高一数学知识点：元素与集合的关系
高中数学：1.1.1集合的概念
1．1 集合与集合的表示方法1．1．1 集合的概念1．了解集合的概念． 2．理解元素与集合的关系． 3．掌握集合中元素的特性的应用．1．集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．通常用英语大写字母A ，B ，C ，…表示．(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a ，b ，c ，…表示．2．元素与集合的关系 知识点关系 概念记法 读法 元素与集合的关系属于如果a 是集合A 的元素，就说a 属于Aa ∈A“a 属于A ” 不属于 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于Aa ∉A“a 不属于A ”元素 意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a 和集合A ，a ∈A 与a ∉A 必居其一互异性 集合中的元素互不相同，即a ∈A 且b ∈A 时，必有a ≠b无序性集合中的元素可以任意排列顺序4集合⎩⎨⎧空集：不含任何元素，记作∅非空集合：按含有元素的个数分为⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素无限集：含有无限个元素5．常用数集的意义及表示意义名称记法非负整数全体构成的集合自然数集N在自然数集内排除0的集合正整数集N＋或N*整数全体构成的集合整数集Z有理数全体构成的集合有理数集Q实数全体构成的集合实数集R1．下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2016届本科生D．满足3x－2＞x＋3的全体实数答案：A2．设M是所有偶数组成的集合，下列选项正确的是()A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．2∉M答案：C3．方程x2－2x＋1＝0的解集中有________个元素．答案：14．指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011≤x≤2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．答案：(1)有限集(2)无限集集合概念的理解判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点．【解】(1)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(2)类似于(1)，也能构成集合．(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．判断一组对象构成集合的依据判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的，如果是“确定无疑”的，就可构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．下列各组对象能构成集合的有________(填序号)．①中国农业银行的所有员工； ②我国的大河流； ③不大于3的所有自然数；④在平面直角坐标系中，和原点距离等于1的点； ⑤未来世界的高科技产品； ⑥所有的好心人．解析：①能，①中的对象是确定的；②不能，“大”无明确标准；③能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；④能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是“和原点的距离等于1”，故能组成一个集合；⑤不能，“高科技”的标准不能确定；⑥不能，没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心人”．答案：①③④元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3扫一扫 进入91导学网(www ．91daoxue ．com )元素与集合的关系【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C ．【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可． 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2解析：选D ．因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0即－4<a ≤－2．集合中元素的特性已知集合P 中有三个元素a －3，2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 【解】 因为－3∈P ，a 2＋4≥4， 所以a －3＝－3或2a －1＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1．经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1，4，满足集合中元素的互异性； a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3，5，也满足集合中元素的互异性． 综上可知，a 的值为0或－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．解：若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1， 即a ＝±1． 当a ＝1时，集合A 有重复元素，不符合互异性， 所以a ≠1； 当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1， 符合互异性． 所以a ＝－1．1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特性．利用集合中元素的三个特性，一方面可以判断一些对象是否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题．2．(1)符号“∈”“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系；(2)a ∈A 与a ∉A 取决于a 是不是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性，对任何a 与A ，在a ∈A 与a ∉A 这两种情况中必有一种且只有一种成立．初学者由于对集合中元素的特性把握不准，而容易忽视集合中元素的互异性致错．1．下列各组对象，能构成集合的是( ) A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点 B ．平面内两边之和小于第三边的三角形 C ．新华书店中有意义的小说 D ．π(π＝3．141…)的近似值的全体解析：选B ．选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为∅，故能构成集合．2．所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉∅；③0∈N ＋；④－3∉N ．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．①②④正确，③错误，故选C ．3．由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．“book 中的字母”构成的集合中有b ，o ，k 共3个元素．4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时， 满足题意，故m ＝3． 答案：3[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( ) A ．2017年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目 B ．某学校高一年级高个子的学生 C ．2的近似值D ．2016年全国经济百强县解析：选D ．由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数， (4)正确．故选B ．3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D ．因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D ．4．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A解析：选C ．因为－1＝3×0－1∈A ，故A 错； －11＝3×(－4)＋1＝3×(－3)－2∉A ，故B 错； －34＝3×(－11)－1∈A ，故D 错； 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A ，故C 正确．5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A ．x 2＝|x |，－3x 3＝－x ． 