因式分解——完全平方公式
因式分解--公式法(2)完全平方公式
注意结 构特征
( 4x 3)2
(a + b )2
a2 ± 2 . a . b + b2 =（ a ± b)²
例5 分解因式： 首 2 2 首 尾 尾 2 (首 尾 )2
(2)x24x y4y2. 分析：原式= (x24xy4y2 )
注意符号
[x 2 2 x (2 y ) (2 y )2 ]
黄金中学 程珊
问题：通过这个图形我们可以联想到哪个乘法公式？
(ab)2 a22ab b2
整式乘法
(a b)2 a22ab b2 (ab)2 a22ab b2
因式分解
这两个公式叫做(因式分解的)完全平方公式.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的2倍,等于这两数的和（或差）的平方．
利用公式法因式分解的一般步骤：
1.一提：先观察要分解的多项式有无公因 式， 首先考虑：提公因式 2.二套：即套公式。提完公因式后或没有 公因式，就看项数.
若两项，考虑能否用 平方差公式 若三项，考虑能否用 完全平方公式 ３.三查：检查。分解因式，必须进行到 每一个多项式因式都不能 再分解为止.
注意：公式中的字母既可以表示单项式，也可以表示
多项式 .
为更好方便交通管理，准备将原正方形区域位置扩大成 更大区域，位置扩大后仍为正方形，面积达到 (a2b)2，请 你画出扩大后图形并用因式分解的方法验证其面积大小．
解：验扩证大方后法的1区：域如图所示：
(ab)22(ab)bb2
a 2 2 a b b 2 2 a 2 b 2 b 2 a24a b4b2 a+b
因式分解 的方法
数学思 想方法
整体思想 逆向思维
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
分解因式公式法---完全平方公式
12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满 足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的 形状。 温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形 为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式 十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和， 然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？ 是 （1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项 （2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍 （3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号 （4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
因式分解-完全平方公式
因式分解 $$(x + 5)^2$$ $$(3x - 2)^2$$ $$(2x + 3)^2$$
结论
通过学习和运用完全平方公式，您将能够轻松因式分解二次方程，并更好地 理解和分析数学问题。继续锻炼和实践，您的因式分解技巧将日益提高。
完全平方公式的形式
完全平方公式的形式为：$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$，其中a和b是实数。
解决问题的步骤
1. 将二次方程按照一般形式表示：$$ax^2 + bx + c$$ 2. 识别出平方项的系数a和常数项c 3. 计算平方项系数的一半，即$$\frac{b}{2a}$$ 4. 使用完全平方公式，进行平方项和常数项的加法和乘法操作 5. 将结果写成两个平方项相加的形式
完全平方公式的实例
例子1
假设有一个二次方程：$$x^2 + 6x + 9$$，我们可以使用完全平方公式将其因式分解为：$$(x + 3)^2$$。
例子2
另一个例子是二次方程：$$4x^2 - 12x + 9$$，使用完全平方公式进行因式分解，得到：$$(2x - 3)^2$$。
练习题目和答案
二次方程 $$x^2 + 10x + 25$$ $$9x^2 - 12x + 4$$ $$4x^2 + 12x + 9$$
因式分解-完全平方公式
本演讲将为您介绍因式分解的重要内容——完全平方公式，从定义到实例， 让您轻松学会并享受因式分解的乐趣。
完全平方公式的定义
完全平方公式是一种用于因式分解的数学技巧，适用于一元二次方程。它能够将一个二次方程转化为两个平方 项的乘积，并且是唯一的。
完全平方公式因式分解 四环节
——完全平方公式
永城市黄口乡初级中学
梁宏求
问题：1、根据学习用平方差公式分解因式的经验和 方法，• 析和推测什么叫做运用完全平方公式分解 分 因式？ 将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的 平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公 式反过来写即分解因式的完全平方公式．
习题 第3题。
（2）、（4）、（5）都不是
例５，分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2· 3, 4x· 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9= (4x)2+ 2· 3 +32 4x·
a b a2 + x+9=(4x)2+2· 3+32 4x·
=(4x+3)2.
