初中数学人教版八年级上册三角形综合应用(讲义及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料三角形综合应用（讲义）➢ 知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向： 1. 三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________． 角：①______________________________________________；②_____________________________________________．2. 角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．3. 高线出现时考虑__________或__________．➢ 精讲精练1. 现有3 cm ，4 cm ，7 cm ，9 cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A ．5 B ．6 C ．7 D ．103. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 4. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．B C 21AABCD E第4题图 第5题图5. 如图，一个五角星的五个角的和是________．6. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．第2题图FEBA7. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________； （2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______； （4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1P NMABCDOO DCBA8. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？EC ABFPA PP A CE图1 图2 图39. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O CM AND A第9题图 第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________；（2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．11. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，AC =3 cm ，BC =4 cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C EAF 12. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PCEFA【参考答案】➢ 知识点睛1. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 设元 3. 互余，面积➢精讲精练1. B2. C3.①③⑤4.130°5.180°6.360°7.（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)8.（1）∠P=90°+12∠A；（2）∠P=12∠A；（3）∠P=90° 12∠A9.（1）90°（2）∠BOD=∠COE10.（1）245（2）3:211.3:4:612.（1）72（2）证明略三角形综合应用（讲义）➢知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：4.三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________．角：①______________________________________________；②_____________________________________________．5.角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．6.高线出现时考虑__________或__________．➢精讲精练13.现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A．5 B．6 C．7 D．1015. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 16. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．B C 21AABCD E第4题图 第5题图17. 如图，一个五角星的五个角的和是________． 18. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．FED C BA19. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________； （2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______； （4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1P NMABCDOO DCBA20. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？EC ABFA PP A CE图1 图2 图321. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O CM AND A第9题图 第10题图22. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________；（2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．23. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，AC =3 cm ，BC =4 cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C DEAF B 24. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PCEFA【参考答案】➢ 知识点睛4. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5. 设元 6. 互余，面积➢ 精讲精练 13. B 14. C15. ①③⑤ 16. 130° 17. 180° 18. 360°19. （1）∠A +∠D =∠B +∠C ；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β) 20. （1）∠P =90°+12∠A ； （2）∠P =12∠A ； （3）∠P =90° 12∠A21. （1）90°（2）∠BOD =∠COE 22. （1）245（2）3:223. 3:4:624. （1）72（2）证明略。
人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》知识点总结(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】 根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = D解析：D【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、添加BD ＝CE ，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；B 、添加AD ＝AE ，根据等边对等角可得∠ADE ＝∠AED ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；C 、添加BE ＝CD 可以利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ，可得∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；D 、添加DA ＝DE 无法求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．7C解析：C【分析】 先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C解析：C【分析】 根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.5．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20°B解析：B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE ≌ABF ，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转得ADE ≌ABF ，∴∠FAB=∠EAD ，∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE ，∴∠FAE=∠BAD=90︒，∴旋转角的度数是90︒，故选：B ．【点睛】 此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 6．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ B 解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P 到OB 的距离为5，再根据垂线段最短解答．【详解】∵点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，∴点P 到OB 的距离为5，∵点Q 是OB 边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．7．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF C解析：C【分析】 由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．8．下列命题，真命题是（ ）A ．全等三角形的面积相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个角对应相等的两个三角形全等D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键． 9．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OBB ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2B解析：B【分析】根据题意可以得到∠AOC=∠BOC，OC=OC，然后即可判断各个选项中条件是否能判定△AOC≌△BOC，从而可以解答本题．【详解】解：由已知可得，∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴若添加条件OA=OB，则△AOC≌△BOC（SAS），故选项A不符合题意；若添加条件AC=BC，则无法判断△AOC≌△BOC，故选项B符合题意；若添加条件∠A=∠B，则△AOC≌△BOC（AAS），故选项C不符合题意；若添加条件∠1=∠2，则∠ACO=∠BCO，则△AOC≌△BOC（ASA），故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=25°，则∠ACA'的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°C解析：C【分析】利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB，再利用等式的性质可得答案．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′=25°，故选：C．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．二、填空题11．如图，AC=BC，请你添加一个条件，使AE=BD．你添加的条件是：________．∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC∠C=∠C所以添加∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC可得△ADC与△解析：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【详解】解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC，可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE，故答案为：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．0,3，另12．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C的坐标为()8,8，则点A的坐标为____________一个顶点B的坐标为()（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ根据线段的和差可得OQ可得答案【详解】解：作BP⊥y轴AQ⊥y轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ，CQ，根据线段的和差，可得OQ，可得答案．【详解】解：作BP⊥y轴，AQ⊥y轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．13．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD 再求出AD 的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE 在△ADE 和△CFE 中∴△ADE ≌△CFE ∴解析：4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ，再求出AD 的长即可．