且λ≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及λ的值；（Ⅱ）令C n=++…+，求证：C n≤S n．19.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左焦点为F，椭圆上任意点到F的最远距离是，过直线x=-与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C．（1）求椭圆的方程；（2）求证：C、F、B三点共线；（3）求△MBC面积S的最大值．20.已知函数f（x）=（x-1）ln x-（x-a）2（a∈R）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（2）若f（x）在x=1处取得极值，判断当x∈（0，2]时，存在几条切线与直线y=-2x（3）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：因为全集U={1.2.3.4．}，且∁U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，B={1，2}，所以∁U B={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}．所以A∩∁U B={3}．故选：A．通过已知条件求出A∪B，∁U B，然后求出A∩∁U B即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，考查计算能力．2.答案：C解析：【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值．在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．3.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键，属于基础题．根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算出输出S=-12+22-32+42的值，代入运算可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是计算并输出S=-12+22-32+42的值，可得：S=-12+22-32+42=10．故选：B．解析：解：由题意可得α∩β=l，a⊂α，b⊂β，若再满足a⊥b，则不能推得α⊥β；但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a⊥b故“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．故选：B．分析题可知：在题目的前提下，由“a⊥b”不能推得“α⊥β”，由面面垂直的性质定理可由“α⊥β”推出“a⊥b”，从而可得答案．本题考查充要条件的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．5.答案：D解析：解：f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x++）=sin（2x+）=cos2x，则函数f（x）是偶函数，当x=时，f（）=cos（2×）=cosπ=-，则图象关于直线x=对称，故选：D．利用辅助角公式进行化简，结合函数性质进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角的图象和性质是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：因为当x∈（-，）时，f（-x）==-f（x），所以函数y=f（x）为奇函数，当0＜x时，f′（x）=，所以函数y=f（x）在（0，）为增函数，又f（0）=0，所以函数y=f（x）在（-，）为增函数，又x1+x2＞0，所以x1＞-x2，所以f（x1）＞f（-x2），即f（x1）+f（x2）＞0，同理：f（x2）+f（x3）＞0，f（x1）+f（x3）＞0，所以2（f（x1）+f（x2）+f（x3））＞0，即f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：C．由函数的奇偶性的判定得：f（-x）==-f（x），所以函数y=f（x）为奇函数，由利用导数研究函数的增减性得：函数y=f（x）在（0，）为增函数，又f（0）=0，所以函数y=f（x）在（-，）为增函数，又x1+x2＞0，所以x1＞-x2，所以f（x1）＞f（-x2），即f（x1）+f（x2）＞0，同理：f（x2）+f（x3）＞0，f（x1）+f （x3）＞0，即f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，得解．本题考查了函数的奇偶性、增减性，属中档题．解析：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选：B．根据题意，点（-2，-1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．8.答案：B解析：解：∵f（x）=，g（x）=kx-1（x∈R），令函数y=f（x）-g（x）=0，则x≠0，则k=，令h（x）=，则函数h（x）的图象与y=k在x∈[-2，3]内有4个交点，函数h（x）的图象如下图所示：由图可得：k∈（2，]，故选：B．（x）的图象与y=k在x∈[-2，3]内有4个交点，画出图象数形结合，可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象，函数的零点，数形结合思想，难度中档．9.答案：1解析：解：由=i，得1+z=i-iz，∴z=，∴复数z的虚部是1．故答案为：1．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：1解析：解：由（x+）8的展开式的通项T r+1=x8-r（）r=a r x，令，解得r=3，即a3=56，则a=1，故答案为：1．由二项式定理及其展开式通项公式得：T r+1=x8-r（）r=a r x，令，解得r=3，即a3=56，则a=1，得解．本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，属中档题．11.答案：2解析：解：联立得ρ=2a sin=a，=2，解得a=2．故答案为：2联立直线与圆的极坐标方程，根据极径的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属基础题．12.答案：解析：【分析】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，证明DC⊥AD，可得AC为三棱锥A-BCD的外接球的直径，进一步求得AC，再由球的体积公式求解．【解答】解：如图，∵AB⊥面BCD，∴AB⊥DC，又∠BDC=90°，∴BD⊥DC，而AB∩BD=B，且AB、BD都在平面ABD内，∴DC⊥平面ABD，则DC⊥AD．∴AC为三棱锥A-BCD的外接球的直径，∵AB=BD=2，CD=1，∴AC=．∴三棱锥的外接球的半径为．∴三棱锥的外接球的体积为V=．故答案为：．13.答案：4+2解析：解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴=+=+=+2+1+=++3≥2+3=2+3，∵c＞1，∴（）•c+≥2•c+=[2（c-1）++2]≥[2+2]=4+2，其中等号成立的条件为：当且仅当，解得：a=，b=2，c=1+，∴（）•c+的最小值为4+2．故答案为：4+2．根据a+b=1和“1”的代换，利用不等式化简，代入原式后化简后，利用添补项和本题考查利用基本不等式求最值问题，“1”的代换灵活应用，考查灵活变形、化简能力，属于中档题．14.答案：解析：解：建立以点B为直角坐标系的原点，BA，BC所在直线为x．y轴的直角坐标系，由已知有B（0，0），A（2，0），C（0，2），O（，），D（cosθ，2+sinθ），则=（cosθ，sinθ），则||的几何意义为点E（cosθ，sinθ）与点F（，-）的距离，又点E的轨迹方程为x2+y2=1，由圆的性质可得：|EF|的最小值为-1=-1，即||的最小值是-1，故答案为：．由向量的坐标运算得：建立以点B为直角坐标系的原点，BA，BC所在直线为x．y轴的直角坐标系，由已知有B（0，0），A（2，0），C（0，2），O（，），D（cosθ，2+sinθ），则=（cosθ，sinθ），由圆的有关性质得：则||的几何意义为点E（cosθ，sinθ）与点F（，-）的距离，又点E的轨迹方程为x2+y2=1，则|EF|的最小值为-1=-1，即||的最小值是-1，得解．本题考查了向量的坐标运算及圆的有关性质，属中档题．15.答案：解：（1）由正弦定理结合合分比的性质有：，则b+c===13，由余弦定理有：a2=b2+c2-2bc cos A，即a2=（b+c）2-2bc-2bc cos A，则：72=132-bc-2bc×，据此可得：bc=40．（2）∵b+c=13，bc=40，b＜c，∴b=5，c=8，∴cos B==，sin B=，可得：cos2B=2cos2B-1=，sin2B=2sin B cosB=，∴cos（2B+A）=cos2B cos-sin2B sin=-．解析：（1）由正弦定理结合合分比的性质可得b+c=13，然后结合余弦定理求解bc的值即可．（2）由题意可得b=5，c=8，利用余弦定理和两角和差正余弦公式可得cos（2B+A）的值．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围，本题属于中档题．16.答案：解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）==P（X=1）==P（X=2）==P（X=3）==P（X=4）==（2）此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，P（Y=3500）=P（X=4）==P（Y=2800）=P（X=3）==P（Y=2100）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=EY==2280解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由古典概型分别求出概率，列出分布列即可．（2）由（1）可知此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，Y取每个值时对应（1）中的X取某些值的概率，列出Y的分布列，求期望即可．本题考查古典概型、组合数、离散型随机变量及分布列，考查利用所学知识解决问题的能力．17.答案：证明：（1）∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，正方形ABCD中，CD⊥AD，平面ABCD,∴CD⊥平面ADE．解：（2）由已知有：平面ABCD⊥平面AED．在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），F（），=（2，2，0），=（-），设，λ∈[0，1]，则=（2λ-2，2λ，0），设平面FAG的一个法向量=（x，y，z），则，令x=-，得=（-），平面EAD的一个法向量=（0，1，0），由已如得cos30°===，化简可得：9λ2-6λ+1=0，解得，∴=．解析：（1）由面面垂直的性质定理证明线面垂直即可；（2）在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用平面FAG的法向量和平面EAD 的法向量求二面角的余弦值即可确定线段BD上是否存在点G．本题主要考查面面垂直的性质定理，空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，∴（1-a2）2=a1（1+a3），解得，∴，（2分）由已知得，从而，解得，d=8，解得b n=8n．（4分）（Ⅱ）c n==（1-）=，=，（8分）c n≤，即，∴n+1≤2n，（9分）当n=1时，2n=n+1，（10分）当n≥2时，2n=（1+1）n==1+n+…+1＞n+1．∴n+1≤2n成立．∴C n≤S n．（12分）解析：（Ⅰ）由已知得（1-a2）2=a1（1+a3），从而，由已知得，从而，由此求出b n=8n．（Ⅱ）利用裂项求和法求出c n=，=，由c n≤，得，由此能证明C n≤S n．本题考查数列的通项公式及实数值的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19.答案：解：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆的离心率为：．（2）结合（1）中的椭圆方程可得：-，故M（-3，0），设直线l的方程为x=ty-3，联立直线方程与椭圆方程：可得：（t2+3）y2-6ty+3=0．直线与椭圆相交，则：△=36t2-12（t2+3），解得：t或t．设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，-y1），F（-c，0），则：y1y2=，y1+y2=，故：===将c=2代入上式可得：k BF-k CF=0，故C、F、B三点共线；（3）结合（2）中的结论可得：△BMC的面积S=S△MAC-S△BAC=AC-•AC=（x2+3）|y1|=ty1y2|=．当且仅当t=时等号成立，故△MBC的面积的最大值为．解析：（1），由题意可得：，解得a，b即可．（2），设直线l的方程为x=ty-3，联立直线方程与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识结合已知条件能证明Q，F，B三点共线．（3），△BMC的面积S=S△MAC-S△BAC=AC-•AC=（x2+3）|y1|=ty1y2|，此利用基本不等式能求出△BMC面积S的最大值．解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.答案：解：（1）f（x）=（x-1）ln x-（x-a）2（a∈R）．由f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=ln x+-2（x-a）=ln x--2x+1+2a≤0恒成立．令g（x）=ln x--2x+1+2a，则g′（x）=+-2=（x＞0），可得：x=1时，函数g（x）取得极大值即最大值．∴g（x）max=g（1）=2a-2≤0，解得a≤1．a的取值范围是（-∞，1]．（2）f（x）在x=1处取得极值，则f′（1）=0，可得a=1．令f′（x）=ln x--2x+3=-2，即ln x--2x+5=0．设h（x）=ln x--2x+5，则h′（x）=+-2=（x＞0）．故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，注意到h（e-5）=-e5-2e-5＜0，h（1）=2，h（2）=ln2+0，则方程ln x--2x+5=0在（0，2]内只有一个实数根，即当x∈（0，2]时，只有一条斜率为-2且与函数f（x）图象相切的直线．但事实上，若a=1，则f′（x）=ln x--2x+3，f″（x）=，故函数f′（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，且f′（1）=0-1-2+3=0，故函数f′（x）≤0在区间（0，2]上恒成立，函数f（x）在区间（0，2]上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数a，也不存在满足题意的切线．（3）证明：若函数有两个极值点x1，x2，不妨设0＜x1＜x2，由（Ⅰ）可知a＞1，且：f′（x1）=ln x1--2x1+1+2a①，f′（x2）=ln x2--2x2+1+2a②，由①-②得：+-2（x1-x2）=0，∴（x1-x2）（-2）=-＞0，∴＜2．，即∴x1x2＞．由①+②得：ln（x1x2）+2--2（x1+x2）+4a=0．∴x1+x2=＞=．∴x．解析：（1）由题意可得f′（x）≤0恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性极值与最值，据此计算可得实数a的取值范围．（2）f（x）在x=1处取得极值，则f′（1）=0，可得a=1．原问题等价于求解ln x--2x+5=0在区间（0，2]内解的个数，结合导函数的解析式研究函数的单调性和函数在特殊点处的函数值即可确定切线的条数．而事实情况下检验a=1时函数f（x）不存在极值点，所以不存在满足题意的实数a，也不存在满足题意的切线．（3）若函数有两个极值点x1，x2，不妨设0＜x1＜x2，易知a＞1，结合函数的解析式和零点的性质即可证得题中的不等式．本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
天津市天津中学2020年3月高三在线月考数学试卷 (解析版)
