北京清华大学附属中学2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)
29．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x，则列出方程是______________．
②若 ，求 的长；
（2）已知 ， ， 是以 为弦的圆.
①若圆心 恰好在 边的延长线上，求 的半径：
②若 与矩形 的一边相切，求 的半径.
32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 ，且经过点 与 轴交于点 ，连接 ， ， .
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上点 与点 之间的一动点.
A． B． C． D．
3．已知 （ ， ），下列变形错误的是（）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）
A．4 B．4 C．6D．4
5．对于二次函数 ，下列说法不正确的是（）
A．其图象的对称轴为过 且平行于 轴的直线.
B．其最小值为1.
C．其图象与 轴没有交点.
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
14．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为( )
A．点M在⊙C上B．点M在⊙C内C．点M在⊙C外D．点M不在⊙C内
15．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（）
①若 ，求点 的坐标.
②如图②，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 延长交 于点 .试说明 为定值.
33．解下列方程：
（1）
（2）
34．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为；
A．11B．12C．9D．10
二、填空题
16．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____．
17．已知∠A＝60°，则tanA＝_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（ ，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为_____．
30．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB+AD＝8cm．当BD取得最小值时，AC的最大值为_____cm．
三、解答题
31．如图，已知矩形 的边 ， ，点 、 分别是 、 边上的动点.
（1）连接 、 ，以 为直径的 交 于点 .
①若点 恰好是 的中点，则 与 的数量关系是______；
26．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．
27．像 ＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝3时， ＝3满足题意；当x2＝﹣1时， ＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，则方程x+ ＝1的解为_____．
A．8B．12C．14D．16
8．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B． C． D．
9．二次函数 图象的顶点坐标是（）
A． B． C． D．
10．如图在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（）
A．∠AED=∠BB．∠ADE=∠CC． D．
D．当 时， 随 的增大而增大.
6．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两队身高一样整齐B．甲队身高更整齐
C．乙队身高更整齐点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_____．
24．如图， 为 外一点， 切 于点 ，若 ， ，则 的半径是______.
25．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________．
19．数据2，3，5，5，4的众数是____．
20．如图，已知 的半径为2， 内接于 ， ，则 __________．
21．在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC外接圆半径为________；
22．若关于x的一元二次方程 x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．
北京清华大学附属中学2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)
一、选择题
1．如图，等边三角形ABC的边长为5，D、E分别是边AB、AC上的点，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若BF＝2，则BD的长是（ ）
A．2B．3C． D．
2．如图，已知 为 的直径，点 ， 在 上，若 ，则 （）
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）
A．9 cmB．10 cmC．11 cmD．12 cm
12．二次函数y＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（ ）
A．（4，5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（﹣4，﹣5）
13．如图，如果从半径为6cm的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为( )
北京市清华大学附属中学数学九年级上册期末试卷(带解析)
北京市清华大学附属中学数学九年级上册期末试卷(带解析)一、选择题1．有一组数据5，3，5，6，7，这组数据的众数为（ ） A ．3B ．6C ．5D ．72．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ） A ．2210x x+= B ．220x x --=C ．2320x xy -=D ．240y -=3．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒ 4．已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时，y 的值随x 的增大而增大，则实数m （ ） A ．m=-2B ．m>-2C ．m≥-2D ．m≤-25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为 （ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．50°6．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ） A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=7．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.28．已知点O 是△ABC 的外心，作正方形OCDE ，下列说法：①点O 是△AEB 的外心；②点O 是△ADC 的外心；③点O 是△BCE 的外心；④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③④D ．①③④9．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若26ADC ∠=︒，则B 的度数为（ ）A ．30B ．42︒C ．46︒D ．52︒10．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：111．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ） A ．(1,3) B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--12．抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )A ．y ＝(x+1)2+3B ．y ＝(x+1)2﹣3C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3D ．y ＝(x ﹣1)2+313．如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（25），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为（ ）A．（203，103）B．（163，453）C．（203，453）D．（163，43）14．已知函数2y x bx c=-++的部分图像如图所示，若0y>，则的取值范围是（）A．41x-<<B．21x-<<C．31x-<<D．31x x<->或15．如图，AB为O的切线，切点为A，连接AO BO、，BO与O交于点C，延长BO与O交于点D，连接AD，若36ABO∠=，则ADC∠的度数为( )A．54B．36C．32D．27二、填空题16．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是______cm．17．一元二次方程290x的解是__．18．圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的全面积为_______cm2.19．O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与O的位置关系是______. 20．如图，平行四边形ABCD中，60A∠=︒，32ADAB=.以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点E，以D为圆心，DE为半径画弧，交CD于点F.若用扇形ABE围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r，则12rr的值为______.21．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AEAC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．22．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ． 23．点P 在线段AB 上，且BP APAP AB=.设4AB cm =，则BP =__________cm . 24．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．25．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x ，则可列方程为______．26．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____． x … ﹣1 0 1 2 … y…343…27．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．28．某公园平面图上有一条长12cm 的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的实际长度为_____．29．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝34，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，点F 是DE 上一动点，以点F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，当FD ＝_____时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切．30．如图，二次函数y＝x（x﹣3）（0≤x≤3）的图象，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……若P（2020，m）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m＝_____．三、解答题31．某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100 m比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组．（1）甲分到A组的概率为；（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．32．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上．（1）直接写出A、B、C、D坐标；（2）点P在第四象限，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．（3）若直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值范围．33．某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次甲 9 8 8 7 乙10679（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．34．如图，转盘A 中的6个扇形的面积相等，转盘B 中的3个扇形的面积相等．分别任意转动转盘A 、B 各1次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．（1）用表格列出这样的点所有可能的坐标；（2）求这些点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上的概率． 35．如图，抛物线y ＝﹣13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求此抛物线的表达式；（2）求过B 、C 两点的直线的函数表达式；（3）点P 是第一象限内抛物线上的一个动点．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由；四、压轴题36．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x的代数式表示BQ、DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形．37．