【详解】解：∵AB=6，BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵//CE AB∴∠BAC=∠FCE ，在△ADE 和△CFE 中BAC FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CFE∴CF=AD=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键．14．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE此时AE=BC=5可据此求出E 点的位置②Rt △CBA ≌Rt △DAE 此时AE=AB=12EB 重合【详解】解：①当AE=CB 时∵∠B=∠EA解析：5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE ，此时AE=BC=5，可据此求出E 点的位置．②Rt △CBA ≌Rt △DAE ，此时AE=AB=12，E 、B 重合．【详解】解：①当AE=CB 时，∵∠B=∠EAP=90°，在Rt △ABC 与Rt △DAE 中，AE CB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DAE （HL ），即AE=BC=5；②当E 运动到与B 点重合时，AE=AB ，在Rt △CBA 与Rt △DAE 中，AE AB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CBA ≌Rt △DAE （HL ），即AE=AB=12，∴当点E 与点B 重合时，△CBA 才能和△DAE 全等．综上所述，AE=5或12．故答案为：5或12．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．15．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解：∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在解析：AB//CD【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ，然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答．【详解】解：∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC在△ABF 和△CDE 中，,,,AB CD AF EC BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CDE （SSS ），∴∠DCE=∠BAF ．∴AB//CD ．故答案为：AB//CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键．16．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到ABACBC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ）从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3代入求出即 解析：33【分析】连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ），从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【详解】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是22，∴S△ABC＝12×AB×OE＋12×BC×OD＋12×AC×OF＝12×（AB＋BC＋AC）×3＝12×22×3＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．17．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为___．cm2【分析】如图延长AP交BC于T利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题【详解】解：如图延长AP交BC于T∵BP⊥AT∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP∠PBA=∠PBT∴△BPA≌解析：12cm2【分析】如图，延长AP交BC于T．利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题．【详解】解：如图，延长AP交BC于T．∵BP ⊥AT ，∴∠BPA=∠BPT=90°，∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==， 1122PBC ABC S S ∴==， 故答案为12cm 2. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．18．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°可得∠ACD ＝∠BCE 利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE 则BE ＝AD ∠DAC ＝∠EBC 再证明∠DBE ＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】解析：30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°，可得∠ACD ＝∠BCE ，利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE ，则BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ，再证明∠DBE ＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．【详解】解：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ．即∠ACD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∠ADC ＝∠BEC ，∴△ACD ≌△BCE ．∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ．∵∠DAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠EBC ＋∠ABC ＝90°．∴△BDE 为直角三角形．∵AB ＝17，BD ＝5，∴AD ＝AB －BD ＝12．∴S △BDE ＝12BD ⋅BE ＝30． 故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．19．ABC 中，4AB =，6AC =， 则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______．【分析】如图延长AD 至点E 使得DE=AD 可证△ABD ≌△CDE 可得AB=CEAD=DE 在△ACE 中根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围即可解题【详解】解：延长AD 至点E 使得DE=AD ∵点D 是BC解析：15a <<【分析】如图延长AD 至点E ，使得DE=AD ，可证△ABD ≌△CDE ，可得AB=CE ，AD=DE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．【详解】解：延长AD 至点E ，使得DE=AD ，∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△CDE 中，AD DE ADB CDE BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CDE （SAS ），∴AB=CE ，∵△ACE 中，AC-CE ＜AE ＜AC+CE ，即：AC-AB ＜AE ＜AC+AB ，∴2＜AE ＜10，∴1＜AD ＜5．故答案为：1＜AD ＜5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD ≌△CDE 是解题的关键．20．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．8【分析】由题意可得进而证明结合已知条件证明故根据分别求出与的面积即可【详解】在和中故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质熟记全等三角形的判定定理是解题关键解析：8【分析】由题意可得90ADC CEA ∠=∠=︒，进而证明EAH HCD ∠=∠，结合已知条件证明BEC HEA ∆≅∆，故8EC EA == ，根据AHC AEC AEH S S S ∆∆∆=-分别求出AEH S ∆与AEC S ∆的面积即可．【详解】AD BC ⊥，CE AB ⊥，90ADC CEA ∴∠=∠=︒，AHE CHD ∠=∠，EAH CEH HCD ADC ∴∠+∠=∠+∠，EAH HCD ∴∠=∠，在BEC △和HEA △中，90BEC HEA HCD EAHEB EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEC HEA AAS ∴≅，EC EA ∴=，8EA =，8EC ∴=，6EH =，11862422AEH S AE EH ∆∴=⨯⋅=⨯⨯=， 11883222AEC S AE EC ∆=⋅=⨯⨯=，32248AHC AEC AEH S S S ∆∆∆∴=-=-=．故答案为：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题关键．三、解答题21．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．解析：见解析【分析】根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．【详解】证明：∵DE=BF ，∴DE+EF=BF+EF ；∴DF=BE ；∵AF BD ⊥，CE BD ⊥∴∠AFD=∠CEB=90°∵//AD CB∴∠B=∠D在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △ADF ≌Rt △BCE∴AF CE =【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．如图，AD CB =，AB CD =．求证：ABC CDA ∠=∠．解析：见解析【分析】根据SSS 可证明△ABD ≌△CDB ，即可得∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD ，进而可证明结论．【详解】在ABD ∆和CDB ∆中AB CD AD CB BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABD CDB SSS ∴∆≅∆ABD CDB ∴∠=∠ADB CBD ∠=∠ABC ABD CBD ∠=∠-∠CDA CDB ADB ∠=∠-∠ABC CDA ∴∠=∠【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，利用SSS 证明△ABD ≌△CDB 是解题的关键． 23．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．（1）求证：ABC ADE △≌△．（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．解析：（1）详见解析；（2）52︒【分析】（1）先证明∠BAC=∠DAE ，即可根据SAS 证得结论；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．即∠BAC=∠DAE ．在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴ABC ADE △≌△；（2）∵42,86B C ∠=︒∠=︒，∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵ABC ADE △≌△，∴52DAE BAC ∠=∠=︒．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．24．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B 是直角时，如图1，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△． 第二种情况：当B 是锐角时，如图2，90B E ∠=∠<︒，BC EF =．（1）在射线EM 上是否存在点D ，使DF AC =？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF ；若不存在，请说明理由；（2）这种情形下，ABC 和DEF 的关系是 （选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；第三种情况：当B 是钝角时，如图3，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．（3）请判断这种情形下，ABC 和DEF 是否全等，并说明理由．解析：（1）存在，见解析；（2）不一定全等；（3）全等，见解析【分析】（1）根据尺规作图的方法画出图形即可．（2）根据题（1）所得两种情况及全等三角形的判定即可求解；（3）第三种情况：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N,先证明△CMA ≌△FND ，推出AM =DN ，推出AB =DE ，再证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】解：（1）存在，如图所示．射线EM 上有两个点满足要求．（2）不一定全等．如题（1）所示：由于满足条件的D 有两个，故△ABC 和△DEF 不一定全等，故答案为：不一定全等；（3）△ABC 和△DEF 全等．理由如下：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N ．∵ABC DEF ∠=∠，∴CBM FEN ∠=∠．∵CM AB ⊥，FN DE ⊥，∴90CMB FNE ∠=∠=︒．