高考数学-计数原理-3-排列组合
第3讲 排列组合
第3讲 排列组合1．分类加法计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．如图，从甲地到乙地有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？2．分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．如图，从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？【教师备案】因为我们在必修3的时候讲过计数原理，所以本讲我们在讲计数原理之前给学生复习一下加法和乘法原理，老师可以借助于上边的两个图让学生从直观理解加法和乘法原理，讲完两个原理之后就可以让学生做例1.【例1】 两个原理⑴一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同． ① 从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？③ 把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ ⑵乘积()()()a b c d m n x y z ++++++展开后共有多少项？【解析】 ⑴①任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法，用分类计数原理，共有549+=种．②各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步计数原理，共有5420⨯=种.③若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有10种可能性，即可能装入0，1，2，…，9封信等不同情况．但再考虑第二个邮筒时，装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响，非常麻烦；若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能……第九封信还有4种可能．由分类计数原理可知，共有94种不同的放法． ⑵由分步计数原理得一共有42324⨯⨯=项．将三封不同的信投入五个信箱里，共有几种投信方法？【解析】 125种3.1课前回顾经典精讲知识点睛丙乙甲乙甲铁路2铁路1公路3公路2公路1【思路】第一封信可投入5个信箱中任一个，故有5种投法；第二、三封信也可随机地投入5个信箱中的任一个，各有5种投法，依乘法原理，共有35555125⨯⨯==种投法．【错因分析】误区：分步，第一个信箱可以不放信，放1封，放2封，放3封，共有4种不同的放法，所以共有54种投信方法．错误原因是对完成一件事的过程认识模糊，且对象选定不准，若第一步三封信都在第一个信箱里，则事件已完成，不需后续几步；若五步都没有放信，则五步全做完，事件还未完成．【备选】 ⑴ 5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？⑵ 若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同情况（没有并列冠军）? 【解析】 ⑴每名学生都可从3项体育项目中选1项，有3种选法，故5名学生的参赛方法有53种；⑵每个冠军皆有可能被5名学生中任1人获得，3个冠军依次被获得的不同情况有35种．1．排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）【教师备案】在日常生活中我们经常遇到下面一些问题，这些问题有什么共同特征呢？ 问题1：3名同学排成一行照相，有多少种排法？方法1（枚举法）把3名同学用A B C ，，作为代号，于是有以下6种排法：ABC ACB BCA BAC CAB CBA ，，，，， 方法2（分步计数）A B C ，，三人排成一行，可以看作将字母A B C ，，顺次排入图中的方格中.首先排第一个位置：从 A B C ，，中任选1个人，有3种方法；其次排第二个位置：从剩下的2个人中任选1人，有2种方法；最后排第三个位置：只有1种方法.根据乘法原理，3名同学排成一行照相，共有3216⨯⨯=种排法.问题2：北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ 方法1（枚举法）列出每一个起点和终点情况，如图所示：所以一共有12种机票.方法2（分步计数）我们按照始点、终点站的顺序进行排列：第一步：先确定起始站，起始站有4种选择方法；第二步：再确定终点站，对应于起始站的每一种选择，终点站都有3种选择方法.根据乘法原理，共有4312⨯=种机票.问题3：从4面不同颜色的旗子中，选出3面排成一行作为一种信号，能组成多少种信号：知识点睛3.2排列广州天津广州北京解决这个问题可以分三步进行：第一步：先选第1面旗子，有4种选择方法；第二步：在剩下的3种颜色中，再选第2面旗子，有3种选法；第三步：在剩下的2种颜色中，选最后一面旗子，有2种选法.根据乘法原理，共有43224⨯⨯=种选法，而每种选法对应一种信号，故共能组成24种信号在上面讨论的问题中，问题1是从3个不同元素中取出3个元素的排列，问题2是从4个不同元素中取出2个元素的排列问题，问题3是从4个不同元素中取出3个元素的排列问题.【挑战五分钟】写出：⑴从4个元素a b c d ，，，中任取2个元素的所有排列；⑵从5个元素a b c d e ，，，，中任取3个元素且包含e 的所有排列. 【解析】 ⑴ab ac ad bc bd cd ，，，，，，ba ca da cb db dc ，，，，，⑵从排列的直观意义可以看出是从⑴中的每个排列加一个e 就可以了，而e 又可以随便放，所以共有：abe ace ade bce bde cde ，，，，，，bae cae dae cbe dbe dce ，，，，，，aeb aec aed bec bed ced ，，，，，，bea cea dea ceb deb dec ，，，，，，eab eac ead ebc ebd ecd ，，，，，，eba eca eda ecb edb edc ，，，，，2．排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n m n +∈N ≤，，个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．3．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n *∈N ，，并且m n ≤．从形式上看排列数A m n 等于从n 开始的m 个数相乘，比如：39A 987=⨯⨯是从9开始的3个数相乘.【教师备案】在讲排列时我们讲了几个排列问题，那么，对于一般的排列问题如何计算所有排列的个数呢？我们把从n 个不同的元素中任意取出()m m n ≤个元素的排列，看成从n 个不同的球中选出m 个球，放第2步：从剩下的1n -个球中选出一个放入第2个盒子，有1n -种选法；第3步：从剩下的2n -个球中选出一个放入第3个盒子，有2n -种选法；第m 步：从剩下的()1n m --个球中选出一个放入第m 个盒子，有()1n m --种选法.根据乘法原理，一共有()()()121n n n n m ----⎡⎤⎣⎦种放法.4．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．()A 121!n n n n n =⨯-⨯⨯⨯= ()!A (1)(2)(1)!m n n n n n n m n m =---+=-． 【教师备案】我们可以对A (1)(2)(1)mn n n n n m =---+进行变形：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+()()()()()()()()121121!121!n n n n m n m n m n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅--⋅⋅⋅==-⋅--⋅⋅⋅-【教师备案】老师在讲排列时，建议先讲排列问题，什么是排列，让学生从直观上理解排列，多举几个小例子，具体例子见上边排列问题中的教师备案，然后让学生写排列，这时就可以让学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的排列之后，那排列数是多少呢？不可能每次做题时都把所有的排列写出来，然后数一下，这时，我们就需要排列数的公式了，所以老师就可以给学生讲解排列数公式，讲完排列数之后，要让学生熟练的运用排列数公式，这时，就可以做例2.学生理解排列并知道排列数如何计算后，就要从直观理解排列，具体见例3.最后讲数字问题，在讲数字问题时，先以【铺垫】为例，给学生讲一个最简单的排数字问题，然后再讲例4，含有0的排数字问题.【例2】 计算排列数⑴计算310A ，66A ，4288A 2A -，548885892A 7A A A +- ⑵求证：11A A A m m m n n n m -+-=． ⑶解方程322A 100A x x =．【解析】 ⑴310A 1098720=⨯⨯=，66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=，4288A 2A 87652871568-=⨯⨯⨯-⨯⨯=，548885892A 7A 28765478765A A 8765432198765+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯8765(87)18765(249)⨯⨯⨯⨯+==⨯⨯⨯⨯-. ⑵ 解法一：∵1(1)!!A A (1)!()!m mn n n n n m n m ++-=-+--!11()!1n n n m n m +⎛⎫=⋅- ⎪-+-⎝⎭1!!A ()!(1)(1)!m n n m n m m n m n m n m -=⋅=⋅=-+-+-，∴11A A A m m m n n nm -+-=． 解法二：可以从排列的直观意义解释，1A m n +表示从1n +个元素中取m 个元素的排列个数，其中不含某元素1a 的有A m n 个，故含1a 的排列共有1A A m m n n +-种；含有1a 的可这样进行排列：先排1a ，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出1m -个元素排在剩下的1m -个位置，有1A m n -种排法，故含1a 的排法有1A m n m -种.所以11A A A m m m n n nm -+-=． ⑶ 原方程可化为2(21)(22)100(1)x x x x x --=-∵0x ≠且1x ≠，∴2125x -=解得13x =，经检验13x =是原方程的根．