通信原理仿真实例

第一部分 随机过程1. 观察零均值高斯信号的自相关函数，相互独立的高斯信号的互相关函数，具有给定相关系数,1ρρ≤的高斯信号的波形产生两个具有相同方差2σ的不相关的零均值高斯随机过程X 和Y，令Z X ρ=+ ，X 和Z 即为具有相关系数ρ的两高斯随机过程。

++证明：[][]0[]0E X E Y E Z ==⇒=222222222222[][](1)[]2[](1)[][][][][][](1)[][]XZ X ZD Z D X D Y XY COV XZE XZ E X E Z E XZ E X E XY E XZ ρρρσρσσρρρσρσρρσσσ=+-+=+-==-⋅==+-====2. 仿真窄带随机过程若随机过程ξ(t )的谱密度集中在中心频率f c 附近相对窄的频带范围∆f 内，满足∆f << f c 的条件，且 f c 远离零频率，则称该ξ(t )为窄带随机过程。

窄带随机过程可以用一个零均值高斯白噪声通过一个带通滤波器得到，等效为一个幅度和相位缓慢变化的正弦波，表示式：()()cos[()],()0c t a t t t a t ξξξξωϕ=+≥a ξ (t ) － 随机包络， ϕξ (t ) － 随机相位 ，ωc － 中心角频率 窄带随机过程表示式展开：()()cos ()sin c c s c t t t t t ξξωξω=-()()cos ()c t a t t ξξξϕ=－ ξ(t )的同相分量()()sin ()s t a t t ξξξϕ=－ ξ(t )的正交分量若E [ξ(t )] = 0，[()]0[()]0c s E t E t ξξ==，222c s ξσσσ==——ξ(t ) 、 ξc (t )和ξs (t )具有相同的平均功率或方差a ξ服从参数为σξ的瑞利(Rayleigh )分布：222()exp()(0)2a a f a a ξξξξξξσσ=-≥ϕξ服从[0 ~ 2π]上的均匀分布：1()(02)2f ξξϕϕππ=≤≤a ξ(t )与ϕξ(t )统计独立：(,)()()f a f a f ξξξξϕϕ=⋅3. 仿真正弦波加窄带随机过程()cos()()c r t A t n t ωθ=++()()cos ()sin c c s c n t n t t n t t ωω=-—窄带高斯噪声，θ －正弦波的随机相位，在[0,2π]上均匀分布()[cos ()]cos [sin ()]sin ()cos ()sin ()cos[()]()sin ()()cos ()c c s c c c s c c s s c c r t A n t t A n t t z t t z t t z t t t z t A n t z t A n t θωθωωωωϕθθ=+-+=-=+=+=+包络：(),0z t z =≥，服从广义瑞利分布，又称莱斯（Rice ）分布：2202221()exp[()]()(0)2nnnzAzf z z A I z σσσ=-+≥(1) 当信号很小时，即A → 0时，(Az /σn 2)很小，I 0 (Az /σn 2) ≈ 1，莱斯分布退化为瑞利分布。

(2) 当(Az /σn 2)很大时，0()x I x ≈22()()exp[]2nz A f z σ-≈-第一类零阶贝塞尔函数的近似表示240 1.11(0 2.5)464()( 2.5)1.9x x x x I x e x x⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩4. 用逆变换法产生具有特定PDF 的随机过程：随机过程具有PDF 函数p (x )，其CDF 函数0()()1XF X p x dx -∞≤=≤⎰，产生在区间[0,1]上均匀分布的随机变量y ，令()y F X = ，可得1()X F y -= ，则X 即为具有PDF 函数p (x )的随机变量。

例：利用逆变换法仿真瑞利随机过程。

2222()(0)x xf x e x σσ-=≥22222221[0,1]x X Xxy e dx eX y σσσ--==-⇒=∈⎰5. 用舍弃法产生具有特定PDF 的随机过程：逆变换法要求概率分布函数F (x )具有闭式表达，但很多随机过程的无法求出闭式的F (x )，这时可以使用舍弃法来产生具有特定PDF 函数的随机过程。

具体步骤：(1) 确定PDF 函数f (x )的变量x 的取值区间[a ,b ]和f (x )的最大值c ; (2) 产生[a ,b ]和[0,c ]上均匀分布的两个随机变量对(u ,v )；(3) 若()u f v ≤ ，则接受变量v ，否则舍弃v 重新生成新的随机变量对(u ,v )；证明： ()1()()()bai f x dxP v b a cb a c==--⎰接受 (,)()()(|)()()()()i i i i i i i i i P x v x dx v P x v x dx P v P x v x dx v f x dx P x v x dx P v P v <≤+<≤+<≤+====<≤+接受接受接受接受接受例：用舍弃法仿真PDF函数为()(0)f x x R ≤≤ 的随机过程，比较理论值与仿真值。

6. 产生具有特定功率谱密度（PSD ）的随机过程2()()()Y X S f H f S f =设不相关样本的功率谱密度在带宽0/2f f ≤ 上为常数K210111()()()()1Y nn nn S f H f K H f b b z b z H z a z a z ----=⇒=+++=+++例：产生一个功率谱密度函数为050Hz()4/50Hzf P f ff ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 的随机过程。