在△CBM 和△FEN 中，∵,,,CMB FNE CBM FEN BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBM ≌△FEN （AAS ）．∴BM EN =，∴CM FN =．在Rt △ACM 和Rt △DFN 中，∵,,AC DF CM FN =⎧⎨=⎩∴Rt △ACM ≌Rt △DFN （HL ）．∴AM DN =，∴AM BM DN EN -=-，即AB DE =．又∵BC EF =，∴△ABC 和△DEF （SSS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，学会作辅助线，难度适中．25．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______；（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______，根据图2证明你的猜想；（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）解析：（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β【分析】（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；（3）根据（1）与（2）直接得到结论．【详解】（1）证明：设AF 交BO 于G ，∵60AOB DOE ∠=∠=︒，∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA FGB ∠=∠，∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，∴60AFB AOB ∠=∠=︒， 故答案为：AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°证明：设AF 交BO 于G ，∵90AOB DOE ︒∠=∠=，∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA DGB ∠=∠，∴90AFB AOB ∠=∠=︒；故答案为：AD BE =，90°；（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=故答案为：AD BE =，β．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．26．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长． 解析：图见解析，9DE =或3DE =【分析】分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．【详解】解：如图1∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=DC+CE=9；如图2，∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=CE-CD=3；∴9DE =或3DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 27．如图，BC ⊥AD 于C ，EF ⊥AD 于F ，AB ∥DE ，分别交BC 于B ，交EF 于E ，且BC =EF ．求证：AF =CD ．解析：证明见解析．【分析】由BC ⊥AD ，EF ⊥AD 得∠EFD =∠BCA =90°，由AB ∥DE ，得∠D =∠A ，又BC =EF ，从而△ABC ≌△DEF ，则AC =FD ， AF =CD ．【详解】证明：∵BC ⊥AD ，EF ⊥AD ，∴∠EFD =∠BCA =90°∵AB ∥DE ，∴∠D =∠A∵BC =EF ，∴△ABC ≌△DEF ，∴AC =FD ，∴AF =CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 28．已知：如图，AC ＝BD ，BD ⊥AD 于点D ，AC ⊥BC 于点C ．求证：∠ABC ＝∠BAD ．解析：详见解析【分析】利用HL 证明Rt △ABD ≌Rt △BAC ，即可得到结论．【详解】∵BD ⊥AD ，AC ⊥BC ，∴∠D=∠C=90︒，在Rt △ABD 和Rt △BAC 中，AB BA BD AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC （HL ），∴∠ABC ＝∠BAD ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，根据题中的已知条件确定两个三角形的对应相等的条件，根据全等的判定定理证得这两个三角形全等是解题的关键．。
人教版 八年级数学上册 第11章 三角形 综合复习(含答案)
人教版八年级数学上册第11章三角形综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，102. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是()A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形3. 在△ABC中，∠A，∠C与∠B处的外角的度数如图所示，则x的值是()A．80 B．70 C．65 D．604. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°5. 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为()A．65°B．70°C．75°D．85°6. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为()A．7 B．8 C．9 D．107. 在△ABC中，若∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为()A．18°B．36°C．54°D．90°8. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是()A．8 B．9 C．10 D．119. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有()A．1种B．2种C．3种D．4种10. 如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大.若∠A减小x°,∠B增加y°,∠C增加z°,则x,y,z之间的关系是()A.x=y+zB.x=y-zC.x=z-yD.x+y+z=180二、填空题（本大题共5道小题）11. 把一副三角尺如图所示拼在一起，那么图中∠ABF＝________°.12. 如图，∠AOB＝50°，P是OB上的一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数为________时，△AOP为直角三角形．13. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为cm.14. 模拟某人为机器人编制了一段程序(如图)，如果机器人以2 cm/s的速度在平地上按照程序中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为________s.15. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）16. 如图，四边形ABCD是由四根木条钉成的，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由.17. 如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A和∠ACE的度数.18. 已知△ABC的周长是20，三边分别为a，b，c.(1)若b是最大边，求b的取值范围;(2)若△ABC是三边均不相等的三角形，b是最大边，c是最小边，且b=3c，a，b，c均为整数，求△ABC的三边长.19. 如图，AE，BO，CO分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D. 求证：∠1＝∠2.人教版八年级上册第11章三角形综合复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C【解析】若三条线段的长满足三角形的三边，则这三条线段长满足最小的两边之和大于地三边，由题意，A，B，D都能构成三角形，C中5＋6＝11<12，不能构成三角形．2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】D5. 【答案】B[解析] ∵DE⊥AB，∠A＝35°，∴∠CFD＝∠AFE＝55°.∴∠ACB＝∠D＋∠CFD＝15°＋55°＝70°.6. 【答案】C[解析] 设第三边的长为x，由三角形三边关系可得，4－1＜x＜4＋1，即3＜x＜5.由于第三边长为整数，因此x＝4，所以该三角形的周长为9.7. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，∴∠C＝6∠A. 设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝6x.由三角形内角和定理可得x＋3x＋6x＝180°，解得x＝18°，∴∠B＝3x＝54°.8. 【答案】C[解析] 设多边形有n条边，则n－2＝11，解得n＝13.故这个多边形是十三边形．故经过这一点的对角线的条数是13－3＝10.9. 【答案】C10. 【答案】A[解析] 根据题意,得∠A+∠ABC+∠ACB=180°①,变化后的三角形的三个角的度数分别是∠A-x°,∠ABC+y°,∠ACB+z°,∴∠A-x°+∠ABC+y°+∠ACB+z°=180°②,①②联立整理可得x=y+z.二、填空题（本大题共5道小题）11. 【答案】15[解析] 由题意，得∠F＝30°，∠EAD＝45°.因为∠EAD＝∠F＋∠ABF，所以∠ABF＝∠EAD－∠F＝15°.12. 【答案】90°或40°[解析] 若△AOP为直角三角形，则分两种情况：①当∠A＝90°时，△AOP为直角三角形；②当∠APO＝90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A＝40°.13. 【答案】19[解析] ∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD.∴△ABD 的周长-△ACD 的周长=(AB+BD+AD )-(AC+CD+AD )=AB-AC. ∵△ABD 的周长为25 cm ，AB 比AC 长6 cm ， ∴△ACD 的周长为25-6=19(cm).14. 【答案】16[解析] 由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，多边形的边数为36045＝8， 则所走的路程是4×8＝32(cm)， 故所用的时间是32÷2＝16(s)．15. 【答案】114[解析] 因为AB ∥CD ，所以∠BAB′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC ＝12∠BAB′＝22°.在△ABC 中，∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠2)＝114°.三、解答题（本大题共4道小题）16. 【答案】解：小明的做法正确．理由：连接AC.由三角形的稳定性可知，△ADE 被固定，不会变形，所以木条CD ，DA 也被固定，即AC 的长度被固定，因此△ABC 被固定，所以四边形ABCD 不会变形．17. 【答案】解:∵∠ADB=∠DBC+∠ACB ，∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°. ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABC=74°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°. ∵CE 是AB 边上的高， ∴∠AEC=90°.∴∠ACE=90°-∠A=44°.18. 【答案】解:(1)依题意有b≥a，b≥c.又∵a+c>b，∴a+b+c≤3b且a+b+c>2b，则2b<20≤3b，解得≤b<10.(2)∵≤b<10，b为整数，∴b=7，8，9.∵b=3c，且c为整数，∴b=9，c=3.∴a=20-b-c=8.故△ABC的三边长分别为8，9，3.19. 【答案】证明：∵AE，BO，CO分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠ABO＝12∠ABC，∠BAE＝12∠BAC，∠OCD＝12∠ACB.∵∠1＝∠ABO＋∠BAE，∴∠1＝12∠ABC＋12∠BAC＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB.又∵∠2＝90°－∠OCD＝90°－12∠ACB，∴∠1＝∠2.。
12.1 全等三角形 课件 初中数学人教版八年级上册(2021年)
E
∴AB=EB，BD=BC（全等三角形对应边相等），
∠D=∠C（全等三角形对应角相等）.
AB
C
∵AB=3cm，BC=5cm，∠D=30°，
∴BE=3cm，BD=5cm，∠C=30°.
新课讲解
合作探究
观察下列3组全等三角形的对应边和对应角，你能得出什么结论？
A
A
C
E
D
A
B
D
B
D
△ABC≌△DCB
B
C
AC=AE，BC=DE.
对应角：
∠A=∠A，
∠C=∠E，
∠ABC=∠ADE.
新课讲解
知识点3 全等三角形的性质
结论
1、全等三角形中，公共边一定是对应边. 2、全等三角形中，公共角一定是对应角. 3、全等三角形中，对顶角一定是对应角. 4、全等三角形中，最长的边与最长的边是对应边，最短的边与最短 的边是对应边，最大的角与最大的角是对应角，最小的角与最小的 角是对形状大小相同的图形均能
①只有两个三角形才能完全重合；完全重合
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同 ；对
③两个正方形一定是全等形；错，形状相同，大小不一定相同
④边数相同的图形一定能够重合. 错，形状大小都不一定相同
其中错误说法的个数为（ B ）
A.4
B.3
A
D
B
C
E
F
如图，△ABC≌△DEF，
AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）.
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）.
