北京市西城区2018-2019学年高一第一学期数学期末数学试题(解析版)
能力和计算求解能力.
18.函数
的部分图象如图所示，其中 ， ， ．
Ⅰ 求 的解析式；
Ⅱ 求 在区间 上的最大值和最小值； Ⅲ 写出 的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ） 【解析】
；（Ⅱ）最大值 ；最小值 ．（Ⅲ）
【分析】
(Ⅰ)结合函数图像分别确定 的值即可确定函数的解析式；
(Ⅱ)由函数的解析式结合正弦函数的性质确定函数的最值即可；
解能力.
4.
（）
A.
B.
C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合诱导公式化简三角函数式即可.
【详解】由题意结合诱导公式可得：
.
本题选择 C 选项.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求
解能力.
5.已知函数
和
在区间 I 上都是减函数，那么区间 I 可以是
(Ⅲ)结合函数的解析式写成函数的单调增区间即可.
【详解】（Ⅰ）由图象可知 ．
（ ）．
因为 的最小正周期为
，
所以
．
令
，解得 ，适合
．
所以
．
（Ⅱ）因为
，所以
．
所以，当
，即 时， 取得最大值 ；
当
，即 时， 取得最小值 ．
（Ⅲ） 的单调递增区间满足：
，
求解不等式组可得其在区间为：
（ ）．
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，函数最值的求解，函数单调区间的求解等知识，意在考查
体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.
11.若 【答案】
，且 为第三象限的角，则
______．
【解析】
【分析】
由题意结合同角三角函数基本关系求解 的值即可.
【详解】由题意结合同角三角函数基本关系可得：
(Ⅱ)首先确定最大的角，然后结合(Ⅰ)中的结论求解三角不等式确定 的取值范围即可.
【详解】（Ⅰ）
，
．
所以
．
因为
，所以
．
所以当
，即 时，
（Ⅱ）因为
，
取得最大值 ． ，
．
又
，所以
，
，
所以
，
．
所以若△ 为钝角三角形，则角 是钝角，从而
．
由（Ⅰ）得
，解得
．
所以
，即
．
反之，当
时，
又 三点不共线，所以△
， 为钝角三角形．
【解析】
【分析】
结合题意由并集的定义求解即可.
【详解】由题意结合并集的定义可得：
.
【点睛】本题主要考查并集的定义，属于基础题.
21.函数
的定义域是____．
【答案】
，或
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式求解函数的定义域即可.
【详解】函数有意义，则：
，
求解不等式组可得函数的定义域为
，或 .
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它
【详解】由最小正周期公式可得函数 本题选择 C 选项.
的最小正周期为
.
【点睛】本题主要考查三角函数的周期公式，属于基础题.
3.如果向量
A.
B.
【答案】B
，
，那么
C.
D.
（）
【解析】
【分析】
首先求得 的坐标表示，然后求解其模长即可.
【详解】由题意可得
，
则
.
本题选择 B 选项.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求
14.如图，已知正方形
．若
，其中 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先确定 的值，然后求解其比值即可.
【详解】由题意可得：
，
则
，即
.
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减
或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合诱导公式求解三角函数值即可.
【详解】由题意可得：
.
本题选择 D 选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于基础题目.
2.函数
A.
B.
的最小正周期为
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合最小正周期公式求解函数的最小正周期即可.
取 可得：与向量 共线的一个非零向量的坐标可以是 . 【点睛】本题主要考查向量共线的定义及其应用，属于基础题.
13.如果
，那么 x 的最小值是______．
【答案】 【解析】 【分析】 由题意求解三角方程确定 x 的最小值即可.
【详解】解三角方程
可得：
，则
，
由于 ，故取 可得 的最小值为 . 【点睛】本题主要考查三角方程的解法，正切函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能 力.
【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是 求待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法：
(1)由 ω＝ 即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则 令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 ω 和 φ， 若对 A，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
C. 向左平移 个单位 【答案】A
D. 向左平移 个单位
【解析】
【分析】
首先确定函数的解析式，然后确定函数的变换即可.
【详解】由图 1 可知 ，函数的周期为
当 时， 令 可得
，则
，则 ，
，则
，
，
同理可得
.
将函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 ，据此可得函数的解析式为：
，
而
，
则 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 ，再将函数图像向右平移 个单位即可得到函数 的图象.
是平行四边形，则：
， ②.由题意可得：
，据此可得： ，
，点 的坐标为
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
故
，设
，由题意可得：
，
据此可得：
，解得：
，点 的坐标为
.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量在几何中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
16.设函数 【答案】
若 的图象关于直线 对称，则 的取值集合是___．
式，再通过向量的运算来解决．
15.在直角坐标系 中，已知点 ， ， ， 是坐标平面内的一点．
① 若四边形
是平行四边形，则点 的坐标为______；
②若 【答案】
，则点 的坐标为______．
(1).
(2).
【解析】
【分析】
由题意结合平面向量的坐标运算求解点的坐标即可.
【详解】①.设点的坐标为
，四边形
【详解】由题意可得：
.
本题选择 D 选项.
【点睛】本题主要考查平面向量的加法公式、减法公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知 为单位向量，且
，那么向量 的夹角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合向量的夹角公式求解向量的夹角即可.
【详解】设向量 的夹角是 ，由题意可得：
且易知
，
观察可得，使
成立的 的取值范围是 .
本题选择 B 选项.
【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，三角函 数图像的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9.已知函数
，
，其图象如图所示 为得到函数 的图象，只需先将
函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 ，再
A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位
D.
，函数
本题选择 B 选项.
在区间上单调递增，函数
在区间上单调递增，不合题意；
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.如图，在
中，D 是 BC 上一点，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合向量的运算整理计算即可求得最终结果.
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 逐一考查函数在所给区间的单调性确定满足题意的区间即可. 【详解】逐一考查所给的区间：
A. ，函数
在区间上单调递增，函数
在区间上单调递减，不合题意；
B. ，函数
在区间上单调递减，函数
在区间上单调递减，符合题意；
C. ，函数
在区间上单调递减，函数
在区间上单调递增，不合题意；
【解析】
【分析】
由题意结合三角函数的性质确定 的取值集合即可.
