西城学探诊高中数学 第二章 概率综合导学案6(无答案)新人教B版选修2-3
西城学探诊高中数学 第二章 概率综合导学案1(无答案)新人教B版选修2-3
§2.5.1概率综合———古典概型学习目标1.根据题意能够识别概率模型。
学习过程【任务一】分析典型例题，总结解题策略（2020北京理16）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）小结：1.古典概型特点：试验结果有限个；每个结果等可能出现。
2.解题策略：a.根据题意列出试验的全部可能结果，即找到试验的基本事件空间；b.识别并列出某个事件包含的所有可能结果;c.利用古典概型概率公式求概率。
【任务二】跟踪练习（2020朝阳一模理16）袋子中装有编号为b a ,的2个黑球和编号为e d c ,,的3个红球，从中任意摸出2个球.(Ⅰ)写出所有不同的结果；(Ⅱ)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(Ⅲ) 求至少摸出1个黑球的概率.【任务三】课后作业（2020北京理17）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中600,0=++>c b a a .当数据c b a ,,的方差2S 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值.（注：方差])()()[(122212x x x x x x n s n -++-+-=Λ，其中x 为1x ，2x ，…，n x 的平均数）。
西城学探诊高中数学 第二章 概率综合导学案3(无答案)新人教B版选修2-3
§2.5.3概率综合——超几何分布学习目标1.根据题意能够识别概率模型。
学习过程【任务一】分析典型例题，总结解题思路例：（2020丰台一模理17）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60,70)内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50,70)内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60,70)内的人数，求X的分布列和数学期望．小结：1.模型特点：总数为N的几类元素，其中含某一类元素M个，从中随机选取n个元素，观察这类元素个数情况；2.解题思路：A.根据题意识别超几何分布模型；B.利用超几何分布概率特点计算问题中描述的某个事件的概率。
【任务二】跟踪练习10 15 20 25 30 35 产品数量 0 甲口袋中有大小相同的白球3个，红球5个；乙口袋中有大小相同的白球4个，黑球8个，从两个口袋中各摸出2个球，求：(1)甲口袋中摸出的2个球都是红球的概率；(2)两个口袋中摸出的4个球中恰有2个白球的概率.【任务三】课后作业（2020崇文一模文16）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？。
【西城学探诊】高中数学 1.2.2组合与组合数导学案2(无答案)新人教B版选修2-3
§1.2.2（2）组合与组合数
学习目标
1.理解组合数的定义，能够根据实际问题准确列出组合数；
2.会准确计算组合数，并灵活运用组合数的性质解决问题；
学习过程
【任务一】典型例题分析
例1：（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
例2：在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？
(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例3：从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？
变式练习：
4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
例4：6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，
（1）甲得3本、乙得2本、丙得1本；
（2）一人得3本、一人得2本、一人得1本；
（3）每人各得2本，有多少种不同的分法？
变式：将6本书平均分成3份共有多少种不同的分法？【任务二】课后作业
课本P22页，练习A组4、5、6
课本P22页，练习B组2、3
课本P23页，练习B组5、6。
人教版高中选修(B版)2-3第二章概率课程设计
人教版高中选修(B版)2-3第二章概率课程设计一、前言概率是高中数学中的一个重要部分，也是应用数学中的基础知识之一。
本次课程设计主要以人教版高中选修(B版)2-3第二章概率为基础，结合自己的教学经验及实践，对该章节的教学内容进行设计和改进，以期提高学生的学习兴趣，加深对概率的理解。
二、教学目标1.理解概率的基本概念和基本性质，了解掷骰子、抽球的实验方法；2.掌握概率的加法规则、乘法规则，能够运用概率的加法规则、乘法规则解决相关问题；3.能够运用概率的思想解决实际问题，如生日悖论、狄利克雷抽屉原理等。
三、教学内容3.1 概率的基本概念和基本性质概率是指某个事件发生的可能性，是一个在0~1之间的实数。
教师可通过实例引入概率的基本概念，以掷骰子、抽球等实验方法为例，帮助学生更好地理解概率的基本思想。
在讲解概率的基本性质时，可以引入几何概型和独立性进行讲解，使学生能够更好地把握概率的基本性质。
3.2 加法规则和乘法规则在概率的学习中，加法规则和乘法规则是非常重要的概念。
通过介绍生日问题、抽球和取牌等实例，引导学生理解加法规则和乘法规则的应用。
同时，要注意与排列组合与二项式定理的相关联系进行分析。
3.3 应用概率的思想解决实际问题概率的思想可以应用到很多实际问题中，如生日悖论、狄利克雷抽屉原理等。
通过概率的应用实例，帮助学生更好地理解概率的应用，培养学生运用概率思想解决实际问题的能力。
四、教学方法本课程设计主要以讲授为主，配合实例引导学生参与讨论，激发学生兴趣。
同时还可以邀请学生上台示范，展示解决问题的思路和方法。
通过这种教学方式，可以使学生更好地理解概率的基本概念和应用技巧。
五、实施方案1.通过实例引入概率的基本概念和基本性质，讲解概率的计算规则；2.通过举例讲解概率的加法规则、乘法规则等应用；3.通过讲解具体实例，引导学生理解概率的应用，并在开放式讨论环节中提高学生解决问题的能力；4.在教学结束前，对本次课程设计所讲授内容进行综合复习。
【西城学探诊】人教B版高中数学选修2-3导学案：第二章 概率综合6 [ 高考]
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§2.5.6概率综合练习学习目标1.根据题意能够识别概率模型。
