人教版初三数学上册一元二次方程的应用—增长率(下降率)问题
一元二次方程的应用—增长(降低)率
就是(1+x)2=1.96 于是1+x=±1.4 解得x1=0.4,x2=-2.4 因为x2=-2.4不合题意，故舍去 因此x=0.4=40% 所以，这种环保汽车的数量平均每年增长的 百分率是40%
练习1.某种药品两次降价后，每盒售价从6.4 元降到4.9元。平均每次降价百分之几?
2、若平均增长率是x,增长前的数量是a， 增长一次后的数量是 a（1+x） ， 增长两次后的数量是 a（1+x）2 。
问题引导： 1、某厂去年的产值是a万元，今年比去年增长
5%，那么今年的产值是 a（1+5%） 万元。 2、若平均增长率是x,增长前的数量是a，
增长一次后的数量是 a（1+x） ， 增长两次后的数量是 a（1+x）2 。
重要原因。为解决这一问题，某市试验将现有部
分汽车改装成液化石油气燃料汽车(称为环保汽车 )。按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前 的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽 车的数量平均每年增长的百分率。
例1.机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的
重要原因。为解决这一问题，某市试验将现有部
例1.机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的
重要原因。为解决这一问题，某市试验将现有部
分汽车改装成液化石油气燃料汽车(称为环保汽车 )。按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前 的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽 车的数量平均每年增长的百分率。
例1.机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的
8.6.2一元二次方程的应用 ——增长（降低）率问题
问题引导：
1、某厂去年的产值是a万元，今年比去年增长
5%，那么今年的产值是
人教部初三九年级数学上册 21.3.1实际问题与一元二次方程-增长率与减少率问题 名师教学PPT课件
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对比记忆，总结归纳 探究1：传染问题
有a个人患了流感，经过两轮传染后共有b人患了流 感，毎轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程 为： a(1+x)2=b
探究2：增长率问题
已知某工厂一月份生产零件a个，三月份生产零件 b个，设月平均增长率为x，
则可列方程为：a(1+x)2=b
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探究1：总结归纳--传染问题 【例2】 有a个人患了流感，经过两轮传染后 共有b人患了流感，毎轮传染中平均一个人传 染了x个人，则可列方程为：
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探究2：师生探究·合作交流--增长率问题 1、什么是增长率？ 某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件 1200个， ①二月份比一月份多生产了_____个。
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自我检测一
1．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国 家之间息息相关密不可分的故事,一上映就获 得全国人民的追捧,第一天票房约3亿元,以后每 天票房按相同的增长率增长,三天后累计票房 收入达10亿元,若把增长率记作x,则方程可以 列为( ) A.3(1+x)=10 B.3(1+x)2=10 C.3+3(1+x)2=10 D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10
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（一）独立思考·解决问题
【例2】机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原 因。为解决这一问题,某市试验将现有部分汽车改装成液化石 油气燃料汽车（成为环保汽车）。按计划，该市今年两年内 将使全市的这种环保汽车由目前的400辆增加到900辆，求这 种环保汽车平均每年增长的百分率。
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数学人教版九年级上册一元二次方程与实际问题_一一增长率(下降率)
a
增长21%
a+21%a
a(1+x) 2 =a+21%a
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则 a(1+x) 2 =a+21%a a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1
答:平均每年增长的百分率为10% ．
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 22.5% 比较:两种药品成本的年平均下降率 (相同)
类似地， 这种增长率的问题在实际生活普 遍存在,比如：经济增长率、人口增长率等。本 节中讨论的是两轮（即两个时间段）的平均变 化率，它可以用一元二次方程作为数学模型， 设平均变化率为x，则有下列关系
变化前数量×(1±x)2=变化后数量
其中增长取“+”,降低取 “－”
拓展练习
平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的 社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百 分率。 （提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）
分析：设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则 2001年 a
2002年 a（1+x)ห้องสมุดไป่ตู้
2003年 a(1+x) 2
二、列方程解应用题的关键是:
• 找出相等关系.
