分析化学01第3章误差与数据处理教材
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分 析 化 学第三章 误差和分析数据处理
（二）已知样本标准偏差（s） 对于有限次测定，须根据t分布进行统计处理 1. 使用单次测定值
μ = x t p,f s
2. 使用样本平均值
μ = x t p,f s x = x t p,f
t值可通过p90表4-3查得
s n
t分布的意义 真值虽然不知，但可以通过由有限次
测定值计算出一个范围，它将以一定的置
x-μ u= σ
y = Φ(u) = 1 e 2π
u2 2
标准正态分布曲线
【特点】曲线的形状与µ 和σ的大小无关。
三、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所包围的总面积，
表示来自同一总体的全部测定值或随机误差在上
述区间出现的概率总和为100%。
+
-
1 + Φ(u)du = e du = 1 2π -
正态分布曲线
（二）正态分布曲线的讨论
1.测定值的正态分布（x分布）
（1）x = μ时，其概率密度最大，曲线以x=μ
这一点的垂线为对称轴分布。 （2）精密度不同的两组测定值的正态分布曲 线，σ 值较小的相应的曲线陡峭，σ 值较大的曲 线较平坦。(☆)
（3）µ 和σ是正态分布的基本参数，一旦µ和
σ确定后，正态分布曲线的位置和形状就确了，这
二、正态分布
（一）正态分布曲线的数学表达式 测定次数无限增加，其测定值服从正态分布 的规律，其数学表达式为：
1 y = f(x) = e σ 2π (x-μ)2 2σ 2
σ-总体标准偏差，µ -总体平均值，在无系统 误差存在时，µ 就是真值T。y为测定次数无限时，
测定值xi出现的概率密度。 以x横坐标，y纵坐标 作图，得测定值的正态分布曲线。
第3章-分析化学中的误差与数据处理
随机因素包括：（1）测量时周围环境的温度、湿度、 2、特点： 气压、外电路电压的微小变化 随机性、不可预测性。 （2）尘埃的影响 （3）测量仪器自身的变动性 3、规律：符合正态分布规律。 （4）分析工作者处理各份试样时的微 小差别等。
分 析 化 学 中 的 误 差
系统误差与随机误差的比较
项目 产生原因 分类 性质 影响 系统误差 固定因素 随机误差 不定因素，总是存在
2.乘除法 是各测量步骤相对标准偏差的平方总和
R A B C 和 R m A B C
S R
2 R 2
S A
2 A 2
S B
2 B 2
S C
2 C 2
分 析 化 学 中 的 误 差
3.指数关系运算时( R mA
n
)则为
SR R
分 析 化 学 中 的 误 差
§3-1 分析化学中的误差
关键词： 误 差 系统误差 偶然误差 公 差
偏
差
准 确 度
精 密 度
分 析 化 学 中 的 误 差
课程学习要点
1、理解真值、中位数、极差、偏差的含义。
2、掌握系统误差和随机误差的产生、特点及消除方法。
3、理解准确度与误差、精密度与偏差的含义及二者关系
二、平均值(算术平均值)：
n次测量：
x
x1 x 2 x n n
x n
i 1
1
n
i
分 析 化 学 中 的 误 差
三、中位数（xM）
将测定数据由小到大排列， 当n为奇数时，最中间的数据为中位数。 X1、 X2 、 X3 、 X4 、 X5 、 X6 、 X7、 当n为偶数时，中间两位数的平均数为中位数。 X1、 X2 、 X3 、 X4 、 X5 、 X6、
分 析 化 学 中 的 误 差
系统误差与随机误差的比较
项目 产生原因 分类 性质 影响 系统误差 固定因素 随机误差 不定因素，总是存在
2.乘除法 是各测量步骤相对标准偏差的平方总和
R A B C 和 R m A B C
S R
2 R 2
S A
2 A 2
S B
2 B 2
S C
2 C 2
分 析 化 学 中 的 误 差
3.指数关系运算时( R mA
n
)则为
SR R
分 析 化 学 中 的 误 差
§3-1 分析化学中的误差
关键词： 误 差 系统误差 偶然误差 公 差
偏
差
准 确 度
精 密 度
分 析 化 学 中 的 误 差
课程学习要点
1、理解真值、中位数、极差、偏差的含义。
2、掌握系统误差和随机误差的产生、特点及消除方法。
3、理解准确度与误差、精密度与偏差的含义及二者关系
二、平均值(算术平均值)：
n次测量：
x
x1 x 2 x n n
x n
i 1
1
n
i
分 析 化 学 中 的 误 差
三、中位数（xM）
将测定数据由小到大排列， 当n为奇数时，最中间的数据为中位数。 X1、 X2 、 X3 、 X4 、 X5 、 X6 、 X7、 当n为偶数时，中间两位数的平均数为中位数。 X1、 X2 、 X3 、 X4 、 X5 、 X6、