已知，如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P为AC的中点，Q从点A运动到B，点Q运动到点B停止，连接PQ，取PQ的中点O，连接OC，OB．(1)若△ABC∽△APQ，求BQ的长；(2)在整个运动过程中，点O的运动路径长_____；(3)以O为圆心，OQ长为半径作⊙O，当⊙O与AB相切时，求△COB的面积．38．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．39．已知抛物线y＝﹣14x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．40．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P为抛物线上一动点，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据众数的概念求解． 【详解】这组数据中5出现的次数最多，出现了2次， 则众数为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．2．B解析：B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】 解：A.2210x x +=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程, 故选B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．3．C解析：C 【解析】 【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,∵AB是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.4．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.【详解】解：抛物线的对称轴为直线221mx m∵10a=-<,抛物线开口向下，∴当x m<时，y的值随x值的增大而增大，∵当2x<-时，y的值随x值的增大而增大，∴2m≥-，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=AC BC ，然后根据圆周角定理计算∠ADC 的度数．【详解】∵BC 的度数为50°，∴∠BOC=50°，∵半径OC ⊥AB ，∴=AC BC ，∴∠ADC=12∠BOC=25°． 故选B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理． 6．D解析：D【解析】【分析】根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2， 根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 7．B解析：B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：////AD BE CF ，AB DE BC EF ∴=，即1 1.23EF=，3.6∴＝，EF＝＝＝，∴++DF EF DE3.6 1.24.8故选B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．【详解】解：如图，连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，∴OA＝OC≠OD，即O不是△ADC的外心，OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，OB＝OC＝OE，即O是△BCE的外心，OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.9．D解析：D【解析】【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据平行得到∠OCB，利用圆内等腰三角形即可求解.【详解】连接CO，∵26ADC ∠=︒∴∠AOC=252ADC ∠=︒∵//OA BC∴∠OCB=∠AOC=52︒∵OC=BO ，∴B =∠OCB=52︒故选D.【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.10．B解析：B【解析】【分析】可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=3：1，∴DE ：DC=3：4，∴DE ：AB=3：4，∴S △DFE ：S △BFA =9：16．故选B ．11．A解析：A【解析】【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵2(1)3y x =-+，∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3).故答案为A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．12．D解析：D【解析】【分析】按“左加右减，上加下减”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【详解】抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位得y ＝（x ﹣1）2，再向上平移3个单位得y ＝（x ﹣1）2+3.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k （a ，b ，c 为常数，a ≠0），确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．13．C解析：C【解析】【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标．【详解】解：过O′作O′F ⊥x 轴于点F ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，∵A 的坐标为（2∴OE=2．由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，在Rt △ABE 中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，由旋转前后三角形面积相等得OB AE A'B O'F 22⋅⋅=3O'F 2⋅=，∴．在Rt △O′FB 中，由勾股定理可求83=，∴OF=820433+=．∴O′的坐标为（20,33）． 故选C ．【点睛】本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式．14．C解析：C【解析】【分析】根据抛物线的对称性确定抛物线与x 轴的另一个交点为（−3，0），然后观察函数图象，找出抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量的范围即可．【详解】∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝−1，与x 轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（−3，0），∴当−3＜x ＜1时，y ＞0．故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据函数对称轴找到抛物线与x 轴的交点.15．D解析：D【解析】【分析】由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=903654AOB ∴∠=-=OD OA =OAD ODA ∠=∠∴AOB OAD ODA ∠=∠+∠27ADC ADO ∴∠=∠=故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键二、填空题16．6；【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：=5π，解得：x=6，故答案为6．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．解析：6；【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：150180xπ =5π，解得：x =6，故答案为6．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =180n Rπ （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．17．x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵∴=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一解析：x 1＝3，x 2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵290x -=∴2x =9，∴x =±3，即x 1＝3，x 2＝﹣3，故答案为x 1＝3，x 2＝﹣3．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.18．24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2．【详解】解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，∴底解析：24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2．【详解】解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，∴底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，∴侧面面积＝12×6π×5＝15π；∴底面积为＝9π，∴全面积为：15π＋9π＝24π．故答案为24π．【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．19．相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的解析：相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．解：∵⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的距离为2，∵4＞2，即：d ＜r ，∴直线L 与⊙O 的位置关系是相交．故答案为：相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d ＜r ，则直线与圆相交；若d>r ，则直线与圆相离；若d=r ，则直线与圆相切.20．1【解析】【分析】设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出的值.【详解】设AB=a ，∵∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，∵平行四边形中，，∴∠D=120解析：1【解析】【分析】设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出12r r 的值. 【详解】设AB=a ， ∵32AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，∴l 1弧长EF=12020.5360a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=602360a π⨯⨯⨯=13a π ∴12r r =12l l =1 故答案为：1.【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.21．3【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，∴＝，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题解析：3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】 解：∵AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+， 解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.22．2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解析：2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论． 详解：根据题意，扇形的弧长为1203180π⨯=2π， 故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 23．【解析】【分析】根据题意，将问题转化为解一元二次方程的求解问题即可得出答案．【详解】解：设BP=x ，则AP=4-x ，根据题意可得，，整理为：，利用求根公式解方程得：，∴，(舍去)．解析：(6-【解析】【分析】根据题意，将问题转化为解一元二次方程的求解问题即可得出答案．【详解】解：设BP=x ，则AP=4-x ， 根据题意可得，444x x x -=-， 整理为：212160x x -+=，利用求根公式解方程得：x 6===±，∴16x =-264x =+>(舍去)．故答案为：6-【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽化出来的一元二次方程问题，将问题转化为一元二次方程求解问题，熟记一元二次方程的求根公式是解此题的关键．24．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74m =-， 724->-， ∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，解得m =所以m =，③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，解得m=2，综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．故答案为：2或【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键． 25．3000(1+ x)2=4320【解析】【分析】设增长率为x ，则2010年绿化面积为3000（1+x ）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x ）（1+x ）m2，然后可得方程．【详解】解析：3000(1+ x)2=4320【解析】【分析】设增长率为x ，则2010年绿化面积为3000（1+x ）m 2，则2021年的绿化面积为3000（1+x ）（1+x ）m 2，然后可得方程．