3测量误差及数据处理
第3章 测量误差分析及处理
( 1 2 n ) i
3、几何综合法
绝对误差 相对误差 21 22 2n
2 i 2
i
2 2 2
1 2 n
第三节 随机误差
或然率曲线或概率密度曲线
令真值为A，算数平均值为L，观测值为l，误差△=l-A，偏差 i =l-L，则有
i li A
i li L
l
得： 将L代入 i
i
li nA nL 代入 nii
li nL
i
li nA
i
L
A
li L 得
i i
热能与动力工程 测试技术
第三章 测量误差分析及处理
第一节 误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即
真误差=观测值-真值
lA — 真误差 l — 观测值 A — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
由于系统误差一般有规律可循，其产生的原因一般也 是可预见的，所以系统误差一般可通过改进测量技术、 对测量结果加修正值等手段来减小。通常处理系统误差 的方法有以下几种： （1）消除系统误差产生的根源。 （2）在测量结果中加修正值。确定出较为准确的修正公 式、修正曲线或修正表格，以便修正测量结果。 （3）在测量过程中采取补偿措施。 例如：在用热电偶测温时，采用冷端温度补偿器或冷端 温度补偿元件来消除由于热电偶冷端温度变化所造成的 系统误差。 （4）采用可以消除系统误差的典型的测量技术。 如采用零值法、替代消除法,预检法等。
测量误差与数据处理(3)
（3）根据改正数方程，可求得改正数为：
V P1ATK
0.5 1.0
1 1
4.8
1 2.4 2.4
0.5 1
4.8
（4）由此得高差的平差值为：
hˆ hV
即：
1.004 4.8
0.9992
1.504
2.4
103
1.5064
2.512 4.8
2.5072
h 1 0 .99 m ， h 9 2 1 2 .50 m ， h 6 3 2 4 .50 m 7
示例的解算
解：（1）此例n = 3，t = 2，故r = 1，列出 如下平差值条件方程：
H A h ˆ 1 h ˆ 2 h ˆ 3 H B 0
以代入上式，可得条件方程为：
v 1 v 2 v 3 ( H A h 1 h 2 h 3 H B ) 0
将已知高程和观测高差代入计算闭合差（ 单位mm），然后用矩阵表示如下：
1. 根据平差的具体问题，确定条件方程的个 数，列出条件方程式，条件方程的个数等于 多余观测数r；
条件方程
➢平差值条件方程：
a1 Lˆ1
a 2 Lˆ 2
a n Lˆ n
a0
0
b1 Lˆ1
b 2 Lˆ 2
b n Lˆ n
b0
0
r1 Lˆ1
r2 Lˆ 2
rn Lˆ n
r0
0
➢改正数条件方程：
0 0 p
n
1
p1
0 1 0
p2
0 0 1
pn
基于闭合差条件的条件平差
❖条件平差原理 ➢ 由于高程控制网中存在r个多余观测，就会产生r 条件方程。
➢高程控制网平差归结为以r个条件方程为基础，根 据最小二乘法求出一组高差改正数。
3.2测量误差和数据处理
若误差落在区间（-∞，+ ∞ ）之中，则其概率 p=1； 若误差落在（-δ，+δ ）之中，则上式可改写为：
将上式进行变量置换，设： 则： =2Φ(t)
在实践中常认为δ=±3σ的概率约等于1， 从而将±3σ 称为随机误差的极限误差 随机误差的极限误差。 随机误差的极限误差 即：
δlim=±3σ
算术平均值的极限误差： 算术平均值的极限误差：δlimL=±3σ L
——若某一|υi|>3σ ，则该残余误差为粗大误差，应剔除。 该准则主要适有用于服从正态分布的误差，且重复测量 次数又比较多的情况。
（2）狄克逊准则 ） （3）格罗布斯准则 ） （4）t检验法等 ） 检验法等
§3.2.6 等精度测量结果的处理
步骤如下： （1）判断有无系统误差存在 （2）求算术平均值 （3）计算残余误差 （4）计算标准偏差 σ （5）判断粗大误差并将其剔除 |υ ∣≤3σ （6）求算术平均值的标准偏差 测量结果的表达式： （7）测量结果的表达式： 单次测量时： 单次测量时： L= li±3σ 多次测量时： 多次测量时： 例：（见书P.60）
二、随机误差的评定指标 1．算术平均值 ．