【备选】学生刚接触排列，所以对排列数的计算还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下面的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题：⑴25A =_____，⑵46A =____，⑶48A =____，⑷210A =____，⑸410A =____， ⑹332A =____，⑺55A =____，⑻56A =____，⑼88A =_____，⑽4399A A -=____， ⑾32109A A -=____，⑿32545A 4A +=_____，⒀4288A 4A -=____，⒁12344444A A A A +++=_____，⒂1148A A =_____，⒃1299A A =_____，⒄812712A A =_____，⒅7312512122A A A =_____，⒆37107A A 10!=_____，⒇54101054994A A A A -=-____ 【解析】 ⑴25A 5420=⨯=；⑵46A 6543360=⨯⨯⨯=；⑶48A 87651680=⨯⨯⨯=； ⑷210A 10990=⨯=；⑸410A 109875040=⨯⨯⨯=；⑹332A 232112=⨯⨯⨯=； ⑺55A 54321120=⨯⨯⨯⨯=；⑻56A 65432720=⨯⨯⨯⨯=；⑼88A 8765432140320=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=；⑽4399A A 98769872520-=⨯⨯⨯-⨯⨯=； ⑾32109A A 109898648-=⨯⨯-⨯=；⑿32545A 4A 5543443348+=⨯⨯⨯+⨯⨯=；经典精讲⒀4288A 4A 87654871456-=⨯⨯⨯-⨯⨯=；⒁12344444A A A A 443432432164+++=+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=；⒂1148A A 4832=⨯=； ⒃1299A A 998648=⨯⨯=；⒄812712A 121110987655A 1211109876⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ⒅7312512122A A 212111098765431A 121110987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ⒆37107A A 10987654321110!10987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；⒇54101054994A A 410987610987115A A 98765987612-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯.【铺垫】⑴一家有四口人，每年照一张全家福，他们突然想到一件事情，想让每年这四个人的排列方式都不完全相同.比如今年是ABCD ，明年就可以是ABDC .那么这家人的 “全家福”计划最多可以实行多少年呢？ ⑵这家人掐指一算，发现很快就不能继续拍了，可能过了某年之后，无论怎么排列都会和往 年重复，于是这家人决定要一个小孩，这样又可以多拍几年，那么假设有了一个孩子之后， “全家福”计划最多可以实行多少年呢？ 【解析】 ⑴若一家有4口人，则能得到每张全家福每个人的位置都不相同的照片，因为4个人全排有44A 24=种情况，也就是24年内可以不重复，以后就会出现重复，所以“全家福”计划最多实行24年.⑵5个人全排有55A 120=种情况，所以“全家福”计划最多实行120年.【例3】从直观上理解排列⑴从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少 种不同的种植方法？⑵在某乒乓球团体赛中，有一方派了4名运动员参赛，采取三局两胜制，前两局单打，最后一局双打，每个运动员只出场一次，则有几种出场顺序？【追问】在2012年的伦敦奥运会中，参加乒乓球团体赛的有3个人，每名运动员出场两次，按照五局三胜制，一、二、四、五场单打，第三场双打，并且比赛顺序是：第一场：A ；第二场：B ；第三场：C A +或B ；第四场：A 或B ；第五场：C ；且如果参加了双打比赛，就不能参加后面的单打比赛；不参加双打比赛的运动员需要参加后面的单打比赛.现我们派张继科、王皓、马龙出场，则有多少不同的方法排定他们的出场顺序？【解析】 ⑴将4种不同的蔬菜品种看作4个不同的元素，则本题即为从4个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的种植方法共有34A 43224=⨯⨯=种⑵因为前两局是单打，所以从参赛的4名运动员中取2名运动员去打单打比赛，最后两个人打双打比赛就可以了，所以不同的出场顺序共有24A 4312=⨯=种【追问】由比赛规则和比赛顺序我们可以知道三个人分别打了一场单打比赛，所以有33A 6=种出场顺序；又因为第三场的双打有2种情况，它唯一决定了第四场的情况，所以，一共有332A 12⨯=种出场顺序.提高班学案1【拓1】有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【解析】 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种选法，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列，因此，不同送法的种数是35A 54360=⨯⨯=种尖子班学案1【拓2】在2012的韩国足球联赛中共有15支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共要进行多少场比赛？【解析】 由于任何两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，所以一场比赛相当于从15个不同元素中任取2个元素的一个排列.因此总共进行的比赛场次是215A 1514210=⨯=目标班学案1【拓3】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有＿＿＿＿种.（用数字作答） 【解析】 36文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有24A 12=种方法.由分步乘法计数原理，共有31236⨯=种选法.【铺垫】用12345，，，，这五个数字：⑴可以组成多少个数字允许重复的五位数？⑵可以组成多少个数字不允许重复的五位数？ ⑶可以组成多少个数字不允许重复的三位数？【解析】 ⑴由于数字允许重复，故每个位置的数字都有5种选法.因此所求五位数共有553125=个；⑵由于数字不允许重复，故每个位置的数字全排就可以了.因此所求五位数共有55A 120=个；⑶由于数字不允许重复，故每个位置的数字从5个数字中选出3个全排就可以了.因此所求 三位数共有35A 60=个.【例4】数字问题用0，1，2，3，4，5这六个数字：⑴可以组成多少个数字允许重复的六位数？ ⑵可以组成多少个数字不允许重复的六位数？ ⑶可以组成多少个数字允许重复的五位数？ ⑷可以组成多少个数字不允许重复的五位数？【解析】 ⑴先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其它位置的数字都有6种选法.因此所求六位数共有55638880⨯=个.⑵先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其它位置的数字全排就可以了.因此所求六位数共有555A 600=个.⑶先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其它位 置的数字都有6种选法.因此所求五位数共有4566480⨯=个.⑷先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其它位置的数字从剩余的5个数字中选出4个全排就可以了.因此所求五位数共有455A 600=个.提高班学案2 【拓1】用01234，，，，五个数字：⑴可组成多少个无重复数字的五位数？⑵可组成多少个无重复数字的五位奇数？【解析】 ⑴ 方法一：考虑特殊位置“万位”，从1234，，，中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列为44A ，故共有444A 96⋅=个.方法二：考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有14A 种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列为44A 种，故共有1444A A 96⋅=个；⑵ 考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从13，中选一个填入个位有12A 种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有13A 种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为33A ，故共有113233A A A 36⋅⋅=个.尖子班学案2【拓2】 用0，1，2，3，4，5这六个数字，⑴可以组成多少个数字不允许重复的五位数的偶数？⑵可以组成多少个数字不允许重复且能被5整除的五位数？【解析】 ⑴分两类：个位是0时，有5432120⨯⨯⨯=个；个位是2或4时，由于万位不能为0，所以万位有4种选法；千位有4种选法；百位有3种选法；十位有2种选法，故共有24432192⨯⨯⨯⨯=个，所以可组成的五位偶数有120192312+=个⑵分两类：个位是0时，有5432120⨯⨯⨯=个；个位是5时，由于万位不能为0，所以万位有4种选法；千位有4种选法；百位有3种选法；十位有2种选法，故共有443296⨯⨯⨯=个，所以组成能被5整除的五位数有12096216+=个目标班学案2【拓3】 用0，1，2，3，4，5这六个数字，⑴组成没有重复数字的五位数中十位数字大于百位数字的有多少个？ ⑵组成没有重复数字的五位数，由小到大排列，21350是第多少个数？【解析】 ⑴由题意可知，组成没有重复数字的五位数共有600个，又∵排成的五位数中十位大于百位的和十位小于百位的数字一样多．∴共有16003002⨯=个⑵ 万位是1的五位数有45A 120=个；万位是2且千位为0的五位数有34A 24=个；万位是2且千位为1百位为0的五位数有23A 6=个；万位是2且千位为1百位为3十位为0或4的五位数有122A 4⨯=个.