第三章第六讲曲率求法方程求解
曲率及讲义其计算公式00517
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
yHale Waihona Puke M0 s>0M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
曲率参数方程公式推导
曲率参数方程公式推导曲率参数方程是一种重要的数学方程，它用于描述曲线的曲率。
它有助于理解曲线的形状，有助于我们进行几何处理。
因此，本文将对曲率参数方程等式进行推导和讨论。
一、曲率参数方程的基本概念曲率参数方程是一种可以表示曲率的数学方程。
它的定义是：曲率参数方程是一个椭圆曲线的曲率的表达式，其形式为：K = a(1 + e cosφ)^2- ((1-ecosφ)^2b^2)/(a + bcosφ)^3 其中，K为曲率参数，a和b是椭圆的长短轴，φ为椭圆的参考点到椭圆的切线上参考点和椭圆的中心连线的夹角。
二、曲率参数方程的推导1、令椭圆曲线为x^2/a^2+y^2/b^2=1,把x和y表示成t时刻的函数,即：x=acos t,y=bsin t2、令椭圆曲线上任一点P(x,y)处切线与椭圆曲线的切点和椭圆曲线的中心连线的夹角为θ,把θ表示成t时刻的函数,即：θ=arctan(yx3、将步骤1和步骤2的x和y分别代入步骤1中的x和y,得： x=a(1-cos t)y=b(1+sin t)4、令曲率Κ=1/R,把步骤3中的x和y改写成R的函数：R=Sqrt[(a^2-a^2cos^2t+b^2sin^2t)/(a^2cos^2t+b^2sin^2t)] 5、将步骤4中的R改写成t的函数,得：K=a(1+ecos t)^2-((1-ecos t)^2b^2)/R^36、将步骤3和步骤5中的ρ^2改写成t的函数,：K=a(1+ecos t)^2-((1-ecos t)^2b^2)/(a+bcos t)^37、利用步骤6，将t改写为φ，得到最终结果：K=a(1+ecosφ)^2-((1-ecosφ)^2b^2)/(a+bcosφ)^3三、曲率参数方程的应用曲率参数方程可以用来描述曲线的曲率参数，可以用于几何处理，比如复合曲线拟合，机器视觉等。
曲率参数方程还可以用于研究螺旋线，比如二维和三维螺纹以及螺旋旋转体的分析。
几何学中的曲率计算方法研究
几何学中的曲率计算方法研究几何学是数学中的一个重要分支，它研究的是形状和空间的性质。
曲率是几何学中一个关键的概念，它描述了曲线或曲面的弯曲程度。
在本文中，我们将探讨几何学中的曲率计算方法的研究。
一、曲线的曲率计算方法曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的量。
在几何学中，有多种方法用于计算曲线的曲率。
1. 弧长参数化法弧长参数化法是最常用的计算曲线曲率的方法之一。
其思想是将曲线上的每个点在弧长方向上参数化，然后计算该点处的曲率。
通过对曲线进行微分运算，可以得到曲线在每个点处的切线和法线，从而进一步计算出曲率。
2. 参数方程法参数方程法是另一种计算曲线曲率的常用方法。
当曲线被参数化表示时，可以通过对参数的导数进行运算，推导出曲率的表达式。
这种方法适用于任意曲线，并且在计算机图形学等领域有着广泛的应用。
3. 直角坐标系下的计算方法对于直角坐标系下的曲线，也有相应的计算曲率的方法。
其中最常用的是求解曲线的曲率圆方程，通过对圆的半径和中心进行计算，可以得到曲率的具体值。
二、曲面的曲率计算方法除了曲线的曲率计算方法之外，几何学中还研究了曲面的曲率计算方法。
曲面的曲率描述了曲面在每个点处的弯曲程度和凹凸性质。
1. 第一基本形式法第一基本形式法是计算曲面曲率的一种常用方法。
该方法基于曲面的第一基本形式，通过对基本形式的矩阵求导数和运算，可以得到曲面在每个点处的曲率。
这种方法在计算三维图像的曲面特征时非常有效。
2. 曲面法线方程法曲面法线方程法是另一种计算曲面曲率的方法。
该方法利用曲面的法向量和曲面的参数方程，通过对参数的导数和运算，可以推导出曲率的表达式。
这种方法在计算机图形学中被广泛应用。
3. 曲率半径法曲率半径法是一种直观的计算曲面曲率的方法。
通过求解曲率半径的逆，可以得到曲面在每个点处的曲率值。
这种方法在曲面造型和曲面分析等领域有着重要的应用。
结论几何学中的曲率计算方法是数学研究的重要内容。
对于曲线和曲面的曲率计算，有多种方法可供选择。
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