天津中学2020年3月高三在线月考数学试卷一．选择题1.已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B =I ( ) A. {1,2,3} B. {1,2} C. (0,3] D. (3,4]【答案】A 【解析】 【分析】先求解集合,A B ,然后求解A B I .【详解】因为{}{*|3}1,2,3A x x ==∈≤N ，{}{}2|40|04B x x x =x x =-≤≤≤，所以{}1,2,3A B =I .故选A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型. 3.函数422y x x =-++的图像大致为A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得22x <-或202x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A.272π B.283π C.263π D.252π 【答案】B 【解析】 【分析】计算出ABC ∆的外接圆半径r ，利用公式222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】ABC ∆的外接圆半径为2332sin3AB r π==，PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为222223211233PA R r ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2221284433R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.5.如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到0.01）分别是（ ）A. 2.20，2.25B. 2.29，2.20C. 2.29，2.25D. 2.25，2.25【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得中位数，利用最高矩形底边的中点值可得出众数. 【详解】由频率分布直方图得，自学时间在[)0.5,2的频率为()0.160.20.340.50.35++⨯=，自学时间在[)2,2.5的频率为0.520.50.26⨯=， 所以，自学时间的中位数为0.50.3520.5 2.290.26-+⨯≈，众数为2 2.52.252+=.故选：C.【点睛】本题考查中位数、众数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（ ）A. ()()()f b f c f a <<B. ()()()f a f c f b <<C. ()()()f c f b f a <<D. ()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，确定()f x 在[1,0]-上是增函数，再由奇函数性质得()f x 在[0,1]上递增，在[1,1]-上单调递增．然后把自变量的值都转化到[1,1]-上，比较大小． 【详解】设1210x x -≤<≤，则121222x x ≤+<+≤，又()f x 在[1,2]上递减，∴12(2)(2)f x f x +>+，而11(2)()f x f x +=-，22(2)()f x f x +=-，∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <，∴()f x 在[1,0]-是递增，∵()f x 是奇函数，∴()f x 在[0,1]上递增，从而在[1,1]-上单调递增，(0)0f =，ln 2(0,1)a =∈，121()24b -==，12log 21c ==-，()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==，∴由10ln 2-<<得(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，确定()f x 在[1,0]-上是增函数，然后就是这类问题的常规解法，确定出[1,1]-上单调性，转化比较大小．7.已知双曲线M :22219x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F .若双曲线M 的右支上存在点P ，使12211sin sin cPF F PF F =∠∠，并且22PF =，则双曲线M 的离心率为（ ）B.2C.32D.43【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求出1PF ，结合正弦定理求出c 的值，进而可求得双曲线M 的离心率为的值. 【详解】由题意得3a =，由于点P 在双曲线M 的右支上，由双曲线的定义得1226PF PF a -==， 解得18PF =，在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，又12211sin sin cPF F PF F =∠∠，所以，211PF PF c =，即12PF c =，4c ∴=，因此，双曲线M 的离心率为43c e a ==. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，涉及双曲线定义的应用以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.8.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 的周期为2π；②()f x 在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()1y f x =-在[],ππ-上有3个零点；④函数()f x 的最小值为. 其中所有正确结论的编号为（ ） A. ①② B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断①的正误；当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，化简函数()y f x =的解析式，利用整体代入法验证函数()y f x =在区间50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，可判断②的正误；求得方程()10f x -=在区间[],ππ-上的实数解，可判断③的正误；分别求出函数()y f x =在区间(),0-∞和[)0,+∞上的最小值，比较大小后可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①，()cos sin f x x x =+Q ，cos sin 666f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111111cos sin cos 2sin 266666f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1166f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()y f x =的周期不是2π，命题①错误；对于②，当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则3,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以，函数()y f x =在区间50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，命题②错误；对于③，()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=， 且该函数的定义域为R ，则函数()y f x =为偶函数，当[]0,x π∈时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，5444x πππ≤+≤，令()10sin 42f x x π⎛⎫-=⇒+= ⎪⎝⎭，可得44x ππ+=或544x ππ+=，解得0x =或π， 由于函数()y f x =为偶函数，则方程()10f x -=在区间[),0π-上的实根为x π=-. 所以，函数()1y f x =-在[],ππ-上有3个零点，命题③正确； 对于④，当0x ≥时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的最小值为由于函数()y f x =为R 上的增函数，则该函数在(),0-∞上的最小值为. 因此，函数()y f x =的最小值为，命题④正确. 故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数周期性、单调性、零点以及最值的判断，去绝对值，化简函数解析式是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.9.已知函数()221,01,01x x x h x x x x⎧-+>⎪=⎨+≤⎪-⎩，函数()()112g x h x mx m =--+-恰有三个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A. 10,22⎧⎫⎡-⋃-⎨⎬⎣⎩⎭B. 90,22⎧⎫⎡+⋃⎨⎬⎣⎩⎭C. (922⎧⎫⎤--⋃⎨⎬⎦⎩⎭D. (1-22⎧⎫⎤+⋃-⎨⎬⎦⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】令1t x =-，由()0g x =可得()102h t mt +-=，可转化为直线12y mt =-+与函数()y h t =的图象有三个交点，考查直线12y mt =-+与曲线11t y t+=-和曲线221y t t =-+相切的临界位置，利用数形结合思想可求得实数k 的取值范围.【详解】令1t x =-，由()0g x =可得()102h t mt +-=， 则直线12y mt =-+与函数()y h t =的图象有三个交点，如下图所示：当直线12y mt =-+与曲线11t y t+=-在0t <相切时， 由1121t mt t +-+=-，整理得()222310mt m t -+-=，所以，()2123022380m m m m +⎧<⎪⎨⎪∆=++=⎩，解得12m =-. 当直线12y mt =-+与曲线221y t t =-+在0t >时相切， 由21212t t mt -+=-+整理得()21202t m t +-+=，所以，()2220220m m ->⎧⎪⎨∆=--=⎪⎩， 解得22m =.由图象可知，当022m ≤<或12m =-时，直线12y mt =-+与曲线()y h t =有三个交点，因此，实数m 的取值范围是10,222⎧⎫⎡⋃-⎨⎬⎣⎩⎭.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解答的关键就是要分析出直线与曲线相切这一临界位置，考查数形结合思想的应用，属于难题.二．填空题10.若11abi i=++，其中a 、b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=________．【解析】 【分析】利用复数除法和复数相等的知识得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出a bi +的值.【详解】()()()1111122a i a a a bi i i i i -+===-++-Q ，则122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，因此，2a bi i +=-==【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.11.若圆()()2221:08C x a a y a ++=>+与圆222:4C x y +=的公共弦AB 的长为2C 上位于AB 右方的点到AB 的最长距离为_________．【答案】1 【解析】 【分析】将两圆方程相减可得出公共弦AB 的方程，求出圆2C 的圆心到直线AB 的距离，结合点到直线的距离公式求出正数a 的值，【详解】将圆1C 与圆2C 相减可得公共弦AB 所在直线的方程为20ax -=， 所以，圆2C 的圆心到直线AB的距离为1d ==，即21d a==， 0a >Q ，可得2a =，则直线AB 的方程为1x =.因此，圆2C 上位于AB 右方的点到AB 的最长距离21d -=. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用相交弦长求参数，同时也考查了圆上一点到直线的距离最值的计算，考查计算能力，属于中等题.12.将()3nx +的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是_______. 【答案】5 【解析】 【分析】写出展开式通项，求出展开式倒数第三项的系数表达式，根据已知条件得出关于n 的方程，即可求得正整数n 的值.【详解】()3nx +的展开式按照x 的升幂排列，则展开式通项为13r n r rr n T C x -+=⋅⋅，由题意2n ≥，则倒数第三项的系数为2223990n n n n C C --⋅==，()()21!102!2!2n n n n n C n --∴===-，整理得2200n n --=，解得5n =. 故答案为：5.【点睛】本题考查根据项的系数求参数，考查运算求解能力，属于基础题.13.若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ． 【答案】65【解析】 【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p ，可知()3,B p ξ:，然后利用二项分布的期望公式可计算出()E ξ的值.【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为242625C p C ==，由题意可知，23,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，由二项分布的期望公式得()26355E ξ=⨯=. 故答案为：65. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.14.已知实数若x 、y 满足0x y >≥，则42x y x yx y x y++++-的最小值是______．【答案】5 【解析】 【分析】将所求代数式变形为3x y x yx y x y-++++-，然后利用基本不等式可求得所求代数式最小值. 【详解】0x y >≥Q ，所以0x y x y +>->，()()423x y x y x y +=++-，()()335342x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x ++-++++=+=-+++≥=+-+-+-Q，当且仅当x y x y -=+时，即当0y =时，等号成立.因此，42x y x yx y x y++++-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题.15.如图所示，在ABC ∆中，3AB AC ==，90BAC ∠=o ，点D 是BC 的中点，且M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，若13AM AB mAC u u u u r u u u r u u u r =+，则DM BM ⋅u u u u r u u u u r的取值范围______．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】建立如图所示的坐标系，可知33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),M x y ，由13AM AB mAC u u u u r u u u r u u u r =+，可得到1x =，3y m =，结合M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，可得1233m <<，再利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得到答案．【详解】解：建立如图所示的坐标系，33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭．设(),M x y ，13AM AB mAC u u u u r u ur u u Q u u r=+，()()()1,3,00,33x y m ∴=+，1x ∴=，3y m =．M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，1233m ∴<<． 则()22133917,32,3133919()2222416DM BM m m m m m m m u u u u r u u u u r ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1233m <<，所以1,22DM BM ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ，故答案为1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量相等、二次函数的单调性等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题16.在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C的对边，且222sin b A c a -+=. （1）求角A 的大小；（2）若2,3,b c ==求a 和()sin 2B A -的值.【答案】（1）3π； （2）a =【解析】 【分析】（1）222sin 3b A c a -+=化为22223b c a A bc +-=，由余弦定理可得tan A =从而可得结果；（2）由余弦定理求得a =sin 7B =差的正弦公式可得结果.【详解】（1）由已知，得：222sin b A c a +=，由余弦定理，得：2222b c a A bc +-=，cos A A =，即tan A =()0,A π∈,所以3A π=.（2）2222cos a b c bc A =+-⋅214922372a ∴=+-⨯⨯⨯=a ∴= 又sin sin ab A B =2sin B =sin 7B ∴=，b a <Q 0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 227cos 1sin 7B B ∴=-=， 4sin22sin cos 37B B B ∴==,1cos27B =， ()sin 2B A ∴- sin2cos cos2sin B A B A =- 411337272=⨯-⨯3314=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=o ，24AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 221，求线段AP 的长． 【答案】（1）证明见解析；（27；（3）6. 【解析】 【分析】（1）取BE 的中点M ，连接AM 、OM ，证明四边形ADOM 为平行四边形，可得出//OD AM ，即//DF AM ，利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出平面ABE 与平面BEF 所成二面角的余弦值，进而可得出其正弦值；（3）设EP EF λ=u u u r u u u r ，[]0,1λ∈，计算出AP u u u r 的坐标，结合直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为22163求得实数λ的值，进而可求得AP 的长.