新课讲解
典例分析
例 2 如图，△ABD≌△EBC，如果AB=3cm，BC=5cm，∠D=30°，求BE
初中数学人教版八年级上册：第3讲 全等三角形(一)预习讲义
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积分别相等
D．所有等边三角形都是全等三角形
⑶如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝
D 度．
【例 2】⑴如图：△ABC≌△DBF，∠B 的对应角是
，∠C 的对应角是
，∠BAC 的对应
角是
；AB 的对应边是
，AC 的对应边是
A
B
C
知识点
典型范例
三边分别相等的两个三角形全等（可以简 写成“边边边”或“SSS”）．
在△ABC 和△DEF 中，
AB＝DE BC＝EF
E
AC＝DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
典例精练
【例 3】如图，已知△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 边上的中点．求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵D 是 BC 的中点，
ALeabharlann ∴．在△ABD 与△ACD 中，
_______ ∵ _______
AB = AC
B
D
C
∴△ABD≌△ACD（SSS）
3
【例 4】如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【例 5】如图，已知 AC，BD 相交于点 O，且 AB＝DC，AC＝DB，能得到∠A＝∠D 吗？为什么？
，BC 的对应边是
．
⑵如图，△ABC≌△CDA，AB 和 CD，BC 和 DA 是对应边，写出其他对应边及对应角．
⑶如图，△OCA≌△OBD，点 C 和点 B，点 A 和点 D 是对应顶点．写出这两个三角形中相等的
边和角．
A
C B
B O
D
人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形综合应用题解析
原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！GEAC FB A BD C 全等三角形综合应用经典题解析1、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C.2、如图，AP 平分∠EAF ，PC ⊥AE 于点C ，PB ⊥AF 于点B ，AP 交BC 于点H ． 求证：AP·BC=2AB·PB.3、已知：如图，DC ∥AB ，且DC=AE ，E 为AB 的中点，(1)求证：△AED ≌△EBC ． (2)除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．4、如图，在△ABC 中，BG=CG ，∠ACG=∠ABG ，求证：AG ⊥BC ．5、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BP ＝CP ，求证：AP ＝DP.6、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF.7、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB. 求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN.8、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.9、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠BAF=∠EAF.10、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C.AB CD AEC O B P C AD FA NEM BA BCPE H CF DABE ABC G原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！CA EB D F11、已知：AD 平分∠BAC ，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC.12、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.13、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上，求证：BC=AB+DC.14、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD+BD=BC.15、如图所示，AB ∥CD ，在AB 、CD 、BC 上各有一点E 、F 、P ，且BE ＝CF ，P 是BC的中点，试说明三点E 、F 、P 恰好在一条直线上.16、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC -AB=2BE.18、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．19、已知：如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF.20、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60º，AD+BC=AB=CD=2，求该四边形的面积.C AB D E B DC C B A DE DABCA FB E D C1 2 AB EC C F DP•A EB ••C原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！P DA CB21、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠BDC=30°，求∠DBC的度数.22、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC ＞AB ，求证：PC -PB ＜AC -AB.23、如图，P 是∠MAN 平分线上一点，PB ⊥AM 于点B ，点C 、D 分别在AM 、AN 上，∠ACP+∠ADP=180°，若AB=3cm ，求AC+AD 的长.24、如图在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，求证：MD=MN.25、如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F. 求证：(1)AE=BD ；(2)GF ∥BE.26、如图，△ABC 中，AB=AC ，点E 在AB 上，点F 在AC 延长线上，BE=CF ，连接EF ，交BC 于点D ，求证：DE=DF.27、如图，∠AOB=30°，OA=1，OB=3，点M 、N 分别为∠AOB 两边上的动点，求AN+NM+MB 的最小值.28、已知等边△ABC 内一点M ，AM=1，BM=3，CM=2，求∠AMC.29、如图，四边形ABCD 中AB ∥CD ，AB≠CD ，BD=AC ，求证：AD=BC.30、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF ＝2CD ．A B D C AD ACMB AD BCEA M EAFA D EB CN A C MP B原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！M DC ENE A BM D CN31、在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,直线MN 经过点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE. (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明； 若不成立，说明理由.32、求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高.33、如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，E 、F 分别是CA 、CB 边上的点且AE=2CE ，将BF=2CF ，△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN ，连接AM ，BN ．(1)求证：AM=BN ；(2)当MA ∥CN 时，若AC=3，求AM 的长．34、如图，在长方形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向长方内部折叠，当点A 的对应点A1恰落在∠BCD 的平分线上时，求CA1的长.【提示：若a·b =0，则a =0或b =0】35、如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点 E ，与CD 相交于点F ，点H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .(1)求证：BF=AC ； (2)求证：CE=0.5BF ；(3)CE 与BG 存在怎样的数量关系？试证明你的结论.36、如右图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，(1)若AB=4，BC=8， 求重合部分△EBD 的面积；(2)若CD=2，∠ADB=30°，求DE 的长．37、正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF ，BF ，如图。
八年级数学上册 三角形综合应用(讲义及答案)
三角形综合应用（讲义）知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向： 1. 三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________． 角：①______________________________________________；②_____________________________________________．2. 角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．3. 高线出现时考虑__________或__________．精讲精练1. 现有3 cm ，4 cm ，7 cm ，9 cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．103. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 4. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．C 21AABCD E第4题图 第5题图5. 如图，一个五角星的五个角的和是________．6. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．第2题图FEBA7. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________； （2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______； （4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1PNMABC D OO DCBA8. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C AB FA PP A CE图1 图2 图39. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O CM AND A第9题图 第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________； （2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．11. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，AC =3 cm ，BC =4 cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C EAF 12. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PCEFA【参考答案】知识点睛1. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 设元 3. 互余，面积 精讲精练 1. B 2. C3.①③⑤4.130°5.180°6.360°7.（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)8.（1）∠P=90°+12∠A；（2）∠P=12∠A；（3）∠P=90° 12∠A9.（1）90°（2）∠BOD=∠COE10.（1）245（2）3:211.3:4:612.（1）72（2）证明略三角形综合应用（讲义）知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：4.三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________．角：①______________________________________________；②_____________________________________________．5.角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．6.高线出现时考虑__________或__________．精讲精练13.现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A．5 B．6 C．7 D．1015.下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）．第2题图16. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．C 21AABCD E第4题图 第5题图17. 如图，一个五角星的五个角的和是________． 18. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．FEBA19. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________； （2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______； （4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1PNMABC D OO DCBA20. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C ABFPA PPA CE图1 图2 图321. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O CM AND A第9题图 第10题图22. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________； （2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．23. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，AC =3 cm ，BC =4 cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C EAF 24. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PEFA【参考答案】知识点睛4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．5.设元6.互余，面积精讲精练13.B14.C15.①③⑤16.130°17.180°18.360°19.（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)20.（1）∠P=90°+12∠A；（2）∠P=12∠A；（3）∠P=90° 12∠A21.（1）90°（2）∠BOD=∠COE22.（1）245（2）3:223.3:4:624.（1）72（2）证明略。