分析化学第三章 分析化学中的误差与数据处理_OK
分类
方法误差、仪器与试剂 环境的变化因素、主
误差、主观误差
观的变化因素等
性质
重现性、单向性（或周 服从概率统计规律、
期性）、可测性
不可测性
影响
准确度
精密度
消除或减 小的方法
校正
增加测定的次数 12
系统误差的校正
• 方法系统误差——方法校正 • 主观系统误差——对照实验校正（外检） • 仪器系统误差——对照实验校正 • 试剂系统误差——空白实验校正
误差
10
• 随机误差： • 由某些不固定偶然原因造成，使测定结果在一定范围内波动，大小、正负不定，难以
找到原因，无法测量。 • 特点：不确定性；不可避免性。 • 只能减小，不能消除。每次测定结果无规律性，多次测量符合统计规律。 • 过失、错误误差
11
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因 固定因素，有时不存在 不定因素，总是存在
相对误差: 绝对误差占真值的百分比,用Er表示
Er =E/xT = x - xT /xT×100％
2
相对误差反映误差在真值中所占的比例
误差以真值为标准
真值：某一物理量本身具有的客观存在的真实值。真值是
未知的、客观存在的量。在特定情况下认为 是已知的：
理论真值（如化合物的理论组成）(如，NaCl中Cl的 含量） 计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质 量、物质的量单位等等） 相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精 度的测量值）（例如，标准样品的标准值）
6 15.99 34 0.172
7 16.02 55 0.278
8 16.06 40 0.202
9 16.09 20 0.101
第三章 分析化学中的误差与数据处理解读
平均偏差
例4：有两组测定值 甲组：2.9 2.9 3.0 3.1 3.1
乙组：2.8 解：甲组：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.0
3.0
3.0
3.2
平均值=3.0 平均偏差=0.08
乙组：
平均值=3.0 平均偏差=0.08
5)标准偏差：又称均方根偏差,当测定次数趋于无限 多时，称为总体标准偏差，用σ 表示。
总体标准差：
d
i 1
n
xi x n
4)相对平均偏差：平均偏差与测量平均值的比值
d 相对平均偏差 % 100% x
x
i 1
n
i
x 100%
nx
说明：平均偏差不计正负号.
缺点：小偏差的测定总是占多数，大偏差的测定总
是占少数，按总的测定次数去求平均偏差所得的结
果偏小，大偏差得不到充分的反映。
标准参考物质：指某些具有确定含量的组分，在实际
样品定量测定中用作计算被测组分含量的直接或间接 的参照标准的一类物质。 经公认的权威机构鉴定并给予证书的 具有很好的均匀性和稳定性 含量测量的准确度至少高于实际测量3倍
例1：用分析天平称量两物体的质量各为1.6380g和0.1637g， 假定两者的真实质量分别为1.6381g和0.1638g,求两者称量的 绝对误差 和相对误差。 解：两者称量的绝对误差分别为
精密度: 平行测定结果相互靠近的程度，用偏差衡量。
偏差: 测量值与平均值的差值，用 d表示
1）绝对偏差：个别测量值与平均值之间的差值, 用 d表示。 各单次测定的偏差相 加，其和为零。
∑ di = 0
2）相对偏差：绝对偏差与平均值的比值。
dr
(正式)第三章 分析化学中的误差和数据处理
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2011-3-10
di Rd i = × 100 % x
3）平均偏差 average deviation
1 d = n
n i =1
∑
di
4）相对平均偏差 relative average deviation
只 有 正
d Rd = ×100% x
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2011-3-10
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2-21 返回
极值误差 最大可能误差 ER=|EA|+|EB|+|EC| ER/R=|EA/A|+|EB/B|+|EC/C|
R=A+B-C R＝AB/C
2011-3-10