【详解】（1）如下图所示，设CE DF O =I ，取BE 的中点M ，连接AM 、OM ，Q 四边形EDCF 为矩形，CE DF O =I ，O ∴为CE 的中点，M Q 为BE 的中点，//OM BC ∴且12OM BC =， //AD BC Q ，12AD BC =，//OM AD ∴且OM AD =，所以，四边形ADOM 为平行四边形，则//AM OD ，即//AM DF ，AM ⊂Q 平面ABE ，DF ⊄平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）Q 四边形EDCF 为矩形，则DE CD ⊥，平面ABCD I 平面CDEF CD =，平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊂平面CDEF ，DE ∴⊥平面ABCD ，取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()2,4,0B 、()0,0,2E 、()2,4,2F -，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =v，()2,0,2AE =-u u u v ，()0,4,0AB =u u u v ，由11140220m AB y m AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令11x =，则10y =，11z =，()1,0,1m =v ， 设平面BEF 的法向量为()222,,n x y z =v，()2,4,2BE =--u u u v ，()4,0,2BF =-u u u v ， 由222222420420n BE x y z n BF x z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令22x =，则24z =，21y =，则()2,1,4n =v ，cos ,7m n m n m n ⋅===⋅v vv v v v，sin ,m n ∴==v v 因此，平面ABE 与平面BEF； （3）Q 点P 在线段EF 上，设()()2,4,02,4,0EP EF λλλλ==-=-u u u v u u u v，()()()2,0,22,4,022,4,2AP AE EP λλλλ=+=-+-=--u u u v u u u v u u u v， 由题意得cos ,63AP n AP n AP n⋅===⋅u u u v v u u u v vu u u v v ， 整理得25270λλ+-=，[]0,1λ∈Q ，解得1λ=，此时()4,4,2AP =-u u u v，则6AP =u u u v .【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且()11,0F -，椭圆经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆的方程；（2）直线l 过椭圆右顶点B ，交椭圆于另一点A ，点G 在直线l 上，且GOB GBO ∠=∠.若12GF AF ⊥，求直线l 的斜率．【答案】（1）22143x y +=；（2）10±.【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，利用b =b 的值，进而可求得椭圆的方程； （2）设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点A 的坐标，由题中条件求出点G 的坐标，由12GF AF ⊥得出120FG F A ⋅=u u u r u u u u r，据此计算出实数t 的值，进而可求得直线l 的斜率.【详解】（1）易知点()21,0F，由椭圆的定义得1224a PF PF =+==，2a ∴=，b ===因此，椭圆的方程为22143x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，且斜率不为零， 设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，设点()00,A x y ，联立2223412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得()2234120t y ty ++=，则021234t y t =-+，2028634t x t -=+， 所以，点A 的坐标为2228612,3434t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，GOB GBO ∠=∠，则1G x =，可得1G y t =-，所以，点G 的坐标为11,t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12GF AF ⊥Q ，则120FG F A ⋅=u u u r u u u u r， 112,F G t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u v Q u u ，22224912,3434t t F A t t ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭u u u u v ，所以，21222018034t FG F A t -⋅==+u u u r u u u u r，解得t =， 因此，直线l的斜率为1t =. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用直线垂直求直线的斜率，考查计算能力，属于中等题.19.设{}n a 是等比数列的公比大于0，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列，已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式（2）设()()111nn n n a c a a +=++，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）设()2,2log 1,2n n n n b n kd a a n k≠⎧=⎨+=⎩，其中k *∈N ，求21i i n d =∑.【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）11221n n T =-+；（3）()1212314949i ni n d n n =+-⨯++=∑. 【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，设等差数列{}n b 的公差为d ，利用等比数列的通项公式可求得q 的值，利用等差数列的通项公式建立有关1b 和d 的方程组，解出这两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式；（2）由()()11121121212121n n n n n nc ---==-++++，利用裂项相消法可求得n T ； （3）求得1,22,2n n n n kd n n k-≠⎧=⎨⋅=⎩，利用等差数列的求和公式求出数列{}n b 前2n 项中奇数项的和，利用错位相减法求出数列{}n b 前2n 项中偶数项的和，相加即可得出结果. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，设等差数列{}n b 的公差为d ，11a =Q ，由322a a =+，得22q q =+，0q >Q ，解得2q =，则1112n n n a a q --==.由435a b b =+，5462a b b =+得1126831316b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11b d ==，则()11n b b n d n =+-=；（2）()()()()()()()()111111212121121212121212111n n n n n n n n n n n n na c a a ----+-+-+===-=++++++++， 0112111111111212121212121221n n n nT -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ； （3）1,22,2n n n n k d n n k -≠⎧=⎨⋅=⎩Q ， 设数列{}n b 前2n 项中奇数项和偶数项的和分别为n A 、n B ， 则()()2121135212n n n A n n +-=++++-==L ，1352122426222n n B n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，()3521214224222222n n n B n n -+=⨯+⨯++-⨯+⨯L ，上式-下式得()412352122222143222222224214n n n n n B n n --++--=+⨯+⨯++⨯-⨯=+-⨯-L ()11113444164433n n n n n +++-⨯--=+-⨯=，()131449n nn B +-⨯+∴=， 因此，()1212314949ii n nn nB dn n A =+-⨯++=+=∑. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法与奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.20.已知函数()ln f x x mx =-，m R ∈．（1）若()f x 在点()()1,1A f 处的切线与直线210x y ++=垂直，求函数()f x 在A 点处的切线方程； （2）若对于[)1,x ∀∈+∞，()0xf x m +≤恒成立，求正实数m 的取值范围；（3）设函数()()212H x x f x =+，且函数()H x 有极大值点1x ，求证：()211112m f x x x >--. 【答案】（1）210x y --=；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由()12f '=求得实数m 的值，可求出切点坐标，再利用点斜式方程可得出所求切线的方程； （2）令()ln mg x x mx x=-+，且有()10g =，对实数m 进行分类讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间[)1,+∞上的单调性，结合()()10g x g ≤=可求得实数m 的取值范围； （3）由题意得出()10H x '=，可得出2111mx x =+，且101x <<，代入()()2111112mx h x f x x =++，利用导数证明出()10h x >对任意的()10,1x ∈恒成立即可.【详解】（1）()ln f x x mx =-Q ，则()1f x m x=-， 直线210x y ++=的斜率为12k =-，由题意可得()112f m '=-=，解得1m =-， 所以，()ln f x x x =+，则()11f =，则点()1,1A ，因此，所求切线的方程为()121y x -=-，即210x y --=；（2）[)1,x ∀∈+∞，()2ln 0xf x m x x mx m +=-+≤恒成立，即ln 0mx mx x-+≤恒成立， 令()ln mg x x mx x=-+，其中1x ≥，且()10g =，则()()1g x g ≤对[)1,x ∀∈+∞恒成立， ()2221m mx x mg x m x x x-+-'=--=. ①当0m ≤时，对任意的[)1,x ∈+∞，()0g x '>，此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递增，此时，()()10g x g ≥=，不合乎题意；②当0m >时，则214m ∆=-. （i ）若0∆≤，则12m ≥，对[)1,x ∀∈+∞，()0g x '≤，此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递减，则()()10g x g ≤=，合乎题意；（ii ）若>0∆，则102m <<，令()0g x '=，得20mx x m -+=，解得10x '=>，2x '= 由韦达定理得121x x ''=，则必有211x x <<¢¢， 当11x x '<<时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增；当1x x '>时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减.所以，()()()1max 10g x g x g '=>=，不合乎题意. 综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）()()2211ln 22H x x f x x mx x =+=-+Q ，所以，()211x mx H x x m x x-+'=-+=，函数()y H x =的定义域为()0,∞+，由于函数()y H x =有极大值点，则240m '∆=->，解得2m <-或2m >.设方程210x mx -+=的两根分别为1x 、2x ，则12121x x m x x +=⎧⎨=⎩， 若2m <-，则10x <且20x <，不合乎题意；若2m >，则1>0x 且20x >，合乎题意.由于函数()y H x =的极大值点为1x ，则12x x <，即1201x x <<<， 当10x x <<时，()0H x '>；当12x x x <<时，()0H x '<；当2x x >时，()0H x '>.且()211110x mx H x x -+'==，可得2111mx x =+， 令()()()()222112111111111111111ln ln 1222x x mx mx h x f x x mx x x x x x +=++=-++=-+++32111111ln 122x x x x x =-+++-， ()()()32222132********x x x x h x x x x x --+'=-++-=， 当01x <<时，220x ->，则32320x x -+>，此时()0h x '<.所以，函数()y h x =在区间()0,1上单调递减， 因为101x <<，则()()110h x h >=，因此，()211112m f x x x >--. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，利用导数研究不等式恒成立以及证明不等式，利用导数研究函数的单调性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。
2020年高考模拟天津市和平区(3月份)高考数学模拟试卷 含解析
2020年高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题1．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5} 2．设a∈R，则“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（）A．B．1C．2D．4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）1245销售额y（万元）10263549根据上表可得回归方程＝x+的等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）A．54万元B．55万元C．56万元D．57万元5．设a＝sin，b＝log23，c＝（），则（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．48．已知函数f（x）＝cos x﹣|sin x|，那么下列命题中假命题是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点C．f（x）是周期函数D．f（x）在[﹣π，0]上是增函数9．已知函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，3]D．（﹣∞，3]二、填空题10．设复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则|z|＝．11．二项式的展开式中，常数项为（用数字作答）12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为．13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是若X表示摸出黑球的个数，则EX＝．14．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取得最小值为时，a+b＝．15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且•＝﹣1，则tan A＝，•＝．三、解答题16．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x．（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝0，若sin B＝2sin A，求a，b的值．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝90°，AB⊥侧面BB1CC1．（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．（3）在（2）的条件下，若AB＝，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．18．已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合（I）求椭圆C的方程；（II）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值（III）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？19．