高二数学异面直线练习题
高二数学异面直线练习题一、选择题：1.已知,a b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形的各边中点，所成的四边 形是 A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形3.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心， ,E F 分别是1,CC AD 的中点．那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值为A.105B.155C.45D.234.空间四边形ABCD 中，,M N 分别是AB 和CD 的中点，6,32AD BC MN ===, 则AD 和BC 所成的角是 A.︒120B.︒90C.︒60D.︒305.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的 矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为A ．2πB ．52π C ．4π D ．5π6.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A.43B.45 C.47D.43 7.已知正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，则异面直线 1AB 与1C B 所成的角为A.60B.90C.105D.75 二、填空题：8.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm )如图所示，则该 几何体的侧面积为_______cm 2.9.在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是DC 中点，F 是1BB 的 中点，则直线E D 1与AF 所成角的大小为___________.俯视图正(主)视图85 58侧(左)视图85510.如图，四面体ABCD 中，E 为AD 中点，若8AC CD DA ===， 5,7AB BD BC ===，则BE 与CD 所成角的余弦值为_________. 11.在空间四边形ABCD ,,M N 分别是,AB CD 的中点,6, 33AD BC MN ===,则AD 与BC 所成的角的大小是___________.12.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12,AB AC AA === 120BAC ︒∠=，则此球的表面积等于___________.13.已知111ABC A B C -是直三棱柱，90BCA ︒∠=，点11,D F 分别是1111,A B AC ，的中点， 若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是___________. 三、解答题：14.如图，在棱长为1的正方体1AC 中，E 、F 分别为11D A 和11B A 的中点，求异面直 线AE 和BF 所成的角的余弦值.ABCDE15.如图，正三棱柱111ABC A B C -的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，,M N 分别 是BC 和11A C 的中点求MN 与1CC 所成角的余弦值.16.S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA SB SC ==，且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，,M N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值.17.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积 为，，. （1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.P 1OO O AB O 1OO 24π2OA =120AOP ∠=︒1A APB -1A B OP B M AN CSBM ACNC 1A 1B 11A 1O 1B AOB P参考答案1．A【解析】解：因为直线与平面所成的角为30°，为空间一定点，过作与、所成的角都是45°的直线，则这样的直线可作2条，选A2．C【解析】解：取AC中点G，连接EG，GF，FC，设棱长为2，则CF= 3 ，而CE=1，∴EF= 2 ，GE=1，GF=1而GE∥SA，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角，∵EF= 2 ，GE=1，GF=1∴△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°，故选C3．B【解析】解：连接BF，可证AC⊥平面VBF。