学习过程（2014朝阳一模文16）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．（2013房山一模理17）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2012年全年每天的Array PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．（2012延庆一模理17）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个 频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的 中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； （Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生 成绩在[)60,40记0分，在[)80,60记1分， 在[]100,80记2分，用X 表示抽取结束后的总 记分，求X 的分布列和数学期望.（2005北京理17）甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,乙每次击中目标的概率为23. (Ⅰ)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ； (Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率； (Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.（2010北京理17）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为:(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望ξE.（2013东城一模理17）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.。
【西城学探诊】人教B版高中数学选修2-3导学案：第二章 2.2.3独立重复试验与二项分布 [ 高考]
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§2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算学习过程【任务一】问题分析问题1：将一枚均匀硬币随机抛掷3次，求：（1）恰好出现一次正面的概率；（2）恰好出现两次正面的概率。
问题2:10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回的去2次，求恰好取到一件不合格品的概率。
【任务二】概念理解1.n 次独立重复试验：在相同条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验。
2.n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率：（设事件A 发生的概率为p ）),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k k nn ⋅⋅⋅=-=-。
3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布。
【任务三】典型例题分析例1：某射手射击5次，每次命中的概率为0.6，求下列事件的概率：（1）5次中有3次中靶；（2）5次中至少有3次中靶。
例2：某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．【任务四】课后作业1.已知一批玉米种子的出苗率为0.9，现每穴种两粒，问一粒出苗一粒不出苗的概率是2.某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是3.在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为________ 4.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．5.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果用分数表示）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；(2) 5次预报中至少有4次准确的概率。
高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修23
高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修2-3知识建构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=⎪⎩⎪⎨⎧•==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====∑=---正态分布连续型随机变量连续型随机变量均值与方差的性质均值与方差独立事件条件概率条件概率与独立事件二项分布超几何分布定义及性质分布列离散型随机变量概率n i i i r r k n k k n nN kn MN k M pEX X DX p a p a p a EX B P A P AB P A P AB P A B P p p C k X P C C C k X P 122211)()()()()()()|()1()()(Λ 综合应用专题一利用分布列的性质解题分布列的计算是概率部分计算的延伸，概率讨论的是某一具体事件概率的计算，分布列讨论的是全部基本事件概率的计算，求解有关离散型随机变量的分布列问题的重要基础是对基本概念的理解和概率的计算.任一离散型随机变量的概率分布列都有如下性质：（1）p i ≥0,i=1,2,3,…,n;(2)∑==ni 11.已知离散型随机变量的分布列（含未知参数），可利用两条性质求出其中的未知参数.解：由离散型随机变量X 的概率分布列的性质（2）知： 0.16+10a +a 2+5a+0.3=1, ∴10a 2+3a-5.4=0. ∴a=53或a=-109. 又由分布列的性质（1）知：概率的数值不可能为负，∴a=-109舍去. 故所求常数a=53.绿色通道:离散型随机变量的概率分布列的性质指的是表中的第二行概率的特点，而且，离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和..专题二事件的相互独立性【例1】有三种灯泡，合格率分别为0.90,0.95,0.95，现各抽取一件进行检验.求:（1）恰有一件不合格的概率；（2）至少有2件不合格的概率.分析：设从三种灯泡中抽到合格品的事件分别记为事件A、B、C，显然A、B、C是相互独立的，并且事件“恰有1件不合格”及“至少有2件不合格”均可由A、B、C及其对立事件来表示.解：设P（A）=0.90,P(B)=0.95,P(C)=0.95.