（16分）已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{b n}满足b n＝1+2log2a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n；（3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞成立，求k的取值范围．20．（16分）已知函数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的最小值；（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x），若存在区间，使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的最大值．参考答案一、选择题1．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}解：∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}．故选：B．2．设a∈R，则“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】分别解出不等式，即可判断出关系．解：|a﹣1|≤1，解得：0≤a≤2，﹣a2+3a≥0，解得：0≤a≤3，∴“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的充分非必要条件．故选：A．3．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（）A．B．1C．2D．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1＝0的斜率，然后求出a的值即可．解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a＝＝2．故选：C．4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）1245销售额y（万元）10263549根据上表可得回归方程＝x+的等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）A．54万元B．55万元C．56万元D．57万元【分析】先确定样本中心点，利用回归方程＝x+的等于9，求出a，即可求得回归方程，从而可预报广告费用为6万元时销售额．解：由题意，＝（1+2+4+5）＝3，＝（10+26+35+49）＝30．∵回归方程＝x+的等于9，∴30＝9×3+a，∴a＝3∴y＝9x+3当x＝6时，y＝9×6+3＝57万元故选：D．5．设a＝sin，b＝log23，c＝（），则（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出解：∵a＝，b＞1，c＝＜，∴c＜a＜b．故选：B．6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可以排除A，由函数的解析式分析可得x＞0时，f（x）＞0且x→+∞时，f（x）→+∞，由排除法分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝﹣（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，又由x＞0时，有e x＞e﹣x，即有e x﹣e﹣x＞0，则有f（x）＞0，排除D，当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C；故选：B．7．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p＝4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p ＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2故选：A．8．已知函数f（x）＝cos x﹣|sin x|，那么下列命题中假命题是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点C．f（x）是周期函数D．f（x）在[﹣π，0]上是增函数【分析】A，根据函数奇偶性定义判断f（x）是定义域R上的偶函数；B，x∈[﹣π，0]时f（x）＝sin（x+），恰有一个零点是；C，根据正弦、余弦函数的周期性知函数f（x）是最小正周期为2π的周期函数；D，x∈[﹣π，0]时，f（x）＝sin（x+），在[﹣π，0]上先减后增．解：对于A，函数f（x）＝cos x﹣|sin x|，定义域为R，且满足f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣|sin（﹣x）|＝cos x﹣|sin x|＝f（x），f（x）为定义域R 上的偶函数，A正确；对于B，x∈[﹣π，0]时，sin x≤0，f（x）＝cos x﹣|sin x|＝cos x+sin x＝sin（x+），且x+∈[﹣，]，∴f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，B正确；对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数f（x）是最小正周期为2π的周期函数，C正确；对于D，x∈[﹣π，0]时，f（x）＝sin（x+），且x+∈[﹣，]，∴f（x）在[﹣π，0]上先减后增，D错误．故选：D．9．已知函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，3]D．（﹣∞，3]【分析】根据函数f（x）的图象，得出值域为[﹣2，6]，利用存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，得出2g（a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．解：∵g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，∴2g（a）＝2a2﹣4a，a∈R，∵y＝2a2﹣4a，a∈R，∴当a＝1时，y最小值＝﹣2，∵函数f（x）＝，f（﹣7）＝6，f（e﹣2）＝﹣2，∴值域为[﹣2，6]∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，即﹣1≤a≤3，故选：C．二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．10．设复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则|z|＝．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．解：由（1+i）z＝3﹣i，得z＝＝＝＝1﹣2i，∴|z|＝＝；故答案为：．11．二项式的展开式中，常数项为112（用数字作答）【分析】根据二项展开式的通项处理即可解：依题意，二项式的展开式的第k+1项为：T k+1＝＝•，由8﹣＝0解得，k＝6，所以常数项为：＝112，故答案为：112．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为4．【分析】推导出A1C1⊥平面A1MB，从而三棱锥A1﹣MBC1的体积＝，由此能求出结果．解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2＝BC2，∴A1C1⊥A1B1，∵AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面A1MB，∵M是AA1的中点，∴＝＝＝3，∴三棱锥A1﹣MBC1的体积：＝＝＝＝4．故答案为：4．13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是若X表示摸出黑球的个数，则EX＝．【分析】恰有一个黑球的概率P＝．由题意可得：X＝0，1，2．利用超几何分布列的计算公式即可得出．解：恰有一个黑球的概率P＝＝．由题意可得：X＝0，1，2．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝．可得X的分布列：X012P∴EX＝+1×+2×＝．故答案为：．14．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取得最小值为8时，a+b＝．【分析】由a+4b可得（a+4b）2≥16ab，从而有（a+4b）2+，再结合基本不等式可求．解：因为a＞0，b＞0，所以a+4b，当且仅当a＝4b时取等号，所以（a+4b）2≥16ab，则（a+4b）2+＝8，当且仅当即a＝1，b＝时取等号，此时取得最小值8，a+b＝．故答案为：8，15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且•＝﹣1，则tan A＝，•＝﹣．【分析】根据题意，可以直线BC为x轴，以边BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，然后设A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），并据题意得出D，E，M，N的坐标，从而求出，，从而得出a，b之间的关系，并且a2+b2＝9②，这样联立①②即可解出a2，然后根据余弦定理即可求出cos A；进而求出tan A；以及cos B即可求出结论．解：以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），且D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，∴D（﹣，），E（﹣，），M（，），N（，），∴＝（a，﹣），＝（﹣a，﹣），且•＝﹣1，∴﹣a2+＝﹣1①，又AC＝3，∴a2+b2＝9②，联立①②得，a2＝，在△ABC中，由余弦定理得，cos A＝＝＝．因为A为等腰三角形的顶角；且cos A＝，∴sin A＝＝；∴tan A＝；sin＝＝；∴cos B＝cos（）＝sin＝；∴•＝﹣•＝﹣3×2a×cos B＝﹣3××＝﹣．故答案为：，﹣．三、解答题：共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x．（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝0，若sin B＝2sin A，求a，b的值．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x﹣）﹣1，利用正弦函数的图象和性质即可求解．（2）由已知可求sin（2C﹣）﹣1＝0，结合范围0＜C＜π，可求C＝，由已知及正弦定理可得b＝2a，进而由余弦定理可得a2+b2﹣ab＝3，联立即可解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣＝sin（2x﹣）﹣1，…4分∴当2x﹣＝2kπ﹣，即x＝kπ﹣（k∈Z）时，f（x）的最小值为﹣2，…6分此时自变量x的集合为：{x/x＝kπ﹣，k∈Z}…7分（2）∵f（C）＝0，∴sin（2C﹣）﹣1＝0，又∵0＜C＜π，∴2C﹣＝，可得：C＝，…9分∵sin B＝2sin A，由正弦定理可得：b＝2a①，又c＝，∴由余弦定理可得：（）2＝a2+b2﹣2ab cos，可得：a2+b2﹣ab＝3②，…13分∴联立①②解得：a＝1，b＝2…14分17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝90°，AB⊥侧面BB1CC1．（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．（3）在（2）的条件下，若AB＝，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．【分析】（1）求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角即可．（2）根据点的特殊位置设出点的坐标为E（1，y，0），再利用向量的基本运算证明两个向量垂直即可证明两条直线相互垂直．（3）结合题意求出两个平面的法向量求出两个法向量的夹角，再转化为两个平面的二面角即可．解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC的法向量，又，设BC1与平面ABC所成角为θ，则．（2）设E（1，y，0），A（0，0，z），则，∵EA⊥EB1，∴∴y＝1，即E（1，1，0）所以E为CC1的中点．（3）∵A（0，0，），则，设平面AEB1的法向量m＝（x1，y1，z1），则∴，取m＝（1，1，），∵，∴BE⊥B1E，又BE⊥A1B1∴BE⊥平面A1B1E，∴平面A1B1E的法向量，∴cos＜m，＞＝，∴二面角A﹣EB1﹣A1为45°．18．已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合（I）求椭圆C的方程；（II）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值（III）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【分析】（Ⅰ）由点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，列出方程组求出a＝2，，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，设直线BD的方程为，联立，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线AB，AD的斜率之和为定值．（Ⅲ）|BD|＝|x1﹣x2|＝，求出点A到直线BD：的距离，由此能求出当b＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为．解：（Ⅰ）∵点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，∴，解得a＝2，，，∴椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB＝＝，（*）设直线BD的方程为，联立，∴△＝﹣8b2+64＞0，解得﹣2＜b＜2，，﹣﹣﹣﹣①，﹣﹣﹣﹣﹣②，将①、②式代入*式整理得＝0，∴k AD+k AB＝0，∴直线AB，AD的斜率之和为定值．解：（Ⅲ）|BD|＝|x1﹣x2|＝×＝，设d为点A到直线BD：的距离，∴，∴，当且仅当b＝±2时取等号，∵±2，∴当b＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为．19．（16分）已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{b n}满足b n＝1+2log2a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n；（3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞成立，求k的取值范围．【分析】（1）设等比数列的公比为q，q＞0，运用通项公式可得q，可得所求通项公式；再由对数的运算性质可得b n；（2）求得c n＝a n•b n＝（2n+1）•2n，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和；（3）运用数列的单调性可得最值，可得2λ2﹣kλ+2＞，运用参数分离和基本不等式可得所求范围．解：（1）正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，a1＝2，2a2＝a4﹣a3，可得4q＝2q3﹣2q2，解得q＝2（﹣1舍去），可得a n＝2n；b n＝1+2log2a n＝1+2log22n＝1+2n；（2）c n＝a n•b n＝（2n+1）•2n，前n项和S n＝3•2+5•4+7•8+…+（2n+1）•2n，2S n＝3•4+5•8+7•16+…+（2n+1）•2n+1，两式相减可得﹣S n＝6+2（4+8+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1＝6+2•﹣（2n+1）•2n+1，化简可得S n＝2+（2n﹣1）•2n+1；（3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞成立，即为2λ2﹣kλ+2＞的最大值，由﹣＝＜0，可得{}递减，可得n＝1时，取得最大值，可得2λ2﹣kλ+2＞，即为k＜2λ+的最小值，可得2λ+≥2＝2，当且仅当λ＝时取得最小值2，则k＜2．20．（16分）已知函数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的最小值；（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x），若存在区间，使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的最大值．【分析】（1）将a＝0代入，求出导函数，研究函数f（x）的单调性，由此即可求得最小值；（2）求导后含参数a，通过分类讨论容易得出结论；（3）问题等价为g（x）＝k（x+2）﹣2在上至少有两个不同的正根，再构造函数求解即可．解：（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣lnx（x＞0），这时的导数，令f'（x）＝0，即，解得x＝1，令f'（x）＞0得到x＞1，令f'（x）＜0得到0＜x＜1，故函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；故函数f（x）在x＝1时取到最小值，故f（x）min＝f（1）＝1；（2）当a＞0时，函数导数为，若a＝1时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，若a＞1时，，当x＞1或时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，即函数f（x）在区间，（1，+∞）上单调递减，在区间上单调递增．若0＜a＜1时，，当或0＜x＜1时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，1），上单调递减，在区间上单调递增．综上，若a＝1时，函数f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间，若a＞1时，函数f（x）的减区间为，（1，+∞），增区间为，若0＜a＜1时，函数f（x）的减区间为（0，1），，增区间为．（3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x）＝x2﹣xlnx．令g'（x）＝2x﹣lnx﹣1，，当时，g''（x）≥0，g'（x）为增函数，，g（x）为增函数，g（x）在区间上递增，∵g（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，∴g（x）＝k（x+2）﹣2在上至少有两个不同的正根，，令，求导得，，令，则，所以G（x）在递增，，G（1）＝0，当，G（x）＜0，∴F'（x）＜0，当x∈[1，+∞），G（x）＞0，∴F'（x）＞0，所以F（x）在上递减，在[1，+∞）上递增，∴，∴，∴k的最大值为．。
