双因素方差分析习题
双因素试验的方差分析
i 1
j 1
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 a 0
H02 : 1 2 b 0
H03 : ij 0 i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b
➢ 总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a
Ti.2
b,
i1
p T 2 ab ,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
ⅠⅡ
Ⅲ
甲
50 63 52
乙
47 54 42
丙
47 57 41
F值
F 值临介值
因素A 因素B
SS A SSB
df A
MS A
SS A df A
FA
MS A MSE
df B
MSB
Байду номын сангаас
SSB df B
FB
MSB MSE
F (a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
ab n 1)
A B
误差 总和
SS AB
SSE SST
df AB df E dfT
MS AB SS AB
F0.01 3,6 9.78 F0.05 3,6 4.76 F0.01 2,6 10.92
FB F0.01 2,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
双因素方差分析
1 r rs i 1
j 1
s
ij
1 i. ij s j 1 r 1 . j ij r i 1
s
, i 1, 2...r , i 1, 2...r
, j 1, 2...s
i i.
j . j , j 1, 2...s
j 1 i 1 j 1
s
r
s
诸 ijk 相互独立，均服从
N (0, 2 ) 分布
i 1, 2, , r j 1, 2, , s k 1, 2, , t
这就是有交互作用的方差分析模型。
有交互作用的双因子方差分析:假设
因子A
原假设: ������ H0: 1 2 r 0 ������ 备择假设: ������ H1: 至少一个 i 不同于0 因子B ������ 原假设: ������ H0: 1 2 s 0 ������ 备择假设: ������ H1: 至少一个 j 不同于0 交互作用 原假设: ������ H0:对一切i,j有 ij ������ 备择假设: H1: 至少一个 ij不同于0
有交互作用的双因素方差分析
若 ij i j 则我们称
ij ij i j
为因子A的第i个水平与因子B的第j个水平的交互作用， 它们满足关系式：
i 1 s
r
ij
0, j 1, 2, , s 0, i 1, 2, , r
两种情况分类
分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试 验结果的影响。 ������ 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的， 分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时 的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分 析或无重复双因素方差分析(Two-factor without replication)。 ������ 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影 响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影 响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因 素方差分析或可重复双因素方差分析(Two-factor with replication )。
7-2(方差分析)
基本操作 【Contrast钮】 钮 用于对比检验,对各个控制变量不同水平下 用于对比检验 对各个控制变量不同水平下 的均值是否与某个检验值存在差异进行比 较,检验值的指定有 检验值的指定有 Deviation:观测变量的均值 观测变量的均值 Simple:第一水平或最后一水平观测变量的 第一水平或最后一水平观测变量的 均值 Difference:前一水平观测变量的均值 前一水平观测变量的均值 Helmert:后一水平观测变量的均值 后一水平观测变量的均值
基本操作 【Plots】 】 因素变量交互作用图形分析 【Post Hoc】 】 多重比较检验 【Save钮】 钮 将模型拟合时产生的中间结果或参数 保存为新变量供继续分析时用， 保存为新变量供继续分析时用，可保 存的东西有预测值、残差、 存的东西有预测值、残差、异常值诊 断。
基本操作 【Options钮】 钮 选项 Estimated Marginal Means:估计边际均值 估计边际均值
S A× B S A× B = 交互作用 S A× B ( r − 1)( s − 1) ( r − 1)( s − 1)
误
差 SE 和 ST
rs( t − 1)
rst − 1
SE SE = rs( t − 1)
总
二、双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 检验两个因素的交互效应 对两个因素的每一 组合至少要做两次试验. 组合至少要做两次试验 如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 如果已知不存在交互作用 或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用 则可以不考虑交互作用. 试验的指标影响很小 则可以不考虑交互作用 对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对两个因素的每一组合只做一次试验 也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 双因素无重复试验 对各因素的效应进行分析 的方差分析. 的方差分析