对某量进行等精度测量时，由于随机误差的存在，其 获得的测量值不完全相同，此时应以其算术平均值作为最 后的测量结果。即：
由正态分布的性质④可知，当测量次数ｎ增大时，算术平均 值愈趋近于真值。因此——用算术平均值作为最后的测
量结果比用其它任一测量值作为测量结果更可靠。
1、测量器具误差 、 2、方法误差 、 3、标准件误差 、 4、环境误差 、 5、人为误差 、
§ 3.2.2
1．误差分类 ．
误差的分类
(1)系统误差 系统误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号 保持不变或按一定规律变化着的误差。 系统误差可分为定值系统误差 变值系统误差 定值系统误差和变值系统误差 定值系统误差 变值系统误差。 (2)随机误差 随机误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可 预定的方式变化着的误差。误差的出现是无规律可循的。 (3)粗大误差 粗大误差 由于测量不正确等原因引起的大大超出规定条件下预计误差 限的那种误差。
测量误差与数据处理的建议和意见
测量误差与数据处理的建议和意见
对于测量误差和数据处理，以下是一些建议和意见：
1. 规范实验和测量过程：确保实验或测量过程符合正确的方法和操作步骤，尽量减少人为因素的干扰，并且确保测量设备和仪器的准确性和可靠性。
2. 重复测量和平均值：进行多次测量，并计算平均值，这样可以减少个别测量的偶然误差，并提高数据的可靠性和准确性。
3. 评估测量不确定性：对于每个测量结果，应该估计其不确定性，这可以通过了解仪器的精确度、标定情况以及实验条件等来进行评估。
4. 数据筛选：在数据处理之前，应该对测量数据进行筛选和剔除异常值。
可以使用统计学方法或者不一致性检验等技术来辨别和排除异常数据。
5. 合适的数据处理方法：根据数据的特点和测量误差的性质，选择合适的数据处理方法，例如常用的统计学方法、回归分析、误差传递等。
6. 数据展示和分析：在处理完数据之后，可以使用图表、统计分析、可视化工具等方式来展示和分析数据，以便更好地理解数据的特征和趋势。
7. 结果与讨论：在对数据进行处理和分析的基础上，结合实验的目的和背景，对结果进行解释和讨论，可以提出合理的结论，并讨论相关的误差来源和改进方案。
以上建议和意见可以帮助您在测量误差和数据处理方面更加准确和科学地进行实验和研究。
但请注意，对于具体的实验或测量，建议您参考相关领域的专业知识和方法。
测量误差与数据处理实验报告
测量误差与数据处理实验报告实验报告格式：
标题：测量误差与数据处理实验报告
摘要：本实验旨在探究测量误差的来源及其处理方法，通过自己设计的实验进行数据采集与处理，最后得出结论并分析误差的影响。
实验结果表明，合理控制误差和精准处理数据非常重要。
1. 实验目的：
通过自己设计的实验了解测量误差的来源和处理方法，掌握精度等基本概念。
2. 实验步骤：
(1) 设计实验：以电容为例，设计了“通过变化距离来测量电容的实验”。
(2) 组装仪器：根据实验设计，组装了测量电容的仪器。
(3) 测量数据：对实验进行了多次测量，得到了电容的测量值。
(4) 数据处理：使用 Excel 等工具处理数据，计算出各项指标和
误差范围，并进行精度等级划分。
3. 实验结果：
(1) 根据数据处理结果，得到平均电容值为3.5μF，标准差为
0.2μF。
(2) 通过进行误差分析，可知测量误差来源主要包括仪器本身
误差、环境因素干扰和人为误差等多方面因素。
(3) 在误差控制和数据处理方面可采用实验平均法、精度等级
标准等方法。
4. 实验结论：
通过本实验的设计和数据处理，在实验中了解了测量误差的来源和处理方法，识别出了各方面因素影响到精度结果的准确性。
同时也提醒了我们在进行实验操作时需严格控制误差，避免产生干扰和误差现象，最终希望以此为基础，提高本人的实验操作、数据分析和综合思考能力。
分析数据时常见的误差与处理方法
分析数据时常见的误差与处理方法数据分析在现代社会中起着至关重要的作用，它帮助人们更好地理解和解释现象，从而指导决策和行动。
然而，在数据分析过程中，常常会出现各种误差，对结果的准确性和可靠性产生负面影响。
本文将从以下六个方面展开详细论述常见的数据分析误差及其处理方法。
一、采样误差采样误差是由于抽样方法不当或样本代表性不足而引起的误差。