因此，在21350的前面共有154个数，所以21350是第155个数1．组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．【教师备案】2000年8月，华研国际搭上《电视大国民》举办储备新人的“宇宙2000实力美少女争霸战”，上千名爱唱歌的小女生站上舞台，接着淘汰，最后脱颖而出了三位音域不一、个性迥异的新秀——任家萱()S 、田馥甄()H 和陈嘉桦()E .后来将这三个人组成了一个组合叫SHE ，在每场演唱会上，她们都会边唱边跳，但是无论她们在台上怎么站，这个组合都叫做SHE ，不会叫HES 或者ESH .所以组合与顺序没有关系.【挑战五分钟】写出：⑴从4个元素a b c d ，，，中任取2个元素的所有组合；⑵从5个元素a b c d e ，，，，中任取3个元素且包含e 的所有组合.【解析】 ⑴先画一个示意图知识点睛3.3组合dcbabdc d由此即可写出所有的组合：ab ac ad bc bd cd ，，，，，⑵从组合的直观意义可以看出是从⑴中的每个组合加一个e 就可以了，所以共有：abe ace ade bce bde cde ，，，，，2．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．3．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，*m n ∈N ，，并且m n ≤． n m ()个元素的计数问题，它们的差别是：排列考虑元素顺序，组合不考虑元素顺序.前面我们已经学习了如何计算排列数，下面，我们看一看能否通过排列数计算组合数.先看一个简单情况：从3个元素a b c ，，中任取2个元素的组合有ab ac bc ，，3种情况，再对每一种组合的2个元素进行排列，这样，就可以得到从3个元素中取2个元素的所有排列（如图）.从上面的分析可以看出，“从3个不同的元素中选出2个元素进行排列”这件事，可以分两步进行：第一步：从3个不同元素中取出2个元素，一共有23C 种取法；第二步：把取出的2个元素进行排列，一共有22A 种排法.根据乘法原理，我们得到“从3个不同的元素中选出2个元素进行排列”一共有2232C A ⋅种排法，即222332A C A =⋅.由此我们可以得出：223322A 32C A 2!⨯==.一般地，考虑C m n 与A mn 的关系：把“从n 个不同的元素中选出m ()m n ≤个元素进行排列”这件事，分两步进行：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素，一共有C m n 种取法； 第二步：把取出的m 个元素进行排列，一共有A m m 种排法.根据乘法原理，我们得到“从n 个不同的元素中选出m ()m n ≤个元素进行排列”一共有C A m m n m ⋅种排法，即A =C A mm m nnm⋅，由此我们可以得出：()()()121A C =A !mm n nm mn n n n m m ---+=，因为()!A !m n n n m =-，所以上面的组合数公式还可以写成：()!C !!m n n m n m =-4．组合数的两个性质：性质1：C C m n m -=；性质2：1C C C m m m -=+．（规定0C 1n =）2个小题进行讲解：性质1：计算“从10个人中选出6人参加比赛”与“从10个人中选出4人不参加比赛”的方法数. 【解析】每次选出6人相当于剩下4人，所以，选出6人参加比赛和选出4人不参加比赛的方法数是一样的.即641010C C =性质2：从10名战士和1名班长这11人中选出5人参加比武，一共有多少种方案？【解析】一方面，从11人中选出5人参加比武，一共有511C 种方案.另一方面，选出的5人可以分为两类：第一类：含有班长，一共有410C 种方案； 第二类：不含班长，一共有510C 种方案. 依据加法原理，一共有451010C +C 种方案. 由此，我们得到545111010C C +C =.【教师备案】老师在讲组合时，建议先讲组合问题，什么是组合，让学生从直观上理解组合，多举几个小例子，具体例子见上边组合问题中的教师备案，然后让学生写组合，这时就可以让学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的组合之后，那组合数又是多少呢？同样也不可能每次做题时都把所有的组合写出来，然后数一下，这时，我们就需要组合数的公式了，所以老师就可以给学生讲解组合数公式，讲完组合数之后，要让学生熟练的运用组合数公式，这时，就可以做例5.学生理解组合并知道组合数如何计算后，就要从直观理解组合，具体见例6.【例5】 计算组合数⑴计算：43107C C ，；239999C C +．⑵解方程：32111C 24C x x +=.【解析】 ⑴41010987C 2104321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，37765C 35321⨯⨯==⨯⨯，23399991001009998C C C 161700321⨯⨯+===⨯⨯ ⑵原方程可化为!(1)!11243!(3)!2!(1)!x x x x +⨯=⨯-- 整理得211105500x x --= 解得10x =或511x =-（不合题意舍去）．经检验10x =是原方程的根．（应强调解组合数方程要验根）【备选】学生刚接触组合，所以对组合数的计算也还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下面的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题：⑴25C =_____，⑵47C =____，⑶58C =____，⑷29C =____，⑸510C =____， ⑹315C =____，⑺235C =____，⑻4850C =____，⑼98100C =_____，⑽4399C C -=____， ⑾32109C C -=____，⑿32545C 4C +=_____，⒀4288C 2C -=____，⒁12344444C C C C +++=_____，⒂1148C C =_____，⒃1299C C =_____，⒄812712C C =_____，⒅7312512122C C C =_____，⒆37107C C 10!=_____，⒇54101053994C C C C -=-____ 【解析】 ⑴25C 10=；⑵47C 35=；⑶58C 56=；⑷29C 36=；⑸510C 252=；⑹315C 455=；⑺235C 595=；⑻4850C 1225=；⑼98100C 4950=；⑽4399C C 42-=；⑾32109C C 84-=；⑿32545C 4C 74+=；⒀4288C 2C 14-=；⒁12344444C C C C 15+++=；⒂1148C C 32=；⒃1299C C 324=；⒄812712C 5C 8=；⒅7312512122C C 15840C =；⒆37107C C 110!30240=；⒇54101053994C C 19C C -=-【铺垫】李代沫在中国好声音的文化测试中，需从5个试题中任意选答3题，问：⑴有几种不同的选题方法？经典精讲⑵若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？【解析】 ⑴所求不同的选题方法数，就是从5个不同元素里取出3个元素的组合数，即35C 10=种⑵因为已有一道题必选，所以只要在另外4道题中选2道，不同的选题方法有24C 6=种【例6】从直观上理解组合⑴现有10名学而思高中数学教师，其中男教师6名，女教师4名 ①现要从中选2名去参加非诚勿扰，有多少种不同的选法？ ②现要从中选出男、女教师各2名去参加，有多少种不同的选法？【追问】假定这一期只有学而思派出去的两位男老师，台上24个女士（其中包括学而思派出去的两个女老师），那么学而思的两位男老师去相亲，最终都成功且相亲对象不是学而思女老师的情况有多少种．⑵甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有＿＿＿＿种.（用数字作答）【解析】 ⑴①从10名教师中选2名去参加非诚勿扰的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即210C 45=种 ②从6名男教师中选2名的选法有26C 种，从4名女教师中选2名的选法有24C ，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法2264C C 90=种 【追问】2221462⨯=． ⑵96甲选2门有24C 6=种选法，乙、丙各有34C 4=种选法，由分步乘法计数原理可知，共有64496⨯⨯=种选法.解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：①捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．②插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．【教师备案】排列组合的一些典型题型在本讲只讲捆绑法和插空法，其它的方法我们放到同步再去讲解，所以老师可以先以【铺垫】为例，讲解捆绑和插空，然后让学生做例7，例7⑴是直接就可以看出捆绑和插空的，例7⑵从表面上看不出来是捆绑还是插空，但是仔细分析一下题就知道是插空.【铺垫】2名女生、4名男生排成一排，问：⑴2名女生相邻的不同排法共有多少种？⑵2名女生不相邻的不同排法共有多少种？【解析】⑴因为2名女生必须相邻，所以可以将2名女生看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一 排，不同的排法有55A 种.又因为2名相邻的女生有22A 种排法，因此不同的排法种数是5252A A 1202240=⨯=3.4排列组合的一些典型题型经典精讲知识点睛11⑵2名女生不相邻的排列可分2步完成：第一步：将4名男生排成一排，有44A 种排法；第二步：排2名女生，由于2名女生不相邻，于是可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有25A 种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是4245A A 2420480=⨯=【例7】 捆绑、插空⑴求不同的排法种数：①6男2女排成一排，2女相邻； ②6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性別者相邻； ④4男4女排成一排，同性別者不能相邻．