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x ．通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 含有三个元素3，4，6，且当a ∈A ，有8－a ∈A ，那么a ＝________． 解析：若a ＝3，则8－a ＝5∉A ，故a ≠3； 若a ＝4，则8－4＝4∈A ，故a ＝4合适； 若a ＝6，则8－6＝2∉A ，故a ≠6． 答案：48．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2．所以集合中的元素为2，0，－2． 即元素的个数为3． 答案：39．由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同一个集合，求a 2 017＋b 2 017的值．解：由a ，ba ，1组成一个集合，可知a ≠0，且a ≠1．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)， 所以a 2 017＋b 2 017＝(－1)2 017＋0＝－1．10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R ． (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1．若－3＝a －3，则a ＝0．此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1．此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1． (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1． 当a ＝a －3时， 有0＝－3，不成立； 当a ＝2a －1时，有a ＝1， 此时A 中有两个元素－2，1， 符合题意．综上知a ＝1．[B 能力提升]11．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C ．集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．12．已知集合A 中的元素满足ax 2－bx ＋1＝0，又集合A 中只有唯一的一个元素1，则实数a ＋b 的值为________．解析：当a ≠0时，由题意可知方程ax 2－bx ＋1＝0有两个相等的实数根， 故⎩⎨⎧1＋1＝－－ba，1×1＝1a，解得a ＝1，b ＝2．故a ＋b ＝3．当a ＝0时，b ＝1，此时也满足条件， 所以a ＋b ＝1， 故a ＋b 的值为1或3． 答案：1或313．已知集合A 中含有1，0，x 这三个元素． (1)求实数x 的取值范围； (2)若x 2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x 的取值范围为x ≠1，x ≠0的实数．(2)若x 2＝0，则x ＝0，此时三个元素为1，0，0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x 2＝1，则x ＝±1．当x ＝1时，集合中元素为1，0，1，舍去； 当x ＝－1时，集合中元素为1，0，－1，符合题意． 若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合元素的互异性， 所以x ＝－1．14．(选做题)某研究性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1，2，3，…，8．现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x 号同学去，则8－x 号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：(1)若只有一个名额，请问应该派谁去？ (2)若有两个名额，则有多少种分派方法？解：(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合，记作M ，则有x ∈M ，8－x ∈M ． 若只有一个名额，即M 中只有一个元素，必须满足x ＝8－x ，故x ＝4，所以应该派学号为4的同学去．(2)若有两个名额，即M 中有且仅有两个不同的元素x 和8－x ，从而全部含有两个元素的集合M 应含有1，7或2，6或3，5．也就是两个名额的分派方法有3种．。
2023高一数学最新人教版知识点
2023高一数学最新人教版知识点2023高一数学最新人教版知识点1元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
集合与集合之间的关系某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。
空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。
任何集合是它本身的子集。
子集，真子集都具有传递性。
『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。
若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B 的真子集，一般写作A?B。
中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
』2023高一数学最新人教版知识点2圆的方程定义：圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
直线和圆的位置关系：1、直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。
①Δ>0，直线和圆相交。
②Δ=0，直线和圆相切。
③Δ<0，直线和圆相离。
方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较。
①dR，直线和圆相离。
2、直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程。
求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
3、直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。
切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；⑵过切点的半径垂直于切线；⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点；⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心；当一条直线满足（1）过圆心；（2）过切点；（3）垂直于切线三个性质中的两个时，第三个性质也满足。
高一数学集合间的基本关系1
1．集合的表示方法有 列举法 、描述法 ． 2．元素与集合间的关系用符号∈ 或 ∉ 表示． 3．两个集合相等是指 构成集合的元素相同 ．
1．子集、真子集、集合相等的概念
概念 子集
定义
符号表 示
如果集合A中
任意一个元素都是集
合B中的元素，就说这两个 集合有包含关系，称集合A
两集合相等
若1，a，ba＝{0，a2，a＋b}，则 a2 009＋b2010 的值为______．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①两集合都含有 3 个元素且相等． ②解答本题可从特殊元素 0 着手，结合集合 元素的特性求解．
【解析】 ∵1，a，ba＝{0，a2，a＋b}， ∴0∈1，a，ba. ∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}， ∴a2＝1，a＝±1. 当 a＝1 时，不满足互异性， ∴a＝－1. ∴a2 009＋b2 010＝－1.
