1两人零和对策举例
双人零和博弈
双⼈零和博弈⼀、双⼈零和博弈的概念零和博弈⼜称零和游戏，与⾮零和博弈相对，是博弈论的⼀个概念，属⾮合作博弈，指参与博弈的各⽅，在严格竞争下，⼀⽅的收益必然意味着另⼀⽅的损失，⼀⽅收益多少，另⼀⽅就损失多少，所以博弈各⽅的收益和损失相加总和永远为“零”.双⽅不存在合作的可能.⽤通俗的话来讲也可以说是:⾃⼰的幸福是建⽴在他⼈的痛苦之上的，⼆者的⼤⼩完全相等，因⽽双⽅在决策时都以⾃⼰的最⼤利益为⽬标，想尽⼀切办法以实现“损⼈利⼰”.零和博弈的结果是⼀⽅吃掉另⼀⽅，⼀⽅的所得正是另⼀⽅的所失，整个社会的利益并不会因此⽽增加⼀分.⼆、双⼈零和博弈的模型的建⽴建⽴双⼈零和博弈的模型，就是要根据对实际问题的叙述确定参与⼈（局中⼈）的策略集以及相应的收益矩阵（⽀付矩阵）.我们记双⼈零和博弈中的两个局中⼈为A和B;局中⼈A的策略集为a1,…,am,局中⼈B的策略集为b1,…,bn;cij为局中⼈A采取策略ai、局中⼈B采取策略bj 时A的收益（这时局中⼈B的收益为- cij）.则收益矩阵见下表表1那么下⾯我们通过例⼦来说明双⼈零和博弈模型的建⽴: 例1甲、⼄两名⼉童玩猜拳游戏.游戏中双⽅同时分别或伸出拳头（代表⽯头）、或⼿掌（代表布）、或两个⼿指（代表剪⼑）.规则是剪⼑赢布，布赢⽯头，⽯头赢剪⼑，赢者得⼀分.若双⽅所出相同，算和局，均不得分.试列出对⼉童甲的赢得矩阵.解本例中⼉童甲或⼄均有三个策略:或出拳头，或出⼿掌，或出两个⼿指，根据例⼦中所述规则，可列出对⼉童甲的赢得矩阵见表2.表2例2 从⼀张红牌和⼀张⿊牌中随机抽取⼀张，在对B 保密情况下拿给A 看，若A 看到的是红牌，他可选择或掷硬币决定胜负，或让B 猜.若选择掷硬币，当出现正⾯，A 赢p 元，出现反⾯，输q 元;若让B 猜，当B 猜中是红牌，A 输r 元，反之B 猜是⿊牌，A 赢s 元.若A 看到的是⿊牌，他只能让B 猜.当B 猜中是⿊牌，A 输u 元，反之B 猜是红牌，A 赢t 元，试确定A 、B 各⾃的策略，建⽴⽀付矩阵.解因A 的赢得和损失分别是B 的损失和赢得，故属⼆⼈零和博弈.为便于分析，可画出如图3的博弈树图.图3中，○为随机点，□分别为A 和B 的决策点，从图中看出A 的策略有掷硬币和让B 猜两种，B 的策略有猜红和猜⿊两种，据此可归纳出各种情况下A 和B 输赢值分析的表格，见表4.图3抽到红牌正⾯反⾯抽到⿊球○□□○□1/2掷硬币让B 猜1/21/2猜红猜⿊猜⿊猜红1/2让B 猜p-q-rst-u表4对表4中各栏数字可以这样来理解:因让A 看到红牌时或掷硬币或让B 猜.若A 决定选掷硬币这个策略，当出现正⾯，这时不管B 猜红或猜⿊，A 都赢p 元;当出现反⾯，不管B 猜红或猜⿊，A 都输q 元.同样A 选择让B 猜的策略后，他的输赢只同B 猜红或猜⿊有关，⽽与掷硬币的正反⾯⽆关.⼜若抽到的牌是⿊牌，A 的决定只能让B 猜，因⽽掷硬币策略对A 的胜负同样不起作⽤.考虑到抽牌时的红与⿊的概率各为1/2，掷硬币时出现正反⾯的概率也各为1/2,故当A 采取“掷硬币”策略，⽽B 选择“猜红”策略时，A 的期望赢得为:-q p 212121+t 21=()t q p 241+- 当A 采取让B 猜策略，B 选择“猜红”策略时，A 的期望赢得为:()()??? ??-+-r r 212121+t 21=()t r +-21相应可求得其他策略对A 的期望赢得值.由此可列出本例的收益矩阵，见表5.表5三、双⼈零和博弈的求解定理1（极⼩极⼤定理）在零和博弈中，对于给定的⽀付矩阵U ，如果存在混合战略1σ*=（1σ*1，…1σ*m ）和2σ*=（2σ*1，…2σ*n ）以及⼀个常数v 满⾜，对任意j 有∑=mi i ij a 11*σ≥v ，对任意的i 有∑=nj j ij a 12*σ≤v ，那么战略组合（1σ*，2σ*）为该博弈的Nash 均衡.