⑵一排有九个座位，将六个人依次坐好，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？2727A A 10080=．②是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排，再在7个空位中排2女，即用插空法解决：6267A A 30240=.③是“相邻”问题，应先捆绑后排位：442442A A A 1152=.④是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解： 441442A A A 1152=.【点评】对于④很多学生会写成4445A A ，但是这种写法是错误的，因为当排完男生（或女生）之后，从5个空选4个空的时候有可能两个端点都选，这样中间就会有男生（或女生）相邻了⑵九个座位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有66A 种不同的坐法，再将三个空座位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有35C 中不同的“插入”方法.根据乘法原理共有6365A C 7200=种不同的坐法.提高班学案3【拓1】分别求出符合下列要求的不同排法的种数①6人排成一排，甲、乙必须相邻； ②6人排成一排，甲、乙不相邻.【解析】 ①将甲乙“捆绑”成“一个元素”与其他4人一起作全排列共有2525A A 240=种排法②甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有4245A A 480=．尖子班学案3【拓2】4男3女排成一排，在下列条件下分别有多少种不同的排法⑴甲、乙、丙三人一定相邻 ⑵甲、乙、丙三人不能相邻【解析】 ⑴把甲、乙、丙看成一个整体，有33A 种排法；把其余的四个人和甲、乙、丙看成的整体全排，有55A 种排法，共有3535A A 720=种排法⑵把除去甲、乙、丙的四个人全排，有44A 种排法；因为甲、乙、丙不相邻，所以采用插空法，有35A 种排法，共有4345A A 1440=种排法目标班学案3【拓3】4男3女排成一排，在下列条件下分别有多少种不同的排法⑴甲必须站在中间，且乙与丙必须相邻 ⑵甲必须站在中间，且乙与丙不能相邻。
高考数学必考排列组合题型及解题方法(上)
高考数学必考摆列组合题型及解题方法（上）摆列组合问题联系实质生动风趣，但题型多样，思路灵活，所以解决摆列组合问题，第一要仔细审题，弄清楚是排列问题、组合问题仍是摆列与组合综合问题；其次要抓住问题的实质特点，采纳合理适合的方法来办理。
1.分类计数原理 (加法原理 )达成一件事，有类方法，在第 1 类方法中有种不一样的方法，在第 2 类方法中有种不一样的方法，，在第类方法中有种不同的方法，那么达成这件事共有：种不一样的方法．2.分步计数原理（乘法原理）达成一件事，需要分红个步骤，做第 1 步有种不一样的方法，做第 2 步有种不一样的方法，，做第步有种不一样的方法，那么达成这件事共有：种不一样的方法．分类计数原理分步计数原理差别分类计数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地成这件事。
分步计数原理各步互相依存，每步中的方法达成事件的一阶段，不可以达成整个事件．决摆列组合综合性问题的一般过程以下 :仔细审题弄清要做什么事如何做才能达成所要做的事,即采取分步仍是分类,或是分步与分类同时进行,确立分多少步及多少类。
确立每一步或每一类是摆列问题(有序 )仍是组合 ( 无序)题,元素总数是多少及拿出多少个元素 .解决摆列组合综合性问题，常常类与步交错，所以一定掌一些常用的解题策略特别元素和特别地点优先策略1.由 0,1,2,3,4,5 能够构成多少个没有重复数字五位奇.:因为末位和首位有特别要求,应当优先安排,免得不合要的元素占了这两个地点 .先排末位共有而后排首位共有最后排其余地点共有由分步计数原理得习题 :7 种不一样的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两头的花盆里，问有多少不一样的种法？.相邻元素捆绑策略2.7 人站成一排 ,此中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少不一样的排法 .：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素，同时丙丁也当作一个复合元素，再与其余元素进行摆列，同时对相邻元素内部进行自排。
高考数学总复习------排列组合与概率统计
高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计 数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：An m(n n! n(n1) (nm1) (m ≤n)m)!A n n=n!=n(n―1)(n ―...2)21.·②组合数公式：Cn mn! n(n 1) (n m 1) (m ≤n).m!(n m)! m (m 1) 2 1③组合数性质：①C n mC n nm(m ≤n). ②C n 0C n 1C n 2C n n2n③Cn 0C n 2C n 4C n 1C n 32n12.二项式定理⑴二项式定理(a+b)n=C n 0a n+C 1n a n －1b+⋯+C n ra n －rb r+⋯＋C n n b n，其中各项系数就是组合数C n r，展开r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r(r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n②若n 是偶数，则中间项 (第n n项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2；若n 是奇数， 12则中间两项(第n 1项和第n3 n1 n1项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2③所有二项式系数和等于 2n，即C 0n +C 1n ＋C 2n +⋯+C nn =2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，10213n ―1 即C n +C n +⋯=C n +C n +⋯=2 . 3.概率（1）事件与基本事件：随机事件: 在条件下, 可能发生也可能不发生的事件S事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件 确定事件 S必然事件:在条件下,一定会发生的事件 S基本事件：试验中不能再分的最简单的 “单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的； 试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（ 2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件 的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解 关系事件 A 与B 不可能同时两事件交集为空事件A 与B 对立，则A互斥事件与B 必为互斥事件；发生事件 A 与B 不可能同时两事件互补 事件A 与B 互斥，但不对立事件一是对立事件 发生，且必有一个发生（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件 ”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的， 但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数 ．基本事件的总数构成事件A 的区域长度(面积或体积) 几何概型的概率计算公式： P (A )．试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是 “求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率P(A)的X 围为：0≤P(A)≤1．②互斥事件A 与B 的概率加法公式： P(AB)P(A) P(B)．③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p kkn―kn的展开式的第k+1 项.n (1 ―p).实际上，它就是二项式[(1 ―p)+p] (k)=C n p2（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( X k )k k (1)nk(012 )P Cp p，k ，，，，nn．此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，⋯，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当N（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，nk N；当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，n n这时k N；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则n抽取样本．通常是将l加上间隔 k得到第2个编号(l k)，将(l k)加上k，得到第3个编号(l 2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个X围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．3①用样本频率分布估计总体频率分布时， 通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤． 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点： 一是所有的信息都可以从图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程1 n 2．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，度，其计算公式为s(x i x)ni1两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值， 获得对这两个变量之间的整体关系的了解． 