外国语学校 第17章 反比例函数教材分析

第十七章 反比例函数西城外国语学校 罗巍2009.12.09函数知识在中学数学中有着极为重要的地位和作用，是教学的重点，也是教学的难点. 本章内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，让学生进一步理解函数所蕴涵的“变化和对应”思想，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法，感受现实世界中存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题. 反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础.一、本章特点1．突出反比例函数与现实世界的联系. 2．注重数学思想方法的渗透. 二、本章要求 1．知识结构框图2．课程学习目标⑴理解反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式xky =(k 为常数，k ≠0)，能判断一个给定函数是否为反比例函数.⑵能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.⑶能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数xky =(k 为常数，k ≠0)的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.⑷再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.⑸在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法. 3.4. 教学重点与难点：教学重点：反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用.教学难点：对反比例函数及其图象性质的理解和掌握，以及反比例函数的应用.5．课时安排本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）.17.1 反比例函数 3课时 17.2 实际问题与反比例函数 4课时 数学活动小结 1课时 三、对教学的几点建议1．注意做好与已学内容的衔接.2．加强反比例函数与正比例函数的对比.3．把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索. 4．密切反比例函数与现实世界的联系. 5．注意突破知识的难点和重点. 四、具体知识(一)反比例函数的概念1.x k y =(k ≠0)可以写成1-=kx y (k ≠0)的形式，注意自变量x 的指数为-1； 2.xky = (k ≠0)也可以写成xy =k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式；3. 反比例函数xky =的自变量x ≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点.4. 在解决有关自变量系数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件.[例1]1. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ C ）A. y =3xB. xy 11+= C. 3xy =1 D. 21-=x y2. 若y 与x 1成反比例，x 与z1成正比例，则y 是z 的（ B ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 不能确定3. 平面直角坐标系中有六个点(15)A ，，533⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ，，(51)--C ，，522⎛⎫- ⎪⎝⎭D ，，533⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，，522⎛⎫⎪⎝⎭F ，，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是（ B ） A ．点C B ．点D C ．点E D ．点F [例2]1. k = 0 时，函数122)2(-++=k k x k y 是反比例函数.2. 如果函数122)2(-++=k kx k y 的图象是双曲线，那么k = 0 .注：此类问题要同时考虑两个条件，①比例系数；②自变量的指数.(二)反比例函数的图象和性质注：双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.2. 反比例函数的其它性质(1)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.①)0(≠=kxky的图象是轴对称图形，对称轴为xyxy-==和两条直线；②)0(≠=kxky的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xkyxky-==和(k≠0)注：正比例函数xky1=当021<⋅kk当021>⋅kk(2)反比例函数x ky =①过双曲线xky =(k 所得矩形的面积为②过双曲线xky =(k [例3]1.如果函数32)1(-++=k k x k y 2.如果函数32)1(-++=k k x k y [例4]1. 已知一次函数y=ax+b 象限.2. 已知反比例函数(=k xky 图象经过（ B ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限3. 已知a·b <0，点P （a ，b ）在反比例函数xay =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是（ C ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知函数y=k (x -1)和x ky -= (k ≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ B ）注：①同一道题中的相同字母代表同一个值；②根据其中一个函数的特点，确定待定系数的符号，再根据待定系数的符号确定另一个函数图象的位置，是解此类问题的重要方法. [例5]1. 在反比例函数()0<=k xky 的图象上有两点()11,y x A ，()22,y x B ，且021>>x x ，则21y y -的值为（ A ）A. 正数B. 负数C. 非正数D. 非负数yO x A y O x B y O x Cy O x2. 在函数x a y 12--=（a 为常数）的图象上有三个点),1(1y -，),41(2y -，),21(3y ，则函数值1y 、2y 、3y 的大小关系是（ D ）A.2y <3y <1yB.3y <2y <1yC.1y <2y <3yD.3y <1y <2y3. 在函数xky =(k >0)的图象上有三点A 1 (x 1，y 1)，A 2 (x 2，y 2)，A 3 ( x 3，y 3)，已知x 1 < x 2 < 0 < x 3，则下列各式中正确的是（ C ）A. y 1 < y 2 < y 3B. y 3 < y 2 < y 1C. y 2 < y 1< y 3D. y 3 < y 1 < y 24. 下列四个函数中：①x y 5=；②x y 5-=；③x y 5=；④xy 5-=. y 随x 的增大而减小的函数有（ B ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个注：①反比例函数增减性问题可利用图象解决，数形结合，直观明了.