【详解】解：设增长率为x ，由题意得：3000（1+x ）2=4320，故答案为：3000（1+x ）2=4320．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．26．（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）解析：（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x=0+22=1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为（3，0）．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．27．80【解析】∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°−140°=40°，∴∠BOD=2∠A=80°.故答案为80.解析：80【解析】∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°−140°=40°，∴∠BOD=2∠A=80°.故答案为80.28．240m【解析】【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．【详解】设这条公路的实际长度为xcm，则：1：2000＝12：x，解得x＝24000，24000c解析：240m【解析】【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．【详解】设这条公路的实际长度为xcm，则：1：2000＝12：x，解得x＝24000，24000cm＝240m．故答案为240m．【点睛】本题考查图上距离实际距离与比例尺的关系，解题的关键是掌握比例尺＝图上距离∶实际距离．29．或【解析】【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE ＝AB＝5解析：209或145【解析】【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根据相似三角形的性质得到DF＝209；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，∴DF＝HF，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tan A＝BCAC＝34，∴AC ＝4，AB ＝5，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，∴∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，∵FH ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴FH ∥CD ，∴△EFH ∽△EDC ， ∴FH CD ＝EF DE ， ∴4DF ＝55DF ， 解得：DF ＝209； 如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，∵∠A ＝∠D ，∠AEH ＝∠DEC∴∠AHE ＝90°，∴点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，∴△DEC ∽△DBH ，∴DE BD ＝CD DH ， ∴57＝4DH， ∴DH ＝285， ∴DF ＝145， 综上所述，当FD ＝209或145时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切， 故答案为：209或145． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．30．【解析】【分析】x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），然解析：【解析】【分析】x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），然后计算自变量为2020对应的函数值即可．【详解】当y＝0时，x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，则A1（3，0），∵将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……∴OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，∴抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），把P（2020，m）代入得m＝﹣（2020﹣2019）（2020﹣2022）＝2．故答案为2．【点睛】本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律的基本解题方法.三、解答题31．（1）13；（2）13【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出甲分到A组的概率；（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.【详解】解：（1）1 3（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)＝13．【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．32．（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣32)；（2）存在，(12，﹣154)；（3）﹣15736＜t＜﹣1【解析】【分析】（1）可通过二次函数的解析式列出方程，即可求出相关点的坐标；（2）存在，先求出直线BC和直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，12x﹣32），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出点P坐标；（3）求出直线y＝13x+t经过点B时t的值，再列出当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时的方程，使根的判别式为0，求出t的值，即可写出t的取值范围．【详解】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∵D为OC的中点，∴D（0，﹣32）；（2）存在，理由如下：设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设直线BD的解析式为y＝mx﹣32，将点B（3，0）代入y＝mx﹣32，解得m＝12，∴直线BD的解析式为y＝12x﹣32，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，12x﹣32），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣12x+32，HG＝12x﹣32﹣（x﹣3）＝﹣12x+32，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，当EH＝HG＝GP时，﹣12x+32＝﹣x2+3x，解得x1＝12，x2＝3（舍去），∴点P的坐标为（12，﹣154）；（3）当直线y＝13x+t经过点B时，将点B（3，0）代入y＝13x+t，得，t＝﹣1，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程13x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个解，即x2﹣73x﹣3﹣t＝0，△＝（73）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得t＝﹣157 36，∴由图2可以看出，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：﹣15736＜t＜﹣1时．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及了求二次函数与坐标轴的交点坐标、一次函数的解析式、解一元二次方程、确定一次函数与二次函数的图像的交点个数，灵活运用一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键.33．（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，（2）推荐甲参加省比赛更合适．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．【详解】（1）甲的平均成绩是：（9+8+8+7）÷4＝8，乙的平均成绩是：（10+6+7+9）÷4＝8，（2）甲的方差是：()()()()22229-8+8-8+8-8+7-148⎡⎤⨯⎣⎦＝12， 乙的方差是：()()()()2222-8+6-8+7-8+9-814⎡⎤⨯⎣⎦10＝52． 所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加省比赛更合适．【点睛】本题考查了方差、算术平均数，解决本题的关键是掌握方差、算术平均数的计算公式．34．（1）见解析；（2）19【解析】【分析】（1）根据题意列表，展示出所有等可能的坐标结果；（2）由（1）可求得点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上的结果数，再根据概率公式计算即可解答．【详解】（1）根据题意列表如下：（2）由上表可知，点（1，2）、（4，2）都在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上， 所以P （这些点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上）＝218＝19． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果．35．（1）y ＝﹣13x 2+13x +4；（2）y ＝﹣x +4；（3）存在，（1，4）或（2，）． 【解析】【分析】（1）将点A ，B 的坐标代入y ＝﹣13x 2+bx +c 即可； （2）先求出点C 的坐标为（0，4），设直线BC 的解析式为y ＝kx +4，再将点B （4，0）代入y ＝kx +4即可；（3）先判断存在点P ，求出AC ，BC 的长及∠OCB ＝∠OBC ＝45°，设点P 坐标为（m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4），用含m 的代数式表示出QM ，AM 的长，然后分①当AC ＝AQ 时，②当AC ＝CQ 时，③当CQ ＝AQ 时三种情况进行讨论，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可写出点P 的坐标．【详解】（1）将点A （﹣3，0），B （4，0）代入y ＝﹣13x 2+bx +c ， 得，33016403b c b c --+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 解得，134b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴此抛物线的表达式为y ＝﹣13x 2+13x +4；。
北京市清华大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试语文试题
清华大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试语文一、基础·运用（共13分）学校举办“庆祝新中国成立75周年”影像展，献礼祖国华诞。
展览分为人民书写历史、科技助力腾飞、文化铸就流长三大展区，多维度呈现新中国的沧桑巨变。
人民书写历史75年砥砺奋进。
笃行致远。
在共和国历史丰碑上。
“人民”二字重若千钧。
新中国的历史，就是中国人民在逆境中自强、在团结中奋发的历史。
社会主义建设时期，勤劳的中国人民响应党的号召，致力于社会生产建设，闯过了无数难关险隘；改革开放后，从实行家庭联产承包到农村承包地“三权”分置，人民群众的智慧可见一斑；进入新时代。
打赢脱贫攻坚战。
战胜世纪疫情，人民的信心和力量与日俱增。
75年初心如磐，矢志为民。
中国共产党恪守以人民为中心的发展思想，把改善人民生活、增进民生福祉作为出发点和落脚点，带领全国人民实现了从温饱不足到全面小康的历史性跨越，创造了举世属目的成就。
1.加点字注音正确的一项是（）（2分）A.笃行致远 (dù)B.难关险隘（yì)C.初心如磐（bān)D.矢志为民（shǐ)2.对画线词语判断正确的一项是（2分）A.因为表达的是“主体地位十分重要”的意思，所以“重若千钧”一词有错别字。
B.因为表达的是“通过部分推知整体”的意思，所以“可见一斑”一词有错别字。
C.因为表达的是“随时间推移而变强”的意思，所以“与日俱增”一词有错别字。
D.因为表达的是“被全世界的人注视”的意思，所以“举世属目”一词有错别字。
科技助力腾飞新中国成立时，科技基础近乎为零。
随着新中国吹响“向科学进军”的号角，科技创新摆在了国家发展全局的核心位置，科技研发经费的投入【甲】增加，科技事业取得长足发展。
如今，集成电路、人工智能等新兴产业蓬勃发展，北斗卫星导航提供全球精准服务，国产大飞机实现商飞，新能源汽车为全球汽车产业增添新动力，复兴号高速列车推动我国轨道装备产业体系现代化……战略性新兴产业发展壮大，成为引领科技高质量发展的重要引擎。
2022-2023学年北京市海淀区清华大学附属中学九年级上学期期中考数学试卷带讲解
B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
【详解】解：将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2，再向下平移2个单位得到抛物线y=-3（x-1）2-2．
∴点B的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
【答案】y＝x2＋1．
【解析】
【详解】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．
2022-2023学年北京市海淀区清华附中
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）
【详解】解：连接OM、ON，AM如图，∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵ ，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM=DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中， ，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴ ，