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2-22 返回
3.2 有效数字及其运算规则
23.43、23.42、23.44mL
最后一位无刻度， 最后一位无刻度，估计的， 估计的，不是 很准确， 但不是臆造的， 可疑数字。 很准确 ，但不是臆造的 ，称可疑数字 。 ** 记录测定结果时， 记录测定结果时，只能保留一 位可疑数字。 位可疑数字 。
7）极差(range) 一组平行测定值中最大与最小之差。 一组平行测定值中最大与最小之差。
R = x max − x min
总之： 总之： 和_ E_ 表示准确度 表示准确度高低用 准确度高低用E_ r 表示精密度 表示精密度高低用 精密度高低用 d d/x S CV RSD
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(代表测定值的分散程度)
2011-3-10
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1）绝对偏差(absolute deviation)
简称“偏差”
绝对偏差=个别测定值－ 个别测定值－算术平均值 有正、 有正、负
2011-3-10
di Rd i = × 100 % x
3）平均偏差 average deviation
1 d = n
n i =1
∑
di
4）相对平均偏差 relative average deviation
只 有 正
d Rd = ×100% x
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极值误差 最大可能误差 ER=|EA|+|EB|+|EC| ER/R=|EA/A|+|EB/B|+|EC/C|
R=A+B-C R＝AB/C
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3.2 有效数字及其运算规则
23.43、23.42、23.44mL
最后一位无刻度， 最后一位无刻度，估计的， 估计的，不是 很准确， 但不是臆造的， 可疑数字。 很准确 ，但不是臆造的 ，称可疑数字 。 ** 记录测定结果时， 记录测定结果时，只能保留一 位可疑数字。 位可疑数字 。
7）极差(range) 一组平行测定值中最大与最小之差。 一组平行测定值中最大与最小之差。
R = x max − x min
总之： 总之： 和_ E_ 表示准确度 表示准确度高低用 准确度高低用E_ r 表示精密度 表示精密度高低用 精密度高低用 d d/x S CV RSD
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(代表测定值的分散程度)
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1）绝对偏差(absolute deviation)
简称“偏差”
绝对偏差=个别测定值－ 个别测定值－算术平均值 有正、 有正、负
第3章分析化学中的误差与数据处理ZZ
5
准确度与精密度的关系 如何从准确度与精密度两方面来 衡量分析结果的好坏呢？有甲、乙、丙、 丁四人分析
真值=37.40% 甲 乙 丙 丁 35.50 36.00 36.50 37.00 37.50 38.00
图2-1 不同分析人员对同一样品的测量结果 ( 表示单个测量值， | 表示平均值)
四、有效数字运算规则在分析化学中的 应用 1、记录测量数据时，只允许保留一位不 确定数字。 2、高含量组分（大于10%） 四位 中含量组分（1%～10%） 三位 微量组分（小于1% ） 两位 各种误(偏)差 一到两位
34
第六节 提高分析结果准确度的方法
一、选择适当的分析方法 根据对测定结果要求的准确度与试样的组成、 性质和待测组分的相对的含量选择适当的分析方法。 二、减小测量的相对误差（指所用仪器和量器的测 量误差） 例：要使结果的相对误差不大于0.1%，那么用 万分之一 的分析天平称量样品至少要称取多少克？ 用50mL的 滴定管至少需消耗多少毫升？ 0.2g 20mL
25
操作倾向误差
这类误差的数据因人而异，但对同一人 而言基本上是恒定的；方法误差与操作 误差不同，前者属于方法本身的固有特 性，而后者属于操作者处理不当。从数 值上，前者并不因人而异，而后者却因 人而异。
26
偶然误差