(1)恰有1件不合格的概率为P(A·B·C+A·B·C+A·B·C)=0.10×0.952+0.90×0.05×0.95+0.90×0.95×0.05=0. 175 75.(2)至少有2件不合格的概率为P（A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C）=0.10×0.05×0.95+0.10×0.95×0.05+0.90×0.052+0.10×0.052=0.012.绿色通道:该例综合性较强，需将复杂的事件分解为互斥事件的和以及独立事件的积，或其对立事件.【例2】制造一种零件，甲机床制造的产品中正品率为0.96, 乙机床制造的产品中正品率为0.95，从它们制造的产品中各任抽一件，求：（1）两件都是正品的概率是多少？（2）恰有一件正品的概率是多少？分析：分别用A、B表示从甲、乙机床制造的产品中抽得正品.由题意知A、B是相互独立事件，A B、A B是互斥事件.解：(1)“两件都是正品”记为事件AB，则P（AB）=P（A）·P（B）=0.96×0.95=0.912. (2)“恰有一件正品”记为事件A B∪A B,则P（A B∪A B）=P（A B）+P(A B)=(1-0.96)×0.95+0.96×(1-0.95)=0.086.绿色通道:解决此类问题，必须弄清楚：若A与B互相独立，则A与B，A与B都相互独立，A B与A B互斥.专题三离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的期望是离散型随机变量的重要的数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此不仅要掌握其计算公式，还要掌握其计算方法.一、利用定义求期望根据定义求离散型随机变量的期望首先要求分布列，然后利用公式EX=a1p1+a2p2+…+a r p r求解.【例1】某人参加工作竞聘，需回答三个问题，竞聘规定，每题回答正确得100分，不正确得-100分，假定这名竞聘者每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.求这名竞聘者回答这三个问题的总得分的数学期望.分析：先求分布列，再利用定义求期望.解：故设X 为这名竞聘者的总得分，则X 的可能取值为-300，-100，100，300.P(X=-300)=0.23=0.008,P(X=-100)=3×0.22×0.8=0.096,P(X=100)=3×0.2×0.82=0.384,P(X=300)=0.83=0.512. 故X 的概率的分布列为所以EX=（-300）×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180. 绿色通道:期望与分布列联系密切，分布列离不开概率，而概率又离不开排列组合.正确地求出随机变量的概率分布，是求数学期望的关键.解题时，确定随机变量X 取哪些值及其相应的概率，是利用定义求期望的重点.. 【例2】已知随机变量X 的分布列如下:求随机变量X 的期望.分析：要求随机变量X 2的期望可考虑先求出其分布列，然后利用定义求解.2利用X 的分布列求EX ，得 EX 2=0×0.1+1×0.4+4×0.5=2.4.另外我们也可以直接利用随机变量X 的分布列求EX 2，EX 2=（-2）2×0.2+(-1)2×0.1+02×0.1+12×0.3+22×0.3=2.4. 这两种算法实质上是一致的，后者是利用随机变量X 的分布列直接进行计算，同样的方法也可以计算EX 3，EX 4等.二、利用分布模型的期望公式求数学期望 （1）若X 服从两点分布,则EX=p.（2）若X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布，则EX=NmM. (3)若X —B （n,p ），则EX=np. 【例3】某寻呼台共有客户3 000人，若寻呼台准备了100份礼物，邀请客户在指定时间来领取，假设任意客户去领奖的概率为4%，问：寻呼台能否向每一位客户都发出邀请？若能使每一位领取人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？分析：来多少人是一个随机变量，而显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖的人数，即能说明问题.解：设来领奖的人数X=k(k=0,1,2,…,3 000),所以P （X=k ）=C k3000(0.04)k·(1-0.04)3 000-k.可见X —B （3 000，0.04）. 所以EX=3 000×0.04=120(人).所以寻呼台不能向每一位客户都发出邀请，若能使每一位领取人都得到礼品，寻呼台至少应准备120份礼品.绿色通道:数学期望反映了随机变量取值的平均水平，用它来刻画、比较取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值. 三、利用方差的性质求期望【例4】随机变量X 的数学期望EX=2,方差DX=4，求EX 2的值.分析：本题首先要找出EX 与DX 之间的关系，进一步探讨EX ，DX ，EX 2三者之间的关系，寻找解题的突破口.解：EX 2=x 12p 1+x 22p 2+x 32p 3+…DX=(x 1-EX)2p 1+(x 2-EX)2p 2+(x 3-EX)2p 3+…=(x 12p 1+x 22p 2+x 32p 3+…)-2EX(x 1p 1+x 2p 2+x 3p 3+…)+(EX)2(p 1+p 2+p 3+…) =EX 2-2EX·EX+（EX ）2 =EX 2-（EX ）2.将EX=2，DX=4带入上式得4=EX 2-22.∴EX 2=8.绿色通道:此题利用了方差的性质DX=EX 2-（EX ）2进行求解.如再进一步求E （4X 2-3）可得E（4X 2-3）=4EX 2-3=4×8-3=29.. 四、利用导数求期望 【例5】射手击中目标的概率为p(0<p<1)，求开始射击到击中目标所需要的射击次数X 的期望.分析：利用导数公式（q k）′=kq k-1,及∞→k lim (q+q 2+q 3+…+q k)=∞→k lim qqq q q k -=--11)1(求解.解：P （X=k ）=p(1-p)k-1（k=1,2,3, …）,记q=1-p,则由分布列的性质得∑∞=1k =1(1-q)q k=1,即∑∞=1k q k=q q -1,两边对q 求导，得∑∞=1k kq k-1=2)1(1q -. ∴EX=∑∞=1k kp(1-p)k-1=(1-q)∑∞=1k kq k-1=(1-q )·.1)1(12p q =- 绿色通道:本题巧妙地将EX 转化为EX=（1-q ）∑∞=1k kq k-1=(1-q)∑∞=1k (q k)′,利用导数和极限以及等比数列求和公式求解..专题四期望、方差中的最值问题【例】若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数.(1)求方差DX 的最大值.