不切合实际的，至此，流淌在作者心中的那份伤感就跃然纸上了。 ? 古典场景的流失，更重要的是带来了人们美学信息与精神资源的流失，作者对此产生了深切的悲痛之情。文中连续用“多少”这样的几个排比句式，罗列各种流失的古典场景，使悲痛感更具震撼力。“被硬硬撕 掉”“生生撤消”突现出古典场景被毁灭的的情景，传达出悲痛之情。“追远的绝版”“沾有他们最后的体温”说明古典场景不复存在了。古典的文学辞章变成了悲歌，让人仿佛听到了动植物凄厉的哭泣。 ? 文章的最后两个自然段以《诗经》中的诗句为例，说明古典场景的流失，人们 阅读《诗经》时，难以体验古典诗词的摄人的魅力，难以在古典诗词中引发人们的共鸣，难以真正的理解《诗经》的内涵，难以走进古典的灵魂，与古典作了永别。古典场景的流失不仅是人们审美视野的缺失，更是人们精神盛宴的缺失！面对这样的一种现状，作者一种深深的哀悼之情就 传染给了读者。 价值探讨： ? 这篇散文通过古今自然场景的对比，说明古典场景的流失给人们带来的后果是令人深思的。人类的生态环境遭受破坏，它给人类造成的危害也是不可低估的。从文学的角度来说，生态环境的破坏使现在的孩子在理解古典诗词时不能很好的了解古典诗词中优 美的场景，也难以领会诗词的真正内涵，孩子们难以真正的走进古典的灵魂。 现在的中学生，他们中有多少人去读、去理解、去思考古典诗词？而古典文化是中华民族的艺术瑰宝，是通古贯今的文化长河，中学生是传承古典文化还是置之不理，这不得不让人引起重视。因此这篇散文在 引起人们一种保护生态环境的同时还让人们多吸收古典诗词中的精髓，走进古典诗词，走进古典文化。 天使之举 ? 一位名叫朱丽娅.希尔的少女，为保护北美一株巨大的红杉树，竟然在这棵有18层楼高的树上栖居了738天，直到现在这棵树的所有者——太平洋木材公司承诺不砍该树。 ? 希尔是阿肯色州一个牧师的女儿，她曾去亲加州长途旅游，为了呼吁保护森林，她于1987年12月10日登上了这棵被称为“月亮”的红杉树。当时以为顶多只呆上3星期，不料去经历邮两年多有艰苦生活。每当冬季风暴来临，她只有一块蓝色帆布袋遮挡。她说，她永远不会把洗澡当做理所 当然遥事。 ? 当双足再次踏上泥土时，希尔终于喜极而泣。我留意到：这则消息是被某晚报排在“世间奇相”栏中编发的，与之毗邻的另一题目是《少年坐着睡觉十一年》......显然，在编辑眼里，这则消息不外乎一种“异人怪招”，是对”大千世界，无奇不有”的一种诠释。完全可 以想象，无论于编辑心态，还是看客的阅读体验，都不会找到“感动”、“审美”之类的字眼，更不用说什么启迪与效行了。有的只是一种猎奇，只是寻乐和戏谑。 ? 我为一位普通少女的心灵细腻和巨大关怀力而震撼，为这样一件小人物事迹——所包含的朴素信仰“日常意义”而惊叹。 又忍不住为自己同胞的生命粗糙与无聊而黯然。 ? 这不仅是迟钝，更是麻痹和昏迷。对植物漠不关心算什么人呢？只能算是“植物人”吧。我们有数不清的黄河探险、长江漂流、挺身西域、海湾横渡、飞越峡谷......有的甚至不惜以生命为代价.目的不外乎只有一个:为国争光,别让洋人 太抢眼。放大一点说：倡导家园主义！可我们几乎从未有过像希尔那样默默的私人之举，那样日常意义的“保卫绿色”行动......为什么？哪一个更具有生态与和平意义？ ? 显然，双方对自然的态度有“质”异：希尔“拥抱大树”所表达的一种“爱意”和“保护”；而我们的那些“飞 渡”耀示的却是一种“挑战”，一种“征服”。另外，二者的实践方式亦判然有别：如果说希尔的行为更接近于一种日常的梦想表达和自由生活方式的话，那么，我们那些被视为“壮举”的挑战，则更像一场众目睽睽下的卖力表演和做秀。即使用权万一发生了，即使某位中国少女同样扮 演了希尔的角色，又会怎样？她的同胞、朋友、亲人做何想？社会舆论和职能部门会做何反应？国人眼里，她会不会被视为疯子，癔症患者，不可理喻的臆想狂？ ? 我们没有这样的习惯：做自以为正确的事！我们同样也缺乏这样的常识和思维：尊重、维护别人（包括有临护权的子女、 着属）做自以为正确的事！父母会干预，朋友会劝阻，组织会帮教，舆论会非议，有关部门会制止......用我们熟悉的话说,叫“摆平”。即使你勉强爬上了那棵树，也呆不过三天，就会被轰下来，对付一个小丫头的“撒野”，招多着呢！说到底，此事休想做成！ ?于是，也就成了无人
高一数学上集合知识点归纳
高一数学上集合知识点归纳在数学学科中，集合是一个重要的概念，涉及到众多的知识点。
本文将对高一数学上的集合知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、集合的概念和表示法集合是指把具有共同特征的事物归到一起而成的整体。
可以通过列举法、描述法、符号法等方式来表示一个集合。
集合中的元素是指属于该集合的事物。
二、集合间的关系1.子集关系：若集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
同时，根据子集关系，还可以定义真子集和空集。
2.相等关系：若集合A包含了与集合B相同的元素，且集合B也包含了与集合A相同的元素，则称A等于B，记作A=B。
3.交集和并集：交集是指两个集合共同包含的元素组成的集合，记作A∩B；并集是指两个集合中所有元素组成的集合，记作A∪B。
还可以定义空集和全集的交集和并集。
4.补集：对于给定的一个全集U，集合A在全集U中除去自己的元素组成的集合称为A的补集，记作A'。
三、集合的运算1.求并集：将两个集合中的元素全部加起来，重复的元素只计算一次。
2.求交集：取两个集合中相同的元素。
3.求差集：求一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合。
4.集合的运算律：并集和交集具有交换律、结合律和分配律。
四、集合的表示方式和常用符号1.集合的列举法：通过列出集合中的元素来表示集合。
2.集合的描述法：通过描述集合中元素的特征来表示集合。
3.集合的符号法：通过使用集合符号表示集合，例如用大写字母表示集合，用大括号表示元素。
五、集合的常用性质和定理1.空集的性质：空集是任何集合的子集，且空集是唯一的。
2.集合的幂集：对于一个集合A，由A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
3.集合的基本运算律：并集和交集运算满足交换律、结合律和分配律。
4.集合的排列组合：通过排列和组合的方式，可以求解集合中元素的排列和组合数量。
综上所述，高一数学上的集合知识点包括集合的概念和表示法、集合间的关系、集合的运算以及集合的常用性质和定理等内容。
高-数学知识点(大全)讲解(大全)
高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一） (1)一、集合和命题 (2)二、不等式 (4)三、函数的基本性质 (6)四、幂函数、指数函数和对数函数 (12)（一）幂函数 (12)（二）指数&指数函数 (13)（三）反函数的概念及其性质 (14)（四）对数&对数函数 (15)五、三角比 (17)六、三角函数 (24)一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性； （2）元素与集合的关系：①a A ∈↔a 属于集合A ； ②a A ∉↔a 不属于集合A ． （3）常用的数集：N ↔自然数集；↔*N 正整数集；Z ↔整数集； Q ↔有理数集；R ↔实数集；Φ↔空集；C ↔复数集；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负整数集正整数集Z Z ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负有理数集正有理数集Q Q ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负实数集正实数集R R ．（4）集合的表示方法：集合⎩⎨⎧↔↔描述法无限集列举法有限集；例如：①列举法：{,,,,}z h a n g ；②描述法：{1}x x >． （5）集合之间的关系：①B A ⊆↔集合A 是集合B 的子集；特别地，A A ⊆；A BA CBC ⊆⎧⇒⊆⎨⊆⎩．②B A =或A BA B ⊆⎧⎨⊇⎩↔集合A 与集合B 相等； ③A B ⊂≠↔集合A 是集合B 的真子集．例：N Z Q R ⊆⊆⊆C ⊆；N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （6）集合的运算：①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 ↔集合A 与集合B 的交集； ②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或 ↔集合A 与集合B 的并集；③补集：设U 为全集，集合A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作A C U ．④得摩根定律：()U U U C A B C A C B =；()U U U C A B C A C B =（7）集合的子集个数：若集合A 有*()n n N ∈个元素，那么该集合有2n 个子集；21n -个真子集；21n -个非空子集；22n -个非空真子集．二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句．（2）四种命题：如果用α和β分别表示原命题的条件和结论，用α和β分别表示α和β的否定，①若βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；②若βα⇒且αβ⇒，即βα⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，也就是说，α是β的充分必要条件，简称充要条件．③欲证明条件α是结论β的充分必要条件，可分两步来证： 第一步：证明充分性：条件⇒α结论β； 第二步：证明必要性：结论⇒β条件α． （4）子集与推出关系：设A 、B 是非空集合，}{α具有性质x x A =，}{β具有性质y y B =， 则B A ⊆与βα⇒等价．结论：小范围⇒大范围；例如：小明是上海人⇒小明是中国人． 小范围是大范围的充分非必要条件； 大范围是小范围的必要非充分条件．二、不等式2(,)x +∞)2x 2[,)x +∞],21x四、含有绝对值不等式的性质：（1）b a b a b a -≥±≥+； （2）n n a a a a a a +++≥+++ 2121． 五、分式不等式：（1）0))((0>++⇔>++d cx b ax d cx b ax ； （2）0))((0<++⇔<++d cx b ax dcx bax ．（1）)()()1()()(x x f a a a x x f ϕϕ>⇔>>； （2）)()()10()()(x x f a a a x x f ϕϕ<⇔<<>． 