A. B. C. D.
【答案】A
北京清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题
北京清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题一、单选题1．下列变量具有二次函数关系的是（ ） A ．圆的周长C 与半径rB ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体的质量xC ．正三角形的面积S 与边长aD ．匀速行驶的汽车，路程s 与时间t2．抛物线y=﹣12x 2+3x ﹣52的对称轴是（ ）A ．x=3B ．x=﹣3C ．x=6D ．x=﹣523．下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A ．20x x += B ．24520x x -+= C ．25410x x --=D ．23410x x -+=4．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是（） A ．()213x -=B ．()214x -=C ．()215x -=D ．()213x +=5．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c >6．已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2的值等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．32D ．﹣327．函数221y ax x =-+和y ax a =+（a 是常数，且0)a ≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知一个二次函数图象经过()113,P y -，()221,P y -，()331,P y ，()443,P y 四点，若324y y y <<，则1234,,,y y y y 的最值情况是( ) A ．3y 最小，1y 最大 B ．3y 最小，4y 最大 C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题9．关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一根为0，则m =． 10．方程2x x =的解是．11．把函数23y x =-的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的解析式是．12．已知抛物线22y x x =+经过点12(4,),(1,)y y -，则1y 2y ．（填“＞”，“＝”，“＜”） 13．二次函数2y x 2x 3=-+-，用配方法化为2y a(x h)k =-+的形式为．14．如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为x 米，面积为y 平方米．写出y 与x 的函数关系式，自变量x 的取值范围是．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，若点P 的坐标为()4,0，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是．16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①D A C E B →→→→；②D B E A C →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是（填序号）；（2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．三、解答题17．解方程：()232x x x +=+． 18．解方程()224415x x x -+=+19．已知﹣1是方程x 2+ax ﹣b=0的一个根，求a 2﹣b 2+2b 的值．20．已知关于x 的方程()2320x m x m -+++=．(1)求证：无论实数m 取何值时，方程总有实数根； (2)若方程有一个根的平方等于4，求m 的值．21．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A 和()0,1B -．(1)求该函数解析式；(2)当2x >-时，对于x 的每一个值，函数12y x n =+的值小于函数()0y kx b k =+≠的值且大于4-，直接写出n 的取值范围．22．一个小球以6m /s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______米，滚动______米后停止．(2)小球滚动11m 1.73）（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v （初速度与末速度的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s vt =）23．已知：二次函数()20y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：(1)直接写出m 的值为______； (2)求这个二次函数的解析式；(3)当14x -<<时，y 的取值范围为______． 24．综合与实践 【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组：整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1 求图1中a 的值． 【数据分析与运用】任务2 A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C 组； ②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4 结合市场情况，将C ，D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，E 是平面内一点，且CE C B <，过点C 作FC CE ⊥，且CF CE =，连接AE 、AF 、M 是AF 的中点，作射线DM 交AE 于点N ．(1)如图1，若点E 在BC 边上，F 在CD 边上． ①请补全图形；②请问DN 和AE 有怎样的位置关系，并证明；(2)如图2，若点E 在四边形ABCD 内，点F 在直线BC 上方，求EAC ∠与ADN ∠的和的度数．。
2020-2021学年北京市清华附中将台路校区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年北京市清华附中将台路校区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2+7x−6=0的根，则三角形的面积为()B. 9C. 12D. 6A. 922.在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且|tanB−√3|+(2sinA−√3)2=0，则△ABC是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形3.下列图形中，有且只有两条对称轴的图形是()A. 点B. 线段C. 射线D. 直线4.如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，AC⏜=AE⏜，∠D=128°，则∠B的度数为()A. 128°B. 126°C. 118°D. 116°5.某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有两名同学进入决赛，九年级有一名同学进入决赛，那么九年级同学获得第一名或第二名的概率是()A. B. C. D.6.数学兴趣小组的同学们来到蛇口海上世界，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1米，BP=1.5米，PD=24米，那么该大厦的高度约为()A. 8米B. 16米C. 24米D. 36米7.如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是A. B. C. D.8.将二次函数y=x2+2x−1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是()A. y=(x+3)2−2B. y=(x+3)2+2C. y=(x−1)2+2D. y=(x−1)2−29.在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是(★)A. B. C. D.10.已知函数y 1=x 2与函数y=−x+3的图象大致如图．若y 1<y 2，则自变量x的取值范围是()A.B. x>2或x<C. −2<x<D. x<−2或x>二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）11.一个三角形的两边长为3，6，第三条边长是方程(x−2)(x−4)=0的根，则这个三角形的周长是．12.已知⊙O的直径为6，弦AB的长为2√3，由这条弦及弦所对的弧组成的弓形的高是______．13.