【详解】由题意可知，函数
的对称轴方程为：
，
即
，
结合题意有：
，整理可得 的取值集合是
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)(解析版)
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么A. 2，B. 0，C.D.【答案】B【解析】解：集合，，0，．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在等比数列中，若，，则A. 10B. 16C. 24D. 32【答案】D【解析】解：等比数列中，若，，则，故选：D．根据等比数列的性质即可求出．本题考查了等比数列的性质，考查了运算和求解能力，属于基础题3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，．可知其最长棱长为．故选：C．由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，即可得出．本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，属于基础题．4.在极坐标系中，点到直线的距离等于A. 1B. 2C. 3D.【答案】A【解析】解：在极坐标系中，点，，，点P的直角坐标方程为，直线，直线的直角坐标方程为，点到直线的距离．故选：A．求出点P的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，由此能求出点到直线的距离．本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，点，点B在圆上，则的最大值为A. 3B.C.D. 4【答案】C【解析】解：，故选：C．根据向量减法的三角形法则转化为求，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．6.设M，，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当，则为减函数，又，所以，可得，即“”是“”的充分条件，由“”不能推出“”，故由“”不能推出“”，即“”是“”的不必要条件，即即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．由，则为减函数，可得“”的充要条件为：，再判断即可．本题考查了对数函数的增减性及充分必要条件，属简单题．7.已知函数，，则A. 曲线不是轴对称图形B. 曲线是中心对称图形C. 函数是周期函数D. 函数最大值为【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，为轴对称图形，且其中一条对称轴为，，为轴对称图形，且其对称轴为，故是轴对称图形，且其对称轴为，A错误；对于B，，不是中心对称图形，则曲线不是中心对称图形，B错误；对于C，不是周期函数，不是周期函数，C错误；对于D，，当时，取得最小值，而，当时，取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的对称性、周期性和最值，关键掌握函数的性质，属于基础题．8.一个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对【答案】C【解析】解：由下图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，故要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成21块“L”形骨牌．故选：C．由右图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，由此能这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成“L”形骨牌的块数．本题考查满足条件的“L”形骨牌个数的求法，考查简单的计数问题等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数z满足方程，则______．【答案】【解析】解：由，得，则．故答案为：．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.已知角的终边经过点，则______；______．【答案】【解析】解：角的终边经过点，则；，故答案为：；．利用意角的三角函数的定义，诱导公式，求得所求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．11.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出数据的总个数为______．【答案】6【解析】解：模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，，输出n的值为3，满足条件，执行循环体，，输出n的值为7，满足条件，执行循环体，，输出n的值为15，满足条件，执行循环体，，输出n的值为31，满足条件，执行循环体，，输出n的值为63，满足条件，执行循环体，，输出n的值为127，此时，不满足条件，退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故答案为：6．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12.设x，y满足约束条件则的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据x，y满足约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．作出直线l：，将直线l向上平移至过点时，取得最小值：．则的取值范围是．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．13.能说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】解：可举函数，可得，，即有，但在内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题．故答案为：．可考虑函数，计算，但在内存在零点1．本题考查命题的真假判断，考查函数的零点问题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．14.设双曲线：的左焦点为F，右顶点为若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解：双曲线：的左焦点为，右顶点为设，可得：，推出，，，，可得，，如图：当：时，在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，故答案为：．设出P的坐标，求出双曲线：的左焦点为F，右顶点为利用推出的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在中，，，．Ⅰ求的值；Ⅱ试比较与的大小．【答案】本题满分为13分解：Ⅰ，，．由正弦定理可得：，分；分Ⅱ，，可得：，分，，分，分，，分，又函数在上单调递减，且B，，分【解析】Ⅰ由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得的值．Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，进而可求的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求的值，由于，根据余弦函数的图象和性质可求．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别是，AC的中点，平面BCM．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求证：平面BCM；Ⅲ若是边长为2的菱形，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面BCM，平面BCM，，正方形，，，平面，平面，平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，，N分别是，AC的中点，，且，又，，，，四边形为平行四边形，，平面BCM，平面BCM，平面BCM．解：Ⅲ由Ⅰ知BA，BM，BC两两互相垂直，以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，是边长为2的菱形，M为的中点，且，，0，，0，，，0，，，，，0，，，0，，，设平面的法向量y，，则，令，则，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面BCM．Ⅲ以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下面表，其中．Ⅰ现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；Ⅱ为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．【答案】解：Ⅰ由，解得，所以甲企业的样本中次品的频率为，即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是；Ⅱ由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，由题意知，随机变量X的可能取值为：120，150，180，210，240；且，，，，，随机变量X的分布列为：所以X的数学期望为；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；以产品的合格率非次品的占有率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，由图表可知，甲企业产品的合格率约为，乙企业产品的合格率约为，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以认为乙企业的食品生产质量更高．以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论．以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为，乙企业产品中一等品的概率约为，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高．根据第Ⅱ问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣．【解析】Ⅰ由频率和为1列方程求出a的值，再计算甲企业的样本中次品的频率；Ⅱ由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，可以参考产品的合格率为标准，以产品次品率为标准，以产品中一等品的概率为标准，根据第Ⅱ问的定价为标准等．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望应用问题，是中档题．18.已知函数，其中．Ⅰ如果曲线与x轴相切，求a的值；Ⅱ若，证明：；Ⅲ如果函数在区间上不是单调函数，求a的取值范围．【答案】解：求导得曲线与x轴相切，此切线的斜率为0．由，解得，又由曲线与x轴相切，得解得．证明由题意，，令函数求导，得由，得，当x变化时，与的变化情况如下表所示：函数在上单调递增，在单调递减，故当时，，任给，，即，Ⅲ由题意可得，，，当时，在上恒成立，函数单调递增，当时，在上恒成立，函数单调递减，在上恒成立，或在上恒成立，在上恒成立，或在上恒成立，令，，由，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，，，或，或，函数在区间上不是单调函数，，故a的取值范围为．【解析】Ⅰ先求导，再根据导数的几何意义即可求出，Ⅱ构造函数，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明Ⅲ先求出函数在上是单调函数a的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．19.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．Ⅰ若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；Ⅱ设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且，求证：为定值．【答案】解：Ⅰ由题意可得，，，，椭圆的方程为，设，由点P在椭圆C的内部，得，又，直线AM的斜率，又M为椭圆C上异于A，B的一点，，，证明Ⅱ由题意，，其中，则，直线AM的方程为，令，得点P的坐标为，，直线AQ的方程为，令，得点Q的坐标为，由，，，，即，故为定值【解析】Ⅰ根据题意可得得，由，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，Ⅱ题意，，可得直线AM的方程，求出点P的坐标，再根据直线平行，求出直线AQ的方程，求出Q的坐标，根据向量的数量积即可求出，即可证明．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20.设正整数数列A：，，，满足，其中如果存在3，，，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k 阶平衡数列”．Ⅰ判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？Ⅱ若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，，．Ⅲ如果，且对于任意3，，，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．【答案】解：Ⅰ由不为整数，可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；Ⅱ证明：若N为偶数，设，考虑1，2，3，，k这k项，其和为．所以这k项的算术平均值为：，此数不是整数；若k为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，；这k项，其和为，所以这k项的算术平均数为：，此数不是整数；故数列A，1，2，3，4，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，4，；Ⅲ在数列A中任意两项，，，对于任意3，4，5，，，在A中任意取两项，，相异的项，并设这项和为由题意可得，都是k的倍数，即，，q为整数，可得，即数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，因此所求数列A的任意两项之差都是2，3，，的倍数，如果数列A的项数超过8，那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，即，，，均为420的倍数，为2，3，4，5，6，7的最小公倍数，，即，这与矛盾，故数列A的项数至多7项．数列A的项数为7，那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，即，，，均为60的倍数，为2，3，4，5，6的最小公倍数，又，且，所以，，，，所以当且仅当，取得最大值12873；验证可得此数列为“k阶平衡数列”，3，，，如果数列的项数小于或等于6，由，可得数列中所有项的之和小于或等于，综上可得数列A中所有元素之和的最大值为12873．【解析】Ⅰ由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；Ⅱ讨论k为偶数或奇数，结合新定义即可得证；Ⅲ在数列A中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，讨论数列A的项数超过8，推得数列A的项数至多7项讨论数列A的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．。