分析两个变量的相关关系 时 ,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近， 那么就说这两个变量之间具有线性相关关系， 这 条直线叫做回归直线， 其对应的方程叫做回归直线方程． 在本节要经常与数据打交道， 计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：n n 2；第一步：先把数据制成表，从表中计算出 ，， x i y i ， xy x ii1 i1 第二步：计算回归系数的 a ，b ，公式为n n nn x i y i ( x i )( y i ) b i 1 i1 i 1 ， n 2 n x i )2n x i (i 1 i 1a y ；bx第三步：写出回归直线方程y bxa ． （4）独立性检验①22 列联表：列出的两个分类变量 X 和Y ，它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的 样本频数表称为 2 2列联表1分类y1 y2 总计x1 a b a bx2cdc d总计 a c b da bcd构造随机变量K2(an(ad bc)2d)（其中n ab cd）b)(c d)(a c)b4得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果k 3.841 就有9500的把握因为两分类变量如果k 6.635 就有9900的把握因为两分类变量如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：X和Y是有关系；X和Y是有关系；X和Y是有关系．①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
计数原理与排列组合知识点总结
计数原理与排列组合知识点总结计数原理和排列组合是高中数学中重要的概念和工具，在各种数学问题的解决过程中起到了重要的作用。
本文将对计数原理和排列组合的相关知识点进行总结和介绍。
一、计数原理计数原理通过分析一个问题中的各个步骤或条件，来确定解决问题的方式和策略。
常用的计数原理有加法原理、乘法原理、容斥原理和抽屉原理等。
1. 加法原理加法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件发生的总方式数为m+n。
2. 乘法原理乘法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，则这两个事件发生的总方式数为m×n。
3. 容斥原理容斥原理适用于计算多个集合的并集的情况。
它指出如果有n个集合，分别有A1,A2,...,An个元素，那么这n个集合的并集中元素的个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
4. 抽屉原理抽屉原理也称为鸽笼原理，它指出如果有m+1个物体放入m个抽屉中，那么至少会有一个抽屉中放入两个或两个以上的物体。
二、排列组合排列组合是计数原理的一个重要应用，用于解决选择和安排问题。
它包括排列和组合两个不同的概念。
1. 排列排列是指从一组元素中按一定顺序选取若干元素的方式，其中元素的选取不可重复。
常见的排列问题有全排列和有限排列。
- 全排列是指将一组元素全部进行排列，例如3个元素的全排列有3! = 3×2×1 = 6种。
- 有限排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，其中元素的选取数目有限。
例如从3个元素中选取2个进行排列，有3×2 = 6种不同的排列方式。
2. 组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，其中元素的选取不按顺序进行，而是以集合的形式呈现。
剖析高考全国卷中计数原理的几个核心问题
剖析高考全国卷中计数原理的几个核心问题ʏ湖南省郴州市第二中学 陈 伟计数原理㊁排列组合与二项式定理常出现在高考数学试卷的选择题与填空题中㊂该类问题强调数学在生活和生产中的应用价值,是培养同学们数据分析㊁数学建模㊁逻辑推理㊁数学运算等数学核心素养的重要工具㊂下面笔者根据教材内容和近几年高考题型,对本章内容的几个核心问题进行分析,希望能帮助同学们更好地进行高考备考复习㊂一㊁两个计数原理1.分类计数问题例1 设集合A ={(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)|x i ɪ{-1,0,1},i =1,2,3,4,5},那么集合A 中满足条件 1ɤ|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|ɤ3 的元素个数为( )㊂A .60 B .90 C .120 D .130解析:分以下三种情况讨论㊂(1)|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|=1,则上述五个数中有一个为1或-1,其余四个数为零,此时集合A 中的元素有C 15C 12=10(个);(2)|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|=2,则上述五个数中有两个数为1或-1,其余三个数为零,其中这两个数的所有可能搭配有22=4(种),此时集合A 中的元素有4C 25=40(个);(3)|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|=3,则上述五个数中有三个数为1或-1,其余两个数为零,其中这两个数的所有可能搭配有23=8(种),此时集合A 中的元素有8C 35=80(个)㊂综上所述,集合A 中的元素共有10+40+80=130(个)㊂故选D ㊂点评:分类计数是计数原理中非常重要的方法之一,理解问题的要求和限制条件非常关键㊂将问题中的对象分成不同的类别,然后分别计算每个类别的计数㊂解决分类计数问题需要多多练习,通过解决各种类型的问题,以提高解题能力㊂2.分配问题例2 有2男2女共4名大学毕业生被分配到A ,B ,C 三个工厂实习,每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人,且A 工厂只接收女生,则不同的分配方法种数为( )㊂A.12 B .14 C .36 D .72解析:按A 工厂分类,第一类:A 工厂仅接收1人的分配方法有C 12C 23A 22=12(种);第二类:A 工厂接收2人的分配方法有C 22A 22=2(种)㊂综上可知,不同的分配方法共有12+2=14(种)㊂故选B ㊂点评:在分组分配问题中,首先要明确问题要求和限制条件,包括对象数量㊁组的个数㊁是否允许重复分配等㊂根据问题性质选择排列或组合方法,有时候还要考虑对象顺序和组的顺序要求,使用乘法或加法原理处理独立或多样的分配方式㊂同时,还要特别注意任何额外的约束条件,如组大小的限制㊂二㊁排列组合问题1.捆绑法㊁插空法的应用例3 (多选题)现有2名男生和3名女生,在下列不同条件下进行排列,则其中说法正确的是( )㊂A.排成前后两排,前排3人后排2人的排法共有120种B .全体排成一排,女生必须站在一起的排法共有36种C .全体排成一排,男生互不相邻的排法共有72种D .全体排成一排,甲不站排头,乙不站排尾的排法共有72种解析:对于选项A :从5人里面抽出3人站在前排且全排列,有C 35A 33种,剩余2人在后排全排列,有A 22种,则满足条件的排法共有C 35A 33A 22=120(种),故A 正确;对于选项B :因为女生必须站在一起,所以先将女生捆绑一起且全排列,有A 33种,再3知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年12月将捆绑的女生与男生一起全排列,有A33种,则满足条件的排法共有A33A33=36(种),故B 正确;对于选项C:先将女生全排列,有A33种,此时共产生4个空,由于男生互不相邻,则2个男生插空即可,有A24种,则满足条件的排法共有A33A24=72(种),故C正确;对于选项D:甲不站排头,乙不站排尾,考虑反面,甲站排头的排法有A44种,乙站排尾的排法有A44种,甲站排头,乙站排尾的排法有A33种,从而甲不站排头,乙不站排尾的排法共有A55-2A44+A33=78(种),故D错误㊂故选A B C㊂点评:在解决有限制条件的排队问题时,常用捆绑法㊁插空法㊁隔板法㊁特殊元素优先法等㊂要理解问题的要求和限制,快速地确定对象的性质和数量㊂因此,我们要对不同的条件进行总结和归类,这样有助于解决各种有限制条件的排列组合问题㊂2.几何要素的分组分类计数问题例4以长方体A B C D-A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出2个三角形,则这2个三角形不共面的情况共有()㊂A.1480种B.1468种C.1516种D.1492种解析:因为长方体A B C D-A1B1C1D1的8个顶点中任意3个均不共线,所以从8个顶点中任取3个均可构成1个三角形,共有C38=56(个),从中任选2个,共有C256= 1540(种)㊂因为长方体有6个面,6个对角面,所以8个顶点中有4个点共面的情况有12种,每个面的4个顶点共确定4个不同的三角形,从这4个三角形中选出2个共有6种选法,所以随机取出2个三角形,且这2个三角形不共面的情况共有1540-12ˑ6= 1468(种)㊂故选B㊂点评:立体几何中的排列组合问题是一个有趣且具有挑战性的问题㊂主要是有关点㊁线㊁面的问题,要考虑几何体的结构特征及对称性㊂在对特定的几何要素进行分类研究时,需注意既不重复,也不遗漏㊂三、二项式定理1.求特定项例51+1x2(x-2)6的展开式中x3的系数为()㊂A.-512B.-172C.-160D.192解析:已知1+1x2(x-2)6=(x-2)6 +1x2(x-2)6,因为(x-2)6的展开式的通项T k+1=C k6x6-k(-2)k,所以(x-2)6的展开式中含x3的项为C36x3(-2)3=-160x3,其系数为-160,又1x2(x-2)6的展开式中含x3的项为1x2㊃C16x5(-2)1=-12x3,其系数为-12,所以1+1x2(x-2)6的展开式中x3的系数为-172㊂故选B㊂点评:求展开式中的特定项是高考中考查二项式定理最重要的一类问题㊂一定要牢记通项公式T k+1=C k n a n-k b k,同时也要注意利用排列组合的知识对所求项的次数进行分类㊂2.整除类问题例6若642024+m能被13整除,则m 的最小正整数取值为㊂解析:因为642024+m=(65-1)2024+ m=652024+C12024㊃652023㊃(-1)+ + C20232024㊃65㊃(-1)2023+C20242024(-1)2024+m= 652024+C12024㊃652023㊃(-1)+ +C20232024㊃65㊃(-1)2023+1+m能被13整除,又因为65=13ˑ5,即65能被13整除,则1+m能被13整除,所以m的最小正整数取值为12㊂故填12㊂点评:在利用二项式定理解决整除问题时,需要对底数进行分解,然后对展开式的余项进行讨论㊂总之,高考数学着重考查同学们灵活运用知识解决问题的能力㊂因此,复习时需要不断强化对知识的理解和记忆,不只是死记硬背基本概念㊁公式和定理,而是要了解它们的推导过程和实际应用,要通过理解和记忆来替代单纯的背诵㊂(责任编辑王福华)4知识篇科学备考新指向高考数学2023年12月。