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1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
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例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
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曲率及其计算公式
从而，有
a a a a a ．
K da ． ds
| y | K 2 3 2 ( 1 y )
| y | K 2 3 2 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． ( 1 y )
1 由 y ， 得 x 1 2 y ， y ． 2 3 x x 因此，y|x11，y|x12．
2
2
2 2 ( M D x ) ( D y ) M | |M M M M 2 2 | M M | ( D x ) | M M | x ) (D
2
2
2
(
(
2 D y M M 1 | D x M | M
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | |y K 0 . 2 32 ) ( 1 y x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8． 把它们代入曲率公式，得
| y | 2 2 1 K ． 0．8． 2 2 3 2 3 2 2 ( 1 y ) ( 1 ( 1 ) ) 2
一弧微分二曲率及其计算公式三曲率圆与曲率半径有向弧段的值弧微分公式曲率曲率的计算公式曲率圆曲率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ径的绝对值等于这弧段的长度当有向弧段的方向与曲线的正向一致时的增量dxds于是下面来求xdxdxdy因为因此由于是单调增加函数从而于是dsdxdsdxdsdxds观察曲线的弯曲线程度与切线的关系
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
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例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
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设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r1
，
1 K
．
r K 高校教育精品PPT
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
Dx0 | MM | M M | MM |
曲率及其曲率半径的计算课件
提示: 设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K
| (1
y | y2 )3
2
0.
2. 若曲线由参数方程
x j (t)
y
(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示:
K
| j(t) (t) j(t) (t) [j2 (t) 2 (t)]3 2
|
．
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三、曲率圆与曲率半径
y
曲线在M点的曲率半径
2a ,
代入曲率公式, 得
K
| (1
y | y2 )3
2
． [1
| 2a | (2ax b)2 ]3
2
要使K 最大, 只须2ax b 0, 即 x b ．而 x b 对应的点为
2a
2a
抛物线的顶点. 因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K |2a| .
9
讨论:
1．直线上任一点的曲率等于什么？
|
2
|
MM |2 (Dx)2
|
MM MM
|
2
(Dx)2 (Dy (Dx)2
)2
(
|
MM MM
|
2
1
Dy Dx
2
(
Ds Dx
|
MM MM
|
2
1
Dy Dx
2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x 3
(
Ds
Dx
|
MM MM
|
2
1
，y
2 x3
．
因此，y |x 1 1，y |x 1 2.