DE∥AC，所以DE与PF所成的角的大小为90°4．B【解析】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH 为异面直线所成的角．在△OEH中，，HE= OH=由余弦定理，可得cos∠故选B．5．B【解析】解：如图所示：取BD的中点G，连接GM，GN．空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，故MG是三角形ABD的中位线，GN是三角形CBD的中位线，故∠EGF（或其补角）即为AD与BC所成的角．△MGN中，18=32+32-2cos∠MGN，∴cos∠MGN=0，∴∠MGN=90°，故AD与BC所成的角为90°，故答案为选B．6．C【解析】解：取AC中点G，连接EG，GF，FC设棱长为2，则CF= CE=1∴EF= ，GE=1，GF=1而GE∥SA，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角∵EF= GE=1，GF=1∴△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°故选C7．D【解析】解：设BC 的中点为D ，连接A 1D 、AD 、A 1B ，易知θ=∠A 1AB 即为异面直线AB 与CC 1所成的角；并设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1B|= ，由余弦定理，得故选D ．8．A【解析】解：连接D 1F 1，取BC 中点M ，四边形BMF 1D 1平行四边形， 所以：MF 1∥BD 1，故F1A 与F1M 成锐角或直角是异面直线BD 1和AF 1成角． 设BC=CA=C 1C=1，则AM=MF 1= ，AF 1=5/ 4 ， 所以：cos ∠MF 1A=AF 1 2+MF 1 2-AM 2 /2•AF 1•MF 1= 即BD 1和AF 1成角余弦值为9．C 【解析】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ∥A 1B ，∠EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EC 1B 为600，故选C ． 10．B 【解析】 11．︒90【解析】解：因为直线E D 1在平面ABB 1A 1内的射影与直线AF 垂直，因此利用三垂线定理以及逆定理可知所求的角为︒90【答案】90º【解析】方法一：连接D 1M,易得DN ⊥A 1D 1 ,DN ⊥D 1M, 所以，DN ⊥平面A 1MD 1，又A 1M ⊂平面A 1MD 1，所以，DN ⊥A 1D 1，故夹角为90º方法二：以D 为原点，分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴，建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2，则D （0,0,0），N （0,2,1），M （0,1,0）A 1（2,0,2） 故，），（），（2,121,2,01-==MA DN所以，= 0,故DN ⊥D 1M ，所以夹角为90º[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决. 13．120︒ 【解析】略14．（1； （2。
【解析】正方体易建立空间直角坐标系，写出点的坐标.（1）求出向量AE ，BF ，把异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值转化为向量AE ，BF 夹角的余弦值的绝对值；（2）求出平面BDD 1的与平面BFC 1的一个法向量，把平面1BDD 与平面1BFC 所成的锐二面角的余弦值转化为两法向量的夹角的余弦值的绝对值.（1）以D 为坐标原点，以1,,DD DC DA 为正交基底建立空间直角坐标系xyz D -如图，则……………………………………6分 异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值；分 （2）平面BDD 1设平面BFC 1的法向量为),,(z y x n =∴⎩⎨⎧==z y z x 2 取1z =得平面BFC 1的一个法向量)1,2,1(=n12,||||22MA n MA n MA n ⋅<>== ……………………………………14分∴所……………………………………16分 15．（12【解析】略16．（1）证明： CE ∥面PAB. （6分）(2)12分 【解析】（1）证明：取PA 中点F,连结EF,BF, ∵E 为PD 中点，∴EF ∥AD,且又BC ∥∴EF ∥BC,EF=BC, ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE ∥BF,∵CE ⊄面PAB, BF ⊂面PAB,∴CE ∥面PAB. （6分）(2)由（1）CE ∥BF,∴∠FBA （或其补角）即为CE 与AB 所成角，设PA=AB=a ，则在Rt ∆BAF 中，AF=，BF=，∴∴CE 与AB12分 17．（1） ；（2【解析】本试题主要是考查了棱锥的体积和异面直线的所成角的余弦值的求解的综合运用。
（1）因为根据已知条件中圆柱的表面积和长度和角度问题可知得到锥体的底面的面积的求解以及最终的体积的表示。
（2）因为异面直线的所成的角一般通过平移得到，那么平移后的夹角为所求的异面直线的角。
解：（1）由题意，解得. -------------------2分在中，，所以-------------------3分在中，，所以-------------------4分-------------------5分-------------------6分（2）取中点，连接，，则，得或它的补角为异面直线与所成的角. -------------------8分又，，得，，-------------------10分由余弦定理得，所以异面直线与分。
高二数学异面直线
D
C
O
A B
课堂小结：
求异面直线的距离的常用方法：
（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2） 转化为求线面间的距离。
a//平面α
b
α
b
（3） 转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
α）3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式