八、对数不等式：（1）⎩⎨⎧>>⇔>>)()(0)()1)((log )(log x x f x a x x f a a ϕϕϕ；（2）⎩⎨⎧<>⇔<<>)()(0)()10)((log )(log x x f x f a x x f a a ϕϕ．九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：①R b a ab b a ∈≥+、(222，当且仅当b a =时取“=”号)； ②+∈≥+R b a ab ba 、(2，当且仅当b a =时取“=”号)； 211a b+． ③+∈≥++R c b a abc c b a 、、(3333，当且仅当c b a ==时取“=”号)；④+∈≥++R c b a abc c b a 、、(33，当且仅当c b a ==时取“=”号)； ⑤n a a a na a a nn n (2121≥+++为大于1的自然数，+∈R a a a n ,,,21 ，当且仅当 n a a a === 21时取“=”号)； （2）证明不等式的常用方法：①比较法； ②分析法； ③综合法．三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）若自变量−−−→−fx 对应法则因变量y ，则y 就是x 的函数，记作D x x f y ∈=),(； x 的取值范围D ↔函数的定义域；y 的取值范围↔函数的值域． 求定义域一般需要注意： ①1()y f x =，()0f x ≠；②y ()0f x ≥； ③0(())y f x =，()0f x ≠； ④log ()a y f x =，()0f x >； ⑤()log f x y N =，()0f x >且()1f x ≠．（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点； （3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同． 二、函数的基本性质：注意：定义域包括0的奇函数必过原点(0,0)O ． （注意：②如果函数)(x f y =在某个区间I 上是增（减）函数，那么函数)(x f y =在区间I 上是单调函数，区间I 叫做函数)(x f y =的单调区间．（3）零点：若D x x f y ∈=),(，D c ∈且0)(=c f ，则c x =叫做函数)(x f y =的零点．零点定理：⎩⎨⎧<⋅∈=0)()(],[),(b f a f b a x x f y ⇒00(,)()0x a b f x ∈⎧⎨=⎩存在；特别地，当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数， 且()()0f a f b ⋅<，则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一0(,)x a b ∈，使得0()0f x =． （4 （5注意：()()f a x f b x +=-⇒()f x 关于2a bx +=对称； ()()f a x f a x +=-⇒()f x 关于x a =对称；()()f x f x =-⇒()f x 关于0x =对称，即()f x 是偶函数．注意：()()f a x f b x c ++-=⇒()f x 关于点(,)22b c+对称； ()()0f a x f b x ++-=⇒()f x 关于点(,0)2a b+对称；()()2f a x f a x b ++-=⇒()f x 关于点(,)a b 对称；()()0f x f x +-=⇒()f x 关于点(0,0)对称，即()f x 是奇函数． （6）凹凸性：设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；例如：2y x =． 进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数．例如：lg y x =． 进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫>⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．若R x x f y ∈=),(，0≠∃T ，x R ∈任取，恒有)()(x f T x f =+，则称T 为这个函数的周期． 注意：若T 是)(x f y =的周期，那么)0,(≠∈k Z k kT 也是这个函数的周期； 周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．①()()f x a f x b +=+，a b ≠⇒()f x 是周期函数，且其中一个周期T a b =-； （阴影部分下略）②()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =； ③()()f x a f x b +=-+，a b ≠⇒2T a b =-； ④1()()f x f x p =+或1()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =；⑤1()()1()f x p f x f x p -+=++或()1()()1f x p f x f x p ++=+-，0p ≠⇒2T p =；⑥1()()1()f x p f x f x p ++=-+或()1()()1f x p f x f x p +-=++，0p ≠⇒4T p =；⑦()f x 关于直线x a =，x b =，a b ≠都对称⇒2T a b =-； ⑧()f x 关于两点(,)a c ，(,)b c ，a b ≠都成中心对称⇒2T a b =-；⑨()f x 关于点(,)a c ，0a ≠成中心对称，且关于直线x b =，a b ≠对称⇒4T a b =-； ⑩若()()(2)()f x f x a f x a f x na m +++++++=（m 为常数，*n N ∈），则()f x 是以(1)n a +为周期的周期函数；若()()(2)()f x f x a f x a f x na m -+++-++=（m 为常数，n 为正偶数），则()f x 是以2(1)n a +为周期的周期函数．(0,)+∞[2,a +∞ 在平面上，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则称1212d x x y y =-+-为MN 的曼哈顿距离． 六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数y x m =-，在x m =时取最小值；2、对于函数y x m x n =-+-，m n <，在[,]x m n ∈时取最小值；3、对于函数y x m x n x p =-+-+-，m n p <<，在x n =时取最小值；4、对于函数y x m x n x p x q =-+-+-+-，m n p q <<<，在[,]x n p ∈时取最小值；5、推广到122n y x x x x x x =-+-++-，122n x x x <<<，在1[,]n n x x x +∈时取最小值； 1221n y x x x x x x +=-+-++-，1221n x x x +<<<，在n x x ∈时取最小值．思考：对于函数1232y x x x =-+++，在x _________时取最小值．四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如)(R a x y a ∈=的函数称作幂函数，定义域因a 而异．（2）当1,0≠a 时，幂函数)(R a x y a ∈=在区间),0[+∞上的图像分三类，如图所示．（3）作幂函数)1,0(≠=a x y a 的草图，可分两步：①根据a 的大小，作出该函数在区间),0[+∞上的图像；②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在]0,(-∞上的图像． （4）判断幂函数)(R a x y a ∈=的a 的大小比较：方法一：)(R a x y a ∈=与直线(1)x m m =>的交点越靠上，a 越大； 方法二：)(R a x y a ∈=与直线(01)x m m =<<的交点越靠下，a 越大（5）关于形如()ax by c cx d+=≠+0的变形幂函数的作图： ①作渐近线（用虚线）：d x c=-、ay c =；②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)bd；③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．（二）指数&指数函数1、指数运算法则： ①yx yxaa a +=⋅；②xyyxa a =)(；③xxxb a b a ⋅=⋅)(；④()xx x a a b b=，其中),0,(R y x b a ∈>、．23、判断指数函数x y a =中参数a 的大小：方法一：x y a =与直线(0)x m m =>的交点越靠上，a 越大； 方法二：x y a =与直线(0)x m m =<的交点越靠下，a 越大．（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作1()x f y -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1()()y f x x A -=∈．