关于完全平方数和完全平方式
完全平方数和完全平方式
数学知识点：完全平方数和完全平方式填空题1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=_________．2．若=5，则=_________．3．x2﹣3x+_________=（x﹣_________）2．4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是_________．5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=_________6．已知=6，则=_________．7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=_________，a=_________．8．x2+kx+9是完全平方式，则k=_________．9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=_________．10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是_________．11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=_________．12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=_________．13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=_________．14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是_________．15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=_________．16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=_________．17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=_________．18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=_________．19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于_________．20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=_________．21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=_________．22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=_________．23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=_________．24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=_________．解答题25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为_________；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是_________；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=_________；_________（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．30．阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：_________；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．数学知识点：完全平方数和完全平方式参考答案与试题解析填空题1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=30．2．若=5，则=23．a+=253．x2﹣3x+=（x﹣）2．×（3x+4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是±5．5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=﹣86．已知=6，则=32．+a+=36）2+7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=﹣，a=．，．8．x2+kx+9是完全平方式，则k=±6．9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=±4．10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是±12．11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=．，）．．12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=±24．13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=±12．14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是±20．15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=±2．16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=±8．17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=±8．18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=±4．19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于±3．20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=±2．21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=±4．22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=±4．23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=±12．24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=±8．解答题25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．）2a+ab+bab+b+﹣26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m﹣n）2+4mn=（m+n）2；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=5；﹣5（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．30．阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．（答案不唯一）。
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
数学史完全平方公式
数学史完全平方公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学史上有许多伟大的公式，其中之一便是完全平方公式。
完全平方公式是高中数学中非常基础且重要的一个公式，它用于将一个二次多项式因式分解成完全平方的形式。
在教学实践中，完全平方公式常常被用来简化计算和求解问题，因此熟练掌握完全平方公式对于学生来说至关重要。
下面我们将从公式的定义、历史及应用等方面来探讨完全平方公式。
我们来看一下完全平方公式的定义。
在数学中，完全平方是指一个数等于某个数的平方，也就是说它可以写成某个数的平方的形式。
完全平方公式是指一个二次多项式能够被分解成两个完全平方的形式。
这个公式的一般形式如下所示：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2a 和b 是任意实数，a^2 和b^2 分别是a 和b 的平方。
这个公式对于我们将一个二次多项式展开成完全平方的形式提供了一个简便的方法。
接下来，让我们来看一下完全平方公式的历史。
完全平方公式最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得，他们提出了许多关于完全平方的理论和性质。
而完全平方公式本身的形式则是由阿拉伯数学家阿布·卡西姆·阿尔-哈桑在9世纪时发现的。
阿布·卡西姆·阿尔-哈桑是一位数学家、天文学家和物理学家，他在其著作《代数学》中首次提出了完全平方公式的一般形式。
从此以后，完全平方公式成为了代数学中重要的工具，并被广泛传播和应用。
在学习完全平方公式时，我们需要注意一些常见的公式变形。
我们可以通过完全平方公式将一个二次多项式展开成完全平方的形式，也可以通过反复利用公式的性质来将一个完全平方的形式化简成一个二次多项式。
我们还可以应用完全平方公式来求解一元二次方程和解析几何中的问题，这有助于我们更深入地理解完全平方公式的应用价值。
完全平方公式是数学中一个非常基础且重要的公式，它对于化简计算、解决问题以及证明定理等都有着重要的应用。
通过学习完全平方公式，我们可以更好地理解代数学中的各种概念和原理，提高数学的综合应用能力，从而更好地应对数学学习和研究中的各种挑战。
完全平方的12个公式
完全平方的12个公式完全平方是一种数学计算的方法，它可以帮助我们快速解决一些数学问题和计算。
它可以帮助我们快速计算一个数的平方。
完全平方有12种计算公式，它们分别是：1.平方根：平方根是所有完全平方计算的基础，它用来计算一个数的平方根，表达式为：√a = x。
2.除法法则：除法法则是一种简单的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a÷b = x，其中a和b都是完全平方数。
3.乘法法则：乘法法则是一种基本的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
4.加法法则：加法法则是一种有用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b = x，其中a和b都是完全平方数。
5.减法法则：减法法则是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a-b = x，其中a和b都是完全平方数。
6.指数规律：指数规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2 = x，其中a是完全平方数。
7.分数规律：分数规律是一种比较复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a/b = x，其中a和b都是完全平方数。
8.积分规律：积分规律是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
9.多项式规律：多项式规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：ax^2+bx+c=0，其中a,b,c都是完全平方数。