其中，v 为参与⼈1在均衡中所得到的期望⽀付，亦称该博弈的值.这个极⼩极⼤定理，其基本思想就是:参与⼈1考虑到对⽅使⾃⼰⽀付最⼩的最优反应，从中选择使⾃⼰最好的策略.参与⼈2也遵循同样的思路，这样才能满⾜Nash 均衡的互为最优反应的条件.这样我们就可以得到双⼈零和博弈Nash 均衡的计算⽅法了，如以下定理定理2 对于给定的零和博弈，如果博弈的值v ⼤于0，则博弈的Nash 均衡（1σ*，2σ*）为以下对偶线性规划问题的解Min ∑=mi i p 1s.t. ∑=mi i ij p a 1≥1 (j=1,…,n)i p ≥0 (i=1,…,m) 和Max ∑=nj j q 1s.t. ∑=nj j ij q a 1≤1 (i=1,…,m)j q ≥0 (j=1,…,n) 其中，Nash 均衡⽀付∑∑====nj jmi iqpv 1111Nash 均衡战略),,,,(1*1m i vp vp vp =σ，),,,(1*2n j vq vq vq =σ由于此定理只适⽤于v ⼤于0的情形，因此对于v ⼩于等于0的情形，该定理所给出的⽅法需做适当的修改.命题如果⽀付矩阵U=mxn ij a )(的每个元素都⼤于0,即ij a ＞0,那么博弈的值⼤于0,即v ＞0.定理3 如果⽀付矩阵U '=m xn ij a )('是由U=mxn ij a )(的每个元素都加上⼀个常数c 得到，即c a a ij ij +='，那么⽀付矩阵U 和U '所对应的零和博弈的Nash 均衡战略相同，博弈的值相差c.根据以上定理，可以得到如下求解⼀般零和博弈Nash 均衡的⽅法:(1) 若⽀付矩阵U 中的所有元素都⼤于零，则可以直接根据定理进⾏计算;若⽀付矩阵U 中有⼩于0的元素,可以通过加上⼀个常数使它们都⼤于0,然后再根据定理进⾏计算. (2) 求解定理中的两个对偶线性规划问题.下⾯通过实例来说明如何求解双⼈零和博弈的Nash 均衡.例3 求解下图中战略式博弈的Nash 均衡. 参与⼈2L M RU参与⼈1 C D通过求解对偶线性规划问题求零和博弈的Nash 均衡解根据前⾯的介绍，可知该博弈的⽀付矩阵为U=224132312不难发现，该博弈的⽀付矩阵U=()33x ij a 的每个元素都⼤于0，即ij a >0,那么博弈的值⼤于0，即v>0.设参与⼈1和参与⼈2的混合战略分别是1σ=（321,,vp vp vp ）和2σ=（321,,vq vq vq ）,利⽤对偶线性规划求解⽅法求解该战略式博弈的Nash 均衡，构造规划问题如下.Min ｛321p p p ++｝s.t. 321422p p p ++≥1 32123p p p ++≥1 32123p p p ++≥1 1p ≥0,2p ≥0,3p ≥0 和Max ｛321q q q ++｝s.t. 32132q q q ++≤1 32132q q q ++≤1 321224q q q ++≤1 1q ≥0,2q ≥0,3q ≥0求解第⼀个规划问题，得到1p =1/4, 2p =1/4, 3p =0,参与⼈1的⽀付v=2.因此，参与⼈1的混合战略1σ*=（1/2,1/2,0）.同理，对对偶问题求解，得到1q =0，2q =1/4, 3q =1/4,参与⼈2的损失v=2,因此参与⼈的混合战略2σ*=（0,1/2,1/2）.所以，该博弈存在⼀个混合战略Nash 均衡（（1/2,1/2,0）（0,1/2,1/2），）.例4 求解下图中的战略式博弈的Nash 均衡.