曲率的基本公式
曲率的基本公式曲率（Curvature）是数学中一个重要的概念，它可以用来衡量曲线的弯曲程度。
对于平面曲线（Plane Curve），它可以用一维曲率来描述；对于空间曲线（Space Curve），则需要用二维曲率和三维曲率来描述。
曲率广泛应用于数学、物理、工程、计算机图形等领域。
本文将介绍曲率的基本公式，希望对读者对曲率的理解有所帮助。
一、平面曲线的曲率对于平面上的曲线，其曲率可以通过曲率半径（Radius of Curvature）来度量，曲率半径是指在曲线上某一点处，与该点切线相切的圆的半径。
具体来说，对于给定的平面曲线 L，假设在曲线上某一点 P 处的切线方程为y-y0 = k(x-x0)其中 (x0,y0) 是曲线 L 在点 P 处的坐标，k 是曲线在点 P 处的斜率。
则在点 P 处的曲率半径 R 定义为：R = (1 + k²)^(3/2) / |k'|其中 k' 表示曲线的曲率函数，即 k' = dy/dx + d²y/dx²。
曲率半径 R 越小，说明曲线在该点附近的弯曲程度越大。
二、空间曲线的曲率对于空间中的曲线，其曲率需要用二维曲率κ 和三维曲率τ 来描述。
具体来说，对于给定的空间曲线 C，假设在曲线上某点 P处的切向量为T，其长度为1，单位切向量（Unit Tangent Vector）为 T'，假设 N 是 C 在点 P 处的单位法向量（Unit Normal Vector），则κ 和τ 定义为：κ = |T'/ds|，τ = (d/ds) (T' * N) / κ其中 ds 表示 C 在点 P 和P+Δs 之间的弧长，Δs 趋近于 0。
κ 表示曲线的弯曲程度，称为曲线的法向曲率（Normal Curvature）；τ 则表现曲线自身弯曲的方向和大小，称为曲线的扭曲（Torsion）。
三、曲率的基本公式具体来说，对于给定的平面曲线 L 和空间曲线 C，它们在曲线上某一点处的曲率公式分别为：● 平面曲线 L 在点 P 处的曲率公式为：κ = |k'| / (1 + k²)^(3/2)其中 k' 表示曲线的曲率函数，即 k' = dy/dx + d²y/dx²。
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y x0 0, y x0 0.8
所以，K=0.8
因而，求得抛物线顶点处的曲率半径 1 1.25
K
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
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四、小节
本讲主要讲述了函数图形的描绘、注意做题步 骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式 求解。
2020/4/5
一、复习提问 1、微分中值定理 2、洛必达法则 3、单调性与凹凸性的判定方法 4、极值于最值的判定方法
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
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第七节 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式 渐屈线 与渐伸线
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
泰山医学院信息工程学院 刘照军
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五、作业 CT3-7 P177 3 4 8
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
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重点：本章基本内容及基本计算方法。 难点：基本计算方法及应用。 关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
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一、问题的提出
显然, 当x b 时, k最大.
2a 又 ( b , b2 4ac)为抛物线的顶点,
2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f (x) 在点
y
M (x, y) 处的曲率为k(k 0).
在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D, 使 DM
s
曲线C在点M处的曲率
K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
2020/4/5
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注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大.
2、曲率的计算公式
y
C
设y f ( x)二阶可导, tan y,
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线 弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
11
2、应用
例2 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x.2 现在要用
砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部 分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径中的最小值.由本节例1可知，抛物线在其顶点 处的曲率半径最小。因此
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
3
单调增函数 s s( x).
设N ( x x, y y),
y
N
T
A
M
y
x R
MN MN MT NT 当x 0o时, x0 x
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
NT y dy 0, 故 ds 1 y2 dx .
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
2020/4/5
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4
二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度圆心, 为半径
k
o
M
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
y f (x)
x
D 曲率中心,
曲率半径.
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
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注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互 为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲 率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线 越弯曲).
)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
2020/4/52004-4-10
泰山医学院信息工程学院 刘照军
8
3、应用 例1 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法．
求近似实根的步骤：
１．确定根的大致范围——根的隔离．
确定一个区间[a,b] 使所求的根是位于这个 区间内的唯一实根．区间 [a,b] 称为所求实 根的隔离区间．
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
且方程 f ( x)＝０在 (a,b)内仅有一个实根，于是
[a , b] 即是这个根的一个隔离区间．
M.
有 arctan y, d
y
1
y2
dx, M0
S
.M)
S
ds 1 y2dx. k
y o 3.
x
(1 y2 )2
2020/4/5
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7
设
x y
(t ), (t ),
二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t 3(t)
16
如图，精确画出y f (x)的图形，然后从图上 定出它与 x 轴交点的大概位置．
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根．
常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
17
二、二分法
设 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，f (a) f (b) 0，
2
一、弧微分***
设函数f ( x)在区间(a, b) 内具有连续导数.
基点 : A( x0 , y0 ), M ( x, y)为任意一点,
y
N
T
A
M
y
x R
o
x0
x
x x x
规定：(1)曲线的正向与x增大的方向一致;
(2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号,相反时, s取负号.
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
M
M
N
S2 N
弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
2020/4/5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
5
y
设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点. MM s ,
M M 切线转角为 .
定义
M.
S
. M0 S M
)
o
x
弧段MM 的平均曲率为K .