②反比例函数的增减性注意是每一支双曲线上的增减性. [例6]1.如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x =≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角 三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面 积分别为12345S S S S S 、、、、， 则5S 的值为 . 512. 如图，在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1， 2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 123S S S ，，，则123S S S ++= 1.5 ．3. 两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD ⊥y轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化，其面积值总为k -1； ③P A 与PB 始终相等；yx O P 1P 2P 3 P4 P 5A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 2x =P 1P 2P 3P 44321213S S S y=2xO x yk y x=1y x=④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 ①②④ （把你认为正确结论的序号都填上）． 注：在研究反比例函数中有关面积问题, 注意考虑利用k 的几何意义加以解决. [例7]1. 如图，点P 在反比例函数1y x =(x > 0)的图象上，且横坐标为2. 若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的点为P '.则 在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是（ D ）A ．)0(5>-=x xy B .)0(5>=x x yC . )0(6>-=x x yD . )0(6>=x xy 2. 已知反比例函数x m y 2=的图象经过点()8,2--，反比例函数xmy =的图象在第二、四象限，则m 的值为 -4 . 3. 如图，直线y =kx (k >0)与双曲线xy 2=交于A 、B 两点，若A 、B 两点 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1y 2+ x 2y 1的值为（ C ） A. -8 B. 4 C. -4 D. 0 注：比例系数k 的值等于反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积. (三) 实际问题与反比例函数1. 求函数解析式的方法：①待定系数法；②根据实际意义列函数解析式.2. 注意学科间综合，但重点放在对数学知识的研究上，对跨学科问题不宜过难.[例8]1. 已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（ D ）.B ．C ．D ．2. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为x y ，，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ Ax y O BAP 5 1 O xy2 10A ．51O xy 210B ．2 O xy210C ．102 O xy 210D ．10h aOh Oh aOh Ox y 12 12注：以上两题是根据题意直接列出的解析式. 在实际问题中应注意自变量的取值范围. [例9]1. 近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (米)成反比例. 已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式是 . xy 100=(x >0) 2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内 的气压P (千帕)是气球的体积V (米3)的反比例函数，其图 象如图所示 (千帕是一种压强单位). ①求出这个函数的解析式；②当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？ ③当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全 起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 答案：①)0(96>=V V P ；②120千帕；③32立方米. 3. 为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含 药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题： ①药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为__________ ___，自变量x 的取值范围是____________ ___；药物燃 烧后y 关于x 的函数关系式为_________________.②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室； ③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 答案：①x y 43=，0≤x ≤8，xy 48=；②30；③有效. 4. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y x (元) 3 4 5 6 y (个)20151210数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； ②设经营此贺卡的销售利润为W 元，试求出W （元）与x （元）之间的函数关系式. 若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10/个，请你求出当日销售单价x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润？答案：①反比例函数能表示其变化规律. 因为表中每对x 、y 的值的乘积均为60，是一个定值. xy 60=；②60120W (x 2)y (x 2)60x x =-=-⨯=-，当日销售单价x 定为10元时，才能获得最大日销售利润.注：以上四题是用待定系数法求出的反比例函数解析式. 当两个变量的乘积是定值时，是反比例函数；当两个变量的比值是定值时，是正比例函数. 在求函数最值问题时，可以将解析式进行变形，以便作出判断. (四) 反比例函数与其它知识的综合应用 [例10] 找规律 1. 将32=x 代入反比例函数xy 1-=中，所得函数值记为y 1，又将x = y 1+1代入函数中，所得函数值记为y 2，再将x = y 2+1代入函数中，所得函数值记为y 3，如此继续下去，则y 2005=_________. 23-2. 