方差分析卡方检验练习题
方差分析与卡方检验练习题本练习题涵盖了方差分析和卡方检验的基概念、方法和应用，包含不同难度等级的题目，旨在帮助学习者巩固知识，提高分析问题和解决问题的能力。
第部分：方差分析 (ANOVA)一、单因素方差分析1. 基本概念题 (500字)简述方差分析的基本思想和假设条件。
* 解释方差分析中组间方差、组内方差和总方差的概念，以及它们之间的关系。
* 说明F检的原理以及在方差分析中的应用。
* 解释方差分析结果中的P值及其意义。
* 比较方差分析与t检验的异同点。
2. 计算题 (000字)某研究者想比较三种不同肥料对小麦产量的影响。
他随机选择了三个地块，每个地块种植了相同数量的小麦，分别施用三种不同的肥料A、B、C。
收获后，测得三个地块的小麦产量如下（单位：k/亩）：肥料A：15, 18, 16, 17, 19 肥料B：20, 22, 21, 19, 23 肥料C：12, 14, 13, 5, 16请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断三种肥料对小麦产量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，包括自由度、平方和、均方、F值、P值等，并进行结果解释。
). 应用题 (1000字)一家公司想比较四种不同广告策略对产品销量的影响。
他们随机选择了四个地区，每个地区采用一种不同的广告策略。
三个月后，测得四个地区的销售额如下（单位：万元）：策略A：10, 110, 95, 105 策略B：120, 130, 115, 125 策略C：80, 90, 75,85 策略D：150, 60, 145, 155(1)请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断四种广告策略对产品销量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，并进行结果解释。
)(2)如果发现有显著差异，请进行事后检验（例如Tukey检验或LSD检验），找出哪些广告策略之间存在显著性差异。
(需说明所用检验方法的原理和步骤)二、双因素方差分析 (1500字)1. 基本概念题 (50字)•解释双因素方差分析的概念和应用场景。
论文—双因素试验的方差分析
X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1
t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B
双因素方差分析习题
双因素方差分析习题1.某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表6.16所示。
问不同季节氯化物含量有无差别? 若有差别，进行32个水平的两两比较。
2.有三种抗凝剂(A1,A2,A3 )对一标本作红细胞沉降速度(一小时值)测定，每种抗凝剂3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A、B C三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表 6.17，问3中治疗方法的疗效有无差别？43解:4.某研究人员以0.3mL/kg剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。
两组大鼠均按照是否给予升高白细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表6.18，试作统计分析。
问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗？（）（2）如果有差别，请进行多重比较分析。
（0.05）解：6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生产成本（单位：元）如表6.20所示。
这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假定生产成本服从正态分布，且方差相同）？（0.05）解:7.为了解三种不同配比的饲料对仔猪影响的差异，对三种不同品种的猪各选三头进行试验，分别测得其三个月间体重增加量如表6.21所示。
假定其体重增加量服从正态分布，且1方差相同。
试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著差异？（0.05）表 6.21解:8.比较3种化肥（A, B两种新型化肥和传统化肥）施撒在三种类型（酸性、中性和碱性）的土地上对作物的产量情况有无差别，将每块土地分成6块小区，施用A, B两种新型化肥和传统化肥，收割后，测量各组作物的产量，得到的数据如表6.22所示、化肥、土地类型及其它们的交互作用对作物产量有影响吗？（0.05）。
SPSS双因素方差分析
SPSS双因素方差分析例1 对小白鼠喂以三种不同的营养素，目的是了解不同营养素增重的效果。
采用随机区组设计方法，以窝别作为划分区组的特征，以消除遗传因素对体重增长的影响。
现将同品系同体重的24只小白鼠分为8个区组，每个区组3只小白鼠。
三周后体重增量结果(克)列于下表，问小白鼠经三种不同营养素喂养后所增体重有无差别？这可以认为是无重复实验的双因素方差分析，SPSS软件版本：18.0中文版。