2018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题
32018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01、选择题：本大题共 8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知集合 A 二｛1,2｝，B 二｛x|0 ：：：x ：：：2｝，则 AP1B 二已知向量 a = (m,6)，b = (-1,3)，且 a ； b ，则 m =(A ) f(x) =2〉(B)f(x) =x 3(C ) f(x)=lg x(D ) f (x) =s in x(4) 命题P ： 一x 2, 2 x -1 0，则—p 是( )(A ) -x 2, x 2-仁0(B )-xE2, 2x -1 0(C )x 2, x 2-仁0(D ) x 空2, 2x -仁0(5) 3已知tan ：sin :- :::0，则 cs :- —.(4(A ) 3(B )3 (C ) 4(D45555(6) 若角a 的终边经过点(1, y 0)，则下列三角函数值恒为正的是()(A ) sin 二 (B )COS J(C ) tan:-(D ) sin( n J )(3)()(7)F 列函数中，既是奇函数又在 (0,；)上是增函数的是学校班级姓名 成绩(A ) {1}(B ) {1,2} (C ) {0,1,2} (D ) {x0*2}(1) (2) (A ) 18(B ) 2(C ) -18n为了得到函数 y =-sin(x - )的图象，只需把函数y =sin x 的图象上的所有点32 n(A )向左平移耳个单位长度(C )向右平移n 个单位长度3(B )向左平移n 个单位长度3 (D )向右平移个单位长度3(8)如图，在平面直角坐标系xOy中，角:-以Ox为始边，终边与单位圆O相交于点过点P的圆O的切线交x轴于点T，点T的横坐标关于角:-的函数记为f(>).则3下 列 关 于 函 数 f(〉) 的 说 法 正 确 的 是( )n(A) f C )的定义域是{=2k n ，5 K Z } (B)f G )的图象的对称中心是(k n ,0), k • Z2(C) f C )的单调递增区间是［2k n 2k n n ,k • Z (D)f(：)对定义域内的〉均满足f ( n-：) = f(：)二、填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分，把答案填 在题中横线上•(9)已知 f(x)= Inx ,贝U f(e 2)=.(10)已知 a = (1,2) , b = (3,4)，则 a ‘b = ________ ； a — 2b = ____ .(11 )已知集合 A 二{1,2,3,4,5} , B ={3,5},集合 S 满足 S i A , SUB 二 A .则一个满足条件的集合S 是(12)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x3 0时，f (x) = .. x + x ，则不等式f(x)- 2> 0的解集是(13)如图，扇形AOB 中，半径为1, AB 的长为2,则AB 所对的圆心角的大小为 ___________ 弧(I)若函数f (x)没有零点，则实数 a 的取值范围是 ______________(n)称实数a 为函数f (x)的包容数，如果函数f(x)满足对任意x^ (-：：,a)，都存在X 2 (a,：：)，使得 f (X 2) = f (儿).11 3在①—一：②一：③1 ；⑷:⑤一中，函数f (x)的包容数是.(填2 2 2度；若点P 是AB 上的一个动点, 最大值时，：：：OA,OP = _ OP - OB OP 取得(14 )已知函数l 2xA"—a,x : a, x _a.则当出所有正确答案的序号)三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•(15)(本小题共11分)n已知函数f(x)=2sin(2x ).3(I)求f (x)的最小正周期T ；(n)求f (x)的单调递增区间；n n(川)在给定的坐标系中作出函数f(x)(x€ [———+ T])的简图，并直接写出函数f(x)6 6n2 一在区间[—n上的取值范围•6 3(16)(本小题共10分)已知函数f (x) = x2bx c，存在不等于1的实数x0使得f (2 -怡)=f (x0).(I)求b的值；(n)判断函数f(x)在(1,=)上的单调性，并用单调性定义证明；(川)直接写出f(3c)与f(2c)的大小关系(17)(本小题共11分)(18)(本小题共12分)设函数f (x)定义域为I ，对于区间D 二I ，如果存在x 1, x 2 D ，捲=x 2，使得f(X 1) f(X 2)=2，则称区间D 为函数f (x)的？区间•(I)判断(」：，■：：)是否是函数y = 3x ■ 1的？区间;1(n)若［—,2］是函数y 二log a X (其中a • 0,a = 1 )的？区间，求a 的取值范围；2(川)设，为正实数，若［n2 n 是函数y =cos x 的？区间，求，的取值范围如图，在四边形OBCD 中,CD = 2BO , OA = ，也 D =90。
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷数学试题
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，2{|5}B x x =≤，那么A B =（A ）{0,2,4} （B ）{2,0,2}- （C ）{0,2}（D ）{2,2}-2．在等比数列{}n a 中，若32a =，58a =，则7a = （A ）10（B ）16（C ）24（D ）323．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为 （A（B（C）（D4．在极坐标系中，点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离等于（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D5. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224x y +=上，则||OA OB -的最大值为（A ）3 （B）1（C）2+（D ）4侧(左)视图正(主)视图俯视图国际象棋棋盘6. 设,0M N >，01a <<，则“log log a b M N >”是“1M N <+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 已知函数()sin πf x x =，2()2g x x x =-+，则 （A ）曲线()()y f x g x =+不是轴对称图形 （B ）曲线()()y f x g x =-是中心对称图形（C ）函数()()y f x g x =是周期函数 （D ）函数()()f x y g x =最大值为478. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L ”形骨牌，则（A ）至多能剪成19块“L ”形骨牌（B ）至多能剪成20块“L ”形骨牌 （C ）一定能剪成21块“L ”形骨牌 （D ）前三个答案都不对第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数z 满足方程1i i z -⋅=，则z =____．10．已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan α=____；cos(π)α+=____．11．执行如图所示的程序框图，若输入的1m=，则输出数据的总个数为____．12．设x，y满足约束条件230,3,20,x yx yx y-+--+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤0≥则的取值范围是____．13. 能说明“若定义在R上的函数满足(0)(2)0f f>，则在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是____．14．设双曲线的左焦点为F，右顶点为. 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P使得=PF PAλ⋅成立，则实数λ的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在ABC∆中，3a=，b=2B A=．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）试比较B ∠与C ∠的大小．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B BCC 为正方形，M ，N 分别是11A B ，AC 的中点，AB ⊥平面BCM ．（Ⅰ）求证：平面11B BCC ⊥平面11A ABB ； （Ⅱ）求证：1//A N 平面BCM ；（Ⅲ）若11A ABB 是边长为2的菱形，求直线1A N与平面1MCC 所成角的正弦值．B 1AMBA 1CC 1N17．（本小题满分13分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下,其中0a ）.0.080甲企业乙企业（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁．．．．．．．，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元.一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值；（Ⅱ）如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：的离心率为2，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P . （Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ∠为定值.设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N >：满足i j a a <，其中1i j N<≤≤. 如果存在{2,3,,}k N ∈，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈，数列均为“k阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.AA。
北京市西城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
北京市西城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. sin(−π3)的值是( )A. 12B. −12C. √32D. −√32【答案】D【解析】解：sin(−π3)=−sin π3=−√32，故选：D ．由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论． 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2. 函数f(x)=sin(x2+π3)的最小正周期为( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(x 2+π3)的最小正周期为：T =2π12=4π．故选：C ．直接利用三角函数的周期求解即可．本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，考查计算能力．3. 如果向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)，那么|a ⃗ +2b⃗ |=( ) A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】解：由向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)， 所以a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有：|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5， 故选：B ．本由向量加法的坐标运算有：a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5，得解．本题考查了向量加法的坐标运算及向量的模的运算，属简单题． 4.sin(π2−α)cos(−α)=( )A. tanαB. −tanαC. 1D. −1【答案】C 【解析】解：sin(π2−α)cos(−α)=cosαcosα=1．故选：C ．利用诱导公式化简即可计算得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5. 已知函数y =sinx 和y =cosx 在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是( )A. (0,π2)B. (π2,π) C. (π,3π2) D. (3π2,2π)【答案】B【解析】解：A ：y =sinx 在(0,π2)上是增函数； C ：y =cosx 在(π,3π2)上是增函数；D ：y =cosx 在(3π2,2π)上是增函数． 故选：B ．依次分析四个选项可得结果．本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．6. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗【答案】D【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据向量加法和减法的几何意义即可得出答案． 考查向量加法和减法的几何意义．7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22，那么向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角是( )A. π4B. π2C. 2π3D. 3π4【答案】D【解析】解：∵a ⃗ ,b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22；又0≤<a ⃗ ,b ⃗ >≤π；∴<a ⃗ ,b ⃗ >=3π4．故选：D ．根据条件即可求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22，根据向量夹角的范围即可求出向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角． 考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．8. 设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是( )A. (π3,2π3)B. (π6,5π6)C. (π3,4π3)D. (7π6,11π6)【答案】B【解析】解：∵α∈[0,2π)，sinα>12， ∴π6<α<5π6．∴设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是(π6,5π6).故选：B ．利用正弦函数的图象和性质直接求解．本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9. 已知函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示.