天津市河西区2020届高三数学二模试题含解析
天津市河西区2020届高三数学二模试题（含解析）一､选择题1.设集合{}24M x x =≤，集合{}12N x x =≤≤，则MN =（ ）A. {}21x x -≤< B. {}2,1,0-- C. {}2x x ≤- D. {}02x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合M ，N ，根据补集运算求解即可. 【详解】{}24[2,2]M x x =≤=-，{}12N x x =≤≤，[2,1)MN ∴=-，故选：A【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于容易题.2.设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分而不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系，即可容易判断充分性和必要性. 【详解】因为对立一定互斥，互斥不一定对立. 故命题p 是命题q 的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及对立事件和互斥事件的联系，属综合基础题. 3.已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程为ˆˆ0.95yx a =+，则 a 的值为（ ） A. 0.325 B. 0C. 2.2D. 2.6【答案】D 【解析】 【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，【详解】解：由题意，013424x +++==，2.2 4.3 4.8 6.74.54y +++==，∴样本中心点为()2,4.5，数据的样本中心点在线性回归直线0.95y x a =+上，4.50.952a ∴=⨯+，∴ 2.6a =，故选：D【点睛】本题考查线性回归方程，考查样本中心点的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．4.已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -= C. 221916y x -=D. 221169y x -=【答案】C 【解析】【分析】根据题意，先求得双曲线焦点坐标，再结合双曲线定义，即可求得,,a c b ，则方程得解. 【详解】因为220x y =的焦点为()0,5，故双曲线的焦点在y 轴上，故设双曲线方程为22221y x a b-=，则5c =；由双曲线定义知：26a =，解得3a =；故可得4b =；则双曲线方程为：221916y x -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及其定义，以及抛物线焦点坐标的求解，属综合基础题.5.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，2223163()c S b a =+-，则tan B =（ ）A.23B.32C.43D.34【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由2223163()c S b a =+-， 则22233316c a b S +-=， 即132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯， 所以3cos 4sin B B =，且cos 0B ≠， 所以3tan 4B =. 故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.6.已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A. π B. 2πC. 4πD. 6π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积可求出圆柱的高，根据圆柱底面圆过棱锥底面正方形的四个顶点可求圆柱底面圆半径，利用表面积公式计算即可.【详解】因为正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其体积为43，底面积为()222S ==所以棱锥高3422V h S ===, 即圆柱的高为2，因为圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点， 所以正方形的对角线为圆的直径2=22=2R ⨯，即1R = 所以圆柱的表面积为2222242hS R R πππππ=⨯+=+= 故选：C【点睛】本题主要考查了正四棱锥的体积，圆柱的表面积，考查了空间想象能力，属于容易题.7.函数()()1e2cos 1x f x x -=--的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】排除法，根据()1f 和()0f 的符号可排除B ，D ，再对函数求导，判断函数在()2,+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】解：()11f =-，∴舍去B ，()02cos10f e =->，∴舍去D ，2x >时，()()22cos 1x f x e x -=--，()()12sin 120x f x e x e -'∴=+-≥->，∴函数()f x 在()2,+∞上单调递增， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 8.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ） A. 64 B. 72 C. 96 D. 144【答案】C 【解析】 【分析】由题意把四位数分为含有3个偶数与2个偶数两类,每一类要考虑特殊元素0的安排情况,利用排列组合的应用可分别求出每类四位数的个数,相加即可. 【详解】根据题意,数字0，1, 2, 3, 4中有2个奇数,3个偶数.若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数,则四位数中含有2个或3个偶数,分2种情况讨论:①四位数中含有3个偶数，1个奇数，因为0不能在首位,有3种情况,选取一个奇数有122C =种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有336A =种情况，则有32636⨯⨯=个符合条件的四位数;②四位数中含有2个偶数,2个奇数;若偶数中有0,在2、4中选出1个偶数,有122C =种取法,其中0不能在首位,有3种情况，将其他3个数全排列,安排在其他三个位置,有336A =种情况,则有23636⨯⨯=个符合条件的四位数；若偶数中没有0,将其他4个数全排列,有4424A =个符合条件的四位数；则一共有36+36+24=96个符合条件的四位数. 故选：C【点睛】本题主要考查分类计数原理及排列组合的运用，注意优先考虑特殊元素的安排情况，属于中档题.9.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键. 二､填空题10.设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________．5【解析】分析：由条件()1234i z i +=-得到复数的代数形式，即可求得复数模长.详解：因为()1234i z i +=-，所以3412i z i -=+=()()()()34121212i i i i --+-=12i --， 所以5z =点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力． 11.二项式6(2x x的展开式中常数项为 . 【答案】60 【解析】试题分析：二项式6(2x x的展开式的通项公式为()36662166·2?()?2?(1)r rrr r r rr T C x C x x---+==-,令3602r -=，解得4r =，所以该二项式展开式中常数项为46446·2?(1)60C --=，故答案为60.考点：二项展开式的通项公式.12.若直线34x y m +=与圆22x y m +=相切，则实数m =______.【答案】25 【解析】 【分析】根据直线和圆相切转化为点到直线的距离等于半径即可. 【详解】直线34x y m +=与圆()220x y m m +=>相切，∴圆心到直线的距离5m d -===平方可得225m m =，解得25m = 故答案为：25【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，直线与圆相切考，点到直线的距离公式，考查了运算能力，属于基础题.13.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数x 的期望是______. 【答案】 (1). 715 (2). 35【解析】 【分析】（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；（2）先求得x 的分布列，再求其期望即可.【详解】（1）从10件产品中，抽取3件，有310120C =种可能； 若取出的3件中恰有1件是次品，有218256C C ⋅=种可能；故满足题意的概率56712015P ==； （2）根据题意，0,1,2x =，()38567012012015C P x ====；()2182567112012015C C P x ⋅====；()128281212012015C C P x ⋅====，故()72315155E x =+=. 故答案为：715；35.【点睛】本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.14.已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】 【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 15.在ABC 中，点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则BC BA ⋅=______；AG AC ⋅=______.【答案】 (1). 1 (2). 83【解析】【分析】根据点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，可得G 为三角形ABC 的重心，再将AG 、MB 、AC 、用BA 、BC 表示，利用5AB =，1CB =可得答案.【详解】因为点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，所以G 为三角形ABC 的重心， 所以()2233AG AN BN BA ==-=21123233BC BA BC BA ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12MB BM BA BC =-=-+， 因为223AG MB CA CB ⋅=+，所以()22121133322BC BA BA BC BA BC CB ⎛⎫⎛⎫-⋅--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以221113636BC BA BC BA ⎛⎫-++⋅ ⎪⎝⎭2222BA BC BA BC BC =+-⋅+，所以52BC BA ⋅=252BC ，所以21BC BA BC ⋅==，AG AC ⋅=()1233BC BA BC BA ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭221233BC BA BC BA =+-⋅12851333=+⨯-=. 故答案为：1；83.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了三角形重心的性质，考查了平面向量的数量积，属于中档题. 三､解答题16.已知函数()()21cos cos 2f x x x x x R =-∈ （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； 【答案】（1）π.（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简()f x 为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；（2）先求得()f x 在R 上的单调增区间，结合区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即可求得结果. 【详解】（1）依题意，()211cos 21cos cos 2sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+-=-=+ ⎪⎝⎭ 所以2T ππω==.（2）依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππππ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； 在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题. 17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E 为1CC 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：1A E ⊥平面BDE ；（3）若F 为1BB 上的动点，使直线1A F 与平面BDE 所成角的正弦值是6，求DF 的长. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）3 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面BDE 的法向量，利用10AC n →→⋅=证明即可；（2）利用1//A E n →→即可证明；（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，由线面角公式可求出λ，即可利用向量的模求DF 的长.【详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，1A (1，0，2)，1B (1，1，2)，1C (0，1，2)，1D (0，0，2)，E (0，1，1)（1）证明：设平面BDE 的法向量n →=(x ，y ，z )，DB →=(1，1，0)，DE =(0，1，1)由00n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得n →=(1，-1，1)， 又1AC →=(-1，1，2)，因为()11111210AC n →→⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以1AC n →→⊥，所以1//AC 平面BDE .（2）证明：由（1）可知n →=(1，-1，1)，1A E →=(-1，1，-1)，1A E n →→=-，所以1//A E n →→，所以1A E ⊥平面BDE .（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，1A F →=(0，1，2λ-)，设直线1A F 与平面BDE 所成角为α，则11sin A F nA F nα→→→→⋅===⋅， 解得1λ=，所以点F 的坐标为(1，1，1)，DF →=(1，1，1)，||DF →=所以DF 【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查了运算能力，属于中档题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*232n n S a n N =-∈，数列{}nb 是公差为0的等差数列，且满足1116b a =，5b 是2b 和14b 的等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求10111i i i b b =+∑；（3）设数列{}n c 的通项公式122k n kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，求()()22*11ni i c n N =-∈∑； 【答案】（1）23nn a =⋅，21n b n =-.（2）1021.（3）111392322n n n ++⨯-⨯++ .【解析】 【分析】（1）利用两式()232n n S a =-(*N n ∈)， ()11232n n S a --=-(2n ≥)相减得到13nn a a -=(2n ≥)，再根据等比数列的通项公式可得n a ，根据()25214b b b =⋅求得等差数列{}n b 的公差，再根据等差数列的通项公式可得n b ；（2）根据1111122121n n b b n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭裂项求和可得结果； （3）由{}n c 的通项公式分析可知，数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1，由此可得()()2221111nni i i i c a ==-=-∑∑，然后利用等比数列的前n 项和公式可得结果.