参与⼈2L M R U 参与⼈1 C D通过求解对偶线性规划问题求零和博弈的Nash 均衡解该博弈的⽀付矩阵为U=--203011122 在上树⽀付矩阵U=33)(x ij a 中，12a <0, 21a <0.为了利⽤对偶线性规划模型求解博弈的解，构造⽀付矩阵U '=33')(x ij a ,其中a 'ij =ij a +c. 令c=2，那么新构造的⽀付矩阵为U '=425231304 设参与⼈1和参与⼈2的混合战略分别是1σ=（v 'p 1, v 'p 2, v 'p 3）和2σ=（v 'q 1, v 'q 2 v 'q 3,）,v 为原博弈的值，v '为新博弈的值，且v '=v+2，利⽤对偶线性规划求解⽅法求解新战略式博弈的Nash 均衡，构造规划问题如下.Min ｛321p p p ++｝ s.t. 32154p p p ++≥13223p p +≥1 321423p p p ++≥11p ≥0, 2p ≥0, 3p ≥0Max ｛321q q q ++｝s.t. 3134q q +≤1 32123q q q ++≤1 321425q q q ++≤1 1q ≥0,2q ≥0,3q ≥0通过求解对偶问题，得到1p =0，2p =3/13, 3p =2/13,参与⼈1的⽀付v '=13/5, 1q =1/13, 2q =4/13, 3q =0,参与⼈2的损失v'=13/5.因此，参与⼈1的混合战略1σ*=（0,3/5,2/5）, 参与⼈2 的混合战略2σ*=(1/5,4/5,0)，原博弈的值v= v '-2=3/5.所以，博弈存在⼀个混合战略Nash 均衡（（0,3/5,2/5），(1/5,4/5,0)）.。
两人有限零和博弈例题
两人有限零和博弈例题摘要：1.引言2.两人有限零和博弈的定义3.例题讲解3.1 题目背景3.2 博弈过程分析3.3 博弈结果及启示4.总结正文：在博弈论中，两人有限零和博弈是一种特殊的博弈模型，它指的是两个参与者在一定规则下进行的互动，其结果只有两种可能：赢或输，而且赢与输的和为零。
这种博弈模型广泛应用于经济学、社会学、政治学等多个领域。
接下来，我们将通过一个具体的例题来讲解两人有限零和博弈的原理及应用。
例题讲解：假设甲、乙两人进行一场扑克牌游戏，游戏规则如下：1.每人手中有5 张牌，且每张牌的点数分别为1 至5；2.游戏开始时，甲、乙两人分别随机抽取一张牌；3.甲、乙两人轮流进行出牌，每次出牌后，对手可以选择接受或拒绝；4.若对手接受，则游戏结束，双方点数之和为本次出牌的点数之和；5.若对手拒绝，则轮到对手出牌；6.游戏结束时，点数之和最大的一方获胜。
在这个例子中，我们可以分析甲、乙两人的策略。
为了获胜，甲、乙两人应该尽量使自己的点数之和最大化。
假设甲先出牌，且甲手中有1、2、3、4、5 五张牌，乙手中有a、b、c、d、e 五张牌，且a≤b≤c≤d≤e。
那么，甲应该如何出牌才能最大化获胜的概率呢？我们可以列出如下的出牌策略：1.如果乙手中有1、2、3、4、5 五张牌，那么甲应该选择最大的牌5；2.如果乙手中有1、2、3、4 四张牌，那么甲应该选择最大的牌4；3.如果乙手中有1、2、3 三张牌，那么甲应该选择最大的牌3；4.如果乙手中有1、2 两张牌，那么甲应该选择最大的牌2；5.如果乙手中有1 张牌，那么甲应该选择最大的牌1。
通过以上的策略分析，我们可以发现，甲、乙两人实际上在进行一场有限零和博弈。
甲要想获胜，就必须在保证自己利益的前提下，尽量削弱乙的竞争力。
同样，乙要想获胜，也必须在保证自己利益的前提下，尽量削弱甲的竞争力。
最终，博弈的结果将取决于甲、乙两人的策略选择。
通过这个例子，我们可以看到两人有限零和博弈的特点：参与者需要在保证自己利益的前提下，尽量削弱对手的竞争力。