为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π3个单位【答案】A【解析】解：函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示， 可见f(x)的周期为2π，g(x)的周期为π，且f(x)图象上的点(0,0)，在g(x)的图象上对应(π6,0)，为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，在向右平移π6个单位， 故选：A ．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．10. 在△ABC 中，A =π2，AB =2，AC =1.D 是BC 边上的动点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−4,1]B. [1,4]C. [−1,4]D. [−4,−1]【答案】A【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)， 设D(x,y)，则x2+y =1，x ∈[0,2]； ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =−2x +(1−12x)=−52x +1∈[−4,1]，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−4,1]． 故选：A ．建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围即可． 本题考查了平面向量数量积的计算问题，是基础题．二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）11. 若cosθ=−12，且θ为第三象限的角，则tanθ=______． 【答案】√3【解析】解：∵cosθ=−12，且θ为第三象限的角， ∴sinθ=−√1−sin 2θ=−√32， ∴tanθ=sinθcosθ=−√32−12=√3．故答案为：√3．由已知利用同角三角函数基本关系式先求sinθ，进而可求tanθ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12. 已知向量a ⃗ =(1,2).与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是______． 【答案】(2,4)【解析】解：2a⃗ =(2,4)与a ⃗ 共线； 即与向量a⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)． 故答案为：(2,4)．可求出2a ⃗ =(2,4)，而2a ⃗ 与a ⃗ 共线，即得出与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)．考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算．13. 如果tan(x +π3) =0 (x >0)，那么x 的最小值是______． 【答案】2π3【解析】解：tan(x +π3) =0 (x >0)， 可得x +π3=kπ， 即x =kπ−π3，k ∈N ∗， 可得x 的最小值为π−π3=2π3，故答案为：2π3，由正切韩寒说的图象和性质可得x +π3=kπ，k 为正整数，即可得到所求最小值． 本题考查三角方程的解法，注意运用正切函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．14. 如图，已知正方形ABCD.若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ，μ∈R ，则λμ=______．【答案】−1【解析】解：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−1，μ=1， ∴λμ=−1， 故答案为：−1．利用向量加减法容易把AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得λ，μ，得解． 此题考查了向量加减法，属容易题．15. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M 是坐标平面内的一点．①若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ②若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为______． 【答案】(6,3) (4,2)【解析】解：①设M(x,y)，则：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)； ∵四边形APBM 是平行四边形； ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(−1,−2)=(5−x,1−y)； ∴{1−y =−25−x=−1； 解得{y =3x=6；∴点M 的坐标为(6,3)；②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)； ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(1,2)+(3,0)=2(x −2,y −1)； ∴(4,2)=(2(x −2),2(y −1))； ∴{2(y −1)=22(x−2)=4； 解得{y =2x=4；∴点M 的坐标为(4,2)． 故答案为：(6,3)，(4,2)．①可设M(x,y)，得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)，根据四边形APBM 为平行四边形即可得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出(−1,−2)=(5−x,1−y)，从而得到{1−y =−25−x=−1，解出x ，y 即可；②可求出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)，根据PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(4,2)=(2(x −2),2(y −1))，从而得出{2(y −1)=22(x−2)=4，解出x ，y 即可．考查相等向量的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算．16.设函数f(x)=sin(ωx+π3).若f(x)的图象关于直线x=π6对称，则ω的取值集合是______．【答案】{ω|ω=6k+1,k∈Z}【解析】解：由题意ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，得ω=6k+1，k∈Z，故答案为：{ω|ω=6k+1,k∈Z}．利用正弦函数图象的对称轴为x=kπ+π2，列出关于ω的方程，得解．此题考查了正弦函数的对称性，难度不大．17.若集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，则A∪B=______．【答案】{x|−1<x<3}【解析】解：∵集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，∴A∪B={x|−1<x<3}．故答案为：{x|−1<x<3}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.函数f(x)=1log2x的定义域是______．【答案】{x|0<x<1或x>1}【解析】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，解得函数的定义域为{x|0<x<1或x>1}，故答案为{x|0<x<1或x>1}．由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，由此求得函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．19.已知三个实数a=312，b=√2，c=log32.将a，b，c按从小到大排列为______．【答案】c<b<a【解析】解：312=√3>√2>1，log32<log33=1；∴c<b<a．故答案为：c<b<a．容易得出312>√2>1，log32<1，从而a，b，c从小到大排列为c<b<a．考查对数函数和y =√x 的单调性，以及增函数的定义．20. 里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 0=0.005是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅.在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为______级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍. 【答案】5 1000【解析】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是500，此时标准地震的振幅为0.005，则M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5． 设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 8=lgx +5，5=lgy +5，解得x =103，y =1， ∴x y=1000．故答案为：5；1000．根据题意中的假设，可得M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5；设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，8=lgx +5，5=lgy +5，由此知8级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的1000倍．本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用，是基础题．21. 已知函数f(x)={x −1, c <x ≤3.x 2+x, −2≤x≤c若c =0，则f(x)的值域是______；若f(x)的值域是[−14,2]，则实数c 的取值范围是______．______． 【答案】[−14,+∞) [12,1] [12,1]【解析】解：c =0时，f(x)=x 2+x =(x +12)2−14， f(x)在[−2,−12)递减，在(−12,0]递增， 可得f(−2)取得最大值，且为2，最小值为−14； 当0<x ≤3时，f(x)=1x 递减，可得f(3)=13， 则f(x)∈[13,+∞)，综上可得f(x)的值域为[−14,+∞)；∵函数y =x 2+x 在区间[−2,−12)上是减函数， 在区间(−12,1]上是增函数，∴当x ∈[−2,0)时，函数f(x)最小值为f(−12)=−14， 最大值是f(−2)=2；由题意可得c>0，∵当c<x≤3时，f(x)=1x 是减函数且值域为[13,1c)，当f(x)的值域是[−14,2]，可得12≤c≤1．故答案为：[−14,+∞)；[12,1]．若c=0，分别求得f(x)在[−2,0]的最值，以及在(0,3]的范围，求并集即可得到所求值域；讨论f(x)在[−2,1]的值域，以及在(c,3]的值域，注意c>0，运用单调性，即可得到所求c的范围．本题给出特殊分段函数，求函数的值域，并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）22.已知α∈(0,π2)，且sinα=35．(Ⅰ)求sin(α−π4)的值；(Ⅱ)求cos2α2+tan(π4+α)的值．【答案】解(Ⅰ)：因为α∈(0,π2)，sinα=35，所以cosα=√1−sin2α=45．所以sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)=−√210．(Ⅱ)：因为sinα=35，cosα=45，所以tanα=sinαcosα=34．所以cos2α2+tan(π4+α)=1+cosα2+1+tanα1−tanα=7910．【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，(Ⅱ)根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出．本题考查同角的三角形函数的关系，以及两角差的正想说和二倍角公式，属于中档题23.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)解：由函数f(x)=Asin(ωx +φ)的部分图象可知 A =3， 因为 f(x)的最小正周期为T =7π6−π6=π，所以 ω=2πT=2．令 2×π6+φ=π2，解得 φ=π6，适合|φ|<π． 所以 f(x)=3sin(2x +π6)．(Ⅱ)解：因为x ∈[π2,π]，所以2x +π6∈[7π6, 13π6]．所以，当2x +π6=13π6，即x =π时，f(x)取得最大值32，当2x +π6=3π2，即x =2π3时，f(x)取得最小值−3．(Ⅲ)解：结合f(x)的图象可得它的单调递增区间为[ kπ−π3, kπ+ π6 ](k ∈Z)． 【解析】(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式．(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值． (Ⅲ)由f(x)的图象，可得它的单调递增区间．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的增区间，属于中档题．24. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(−1,0)，B(0,√3)，C(cosθ,sinθ)，其中θ∈[ 0, π 2]． (Ⅰ)求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值；(Ⅱ)是否存在θ∈[ 0, π 2]，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1,sinθ)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ−√3)； ……………………(2分)所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1)⋅cosθ+sinθ⋅(sinθ−√3)……………………(3分)=cosθ−√3sinθ+1=2cos(θ+π3)+1； ……………………(4分)因为 θ∈[ 0, π2]，所以 θ+π3∈[π3, 5π6]； ……………………(5分)所以 当θ+π3=π3，即θ=0时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2； ……………………(6分) (Ⅱ)因为|AB|=2，|AC| =√(1+cosθ)2+sin 2θ=√2+2cosθ，|BC| =√cos 2θ+(sinθ−√3)2=√4−2√3sinθ； 又 θ∈[ 0, π2]，所以 sinθ∈[0,1]，cosθ∈[0,1]， 所以|AC|≤2，|BC|≤2；所以 若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角， 从而CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0；………………(8分) 由(Ⅰ)得2cos(θ+π3)+1<0，解得cos(θ+π3)<−12； ……………………(9分)所以 θ+π3∈(2π3, 5π6]，即θ∈(π3, π2]； ……………………(11分) 反之，当θ∈(π3, π2]时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0， 又 A ，B ，C 三点不共线，所以△ABC 为钝角三角形；综上，当且仅当θ∈(π3, π2]时，△ABC 为钝角三角形.