例如，在进行社会调查时，如果采样方法不具备随机性，会导致调查结果的偏差。
处理采样误差的方法可以是增加样本的大小，提高样本的代表性以及采用更合理的抽样方法，如随机抽样或分层抽样。
二、测量误差测量误差指的是由于测量仪器的不准确性或被测对象的个体差异而导致的误差。
在进行实验研究或数据收集时，使用的测量工具和方法可能存在不确定性，从而引入测量误差。
要处理这种误差，可以提高测量仪器的精确度和可靠性，对被测对象进行多次测量并取平均值，或者通过使用标准化方法来校正测量结果。
三、数据处理误差数据处理误差是在数据输入、转换和存储过程中产生的误差。
常见的数据处理误差包括数据录入错误、数据丢失和数据转换错误等。
为了减少这种误差，可以使用自动化的数据采集和处理工具，加强对数据的质量控制，以及定期进行数据的核对和修正。
四、样本偏倚误差样本偏倚误差指的是样本在统计特征上与总体存在显著差异所引起的误差。
当样本不具备代表性时，会导致研究结果的偏离真实情况。
为了纠正样本偏倚误差，可以使用加权抽样法或启发式抽样法，以确保样本更接近总体的特征。
五、缺失数据误差缺失数据误差是由于数据的丢失或缺失引起的误差。
在进行数据分析时，常常会遇到数据缺失的情况，如果不处理好这些缺失数据，会导致结果的不准确性。
处理缺失数据误差的方法可以是使用插补法，将缺失数据进行估计和补全，或者通过合理的数据筛选和清洗来剔除缺失数据影响。
六、模型假设误差模型假设误差指的是在建模过程中所做出的假设与真实情况之间存在偏差。
在进行数据分析时，所使用的模型和方法都基于一定的假设前提，如果这些假设与真实情况不符，结果可能会产生误差。
测量误差及数据处理
x0
x
相对误差ε是一个无量纲的数据，通常以百分数的形式表
示。相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。例如，
在上面的例子中，ε1＝0.002/20×100%＝0.01%，ε2＝ 0.02/250×100%＝0.008%，可以看出，后者的测量精度更高。
1.2 测量误差的来源
计量器具 误差
计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用
（2）随机误差的评定指标
① 算术平均值 。对同一被测量进行n次等精度测量，测
量结果为x1、x2、…、xn，则算术平均值x 为：
x
x1 x2 xn n
1 n
n i1
xi
测量次数n越大，算术平均值 越趋近于真值x0。因此，用
算术平均值 x 作为最后测量结果是可靠的、合理的。
② 标准偏差σ。
用算术平均值 x 表示测量结果虽然可靠，但不能全面反
映测量精度。例如，有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。
两组测得值的算术平均值 x1＝ x2＝12，但第一组测得
值比较集中，第二组测得值比较分散，也就是说，第一组的 每一个测得值比第二组的更接近于算术平均值，第一组测得 值的测量精度比第二组高。此时，算术平均值就不能准确地 反映测量精度了，而常用标准偏差σ来反映测量精度的高低。
源
误差
所引起的误差。环境条件主要包括温度、湿度、气压、振
动和灰尘等，其中，温度对测量结果的影响最大。
测量人员 误差
测量人员误差是指由测量人员的主观因素所引起的误
差。例如，测量人员技术不熟练、测量瞄准不准确、估读 判断错误和测量习惯等引起的误差。
测量误差与数据处理办法
系统误差不能用增加测量次数来减少。
随机误差：对某一参数在相同条件下进行多次重复测量时，误差的符 号及大小变化无规律，呈现随机性的误差。
可用数理统计理论对随机误差进行研究，作出估计。
粗大误差：由于某些原因造成的使测量值受到显著歪曲的误差，可在 重复测量比较分析后消除。产生原因：测量者的粗心大意，环境的改 变，如受到振动、冲击等。
单次测量的极限误差：
limt
——t称为置信系数
其数值与误差出现的概率有关，设测量值x落在区间
[utxut]
的概率 P { u t x u t} 1
---σ称为显著水平 当t值不同时,概率不同,见P7 表2-1 若取t=1则p=68.26%
t=2，p=95.45% t=3，p=99.73% 接近于100% 而测量值超出[u-3σ, u+3σ ]的概率很小,认为不可能出现.