中学生人际冲突解决辅导案例(1)
中学生人际冲突解决辅导案例(1)
背景
小明和小红是同班同学，小明经常在课堂上向小红借笔、纸等
研究用品，小红心里很不舒服，认为小明不尊重她，不喜欢小明这
种行为，于是她选择了躲避。
问题
小明并不知道小红不喜欢自己的行为，觉得小红可能是太忙了
所以没有借给自己，所以他选择了问其他同学借，然后导致了和其
他同学借笔比较尴尬的局面，同时也和小红的关系逐渐疏远。
解决
1. 辅导老师介入。
作为中立的第三方，辅导老师可以听取双方
的不同意见，帮助他们协调决定好借还事宜。
同时辅导老师也可以
教育小明更好地尊重他人。
2. 直接沟通。
小红可以选择直接告诉小明她不喜欢这样的行为，小明也可以借此机会反思自己的行为，并且双方可以商量什么是可
行的解决方式，加强彼此的交流。
结论
在中学生人际关系中，有很多的问题可以由自己或者第三方解决。
关键在于强调交流和尊重别人，让我们的关系更加和谐。
同时也要注意不要只看到自己的感受而忽略了其他人的想法。
零和博弈生活中的例子
零和博弈生活中的例子
1. 商场上的竞争不就是零和博弈吗？就好比两家超市，一家生意好了，另一家不就相对差了嘛！
2. 体育比赛也是啊！比如篮球赛，一个队赢了，那另一个队不就输了嘛，难道这不是零和博弈？
3. 在情场上也常见呢！两个男生追一个女生，一个成功了，另一个可不就失败了，这不是零和博弈是什么？
4. 职场上的晋升机会不也是这样吗？只有一个人能升职，其他人就没机会了，这多明显的零和博弈呀！
5. 投标竞争不就是零和博弈的典型吗？一个公司中标了，其他公司就只能空手而归咯！
6. 选举的时候不也如此？一个人当选了，其他人都只能落选，这难道不是零和博弈在生活中的表现？
结论：生活中零和博弈的例子真是无处不在啊，它让我们看到了竞争的残酷和无奈，但也激励着我们去努力争取胜利。
冲突解决策略的案例
冲突解决策略的案例在现实生活中，冲突是不可避免的。
无论是在家庭、工作场所还是社交环境中，人与人之间的冲突都可能发生。
而冲突的解决是维护人际关系和促进社会和谐的重要一环。
本文将通过介绍一些具体的案例来探讨冲突解决的策略，并分析其效果和可行性。
案例一：家庭内部冲突李先生是一位普通上班族，他与妻子杨女士之间经常因为家庭财务问题发生冲突。
杨女士认为夫妻之间的收入应该共同管理，而李先生则希望保持独立的经济状况。
这一争论不仅影响了家庭和谐，也导致了婚姻的破裂。
为了解决这个冲突，他们决定通过婚姻咨询来寻求专业帮助。
婚姻咨询师采用了多种策略来协助李先生和杨女士解决冲突。
首先，咨询师倾听双方的诉求，了解他们各自的观点和想法。
然后，他们被鼓励互相表达自己的感受和需求，以增加理解和共情。
最后，咨询师引导他们探索和了解彼此的价值观和信念，以找到双方都可以接受的解决方案。
经过几次咨询，李先生和杨女士逐渐认识到彼此的立场，并找到了一个折中的办法：他们保持各自的独立账户，但设立了一个共同的家庭账户来管理共同支出，以增加彼此的信任和透明度。
通过婚姻咨询，李先生和杨女士学会了沟通、倾听和妥协，他们的婚姻关系也得到了改善。
案例二：职场团队间冲突公司A的研发部门和市场部门之间经常因为合作问题而产生冲突。
研发部门认为市场部门对他们的技术了解不够，市场部门则抱怨研发部门无法按时交付产品。
为了解决这个团队间的冲突，公司A采取了以下策略：首先，公司A组织了一次团队建设活动，旨在增进团队成员之间的了解和信任。
通过在非工作环境中进行的团队合作游戏和活动，员工们更好地理解了彼此的个性和工作风格。
其次，公司A设立了一个跨部门的沟通渠道，以促进信息的分享和交流。