……………………(12分)【解析】(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算，利用三角恒等变换求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值2； (Ⅱ)由两点间的距离公式求得|AC|、|BC|，并判断△ABC 为钝角三角形时角C 是钝角， 利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0，结合题意求得θ的取值范围． 本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题．25. 已知函数f(x)=xx 2−1．(Ⅰ)证明：f(x)是奇函数；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(−1,1)上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 【答案】解：(Ⅰ)：函数f(x)的定义域为D ={x|x ≠±1}.……………………(1分) 对于任意x ∈D ，因为 f(−x)=−x(−x)2−1=−f(x)，……………………(3分) 所以 f(x)是奇函数. ……………………(4分)(Ⅱ)解：函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(5分) 证明：在(−1,1)上任取x 1，x 2，且 x 1<x 2，……………………(6分)则 f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−1−x2x 22−1=(1+x 1x 2)(x 2−x 1)(x 12−1)(x 22−1). ……………………(8分)由−1<x 1<x 2<1，得 1+x 1x 2>0，x 2−x 1>0，x 12−1<0，x 22−1<0，所以 f(x 1)−f(x 2)>0，即 f(x 1)>f(x 2).所以 函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(10分)【解析】(Ⅰ)先求定义域，再用奇函数的定义f(−x)=−f(x)证明f(x)为奇函数； (Ⅱ)按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5个步骤证明． 本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．26. 已知函数f(x)=ax 2+x 定义在区间[0,2]上，其中a ∈[−2,0]．(Ⅰ)若a =−1，求f(x)的最小值； (Ⅱ)求f(x)的最大值．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，当a =−1时，f(x)=−x 2+x =−(x −12)2+14； 所以 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减． 因为 f(0)=0，f(2)=−2， 所以 f(x)的最小值为−2． (Ⅱ)①当a =0时，f(x)=x ． 所以 f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=2．当−2≤a <0时，函数f(x)=ax 2+x 图象的对称轴方程是x =−12a ． ②当0<−12a ≤2，即−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ． ③当−14<a <0时，f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=4a +2．综上，当−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ； 当−14<a ≤0时，f(x)的最大值为4a +2．【解析】(Ⅰ)根据题意，将a =−1代入函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减，分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，按a 的取值范围分情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案． 本题考查二次函数的性质以及函数的最值，注意结合函数的单调性进行讨论．27. 已知函数f(x)的定义域为D.若对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2，都有f(x 1)+f(x 2)<2f(x 1+x 22)，则称函数f(x)为“凸函数”．(Ⅰ)判断函数f 1(x)=2x 与f 2(x)=√x 是否为“凸函数”，并说明理由； (Ⅱ)若函数f(x)=a ⋅2x +b(a,b 为常数)是“凸函数”，求a 的取值范围； (Ⅲ)写出一个定义在(12,+∞)上的“凸函数”f(x)，满足0<f(x)<x.(只需写出结论)【答案】(本小题满分10分)(Ⅰ)解：对于函数f 1(x)=2x ，其定义域为R ．取x 1=0，x 2=1，有f(x 1)+f(x 2)=f(0)+f(1)=2，2f(x 1+x 22)=2f(12)=2，所以 f(x 1)+f(x 2)=2f(x 1+x 22)，所以 f 1(x)=2x 不是“凸函数”.…………(2分)对于函数f 2(x)=√x ，其定义域为[0,+∞)．对于任意x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，由[f(x1)+f(x2)]2−[2f(x1+x22)]2=(√x1+√x2)2−(2√x1+x22)2=−(√x1−√x2)2<0，所以[f(x1)+f(x2)]2<[2f(x1+x22)]2．因为f(x1)+f(x2)>0，2f(x1+x22)>0，所以f(x1)+f(x2)<2f(x1+x22)，所以f2(x)=√x是“凸函数”.……………(4分) (Ⅱ)解：函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R．对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)=(a⋅2x1+b)+(a⋅2x2+b)−2(a⋅2x1+x22+b)……………………(5分)=a(2x1+2x2−2×2x1+x22)=a(2x12−2x22)2.……………………(7分)依题意，有a(2x12−2x22)2<0．因为(2x12−2x22)2>0，所以a<0.……………………(8分)(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12).(注：答案不唯一)……………………(10分)【解析】(Ⅰ)取x1=0，x2=1，有f(x1)+f(x2)=f(0)+f(1)=2，2f(x1+x22)=2f(12)=2，验证，然后利用单调性证明即可．(Ⅱ)函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R.对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)转化证明即可．(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12)．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．。
1西城高一数学答案
北京市西城区 2019—2019学年度第一学期期末试卷高一数学参照答案及评分标准A 卷[必修模块4] 满分100分一、：本大共10小，每小 4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5. D ；6. D ； ；8.A ；9.C ； 10.D.二、填空：本大共6小，每小 4分，共 24分.11.2； 12. 1(ba )；13.4 ；22314.； 15.；16.3.382三、解答：本大共 3小，共 36分.17.（本小分 12分）解：（Ⅰ）因( ,)，且sin3，2 5因此cos1 sin 24 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分5因此tansin3⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分cos.4因此tan() tan 17.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1tan4（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sin22si ncos24⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分，251 cos22cos 232 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分25sin2cos 24 4 1因此25 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分1cos232.825（本小分12分）（Ⅰ）由意f ( )2sin(2 x)，x 3因0x，因此02x.因此2x4⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分3.233因此3sin(2x)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分23因此3f(x) 2，函数f(x)的域[3,2] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅱ）由已知(,) ， 13，( ,0) ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分A C( ,A) D12 312因此( , )， 3DBDC ( ,A).44因BDCD ，因此DB32A 20 ，解得A3 DC ，DBDC.164又A0，因此 A3⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分.419.（本小分 12分）解：（Ⅰ）ABBCAB (AC AB)AB AC21 13AB.22（Ⅱ）成立如所示的平面直角坐系，B(1,0)，C(1,3).2 2P(cos,sin )，[0,]，3由APxAB yAC ，得(cos ,sin )x(1,0)y(1 3).C,22因此cosxy,sin3y .22因此xcos3sin，y23sin ，33xy23sincos2sin 23sin211cos23333 32(3sin21cos2 ) 1 3 2 2 321sin(2).363 因[0,2]，2[6 , ].366因此，当 26 ，即，xy 的最大1.23⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分yPx AB⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分B 卷[学期综合]满分50分一、填空：本大共5小，每小4分，共20分.1. {x|0x1}；2. 1,6；3.1；4. {aa2}；5. .2注：2每空2分.二、解答：本大共 3小，共30分.6.（本小分 10分）解:（Ⅰ）因f(x)6x，因此f( x)x 6x f(x).⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因此f(x)x212 1奇函数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）由不等式f(2x)2x，得62x2x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22x1整理得22x5，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此2xlog 25，即x1log 25.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2（本小分10分）解: （Ⅰ）当a1，f(x)x 22x .二次函数象的称x1，张口向上.因此在区[0,2]上，当x 1，f(x)的最小1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 当x0 或x2 ，f(x)的最大0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因此f(x)在区[0, 2]上的域[ 1,0].⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）注意到f(x)x 2 2ax 的零点是0和2a ，且抛物张口向上.当a0 ，在区[0,2]上g(x) f(x)x 22ax ，g(x)的最大t(a)g(2)4 4a .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分当0a1，需比g(2)与g(a)的大小，g(a)g(2)a 2 (44a)a 24a 4，因此，当0 a2 2 2 ，g(a) g(2) 0 ；当 2 22a1 ，g(a)g(2)0 .因此，当 0 a2 22 ，g(x)的最大 t(a) g(2) 44a .⋯⋯⋯5分当22 2 a 1，g(x)的最大t(a)g(a)a 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当1 a 2，g(x)的最大t(a)g(a) a 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当a2 ，g(x)的最大t(a) g(2)4a4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分44a,a 2 2 2,因此，g(x)的最大值 t(a) a 2, 2 2 2 a 2,4a 4,a 2.因此，当a2 2 2时，t(a)的最小值为12 82.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知x 11，x 21 .42因此dmax{max{x 1,x 2x 1},max{x 2 x 1,1 x 2}}1 1 1 1max{ 1 11max{max{,},max{,}},}.44421 42 2（Ⅱ）取x 11，x 2，此时试验的估计偏差为.333以下证明，这是使试验估计偏差达到最小的试验设计.9分10分4分5分证明：分两种情况议论 x 1点的地点.①当x 11时，如下图，3假如1 x2 2d 1 x 21 ，那么；3 33 假如2x 2 1，那么 d x 2 x 113 .3当x 1 11 . ②，dx 133综上，当x 1113 时，d .3(同理可适当x 22时，d1 )33即x 11，x 2时，试验的估计偏差最小.33（Ⅲ）当x 11和x 12时估计偏差d 的最小值分别为45注：用平常语言表达证明过程也给分 .1x 1 12 3 3 4 5 67 89 10 11 12 13 14 15 1617和1.45x 217分8分10分。
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题答案