10:25 PM
测量误差与数据处理办法
11
误差与测量
2.2 不等精度测量
2.2.1 等精度测量与不等精度测量
μ称为电工仪表的等级[指数]，共7级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。 使用μ级精度仪表时可保证：Δ＜Δｍａｘ＝Ｘｍ·μ％
在相同误差Δ下，显然，X越接近Ｘｍ，相对误差越小。（Δ/Ｘ）≥（Δ/Ｘ ｍ）。
10:25 PM
测量误差与数据处理办法
3
误差与测量
2.1.2 测量误差的分类
含粗大误差的测定值应根据一定的客观标法
4
N
lim
n
i
i 1
0
误差与测量
2.1.3 随机误差的特点及估计
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
测量值与测量误差都服从正态分布，只是分布中心不同。随机误差具有如
下特点：
①单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大；
②对称性；绝对值相同、符号相反的误差出现的可能性相等；
N
③相消性：
lim
n
i
i 1
0
④有界性：绝对值大于某数值的随机误差不会出现。
25.01.2021
6
误差与测量
具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布）， 正态分布的概率密度：
1 1 6 4
25.01.2021
16
误差与测量
3. 加权算术平均值的标准差
① 已知各组σi
x i
pi
m
x i
i1pi
② 若已知各组的权且组数足够多时 x
m
pi ( X i X )2
i 1
m
(
m
1) i 1
pi
其中，ｍ为测量组数，x i 为第i组平均值， x 为加权算术平均值。
接上例：
算术平均值来表示，而应遵从一个原则：即可靠性高或精确 度高的测量值在最终测量结果中所占的比重要大一些，而可 靠程度小或精确度低的结果在最终测量结果中所占的比重要 小一些。而普通算术平均值反映不出这种关系。因此引入了 加权算术平均值的概念。
25.01.2021
13
误差与测量
1. 权的概念与确定 权值反映了某一测量值在最终测量结果中的比重，用p来
fx
1 2 ex 2 x p u 2 2
1 2 ex 2 2 2 p
测量值分布中心可用求算术平均值的方法求得：
u =
x
1 N
N
Байду номын сангаасXi
i1
——样本均值。
25.01.2021
7
误差与测量
测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用标准差来评价：
n l im N 1iN 1(xix0)2n l im N 1iN 1i2
lim x 3 N3x
-- x
为算术平均值的标准值
25.01.2021
10
误差与测量
② σ未知时，用σ的估计值S来替代，用算术平均值作为测量结果
则:
limx t(k)
S N
k—自由度=N-1 N 为测量次数 α--显著水平=1-p
③粗大误差的消除:
当测量值产生的误差 |x1x|3 时,便可认为粗大误差可以删除.