偶然误差(random errors)又称为不可测误差 (imdeterminate errors),是指在多次测定中，某 些随机的、偶然性的原因而产生的非恒定性 的误差。例如连续称量同一坩埚四次，得到 如下重量(g)： 29.3465 29.3464 29.3466 29.3465 造成这种现象的原因可能有天平本身具有一 定的波动性、坩埚和砝码上吸附空气中微量 水分的变化、天平箱内温度或气流的微小变 化、空气中尘埃降落速度的不恒定。
准确度与精密度的关系 如何从准确度与精密度两方面来 衡量分析结果的好坏呢？有甲、乙、丙、 丁四人分析
真值=37.40% 甲 乙 丙 丁 35.50 36.00 36.50 37.00 37.50 38.00
图2-1 不同分析人员对同一样品的测量结果 ( 表示单个测量值， | 表示平均值)
四、有效数字运算规则在分析化学中的 应用 1、记录测量数据时，只允许保留一位不 确定数字。 2、高含量组分（大于10%） 四位 中含量组分（1%～10%） 三位 微量组分（小于1% ） 两位 各种误(偏)差 一到两位
34
第六节 提高分析结果准确度的方法
一、选择适当的分析方法 根据对测定结果要求的准确度与试样的组成、 性质和待测组分的相对的含量选择适当的分析方法。 二、减小测量的相对误差（指所用仪器和量器的测 量误差） 例：要使结果的相对误差不大于0.1%，那么用 万分之一 的分析天平称量样品至少要称取多少克？ 用50mL的 滴定管至少需消耗多少毫升？ 0.2g 20mL
25
操作倾向误差
这类误差的数据因人而异，但对同一人 而言基本上是恒定的；方法误差与操作 误差不同，前者属于方法本身的固有特 性，而后者属于操作者处理不当。从数 值上，前者并不因人而异，而后者却因 人而异。
26
偶然误差
偶然误差(random errors)又称为不可测误差 (imdeterminate errors),是指在多次测定中，某 些随机的、偶然性的原因而产生的非恒定性 的误差。例如连续称量同一坩埚四次，得到 如下重量(g)： 29.3465 29.3464 29.3466 29.3465 造成这种现象的原因可能有天平本身具有一 定的波动性、坩埚和砝码上吸附空气中微量 水分的变化、天平箱内温度或气流的微小变 化、空气中尘埃降落速度的不恒定。
第三章分析化学中的误差与数据处理
2.计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质量、 物质的量单位等）由标准参考物质证书上给出的数值或有 经验的人用可靠方法多次测定的平均值，确认消除系统误 差；
3.相对真值，认定精度高一个数量级的测量值作为低一级 精度的测量值的真值，这种真值是相对比较而言的（如科 学实验中使用的标准试样及管理试样中组分的含量等）。
随机误差的传递
1.加减法
Y k k a A kb B k c C s k s k s k s
2 Y 2 2 a A 2 2 b B 2 2 c C
2.乘除法
3.指数关系
Y m An
2 2 sY s 2 A n Y2 A2
4.对数关系
Y m lg A
AB Y m C 2 2 2 2 sY s A sB sC 2 2 2 2 Y A B C
滴定剂体积应为20～30mL
Er 0.1% 1%
0.02 mL 0.02 mL
称样质量应大于0.2g
E 0.2 mg 0.2 mg
Er 0.1% 1%
例3：测定含铁样品中w(Fe), 比较结果的准确度。
A. 铁矿中，
xT 62.38%, x 62.32% Ea x xT 0.06%
示 : 1000 (1.0×103 ，1.00×103，1.000 ×103 )。
零的具体作用： *在1.0008中，“0” 是有效数字； *在0.0382中，“0”定位作用，不是有效数字； *在0.0040中，前面3个“0”不是有效数字， 后面一个“0”是有效数字。 *在3600中，一般看成是4位有效数字，但它可能是 2位或3位有效数字，分别写3.6×103，3.60×103或 3.600×103较好。
第三章 分析化学中的误差与数据处理
0.08
0.06
y
0.04
0.02
0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
（1）离散特性：各数据是分散的，波动的
σ: 总体标准偏差
σ =
(x i − µ )2 ∑
i =1
n
n
µ
（2）集中趋势：有向某个值集中的趋势
µ: 总体平均值
1 n lim ∑ x = µ n→∞ n i =1
i
δ: 总体平均偏差 δ =
i=1
∑ xi − µ
n
n
δ = 0.797 σ≈0.80σ
2. 随机误差的正态分布
1 − ( x − µ ) 2 / 2σ 2 y = f ( x) = e σ 2π
其中，y 表示概率密度 x 表示测量值 μ表示总体平均值 σ为总体标准偏差