人教版初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典复习题(含答案解析)(1)
一、选择题1．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ）①13∠=∠；②180BAE CAD ∠+∠=︒；③若//BC AD ，则230∠=︒；④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】 利用同角的余角相等可判断①，利用角的和差与直角三角形的性质可判断②，利用平行线的性质先求解CAD ∠，再利用结论②可判断③，由150CAD ∠=︒，先求解230∠=︒， 如图，记,AB DE 交于,G 再求解90AGE ∠=︒，再利用三角形的外角的性质求解4∠， 从而可判断④．【详解】解：90BAC DAE ∠=∠=︒，122390∴∠+∠=∠+∠=︒，13∴∠=∠，故①符合题意， 19090180BAE CAD BAE DAE BAC DAE ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，故②符合题意；//,BC AD180C CAD ∴∠+∠=︒，45C ∠=︒，135CAD ∴∠=︒，218018013545CAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故③不符合题意； 150180CAD BAE CAD ∠=︒∠+∠=︒，，30BAE ∴∠=︒，如图，记,AB DE 交于,G60E∠=︒，180306090AGE∴∠=︒-︒-︒=︒，45,B C∠=∠=︒4904545.AGE B∴∠=∠-∠=︒-︒=︒4.C∴∠=∠故④符合题意，综上：符合题意的有①②④．故选：.C【点睛】本题考查的是角的和差，余角与补角，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．13，14，15D．12，3D解析：D【分析】计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可.【详解】∵4+5＞6，∴能构成三角形；∵1.5+2＞2.5，∴能构成三角形；∵14+15＞13，∴能构成三角形；∵2＜1+2=3，∴不能构成三角形；故选D.【点睛】本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键. 3．若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的值可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11A解析：A根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x 的取值范围，得到答案．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，x ，∴7-3＜x ＜7+3，即4＜x ＜10，四个选项中，A 中，4＜6＜10，符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°B解析：B【分析】 利用平行线和三角形外角的性质即可求解．【详解】∵//AB CD ，∴60DEF A ∠=∠=︒．∵DEF C F ∠=∠+∠，∴604020F DEF C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线和三角形外角的性质，熟练利用其性质找到角的等量关系是解答本题的关键．5．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 为BC 边上的一点，点E 在AC 边上，ADE AED ∠=∠，若10CDE ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．15°C ．10°D ．30°A【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EDC ，再根据∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 即可得出结论．【详解】解：∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+∠BAD-∠CDE∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC ，∵∠ADE=∠AED ，∴∠B+∠BAD-∠CDE=∠C+∠EDC ，∵∠B=∠C ，∴∠BAD=2∠EDC ，∵10CDE ∠=︒∴∠BAD=20°；故选：A【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC ∠的度数是（ ）A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒B解析：B【分析】 根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠CEA =60︒，∠BAE =45︒，∴∠ADE = 180︒−∠CEA −∠BAE =75︒，∴∠BDC =∠ADE =75︒，故选：B【点睛】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数为（）A．10 B．8 C．6 D．4A解析：A【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n-2）×180°，依题意得：（n-2）×180°=360°×4，解得：n=10，∴这个多边形的边数是10．故选：A【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程（n-2）×180°=360°×4．a b，含30角的直角三角板按如图所示放置，顶点A在直线a上，斜边8．已知直线//BC与直线b交于点D，若135∠=︒，则2∠的度数为（）A．35︒B．45︒C．65︒D．75︒C解析：C【分析】如图，根据三角形外角的性质可得出∠3，再根据平行线的性质可得出∠2．【详解】解：如图，∠=︒，∠B=30°∵135∴∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°a b∵//∴∠2=∠3=65°故选：C【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．解题时注意掌握平行线的性质以及三角形外角的性质的应用．9．下列长度的四根木棒，能与3cm ，7cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A ．3cmB ．10cmC ．4cmD ．6cm D解析：D【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】解：∵三角形的两边为3cm ，7cm ，∴第三边长的取值范围为7-3＜x ＜7+3，即4＜x ＜10，只有D 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．10．小红有两根长度分别为4cm 和8cm 的木棒，他想摆一个三角形，现有长度分别为3cm ，4cm ，8cm ，15cm 四根木棒，则他应选择的木棒长度为（ ）．A ．3cmB ．4cmC ．8cmD ．15cm C 解析：C【分析】设选择的木棒长为x ，根据第三边大于两边之差小于两边之和即可求出范围，再结合选项即可得出答案．【详解】由题意得，设选择的木棒长为x ，则8448x -<<+，即412x <<， ∴选择木棒长度为8cm ．故选C ．【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三边关系是解题的关键．二、填空题11．如图，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为________．180°【分析】两次运用三角形的外角定理求出∠B+∠C+∠D=∠2再通过三角形的内角和定理即可求解【详解】解：如图∵∠1是△CDF 外角∴∠C+∠D=∠1∵∠2是三角形BFG 外角∴∠B+∠1=∠2∴∠解析：180°【分析】两次运用三角形的外角定理求出∠B+∠C+∠D=∠2，再通过三角形的内角和定理即可求解【详解】解：如图，∵∠1是△CDF 外角，∴∠C+∠D=∠1，∵∠2是三角形BFG 外角，∴∠B+∠1=∠2，∴∠B+∠C+∠D=∠2，∴=2180A B C D E A E ∠+∠+∠+∠+∠∠+∠+∠=︒．故答案为：180°【点睛】本题考查了三角形的外角定理、内角和定理，通过三角形的外角定理将∠B+∠C+∠D 转化为∠2是解题关键．12．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线11【分析】先根据题意求出多边形的边数再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答【详解】设多边形的边数为n 则有(n-2)•180＋360=2520解得：n=1414-3=11即从这个多解析：11【分析】先根据题意求出多边形的边数，再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答．【详解】设多边形的边数为n ，则有(n -2)•180＋360=2520，解得：n =14，14-3=11，即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线，故答案为11．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，得到多边形的边数是解本题的关键．13．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．6【分析】根据DE 分别是三角形的中点得出G 是三角形的重心再利用重心的概念可得：2GD ＝AG 进而得到S △ABG ：S △ABD ＝2：3再根据AD 是△ABC 的中线可得S △ABC ＝2S △ABD 进而得到答案【详解析：6【分析】根据D ，E 分别是三角形的中点，得出G 是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD ＝AG 进而得到S △ABG ：S △ABD ＝2：3，再根据AD 是△ABC 的中线可得S △ABC ＝2S △ABD 进而得到答案．【详解】解：∵△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，∴2GD ＝AG ，∵S △ABG ＝2，∴S △ABD ＝3，∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．14．如图，在ABC ∆中，4ACB A ∠=∠，点D 在边AC 上，将BDA ∆沿BD 折叠，点A 落在点A '处，恰好BA AC '⊥于点E 且//BC DA '，则BDC ∠的度数为__________度．54°【分析】根据折叠的性质及题意可在Rt △BEC中求解∠C 及∠CBE 的度数从而计算∠ABD 的度数则∠BDC=∠A+∠ABD 即可计算出结果【详解】由题意可得：∠A=∠∠=∠CBE ∴则在Rt △BEC 中 解析：54°【分析】根据折叠的性质及题意，可在Rt △BEC 中求解∠C 及∠CBE 的度数，从而计算∠ABD 的度数，则∠BDC=∠A+∠ABD ，即可计算出结果．【详解】由题意可得：∠A=∠A '，∠A '=∠CBE ，∴44ACB A CBE ∠=∠=∠，则在Rt △BEC 中，∠C+∠CBE=90°，即：5∠CBE=90°，∠CBE=18°，∴∠A=18°，∠C=72°，∠ABC=90°，∴72ABA ABC CBE '=-=︒∠∠∠，由折叠性质可知，ABD A BD '∠=∠，∴=36ABD A BD '∠=∠︒，∴54BDC ABD A ∠=∠+∠=︒故答案为：54°．【点睛】本体三角形的折叠问题，平行线的性质及三角形的外角定理，理解图形变化中的特点，准确结合题意计算是解题关键．15．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可【详解】解：∵BD=DC ∴S △ABD=S △ADC=×6=3（cm2）∵AE=DE ∴S △AEB=S △AEC=×3=（cm2）∴S △BEC解析：3 2【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．【详解】解：∵BD=DC，∴S△ABD=S△ADC=12×6=3（cm2），∵AE=DE，∴S△AEB=S△AEC=12×3=32（cm2），∴S△BEC=6-3=3（cm2），∵EF=FC，∴S△BEF=12×3=32（cm2），故答案为32．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在一个四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．75°【分析】先根据四边形的内角和求出∠BAD+∠CDA然后再根据角平分线的定义求得∠EAD+∠EDA最后根据三角的内角和定理求解即可【详解】解：∵在四边形ABCD中∠ABC=80°∠BCD=70°解析：75°．【分析】先根据四边形的内角和求出∠BAD+∠CDA，然后再根据角平分线的定义求得∠EAD+∠EDA,最后根据三角的内角和定理求解即可．【详解】解：∵在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠BCD=70°∴∠BAD+∠CDA=360°-80°-70°=210°∵∠EAD=12∠BAD，∠EDA=12∠CAD∴∠EAD+∠EDA=1（∠BAD+∠CDA）=105°2∴∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA）=180°-105°=75°．故答案为75°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和以及角平分线的相关知识，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．17．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．15【分析】记三角形的第三边为c先根据三角形的三边关系确定c的取值范围进而可得三角形第三边的最大值与最小值进一步即可求出答案【详解】解：记三角形的第三边为c则7－3＜c＜7+3即4＜c＜10因为第三解析：15【分析】记三角形的第三边为c，先根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而可得三角形第三边的最大值与最小值，进一步即可求出答案．【详解】解：记三角形的第三边为c，则7－3＜c＜7+3，即4＜c＜10，因为第三边长为奇数，所以三角形第三边长的最大值是9，最小值是5，所以三角形的周长最大值是3+7+9=19；最小值是3+7+5=15；故答案为：19，15．