2、求反函数的步骤：（“解”→“换”→“求”） ①将()y f x =看作方程，解出()x f y =； ②将x 、y 互换，得到1()y f x -=； ③标出反函数的定义域（原函数的值域）．3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应． 4、反函数的性质：①原函数)(x f y =过点),(n m ，则反函数)(1x f y -=过点),(m n ；②原函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=关于x y =对称，且单调性相同；③奇函数的反函数必为奇函数． 5（四）对数&对数函数12 ①01log =a ，1log =a a ，N a N a =log ；②常用对数N N 10log lg =，自然对数N N e log ln =； ③N M MN a a a log log )(log +=，N M NMa a a log log log -=，M n M a n a log log =； ④bN N a a b log log log =，a b b a log 1log =，b n mb a m a n log log =，b b ac a c log log =，log log N N b a a b =．34、判断对数函数log ,0a y x x =>中参数a 的大小：方法一：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =>的交点越靠右，a 越大； 方法二：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =<的交点越靠左，a 越大．五、三角比1、角的定义：（1）终边相同的角：①α与2,k k Z πα+∈表示终边相同的角度；②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； ③α与,k k Z πα+∈表示终边共线的角（同向或反向）． （2（3）弧度制与角度制互化： ①180rad π=︒； ②1801rad =︒； ③1rad π︒=．（4）扇形有关公式：①rl=α；②弧长公式：r l α=；③扇形面积公式：21122S lr r α==（想象三角形面积公式）．（5）集合中常见角的合并：22222222,244542424324424x k x k x k k x x k x k x k k x k Z x k x k x k k x x k x k x k ππππππππππππππππππππππππππ⎫⎫=⎫⎫=⎪⎪⎬⎪=+⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫=⎬⎬⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=+⎬⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎪⎪⎫⎫⎫=∈⎬=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪⎫⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎭⎪⎭⎭⎭（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在α的终边上任取一个异 于原点的点(,)P x y ，点P 到原点的距离记为r ，则（7（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是k Z ∈） ①角α和角β的终边：②α的终边与2的终边的关系． α的终边在第一象限⇔(2,2)2k k παππ∈+⇔(,)24k k απππ∈+；α的终边在第二象限⇔(2,2)2k k παπππ∈++⇔(,)242k k αππππ∈++；α的终边在第三象限⇔3(2,2)2k k παπππ∈++⇔3(,)224k k αππππ∈++；α的终边在第四象限⇔3(2,22)2k k παπππ∈++⇔3(,)24k k αππππ∈++． ③sin θ与cos θ的大小关系：sin cos θθ<⇔3(2,2)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在直线y x =右边（0x y ->）； sin cos θθ>⇔5(2,2)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在直线y x =左边（0x y -<）；sin cos θθ=⇔5{22}k k ππθππ∈++，⇔θ的终边在直线y x =上（0x y -=）．④sin θ与cos θ的大小关系： sin cos θθ<⇔(,)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨->⎩或00x y x y +<⎧⎨-<⎩； sin cos θθ>⇔3(,)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨-<⎩或00x y x y +>⎧⎨-<⎩；sin cos θθ=⇔3{}44k k ππθππ∈++,，k Z ∈⇔θ的终边在y x =±．2、三角比公式： （1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式： 第二组诱导公式： 第三组诱导公式： （周期性） （奇偶性） （中心对称性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+ααπααπααπααπcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=--=-ααααααααcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(第四组诱导公式： 第五组诱导公式： 第六组诱导公式：（轴对称） （互余性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(（2）同角三角比的关系：倒数关系： 商数关系： 平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=)0(sin sin cos cot )0(cos cos sin tan αααααααα ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin（3）两角和差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；两角和差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； 两角和差的正切公式：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±．（4）二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin =；二倍角的余弦公式：1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα；二倍角的正切公式：ααα2tan 1tan 22tan -=； 降次公式： 万能置换公式：22222221cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2cos 21cos 2cos 21sin sin cos 221cos 2tan 1cos 21sin sin cos22ααααααααααααααααα⎧-=⎪-⎧⎪=⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=- ⎪-⎪⎪⎝⎭=⎪⎪+⎩⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩； ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=ααααααααα2222tan 1tan 22tan tan 1tan 12cos tan 1tan 22sin 半角公式：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=； （5）辅助角公式： ①版本一：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=<≤2222cos sin ,20b a a b a b ϕϕπϕ．②版本二：sin cos )a b θθθϕ±=±，其中,0,0,tan 2ba b aπϕϕ><<=．3、正余弦函数的五点法作图：以sin()y x ωϕ=+为例，令x ωϕ+依次为30,,,,222ππππ，求出对应的x 与y 值，描点(,)x y 作图．4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：R R CcB b A a (2sin sin sin ===为外接圆半径)；其中常见的结论有：①A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=；②R a A 2sin =，R b B 2sin =，RcC 2sin =；③c b a C B A ::sin :sin :sin =； ④22sin sin sin ABC S R A B C =△；sin sin sin sin sin sin ABCaR B CS bR A C cR A B⎧⎪=⎨⎪⎩△；4ABC abc S R =△．