随机误差出现的概率总和
P=∫
统计检验的正确顺序：
可疑数据取舍
F 检验
t 检验
3.6 回归分析法
3.6.1 一元线性回归方程及回归直线
禁止分次修约 0.57 0.5749
×
0.5750.58源自运算时可多保留一位有效数字进行
3.2.3 运算规则 1. 加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最 大的数。 (与小数点后位数最少的数一致) 0.112+12.1+0.3214=12.5 2. 乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大 的数相适应 (与有效数字位数最少的一致) 0.0121×25.66×1.0578＝0.328432
ER=mEA+nEB-pEC ER/R=EA/A+EB/B-EC/C ER/R=nEA/A ER=0.434mEA/A
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标准方法对照试验：选用国家规定的标准方法或公认的分析 方法对同一试样进行分析，结果是否一致判断所用方法有无 系统误差。
标准加入法（加入回收试验）：取两份等量试样，其中一份 加入已知量的待测组分，由加入待测组分的量是否回收判断 分析方法有无系统误差。回收率：常量99％；微量90~110％。
空白试验：溶液中不加待测组分，按同样方法进行试验，得 空白值，从试样分析结果中扣除。
算术平均值： x x1 x2 xn
n
个别测定的绝对误差： E xi xT
有 正
测定结果的绝对误差： Ea x T
负
测定结果的相对误差： 中位数：
Er
Ea 100% T
之 分
真值xT (True value)
某一物理量本身具有的客观存在的真实值，
是未知的、客观存在的量。在特定情况下认 为 是已知的：
0.4
0.2
n
0.0
1 5 10 15 20
（三）系统误差与随机误差
1.系统误差—某种固定的因素造成的误差 产生的原因：
⑴ 方法误差——选择的方法不够完善； 例：重量分析中沉淀的溶解损失，滴定分析中 指示剂选择不当。 ⑵ 仪器误差——仪器本身的缺陷； 例：天平两臂不等，砝码未校正；滴定管，容 量瓶未校正。 ⑶ 试剂误差——所用试剂有杂质； 例：去离子水不合格，试剂纯度不够。 ⑷ 主观误差——操作人员主观因素造成 例：对指示剂颜色辨别偏深或偏浅
RSD% s 100 x
例:水垢中Fe2O3 的百分含量测定数据为： （测定6次）79.58%，79.45%，79.47%，
79.50%，79.62%，79.38%。求测定的平
均偏差、相对平均偏差、标准偏差、相
对标准偏差。
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。（大 偏差得到应有反映） 例: 两组数据
Ea x T 0.06%
Er
Ea T
100%
－0.06 /
62.38
0.1%
B.待L测i2C组EEO分rrr 3含试ETEE量TT样aaa越中1高011,000，%00TE% %相a0对0..0x0－0误0.4020差20/T.%02要.6/0,0/4求026.0.越2x04.0325小28%%0；.50% 440%.1%
2. 偏差（deviation): 表示精密度高低的量。
对试样进行n次测量
偏差: di xi x
n
平均偏差:
xi x d i1
n
相对平均偏差:
d
d r % 100
x
极差(全距): R xmax xmin
标准偏差:又称均方根差
n
(xi x)2
s i1 n 1
相对标准偏差 (变异系数):
性质
重现性、单向性（或 服从概率统计规 周期性）、可测性 律、不可测性
影响
准确度
精密度
消除或减 小的方法
校正
增加测定的次数
（四）误差的传递
误差传递的方式
取决于误差的性质（系统误差或随机误 差）；
取决于分析结果与测量值之间的化学计 量关系（计算方式）。
设分析结果Y 由测
1.系统误差的传递
量值A、B、C 计算
第3章 分析化学中的误差与数据处理
一、有关误差的一些基本概念 （一）准确度与精密度 （二）误差与偏差 （三）系统误差与随机误差 （四）误差的传递 （五）有效数字
一、有关误差的一些基本概念 （一）准确度与精密度
准确度 Accuracy
准确度表征测量值与真实值的符合程度。 准确度用误差表示。
• 精密度 Precision
2.随机误差（偶然误差) —不定因素造成的误差 特点：（1）可变， （2） 服从服从统计规律 （3） 不可避免。 减免方法：增加平行测定次数。
3.过失误差—粗心大意引起 运算或记录错误
重做!