(2)求EXDX 12-的最大值. 分析：利用二次函数及均值不等式求最值.解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，并且有P （X=1）=p ，P （X=0）=1-p. 从而EX=0·（1-p ）+1·p=p,DX=（0-p ）2（1-p ）+（1-p ）2p=p-p 2. （1）DX=p-p 2=-（p 2-p+41）+41=-（p-21）2+41. ∵0<p<1, ∴当p=21时，DX 取得最大值41. (2))12(21)(2122pp p p p Ex DX --=--=-. ∵0<p<1, ∴2p+p1≥22. 当且仅当2p=p1时，即p=22时取“=”.因此，当p=22时，EXDX 12-取得最大值2-22. 绿色通道:显然随机事件A 服从两点分布，易求得EX 和DX ，求DX 的最大值用二次函数，求EXDX 12-的最大值则用均值不等式. 科海观潮概率论的缘起与发展1.概率论的缘起对概率论的兴趣，本来是由保险事业的发展而产生的，但刺激数学家思考概率论的一些特殊问题却来自赌博者的请求.在17世纪的许多欧洲国家里，贵族之间盛行赌博之风，而掷骰子则是一种常见的赌博方式.这种骰子的形状为小正方体，当它被掷出时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的.这时期，法国一位热忠于掷骰子赌博的贵族德·梅耳发现了这样一个事实：将一个骰子连掷四次至少出现一个6点的机会比较多，而同时将两个骰子掷24次至少出现一次双6的机会却很少.这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题.此后又提出了“分赌注问题”：两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢了.现在一个人赢a(a<s)局，另一个人赢b(b<s)局，赌博因故中止.问赌局应怎样分法才合理？诸如此类计算可能性大小的赌博问题困扰了梅耳很久，于是他向当时的法国数学家帕斯卡请教了上述问题.帕斯卡思考了这个问题，且将这个问题及自己的解法又寄给了另一个数学家费马，从1654年7月9日起，帕斯卡与费马便开始互相通信来讨论这一问题，并对这一问题首次得出了正确答案，之后他们将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望.费马与帕斯卡通信讨论的问题被来到巴黎的荷兰数学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地对此问题进行了研究，他经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题.1657年，惠更斯的著作《论赌博中的计算》出版，此书是概率论最早的论著，提出了数学期望、概率的加法定理与乘法定理等基本概念.因此，可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费马和惠更斯.2.概率论的发展在三位创立者之后，为概率论成为一个独立的数学分支作出贡献的是瑞士学家雅各布·贝努利.他在前人研究的基础上继续分析赌博中的其他问题，他证明了掷n个骰子所得总点m这样场合的数为（x+x2+x3+x4+x5+x6）n展开式中x m这一项的系数，这不仅是概率论的一个妙解，而且开了母函数的先河.1713年出版了雅各布·贝努利的遗作《猜度术》，建立了概率论中的第一个极限定律，即贝努利大数定律.这一定律指出，概率是相对频率的数学抽象，贝努利的这一理论在概率的发展史上起到了理论奠基的作用，是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果.19世纪初期概率论的巨大进步是和法国科学家拉普拉斯分不开的.他将古典概率论向近代概率论推进.1812年，拉普拉斯的名著《分析的概率理论》出版，在书中他系统地总结了前人关于概率的研究成果，明确了概率的古典定义，在概率论中引入分析方法，把概率论提高到一个新的阶段，把此前各数学家关于概率的零星结果系统化.1814年第二版的书名换为《概率论的哲学导论》，书中给概率下的定义是：“有利情况的个数与所有可能情况个数之比.”他还证明了“隶莫弗——拉普拉斯定理”，把隶莫弗的结论推广到一般场合.概率论在19世纪后期再度迅速发展起来，这一时期的主要成就是中心极限定理，主要人物是俄国的切比雪夫，他于1866年建立的独立随机变量的大数定律，使贝努利和泊松的大数定律成为其特例，他还把隶莫弗与拉普拉斯的极限定理推广成一般的中心极限定理.1906年，切比雪夫的学生俄国数学家马尔科夫提出了有名的“马尔科夫链”.从20世纪20年代起，前苏联的大数学家柯尔莫哥洛夫开始从测度论的途径来改造概率论.1933年他出版了《概率论基础》，他的这本书中建立了柯尔莫哥洛夫公理化概率论，即概率论的公理体系，他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支.。
高中数学 第二章 概率 2.2.1 条件概率学案 新人教B版选修2-3-新人教B版高二选修2-3数学
2.2.1 条件概率1.了解条件概率的概念.2.掌握求条件概率的两种方法.(难点)3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题.(重点)[基础·初探]教材整理 条件概率阅读教材P 48～P 49例1以上部分，完成下列问题. 1.两个事件A 与B 的交(或积)把由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记做D ＝A ∩B (或D ＝AB ).2.条件概率 名称 定义符号表示计算公式条件 概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率.P (B |A )P (B |A ) ＝P A ∩BP A ，P (A )>01.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 互斥，则P (B |A )＝1.(×)(2)事件A 发生的条件下，事件B 发生，相当于A ，B 同时发生.(×) (3)P (B |A )≠P (A ∩B ).(√)2.设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (A ∩B )＝13，P (A )＝23，则P (B |A )＝( )A.12 B.29 C.19D.49【解析】 由P (B |A )＝P A ∩BP A ＝1323＝12，故选A.【答案】 A3.设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________.【导学号：62980041】【解析】 根据条件概率公式知P ＝0.40.8＝0.5.【答案】 0.5[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]利用定义求条件概率一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B .