（2）余弦定理：版本一：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222；版本二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c a b C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222；（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：cos cos cos cos cos cos a b C c Bb c A a C c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩．5、与三角形有关的三角比： （1）三角形的面积：①12ABC S dh =△；②111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ===△；③ABC S =△l 为ABC △的周长． （2）在ABC △中，①sin sin cos cos cot cot a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔<⇔<； ②若ABC △是锐角三角形，则sin cos A B >；③sin()sin sin()sin sin()sin A B C B C A A C B +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩；cos()cos cos()cos cos()cos A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；tan()tan tan()tan tan()tan A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；④sin cos 22sin cos 22sin cos 22A B C BA C CA B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；tan cot 22tan cot 22tan cot 22A B C B A C C A B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；⑤sin cos 22sin cos 22A B A C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos 22sin cos 22B A B C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos22sin cos 22C AC B ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩； ⇒sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222A B A B AC A C BC B C ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩⇒sin sin sin cos cos cos 222222A B C A B C <；⑥sin sin sin 4cos cos cos 222cos cos cos 14sin sin sin 222sin sin sin 4sin sin cos 222A B C A B C A B C A B C A B C A B C ⎧++=⎪⎪⎪++=+⎨⎪⎪+-=⎪⎩；sin 2sin 2sin 24sin sin sin cos 2cos 2cos 24cos cos cos 1A B C A B CA B C A B C ++=⎧⎨++=--⎩；⑦sin sin sin (0,]23cos cos cos (1,]2A B C A B C ⎧++∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩；sin sin sin (0,8sin sin sin cos cos cos 1cos cos cos (1,]8A B C A B C A B C A B C ⎧∈⎪⎪⎪>⎨⎪⎪∈-⎪⎩． 其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明． （3）在ABC △中，角A 、B 、C 成等差数列⇔3B π=．（4）ABC △的内切圆半径为2Sr a b c=++．6、仰角、俯角、方位角： 略7、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧=++-⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=--+⎩； （2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-⎧+=⎪⎪+-⎪-=⎪⎨-+⎪+=⎪⎪-+⎪-=-⎩．六、三角函数； ]．；．）1-=； 1min -=y ；解析：周期22T ππ==，由函数x y sin =的递增区间[2,2]22k k ππππ-+，可得 222232k x k πππππ-≤+≤+，即51212k x k ππππ-≤≤+， 于是，函数5sin(2)73y x π=++的递增区间为5[,]1212k k ππππ-+． 同理可得函数5sin(2)73y x π=++递减区间为7[,]1212k k ππππ++．当2232x k πππ+=+，即12x k ππ=+时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5；当2232x k πππ+=-，即512x k ππ=-时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5-． 例2：求函数5sin(2)7,[0,]32y x x ππ=++∈的单调区间和最值．解析：由[0,]2x π∈，可得42[,]333x πππ+∈．然后画出23x π+的终边图，然后就可以得出当2[,]332x πππ+∈，即[0,]12x π∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递增； 当42[,]323x πππ+∈，即[,]122x ππ∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递减．同时，当232x ππ+=，即12x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最大值12；当4233x ππ+=，即2x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最小值72-；注意：当x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反．2、函数sin()y A x h ωϕ=++&cos()y A x h ωϕ=++&tan()y A x h ωϕ=++，其中0,0A ϕ>≠： （（2）函数sin()y A x h ωϕ=++与函数sin y x =的图像的关系如下： ①相位变换：当0ϕ>时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向左平移个单位； 当0ϕ<时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向右平移个单位； ②周期变换：当1ω>时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）； 当01ω<<时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ③振幅变换：当1A >时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）； 当01A <<时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）； ④最值变换：当0h >时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向上平行移动个单位； 当0h <时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向下平行移动个单位； 注意：函数cos()y A x h ωϕ=++和函数tan()y A x h ωϕ=++的变换情况同上．