【详解】（1）因为()232n n S a =-(*N n ∈)，所以()11232n n S a --=-(2n ≥)， 两式相减，整理得：13n n a a -=()2n ≥， 又当1n =时，()11232a a =-，16a =，所以13nn a a -=(2n ≥)， 所以{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，1123n n n a a q -=⋅=⋅.设等差数列{}n b 的公差为d ，因为11116b a ==，5b 是2b 和14b 的等比中项， 所以()25214b b b =⋅，即()()()2141113d d d +=++， 整理得220d d -=，解得0d =或2d =，因为公差不为0， 所以2d =，故()1121n b b n d n =+-=-.（2）因为()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以101111111111012335192121i i i b b =+⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭∑. （3）因为122kn kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，23n n a =⋅， 所以数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1，所以()()()()222211111123149431nn n niiiiii i i i c a ====-=-=⋅-=⋅-⋅+∑∑∑∑()()111191931313494344923191322n n nni i n n i i n n n ++==--=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯++--∑∑.【点睛】本题考查了由n a 与n S 的关系式求n a ，考查了等比中项的应用，考查了裂项求和方法，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了分析问题的能力，属于较难题. 19.如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为)，⎛⎝⎭是椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上下顶点分别为A ，B ，()()000,0P x y x ≠是椭圆上异于A ､B 的任意一点，PQ y ⊥轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线:1l y =-于点C ，N 为线段BC 的中点. ①求证：OM MN ⊥； ②若MON △的面积为32，求0y 的值； 【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②45【解析】 【分析】(1)设椭圆方程为22221x y a b +=,由题意,得3c =,再由3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;(2)根据题意,求出直线AB 的方程、点M,C,N 的坐标,计算0OM NM →→⋅=,可得OM MN ⊥,再利用32MON S ∆=,结合椭圆方程,求解可得结果. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意，得3c =因为222a c b -=，所以223a b -=.又3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点，所以2231413aa +=-， 解得24a =或234a =(舍去)，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）①解：因为()00,P x y ，()00x ≠，则()00,Q y ，且220014x y +=.因为M 为线段PQ 中点，所以00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭. 又()0,1A ，所以直线AM 的方程为()00211y y x x -=+. 因为00x ≠，∴01y ≠令1y =-，得00,11x C y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又()0,1B -，N 为线段BC 的中点，有()00,121x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以()0000,1221x x NM y y →⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭.因此，()()()2220000000000012221441x x x x x OM NM y y y y y y →→⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪ ⎪--⎝⎭ ()()2220000000110441x x y y y y y ⎛⎫=+-+=-++= ⎪-⎝⎭. 所以OM MN ⊥. ②由①知，OM MN ⊥.因为1OM ==，ON ===所以在Rt MON中，MN =因此12MON S OM MN =⋅=△32=， 解得045y =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，涉及向量运算，属于难题.20.已知函数()02xxf x e e sinx x e π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，（为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的值域；（2）若不等式()(1)(1sin )f x k x x --对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：1213()122x e x ---+＞． 【答案】（1）[]0,1；（2）2112e k ππ-≤≤-；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；（2）先由题意，将问题转化为(1)xe k x ≥-对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，构造函数()x g x e kx k =-+，对函数()g x 求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.（3）令()1213()122x h x ex -=+--，对函数()h x 求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可. 【详解】（1）因为()xxf x e e sinx =-，所以()((1sin cos )1)4cos )x x x xf x e e sinx x e e x x x π'=-+⎡⎤--==+⎢⎥⎣⎦， ∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴3444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴42sin x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()0f x '≤， 故函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，函数()f x 的最大值为()1010f =-=；()f x 的最小值为22022f e e sin ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为[]0,1．（2）原不等式可化为)(1)(1sin (1)xe sinx k x x -≥-- …（*）， 因为1sin 0x -≥恒成立，故（*）式可化为(1)xe k x ≥-． 令()xg x e kx k =-+，则()x g x e k '=-，当0k ≤时，()0xg x e k '=->，所以函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故()(0)10g x g k ≥=+≥，所以10k -≤≤；当0k >时，令()0xg x e k '=-=，得ln x k =，所以当(0,ln )x k ∈时，()0xg x e k '=-<；当(ln ,)x k ∈+∞时，()0xg x e k '=->．所以当2lnk π＜，即20k e π<<时，函数min ()(ln )2ln 0g x g k k k k ==->成立； 当2lnk π≥，即2k e π≥时，函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，2()022ming x g e k k πππ⎛⎫==-+≥ ⎪⎝⎭，解得2212e e k πππ≤≤-综上，2112e k ππ-≤≤-．（3）令()1213()122x h x ex -=+--，则()132x h x e x -'=+-． 由1124133100244h e h e --⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，＞，故存在01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 即 01032x ex -=-． 所以，当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>． 故当0x x =时，函数()h x 有极小值，且是唯一的极小值，故函数()0122min 000013313()()1()()122222x h x h x ex x x -==+--=--+-- 220013313()12222522x x ⎡⎤⎛⎫=---=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22015313531()()022*******x ----=>>， 故()1213()1022x h x ex -=+-->， 即1213()122x e x ---+>．【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.。
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（3月份）（含答案解析）
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷(3月份)一、选择题(本大题共8小题，共如・0分)1.己知集合4= {0』，2, 3, 4, 5}, B = {x \x 2-x -2<0}9 则AC\B =()A. {1,2}B. {0,1, 2}C. {一 1,0, 1}D. (04}3. “xv 2” 是 “x(x-l)V0•'成立的()2.设变量s y 满足约束条件x + 2y < 4x-2y<0.则目标函数z = 3x-y 的最小值为()、x+2>0A. -9 B. 5 C. 1 D. -54. A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件执行如图所示的程序框图，输出$的值为()A. -1008B. -1010C. 1009D. 1007设函数/(x) = log a |x|在(一8,0)上单调递增，则尸0 + 1)与/*(2)的大小关系是()A. f(a + 1) > /(2)B. /(a + 1) < 7(2)C. f(a + 1) = /(2)D.不能确定6.已知氏、F2分别为双曲线#一§= l(a>0,b>0)的左、右焦点，过点旦且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 两点，当△ F r AB 为等腰直角三角形时，此双曲线的离心率为()A. V2B. V3C. 2 D .店7.若函数f(x) = 2sin(5 +。
)，(x6R,3>0,g| V ；)的最小正周期为s 旦/'(0)=归，则()A.3=；,©B.3==? c. 3=2,s=S D. 3=2,s=三8.己知函数/'(x)=|[L2?；"]1,，若关于x的方程/Xx)=k恰有3个不相等的实根，则实k X I*ZX,X< X数k的取值范困为()A.(2-2/2,1)B,(-co,2-2in2)C, (2-2加2,+8)D.(1,+co)二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9.设，是虚数单位，则复数i—j=.10.曲线y=x-cosx在点G，：)处的切线方程为____________.11.已知直线2x+my-8=0与圆C：(x-m)2+y2=4相交于48两点，且仙8C为等腰直角三角形,则m=.12.正三棱柱的底而边长为2.高为2.则它的外接球表而积为.13.已知是两个正实数，且满足x+2y=xy,则x+2y的最小值是14.在ZiMBC■中，AB=3,AC=2,BD=则~AD~BD=.三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.某社区有居民500人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了50名居民，统计了他们本月参加户外运动时间(单位：小时)的数据.并将数据进行整理，分为5组：[10,12).[12,14),[14,16).[16,18),[18,20].得到如图所示的频率分布直方图.(I )试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于16小时的人数：(口)己知这50名居民中恰有2名女性的户外运动时间在[18,20],现从户外运动时间在[18,20]的16.A ABC的对边分别'为u,b,u,满足q=bcosC+(1) 求角B:(2) 若cosH=试求cosC的值.17.如图,四校锥P—ABCD的底面ABCD为矩形,HPA=AD=1.AB=2.^LPAB=120°. ZPBC=90°.(I)求证：DA1平而PAB-(H)求直线PC与平面ABC。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷3月第二次模拟考试数学试卷
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷3月第二次模拟考试数学试卷创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一．填空题1.已知集合}|{},,02|{2axxBRxxxxA≥=∈≤-=,若BBA=⋃,则实数a的取值范围是_______________2.已知ibiia-=+3，其中Rba∈,，i为虚数单位，则ba+=_____________3.某单位从4名应聘者A,B,C,D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中至少有1人被录用的概率是________________4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________5.已知变量x,y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2yyxyx则目标函数yxz+-=2的取值范围是_________6.已知双曲线1222=-yax的一条渐近线方程为02=-yx,则该双曲线的离心率e=_______7.已知圆C经过直线022=+-yx与坐标轴的两个交点,又经过抛物线xy82=的焦点,则圆C 的方程为________________8.设nS是等差数列}{na的前n项和，若3163=SS,则=76SS_____________9.已知函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=AxAy的部分图像如图所示，则ω的值为___10.在如果所示的流程图中，若输入n 的值为11.则输出A 的值为______ 11.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm 时，该容器的容积为__________________3cm . 12.下列四个命题：（1）“01,2≤+-∈∃x x R x ”的否定; (2)“若2,062>≥-+x x x 则”的否命题； (3)在ABC ∆中，“oA 30>”是“21sin >A ”的充分不必要条件； (4)“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ”. 其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)13.在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2BC PB PC +⋅的最小值是______________14.已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________ 二、解答题15．（本题满分14分）设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角 （1）若a ·b =613,求sin θ+cos θ的值； （2）若a //b ,求sin(2θ+3π)的值．16.（本题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BEBF的值。
【KS5U解析】天津市部分区2020届高考二模数学试题 Word版含解析
所以 ，
，
当 时， 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三､解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明､推证过程或演算步骤.