例５:
分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
= -[x2-2· 2y+(2y)2] x·
= - (x-2y)2
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 =3a(x2+2xy+y2) =(a+b)2-2· (a+b)· 2 6+6 =3a(x+y)2 =(a+b-6)2.
3因式分解---完全平方公式
师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
《多项式的因式分解——用完全平方公式因式分解》的课件
牛刀小试：
1.填空：
(1)a2+6a+9=a2+2·_a_·_3_+_3_2=_(_a_+_3_)_2 (2)a2+_4_a_b_+4b2=a2+2·a__2·b _(_2+b_)__(_a2+=_2_b_)___2 (3)9a2+_6_a_b_+_b_2=(3__a+b)2 (4)a2-8a+1_6_=(a-_4_)2
=(2+b+c)2
泰微课播放：
课堂小结：
这节课你学到了什么？
课堂作业：
课本P87 习题9.5的第5、6两题
拓展题： 1.若多项式x2-(k-1)x+16是完全平方式,求k值. 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3.求a2+b2、ab的值. 3.已知x2+y2+2x-6y+10=0,求x+y.
可(1以)多用项完式全的平项方数公是式多因少式？分解的多项式的特点： ((12))三两项个；平方项的符号相同吗？第三项的符号呢？ ((23))两第个三平项方与项两的个符平号方相项同的，底第数三是项什符么号关可系正？可负； (3)第三项等于两个平方项底数的积的两倍。
分解的结果：
两个平方项底数的和(或差)的平方
2.下列各式中，哪些能用完全平方公式因式分解？ 哪些不能？
(1)m2+mn+n2; × (2)x2-2xy-y2; × (3)x4-4x2+4y2; × (4)4a2-20a+25; √ (5)x2+8x+4; × (6)36a2+12ab+b2.√
例题解析：
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14.3.2公式法（完全平方公式）
一、内容及内容解析
1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。
2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14.
3.2公式法的内容。
主要是利用完全
平方公式进行因式分解。
因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其
是多项式的乘法关系十分密切。
因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。
完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因
式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。
二、目标及目标解析
1.目标：
（1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式；
（2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
2.目标解析：
达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式
的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。
达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并
且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。
从而培养学生的观察和联想能力。
再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。
三、教学问题诊断分析
在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因
式分解。
这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式，
再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。
在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生
尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。
另外，平
方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
四、教学过程设计：
●教学基本流程：课前回顾——揭示（学习）目标——指导自学——巡视自学——检查（自学）效果——讨论（学生），点拨（教师）——当堂训练——课后小结
●教学情景：
（一）课前回顾：
1.因式分解的定义:
把一个（）化成几个（）的积的形式。
练一练: 2a-2= ；a2-1= ；2a2-2= ；
因式分解要注意：有公因式先提公因式;分解因式要彻底
2. 除了平方差公式，我们还学了哪些乘法公式？
简记口诀：首平方，尾平方,首尾2倍在中央.
（板书课题）
师生活动：教师提问，学生口答。
设计意图：通过对因式分解定义、方法以及完全平方公式的回顾，为加深理解完全平方公式分解因式做好铺垫。
（二）揭示（学习）目标
（1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式；
（2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
师生活动：学生齐读，教师做简洁解读。
设计意图：让学生从总体上知道本节课的学习任务和要求。
（三）至（六）步——（指导自学→巡视自学→检查效果→讨论点拨）分二次循环
第一循环：
（三）指导自学1：认真阅读课本P117思考以下的内容，思考下列问题：
问题1：下列式子还能用提公因式或平方差公式分解因式吗？
a 2+2ab+
b 2 a 2-2ab+b 2
问题2：以上两个式子有什么共同特征？我们把这类式子叫做？
问题3：怎样将这类式子进行因式分解？
师生活动：学生自学课本P117思考以下的内容，教师巡视。
设计意图：通过问题的呈现，让学生带着明确的任务知道自学什么，怎么自学。
通过自学能准确说出完全平方式的特征，能初步会对简单的完全平方式分解因式。
（四）巡视自学一：
教师巡视时关注学生，看他们能否正确表述完全平方式的特征。
能否想到逆用完全平方公式。
（五）检查效果一:
让学生口答问题1、2、3。
（六）讨论、点拨一:
学生回答不完整或是有误的，让其他学生补充说明并纠正，直至回答全面完整，教师做适当的强调说明。
并引导学生归纳完全平方式的特征、对简单的完全平方式分解因式。
a 2+2ab+
b 2 a 2-2ab+b 2，这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数积的
2倍，这恰是两个数的和或差的平方，像这样的式子叫做完全平方式。
完全平方式结构特征： 1. 是一个三项式；
2.有两个平方“项”
（且符号相同）；3.有这两“项”积的
2倍或-2倍。
我们只需要把整式乘法的完全平方公式到过来就可将这类式子分解因式a 2+2ab+b 2 = （a+b ）2 a 2-2ab+b 2 =（a-b ）
2即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和（或差）的平方.