类型四
增长率、下降率 问题
预习答案
一商店一月份的利润是2500元，三月份的 利润达到3000元，这两个月的平均月增长的百 分率是多少？
思考：若设这两个月的平均月增长的百分率是x， 则二月份的利润是：_____________ 2500(1+x) 元； 三月份的利润为：___________ 2500 (1 x) 2 元. 可列出方程： 2500 (1
数学人教版九年级上册一元二次方程与实际问题(2)-----增长率与降低率
b=a
2
a(1 x) b
练习1：某药品经两次降价，零售价降为原来 的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次 降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位， 每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 1 x 2 1
解这个方程，得
2
2 但 x 1 >1不 合 题 意 ， 舍 去 2 2 x 1 29.3% .答：每次降价的百分率约为29.3%. 2
3.某商品连续两次降价,每次都降20％,降价后 价格为m元,则原价为 (C )
m A. 元 2 1 .2 B .1 .2 m 元
2
m C. 元 2 0 .8
D .0 .8
m元
小组分工合作：
编写一道关于平均增长 率或平均下降率的实际 问题，组内其他同学帮 忙解决
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2 2 x 1 ,x 1 1 2 2 2
练习 2: 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的 百分率（精确到0.1%） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 ， 2 根据题意，得
x
a ( 1 x ) 1 .2 a
解这个方程，得
30 x 1 5 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 x 1 30 不合题意，舍去
21.3 实际问题与一元二次方程 ----平均增长率问题
一元二次方程的应用
--- “平均增长率”与“平均降低率”型问题
主讲教师：松原市前郭县八郎镇穆家中学 吕振红
1、会根据具体问题（“平均 增长率”与“平均降低率” 型问题）中的数量关系列一 元二次方程并求解。 2、能根据问题的实际意义检 验所得结果是否合理。 3、进一步掌握列方程解应用 题的步骤和关键。
数学人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程(增长率问题)(教学设计)
课题：21.3实际问题与一元二次方程——增长率（下降率）问题执教：张英杰【教学目标】1．知识与技能（1）会分析简单实际问题中增长率（下降率）的相等关系，列出相应一元二次方程，并能解出所列方程和检验结果是否合理；（2）学会利用平均增长率（下降率）计算、预测简单变化后的数量．2．过程与方法通过观察、思考、交流，经历将实际问题中的数量关系转化为一元二次方程的过程，领悟数学模型思想，进一步感受方程的工具作用．3．情感态度价值观（1）经历完整建立一元二次方程解决实际问题的过程，感受与认识一元二次方程源于实际；（2）加强数学建模思想，培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力．【重点、难点】重点：分析实际问题中的数量关系，列出一元二次方程；难点：找出等量关系，建立一元二次方程模型．【学习过程】一、模型探讨问题讨论：某商店一月份的利润是8000元，三月份的利润是9680元，这两个月利润平均增长的百分率是多少？解：设这两个月利润平均增长的百分率为x．讨论：一月份利润是二月份利润是三月份利润是建立方程：概括：若变化前量为a，平均增长率为x，二次增长后量为b，则有：若变化前量为a，平均下降率为x，二次下降后量为b，则有：快速巩固：1．2014年前生产某种药品的成本是5000元，到了2016年成本是3000元．设该种药品的成本平均下降率为x，根据题意可列方程为；2．图书馆去年有图书5万册，预计到明年将增加到7.2万册．设该图书馆每年图书平均增长率为x，根据题意可列方程为．二、典例分析例某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．三、巩固运用A 组1．某厂今年1月份的产量为100吨，平均每月产量增加20%．则二月份的产量为 吨，三月份的产量为 吨；2．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平 均增长率为x ，根据题意可列方程为（ ）A ．()248136x -=B ．()248136x +=C ．()236148x -=D ．()236148x +=3．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元，设两次的平 均下降率为%a ，根据题意可列方程为( )A ．()22001%162a +=B ．()220012162a -=C ．()22001%162a -=D ．()22001162a -=4．某种型号的手机，原售价7200元／台，经连续两次降价后，现售价为4608 元／台．（1）求两次降价的平均百分率是多少？（2）为了促销，将进行第三次降价，如果仍保持前两次降价的平均百分率，请你预计第三次降价后售价是多少？B 组某机械厂七月份生产零件20万个，第三季度（七月、八月、九月）共生产零件．．．．．66.2万个，求该厂第三季度平均增长率．（列出方程即可）C 组某牌子食用油两次升价后，零售价为原来的1.44倍，已知两次升价的增长率相同，求每次升价的增长率．四、课堂小结1．谈谈本节课学到了哪些知识？2．你认为最难是在那里？还有那些困惑？五、课后作业《课堂导学案》1819P ．。