【点睛】本题考查了三角形的三边关系与不等式组的整数解，属于基础题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．18．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95 ，王老师沿公园边由A点经B→C→D→E，一直到F时，他在行程中共转过了_____度．275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数由多边形的外角和即可求解【详解】解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数∵多边形的外角和为360°∴解析：275王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，由多边形的外角和即可求解．【详解】解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，∵多边形的外角和为360°，∴他在行程中共转过了()36018095275︒-︒-︒=︒，故答案为：275．【点睛】本题考查多边形的外角和，明确王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数是解题的关键．19．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=︒，54ACB ∠=︒，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．120°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数再根据CF是AB 上的高得出∠ACF 的度数再由三角形外角的性质即可得出结论【详解】解：∵∠ABC=66°∠ACB=54°∴∠A=60°∵CF 是AB 上解析：120°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数，再根据CF 是AB 上的高得出∠ACF 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=60°，∵CF 是AB 上的高，∴在△ACF 中，∠ACF=180°-∠AFC-∠A=30°，在△CEH 中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．故答案为120°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质、三角形的高线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角）直角【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数即可得出答案【详解】180°÷(1+2+3)×3=180°÷6×3=30°×3=90°答：这个三角形中最大的角是直角故答案解析：直角【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案．【详解】180°÷(1+2+3)×3=180°÷6×3=30°×3=90°，答：这个三角形中最大的角是直角．故答案为：直角．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出这个三角形的最大内角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．三、解答题21．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1．（1）∵BA1、CA1是∠ABC与∠ACD的平分线，∴∠A1BD＝12∠ABD，∠A1CD＝12∠ACD，∴∠A1CD﹣∠A1BD＝12（∠ACD﹣∠ABD），∵∠A1CD﹣∠A1BD＝，∠ACD﹣∠ABD＝∠，∴∠A1＝．（2）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D＝230°，求∠F的度数．（3）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1，若E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q﹣∠A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．解析：（1）∠A1，A，12∠A；（2）25°；（3）①的结论是正确的，且这个定值为180°．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠A1BD＝12∠ABC，∠A1CD＝12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，则可得出答案；（2）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）＝180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）＝180°﹣2∠F，从而得出结论；（3）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A1＝∠AEC+∠ACE＝2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．【详解】解：（1）∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，∴∠A1BD＝12∠ABD，∠A1CD＝12∠ACD，∴∠A1CD﹣∠A1BD＝12（∠ACD﹣∠ABD），∵∠A1CD﹣∠A1BD＝∠A1，∠ACD﹣∠ABD＝∠A，∴∠A1＝12∠A．故答案为：∠A1，A，12∠A；（2）∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）＝180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）＝180°﹣2∠F，∴360°﹣（∠A+∠D）＝180°﹣2∠F，2∠F＝∠A+∠D﹣180°，∴∠F＝12（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A+∠D＝230°，∴∠F＝25°；（3）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC＝∠AEC+∠ACE＝2（∠QEC+∠QCE）；即：2∠A1＝2（180°﹣∠Q），化简得：∠A1+∠Q＝180°，因此①的结论是正确的，且这个定值为180°．【点睛】此题考查三角形的角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．22．在ABC ∆中，已知3,7AB AC ==，若第三边BC 的长为偶数，求ABC ∆的周长． 解析：周长为16或18．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边BC 的长为偶数求出符合条件的BC 值，即可求出周长．【详解】 解：在ABC ∆中，3,7AB AC ==，∴第三边BC 的取值范围是：410,BC <<∴符合条件的偶数是6或8，∴当6BC =时，ABC ∆的周长为：36716++=；当8BC =时，ABC ∆的周长为：37818++=．ABC ∆∴的周长为16或18．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．23．如图，AF ，AD 分别是ABC 的高和角平分线，且34B ∠=︒，76C ∠=︒，求DAF ∠的度数．解析：21︒【分析】运用三角形的内角和定理即可求出∠BAC 的度数；根据角平分线的定义、三角形的内角和定理的推论以及直角三角形的两个锐角互余即可求出∠FAC 的度数，再由DAF DAC FAC =-∠∠∠即可得出结论．【详解】解：∵AF 是ABC 的高，∴90AFC ∠=︒，∴90907614FAC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴180180763470BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 是ABC 的角平分线， ∴11703522DAC BAC ==⨯︒=∠∠︒， ∴21DAF DAC FAC =-∠=∠∠︒．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 24．如图①，ABC 中，BD 平分ABC ∠，且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D ．（1）若75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，求D ∠的度数；（2）若把A ∠截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系，并说明理由．解析：（1）30D ∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D 、∠A 的等式，推出∠A=2∠D ，最后代入求出即可；（2）根据（1）中的结论即可得到结论．【详解】解：ACE A ABC ∠=∠+∠， ACD ECD A ABD DBE ∴∠+∠=∠+∠+∠，DCE D DBC ∠=∠+∠，又∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACE ∠，ABD DBE ∴∠=∠，ACD ECD ∠=∠，()2A DCE DBC ∴∠=∠-∠，D DCE DBC ∠=∠-∠，2A D ∴∠=∠，75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，60A ∴∠=︒，30D ∴∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒； 理由：延长BM 、CN 交于点A ，则180A BMN CNM ∠=∠+∠-︒，由（1）知，12D A ∠=∠， ()11802D M N ∴∠=∠+∠-︒．【点睛】此题考查三角形内角和定理以及角平分线的定义的综合运用，解此题的关键是求出∠A=2∠D ．25．已知一个n 边形的每一个内角都等于120°．（1）求n 的值；（2）求这个n 边形的内角和；（3）这个n 边形内一共可以画出几条对角线？解析：（1）6；（2）720°；（3）9条【分析】（1）分别用两个式子表示多边形的内角和，列出方程，求解即可；（2）根据多边形内角和公式即可求解；（3）根据对角线的定义求出每个顶点的对角线条数，再求解即可．【详解】解：（1）由题意得()2180120n n -︒=︒，解得 6n =．（2）()62180720-⨯︒=︒，所以这个多边形的内角和为720°．（3）六边形每个顶点可以引6-3=3条对角线， 所以一共可画6392⨯=条对角线． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形对角线的定义，熟记多边形的内角和公式，理解对角线的定义是解题关键．26．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC ∠=︒，70C ∠=︒．求EAD ∠和∠BOE 的度数．解析：10EAD ∠=︒，55BOE ∠=︒【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE 是角平分线，求出∠EAC=12∠BAC=30°，由AD 是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根据角平分线的性质，得∠OAB=12∠BAC ，∠OBA=12∠ABC ，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC ）=12（180°-∠C ）=12×（180°-70°）=55°． 【详解】解：∠B AC =60°，∠C =70°∴∠ABC =180°−∠ABC −∠C =180°−60°-70°=50°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC =12∠BAC =12×60°=30°， ∵AD 是高，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°−∠C =90°−70°=20°，∴∠DAE =∠EAC −∠CAD =30°−20°=10°；∵AE ，BF 是角平分线，∴∠OAB =12∠BAC ,∠OBA =12∠ABC ， ∴∠BOE =∠OAB +∠OBA =12(∠BAC +∠ABC )=12(180°−∠C )=12×(180°−70°) =55°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27．如图，已知直线//AB CD ，直线EF 分别交直线AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于一点P ．试说明：90P ∠=︒．解析：证明见解析【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得出结论．【详解】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=12∠BEF，∠PFE=12∠DFE，∴∠PEF+∠PFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．28．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式．解析：（1）10︒；（2）11 22βα-【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，得到∠BAE的度数，求出∠AED的度数，根据AD是高线，求得答案；（2）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，得到∠BAE的度数，求出∠AED的度数，根据AD是高线，求得答案．【详解】（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC=18080B C ︒-∠-∠=︒，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=1402BAC ∠=︒， ∴∠AED=∠B+∠BAE=80︒,∵AD 是高线，∴AD ⊥BC ，∴∠DAE=9010AED ︒-∠=︒；（2）∵∠B ＝α，∠C ＝β，∴∠180180BAC B C αβ=︒-∠-∠=︒--,∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=121902B C ︒-∠-∠=121902αβ︒-- ∴∠AED=∠B+∠BAE=121902B C ︒+∠-∠=121902αβ︒+- ∵AD 是高线，∴AD ⊥BC ， ∴∠DAE=190212AED C B ︒-∠=∠-∠=1122βα-， 故答案为：1122βα-． 【点睛】此题考查三角形的基础知识，三角形的角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，直角三角形两锐角互余，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．。
第12章全等三角形模型一：一线三等角讲义2022—2023学年人教版数学八年级上册
一线三等角模型构造全等三角形【模型说明】在初中数学《全等三角形》中有许多的模型，这些模型是数学重要知识点的总结与运用，很多几何题中都有数学模型的影子，掌握好这些模型，孩子们学习几何就会比较简单，成绩不会差。
今天我要与大家分享是“一线三等角”模型，那么什么是“一线三等角”？顾名思义，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。