每个月，研发部门和市场部门的代表会面一次，讨论项目进展、需求和难题。
这种定期的面对面沟通能够及时解决问题，并避免信息不畅通导致的误解和冲突。
最后，公司A提供了冲突解决的培训和技巧。
员工们学习了如何管理和化解冲突，包括积极的沟通技巧、倾听技巧和协商技巧。
生活中零和博弈的例子
生活中零和博弈的例子
在生活中，我们经常会面对各种各样的博弈情境，有些是合作共赢的，有些则是零和博弈的。
零和博弈是指参与者之间的利益完全对立，一方的利益的增加必然导致另一方的利益减少。
这种情况下，参与者往往会采取竞争、对抗的态度，而非合作共赢。
一个生动的例子是工作场合上的竞争。
在职场上，每个人都希望能够获得更好的职位和更高的待遇，但是职位和待遇是有限的，因此同事之间往往会陷入零和博弈的状态。
他们会争夺资源和机会，甚至采取一些不道德的手段来排挤竞争对手，这样一来，整个团队的氛围就会变得紧张和不友好。
另一个例子是家庭中的争斗。
比如兄弟姐妹之间为了争夺父母的关注和爱，会展开激烈的竞争，这种竞争往往会导致家庭关系的紧张和破裂。
父母也可能会陷入争夺家庭资源和权力的博弈中，这样一来，家庭氛围就会变得紧张和不和谐。
在社会层面上，不同国家之间的竞争也是零和博弈的典型例子。
各国为了争夺资源、市场和地缘政治的影响力，往往会采取竞争和对抗的态度，这样一来，国际关系就会变得紧张和不稳定。
面对零和博弈的情境，我们应该如何应对呢？首先，我们要意识到零和博弈并非唯一的选择，合作共赢同样是一个可行的选择。
我们可以通过合作、沟通和妥协来寻求双赢的解决方案，从而化解博弈带来的负面影响。
其次，我们要学会换位思考，尊重他人的利益和权利，避免为了自己的利益而伤害他人。
最后，我们要注重建立良好的人际关系，通过互相支持和信任来化解博弈带来的紧张和矛盾。
总之，生活中的零和博弈无处不在，我们需要学会正确的应对方式，才能够化解博弈带来的负面影响，实现合作共赢的局面。
两人有限零和博弈例题
两人有限零和博弈例题
摘要：
1.零和博弈的定义与特点
2.两人有限零和博弈的例子
3.求解两人有限零和博弈的方法
4.结论
正文：
一、零和博弈的定义与特点
零和博弈，又称为对抗博弈，是指在博弈过程中，参与者的利益总和为零的一种博弈形式。
也就是说，当一个参与者获得利益时，另一个参与者必然会遭受损失，两者的利益变化正好相反。
零和博弈具有以下特点：
1.参与者的利益总和为零；
2.参与者的策略选择相互影响，一方的决策依赖于另一方的决策；
3.零和博弈中，参与者的目标是最大化自己的利益。
二、两人有限零和博弈的例子
假设有两个参与者A 和B，他们需要从两个数字（如1 和2）中选择一个数字，选择的数字决定了他们能得到的收益。
A 和B 的选择如下：A：1，B：1，收益分别为-1 和-2；
A：1，B：2，收益分别为1 和-1；
A：2，B：1，收益分别为2 和-1；
A：2，B：2，收益分别为-1 和-1。
在这个例子中，A 和B 的收益总和为零，因此这是一个零和博弈。
三、求解两人有限零和博弈的方法
对于两人有限零和博弈，可以通过求解纳什均衡来找到最优策略。
纳什均衡是指一种策略组合，在这个组合中，每个参与者都选择了最优策略，无论另一个参与者选择什么策略。
在上述例子中，A 和B 的最优策略分别为1 和2，因为它们能带来最大的收益。
四、结论
零和博弈是一种特殊的博弈形式，其中参与者的利益总和为零。
两人有限零和博弈可以通过求解纳什均衡来找到最优策略。
在实际生活中，零和博弈的例子比比皆是，如竞争、对立等。
人际交往中的解决冲突技巧妥协与共赢
人际交往中的解决冲突技巧妥协与共赢人际交往中的解决冲突技巧——妥协与共赢人际交往是人类社会中不可避免的一部分，而解决冲突则是在人际交往中经常遇到的问题。