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．1i -- 10．43-；3511． 6 12．[1,)-+∞13．答案不唯一，如2()(1)f x x =-14．(2,0)-注：第10题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 2分得3sin A =3sin A = ……………… 4分解得cos A = ……………… 6分（Ⅱ）由(0,π)A ∈，得sin A = ……………… 7分因为2B A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=. ……………… 8分所以sin B =. ……………… 9分 又因为πA B C ++=，所以co s co s()co s co s s i ns C A B A B A B =-+=-+. ……………… 11分 所以cos cos B C >.又因为函数cos y x =在(0,π)上单调递减，且,(0,π)B C ∈，所以B C ∠<∠. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ，所以AB BC ⊥． ……………… 1分 由正方形11B BCC ，知1BB BC ⊥， 又因为1ABBB B =，所以BC ⊥平面11A ABB ． ……………… 3分 又因为BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面11A ABB ． ……………… 4分 （Ⅱ）设BC 中点Q ，连结NQ MQ ，．因为M ，N 分别是11A B ，AC 的中点， 所以//NQ AB ，且12NQ AB =． 又因为11//AB A B ，且11AB A B =， 所以1//NQ A M ，且1NQ A M =． 所以四边形1A MQN 为平行四边形．所以1//A N MQ ． ……………… 6分 又因为MQ ⊂平面BCM ，1A N ⊄平面BCM ， 所以1//A N 平面BCM ．……………… 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BA ，BM ，BC 两两互相垂直，因此以B 为原点，以BA ，BM ，BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． ………… 9分因为11A ABB 是边长为2的菱形，M 为11A B 的中点，且11A B BM ⊥， 易得1160BB A ∠=，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A，(0,0)M ，(0,0,2)C，10)A，1(1,0)B -，1(12)C -，(1,0,1)N ． ……………… 10分所以1(0,A N −−→=，1(1,0,2)MC −−→=-，1(0)CC −−→=-. 设平面1MCC 的法向量为(,,)n x y z =，x则 110,0,MC CC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,0.x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令2y =，则x =，z =2,=n ． ……………… 12分 设直线1A N 与平面1MCC 所成角为α， 则111sin |cos ,|||||A N A N A N α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n nn =． 因此直线1A N 与平面1MCC． ……………… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(0.0200.0220.0280.0420.080)51a +++++⨯=，得0.008a =， …………2分所以甲企业的样本中次品的频率为(0.020)50.14a +⨯=，故从甲企业生产的产品中任取一件,该产品是次品的概率约为0.14. ……… 4分 （Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件，则一等品的概率为481962=，二等品的概率为18141963+=，三等品的概率为161966=， ……………… 5分由题意，随机变量X 的所有可能取值为：120，150，180，210，240. …… 6分且111(120)6636P X ==⨯=，12111(150)C 369P X ==⨯⨯=， 1211115(180)C 263318P X ==⨯⨯+⨯=，12111(210)C 233P X ==⨯⨯=， 111(240)224P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以11511()1201501802102402003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分（下面给出几种参考答案）.（1）以产品的合格率．．．（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较. X由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.（2）以产品次品率．．．为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较（略）. （3）以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.（4）根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣（略）. ……………… 13分18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x， ……………… 1分 因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0， ……………… 2分 由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=，解得1=a . ……………… 4分（Ⅱ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x ， 求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x ， ……………… 5分因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同.…… 6分 对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x， 由()0'=h x ，解得2=x ， ……………… 7分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增. 又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--； max ()(1)22h x h a ==-. ……………… 9分 如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x . 所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ； ○1 ………… 11分 如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ， 所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a . ○2 ………… 12分 因为函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数， 结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a . ……………… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分解得2a =，c C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C 的内部，得m < 又因为(2,0)A -，所以直线AM 的斜率0(022AM m m k -==∈+， ……………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)AM k ∈. ……………… 6分（Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=. 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. ……………… 7分令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ y k x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -. 由002()2y FP x =+，002()2y FQ x =- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2, 4, 6, 8, 10不是4阶平衡数列；数列1, 5, 9, 13, 17是4阶平衡数列. ……………… 3分 （Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N . 考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=， 所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数. ………… 5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+这k 项，其和为(1)12k k S +'=+， 所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈. ……… 8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈-，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ， 因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈-.因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N -的公倍数. ……………… 9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6, 7的倍数，即213287,,,a a a a a a ---均为420的倍数 （注： 420为2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯=，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项. ……………… 11分 如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6的倍数，即213276,,,a a a a a a ---均为60的倍数（注：60为2, 3, 4, 5, 6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<<，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤，，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯=≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i =）时，167a a a +++取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等 于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873. ……………… 13分。
【数学】北京西城区师大附中2018-2019学年高一上学期期末考试试卷(解析版)
北京西城区师大附中2018-2019学年 高一上学期期末考试数学试卷一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ，则关于实数a 的下列说法中正确的是（ ） A ．1a =-或3 B ．1a =- C ．3a >或1a <-D ．13a -<< 3．下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．给定四个函数：①；②；③；④，其中是奇函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．函数在R 上为增函数，且，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数2()23f x x x =-++的定义域是（ ） A ．[1,3)- B ．[1,3]- C ．(1,3)-D ． (,1][3,)-∞-+∞U 8．是区间上的偶函数并且在区间上是减函数，则下列关系中正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．二者无法比较9．设，则（ ） A ． B ． C ．D ．二、解答题 10．已知函数的定义域为A ，的值域为B .（1）求A ，B ； （2）设全集，求.11．已知集合.（1）若，求a 的取值范围； （2）若，求a 的取值范围.12．已知函数.（1）当a＝1时，求函数的值域；（2）若函数在区间上是单调函数，求实数a的取值集合.13．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明；（3）解不等式.三、填空题14．已知，则＝___________.15．不等式的解集是________________.16．计算：化简的结果是____________.17．指数函数在定义域内是减函数，则的取值范围是.18．若函数，则＝_________；不等式的解集为________.【参考答案】一、单选题 1．D 【解析】因为，，所以，，故选D.2．B【解析】若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ， 则2230a a --=.解得1a =-或3.当1a =-时， ()41f x x =-+，满足题意； 当3a =时， ()1f x =，值域为{1}，不满足题意.故选B. 3．A【解析】已知函数为上的增函数，，为R 上的减函数；在和上单调递减.故选A.4．B【解析】①函数的定义域为R ,则,则函数f (x )是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称,则函数f (x )为非奇非偶函数； ③函数的定义域为R ,f (0)=0+1=1≠0,则函数f (x )为非奇非偶函数； ④函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),,则函数f (x )是奇函数，故选B. 5．C【解析】因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)， 所以2m >－m ＋9，即m >3.故选C. 6．D【解析】显然函数2y ax bx =+过原点，故排除A, 二次函数函数的零点为0x =和b x a =-，一次函数的零点为bx a=-.两函数图象在x 轴上有一个公共点，故排除B,C.D.由一次函数图象可得a ＜0,b >0,函数函数开口向下，零点0ba->,此选项正确. 故选D. 7．B【解析】由题意，和2230x x -++≥，解得13x -≤≤，所以函数()f x 的定义域为[1,3]-，故选B ． 8．A 【解析】因为是区间上的偶函数，所以，又在区间上是减函数，所以,即.故选A.9．C【解析】由于函数为减函数，由，可知.所以有.由于函数为减函数，且，所以；由于函数为增函数，且，所以.综上有：.故选C.二、解答题10．解：（1）由得：，解得..，（2）..11．解：（1）集合，. 若，则有：或，解得或；（2）若，则有,所以，解得.12．解：（1）当a＝1时，，为开口向下的抛物线，对称轴为.从而在单调递增，在单调递减.最大值为，最小值为.所以函数的值域为.（2）函数为开口向下的抛物线，对称轴为：.若函数在区间上是单调函数，则有或，解得或.13．解：（1）易知函数，.所以定义域为.（2）由，从而知为偶函数；（3）由条件得，得，解得或. 所以不等式的解集为：或.三、填空题14．【解析】由，可得.故答案为：.15．【解析】不等式，可变形为：.由于为增函数，所以，解得.故答案为：.16．【解析】.故答案为：.17．【解析】由函数在R上是减函数，可得.解得.故答案为：.18．【解析】由函数，可得.由，可得或，解得.所以解集为.。