这个模型贯穿初中几何的始终。
下面我们具体分析一下这个模型。
【同侧型一线三等角（常见）】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角直角一线三等角 钝角一线三等角∠FAC=∠ABD=∠CED 添加任一边相等【基础训练】1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=︒，点B 在直线l 上，过A 作AD l ⊥于D ，过C 作CE l ⊥于E ．下列给出四个结论：①BD CE =；②BAD ∠与BCE∠互余；③AD CE DE +=．其中正确结论的序号是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的长．3．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE ⊥直线m，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．4．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．5．在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．6．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长．7.如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E ，F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BAC ．求证：△ABE ≌△CAF ．8．如图，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE ⊥AC 于B ，且DC ＝EC ，能否在△BCE 中找到与AB+AD 相等的线段，并说明理由．9、如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠A ＝36°时，求∠DEF 的度数．10.如图，在ABC ∆中，2==AC AB ，︒=∠36B ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作︒=∠36ADE ，DE 交线段AC 于点E.线段DC 的长度为何值时，DCEABD∆≅∆请说明理由；【提升训练】1．在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD ⊥MN于D（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD；（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD；（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．ADEB C3．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．5．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F 处，则CE＝．（不要求写过程）6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC 于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH 于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝18cm，∠B＝∠C，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A 运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请说明理由．（2）若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请求出此时两点的速度．（3）若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿△ABC 三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在△ABC的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．。
初中数学人教版八年级上册三角形综合应用(习题及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料三角形综合应用（习题）➢ 例题示范例1：如图，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ． 求证：∠DCE =∠CAD ．DEA【思路分析】①看到条件BD ，CD 平分∠ABC ，可知AD 也平分∠BAC ，得到：12DAC BAC ∠=∠，12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠；②根据CE ⊥BD ，得90DEC ∠=︒，所以90DCE EDC ∠+∠=︒；③题目所求为∠DCE =∠CAD ，若能够说明90CAD EDC ∠+∠=︒即可； ④根据三角形的内角和定理得：180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，所以90CAD DBC DCB ∠+∠+∠=︒，再根据三角形的外角定理可知EDC DBC DCB ∠=∠+∠，所以90CAD EDC ∠+∠=︒，证明成立． 【过程书写】 证明：如图，∵BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB∴12DAC BAC ∠=∠，12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠在△ABC 中，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒ ∴90CAD DBC DCB ∠+∠+∠=︒ ∵∠EDC 是△BCD 的一个外角 ∴EDC DBC DCB ∠=∠+∠ ∴90CAD EDC ∠+∠=︒ ∵CE ⊥BE ∴90DEC ∠=︒ ∴90DCE EDC ∠+∠=︒ ∴∠DCE =∠CAD➢ 巩固练习DEA1. 现有2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）A ．∠B +∠A =∠C B ．∠A :∠B :∠C =2:3:5 C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角3. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=___________．第2题图124. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________． F EDCBAOC BA第4题图 第5题图5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若∠CAB 与∠CBA 的平分线相交于点O ，则∠AOB =__________．6. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 与外角平分线CE 的反向延长线交于点D ，若∠A =30°，则∠D =________．FECBA7. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ，若∠B =40°，∠C =70°，则∠DF E =________．F E DBAG H FE DCBA 21第7题图 第8题图8. 如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，且满足BE ⊥AC ，F 为AB 上一点，且CF ⊥AD 于点H ．下列结论：①线段AG 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABC 的中线；③线段AE 是△ABG 的边BG 上的高；④△ABG 与△DBG 的面积相等．其中正确的结论有________（填序号）． 9. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，BC =4 cm ，则△ABC 的高AD 与CE 的比是__________． 10. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC =50°，∠C =60°，求∠CAD 及∠AOB 的度数．OFE D BA➢ 思考小结1. 三角形有关性质：E D C B A（1）“X 型”：（2）“角平分线模型”E1902P A ∠=︒+∠ 12P A ∠=∠ 1902P A ∠=︒-∠【参考答案】➢ 巩固练习 1. A 2. C 3. 270° 4. 360° 5. 135° 6.15°7.15°8.①③④9.1:210.∠CAD=30°，∠AOB=120°➢思考小结1.大于，小于，180°，和它不相邻的两个内角的和2.略。
人教版初中数学八年级上册第十一章：三角形(全章教案)
第十一章三角形本章主要内容有三角形的有关线段、与三角形有关的角、多边形及其内角和．三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础．本章将在学习与三角形有关的线段(三角形的高、中线和角平分线)和角(三角形的内角、外角)的基础上学习多边形的有关知识，如借助三角形的内角和探究多边形的内角和．学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法．在中考中，本章考查的重点是三角形的有关线段、角，多边形及其内角和．【本章重点】三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式．【本章难点】三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．【本章思想方法】1．体会和掌握分类讨论思想．如：解决已知等腰三角形的周长和一边长的相关问题或与三角形高相关的问题，需要分类讨论．2．体会方程思想．如：根据多边形内角和公式可以建立方程，从而运用方程思想解决相关问题．11．1与三角形有关的线段3课时11．2与三角形有关的角3课时11．3多边形及其内角和2课时11．1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解三角形的表示法、分类法以及三边存在的关系，发展空间观念．【过程与方法】经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单、最基本的几何图形，提高推理能力．【情感态度与价值观】培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值．二、重难点目标【教学重点】掌握三角形三边关系．【教学难点】三角形三边关系的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．如图，线段AB、BC、CA是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶点，∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．3．三角形的表示：顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．4．等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．5．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．6．三角形按边的相等关系分类如下：三角形⎩⎨⎧三边都不相等的三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形5．三角形三边关系：三角形的两边的和大于第三边．推论：三角形两边的差小于第三边．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A ．2,3,5 B ．5,6,10 C ．1,1,3D ．3,4,9【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边．A 中，2＋3＝5，不能组成三角形；B 中，5＋6＞10，能组成三角形；C 中，1＋1＜3，不能组成三角形；D 中，3＋4＜9，不能组成三角形．故选B.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)判定三条线段能否组成三角形，只需判定两条较短线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【例2】用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？【互动探索】(引发学生思考)(1)等腰三角形的周长是18厘米→列方程求解；(2)等腰三角形的周长为18厘米→分类讨论：已知边长是腰长还是底边长→得三角形另外两边长→三角形三边关系进行判断．【解答】(1)设底边长为x 厘米，则腰长为2x 厘米． 根据题意，得x ＋2x ＋2x ＝18，解得x ＝3.6. ∴三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米． (2)分情况讨论：当4厘米长为底边长时，设腰长为x 厘米，则 4＋2x ＝18，解得x ＝7.此时等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；当4厘米长为腰长时，设底边长为x 厘米，则4×2＋x ＝18，解得x ＝10. ∵4＋4<10，∴此时不能构成三角形，故可围成满足条件的等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米、4厘米．【互动总结】(学生总结，老师点评)当已知等腰三角形的周长和一边长时，需要分类讨论已知的一边长是腰长还是底边长，再解决问题．活动2巩固练习(学生独学)1．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形任意两边的和大于第三边；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知a、b、c为三角形的三边，则︱a＋b―c︱－︱b－c－a︱的化简结果是(D) A．2a B．－2bC．2a＋2b D．2b－2c3．已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，且它的周长大于14 cm，则第三边长为6 cm.4．三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．解：2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11．1.2三角形的高、中线与角平分线(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义．2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．【过程与方法】会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)、三条中线、三条角平分线都分别交于一点．【情感态度与价值观】通过对问题的解决，分别培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．二、重难点目标【教学重点】理解三角形的高、中线与角平分线．