10.四平方和定理：四平方和定理是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b+c+d = x，其中a,b,c,d都是完全平方数。
11.指数公式：指数公式是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2+b^2+c^2 = x，其中a,b,c都是完全平方数。
完全平方数
完全平方数完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。
注意不要与完全平方式所混淆。
完全平方数性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明已知，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则或即或∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。
性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
完全平方式是什么意思
完全平方式是什么意思
完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整
式 A，如果存在另一个实系数整式B，满足A=B^2的条件的话，则称A是完全平方式，亦可表示为 (a+b)²=a²+2ab+b²、 (a-b)²=a²-2ab+b ²。
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。
﹙a-b﹚²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
完全平方公式注意事项左边是一个二项式的完全平方。
右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
不要漏下一次项。
切勿混淆公式。
运算结果中符号不要错误。
完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
完全平方数和完全平方式
47. 完全平方数和完全平方式 作者德化一中 颜墀策 甲 内容提要一. 定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 2)3(+a , x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.若整数m 能被质数q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0，则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式(ax+b)2中当a 、b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a 、b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中181① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.乙 例题例1.求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝(m －2)2＋(m －1)2＋m 2＋(m+1)2＋(m+2)2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2.m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当时，（m －1）x ⎩⎨⎧>−010m ，△＝2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即(2m)2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即 ∴ m=2. ⎩⎨⎧>==.125.0m m m ，或答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3.已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式， ∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0. 要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=−=−=−.000a c c b b a ，， 解这个方程组，得a=b=c. 例4.已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.182可设△= m 2 (m 为整数)，即－4k=m 25）（－2 (m 为整数)， 解得，k=4252m −. ∵ k 是非负整数， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧−≥−.42502522的倍数是，m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m −. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5.求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝(8k)2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).即3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立；当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3，右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1.∴等式也不能成立.综上所述，不论k 、 m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.即△不是整数的平方. ∴假设方程有有理数根不能成立.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.（试与第46讲例题5的证法加以比较）丙 练习471. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.1834. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17；(B) 18； (C) 35 ；(D) 36. (1990年全国初中数学联赛题)6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a 、b 、c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 .(2001年全国初中数学联赛题)11. 已知四位数aabb 是完全平方数，试求a 和b 的值.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a 、b 是自然数且互质，试问关于x 的方程x 2－abx+21(a+b)=0是否有自然数解（即两根都是自然数）？如果有，把它求解出来；如果没有请给予证明.(1990年泉州市初二数学双基赛题)184。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于完全平方数和完全平方式
试卷：马志刚 姓名：________
一、知识辅导：
（一）、定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，25
4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.
（二）. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..
若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
（三）. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；
如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.
（四）. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b ）2 中
当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
（五）. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中
① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；
② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.
2. 在整系数方程x 2+px+q=0中
① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；
② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
二、请你练习：
1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数可能是＿＿＿＿.
2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4
的余数是＿＿.
3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？
5. （年全国初中数学联赛题）一串连续正整数的平方12，22，32， (1234567892)
和的个位数是＿＿.
6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？
7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？
9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.
11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.
12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.
13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.
14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+2
1(a+b)=0的自然数解. 15. (全国初中数学联赛题)恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )
(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36
三、以下几个题目有难度：你写试试吗？
1、求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
2、m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？
3、已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.
4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.
5、求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.。