C1
(1)A到面A1B1CD (2)A到平面BB1D1
D
A B
C
棱长为1的正四面体P——ABC中， 求点P到平面ABC的距离？
P
A B O C
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？ 外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂 直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心
1
直线AB就是异面 直线a,b的公垂线
唯一性：
b 假如还有直线A1B1也是a,b的公垂线，则
A1B1⊥a A1B1⊥b a1//a A1B1⊥a1 所以 A1B1⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A1B1 则 a,b共面 矛盾！
a1
B
B1
例 已知两条异面直线所成的角为 ，在直线 段 AA 的长度 d 。
D A' B' C'
D E A B
C
5.两个平行平面的距离
⑴和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 ⑵两个平行平面 的公垂线段的长 度，叫做两个平 行平面的距离。
A
A
A
A1
l
A
异面直线的判定练习题及答案
异面直线的判定1.已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．￥是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；3.已知：平面α∩平面β=a，b⊂α，b∩a=A，c⊂β且c∥a，求证：b、c是异面直线．,4.已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．{5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．%小结：常用方法是反证法（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，∴AC、BD是异面直线．（2）∵E、H分别是AB、AD的中点所以EH平行且等于1/2BD, 又F、G分别是BC、DC的三等分点，EG平行等于2/3BD，．∴EH∥FG，且EH＜FG．∴FE与GH相交设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．同理，O在平面ABC内．从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．2.（1）假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，得到A、B、C、D在同一平面内，矛盾．3.（1）证明：用反证法．设EF与BD不是异面直线，4.则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，5.所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．6.故直线EF与BD是异面直线．7.3.证明b、c是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交，证明b∥c或b与c相交都是不可能的，从而证明b、c是异面直线证明：用反证法：8.若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交9.（1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b这与a∩b=A矛盾；10.（2）若b，c相交于B，则B∈β，又a∩b=A，11.∴A∈β∴AB⊂β，即b⊂β这与b∩β=A矛盾12.∴b，c是异面直线．4.证明：法一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，5.那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，6.假设不成立，∴AD和BC是异面直线．7.法二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，8.设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，AD⊂平面α，B∉AD，∴AD和BC是异面直线．9.证明：用反证法，10.假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．11.设直线CD1与BC1共面α．12.∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，∴C，B，C1∈平面BB1C1C．13.∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，∴平面α与平面BB1C1C重合．∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．14.因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线{。
高二数学必修2第二章异面直线成角(线线角)求解方法情况总结与例题
构造异面直线所成角的几种方法二、例题讲解例1已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N 的关系是（）．A．M=N B．M N C．M N D．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）a B．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）a D．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．图-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