举例说明: 电路中
IV R
1. 对电流测量可用间接法.先测量R和V 再算出电流I及误差.(第一 类问题) 2. 若对电路电流误差有要求,则要求VR和R的测量应保证在一定的 范围之内(第二类问题)
—α称为显著水平（不可靠性）
当t值不同时，概率不同 若取t=1 则 p=68.26%
t=2 p=95.45% t=3 p=99.73% 接近于100%
而测量值超过|u± 3σ|的概率很小,认为不可能出现.
25.01.2021
9
误差与测量
所以,单次测量值的极限随机误差可定义为:
lim 3
算术平均值的极限随机误差:
3.1.4 精密度、准确度、精确度
精密度：用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）。 准确度：算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）。 精确度：前二者的综合评定，有时也指精密度。
25.01.2021
11
误差与测量
3.2 不等精度测量
3.2.1 等精度测量与不等精度测量
如果在测量过程中，保证测量环境、仪器、方法、人员水 平及测量次数都相同，这时的单次测量结果或重复测量的算 术平均值具有相同的可靠程度，称之为等精度测量。
∴ 可取：p1=1, p2=16, p3=4
25.01.2021
15
误差与测量
2. 加权算术平均值的计算
m
pixi
X
i1 m
pi
i1
接上例，设 x 12 0 . 5 0x 22 0 . 4 6x 32 0 . 4 0
则 x 1 2 0 .5 0 1 6 2 0 .4 6 4 2 0 .4 0 2 0 .4 5
或用σ的估计值
S N11iN1(xi x)2
——样本标准差
随机误差的分布与测量值相同，只是μ＝０。
25.01.2021
8
误差与测量
2. 极限随机误差的估计 ①σ已知:单次测量的极限随机误差的估计
limt —— t 称为置信系数，其数值与误差出现的概率有关
设测量值x落在区间
[utxut]
的概率 P { u t x u t} 1
若使环境、仪器、方法、人员水平及测量次数中的任一项 改变，则每改变一次后的测量结果与前一次测量结果的可靠 性不同，称之为不等精度测量。
不等精度测量的目的是对不同条件下的测量结果加以比较 分析，以便获得更精确的测量结果。
25.01.2021
12
误差与测量
3.2.2 不等精度测量结果的表示—加权算术平均值 不等精度测量因各组测量值的可靠程度不同，故不能用
3测量误差及数据处理
误差与测量
3.1.3 随机误差的特点及估计
1. 随机误差的特点
随机误差的存在导致每次测量结果有些不同，将测量值进行分组统计(直方 图法)，将最大值与最小值之间进行N等分，在直角坐标系中横轴表示测量值， 纵轴表示测量值落在每一等分内的个数即频数，便可作出直方图，此图显现 中间多、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的随机变量称之为服 从正态分布。
表示。权值的大小与测量值的标准差有关。
① 设在不等精度测量中，各组的算术平均值为x1, x2, x3, ……xm，对应的标准差为σ1 , σ2…… σm 。 则各组的权值为：
P1:P2::Pm=112:12 2::1m 2
即每组的权值与其标准差的平方〈方差〉成反比。
25.01.2021
14
误差与测量
② 若不等精度测量仅为重复次数不同，而其它测量条 件都不变，则可用各组的重复次数ni做该组的权值pi。
例如，1 已知0 三. 0 组4 不等2 精度测0 . 量0 1 结果对3 应的0 标. 0 准2 差分别为：
则：
P1
:
P2
:
P3
=
1
12
:
1
22
:
1
32
1 : 1 : 1 1:16: 4 0.042 0.012 0.022
X
0.04
1 0.0087 1164
或
X
0.01 16 0.0087 1164
或
X
0.02
4 0.0087 1164
25.01.2021
17
误差与测量
3.3 函数误差与误差的传递
一. 直接 测量与间接测量 直接测量—测量的物理量就是所研究的参数. 间接测量—测量某些基本物理量,再根据函数关系求解所要研究的 参数. 研究函数误差就是解决间接测量中的误差传递问题(也称为第一 类问题),另外还要解决误差的分配(也称为第二类问题)