解决冲突既要考虑个人的利益，也要兼顾关系的和谐。
妥协与共赢是人际交往中常用的解决冲突技巧，本文将从具体案例出发，探讨妥协与共赢在解决冲突中的应用。
案例一：小明和小红的分组问题小明和小红是一对好朋友，他们在学校里要参加一个小组项目。
然而，他们对于小组成员的选择意见不一致，小明希望和小红一起组队，而小红则希望和另外两个朋友组队。
解决方案一：妥协在这种情况下，妥协是解决冲突的有效途径。
小明和小红可以达成妥协，一起组队。
这样做既能满足小明希望与小红一起合作的需求，也能满足小红希望和其他朋友合作的需求。
妥协是在冲突双方都能接受的基础上，通过双方做出让步来达成的解决方案。
案例二：工作时间分配问题小明和小红是同事，他们在工作时间的分配上产生了分歧。
小明认为大家应该均等分担工作时间，而小红认为应该根据个人能力和贡献来分配工作时间。
解决方案二：共赢在这种情况下，共赢是解决冲突的有效途径。
小明和小红可以通过共赢的方式来解决这个问题。
首先，他们可以沟通交流，了解彼此的需求和担忧。
然后，他们可以协商出一套公平合理的分配方案，既能兼顾大家的贡献，也能均等分担工作时间。
共赢是指在解决冲突中双方都能获得可接受的利益和满足感的方案。
总结：在人际交往中，妥协与共赢是解决冲突的常用技巧。
妥协是通过双方做出让步来达成共同的解决方案，从而满足双方的需求；而共赢则是通过沟通交流和协商，找到既能兼顾双方利益又能保持关系和谐的解决方案。
在实际应用中，我们要根据具体情况灵活使用这两种技巧，并且注重维护人际关系，追求长期的共赢效果。
通过本文的案例分析，我们可以看到在解决冲突中，妥协与共赢是灵活使用的技巧。
在人际交往中，我们常常需要考虑到双方的需求和关系的和谐，通过妥协与共赢的方式，可以达到解决冲突、保持人际关系的双重目标。
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甲台
节目A 节目B 节目C 节目D
节目1 70 45 55 60
节目2 45 40 50 45
节目3 35 50 55 50
a = 50 35 40 50 45
b = 50
70
50
55 c = 50
表中最后一列的数字是同一行数字中的最小值。例如表 中第三行对应甲台播放节目A，最后一个数字是35，它 是70、45、35是三个数字中的最小值，称之为甲台节目 A收视率的保守估计。这个数字表示当甲播放节目A时 12.12.2所020能得到的最起码的收视率。而在这一列上面的第一个 8
如果两个电视台一旦选择了播放的节目就不允许改
动，则通过上面的分析可知，对双方来说，稳妥的选择
也将是这个对策组合。如果一方有所变动，它的收视率
就有可能低于组合中自己的收视率。
12.12.2020
6
例2 如果两家电视台可能播放的节目分别为四个、三 个、甲台节目收视率（%）如下表所示：
表3 甲台节目收视率（%）
假设甲台不播放节目C而播放节目A，期望得到更 高的收视率（70%）；但是此时乙台播放节目3，使甲 台只能得到35%的收视率，比均衡对策组合中甲得到的 收视率（50%）低。而如果乙台不是播放节目2，而是 播放节目3，期望得到更高的收视率（65%）。
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11
则此时甲台仍会播放节目C，使得乙台只得到45%的收 视率，也将低于均衡对策组合50%的收视率。其他对策 组合也将有同样的结果，因而，甲台播放节目C、乙台 播放节目2是双方都能接受的结果。
甲台
节目A 节目B b = 55