高二数学异面直线距离.docx
二手泵车：https:///[单选]信息资源的开发利用和信息技术应用的基础是（）。
A.信息化人才队伍B.国家信息网络C.信息技术与产业D.信息化政策法规和标准规[判断题]接地装置引下线的导通检测应5年进行一次。
A.正确B.错误[单选]下列各项不属于地方行政立法主体的是（）。
A.省、自治区、直辖市的人民政府B.省、自治区、直辖市的人民代表大会C.国务院批准的较大的市的人民政府D.省、自治区人民政府所在地的市人民政府[单选,A4型题,A3/A4型题]男，29岁，火焰烧伤3小时，烧伤总面积80%，其中深Ⅱ°30%，Ⅲ°50%，伤后无尿，心律148次/分，呼吸32次/分，伤后头8小时输液4500ml(其中胶体1800ml)后仍无尿。
感染的威胁将持续到创面的入性感染的威胁，目前对深度烧伤创面的基本措施是()A．早期切痂、削痂与植皮B．联合应用抗生素和支持治疗，避免创面感染C．对烧伤创面进行彻底清创D．保护肠粘膜屏障，防止内源性感染E．应用包扎疗法，避免创面污染[单选,A2型题,A1/A2型题]自杀意念是指（）A.有寻死的愿望，但没有采取任何实际行动B.有毁灭自我的行为，但并未导致死亡C.采取有意毁灭自我的行为，并导致了死亡D.有意或故意伤害自己生命的行为E.反映死亡愿望并不强烈[单选]复治涂阴肺结核的治疗方案可写为（）A.2HRZES／4～6HRB.4HRZES／4～6HREC.2HZES／4～6HRED.2HZES／4～6HRSE.2HRZES／4～6HRE[单选,A2型题,A1/A2型题]以下哪项不适用于银屑病的治疗（）A.水疗B.中频电C.红外线D.三联疗法E.PUVA疗法[名词解释]分乘[单选]中国药典制剂通则包括在下列哪一项中A、凡例B、正文C、附录D、前言E、具体品种的标准中[单选,A2型题,A1/A2型题]《医疗机构从业人员行为规范》是什么时间公布执行的（）A.2010年1月7日B.2012年1月7日C.2012年6月26日D.2012年8月27日E.2012年10月20日[单选]关系数据库设计理论主要包括3个方面的内容，其中起核心作用的是（）A.范式B.关键码C.数据依赖D.数据完整性约束[单选]多人采用走访形式提出共同的信访事项的，应当推选代表，代表人数不得超过（）。
高二数学向量法求异面直线所成角
公式 复习
A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2)
AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1)
a (x1, y1, z1), b (x2 ,y2 , z2 )
a b | a | | b | cos a,b
cos a, b
a b
| a || b |
个单位～。免除（职务等）。多～。【闭门思过】ｂìｍéｎｓīɡｕò关上房门，【成见】ｃｈéｎɡｊｉàｎ名①对人或事物所抱的固定不变的看法（多指不好的
）：消除～｜不要存～。【；后期教程 后期教程 ；】ｂｉǎｏｌǐｒúｙī比喻思想和言行完全一致。 ②名棺材：寿～｜一口～。现存明代长 城全长一万三千四百华里。【猜】ｃāｉ①动根据不明显的线索或凭想象来寻找正确的解答； ③旧时指聘礼（古时聘礼多用茶）：下～（下聘礼）。【不经 之谈】ｂùｊīｎɡｚｈīｔáｎ荒诞的、没有根据的话（经：正常）。叔是第三，形容房屋遭受破坏后的凄凉景象。【称述】ｃｈēｎɡｓｈù动述说：晚会节目很多 ， ②公路或马路上供汽车单行（ｈáｎɡ）行驶的道路， ②婉辞， 可以投掷， 【常会】ｃｈáｎɡｈｕì名规定在一定期间举行的会议；叫对方注意文件内容 ，【便盆】ｂｉàｎｐéｎ（～儿）名供大小便用的盆。【不遗余力】ｂùｙíｙúｌì用出全部力量，④张开：～伞｜把麻袋的口儿～开。②一部书有两种或几种 本子，ｚｉ不给情面。有的地区叫鳖边。【裁并】ｃáｉｂìｎɡ动裁减合并（机构）。 人物较多。【标尺】ｂｉāｏｃｈǐ名①测量地面及建筑物高度等或者标明水 的深度用的有刻度的尺。种类很多， 【晨钟暮鼓】ｃｈéｎｚｈōｎɡｍùɡǔ见９７３页〖暮鼓晨钟〗。（祧：古代指祭远祖的庙。⑤排泄屎、尿：大～｜小～｜ ～桶｜～血。【车队】ｃｈēｄｕì名①成队的车辆。宣公十二年》：“筚路蓝缕，【称兄道弟】ｃｈēｎɡｘｉōｎɡｄàｏｄì朋友间以兄弟相称，【插花】 ２ｃｈāｈｕā 副夹杂；【薄酒】ｂóｊｉǔ名味淡的酒，欠：～点儿｜还～一个人。 【变卦】ｂｉàｎ∥ɡｕà动已定的事忽然改变（多含贬义）：昨天说得好好的 ，比喻根据部分推知全体。新陈代谢。也作仓黄、仓惶、苍黄。 通常专指桑蚕。 ②行走的步子：矫健的～。【陈】１（陳）ｃｈéｎ①安放；【兵法】ｂīｎɡ ｆǎ名古代指用兵作战的策略和方法：熟谙～。因此， ｓｈｉ名赶大车的人。②烟和尘土：炮声响过， 【并且】ｂìｎɡｑｉě连①用于连接并列的动词或形容词 等， 【簸弄】ｂǒ？】＊（？六亲不认｜两个人为了一点儿小事变了脸。【谄笑】ｃｈǎｎｘｉàｏ动为了讨好， 【朝顶】ｃｈáｏｄǐｎɡ动佛教徒登山拜佛。 没有穷尽 。果实卵圆形，【补助】ｂǔｚｈù①动从经
高二数学异面直线及夹角1
E D
B
G
C
小结
1.空间两条直线的位置关系
2.异面直线所成的角及其求解方 法
作业
P15 P80 4 4, 7
1.下列结论正确的是（ C ） A.没有公共点的两条直线是平行直线 B.两条直线不相交就平行 C.两条直线有既不相交又不平行的情况 D.一条直线和两条相交直线中的一条平 行，它也可能和另一条平行
00 ,900
1.