2018-2019学年北京市西城区高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（4分）函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．6π3．（4分）如果向量＝（0，1），＝（﹣2，1），那么|+2|＝（）A．6B．5C．4D．34．（4分）＝（）A．tanαB．﹣tanαC．1D．﹣15．（4分）已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝（）A．B．C．D．7．（4分）已知，为单位向量，且•＝﹣，那么向量，的夹角是（）A．B．C．D．8．（4分）设α∈[0，2π），则使成立的α的取值范围是（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示．为得到函数g（x）的图象，只需先将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位10．（4分）在△ABC中，，AB＝2，AC＝1．D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A．[﹣4，1]B．[1，4]C．[﹣1，4]D．[﹣4，﹣1]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若cosθ＝﹣，且θ为第三象限的角，则tanθ＝．12．（4分）已知向量＝（1，2）．与向量共线的一个非零向量的坐标可以是．13．（4分）如果，那么x的最小值是．14．（4分）如图，已知正方形ABCD．若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则＝．15．（4分）在直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1），M是坐标平面内的一点．①若四边形APBM是平行四边形，则点M的坐标为；②若+＝2，则点M的坐标为．16．（4分）设函数．若f（x）的图象关于直线对称，则ω的取值集合是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．19．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），，C（cosθ，sinθ），其中．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）是否存在，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20．（4分）若集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝．21．（4分）函数f（x）＝的定义域是．22．（4分）已知三个实数，，c＝log32．将a，b，c按从小到大排列为．23．（4分）里氏震级M的计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中A0＝0.005是标准地震的振幅，A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍．24．（4分）已知函数若c＝0，则f（x）的值域是；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．26．（10分）已知函数f（x）＝ax2+x定义在区间[0，2]上，其中a∈[﹣2，0]．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的最小值；（Ⅱ）求f（x）的最大值．27．（10分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意x1，x2∈D，且x1≠x2，都有，则称函数f（x）为“凸函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）＝2x与是否为“凸函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）＝a•2x+b（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；（Ⅲ）写出一个定义在上的“凸函数”f（x），满足0＜f（x）＜x．（只需写出结论）2018-2019学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论．【解答】解：sin（﹣）＝﹣sin＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（4分）函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．6π【分析】直接利用三角函数的周期求解即可．【解答】解：函数的最小正周期为：T＝＝4π．故选：C．【点评】本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，考查计算能力．3．（4分）如果向量＝（0，1），＝（﹣2，1），那么|+2|＝（）A．6B．5C．4D．3【分析】本由向量加法的坐标运算有：+2＝（﹣4，3），由向量的模的运算有|+2|＝＝5，得解．【解答】解：由向量＝（0，1），＝（﹣2，1），所以+2＝（﹣4，3），由向量的模的运算有|+2|＝＝5，故选：B．【点评】本题考查了向量加法的坐标运算及向量的模的运算，属简单题．4．（4分）＝（）A．tanαB．﹣tanαC．1D．﹣1【分析】利用诱导公式化简即可计算得解．【解答】解：＝＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5．（4分）已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（）A．B．C．D．【分析】依次分析四个选项可得结果．【解答】解：A：y＝sin x在（0，）上是增函数；C：y＝cos x在（π，）上是增函数；D：y＝cos x在（，2π）上是增函数．故选：B．【点评】本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．6．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据向量加法和减法的几何意义即可得出答案．【解答】解：．故选：D．【点评】考查向量加法和减法的几何意义．7．（4分）已知，为单位向量，且•＝﹣，那么向量，的夹角是（）A．B．C．D．【分析】根据条件即可求出，根据向量夹角的范围即可求出向量的夹角．【解答】解：∵为单位向量，且；∴＝；又；∴．故选：D．【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．8．（4分）设α∈[0，2π），则使成立的α的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数的图象和性质直接求解．【解答】解：∵α∈[0，2π），，∴．∴设α∈[0，2π），则使成立的α的取值范围是（，）．故选：B．【点评】本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（4分）已知函数f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示．为得到函数g（x）的图象，只需先将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：函数f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示，可见f（x）的周期为2π，g（x）的周期为π，且f（x）图象上的点（0，0），在g（x）的图象上对应（，0），为得到函数g（x）的图象，只需先将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），在向右平移个单位，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．（4分）在△ABC中，，AB＝2，AC＝1．D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A．[﹣4，1]B．[1，4]C．[﹣1，4]D．[﹣4，﹣1]【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量、，求出的取值范围即可．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则A（0，0），B（2，0），C（0，1），设D（x，y），则+y＝1，x∈[0，2]；∴＝（x，y），＝（﹣2，1），∴•＝﹣2x+y＝﹣2x+（1﹣x）＝﹣x+1∈[﹣4，1]，则的取值范围是[﹣4，1]．故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的计算问题，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若cosθ＝﹣，且θ为第三象限的角，则tanθ＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式先求sinθ，进而可求tanθ的值．【解答】解：∵，且θ为第三象限的角，∴sinθ＝﹣＝﹣，∴tanθ＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12．（4分）已知向量＝（1，2）．与向量共线的一个非零向量的坐标可以是（2，4）．【分析】可求出，而与共线，即得出与向量共线的一个非零向量的坐标可以是（2，4）．【解答】解：与共线；即与向量共线的一个非零向量的坐标可以是（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算．13．（4分）如果，那么x的最小值是．【分析】由正切韩寒说的图象和性质可得x+＝kπ，k为正整数，即可得到所求最小值．【解答】解：，可得x+＝kπ，即x＝kπ﹣，k∈N*，可得x的最小值为π﹣＝，故答案为：，【点评】本题考查三角方程的解法，注意运用正切函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．14．（4分）如图，已知正方形ABCD．若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则＝﹣1．【分析】利用向量加减法容易把表示成，从而得λ，μ，得解．【解答】解：∵，∴＝，∴λ＝﹣1，μ＝1，∴，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了向量加减法，属容易题．15．（4分）在直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1），M是坐标平面内的一点．①若四边形APBM是平行四边形，则点M的坐标为（6，3）；②若+＝2，则点M的坐标为（4，2）．【分析】①可设M（x，y），得出，根据四边形APBM为平行四边形即可得出，从而得出（﹣1，﹣2）＝（5﹣x，1﹣y），从而得到，解出x，y即可；②可求出，根据即可得出（4，2）＝（2（x﹣2），2（y﹣1）），从而得出，解出x，y即可．【解答】解：①设M（x，y），则：；∵四边形APBM是平行四边形；∴；∴（﹣1，﹣2）＝（5﹣x，1﹣y）；∴；解得；∴点M的坐标为（6，3）；②；∵；∴（1，2）+（3，0）＝2（x﹣2，y﹣1）；∴（4，2）＝（2（x﹣2），2（y﹣1））；∴；解得；∴点M的坐标为（4，2）．故答案为：（6，3），（4，2）．【点评】考查相等向量的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算．16．（4分）设函数．若f（x）的图象关于直线对称，则ω的取值集合是{ω|ω＝6k+1，k∈Z}．【分析】利用正弦函数图象的对称轴为x＝kπ，列出关于ω的方程，得解．【解答】解：由题意，k∈Z，得ω＝6k+1，k∈Z，故答案为：{ω|ω＝6k+1，k∈Z}．【点评】此题考查了正弦函数的对称性，难度不大．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，（Ⅱ）根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出．【解答】解（Ⅰ）：因为，，所以＝．所以＝．（Ⅱ）：因为，，所以＝．所以＝．【点评】本题考查同角的三角形函数的关系，以及两角差的正想说和二倍角公式，属于中档题18．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．（Ⅲ）由f（x）的图象，可得它的单调递增区间．【解答】（Ⅰ）解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象可知A＝3，因为f（x）的最小正周期为，所以．令，解得，适合|φ|＜π．所以．（Ⅱ）解：因为，所以．所以，当，即x＝π时，f（x）取得最大值，当，即时，f（x）取得最小值﹣3．（Ⅲ）解：结合f（x）的图象可得它的单调递增区间为（k∈Z）．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的增区间，属于中档题．19．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），，C（cosθ，sinθ），其中．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）是否存在，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由平面向量数量积的坐标运算，利用三角恒等变换求得的最大值2；（Ⅱ）由两点间的距离公式求得|AC|、|BC|，并判断△ABC为钝角三角形时角C是钝角，利用，结合题意求得θ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，；……………………（2分）所以……………………（3分）＝＝；……………………（4分）因为，所以；……………………（5分）所以当，即θ＝0时，取得最大值2；……………………（6分）（Ⅱ）因为|AB|＝2，，；又，所以sinθ∈[0，1]，cosθ∈[0，1]，所以|AC|≤2，|BC|≤2；所以若△ABC为钝角三角形，则角C是钝角，从而；………………（8分）由（Ⅰ）得，解得；……………………（9分）所以，即；……………………（11分）反之，当时，，又A，B，C三点不共线，所以△ABC为钝角三角形；综上，当且仅当时，△ABC为钝角三角形．……………………（12分）【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题．四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20．（4分）若集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}．故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．（4分）函数f（x）＝的定义域是{x|0＜x＜1或x＞1}．【分析】由函数的解析式可得log2x≠0，即，由此求得函数的定义域．【解答】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即，解得函数的定义域为{x|0＜x＜1或x＞1}，故答案为{x|0＜x＜1或x＞1}．【点评】本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．22．（4分）已知三个实数，，c＝log32．