两个反比例函数x y 3=，xy 6=在第一象限内 的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数xy 6=图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别是 1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P 1， P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线，与xy 3=的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1）， Q 2（x 2，2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005= ．24009[例11] 用函数的方法解决方程、不等式的有关问题 1. 如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y =x2的图象，则关于x 的方程kx+b =x2的解为（ B ） A ．x l =1，x 2=2 B ．x l =1，x 2= -2 C ．x l = -2，x 2= -1 D ．x l =2， x 2= -12. 如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；xyP 3(x 3,5)P 2(x 2,3)P 1(x 1,1)y=3xy=6xy 1y 2y 31Q 3Q 2Q 1(3)求方程0=-+x mb kx 的解（请直接写出答案）； (4)求不等式0<-+x mb kx 的解集（请直接写出答案）.答案：(1)xy 8-=，y = -x -2. (2)C （-2，0），6=∆AOB S .(3)2,421=-=x x . (4)-4<x <0或x >23. 不解方程，判断下列方程解的个数.①041=+x x ②041=-x x答案：①无实数解；②有两个实数解.4. (1)已知矩形A 的长、宽分别是2和1，那么是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是矩形A 的周长和面积的2倍？对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决，小明论证的过程开始是这样的：如果用x y ，分别表示矩形B 的长和宽，那么x y ，满足6x y +=，4xy =．请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程．(2)已知矩形A 的长和宽分别是2和1，那么是否存在一个矩形C ，它的周长和面积分别是矩形A 的周长和面积的一半？小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？答案：(2)不同意小明的观点．注：函数与方程、不等式有着密切的联系，用函数图象解决方程、不等式的有关问题，直观简捷. [例12] 函数与几何图形综合1. 如图：等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=在直y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边行于x 轴、y 轴，若双曲线ky x=(k ≠0)与ABC ∆ A ．12k << B ．13k ≤≤ C ．14k ≤≤ D ．14k <≤2. 如图，已知直线12=y x 与双曲线(0)=>k y k x 交于A 两点，且点A 的横坐标为4．(第4题 图1)(第4题 图2)(1)求k 的值；(2)直接写出使正比例函数的值小于反比例函数的值的x 的 取值范围；(3)若双曲线(0)=>ky k x上一点C 的纵坐标为8，求 AOC △的面积.答案：(1)k =8；(2)x <-4或0<x <4；(3)15COA S =△．3. 如图，直线b x y +-=（b ＞0）与坐标轴交于A 、B 两点，P 是 双曲线xky =（k ＞0）上一点，且PO =PB . (1)试用k 、b 表示A 、P 两点的坐标；(2)若△POB 的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数 解析式. 答案：(1) A （0，b ），P （2b ，b k 2）；(2) xy 1=（x ＞0）. 4．已知：直角三角形OAB∠AOB =30°，点A 的坐标为（-，点B (1)若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点恰好落在反比例函数y a (2)若将三角形OAB 绕点O 旋转30°，点B 例函数ky x=的图象上，求k 的值． 答案：(1)a =9；(2)当三角形OAB 绕点O 逆时针旋转30°时，=k 当三角形OAB 绕点O 顺时针旋转30°时，=k 5. 如图，一次函数b ax y +=的图象与反比例函数x ky =的图象交于第一象限C ，D 两点，坐标轴交于A 、B 两 点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）.①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值； ②双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 的 面积相等？若存在，给出证明并求出点P 答案：①反比例函数解析式为4=y x，m =4；②存在点P （2,2）6．已知：如图，在第一象限内正比例函数y ax =()32A ，．(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3)()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ； 过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．答案：（1）x y 32=，xy 6=； （2）0<x <3； （3）BM =DM . 注：题. [例13] 运动变化1. 如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 在函数x k y =(k ＞0，x ＞0)的图象上，点P (m ，n )点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ，设矩形OEPF 在正方形OABC ①求B 点坐标和k 的值； ②当29=S 时，求点P 的坐标； ③写出S 关于m 的函数关系式.答案：①B 点坐标（3，3），k =9；②当m >3时，P P (23，6)； ③⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=)()(3m m 2793m 03m 9S 注：种情况分别在相对“静止”题.2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，A 、C 两点间的距离为10， P 是BC 边上一动点，过D 作DE ⊥AP 于E ，设AP =x ，DE =y ，求y 与x 的函数关系式，并求自变量的取值范围.答案：x y 48=（6≤x ≤10） 注：在这类问题中，除了注意前面所说的观察在图形的运动过程中可能出现的所有情况外，还应充分挖掘几何图形的特征，利用与图形相关的定理、性质、公式，列出含有两个变量的关系式，从而得到函数解析式. 而利用图形的面积解题又是一种常用的方法. 在求自变量的取值范围时，应从动点的极端位置考虑，在本题中，动点P 的极端位置是点B 和点C . D CB AE P。