例如：分解因式16x2+24x+9（教师板书，引导学生一起完成）2
222b ab a b a
师生活动：教师板书，引导学生一起完成。
设计意图：通过例题板书，让学生明确用完全平方公式分解因式的书写格式。
（三）指导自学2：分解因式: (a + b)2-12(a + b)+36.
思考：平方项是多项式该怎么处理？应该注意哪些问题？
师生活动：学生先自主完成例题，教师巡视，对有问题的同学进行指导。
设计意图：通过让学生阅读课本，自主完成例题，总结解决该类题型的方法及应注意的问题，
培养学生自主学习能力、总结归纳能力。
（四）巡视自学二：
教师巡视时关注学生，看他们能否正确分解平方项是多项式的题型。
（五）检查效果二:
让学生口述，教师板书。
（六）讨论、点拨二:
(a + b)2-12(a + b)+36.
解：原式＝(a + b)2－2·(a + b)·6＋62
＝(a + b-6)2
归纳：当平方项是多项式时,注意用括号括起;最后要化到最简,不留双重括号.
（七）当堂训练
当堂训练1：
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4; (2) 1+4a2; (3) a2+ab+b2. (4) 4b2+4b－1 ;
变式练习：如果将（4）式中的4b2 改为－4b2呢？即－4b2+4b－1
师生活动：师生以问答的形式完成练习，并总结步骤，教师巡视。
设计意图：通过本题练习，学生不但判断，还进行修改、分解，对本节课的教学重点进行了深
度的探索，对完全平方式有了一个全面的认识，从而达到突出本节教学重点的目的。
当堂训练2：
2.将下列多项式分解因式：
（1）–x2+4xy–4y2；（2） 3ax2+6axy+3ay2通过练习，总结因式分解的步骤有哪些？
因式分解的一般步骤：
一提：有公因式先提公因式；二套：套用公式；三查：分解因式一定要彻底。
师生活动：学生自主完成练习，并总结步骤，教师巡视。
设计意图：通过练习，让学生明确，在分解因式时应先考虑提公因式，再用公式法分解。
这是
本节课的一个难点，我通过让学生做，并发现纠正问题，从而突破本难点。
当堂训练3：
3.分解因式: 49 - 14(x-y)+ (x-y)2
师生活动：学生自主完成，教师巡视，给予恰当的指导。
设计意图：通过练习，让学生明确，在分解因式时当平方项是多项式时当做整体、最后要化简。
当堂训练4：
1.若x2+kx+9是完全平方式，则k= 。
2.当m+n=3时，式子m2+2mn+n2= 。
师生活动：学生快速口答，教师ppt呈现答案，并做恰当点拨。
设计意图：适当地让学生做一些中考题型，明确考试的大体内容，增强学习兴趣。
（八）课后小结：
教师引导：本节课我们的目标达到了没有？你能准确说出完全平方式的特征吗？你会用完全平方公式分解因式吗？学生作答。
设计意图：通过小结，梳理本节课所学知识，学会将知识系统化。
五、布置作业：
中午作业：课本P119习题14.3第3题
下午作业：金榜学案P58-59 第2课时
六、板书设计：
14.3.2公式法
1.完全平方式的特征：
2.完全平方公式：
3.因式分解的步骤：例题练习。