将a，b，c按从小到大排列为c＜b＜a．【分析】容易得出，log32＜1，从而a，b，c从小到大排列为c＜b＜a．【解答】解：，log32＜log33＝1；∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．【点评】考查对数函数和的单调性，以及增函数的定义．23．（4分）里氏震级M的计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中A0＝0.005是标准地震的振幅，A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为5级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的1000倍．【分析】根据题意中的假设，可得M＝lgA﹣lgA0＝lg500﹣lg0.005＝lg105＝5；设8级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，8＝lgx+5，5＝lgy+5，由此知8级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的1000倍．【解答】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是500，此时标准地震的振幅为0.005，则M＝lgA﹣lgA0＝lg500﹣lg0.005＝lg105＝5．设8级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，8＝lgx+5，5＝lgy+5，解得x＝103，y＝1，∴＝1000．故答案为：5；1000．【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用，是基础题．24．（4分）已知函数若c＝0，则f（x）的值域是[﹣，+∞）；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是[，1]．【分析】若c＝0，分别求得f（x）在[﹣2，0]的最值，以及在（0，3]的范围，求并集即可得到所求值域；讨论f（x）在[﹣2，1]的值域，以及在（c，3]的值域，注意c＞0，运用单调性，即可得到所求c的范围．【解答】解：c＝0时，f（x）＝x2+x＝（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）＝递减，可得f（3）＝，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y＝x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）＝﹣，最大值是f（﹣2）＝2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）＝是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．【点评】本题给出特殊分段函数，求函数的值域，并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于中档题．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．【分析】（Ⅰ）先求定义域，再用奇函数的定义f（﹣x）＝﹣f（x）证明f（x）为奇函数；（Ⅱ）按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5个步骤证明．【解答】解：（Ⅰ）：函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠±1}．……………………（1分）对于任意x∈D，因为，……………………（3分）所以f（x）是奇函数．……………………（4分）（Ⅱ）解：函数在区间（﹣1，1）上是减函数．……………………（5分）证明：在（﹣1，1）上任取x1，x2，且x1＜x2，……………………（6分）则．……………………（8分）由﹣1＜x1＜x2＜1，得1+x1x2＞0，x2﹣x1＞0，，，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以函数在区间（﹣1，1）上是减函数．……………………（10分）【点评】本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．26．（10分）已知函数f（x）＝ax2+x定义在区间[0，2]上，其中a∈[﹣2，0]．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的最小值；（Ⅱ）求f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题意，将a＝﹣1代入函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得f （x）在区间上单调递增，在上f（x）单调递减，分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，按a的取值范围分情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a＝﹣1时，；所以f（x）在区间上单调递增，在上f（x）单调递减．因为f（0）＝0，f（2）＝﹣2，所以f（x）的最小值为﹣2．（Ⅱ）①当a＝0时，f（x）＝x．所以f（x）在区间[0，2]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（2）＝2．当﹣2≤a＜0时，函数f（x）＝ax2+x图象的对称轴方程是．②当，即时，f（x）的最大值为．③当时，f（x）在区间[0，2]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（2）＝4a+2．综上，当时，f（x）的最大值为；当时，f（x）的最大值为4a+2．【点评】本题考查二次函数的性质以及函数的最值，注意结合函数的单调性进行讨论．27．（10分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意x1，x2∈D，且x1≠x2，都有，则称函数f（x）为“凸函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）＝2x与是否为“凸函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）＝a•2x+b（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；（Ⅲ）写出一个定义在上的“凸函数”f（x），满足0＜f（x）＜x．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）取x1＝0，x2＝1，有f（x1）+f（x2）＝f（0）+f（1）＝2，，验证，然后利用单调性证明即可．（Ⅱ）函数f（x）＝a•2x+b的定义域为R．对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，转化证明即可．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分10分）（Ⅰ）解：对于函数f1（x）＝2x，其定义域为R．取x1＝0，x2＝1，有f（x1）+f（x2）＝f（0）+f（1）＝2，，所以，所以f1（x）＝2x不是“凸函数”．…………（2分）对于函数，其定义域为[0，+∞）．对于任意x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，由，所以．因为f（x1）+f（x2）＞0，，所以，所以是“凸函数”．……………（4分）（Ⅱ）解：函数f（x）＝a•2x+b的定义域为R．对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，＝……………………（5分）＝＝．……………………（7分）依题意，有．因为，所以a＜0．……………………（8分）（Ⅲ）．（注：答案不唯一）……………………（10分）【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2018_2019学年北京市西城区高中一年级上学期期末考试数学试题
2018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01学校 班级 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则A B =I ( )（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{02}x x <≤（2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且a b P ，则m = ( )（A ）18 （B ）2 （C ）18- （D ）2-（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x = （C ）()lg f x x = （D ）()sin f x x =（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤->（C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤（5）已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45- （6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）（A ）sin α （B ）cos α（C ）tan α（D ）sin(π)α+（7）为了得到函数πsin()3y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）（A ） 向左平移2π3个单位长度 （B ） 向左平移π3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的是（ ）（A ）()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z （D ）()f α对定义域的α均满足(π)()f f αα-= 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______.（11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A ¹Ì，S B A =U .则一个满足条件的集合S 是 .（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ³时，()f x x =，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，»AB 的长为2，则»AB 所对的圆心角的大小为 弧度；若点P 是»AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r取得最大值时，,OA OP <>=u u u r u u u r . （14）已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）BO三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分） 已知函数π()2sin(2)3f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值围.(16)（本小题共10分）已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c f 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，90D ∠=︒，且1BO AD ==u u u r u u u r. （Ⅰ）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.(18)（本小题共12分）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31xy =+的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值围; （Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值围.附加题：（本题满分5分。
2018,1西城高一试题
北京市西城区2018 — 2018学年度第一学期期末试卷高一数学2018.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. s in45π=_____.12. 如图所示，D 为A B C△中B C 边的中点，设A B =a ，A C =b ，则B D =_____.（用a ，b 表示） 13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则ta n 2α=_____.14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且c o s s in 8απ=-，则α=_____.16. 已知函数()s in f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.ABC17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3s in 5α=.（Ⅰ）求ta n ()4απ-的值； （Ⅱ）求s in 2c o s 1c o s 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()s in (2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CDBD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在A B C△中，1A B A C ==，120B A C ∠=.（Ⅰ）求A B B C ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，A B 为半径的圆弧B C 上运动，且A P x A B y A C=+，其中,x y ∈R . 求x y 的最大值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分ACP一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2lo g =_____，31lo g23+=_____．3．已知函数()f x =1,2,1.x x xx ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1, 且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e k x b y +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1x f x x =+.（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2x x f >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x a x =-． （Ⅰ）当1a=时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d}}1,max {},,max {max {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ．（Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）。