(1)分别求事件A ，B ，A ∩B 发生的概率； (2)求P (B |A ).【精彩点拨】 首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解.【自主解答】 由古典概型的概率公式可知 (1)P (A )＝25，P (B )＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P (A ∩B )＝2×15×4＝110. (2)P (B |A )＝P A ∩BP A ＝11025＝14.1.用定义法求条件概率P (B |A )的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P (A )，P (A ∩B )； (3)代入公式求P (B |A )＝P A ∩BP A.2.在(2)题中，首先结合古典概型分别求出事件A ，B 的概率，从而求出P (B |A )，揭示出P (A )，P (B )和P (B |A )三者之间的关系.[再练一题]1.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (A ∩B )＝0.12，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.【解析】 由公式P (A |B )＝P A ∩B P B ＝23，P (B |A )＝P A ∩B P A ＝35.【答案】 23 35利用基本事件个数求条件概率现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.【精彩点拨】 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解.【自主解答】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A ∩B .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30，根据分步计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n A n Ω＝2030＝23.(2)因为n (A ∩B )＝A 24＝12，于是P (A ∩B )＝n A ∩B n Ω＝1230＝25.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P A ∩BP A ＝2523＝35.法二：因为n (A ∩B )＝12，n (A )＝20， 所以P (B |A )＝n A ∩B n A ＝1220＝35.1.本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法.2.计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA 中计算事件B 发生的概率，即P (B |A ). (2)在原样本空间Ω中，先计算P (A ∩B )，P (A )，再利用公式P (B |A )＝P A ∩BP A计算求得P (B |A ).(3)条件概率的算法：已知事件A 发生，在此条件下事件B 发生，即事件A ∩B 发生，要求P (B |A )，相当于把A 看作新的基本事件空间计算事件A ∩B 发生的概率，即P (B |A )＝n A ∩B n A ＝n A ∩B n Ωn A n Ω＝P A ∩BP A.[再练一题]2.本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率. 【解】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到语言类节目为事件C ，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A ∩C .法一：P (C |A )＝1－P (B |A )＝1－35＝25.法二：n (A )＝A 14×A 15＝20，n (A ∩C )＝A 14×A 12＝8， ∴P (C |A )＝n A ∩C n A ＝820＝25.[探究共研型]条件概率的综合应用探究1 掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？【提示】 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥.“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件.探究2 “先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？【提示】 “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”.探究3 先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？并求出此概率【提示】 设第一枚出现4点为事件A ，第二枚出现5点为事件B ，第二枚出现6点为事件C .则所求事件为B ∪C |A .∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝16＋16＝13.一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：厂别 数量 等级甲厂乙厂合计合格品 475 644 1 119 次品 25 56 81 合计5007001 200(1)________； (2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________. 【精彩点拨】 先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式计算. 【解析】 (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是811 200＝27400. (2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是25500＝120.法二：设A ＝“取出的产品是甲厂生产的”，B ＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P (A )＝5001 200，P (A ∩B )＝251 200，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P (B |A )＝P A ∩B P A ＝120.【答案】 (1)27400 (2)120条件概率的解题策略分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.