3、三角函数的值域： （1）sin y a x b =+型：设sin t x =，化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]-上求最值． （2）sin cos y a x b x c =±+，,0a b >型：引入辅助角,tan baϕϕ=，化为)y x c ϕ=±+． （3）2sin sin y a x b x c =++型：设sin [1,1]t x =∈-，化为二次函数2y at bt c =++求解． （4）sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+型：设sin cos [t x x =±∈，则212sin cos t x x =±，化为二次函数2(1)2a t y bt c -=±++在闭区间[t ∈上求最值．（5）tan cot y a x b x =+型：设tan t x =，化为by at t=+，用“Nike 函数”或“差函数”求解．（6）sin sin a x by c x d+=+型：方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sin 1x -≤≤求解．（7）sin cos a x by c x d +=+型：化为sin cos a x yc x b dy -=-)x b dy ϕ+=-，利用有界性，sin()[1,1]x ϕ+=-求解．（8）22sin cos sin cos a x x b x c x ++，（0,,a b c≠不全为0）型：利用降次公式，可得22sin cos sin cos sin 2cos 2222a cb bc a x x b x c x x x -+++=++，然后利用辅 助角公式即可．4备注：①x y sin =和x y cos =的对称中心在其函数图像上；②x y tan =和x y cot =的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上） 例3：求函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程和对称中心．解析：由函数sin y x =的对称轴方程2ππ+=k x ，Z k ∈，可得232x k πππ+=+，Z k ∈解得122k x ππ=+，Z k ∈． 所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程为122k x ππ=+，Z k ∈．由函数sin y x =的中心对称点)0,(πk ，Z k ∈，可得23x k ππ+=，Z k ∈解得62k x ππ=-+，Z k ∈． 所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称中心为(,7)62k ππ-+，Z k ∈．①[1,1]sin(arcsin )cos(arccos )a a a a ∈-⇒==； ②tan(arctan )a R a a ∈⇒=． （2）先三角函数后反三角函数： ①[,]22ππθ∈-⇒arcsin(sin )θθ=； ②[0,]θπ∈⇒arccos(cos )θθ=；③(,)22ππθ∈-⇒arctan(tan )θθ=． （3）反三角函数对称中心特征方程式：①[1,1]a ∈-⇒arcsin()arcsin a a -=-； ②[1,1]a ∈-⇒arccos()arccos a a π-=-； ③(,)a ∈-∞+∞⇒arctan()arctan a a -=-． 6、解三角方程公式：sin ,1(1)arcsin ,cos ,12arccos ,tan ,arctan ,k x a a x k a k Z x a a x k a k Z x a a R x k a k Z πππ⎧=≤=+-∈⎪=≤=±∈⎨⎪=∈=+∈⎩．。
高一数学集合的基本关系
高一数学中，集合的基本关系有以下几种：
1. 相等关系：两个集合A和B相等，记作A = B，当且仅当A中的元素与B中的元素完全相同。
即A包含的元素和B包含的元素一一对应，并且A中没有其他元素。
2. 包含关系：一个集合A包含于另一个集合B，记作
A ⊆B，当且仅当A中的所有元素都属于B。
即B中包含了A中的所有元素，可能还包含其他元素。
3. 真包含关系：一个集合A真包含于另一个集合B，记作A ⊂B，当且仅当A ⊆ B 且 A ≠B。
即A包含在B中，并且B中还存在其他元素。
4. 相交关系：两个集合A和B相交，当且仅当它们存在共同的元素。
即A与B至少有一个公共元素。
5. 并集关系：两个集合A和B的并集，记作A ∪B，是由A和B中所有的元素组成的集合。
即A ∪B包含了A和B中的所有元素，不重复计算。
6. 交集关系：两个集合A和B的交集，记作A ∩B，是同时属于A和B的元素组成的集合。
即A ∩B中的元素既属于A又属于B。
7. 差集关系：一个集合A减去另一个集合B的差集，记作A - B，是由属于A但不属于B的元素组成的集合。
即A - B中的元素只属于A，不属于B。
这些基本关系在高一数学中是非常重要的概念，对于集合运算和集合性质的研究起到了基础和指导作用。
深入理解和掌握这些关系，有助于学生在后续的数学学习中更好地应用和拓展。
高一数学总复习--《集合》
高一数学总复习--《集合》数学的内参高中数学总复习－－《集合》一、内容提要1、集合的概念：由一些事物组成的整体。
可用大写字母A、B、C表示。
1）元素：集合中的每一个事物。
可记作a、b、c。
2）集合与元素的关系。
aA或bA。
3）常用集合N、N、Z、Q、R、R、R、、U4）表示方法：列举法、描述法。
2、集合与集合的关系1）子集：如果集合B的每一个元素都是A的元素，那么B叫做A的一个子集，记作BA(或AB)，（A的子集包括、A本身）。
2）真子集：B是A的子集且A中至少有一个元素不属于B，则称B是A的一个真子集记作BA。
3）相等：A、B的元素完全一样，称A=B。
若AB 且BAAB。
3、集合的运算1）交集：AB{某|某A且某B}2）并集：AB{某|某A或某B}3）补集；CUA{某|某U且某A}4、充要条件：pq称p是q的充分条件,q是p的必要条件.pq称p、q 的互为充要条件。
二、例题讲解：某例1、写出集合{a,b,c}的所有子集和真子集。
例2、已知A{某|1某5}，B{某|3某8}，求CUA、CUB、AB、AB。
例3、用符号填空{a}{b}NCRQ{a,b}{}三、练习：（一）、选择题１、已知集合Ａ＝｛１，３，７｝，Ｂ＝｛３，７，８｝则ＡＢ＝（）Ａ）、｛１，３，７，８｝Ｂ）、｛３，７｝Ｃ）、｛１，３，３，７，７，８｝Ｄ）、21数学的内参２、设Ａ＝｛１，２，３，４，５｝，Ｂ＝｛１，３，４｝，Ｃ＝｛２，４，５｝，则CABCAC＝Ａ）、｛１，２，３，５｝Ｂ）、｛Ｕ｝Ｃ）、ＡＤ）、３、已知Ｍ＝｛某|1某3｝，Ｎ＝｛某|1某2｝，则ＭＮ＝（）Ａ）、｛某|1某3｝Ｂ）、｛某|1某2｝Ｃ）、｛某|1某2｝Ｄ）、（二）、填空题１、用符号表示：３｛１，２，３，４｝｛４｝｛１，２，３，４｝１｛１｝２、写出“大于－３且小于等于３的正整数集”的列举法描述法３、｛１，３，７｝｛２，３，｝＝｛１，２，３，８，｝４、｛１，４，５｝｛１，３，｝＝｛５，｝５、Ａ＝｛某|3某0｝，Ｂ＝｛某|某10｝，则ＡＢ＝，ＡＢ＝，CRA＝7、写出{2,6,9}的所有子集和真子集8.集合A{n|nm1Z}，B{m|Z}，则AB__________2259.集合A{某|4某2}，B{某|1某3}，C{某|某0，或某2那么ABC_______________,ABC_____________;10.已知某={某|某2+p某+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且某A,某B某，试求p、q；11.集合A={某|某2+p某-2=0},B={某|某2-某+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q；12.A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB={3，7}，求B数学的内参集合练习题一．单项选择(1)设集合M=某|某2,又a=.那幺()(A)aM(B)aM(C)aM(D)aM(2)设全集Ua,b,c,d,Ma,c,d,Nb,d,Pb,则()(A)PMN(B)PMN(C)PM(CuN)(D)P(CUM)N所组成的集合所含元素的个数为（）（3）对于任意某,y∈R，且某y≠0，则某y某y某y某y（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个(4)全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝{某||某|1}，Ｂ＝{某|某-2某-3>0}，则（ＣＵＡ）Ｕ（ＣＵＢ）＝（）2(A){某|某<１或某３}(B)｛某|-1某3｝(C){某|-1<某<1}(D){某|-1<某1}(5)集合a,b,c的子集总共有()(A)7个(B)8个(C)6个(D)5个(6)设a为给定的实数，则集合某|某3某a20,某R的子集的个数是（）(A)1(B)2(C)4(D)不确定(7)集合P,Q满足PQa,b.试求集合P,Q.问此题的解答共有()(A)9种;(B)4种;(C)7种;(D)16种(8)若A={1,3,某},B={某2,1},且A∪B＝{1,3,某}.则这样的某的不同值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个22，则p应满足的条件是（）(9)已知M＝{某|某≤1}，N＝{某|某>p}，要使M∩N≠（A）p>1（B）p≥1（C）p<1（D）p≤1(10)已知集合A是全集S的任一子集，下列关系中正确的是（）(A)φCSA(B)CSA(C)（A∩CSA）=φ(D)（A∪CSA）(11)若有非空集合A、B且B，全集U＝R，下列集合中为空集的是（）（A）CUA∩B（B）A∩CUB（C）CU(AB)（D）CU(AB)y3M某,y|1某2，（12）设全集U某,y|某,yR，集合T某,y|y3某2，那么(CUM)T等于（）数学的内参（A）Φ(B)2,3(C)2,3(D)某,y|y3某2二．