1、建立数据文件变量视图：建立3个变量，如下图数据视图：如下图：区组号用1-8表示，营养素号用1-3表示。
数据文件见“小白鼠喂3种不同的营养素增重数量.sav”，可以直接使用。
2、统计分析菜单选择：分析-> 一般线性模型-> 单变量点击进入“单变量”对话框将“体重”选入“因变量”框，“区组”、“营养素”选入固定因子框点击右边“模型”按钮，进入“单变量：模型对话框”点击“设定”单选按钮（无重复双因素方差分析不能选全因子！），在“构建项”下拉菜单中选择“主效应”（只能选主效应）把左边的因子与协变量框中区组和营养素均选入右边的模型框中其余选项取默认值就行，点击“继续”按钮，回到“单变量”界面点击“两两比较”按钮，进入下面对话框将左边框中“区组”、“营养素”均选入右边框中再选择两两比较的方法，LSD、S-N-K，Duncan为常用的三种方法，点击“继续”按钮回到“单变量”主界面。
点击“选项”按钮勾选“统计描述”及“方差齐性检验”，设置显著性水平，点击“继续”按钮，回到“单变量”主界面点击下方“确定”按钮，开始分析。
3、结果解读这是一个所分析因素的取值情况列表。
变量的描述性分析这是一个典型的方差分析表，有2个因素“营养素”和“区组”，首先是所用方差分析模型的检验，F值为11.517，P小于0.05，因此所用的模型有统计学意义，即认为至少有一个因素对体重增长有显著影响，可以用它来判断模型中系数有无统计学意义；第二行是截距，它在我们的分析中没有实际意义，忽略即可；第三行是变量是区组，P<0.001，可见有统计学意义（即认为区组对体重增长有显著影响），不过通常我们关心的也不是他；第四行是我们真正要分析的营养素，非常遗憾，它的P值为0.084，没有统计学意义（即认为营养素对体重增长没有显著影响）。
3-2双因素方差分析
s
因子B的偏差平方和 SB r(x j x)2 j 1
反映了因素B的水平间的差异引起的波动。
rs
误差平方和 Se
(xij xi x j x)2
i1 j1
反映了随机误差引起的波动。
在H01，H02为真时
1
2
St
~
2 (rs
均方 44.88 3.53 2.19
36.0
35.5
34.3
36.1
35.8
32.8
28.5
29.4
F 值 显著性
20.49
**
1.61
查表得临界值F0.05(4，12)=3.26，F0.01(3，12)=5.95。由于 FB＜F0.05(4，12)，故认为地块不同对收获量无显著影响。 由于FA＞F0.01(3，12)，故认为品种不同对收获量影响极显著。
F比
FA
Se
SA /(s
/(r 1) 1)(r 1)
FB
Se
SB /(s
/(s 1) 1)(r 1)
对给定的显著性水平，当
FA>F(r-1, (s-1)(r-1))时拒绝H01, FB>F(s-1, (s-1)(r-1))时拒绝H02 .
例3 将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又 分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分 种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位： 公斤），试以显著性水平α1=0.05,α2=0.01考察品种和地块对收获 量的影响是否显著。
地块
品种
B1
B2
B3
B4
B5
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1. 某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表6.16所示。
问不同季节氯化物含量有无差别？
若有差别，进行32个水平的两两比较。
解：
2.有三种抗凝剂（123,,A A A ）对一标本作红细胞沉降速度（一小时值）测定，每种抗凝剂
3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A 、B 、C 三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表6.17，问3中治疗方法的疗效有无差别？
表6.17 不同人用鹿茸后血小板的升高值/(4
3
10/mm )
解：
4.某研究人员以0.3mL/kg 剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。
两组大鼠均按照是否给予升高白
细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表6.18，试作统计分析。
解：
问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗？（）
α=）
（2）如果有差别，请进行多重比较分析。
（0.05
解：
6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生产成本（单位：元）如表6.20所示。
这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假
α=）
定生产成本服从正态分布，且方差相同）？（0.05
解：
7.为了解三种不同配比的饲料对仔猪影响的差异，对三种不同品种的猪各选三头进行试验，分别测得其三个月间体重增加量如表6.21所示。
假定其体重增加量服从正态分布，且1方
α=）
差相同。
试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著差异？（0.05
8.比较3种化肥（A，B两种新型化肥和传统化肥）施撒在三种类型（酸性、中性和碱性）的土地上对作物的产量情况有无差别，将每块土地分成6块小区，施用A，B两种新型化肥和传统化肥，收割后，测量各组作物的产量，得到的数据如表6.22所示、化肥、土地类型
α=）
及其它们的交互作用对作物产量有影响吗？（0.05
-。