16.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养.该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶.已知该校某班语文､数学､英语三个兴趣小组学生人数分别为10人､10人､15人.经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查.
17.已知各项均为正数的数列 ，满足 ( ).
（1）求证： 为等比数列，并写出其通项公式；
（2）设 ( )，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析， .（2）
【解析】
【分析】
（1）由 可得 ，然后两式相减得 ，然后求出 即可
（2）利用错位相减法求出 即可.
【详解】（1）因为 ( )， ①
所以，当 时，有 ，②
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则可得 ，进而可得 ，求得 后，由复数模的概念即可得解.
【详解】由题意 ，
所以复数 的实部为 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查了复数的运算、复数实部的概念以及复数模的概念，属于基础题.
4.函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ( 为常数)，则 （ ）
2020年3月高三第二次在线大联考(天津卷)-数学(全解全析)
又 EE1 平面 E1EB ，所以 EE1 BC ．（6 分）
（2）由题意知 AE1 2 ， EE1 2 2 ， AE 2 ，所以 AE1 AE ， 结合（1）可知 AE 、 AD 、 AE1 两两垂直，故以 AE 、 AD 、 AE1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系，（8 分）
所以“ x 4 ”是“ x2 x 12 0 ”的充分必要条件．故选 C．
3．A 【解析】由题意，该函数的定义域为 (0，
)
，可排除
B，C，由
f
(x)
ln x x
得
f '(x)
1 ln x2
x
，由
f '(x)
0
得 x e ，即函数 f (x) 在 (0,e) 上单调递增，在 (e, ) 上单调递减，排除 D，故选 A．
|12 7 | 42 32
1，
圆的半径 r d 1 ，故直线和圆相切．
12． 33 【解析】令 x 1可得 (1 3)5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 = 32 ，令 x 0 可得15 a0 ，即 a0 1 ，则
a1 a2 a3 a4 a5 32 1 33 ．
1
1 k2
1
2 k2
2
3
k2 1 ， k2 2
所以菱形 ABCD 的面积为
S 1 | AC | | BD | 6 2
(1 k 2 )2
6
(2 k2 ) (1 2k2 )
1 2
4k 4
k2 10k 2
4
6
1 2
4k 2
1 4 k2
(k 10
0) ，
∵ 4k 2
4 k2
10
2020年天津市高考数学压轴试卷(二)(有答案解析)
解析：【分析】 根据题意，设 MN 的中点为 O，由 MN 的坐标求出 O 的坐标以及 MN 的长，即可得要求 圆的圆心与半径，由圆的标准方程即可得答案． 本题考查圆的标准方程的计算，注意分析圆心坐标以及半径，属于基础题． 【解答】
解：根据题意，设 MN 的中点为 O，则以线段 MN 为直径的圆的圆心为 O，半径 r= ，
19. 数列{an}是等比数列，公比大于 0，前 n 项和 Sn（n∈N*），{bn}是等差数列，已知
a1= ， = +4，a3= ，a4=
．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式 an，bn； （Ⅱ）设{Sn}的前 n 项和为 Tn（n∈N*） （i）求 Tn；
（ii）证明：
＜．
20. 设函数 f（x）=xekx（k≠0）， （1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）讨论函数 f（x）的单调性； （3）设 g（x）=x2-2bx+4，当 k=1 时，若对任意 x1∈R，存在 x2∈[1，2]，使 f（x1） ≥g（x2），求实数 b 取值范围．
12.答案：
解析：【分析】 本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题．
结合已知及向量的基本定理可得
，结合已知
m，t． 【解答】
解：由题意及图，
又
，
∴
，
∴
，
又
，
，可求 ，
∴
，解得 ， ．
第 9 页，共 15 页
故答案为： ．
13.答案：（-∞，0）∪（e，+∞）
解析：解：函数 f（x）=
B.
C.
D. f（x）=x-1
天津市和平区2020届高三数学二模试题(含解析)
天津市和平区2020届高三数学二模试题（含解析）一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数()2z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数2z ai-在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出a =1，再根据复数的运算法则求解复数2z ai-，即可得到其在复平面内的点所在象限.【详解】221z z a a +==⇒=，)212225i z i aii++==--+， 所以对应点位于第一象限. 故选：A【点睛】此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确求解.2.设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由31x <可得1x <，由1122x -<可得01x <<， 据此可知“31x <”是“1122x -<”的必要而不充分条件. 故选B .【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知：11ln 4a =，113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11log 3e c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. c a b >>B. c b a >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的性质求解.【详解】因为11111ln ln log ln 343e e a c =<=<==，10111033e b ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=， 所以a ，b ，c 的大小关系为c a b >>. 故选：A【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题. 4.已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A. 0.18 B. 0.3C. 0.24D. 0.36【答案】B 【解析】 【分析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4，∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础． 5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A.7B.7C.12D.19【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B aB a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1sin sin cos sin sin 22A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >，3sin B B ∴=，得tan 3B =，0B π<<，6B π∴=.由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c bC B=，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.6.已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的右焦点为F ，圆222x y c +=（c 为双曲线的半焦距）与双曲线C 的一条渐近线交于,A B 两点，且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的方程是( )A. 22143x y -= B. 22133y x -=C. 22123x y -=D. 2213y x -=【答案】D 【解析】 【分析】渐近线过圆心，代入求出渐近线，点(c,0)F 在圆222x y c +=上，得AF BF ⊥，由AB 中点O 及线段AF 的中点M ，由中位线得渐近线与BF 平行，建立方程组求解.【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线方程为y x a=，代入圆222x y c +=，得x a =±，则y =，所以(,(A a B a -.易知点(c,0)F 在圆222x y c +=上，所以AF BF ⊥，得1AF BF k k ⋅=-，即1c a a c⋅=-+-①.因为线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，且||||OA OF c ==，所以，AF 与该渐近线垂直，所以该渐近线与BF 平行，得a c a=--②.解①②组成的方程组，得1,2a c ==，所以双曲线C 的方程为2213y x -=. 故选：D.【点睛】本题考查利用双曲线的几何性质求双曲线方程. 求双曲线方程的思路:(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a b c ，，的方程组，解出22a b ，，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为2210mx ny mn ＋＝求解．7.把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ） A.512πB.56π C.6π D.12π【答案】A 【解析】 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈ 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．8.已知a 、0b >，21b a b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当1a b +取最小值时，221a b +的值为( )A. 2B.C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由21b a b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得出2212a b a b b a +=+，进而可得出214a b a b b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出21a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用等号成立的条件求得2b a =，进而可得出221a b +的值.【详解】由222112a b a a b b b a ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭得，2212a b a b b a +=+， 2221122244a a b a a b a a b b b b a b b a ⎛⎫+=++=++=+≥ ⎪⎝⎭，等号成立时4a b b a =，即2b a =， 此时22123a ba b b a+=+=. 故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中等题.9.已知函数()21,0121,0xx f x x x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪++<⎩，函数g(x)＝f(1－x)－kx ＋k －12恰有三个不同的零点，则k 的取值范围是( ) A. (－2，0]∪92⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. (－2，0]∪92⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. (－2，0]∪12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. (－2，0]∪12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】g(x)＝f(1－x)－kx ＋k －12恰有三个不同的零点，即方程f (1－x )＝k (x －1)＋12恰有3个不同实根，令1－x ＝t ，则方程f (t )＝－kt ＋12恰有三个不同实根，即函数y ＝f (x )与y ＝－kx ＋12的图象恰有3个不同交点，数形结合即可求解. 【详解】∵g (x )＝f (1－x )－kx ＋k －12恰有3个不同零点，∴方程f (1－x )＝k (x －1)＋12恰有3个不同实根，令1－x ＝t ，则方程f (t )＝－kt ＋12恰有三个不同实根，即函数y ＝f (x )与y ＝－kx ＋12的图象恰有3个不同交点，画出函数图象如下图：当－k ＝0即k ＝0时有三个交点，当y ＝－kx ＋12与f (x )＝x 2＋2x ＋1(x <0)相切时可求得k ＝－22，当y ＝－kx ＋12与f (x )＝11x x-+，x ≥0相切时可求得k ＝12，故由图可得－2＋2k ≤0或k ＝12时函数y ＝f (x )与y ＝－kx ＋12的图象恰有3个不同交点，即函数g (x )＝f (1－x )－kx ＋k －12恰有3个不同零点，故选D.【点睛】本题主要考查分段函数的图象，性质和函数零点，意在考查学生的数形结合能力和转化、化归能力，属于中档题．二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上. 10.已知全集为R ，集合{}1,0,1,5M =-，{}220N x x x =--≥，则RMN =__________.【答案】{}0,1 【解析】 【分析】求出集合N ，利用补集和交集的定义可求得集合RMN .【详解】{}{2201N x x x x x =--≥=≤-或}2x ≥，{}12R N x x ∴=-<<，又{}1,0,1,5M =-，因此，{}0,1RM N =.故答案为：{}0,1.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.11.621x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，21x 项的系数为______.【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，令x 的幂指数为2-，求出通项中的r 即可求解.【详解】依题意可得，621x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为1r T +=536626621C C 2(1)rr r r r r r x x ---⎛⎫⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令5322r -=-，解得2r，故21x项的系数为24262(1)1516240C ⋅⋅-=⨯=. 故答案为：240【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；正确写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a 满足3log (2)(a f f >，则a 的取值范围是___.【答案】( 【解析】 分析】根据函数的奇偶性以及在区间(],0-∞上的单调性确定出()0,∞+上的单调性，再根据函数值之间的关系，将其转化为自变量之间的关系，求解出a 的范围即可.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数且在(],0-∞上递增，所以()f x 在()0,∞+上递减， 又因为()()3log 22af f>-，所以3log 22a a ⎧<-⎪⎨>⎪⎩， 所以31log 2220a a ⎧⎪<⎨⎪>⎩，所以31log 20a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，所以()0,3a ∈.故答案为：()0,3.【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性求参数范围，难度一般.已知函数值的大小关系，可通过函数的单调性将其转变为自变量之间的关系.13.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】 (1). 2686π【解析】 【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是1331224S ⎛=⨯⨯= ⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，3=，故四面体体积为13=因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是6； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，163R R ⎛⎫=⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以球的体积3344339729V R ππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.14.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，准线为1，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若||4||AF BF =，则p =_________，三角形CDF 的面积为________. 【答案】 (1). 2 (2). 5 【解析】 【分析】通过抛物线的焦点坐标，即可求解P ，利用抛物线的定义，结合||4||AF BF =，求出直线AB 的斜率值，写出直线AB 的方程，利用直线与抛物线方程联立求得AB 的值，求解CDF ∆的面积．【详解】解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ， 所以12p=， 所以2P =； 如图所示，过点B 作BM l ∥，交直线AC 于点M ， 由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =， 且||4||AF BF =，所以||3||AM BF =，||5||AB BF =，所以3||||5AM AB =，4||BM BF =， 可知：AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM =∠==， 设直线AB 的方程为4(1)3y x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， 由24(1)34y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去y 整理得241740x x -+=， 所以12174x x +=， 所以1225||4AB x x p =++=， 所以254||||sin 545CD AB BAM =∠=⨯=； 所以CDF ∆的面积为15252⨯⨯=， 故答案为：2；5.【点睛】本题考查抛物线的方程与性质的应用问题，涉及联立方程组、韦达定理、焦点弦和三角形面积的计算问题．