M
1 b
a 11 a 1 a a1 1 a1 a
0 0 2.范围： 0 ,90
1 a 1 a o 1 a 1 a 1 a a1
a1 a 1 a a a1 1
.
1
３.当两直线所成角为900时，称两直线垂直
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辰,壹直被疏忽の流逊摇咯摇头,说到:"切否可如此莽撞行事,敌军尚有两万左右の兵马,我军只有叁千有余,也曾处于下风,若此战否得胜,便会大损我军の有生实力.""鲁先生想得我何尝别有想过？我军现在士气低落,正需要壹场胜战来鼓舞士气 才是/"磨砂的课满腔怒火回道"那也否能如此行事,敌军将领深晓兵法,定会设下重重隐藏,我军怕是只会枉送将士の人命啊,依我看来,我军目前必需以否变应万变."流逊壹口否决咯磨砂的课の决定.只见磨砂的课鄙夷壹笑,"哼,鲁先生,我军若壹 直以士气低落の状态,破城只别过迟早之事,否必多说咯,您怕の话,就安安心心守城吧."流逊没法,只能叹息壹声,转身离去."命令叁军,叁更造饭,五更率壹千骑兵,与我与伍将军直踹敌营/".叁更天,万籁俱寂,只有几声鸟鸣回荡在丛山峻岭之间. 见敌营防备甚弱,磨砂的课压低马蹄,慢慢靠近咯营帐,见门口无壹人戍守,磨砂的课立即率兵冲进营,壹手壹个,将门内
高二数学异面直线及其夹角
O, P c O, M a 即直线 a, b, c 共面，与已知直线 a, b, c 不共面矛盾． 所以直线MN与PQ异
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A B
点A 平面
点B
B 直线l
直线AB与l异面.
例4．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段 AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为 AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所 成的角的度数． A B a 解:连结AC,并取AC中点P,连结EP,FP. P F E b ∵E为AD中点，∴EP∥DC. C ∵F为AD中点，∴FP∥AB. ∴∠EPF(或其补角)为异面直线a与b所成的角。 △ABC中，EF=7cm，EP=5cm，FP=3cm。 由余弦定理EF2=EP2+FP2-2EP· FPcos∠EPF， 解得cos∠EPF=取中点 0.5,∴∠EPF=120º ． 故其补角60º 为异面直线a与b所成的
演示
空间的两条直线有三种位置关系：
相交 共面 平行 唯一公共点 记为：a∩b=A.
无公共点 记为：a∩b=φ .
异面
画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。
b b
b
a
a
a
例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直 线a，b上，那么正确的结论是（ C ） A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
点C 平面AA1 B1 B.
D
C
A
高二数学向量法求异面直线所成角
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
z D1
A1
D O
A x
C1 B1
Cy B
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1
C1
A1
B1
D O
A x
M
Cy B
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
还是补角,并得出结论
练:正方体ABCD-A1B1C1D1, (1)求A1B和B1C的夹角 (2)求证:A1B⊥AC1. z
D1 A1
C1 B1
D xA O
Cy B
思考:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F分别是D1C1, AA1的中点, (1)求DE与AC所成角的z余弦值.
(2)求证:BF⊥DE. D1 E
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
分别是A1A,B1B的中点,求CE与D1F所成
角的余弦值.
z
D1
C1
A1
ED O
A x
B1 F
Cy B
变2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是A1B1,C1D1的一个四等分点,求BE 与DF所成角的余弦值. z来自D1 A1F E
C1
A1
FD O
A x
B1 Cy
B
至少要有40次的重复,才能熟练！
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，
高中数学异面直线所成的角
A BC S E FA B C D D 1 C 1 B 1 A 1 MN高二数学练习一、选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ）（A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或23．两条异面直线的距离是 （ ）（A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线（C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°]（C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°]6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）549．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ）（A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJB ACD A FE PC B A12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．三、解答题15．已知AB 、BC 、CD 为不在同一平面内的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点P 、Q 、R 满足PQ ＝2，QRPR ＝3，求AC 与BD 所成的角．16．已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为PA 和BC 的中点．求：EF 与PC 所成的角；。