数学人教版九年级上册用一元二次方程解决增降率问题
21.3 实际问题与一元二次方程：增长率、下降率问题使用教师：第＿＿＿＿＿周星期＿＿＿＿＿＿＿＿年＿＿＿月＿＿＿日课前预习1：1、增长率问题中的数量关系：第一年产量为a，平均每年增长率为x%，则第二年产量为________，第三年产量为________，第n年产量为_________________.2、下降率问题中的数量关系：第一年产量为a，平均每年下降率为x%，则第二年产量为________，第三年产量为________,第n年产量为_________________.3、某县2009年农民人均收入为7800元，计划到2011年农民人均收入达到9100元，设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程_______________________________________.课前预习2：一、创境激趣数学来源于生活，又服务于生活，你能帮老百姓解决下列问题吗？问题：为了解决老百姓“看病贵”的问题，卫生部门决定下调药品价格，某种药品经过连续两次降价后，零售价降为原来的一半，请求出这种药品平均每次降价的百分率？相信你完成下列探究后，一定能解决此问题.二、自主探究探究：阅读教材46页探究2，回答下列问题.（1）甲种药品成本的年平均下降额为__________，乙种药品成本的年平均下降额为_____________，所以_____种药品成本的年平均下降额较大.（2）从上面的年平均下降额的大小能说明年平均下降率的大小吗？_______ 你觉得应该怎样比较甲、乙两种药品成本的年平均下降率呢？__________________________.（3）设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为_____________元，所以可列方程：_________________解此方程得x1≈_____，x2≈____.根据问题的实际意义，应选择______理由_____________.(4)设乙种药品成本的年平均下降率为y，仿照以上做法，求出乙种药品成本的年平均下降率.(5)通过计算，____种药品成本的年平均下降率较大，由此可得：成本下降额较大的药品，它的成本下降率也较大吗？应该怎样全面的比较几个对象的变化状况？这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，它有一定的模式：想一想：1、若a表示初始量，b表示连续增长两次后的量，x表示平均增长率，你能表示出它们的关系式吗？_______________________________________.2、若a表示初始量，b表示连续下降两次后的量，x表示平均下降率，你能表示出它们的关系式吗？_______________________________________.试一试：现在可以帮助老百姓解决药品降价率的问题了吧!做一做：1、教材43页习题第12题2、教材48页习题第7题3、教材53页习题第9题。
数学九年级一元二次方程应用吧(增长率问题与降低率问题)说课稿
《一元二次方程的应用--增长率与降低率问题》说课稿各位评委、老师：今天我说课的内容是九年级上第二章第五节一元二次方程的应用中的增长率与降低率问题。
下面，我将从教材分析、学情分析、学习目标、教法学法、学习重难点、学习过程以及板书设计几方面来进行我今天的说课。
一、首先，说一说教材分析:1、教材分析：《一元二次方程的应用》（第一课时）是湘教版九年级上册第2章第5节内容，本节内容是在七年级上册已学习一元一次方程、七年级下册已学习二元一次方程组、八年级上册已学习可化为一元一次方程的分式方程的基础上，进一步的学习利用方程模型解决生活中的实际问题，只是在问题中数量关系变得更加复杂。
旨在通过对实际问题的探索、研究和讨论，培养和提升学生的数学能力。
2、教材的地位与作用：本节内容是一元二次方程概念与解法等代数知识的综合运用，是初中阶段系统学习方程知识的最后一节内容，在初中数学中占有重要的地位。
也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。
它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。
是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。
二、其次，谈一谈学情分析：1、学生对列方程解应用题的一般步骤已经基本掌握，在学习一元一次方程及其应用和二元一次方程组、分式方程及其应用时，学生已经经历了“问题情境－建立方程模型－解决问题”这一数学化的过程，理解了学习方程的意义，对于简单的实际问题也能够通过寻找其中的数量关系来解决。
2、九年级学生具备一定的思维水平，在学习新的知识点时，兴趣是关键。
教学中应努力去挖掘学生的主动性和合作性，从而培养学生解决问题的兴趣和能力。
三、说一说学习目标：1、能根据具体实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解；2、能根据实际问题的意义，检验方程的解是否合理；3、经历利用一元二次方程解决有关增长率与降低率的实际问题的过程，体会数学与现实生活的紧密联系。
四、说教法学法：教法：本节课的教学采用“以导学单为支撑，探究式教学法为主，自主探索、合作探究、讲练结合法、多媒体辅助教学等多种方法相结合。
九年级数学上册《实际问题与一元二次方程-增长(降低)率问题》教学设计(人教版)
21.3实际问题与一元二次方程——增长（降低）率问题一、教材分析：本节是第二十一章一元二次方程的第三部分实际问题与一元二次方程的第二课时。
学生在七八年级已经学习了方程的有关知识。
本章的前两部分学习了一元二次方程的概念和解法，这一部分学习一元二次方程的应用。
让学生经历从实际问题中抽象出数学模型，建立一元二次方程解决实际问题的过程，将数学知识和实际生活进行有机结合，体现数学的现实意义。
一元二次方程与二次函数也有着重要的联系。