15.已知平行四边形ABCD 的面积为93，23πBAD ∠=，E 为线段BC 的中点.则AD DC ⋅=_______ ；若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则AF 的最小值为___________.【答案】 (1). 9- (2). 5 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD 的面积为93，可得18AB AD ⋅=，再由数量的定义可求出AD DC ⋅的值；由已知得51()62AF AE AD λλ=+-，然后根据,,E F D 三点共线即可得13λ=，从而得出1536AF AB AD =+，得22215()()536AF AB AD =+-，然后利用基本不等式即可求出AF的最小值.【详解】解：因为平行四边形ABCD 的面积为93，所以2sin933AB AD π⋅=，得18AB AD ⋅=， 所以2cos 93AD DC AD AB AD AB π⋅=⋅=⋅=-，如图，连接AE ，则11,22BE AD AE AB AD ==+, 所以15151()()()26262AF AB AD AD AE AD λλλλ=++-=+-因为,,E F D 三点共线， 所以51162λλ+-=，得13λ=，所以1536AF AB AD =+， 所以22222125521515cos ()()5255936933636AF AB AD ABAD AB AD AB AD π=++⋅=+-≥⨯⨯⨯-=当且仅当1536AB AD =，即5352AB AD ==所以AF故答案为：9-【点睛】此题考查了向量加法、数乘的几何意义，三角形的面积公式，向量数量积的运算，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题.三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学､英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示：现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试. （1）求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；（2）记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1）914.（2）分布列答案见解析，数学期望32【解析】 【分析】（1）两小组的总人数之比为8∶4，确定分层抽样的比值,即数学组抽取2人,英语组抽取1人.数学组至少有1名女同学的情况有：1名男同学､1名女同学和2名女同学两种情况.利用古典概型的概率计算公式即可得出结果.（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3,根据题意可知需满足数学组抽取2人,英语组抽取1人,根据男生的人数进行分类讨论即可求得对应的概率,进而得出结果. 【详解】（1）两小组的总人数之比为8∶4=2∶1，共抽取3人， 所以数学组抽取2人，英语组抽取1人.从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学､1名女同学和2名女同学两种情况.所以所求概率11235328914C C C P C +==. （2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3213321849(0)112C C P C C ξ==⋅=111213533121218484483(1)1127C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅==11211355312121848445(2)112C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=21512184105(3)11256C C P C C ξ==⋅==分布列为：934553()01231127112562E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查古典概型概率的计算,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题. 17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ABD ︒∠=，EB ⊥平面ABCD ，,2EF AB AB =，1EB EF ==，BC =M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM 平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D AF B --的大小；（Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析．（Ⅱ）60．（Ⅲ）不存在点P；理由见解析．【解析】【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面ADF的法向量n，证明EM⊥n，即可证明EM平面ADF．（Ⅱ）根据平面ADF的法向量n，求得平面EBAF的一个法向量BD，利用向量的夹角公式即可求得二面角D AF B--的值．（Ⅲ）假设存在这样的P，设出P点坐标，根据向量的夹角关系求出P的坐标，根据P的位置即可判断出不存在．【详解】（Ⅰ）证明：因为EB⊥平面ABD，AB BD⊥，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-由已知可得各点坐标为(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0)B A D，(3,2,0),3)C E-3,3),,0,02F M⎛⎫⎪⎝⎭3,0,3,(3,2,0),(0,2EM AD AF ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝设平面ADF 的一个法向量是(,,)x y z=n由00n AD n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得3200x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩令y=3，则(2,3,=n 又因为3,0,30302EM n ⎛⋅=⋅=+-=⎝ ，所以EM ⊥n ，又EM ⊂平面ADF ，所以EM平面ADF（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是=n . 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥ 又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 所以1cos ,2||||BD BD BD ⋅==n n n ，又二面角D AF B --为锐角，故二面角D AF B --的大小为60（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30 不妨设(0,0,)(0P t t ≤≤ ，则(3,2,),(0,PC t AF =--=-所以||cos ,||||2PC AFPC AF PC AF ⋅==⋅=化简得35-= 解得0t =< 因为0t ≤≤即在线段EB上不存在点P，使得CP与AF所成的角为30【点睛】本题考查了空间向量在证明线面平行、面面夹角及线线夹角中的应用，建立空间直角坐标系，即可利用向量数量积的坐标运算求解或证明，属于中档题．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22 221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12，且过点312⎛⎫⎪⎝⎭，. F为椭圆的右焦点，,A B为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF分别交椭圆于,C D两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC=，求BFFD的值；⑶设直线AB，CD的斜率分别为1k，2k，是否存在实数m，使得21k mk=，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y+=（2）73（3）53m=【解析】试题分析：（1）22143x y+=；（2）由椭圆对称性，知31,2A⎛⎫⎪⎝⎭，所以31,2B⎛⎫--⎪⎝⎭，此时直线BF方程为3430x y--=，故()11713317BFFD--==-．（3）设00,)A x y（，则()00,B x y--，通过直线和椭圆方程，解得00000085385,(525252x y xC Dx x x⎛⎫--+⎪--+⎝⎭，，03)52yx+，所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =．试题解析：（1）设椭圆方程为22221(0)x ya b a b +=>>，由题意知：22121914c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y +=（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以31,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭， 此时直线BF 方程为3430x y --=，由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），故()11713317BF FD --==-． （3）设00,)Ax y （，则()00,B x y --， 直线AF 的方程为()0011y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 ()2220000156815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，又(),c C C x y 在直线()0011y y x x =--上，所以()000031152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +，所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-， 即存在53m =，使得2153k k =． 19.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，132a =，数列{}n b 是等比数列，且11b a =，23b a =-，34b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设,58,6n n n b n c a n ≤⎧=⎨≥⎩，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）若1n nA SB S ≤-≤对*n ∈N 恒成立，求B A -的最小值． 【答案】（1）132nn b ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（2）211,5265487,632nnn T n n n ⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-+-⎪≥⎪⎩；（3）1712 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据11b a =，23b a =-，34b a =，列方程组解方程组可得；（2）分5n ≤和6n ≥讨论，求n T ； （3）令1n n t S S =-，由单调性可得min max 75,126t t =-=，由题意可得75,[,]126A B ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，易得B A -的最小值．【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则由题意可得23322233322d q d q ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1238q d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或10q d =-⎧⎨=⎩，∵数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12q ∴=-， ∴数列{}n b 的通项公式132nn b ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭； （2）由（1）知33153(1)()288n n a n -=+--=， 当5n ≤时，1231122111212nn n n T b b b ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-- ⎪⎛⎫=+++=⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 当6n ≥时， 567n n T T a a a =+++5263153()(5)()(5)133654878812232232n n n a a n n n --+-+--+-⎛⎫=--+=+=⎪⎝⎭， 综合得：211,5265487,632nn n T n n n ⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-+-⎪≥⎪⎩（3）由（1）可知31122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，令1n nt S S =-，0n S >，∴t 随着n S 的增大而增大， 当n 为奇数时，112nn S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在奇数集上单调递减，351,,0,26n t S ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦， 当n 为偶数时，112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在偶数集上单调递增，37,1,,0412n S t ⎡⎫⎡⎫∈∈-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭， min max 75,126t t ∴=-=， 1n nA SB S ≤-≤对*n ∈N 恒成立，75,[,]126A B ⎡⎤∴-⊆⎢⎥⎣⎦， ∴B A -的最小值为571761212⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查等比数列和等差数列的综合应用，涉及恒成立和函数的单调性及分类讨论的思想，属中档题20.已知函数()02x x f x e e sinx x e π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，（为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的值域；（2）若不等式()(1)(1sin )f x k x x --对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：1213()122x e x ---+＞． 【答案】（1）[]0,1；（2）2112e k ππ-≤≤-；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；（2）先由题意，将问题转化为(1)xe k x ≥-对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，构造函数()x g x e kx k =-+，对函数()g x 求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.（3）令()1213()122x h x e x -=+--，对函数()h x 求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可.【详解】（1）因为()x xf x e e sinx =-， 所以()((1sin cos )1)4cos )x x x x f x e e sinx x e e x x x π'=-+⎡⎤--=-=+⎢⎥⎣⎦，∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴3444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴42sin x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()0f x '≤，故函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，函数()f x 的最大值为()1010f =-=；()f x 的最小值为22022f e e sin ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为[]0,1．（2）原不等式可化为)(1)(1sin (1)x e sinx k x x -≥-- …（*），因为1sin 0x -≥恒成立，故（*）式可化为(1)x e k x ≥-．令()x g x e kx k =-+，则()x g x e k '=-，当0k ≤时，()0x g x e k '=->，所以函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故()(0)10g x g k ≥=+≥，所以10k -≤≤；当0k >时，令()0x g x e k '=-=，得ln x k =，所以当(0,ln )x k ∈时，()0x g x e k '=-<；当(ln ,)x k ∈+∞时，()0x g x e k '=->． 所以当2lnk π＜，即20k e π<<时，函数min ()(ln )2ln 0g x g k k k k ==->成立； 当2lnk π≥，即2k e π≥时，函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，2()022min g x g e k k πππ⎛⎫==-+≥ ⎪⎝⎭，解得2212e e k πππ≤≤- 综上，2112e k ππ-≤≤-．（3）令()1213()122x h x e x -=+--，则()132x h x e x -'=+-．由1124133100244h e h e --⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，＞，故存在01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 即 01032x e x -=-． 所以，当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>．故当0x x =时，函数()h x 有极小值，且是唯一的极小值，故函数()0122min 000013313()()1()()122222x h x h x ex x x -==+--=--+-- 220013313()12222522x x ⎡⎤⎛⎫=---=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22015313531()()022*******x ----=>>， 故()1213()1022x h x e x -=+-->， 即1213()122x e x ---+>． 【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.。
2020天津市部分区二模数学试题参考答案(02.06稿)
天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。