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因
固定因素，有时不存 在
偶然因素，总是 存在
分类
方法误差、仪器与试 环境的变化因素 剂误差、主观误差 主观的变化因素
待测组分含量越低，相对误差要求越大。
a. 基准物：
硼砂 Na2B4O7·10H2O M=381
碳酸钠 Na2CO3
M=106
选哪一个更能使测定结果准确度高？
（不考虑其他原因，只考虑称量）
b. 如何确定滴定体积消耗？
0.00～10.00mL；20.00～25.00mL； 40.00～ 50.00mL
精密度表征平行测量值的相互符合程度。 精密度用偏差表示。
• 准确度与精密度的关系
x1 x2
x3
x4
1.精密度是保证准确差
1. 误差（Error）：表示准确度高低的量。
对一物质客观存在量为xT 的分析对象进行n 次分析得到n个测定值 x1、x2、x3、••• xn：
特点： (1)对分析结果系统偏高或偏低，具单向性； (2)理论上大小可测； (3)重复测定，重复出现； (4)影响准确度，不影响精密度； (5)可以减免。
减免方法： 1、方法误差—做对照试验、加入回收试验； 2、仪器误差— 校正仪器； 3、试剂误差— 做空白试验
标准样品对照试验：选择标准试样，按同样方法进行分析， 由是否总偏高或偏低判断分析方法有无系统误差。
1、理论真值（如化合物的理论组成）(如， NaCl中Cl的含量）
2、计量学约定真值（如国际计量大会确定的 长度、质量、物质的量单位等等）
3、相对真值（如高一级精度的测量值相对于 低一级精度的测量值）（例如，标准样品的标 准值）
例1 测定含铁样品中w(Fe), 比较结果的准确度。
A. 铁矿中， T 62.38%, x 62.32%
d1=d2, Ｓ1>Ｓ2
实际工作中多用RSD表示分析结果的精密度。
平均值的标准偏差
m个n次平行测定的平均值： 由统计学可得：
平均值的标准偏差随测
1.0
量次数的增加而降低:
0.8
增加测量次数可以减少
随 机 误 差 , 提 高 精 密 度 。 0.6
实际分析中，一般
平行测定2~4次， 要求高时5~9次。
1. x-x: n=8 d1=0.28 Ｓ1=0.38
0.11, -0.73, 0.24, 0.51, -0.14, 0.00, 0.30, -0.21
2. x-x: n=8 d2=0.28 Ｓ2=0.29
0.18, 0.26, -0.25, -0.37, 0.32, -0.28, 0.31, -0.27
标准加入法（加入回收试验）：取两份等量试样，其中一份 加入已知量的待测组分，由加入待测组分的量是否回收判断 分析方法有无系统误差。回收率：常量99％；微量90~110％。
空白试验：溶液中不加待测组分，按同样方法进行试验，得 空白值，从试样分析结果中扣除。
算术平均值： x x1 x2 xn
n
个别测定的绝对误差： E xi xT
有 正
测定结果的绝对误差： Ea x T
负
测定结果的相对误差： 中位数：
Er
Ea 100% T
之 分
真值xT (True value)
某一物理量本身具有的客观存在的真实值，
是未知的、客观存在的量。在特定情况下认 为 是已知的：
0.4
0.2
n
0.0
1 5 10 15 20
（三）系统误差与随机误差
1.系统误差—某种固定的因素造成的误差 产生的原因：
⑴ 方法误差——选择的方法不够完善； 例：重量分析中沉淀的溶解损失，滴定分析中 指示剂选择不当。 ⑵ 仪器误差——仪器本身的缺陷； 例：天平两臂不等，砝码未校正；滴定管，容 量瓶未校正。 ⑶ 试剂误差——所用试剂有杂质； 例：去离子水不合格，试剂纯度不够。 ⑷ 主观误差——操作人员主观因素造成 例：对指示剂颜色辨别偏深或偏浅
RSD% s 100 x
例:水垢中Fe2O3 的百分含量测定数据为： （测定6次）79.58%，79.45%，79.47%，
79.50%，79.62%，79.38%。求测定的平
均偏差、相对平均偏差、标准偏差、相
对标准偏差。
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。（大 偏差得到应有反映） 例: 两组数据
Ea x T 0.06%
Er
Ea T