本节课的学习也是后面继续学习列方程解决实际问题，用二次函数解决实际问题的基础。
二、学情分析：学生已经学过了用一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程的有关知识解决实际问题。
在此基础上学习列一元二次方程解决实际题，从简单到复杂符合学生的认知规律。
对学生来说列方程解决实际问题的步骤很熟悉，分析题意、设未知数、列方程、解方程，检验解、答。
与以前的实际问题相比，本节课的问题在分析数量关系方面更复杂，对于学生来说很困难。
还是不能直接“设元”的问题，学生会感到无从下手。
基于所教学生的基础很差，所以我这节课只涉及一种类型的实际问题，就是降低率增长率问题。
给学生充足的时间审题，思考，交流。
设计的思考问题有简单到复杂层层递进。
三、教法学法：因为学生已经学习了有关方程的知识和用一元二次方程解决传播问题，积累了一些经验，所以在讲课时采用对比法，启发引导，小组合作，讲练结合。
学生小组讨论，合作交流，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
四、教学目标：知识与技能1、掌握增长（降低）率问题的基本数量关系。
能根据这些数量关系列方程解决问题。
2、通过实际问题的解答，让学生认识到要检验方程的解是不是符合实际意义。
过程与方法经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用。
培养学生的“数学建模思想”和对数学的“应用意识”。
情感态度与价值观通过用一元二次方程解决实际问题，让学生感知数学来源于生活，又服务于生活，体会数学的应用价值，提高学生学数学的兴趣。
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【学习过程】 一、自主学习： （一）复习巩固 1
、解下列方程：
(1)25)5(2
=+x (2) 4122
=++x x
2、解应用题的一般步骤： 审、 设、列、解、检验、答
（二）自主探究
知识点：增长（降低）率中的数量关系(看视频：“增长率问题”)
探究（课本P19-20）：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
思考：你是如何理解下降额与下降率的？它们之间的联系与区别是什么？分析: 甲种药品成本的年平均下降额为
乙种药品成本的年平均下降额为
乙种药品成本的年平均下降额较大，但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元，
依题意，得
解方程，得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为.
算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少?
比较：两种药品成本的年平均下降率。
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?
（三）归纳总结： 1、原有量
原有量
—现有量增长率=
2、平均增长率公式：n
x a )1(±=现有量
其中 a 是增长（或降低）的原有量，x 是平均增长率（或降低率），
n 是增长（或降低）的次数。
（四）、自我尝试：
练习1：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200 kg ，2003年平均每公顷产8450 kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
练习2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
三、课堂检测：
1、某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为
2、由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a %后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ）
A ．12（1+a %）2=5
B ．12（1-a %）2=5
C ．12（1-2a %）=5
D ．12（1-a 2%）=5
3、据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m 2，2013年同期将达到
8200/m 2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为
3某人在银行存了400元钱，一年后连本带息又自动转存一年，两年后到期后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为：
，则年利率是 。
四、课后作业
1、某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数？
2、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1091.8元，求这种存款方式的年利率。
知识点2 市场营销问题
总利润=（售价－进价）×数量
1、百货商店服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可以售出20件，每件盈利40元。
经市场调查发现，如果每件童装降价4元，那么平均每天就可以多售出8件。
要想平均每天售出这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
2、某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个。
已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问：为了赚得8000元的利润，应涨价多少元？这时应进货多少个？。