[再练一题]3.已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人.(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率.【解】 设“任选一人是男人”为事件A ，“任选一人是女人”为事件B ，“任选一人是色盲”为事件C .(1)此人患色盲的概率P (C )＝P (A ∩C )＋P (B ∩C ) ＝P (A )·P (C |A )＋P (B )P (C |B ) ＝5100×100200＋0.25100×100200＝21800. (2)P (A |C )＝P A ∩CP C ＝520021800＝2021.[构建·体系]1.已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (A ∩B )等于( )A.56 B.910 C.215D.115【解析】 由P (B |A )＝P A ∩B P A ，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215.【答案】 C2.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )【导学号：62980042】A.14 B.13 C.12D.1【解析】 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.【答案】 B3.把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )＝________.【解析】 ∵P (A ∩B )＝14，P (A )＝12，∴P (B |A )＝12.【答案】 124.抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1，x 2分别表示第一次、二次骰子的点数.若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1>x 2}，则P (B |A )＝________.【解析】 ∵P (A )＝336＝112，P (A ∩B )＝136，∴P (B |A )＝P A ∩BP A ＝136112＝13.【答案】 135.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？【解】 (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P (A )＝12，P (A ∩B )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1∩B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P A 1∩B 1P A 1＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
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§2.5.6概率综合练习
学习目标
1.根据题意能够识别概率模型。
学习过程
（2020朝阳一模文16）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
只知道
从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为1
5
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．
（2020房山一模理17）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立
方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米:75微克/立方米之间空气质量为二级；在75
微克/立方米以上空气质量为超标．
某城市环保局从该市市区2012年全年每天的Array PM2.5监测
数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如
茎叶图
所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到
一级的概率；
（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的
分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）
中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
（2020延庆一模理17）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个 频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的 中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； （Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生 成绩在[)60,40记0分，在[)80,60记1分， 在[]100,80记2分，用X 表示抽取结束后的总 记分，求X 的分布列和数学期望.
（2020北京理17）甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为1
2
,乙每次击中目标的概率为
23
. (Ⅰ)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ； (Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率； (Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
（2020北京理17）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率
为4
5
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取
得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为:
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求p，q的值；
(Ⅲ)求数学期望ξ
E.
（2020东城一模理17）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.
（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.。