100%
－0.06 /
62.38
0.1%
B.待L测i2C组EEO分rrr 3含试ETEE量TT样aaa越中1高011,000，%00TE% %相a0对0..0x0－0误0.4020差20/T.%02要.6/0,0/4求026.0.越2x04.0325小28%%0；.50% 440%.1%
2. 偏差（deviation): 表示精密度高低的量。
对试样进行n次测量
偏差: di xi x
n
平均偏差:
xi x d i1
n
相对平均偏差:
d
d r % 100
x
极差(全距): R xmax xmin
标准偏差:又称均方根差
n
(xi x)2
s i1 n 1
相对标准偏差 (变异系数):
性质
重现性、单向性（或 服从概率统计规 周期性）、可测性 律、不可测性
影响
准确度
精密度
消除或减 小的方法
校正
增加测定的次数
（四）误差的传递
误差传递的方式
取决于误差的性质（系统误差或随机误 差）；
取决于分析结果与测量值之间的化学计 量关系（计算方式）。
设分析结果Y 由测
1.系统误差的传递
量值A、B、C 计算
第3章 分析化学中的误差与数据处理
一、有关误差的一些基本概念 （一）准确度与精密度 （二）误差与偏差 （三）系统误差与随机误差 （四）误差的传递 （五）有效数字
一、有关误差的一些基本概念 （一）准确度与精密度
准确度 Accuracy
准确度表征测量值与真实值的符合程度。 准确度用误差表示。
• 精密度 Precision
2.随机误差（偶然误差) —不定因素造成的误差 特点：（1）可变， （2） 服从服从统计规律 （3） 不可避免。 减免方法：增加平行测定次数。
3.过失误差—粗心大意引起 运算或记录错误
重做!
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因
固定因素，有时不存 在
偶然因素，总是 存在
分类
方法误差、仪器与试 环境的变化因素 剂误差、主观误差 主观的变化因素
待测组分含量越低，相对误差要求越大。
a. 基准物：
硼砂 Na2B4O7·10H2O M=381
碳酸钠 Na2CO3
M=106
选哪一个更能使测定结果准确度高？
（不考虑其他原因，只考虑称量）
b. 如何确定滴定体积消耗？
0.00～10.00mL；20.00～25.00mL； 40.00～ 50.00mL
精密度表征平行测量值的相互符合程度。 精密度用偏差表示。
• 准确度与精密度的关系
x1 x2
x3
x4
1.精密度是保证准确差
1. 误差（Error）：表示准确度高低的量。
对一物质客观存在量为xT 的分析对象进行n 次分析得到n个测定值 x1、x2、x3、••• xn：
特点： (1)对分析结果系统偏高或偏低，具单向性； (2)理论上大小可测； (3)重复测定，重复出现； (4)影响准确度，不影响精密度； (5)可以减免。
减免方法： 1、方法误差—做对照试验、加入回收试验； 2、仪器误差— 校正仪器； 3、试剂误差— 做空白试验
标准样品对照试验：选择标准试样，按同样方法进行分析， 由是否总偏高或偏低判断分析方法有无系统误差。
1、理论真值（如化合物的理论组成）(如， NaCl中Cl的含量）
2、计量学约定真值（如国际计量大会确定的 长度、质量、物质的量单位等等）
3、相对真值（如高一级精度的测量值相对于 低一级精度的测量值）（例如，标准样品的标 准值）
例1 测定含铁样品中w(Fe), 比较结果的准确度。
A. 铁矿中， T 62.38%, x 62.32%
d1=d2, Ｓ1>Ｓ2
实际工作中多用RSD表示分析结果的精密度。
平均值的标准偏差
m个n次平行测定的平均值： 由统计学可得：
平均值的标准偏差随测
1.0
量次数的增加而降低:
0.8
增加测量次数可以减少
随 机 误 差 , 提 高 精 密 度 。 0.6
实际分析中，一般
平行测定2~4次， 要求高时5~9次。
1. x-x: n=8 d1=0.28 Ｓ1=0.38
0.11, -0.73, 0.24, 0.51, -0.14, 0.00, 0.30, -0.21
2. x-x: n=8 d2=0.28 Ｓ2=0.29
0.18, 0.26, -0.25, -0.37, 0.32, -0.28, 0.31, -0.27