节目1 70 45 70
乙台 节目2
40 55 55
a = 45 40 45 a≠b
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谢谢大家 请批评指正！
数字a（=50），是甲台各节目收视率保守估计（35，40 ，50，45）中的最大值。a表示在所有可能的选择中， 甲台所能得到保证的收视率中的最大值。a=50所对应的 节目C，也是甲台最稳妥的选择。表中的最后一行是同 一列数字中的最大的值。例如该行的第三个数字是50， 它是45、40、50、45四个数字中的最大值。这个数字对 应乙台播放节目2时的情况，说明当乙台播放节目2时， 只要甲台应对得当（此时甲应该播放节目C），甲台所 能够得到的最高收视率。这个数字称为乙台播放节目2 时甲台收视率的乐观估计。
组合。
设a为甲台播放i（A、B、C、D）和乙台播放j时甲
台的收益，那么此解满足：
max i
mjina
=ij
min j
max
ia
。ij
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下面具体分析双方采取其他对策组合会发生什么情 况。结论将是：任何一方改变选择都将降低自己的收视 率，从而双方都不会采用除此以外的其他对策。这也是 称此决策为“均衡对策”的原因。
甲台
节目A 节目B 节目C 节目D
节目1 70 45 55 60
乙台 节目2
45 40 50 45
节目3 35 50 55 50
此时情况变得比较复杂，他们会采取什么样的对称呢？ 分析的思想方法仍和例1相同，可以用下表表示。
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表4 基于甲台节目收视率的双方对策分析表（%）
乙台节目
在对策论中，这样的模型称为“两人零和对策”。 这是因为：如果把竞争双方输的一方记为-1，赢的一方 记为1，则在任何对策组合下他们的和都为零。其实如 果每种对策组合的结果是一个和具体对策组合无关的常 数，也都可以作为零和对策。例如上述两个电视台的收 视率总和是1，也属于零和对策。
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两人零和对策是对策论中所研究的许多问题中的一
个。按这种方法计算得到的a和b，在有些情况下是不相
等的，这时我们就称该对策问题为不稳定对策问题；相
应地，a和b相等时的对策问题称为稳定的对策问题。例2
是一个稳定对策问题。在稳定对策问题的情况下，一般
情况也像例2中分析的那样，会有一个双方都接受的对策
组合，任何一方改变对策，只会使自己的利益受损。用
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该行的第一个数字b=50是所有这一行中数字中的最小值
。表示的是对乙台所有可能的选择，只要应对得当，甲
台所能获得的最起码的收视率。在右下角的数字c与a、
b相等，这里是50。对应这个数字的是甲台播放节目C
，乙台播放节目2，各获得50%的收视率。这就是两家
电视台会采取的科学对策。我们称这种决策为均衡对策
这种方法可以验证例1也是一个稳定的对策问题。下面我
们举一个不稳定对策问题的例子。
例3 两家电视台各种节目搭配时的甲台节目收视率如下
表：
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表5 甲台节目收视率（70 45
乙台
节目2 40 55
用上述方法对此例进行计算，得到表格如下：
表6 基于甲台节目收视率的双方对策分析表（%）