江苏版高考数学 20.1 计数原理与排列组合
专题二十计数原理【真题典例】20.1 计数原理与排列组合挖命题【考情探究】分析解读江苏高考对两个计数原理、排列、组合的考查往往与集合、数列、概率等进行综合,难度较大,主要考查学生的逻辑推理能力.破考点【考点集训】考点一加法原理与乘法原理1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有种.答案182.如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求有公共边的两部分颜色互异,则共有种不同的涂色方法.答案260考点二排列1.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为.答案642.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是.答案183.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数有个.答案28考点三组合1.四位学生,坐在一排有7个位置的座位上,有且只有两个空位是相邻的不同坐法有种.(用数字作答)答案4802.用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻,则不同的排法有种.答案4323.有六名同学按下列方法和要求分组,各有不同的分组方法多少种?(1)分成三个组,各组人数分别为1、2、3;(2)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为1、2、3;(3)分成三个组,各组人数分别为2、2、2.解析(1)=60(种).(2)=60×6=360(种).(3)=15(种).炼技法【方法集训】方法一两个计数原理应用的基本策略1.(2018江苏靖江中学调研)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案4802.(2019届江苏海门中学调研)从0,8中任取一个数字,从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为.答案18方法二排列组合及其应用的解题策略1.(2019届江苏金陵中学调研)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有种.答案182.(2018江苏吴江中学月考)将甲、乙两人在内的7名医生分成三个医疗小组,一组3人,另两组每组各2人,则甲、乙不分在同一组的分法有种.答案803.(2018江苏常州二中调研)桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个,相同颜色的球不加以区分,将此9个球排成一排共有种不同的排法.(用数字作答)答案 1 6804.(2019届江苏太湖中学月考)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z),若x+y+z是3的倍数,则满足条件的点的个数为.答案252方法三集合中的计数问题1.(2019届江苏赣榆中学月考)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足:A不是B的子集,且B也不是A的子集.(1)若M={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数;(2)若M={a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.解析(1)110.(2)集合M 有2n 个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n (2n -1)个.若A ⫋B,并设B 中含有k(1≤k ≤n,k ∈N *)个元素,则满足A ⫋B 的有序集合对(A,B)有(2k -1)=2k -=(3n -2n )个.同理,满足B ⫋A 的有序集合对(A,B)有(3n -2n )个. 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 2n (2n -1)-2(3n -2n )=4n +2n -2×3n .2.(2019届江苏扬州中学月考)已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1,S 2,S 3,…,集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T:b 1,b 2,b 3,…,数组T 中所有数的平均值记为m(T). (1)若S={1,2},求m(T);(2)若S={a 1,a 2,…,a n }(n ∈N *,n ≥2),求m(T).解析 (1)S={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},所以数组T 为1,2,.因此m(T)==.(2)因为S={a 1,a 2,…,a n },n ∈N *,n ≥2,所以m(T)=--… - -…=--…-- …a i .又因为 - - = · - - - = - - = · - =,所以m(T)=… …a i =a i .过专题 【五年高考】A 组 自主命题·江苏卷题组1.(2016江苏,23,10分)(1)求7 -4的值;(2)设m,n ∈N *,n ≥m,求证:(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1).-解析(1)7-4=7×-4×=0.(2)证明:当n=m时,结论显然成立.当n>m时,(k+1)=··-=(m+1)··-=(m+1),k=m+1,m+2,…,n.又因为+=,所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,…,n.因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+…+(n+1)]=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+…+(-)]=(m+1).2.(2018江苏,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n 的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=--.因此,当n≥5时,f n(2)=--.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点计数原理与排列组合1.(2018课标全国Ⅰ理,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案162.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 2603.(2017山东理改编,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是.答案4.(2017课标全国Ⅱ理改编,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有种.答案365.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6606.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 0807.(2016课标全国Ⅱ理改编,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.答案188.(2016课标全国Ⅲ理改编,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有个. 答案149.(2016四川理改编,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为.答案72C组教师专用题组1.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 5602.(2015四川改编,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有个.答案1203.(2014四川改编,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有种.答案2164.(2014重庆改编,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是.答案1205.(2014安徽改编,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有对.答案486.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案367.(2011江苏,23,10分)设整数n≥4,P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点,其中a,b∈{1,2,3,…,n},a>b.(1)记A n为满足a-b=3的点P的个数,求A n;(2)记B n为满足(a-b)是整数的点P的个数,求B n.解析(1)点P的坐标满足条件:1≤b=a-3≤n-3,所以A n=n-3.(2)设k为正整数,记f n(k)为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数.只要讨论f n(k)≥1的情形.由1≤b=a-3k≤n-3k知f n(k)=n-3k,且k≤-.设n-1=3m+r,其中m∈N*,r∈{0,1,2},则k≤m.所以B m=f n(k)=(n-3k)=mn-=--.将m=--代入上式,化简得B n=----.