如图，在⊙O中，B，P，A，C是圆上的点，弧PB=弧PC，PD⊥CD，CD交⊙O于A，若AC=AD，PD=43，sin∠PAD=45，则△PAB的面积为______．14.如图，l1//l2//l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知ABBC =32，则DEDF的值为______．15.如图，已知抛物线与反比例函数的图象相交于B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为______．16.如图，AB为等腰直角△ABC的斜边(AB为定长线段)，E为AB的中点，F为AC延长线上的一个动点，线段FB的垂直平分线交线段CE于点O，D为垂足，当F点运动时，给出下列四个结论，其中一定正确的结论有______(请填写正确序号)①O为△ABF的外心；②OF⊥OB；③√2CE+FC=AB；④FC⋅OB=OE⋅FB三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m−1=0(m为实数)，(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）18.计算：)−1+√12−tan60°；(1)(12(2)(a+3)2−(a+2)(a−1)．19.如图，有一个△ABC，三边长为AC=6，BC=8，AB=10，沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由．(2)求线段CD的长．20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−4,−1)，B(−2,−4)，C(−1,−2)．(1)请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；(3)分别写出△A2B2C2三个顶点的坐标．21.某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系：w=−2x+80.设这种商品的销售利润为y(元)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?22.小明、小亮、小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来决定哪两人先下棋，规则如下：三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中恰有两枚正面向上或者两枚反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋．(1)请用树形图表示一个回合所有可能出现的结果；(2)求一个回合不能确定两人先下棋的概率．23.如图，⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且PC2=PB⋅PA，求证：AB⊥CD．24.如图，AC为⊙O的直径，DBA为⊙O的割线，E为⊙O上一点，BE⏜=CE⏜，DE⊥AB于D，交AO的延长线于F．(1)求证：DF为⊙O的切线；(2)若tan∠DAE=√15，求sin∠F的值．5(x>0)图象交于A，过25.如图，已知直线y=x与反比例函数y=4x点A作AC⊥x轴，垂足为C，一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于B．(1)求点A的坐标；(2)若四边形ABOC的面积为3，求一次函数y=kx+b的表达式．26.如图，在△ABC中，AB=AC=4√2，BC=8.⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，以点P为圆心，以PB为半径作⊙P，设点P运动的时间为t秒．(1)当⊙P与直线AC相切时，求t的值；(2)当⊙P与⊙A相切时，求t的值；(3)延长BA交⊙A于点D，连接AP交⊙A于点E，连接DE并延长交BC于点F.当△ABP与△FBD相似时，求t的值．27.(1)已知抛物线y=ax2−6x+c的图象经过点(−2,−1)，其对称轴为x=−1.求抛物线的解析式．(2)如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是BC，AB边上的点，且∠ADE=∠C，求证：BD⋅CD=BE⋅AC．28.已知一次函数的图象经过点(1,2)和点(3,0)，求这个一次函数的解析式．参考答案及解析1.答案：D解析：解：如图，AB=5，BC=3，作AD⊥BC于D，5x2+7x−6=0，(5x−3)(x+2)=0，所以x1=35，x2=−2，即cosB=35，在Rt△ABD中，∵cosB=BDAB =35，∴BD=35AB=3，即D点与C点重合，∴AD=√52−32=4，∴三角形的面积=12×3×4=6．故选：D．如图，AB=5，BC=3，作AD⊥BC于D，通过解方程5x2+7x−6=0得到cosB=35，在Rt△ABD 中利用余弦的定义计算出BD=3，再利用勾股定理计算出AD，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了勾股定理和锐角三角函数的定义．2.答案：B解析：解：∵|tanB−√3|+(2sinA−√3)2=0，∴|tanB−√3|=0，(2sinA−√3)2=0，∴tanB=√3，∠B=60°，2sinA−√3=0，sinA=√32，∠A=60°．在△ABC中，∠C=180°−60°−60°=60°，∴△ABC是等边三角形．故选：B．先根据非负数的性质求出tanB与sinA的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的值即可．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．3.答案：B解析：解：线段有且只有2条对称轴．故选B．根据轴对称图形和对称轴的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．4.答案：D解析：解：连接AC、CE，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠CAE+∠D=180°，∴∠CAE=180°−128°=52°，∵AC⏜=AE⏜，∴∠ACE=∠AEC=1×(180°−52°)=64°，2∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC+∠B=180°，∴∠B=180°−64°=116°，故选：D．连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5.答案：C解析：每一名同学获得任意奖项的可能性均等，共5种可能，获得第一名或第二名的情况有两种，利用概率公式求解．解：∵共5种可能，获得第一名或第二名的情况有两种，∴九年级同学获得第一名或第二名的概率是，故选C．6.答案：B解析：解：由光的反射得到：∠APB=∠CPD．又AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°．∴△ABP∽△CDP．∴CDAB =PDBP．∵AB=1米，BP=1.5米，PD=24米，∴CD1=241.5．∴CD=16米．那么该大厦的高度是16米．故选：B．因同学和大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．7.答案：D解析：解析：分析：在△ADE和△ACB中，由∠AED=∠B，可得出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质，得=，从而可选出答案．解答：解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=．故选D．8.答案：D解析：本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移.题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．解：∵y=x2+2x−1=(x+1)2−2，∴二次函数y=x2+2x−1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=(x+1−2)2−2=(x−1)2−2，故选D．9.答案：B解析：解析：弧长=.故选B10.答案：C解析：本题考查了比较两个函数值大小的能力．函数y 1=x 2和y 2=−+3的交点横坐标就是方程x 2=−x+3的解，解这个方程得x 1=−2，x 2=.观察图象可知，当−2<x<时有，y 1< y 2.故选C．11.答案：13解析：本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，此题比较简单，易于掌握.先解方程，求出x的值，再根据三角形三边关系舍去不合题意的解，再根据周长公式求解即可．解：∵(x−2)(x−4)=0，∴x1=2，x2=4，当x=2时，3+2<6(不合题意，舍去)，当x=4时，符合三角形三边关系，能构成三角形∴这个三角形的周长=3+4+6=13．故答案为1312.答案：3+√6或3−√6解析：解：根据垂径定理，得半弦是√3，在由半径、半弦和弦心距组成的直角三角形中，根据勾股定理，得弦心距=√9−3=√6，因为弦所对的弧有两条，所以弦所对的弧组成的弓形高是3+√6或3−√6． 