【教学难点】会利用三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P4～P5的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.2．在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.3．在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)1．画三角形的高．如图，线段AD是△ABC中BC边上的高．注意：标明垂直符号和垂足的字母．教师点拨：回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”的画法．讨论1：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条高线相交于一点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点.2．画三角形的中线．如图，线段AD是△ABC中BC边上的中线．讨论2：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条中线相交于一点；(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部.3．画三角形的角平分线．如图，线段AD是△ABC的一条角平分线，则∠BAD＝∠CAD.讨论3：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条角平分线相交于一点；(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部.活动2巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC中，EF∥AC，BD⊥AC于点D，交EF于点G，则下面说法中错误的是(C)A．BD是△ABC的高B．CD是△BCD的高C．EG是△ABD的高D．BG是△BEF的高2．如图，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝30度．3．如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，BC＝8 cm，求边AC的长．解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD＝BD.∵△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，∴(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝3 cm，∴BC－AC＝3 cm.又∵BC＝8 cm，∴AC＝5 cm.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11.1.3三角形的稳定性(第3课时)一、基本目标【知识与技能】通过实践活动，使学生掌握三角形的稳定性．【过程与方法】培养学生从周围生活中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题的能力，使学生体验到数学与日常生活的密切联系．【情感态度与价值观】在活动中培养学生知识迁移的能力和创造性思维．二、重难点目标【教学重点】三角形具有稳定性．【教学难点】三角形的稳定性在实际生活中的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．2．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这是为了防止窗框变形.3．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：三角形具有稳定性.4．下列设备，没有利用三角形的稳定性的是(A)A．活动的四边形衣架B．起重机C．屋顶三角形钢架D．索道支架环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)动手操作探究三角形的稳定性．①如图1，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？图1图2图3②如图2，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？③在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连结起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？从上面的实验过程中你能得出什么结论？与同学交流．(2)了解四边形的不稳定性的应用．四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？【互动探索】(引发学生思考)三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变．这就是说，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．【解答】(1)①不会改变．②会改变．③不会改变．原因：斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形具有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．从上面的实验得出：三角形具有稳定性．(2)有应用价值，实例不唯一，如：活动2巩固练习(学生独学)1．下列图形中具有稳定性的是(B)A．平行四边形B．等腰三角形C．长方形D．梯形2．下列实际情景运用了三角形稳定性的是(C)A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒活动3拓展延伸(学生对学)【例2】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？【互动探索】三角形具有稳定性，怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？【解答】①四边形木架至少需要钉上1根木棍；②五边形木架至少需要钉上2根木棍；③六边形木架至少需要钉上3根木棍．如图所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)n边形沿一个顶点的对角线添加(n－3)条木棍后就具有稳定性．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和定理一、基本目标【知识与技能】1．理解“三角形三个内角的和等于180°”．2．能运用三角形内角和定理进行计算．【过程与方法】通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】三角形内角和定理．【教学难点】三角形内角和定理的推导、验证．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．图1图2图1：30°＋60°＋90°＝180°；图2：45°＋45°＋90°＝180°.2．探索任意三角形的内角和都为180°.(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．(2)动手把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，如图．用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.(3)把∠B和∠C剪下拼在一起，如图．用量角器量一量∠MAN的度数，可得到∠BAC ＋∠B＋∠C＝180°.(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.3．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C＝40°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？(方法一)分析与解答过程见教材P12～P13.(方法二)【互动探索】(引发学生思考)过点C作AD的垂线，求∠ACB的度数可转化为利用平角为180°来求解．【解答】∠ABC的求法同“方法一”．如图，过点C作CF⊥AD，则CH⊥BE.∵∠ACF＝180°－∠DAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，∴∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°－40°－50°＝90°.故从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.【例2】如图，D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于点F ，交AC 于点E .若∠A ＝46°，∠D ＝50°，求∠ACB 的度数．【互动探索】(引发学生思考)DF ⊥AB ，∠D ＝50°→得∠B 的度数，结合∠A ＝46°→得∠ACB 的度数(三角形内角和定理)．【解答】∵DF ⊥AB ， ∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°， ∴∠B ＝40°. 又∵∠A ＝46°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角形的内角，一般要用到三角形内角和定理．解决问题时，要根据图形特点，在不同的三角形中灵活运用三角形内角和定理求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝50°.2．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.3．已知△ABC 中，DE ∥BC ，∠AED ＝50°，CD 平分∠ACB ，求∠CDE 的度数．解：∵DE ∥BC ，∠AED ＝50°， ∴∠ACB ＝∠AED ＝50°. ∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD ＝12∠ACB ＝25°.又∵DE ∥BC ，∴∠CDE＝∠BCD＝25°.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.请完成本课时对应练习！第2课时直角三角形的两锐角互余一、基本目标【知识与技能】理解并掌握直角三角形的两锐角互余及其逆定理．【过程与方法】通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】直角三角形的两锐角互余．【教学难点】判断三角形是直角三角形的方法．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P13～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C ＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.2．直角三角形的两个锐角互余.3．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.4．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．5．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于70°.环节2合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，DF ⊥AB ，∠A ＝40°，∠D ＝43°，则∠ACD 的度数是________.【互动探索】(引发学生思考)DF ⊥AB ，∠A ＝40°→∠AEF ＝50°(直角三角形的两个锐角互余)→∠CED ＝50°(对顶角相等)，结合∠D ＝43°→∠ACD ＝87°(三角形内角和定理)．【答案】87°【互动总结】(学生总结，老师点评)“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．【例2】在△ABC 中，如果∠A ＝12∠B ＝13∠C ，那么△ABC 是什么三角形？【互动探索】(引发学生思考)分析法：要判断三角形的形状，应从三角形的边或角入手→已知∠A 、∠B 、∠C 的数量关系→△ABC 各内角的度数→△ABC 的形状．【解答】设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝3x . 根据题意，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°， ∴△ABC 是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)已知三角形内角的数量关系，可以利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判断三角形的形状．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝∠C ，则△ABC 是( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，若∠BOD ＝38°，则∠A ＝52°.3．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠1＝∠B ，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形．请完成本课时对应练习！11.2.2三角形的外角(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．三角形的外角的定义和性质．2．能利用三角形的外角性质解决问题．【过程与方法】通过合作研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的合作意识和沟通、表达能力．【情感态度与价值观】通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学方法，培养主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯．二、重难点目标【教学重点】与三角形的外角有关的性质．【教学难点】三角形外角性质的推导．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2．试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到点D，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，即∠ACD＝∠A＋∠B.3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4．△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？(方法一)见教材P15解答过程．(方法二)【互动探索】(引发学生思考)考虑利用平角的性质与三角形的内角和定理求解．【解答】∵∠BAE＝180°－∠1，∠CBF＝180°－∠2，∠ACD＝180°－∠3，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝540°－180°＝360°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)由此题可以得出：任意三角形的外角和都等于360°.(2)拓展：任意多边形的外角和都等于360°(同学们可自行进行证明)．活动2巩固练习(学生独学)1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于(B)A．120° B．105°C．60° D．45°2．求下列各图中∠1的度数．解：左图：∠1＝90°；中图：∠1＝80°；右图：∠1＝95°.3．求下列各图中∠1和∠2的度数．。