所以B n=-是整数--不是整数【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2019届江苏太仓中学月考)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有种.答案752.(2018江苏太湖中学月考)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有种.答案103.(2018江苏泰兴中学月考)用数字0,1,2,3,4组成的五位数中,中间三位数字各不相同,但首末两位数字相同的共有种.答案240二、解答题(共60分)4.(2019届江苏前黄中学月考)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球,则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?解析(1)每个盒子放一球,共有=24种不同的放法.(2)第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;第二步:选两球为一个元素,有种选法;第三步:三个元素放入三个盒中,有种放法.故共有4×=144种放法.5.(2017江苏南通、扬州、泰州第二次调研)设S4k=a1+a2+…+a4k(k∈N*),其中a i∈{0,1}(i=1,2,…,4k).当S4k除以4的余数是b(b=0,1,2,3)时,数列a1,a2,…,a4k的个数记为m(b).(1)当k=2时,求m(1)的值;(2)求m(3)关于k的表达式,并化简.解析(1)当k=2时,m(1)表示数列a1,a2,a3,…,a8中有1个1或5个1,其余为0,所以m(1)=+=64. (2)依题意,m(3)表示数列a1,a2,…,a4k中有3个1,或7个1,或11个1,……,或(4k-1)个1,其余为0,所以m(3)=+++…+-.同理,得m(1)=+++…+-.因为=-(i=3,7,11,…,4k-1),所以m(1)=m(3).又m(1)+m(3)=+++…+-+-=24k-1,所以m(3)=24k-2=42k-1.6.(2019届江苏苏州实验中学月考)记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈N*).性质T:排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i>a i+1(i∈{1,2,…,n-1}).(1)求f(3);(2)求f(n).解析(1)当n=3时,1,2,3的所有排列为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i>a i+1的排列为(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),所以f(3)=4.(2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中,若a i=n(1≤i≤n-1),从(n-1)个数1,2,3,…,n-1中选(i-1)个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i-1,其余按从小到-.大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为-若a n=n,则满足题意的排列个数为f(n-1).综上,f(n)=f(n-1)+---=f(n-1)+2n-1-1.从而f(n)=----(n-3)+f(3)=2n-n-1.7.(2018江苏南师附中考前模拟)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集.(1)若M={a1,a2},且A是B的子集,求所有有序集合对(A,B)的个数;(2)若M={a1,a2,a3,…,a n},且A的元素个数比B的元素个数少,求所有有序集合对(A,B)的个数. 解析(1)若集合B含有2个元素,即B={a1,a2},则A=⌀,{a1},{a2},则(A,B)的个数为3;若集合B含有1个元素,则B有种,不妨设B={a1},则A=⌀,此时(A,B)的个数为×1=2.综上,(A,B)的个数为5.(2)集合M有2n个子集,又集合A,B是非空集合M的两个不同子集,则不同的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1).若A的元素个数与B的元素个数一样多,则不同的有序集合对(A,B)的个数为(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=()2+()2+()2+…+()2-(+++…+).又(x+1)n(x+1)n的展开式中x n的系数为()2+()2+()2+…+()2,且(x+1)n(x+1)n=(x+1)2n的展开式中x n的系数为,所以()2+()2+()2+…+()2=.又因为+++…+=2n,所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时,有序集合对(A,B)的个数为-2n.所以A的元素个数比B的元素个数少时,有序集合对(A,B)的个数为---=-.8.(2017江苏苏州期末)如图,由若干个小正方形组成的k层三角形图阵中,第一层有1个小正方形,第二层有2个小正方形,依此类推,第k层有k个小正方形.除去最底下的一层,每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k层的每个小正方形用数字进行标注,从左到右依次记为x1,x2,…,x k,其中x i∈{0,1}(1≤i≤k),其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为x0.(1)当k=4时,若要求x0为2的倍数,则有多少种不同的标注方法?(2)当k=11时,若要求x0为3的倍数,则有多少种不同的标注方法?解析(1)当k=4时,第4层标注的数字依次为x1,x2,x3,x4;第3层标注的数字依次为x1+x2,x2+x3,x3+x4;第2层标注的数字依次为x1+2x2+x3,x2+2x3+x4;所以x0=x1+3x2+3x3+x4.因为x0是2的倍数,x i∈{0,1},所以x1,x2,x3,x4中取值为1的个数为偶数个.其不同的取法总数为++=8.故所求的不同的标注方法有8种.(2)当k=11时,第11层标注的数字依次为x1,x2,x3,x4,…,x10,x11;第10层标注的数字依次为x i+x i+1,i=1,2, (10)第9层标注的数字依次为x i+(+)x i+1+x i+2=x i+x i+1+x i+2,i=1,2, (9)依此规律,第1层标注的数字为x0=x1+x2+…+x10+x11.计算得==1,==10,当i=2,3,4,…,8时,均是3的倍数.若要求x0是3的倍数,等价于x1+x2+x10+x11是3的倍数,即x1+x2+x10+x11是3的倍数.所以x1,x2,x10,x11中,取值为1的个数为0个或3个.所以x1,x2,x3,…,x10,x11的不同的取法总数为(+)·27=640.故所求的不同的标注方法有640种.9.(2019届江苏无锡天一中学月考)当n≥3,n∈N时,对于集合M={1,2,3,…,n},集合M的所有含3个元素的子集分别表示为N1,N2,N3,…,N M(n)-1,N M(n),其中M(n)表示集合M的含3个元素的子集的个数.设p i为集合N i 中的最大元素,q i为集合N i中的最小元素,1≤i≤M(n),记P=p1+p2+…+p M(n)-1+p M(n),Q=q1+q2+…+q M(n)-1+q M(n).(1)当n=4时,分别求M(4),P,Q;(2)求证:P=3Q.解析(1)当n=4时,M(4)==4,4个子集分别为{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},则P=3+4+4+4=15,Q=1+1+1+2=5.(2)证明:显然3≤p i≤n,p i∈Z,并且以3为最大元素的子集有个,以4为最大元素的子集有个,以5为最大元素的子集有个,……,以k(3≤k≤n)为最大元素的子集有-个,……,以n为最大元素的子集有-个,P=p1+p2+…+p M(n)-1+p M(n)=3×+4×+…+n-,①因为k-=k--=3(k=3,4,…,n),所以P=3(++…+)=3(++…+)=3(++…+)=3(++…+)=3.显然1≤q i≤n-2,q i∈Z,以1为最小元素的子集有-个,以2为最小元素的子集有-个,以3为最小元素的子集有-个,……,以k(1≤k≤n-2)为最小元素的子集有-个,……,以n-2为最小元素的子集有个.Q=q1+q2+…+q M(n)-1+q M(n),则Q=(n-2)+(n-3)+…+k-+…+-,②①+②得P+Q=(n+1)(+++…+-)=(n+1)(+++…+-)=(n+1)(+++…+-)=(n+1)(+++…+-)=(n+1)=4. 所以P=3Q.。
高三数学排列,组合和二项式定理
精品学案：排列，组合和二项式定理高考大纲对排列，组合和二项式定理这一章的考试内容及考试要求为： 1．分类计数和分步计数原理； 2．排列组合公式3．组合组合数公式和组合数的两个性质 4．二项式定理和二项式展开式 考试要求掌握分类计数和分步计数原理，并能用他们解决一些简单的应用问题。
理解排列的意义，掌握排列的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。
理解组合的意义，掌握组合的计数公式，并能用他解决一些简单的应用问题。
掌握二项式定理和他的展开式的性质，并能用他计算和证明一些简单的应用问题。