此题只需先求得弦的弦心距．因为弦所对的弧有两条，所以弦所对的弧组成的弓形高有两种情况． 此题注意两种情况，熟练运用垂径定理和勾股定理求得弦的弦心距． 13.答案：2 解析：解：过P 作PH ⊥AB 于H ，连接BC 、PC ，∵PB⏜=PC ⏜， ∴PB =PC ，∴∠PCB =∠PBC ，∵B ，P ，A ，C 是圆O 上的点，∴∠PAD =∠PBC =∠PCB =∠PAB ，∵PH ⊥AB ，PD ⊥CD ，∴PH =PD =43，sin∠PAD =43PA =45， ∴PA =53， ∴AH =1=AD ，PH =PD ，Rt △PCD 中，CD =2，PD =43，由勾股定理得：PC =√22+(43)2=2√133， ∴PB =PC =2√133， ∴BH =√PB 2−PH 2=√(2√133)2−(43)2=2， ∴S △ABP =12AB ⋅PH =12×(1+2)×43=2，故答案为：2．作辅助线构建直角三角形，根据三角函数定义得：PA =53，根据勾股定理得：AH =1=AD ，PA =√22+(43)2=2√133，分别求AH 和BH 的长，根据三角形面积可得结论． 本题考查的是圆周角定理及勾股定理、三角函数，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14.答案：35解析： 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出DE DF =AB AC 是解题的关键． 直接利用平行线分线段成比例定理进而得出DE DF ，再将已知数据代入求出即可．解：∵l 1//l 2//l 3，∴DE DF =AB AC ，∵ABBC=32， ∴AB AC =35，∴DEDF =35． 故答案为35．15.答案：(125,0)解析：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B 的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A 的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B 的函数解析式，进而求得与x 轴的交点，从而可以解答本题．解：如图，作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B ，则A′B 与x 轴的交点即为所求，∵抛物线y =ax 2−4x +c(a ≠0)与反比例函数y =9x 的图象相交于点B ，且B 点的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C(0,6)，∴点B(3,3)，∴{9a −12+c =3,c =6.， 解得：{a =1,c =6∴y =x 2−4x +6=(x −2)2+2，∴点A 的坐标为(2,2)，∴点A′的坐标为(2,−2)，设过点A′(2,−2)和点B(3,3)的直线解析式为y =mx +n ，{2m +n =−2,3m +n =3.解得：{m =5,n =−12.，∴直线A′B 的函数解析式为y =5x −12，令y =0，则0=5x −12得x =125，故答案为：(125,0)．16.答案：①②④解析：解：如图，连接AO ．∵CA =CB ，AE =EB ，∴CE ⊥AB ，∴OA =OB ，∵OD 垂直平分线段BF ，∴OF =OB ，∴OA =OF =OB ，∴点O 是△ABF 的外心，故①正确，设BC 交OF 于J ．∵AC =BC ，CO =CO ，AO =BO ，∴△ACO≌△BCO(SSS)，∴∠CAO =∠CBO ，∵OA =OF ，∴∠CAO =∠CFJ ，∴∠CFJ =∠OBJ ，∵∠CJF =∠OJB ，∴∠JOB =∠JCF =90°，∴OF ⊥OB ，故②正确，∵√2CE =AC ，AC +CF =AF ，显然AF 不一定等于AB ，故③错误．∵∠EBC =∠OBF =45°，∴∠EBO=∠CBF，∵∠OEB=∠FCB=90°，∴△OEB∽△FCB，∴OEFC =OBFB，∴FC⋅OB=OE⋅FB，故④正确，故答案为：①②④．①正确．只要证明OA=OB=OF即可．②正确．利用“8字型”证明∠FCJ=∠JOB=90°即可．③错误．先证明√2EC+CF=AF，再判断．④正确．证明△OEB∽△FCB即可．本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题．17.答案：(1)证明：∵a=1，b=m+2，c=2m−1，∴△=b2−4ac=(m+2)2−4(2m−1)=(m−2)2+4∵(m−2)2≥0，∴(m−2)2+4>0即△>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：∵方程两根互为相反数，∴两根之和=−(m+2)=0，解得m=−2即当m=−2时，方程两根互为相反数．当m=−2时，原方程化为：x2−5=0，解得：x1=√5，x2=−√5．解析：(1)只要证得△=b2−4ac>0，就说明方程有两个不相等的实数根．(2)方程的两根互为相反数，说明m+2=0，从而求得m的值，再代入原方程求出此时方程的解．(1)一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△>0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△<0⇔方程没有实数根．(2)解题时注意方程两根互为相反数，说明b=0．18.答案：解：(1)原式=2+2√3−√3=2+√3．(2)原式=a2+6a+9−(a2+a−2)=a2+6a+9−a2−a+2=5a+11．解析：(1)分别根据负整数指数幂的定义，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则化简即可．本题主要考查了实数的运算、完全平方公式以及多项式乘多项式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．19.答案：解：(1)△ABC是直角三角形，理由如下：在△ABC中，∵62+82=102，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；(2)∵△ADE是△ADC沿直线AD翻折而成，∴∠C=∠DEB=90°，CD=DE，AC=AE=6，BE=AB−AE=4，设CD=x，则DE=x，BD=8−x，在Rt△BDE中，∵DE2+BE2=BD2，∴x2+42=(8−x)2，∴x2+16=64−16x+x2，∴x=3，即CD长为3．解析：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，根据已知表示出DE，BD的长利用勾股定理得出是解题关键．(1)利用勾股定理得的逆定理判断得出即可；(2)设CD=x，则DE=x，BD=8−x在Rt△BDE中，则DE2+BE2=BD2，进而求出即可．20.答案：解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．(3)A2(−4,1)，B2(−2,4)，C2(−1,2)．解析：(1)根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．(2)根据轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．(3)根据点的位置写出坐标即可．本题考查作图−轴对称变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．21.答案：解：(1)y=w(x−20)=(x−20)(−2x+80)=−2x 2+120x−1600，则y=−2x 2+120x−1600．由题意，有，解得20≤x≤40．故y与x的函数关系式为：y=−2x 2+120x−1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；(2)∵y=−2x 2+120x−1600=−2(x−30)2+200，∴当x=30时，y有最大值200．故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；(3)当y=150时，可得方程−2x 2+120x−1600=150，整理，得x 2−60x+875=0，解得x 1=25，x 2=35．∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x 2=35不合题意，应舍去．故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．解析：试题分析：(1)根据销售利润y=(每千克销售价−每千克成本价)×销售量w，即可列出y与x之间的函数关系式；(2)先利用配方法将(1)的函数关系式变形，再利用二次函数的性质即可求解；(3)先把y=150代入(1)的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．22.答案：解：(1)如树状图所示：则共有8种等可能的结果；(2)∵由上可知，所有可能结果有8种，而不能确定两人先下棋的结果有2种，∴一个回合不能确定两人先下棋的概率为：28=14．