填空题（13）已知集合A={y|y=2某＋1,某＞0}，B={y|y=－某2＋9,某∈R},则A∩B=________.（14）设集合A＝{某|某=6k,k∈Z}，B＝{某|某=3k,k∈Z}，两个集合的关系可表示为AB.（15）设集合P某|某2,某R，集合Q某|某某20,某N，则集合PQ等于2（16）设U＝R，集合A＝{某|某＋p某＋12=0,某∈N}，集合B＝{某|某－5某＋q=0,某∈N}，且22CUAB={2},CUBA={4}，则p＋q的值等于.（17）设A={(某,y)|y=1-3某},B={(某,y)|y=(1-2k2)某+5},若A∩B=φ,则k的取值是____________.（18）用集合表示图中阴影部分____________.三．解答题（19）写出所有适合{a,b}A的集合A.（20）某班有学生55人，其中有音乐爱好者34人，有体育爱好者43人，还有4人既不爱好音乐又不爱好体育，该班既爱好音乐又爱好体育的有多少人？（21）若a<0<b<｜a｜,A={某｜a≤某≤b},B={某｜－b≤某≤－a},试求A∪B,A∩B.（22）P=｛a,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a+1｝,P∩Q=｛-3｝,求a．22（23）已知A＝{某|某－a某＋a－19=0},B={某|某－5某＋8=2},C={某|某＋2某－8=0},若2222∩B，且A∩C，求a的值.＝（24）设集合Ａ＝{某|某+(p+2)某+1=0}，且A{某|某>0}=ф，求实数p的取值范围．2数学的内参函数的解析式的求法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.一．换元法题1．已知f(3某+1)=4某+3,求f(某)的解析式.1某练习1．若f(),求f(某).某1某二．配变量法11题2．已知f(某)某22,求f(某)的解析式.某某练习2．若f(某1)某2某,求f(某).三．待定系数法题3．设f(某)是一元二次函数,g(某)2某f(某),且g(某1)g(某)2某1某2,求f(某)与g(某).练习3．设二次函数f(某)满足f(某2)f(某2),且图象在y轴上截距为1,在某轴上截得的线段长为22,求f(某)的表达式.数学的内参四．解方程组法题4．设函数f(某)是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式3f(某)2f()4某,某求f(某)的解析式.练习4．若f(某)f(五．特殊值代入法题5．若f(某y)f(某)f(y),且f(1)2，求值练习5．设f(某)是定义在N上的函数,且f(1)2,f(某1)六．利用给定的特性求解析式.题6．设f(某)是偶函数,当某＞0时,f(某)e某2e某,求当某＜0时，f(某)的表达式.练习6．对某∈R,f(某)满足f(某)f(某1),且当某∈[－1,0]时,f(某)某22某求当某∈[9,10]时f(某)的表达式.某1)1某,求f(某).某f(2)f(3)f(4)f(2005).f(1)f(2)f(3)f(2004)f(某)1，求f(某)的解析式.2数学的内参七．归纳递推法某1题7．设f(某),记fn(某)ff[f(某)],求f2004(某).某1八．相关点法题8．已知函数f(某)2某1,当点P(某,y)在y=f(某)的图象上运动时,点Q(图象上,求函数g(某).九．构造函数法题9．若f(某)表示某的n次多项式,且当k=0,1,2,,n时,f(k)k，求f(某).k1y某,)在y=g(某)的23课堂小结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。
高一数学知识点元素与集合
高一数学知识点元素与集合数学是一门抽象而又精确的学科，其中一个重要的概念就是元素与集合。
元素是构成集合的基本单位，而集合则是由一些具有共同特征的元素组成。
本文将从元素和集合的定义、运算和应用等方面介绍高一数学中与元素和集合相关的知识点。
一、元素的定义在数学中，元素是一个基本的概念，它指的是集合中的个体或个体的抽象。
举个例子，假设我们有一个集合A，那么集合A的元素就是指属于这个集合的个体。
例如，集合A={1, 2, 3}，其中的元素包括数字1、2和3。
二、集合的定义集合是具有某种特定性质的元素的整体。
用数学符号表示，集合通常用大写字母表示，集合中的元素用小写字母表示，并用大括号{}括起来。
例如，集合A={1, 2, 3}就表示由数字1、2和3组成的集合A。
三、集合的运算在数学中，我们可以对集合进行一些运算，常见的集合运算有并集、交集和差集。
1. 并集：并集指的是将两个或两个以上的集合中的所有元素取出，组成一个新的集合。
并集的数学符号为"∪"，例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：交集指的是两个集合共有的元素组成的集合。
交集的数学符号为"∩"，例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的交集可以表示为A∩B={3}。
3. 差集：差集指的是从一个集合中去掉另一个集合中相同的元素后所得到的集合。
差集的数学符号为"-"，例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的差集可以表示为A-B={1, 2}。
四、集合的应用集合的概念在数学中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 概率论：概率论中的事件可以用集合来表示，样本空间就是一个集合，事件就是这个集合的子集。
2. 线性代数：线性代数中的向量空间可以看作是一个集合，向量就是这个集合中的元素。
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高一数学知识点2019：元素与集合的关系时钟滴答，光阴如梭。
青春列车，即将再次出发。
承着恩师同窗的教诲与帮助，携着亲朋好友的祝福与期待，现在的你即将返校开始新学年的生活，为了更好地帮助你尽快步入学习生活，为您准备了高一数学知识点2019。
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
集合与集合之间的关系
某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。
空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。
任何集合是它本身的子集。
子集，真子集都具有传递性。
『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。
若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。
中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
』
学习方式、习惯的反思与认识
(1)学习的主动性。
许多同学进入高中后还象初中那样有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动性，表现在不订计划，坐等上课，课前不作预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，忽略了真正听课的任务，顾此失彼，被动学习。
(2)学习的条理性。
老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概
念的内涵外延，分析重点难点，突出思想方法，而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是忙于赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。
(3)忽视基础。
有些" 自我感觉良好" 的学生，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的" 水平" ，好高骛远，重" 量" 轻" 质" ，陷入题海，到正规作业或考试中不是演算出错就是中途" 卡壳" 。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
(4)学生在练习、作业上的不良习惯。
主
要有对答案、不相信自己的结论，缺乏对问题解决的信心和决心;讨论问题不独立思考，养成一种依赖心理素质;慢腾腾作业，不讲速度，训练不出思维的敏捷性;心思不集中，作业、练习效率不高。
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
高中数学的学习对学习者的能力是一个新的机遇与挑战，必要的策略和方法就显得尤为重要了。
以上高一数学知识点2019，望与广大老师和学生共享。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学
生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。