设该随机过程为一个零均值单位方差的高斯随机过程X (t )通过滤波器H (f )产生，则X (t )的PSD 为1，即24()()H f H f f =⇒=，实际系统的频率上限为∞ ，这里我们取频率上限为1000Hz ，根据带通采样定理，采样频率22000Hz s f B ≈≈ ，相应的奈奎斯特频率1000Hz N f = 。

作业1：某随机过程具有单边指数形式的概率密度函数()(0)x f x e λλλ-=≥ ，取0.5λ= ，分别用逆变换法和舍弃法仿真该随机过程并与PDF 理论值比较。

第二部分 模拟调制系统希尔伯特变换实函数x (t )的傅氏变换为X (f )，因为1IFT[sgn()]f jtπ=，定义希尔伯特变换： 111()ˆ()[()][()sgn()]()*ˆ[(]()x t x t x t j X f f x t d t t xt x t τππτ∞--∞⎧==-⋅==⎪-⎨⎪=-⎩⎰H F H希尔伯特变换可看作冲激响应为1()h t tπ=的滤波器，另外ˆˆ()[()]()sgn()X f x t jX f f ==-F ，说明希尔伯特变换使信号产生/2π- 相移，所以希尔伯特滤波器也叫正交滤波器。

构造函数()()()(21sgn )[()]x Z f X f u f X f f ==+ ，即负频谱置0，正频谱加倍，11ˆ()]()()[[()(sg )]()()n x x z t Z f X f X f f x t jxt --+==+=FF——x (t )的解析信号 利用希尔伯特变换求带通信号的包络带通信号()()cos[()]c x t m t t t ωϕ=+ ，m (t )为其包络，x (t )的解析信号为ˆ()()(){cos ()()[()]sin[()]}()c x c x x t jxt m t t t z t z t t j t m t ωϕωϕ+=⋅+++⇒==，7.220t π⨯，载波()00()cos c c t A t ωϕ=+，AM 调制，同步解调，画出已调信号与解调信号的波形和频谱。

AM 信号：00()[()]cos cos ()cos AM c c c s t A m t t A t m t t ωωω=+=+ m (t )— 基带调制信号 频谱：01()[()()][()()]2AM c c c c S A M M ωπδωωδωωωωωω=++-+++- 同步（相干）解调：8.220t π⨯，载波2cos 2100t π⨯，DSB 调制，同步解调，画出已调信号与解调信号的波形和频谱。

DSB 信号：()()cos DSB c s t m t t ω= m (t )— 基带调制信号 频谱：1()[()()]2DSB c c S M M ωωωωω=++-9.220t π⨯，载波2cos 2100t π⨯，SSB 调制，同步解调，画出已调信号与解调信号的波形和频谱。

DSB 信号的时域表示式为：11()cos cos cos()cos()22DSB m m c m c m m c m s t A t t A t A t ωωωωωω=⋅=++- 若保留上边带，则有111()cos()cos cos sin sin 222USB m c m m m c m m c s t A t A t t A t t ωωωωωω=+=⋅-⋅ 若保留下边带，则有111()cos()cos cos sin sin 222LSB m c m m m c m m c s t A t A t t A t t ωωωωωω=-=⋅+⋅ 将上两式合并：11()cos cos sin sin 2211[cos ]cos [cos ]sin 22SSB m m c m m c m m c m m c s t A t t A t t A t t A t t ωωωωωωωω=X10. 调制信号2cos 220 1.2cos 215t t ππ⨯+⨯，载波2cos 2100t π⨯，VSB 调制，同步解调，画出已调信号与解调信号的波形和频谱。

传递函数必须满足：()()c c H H H ωωωωωω++-=≤常数，11. 调制信号cos 2t π，载波2cos 210t π⨯，FM 调制，调频灵敏度10V /Hz π，画出已调信号与解调信号的波形和频谱。

窄带调频：000()cos[()]cos cos[()]sin sin[()]()cos cos 2t t tFM cf cfc f m m m m s t A t K md A t K m d A t K m d m t A t A f tωττωττωττωπ-∞-∞-∞=+=-==⎰⎰⎰如果FM 信号的最大瞬时相位偏移满足()6tf K m d πττ-∞<<⎰，称为窄带调频，此时cos[()]1sin[()]()t f t tf f K m d K m d K m d ττττττ-∞-∞-∞⎧≈⎪⎨⎪≈⎩⎰⎰⎰， []00001()cos sin sin cos cos()cos()2FM c m fm c mm f c c m c m ms t A t A A K t tA A K A t t t ωωωωωωωωωω≈-=++--频谱：00()[()()][()()()()]2FM c c m fm c m c m c m c m s A A A K ωπδωωδωωωπδωωωδωωωδωωωδωωω=++-++++---+---+宽带调频：000()cos[sin ]cos cos(sin )sin sin(sin )FM c f m c f m c f m s t A t m t A t m t A t m t ωωωωωω=+=⋅-⋅021211cos(sin )()2()cos 2sin(sin )2()sin(21)f m f n f m n f m n f mn m t J m J m n t m t J m n tωωωω∞=∞-=⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 频谱：[]()()()()FM nf c m c m n S A Jm n n ωπδωωωδωωω∞=-∞=--+++∑带宽：max 2(1)WBFM f B m f =+可见，FM 信号的频谱不再是调制信号频谱的线性搬移，而是非线性过程。