解析：(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)由(1)可求得一个回合不能确定两人先下棋的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.答案：证明：连接AC、BC，如图，∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB=PA：PD，∴PC⋅PD=PA⋅PB，∵PC2=PB⋅PA，∴PC=PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．解析：连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到∠A=∠D，∠C=∠B，则可判断△APC∽△BPD，利用相似比得到PC⋅PD=PA⋅PB，利用PC2=PB⋅PA得到PC=PD，然后根据垂径定理得到结论．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理． 24.答案：(1)证明：如图连接OE ．∵BE⏜=CE ⏜， ∴∠DAE =∠EAC ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∴∠DAE =∠AEO ，∴AD//OE ，∵AD ⊥DF ，∴OE ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；(2)连接CE ，∵△FCE∽△FEA ， ∴CF EF =CE AE =tan∠CAE =√155， 设CF =√15k ，EF =5k ，圆的半径为r ，则r 2+(5k)2=(r +√15k)2,r =√153k ， ∴sin∠F =14． 解析：(1)欲证明DF 为⊙O 的切线，连接OE ，只要证明OE ⊥DF 即可，只要证明AD//OE ；(2)根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．本题考查切线的判定、平行线的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握证明切线的方法，学会构建方程解决问题． 25.答案：解：(1)∵直线y =x 与反比例函数y =4x (x >0)图象交于A ，∴解{y =x y =4x得{x =2y =2或{x =−2y =−2(舍)， ∴点A 的坐标为(2,2)；(2)∵四边形ABOC 的面积是3，∴(OB+AC)⋅OC2=3，即(OB+2)×22=3解得OB =1，∴点B 的坐标为(0,1)，依题意有{2k +b =2b =1， 解得{k =12b =1．故一次函数y =kx +b 的表达式为y =12x +1．解析：(1)解析式联立，解方程组可求点A 的坐标；(2)根据梯形的面积公式可求点B 的坐标，再根据待定系数法可求一次函数y =kx +b 的表达式． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是熟练掌握反比例函数k 值的几何意义、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式．26.答案：解：(1)如图1，过点P 作PK ⊥AC ，垂足为点K ，∵⊙P 与直线AC 相切，∴BP =PK =t ．∵AB =AC =4，BC =8，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C =45°，∴△PKC 是等腰直角三角形．∴PC =PK =t ， ∴t +t =8．解得t =8−8； (2)如图2，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ，则AP2=AM2+PM2，AM=BC=4，PM=t−4或4−t，若⊙P与⊙A外切，则(t+2)2=42+(t−4)2，解得t=．若⊙P与⊙A内切，则(t−2)2=42+(t−4)2，解得t=7．综上所述，当t=或t=7时，⊙P与⊙A相切．(3)当△ABP∽△FBD时，∠D=∠BPA，∵∠D=∠AED=∠FEP，∴∠D=∠AED=∠FEP=∠BPA．∴∠BFD=2∠D．∵∠D+∠B+∠BFD=180°，∴∠D=45°，∴∠BAP=90°．∴AP与AC重合，∴t=8．解析：(1)过点P 作PK ⊥AC ，垂足为点K ，根据⊙P 与直线AC 相切可知BP =PK =t.故可得出△ABC 是等腰直角三角形，△PKC 是等腰直角三角形，故PC =√2PK =√2t ，由此可得出t 的值；(2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ，故A P 2=AM 2+PM 2，AM =12BC =4，PM =t −4或4−t ，再根据⊙P 与⊙A 外切，⊙P 与⊙A 内切两种情况即可得出t 的值；(3)当△ABP∽△FBD 时，∠D =∠BPA ，根据∠D =∠AED =∠FEP 可得∠D =∠AED =∠FEP =∠BPA ，故∠BFD =2∠D ，根据三角形内角和定理可求出∠D 的度数，故可得出结论．27.答案：解：(1)由题意得：{4a +12+c =−1−−62a=−1， 解得：{a =−3c =−1， ∴抛物线的解析式是：y =−3x 2−6x −1；(2)证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ．∵∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴∠BDE =∠CAD ．∴△BDE∽△CAD ．∴BD AC =BE CD ，∴BD ⋅CD =AC ⋅BE ，∵AB =AC ，∴BD ⋅CD =BE ⋅AC ．解析：(1)利用待定系数法可得抛物线的解析式；(2)由题中条件可得∠B =∠C ，所以由已知条件，求证∠BDE =∠CAD 即可证明两三角形相似，可得结论．本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和相似三角形的判定及性质问题，能够掌握并熟练运用．28.答案：解：设一次函数的解析式是y =kx +b ，∵一次函数的图象经过点(1,2)和点(3,0)，∴代入得：{k +b =23k +b =0， 解得：k =−1，b =3，∴这个一次函数的解析式是y=−x+3．解析：设一次函数的解析式是y=kx+b，把已知两点的坐标代入，得出方程组，求出方程组的解即可．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式，能够得出关于k、b的方程组是解此题的关键．。
2020-2021学年北京市清华附中初三数学第一学期期末试卷及解析
2020-2021学年北京市清华附中初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共20分，每小题2分）1．（2分）关于x的一元二次方程220x x m++=的一个根是1-，则m的值是() A．2-B．1-C．1D．32．（2分）1cos303︒的值是()A．36B．33C．16D．263．（2分）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是()A．赵爽弦图B．科克曲线C．河图幻方D．谢尔宾斯基三角形4．（2分）如图，AB是O的直径，点C，D在O上．若60ABC∠=︒，则D∠的度数为()A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒5．（2分）在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，是黑球的概率是()A．25B．35C．12D．136．（2分）如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为()A ．5mB ．7mC ．7.5mD ．21m7．（2分）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，要判定ADB ∆与ABC ∆相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是( )A ．ABD C ∠=∠B ．ADB ABC ∠=∠C ．AD ABAB AC=D ．AB DBAC BC=8．（2分）要得到二次函数2(1)2y x =--的图象需将2y x =的图象( ) A ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位9．（2分）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120︒，则这个扇形的弧长是( ) A ．6πB ．πC ．3π D ．23π 10．（2分）如图，在同一平面直角坐标系中，函数2(0)y ax a =+≠与22(0)y ax x a =--≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．（2分）方程220x x -=的根是 ．12．（2分）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 ．13．