要点一计数原理1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 要点二排列1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示3．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）和m n A =!()!n n m -4阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．要点三组合1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且4组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；2：m n C 1+＝m n C +1-m n C要点四二项式定理1．正确理解二项式展开式中的第r ＋1项，第r ＋1项的二项式系数，第r ＋1项的系数之间的差别．2．二项系数的性质问题求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n 奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解．3．二项式的某项系数问题该问题解法多样，既可化归为二项式问题求解，又可从组合角度求解，一般地，三项式（a ＋b＋c）n的展开式中，a p b q c r的系数为4．赋值法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的x∈A，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立．特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，一般x0＝0， 1，－1取较多．一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为1[(1)(1)]2f f--，偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f+-．如二项式系数性质。
高考数学知识点解析排列组合的计数原理
高考数学知识点解析排列组合的计数原理高考数学知识点解析：排列组合的计数原理在高考数学中，排列组合是一个重要且具有一定难度的知识点。
理解和掌握排列组合的计数原理对于解决相关问题至关重要。
排列组合的计数原理主要包括分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
分类加法计数原理是指：完成一件事，如果有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m₁种不同的方法，在第 2 类办法中有 m₂种不同的方法……在第 n 类办法中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
比如说，从甲地到乙地，有 3 趟火车，2 趟汽车，1 趟飞机。
那么从甲地到乙地一共有 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 6 种不同的交通方式可以选择。
分步乘法计数原理则是：完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m₁种不同的方法，做第 2 步有 m₂种不同的方法……做第n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
举个例子，从 A 城市到 C 城市需要经过 B 城市中转，从 A 到 B 有3 条路可走，从 B 到 C 有 2 条路可走。
那么从 A 城市到 C 城市一共有3 × 2 ＝ 6 条不同的路线。
理解这两个计数原理的关键在于区分清楚“分类”和“分步”。
分类是指完成一件事情，每一类方法都能独立完成任务，各类方法之间相互独立，用加法计算；分步则是指完成一件事情，需要分多个步骤，每个步骤相互依存，缺一不可，用乘法计算。
在实际解题中，我们常常需要根据具体问题灵活运用这两个原理。
比如，在一个抽奖活动中，一等奖有 5 种奖品可选，二等奖有 8 种奖品可选。
如果一个人只能获得一个奖项，那么他能获得的奖品总数就是 5 ＋ 8 ＝ 13 种，这就是分类加法计数原理的应用。
再比如，一个密码由 6 位数字组成，每位数字可以是 0 到 9 中的任意一个。
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专项-排列组合知识点一、排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示对排列定义的理解：定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。
因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列”相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。
若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。
比如abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的基本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。
全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=（主要用于化简、证明等）二、组合 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；组合数用符号m n C 表示对组合定义的理解：取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。
组合数公式：),()!(!!!)1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n≤∈-=+-⋅⋅⋅--==*，且 变式：),,()!()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+⋅⋅⋅--=-=*-且组合数的两个性质1、m n n m n C C -=①计算m n C 时，若2n m ＞，通常不直接计算m n C ，而改为计算m n n C -，这样可以减少计算量②为了使这个公式在n m =时也成立，我们规定10=n C ，这只是一个规定，并没有实际的组合意义2、11-++=m n m n m n C C C题型一 投信问题【例1】1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？题型二染色问题1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.（7）甲必须站在中间（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。
题型四顺序一定问题1、7名同学排成一排，甲必须在乙的左边，有多少种排队方法？2、7名同学排成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，共有几种排队方法？题型五平均分配与不平均分配问题1、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？2、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？3、六本不同的书分成1本，2本，3本，共有多少种分配方法？4、六本不同的书分成1本，2本，3本，然后分给甲、乙、丙三位同学，共有多少种分配方法？5、6本不同的书，分成两个1本，一个四本三组，分给三位同学，共有多少种不同的分发？题型六综合1、用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数.2、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？5、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（）A.1 440种B.960种C.720种D.480种6、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为.（用数字作答）【过关练习】1.由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不是5个倍数的数有多少个？（分别用直接法、优先法、间接法）2.3名男生，4名女生，全体站成一排，男生必须在一起，有几种排列方案？3.甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相邻，有几种站法？4.7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前（不一定相邻），则共有多少种不同的站法？5.在100个零件中有80个正品、20个次品，从中任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？6.求方程104321=+++x x x x 的正整数解的组数7.将组成篮球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额的分配方式有多少种？课后练习【补救练习】1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．6482.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A.18B.24C.30D.363.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）A.70种B. 80种C. 100种D.140种4.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188C. 216D. 965.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_____种。
6.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）。
3727.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种。
【巩固练习】1.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.56C.49D.282.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A.36种B.48种C.72种D.96种3.在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？（1）A，B必须当选；（2）A，B必不当选；（3）A，B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.【拔高练习】1.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.3.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？。