（2分）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥交BC 于点D ，AD BD =，若42AB =，4tan 3C =，则BC = ．14．（2分）如图，在ABC ∆中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，如果32AD DB =，10AC =，那么EC = ．15．（2分）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为(4,0)，则点Q 的坐标为 ．16．（2分）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：O 和O 上一点P ．求作：O 的切线MN ，使MN 经过点P ． 作法：如图， （1）作射线OP ；（2）以点P 为圆心，小于OP 的长为半径作弧，交射线OP 于A ，B 两点； （3）分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点； （4）作直线MN ．则MN 就是所求作的O 的切线．请回答：该尺规作图的依据是： ① ； ② ．三、解答题（本题共68分，第18-21题小题5分，第17、22-28题每小题5分） 17．（5分）计算：（1）2cos304sin30tan60︒+︒-︒； （2）2tan60tan454cos30︒+︒-︒； （3）3tan30cos452sin60︒+︒-︒．18．（5分）如图，在Rt ABC ∆中，90?C ∠=，3tan 4A =，6BC =，求AC 的长和sin A 的值．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(2,1)A ，(1,2)B -． （1）以原点O 为位似中心，在y 轴的右侧画出将OAB ∆放大为原来的2倍得到的△11OA B ，请写出点A 的对应点1A 的坐标；（2）画出将OAB ∆向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△222O A B ，写出点B 的对应点2B 的坐标．20．（5分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为40m的篱笆围成．已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边AB为x m，若苗圃园的面积为2192m，求AB的长度．21．（5分）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．22．（6分）已知关于x的一元二次方程2610-+=有两个不相等的实数根．kx x（1）求实数k的取值范围；（2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．23．（6分）如图，在Rt ABC∠=︒，AC CE=，延长BCACE∆，90B∠=︒，以AC为边作Rt ACE∆中，90至点D，作DE CE⊥．（1）求证：ABC CED∽；∆∆（2）若4AB=，2BC=，求DE的长．24．（6分）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，连接AC ，BC ． （1）求证：A BCD ∠=∠；（2）若10AB =，8CD =，求BE 的长．25．（6分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于(1,2)A ，(2,)B n -两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）直线AB 交x 轴于点C ，点P 是x 轴上的点，若ACP ∆的面积是4，求点P 的坐标．26．（6分）如图，AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，且点C 是BD 的中点，过点C 作AD 的垂线EF 交直线AD 于点E ． （1）求证：EF 是O 的切线；（2）连接BC ，若5AB =，3BC =，求线段AE 的长．27．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数221(0)y ax ax a =-+>的对称轴为x b =，点(2,)A m -在直线3y x =-+上．（1）求m ，b 的值；（2）若点(3,2)D 在二次函数221(0)y ax ax a =-+>上，求a 的值；（3）当二次函数221(0)y ax ax a =-+>与直线3y x =-+相交于两点时，设左侧的交点为1(P x ，1)y ，若131x -<<-，求a 的取值范围．28．（6分）已知函数12y kx k =+与函数2223y x x =-+，定义新函数21y y y =-． （1）若2k =，则新函数y = ；（2）若新函数y 的解析式为22y x bx =+-，则k = ，b = ； （3）设新函数y 顶点为(,)m n ．①当k 为何值时，n 有大值，并求出最大值； ②求n 与m 的函数解析式．参考答案与试题解析一、选择题（本题共20分，每小题2分）1．【解答】解：把1x=-代入得：120m-+=解得：1m=，故选：C．2．【解答】解：1cos30 3︒13=，故选：A．3．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．4．【解答】解：AB是直径，90ACB∴∠=︒，60ABC∠=︒，9030A ABC∴∠=︒-∠=︒，30D A∴∠=∠=︒，故选：B．5．【解答】解：在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，共5个球，∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是25．故选：A．6．【解答】解：如图，AB OD⊥，CD OD⊥，//AB CD∴，OAB OCD∴∆∆∽，∴AB OBCD OD=， 2AB m =，6OB m =，61521OD m =+=，∴2621CD =， 解得7CD m =． 这颗树的高度为7m ， 故选：B ．7．【解答】解：A ∠是公共角，∴当ABD C ∠=∠或ADB ABC ∠=∠时，ADB ABC ∆∆∽（有两角对应相等的三角形相似）；故A 与B 正确； 当AD ABAB AC=时，ADB ABC ∆∆∽（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）； 故C 正确； 当AB DBAC BC=时，A ∠不是夹角，故不能判定ADB ∆与ABC ∆相似， 故D 错误． 故选：D ．8．【解答】解：抛物线2y x =向右平移1个单位，得：2(1)y x =-； 再向下平移2个单位，得：2(1)2y x =--． 故选：A ．9．【解答】解：根据弧长的公式180n rl π=， 得到：120121803ππ=． 故选：D ． 10．【解答】解：2y ax =+，2b ∴=，∴一次函数图象与y 轴的正半轴相交，①当0a >时，则二次函数22(0)y ax x a =--≠的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线2102x a a-=-=-<-， ②当0a <时，则二次函数22(0)y ax x a =--≠的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线2102x a a-=-=->-， 故D 正确； 故选：D ．二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11．【解答】解：因式分解得(2)0x x -=， 解得10x =，22x =． 故答案为10x =，22x =．12．【解答】解：如图，圆心角120AOB ∠=︒，OA OB =，OAB ∴∆是等腰三角形， OC AB ⊥，90ACO ∴∠=︒，30A ∠=︒，122OC OA ∴==．故答案为：2 13．【解答】解：AD BD =，AD BC ⊥，45B ∴∠=︒． 42AB =2sin AD B AB ==， 4BD AD ∴==．在Rt ADC ∆中， 44tan 3AD C CD CD ===， 3CD ∴=．7BC BD CD ∴=+=．故答案为：7． 14．【解答】解：//DE BC ，∴32 AD AEDB EC==，10AC=，21045EC∴=⨯=，故答案为4．15．【解答】解：抛物线的对称轴为直线1x=，点P的坐标为(4,0)，∴点Q的横坐标为1242⨯-=-，∴点Q的坐标为(2,0)-．故答案为：(2,0)-．16．【解答】解：由作法得MN垂直平分OP，所以MN为O的切线．故答案为与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共68分，第18-21题小题5分，第17、22-28题每小题5分）17．【解答】解：（1）2cos304sin30tan60︒+︒-︒1242=+⨯22=；（2）2tan60tan454cos30︒+︒-︒14=-1=-1=；（3）3tan30cos452sin60︒+︒-︒32==+-=．18．【解答】解：ABC∆中，3tan4A=，6BC=，∴34 BCAC=，8 AC∴=，22226810AB AC BC ∴=+=+=，3sin 5BC A AB ∴== 19．【解答】解：（1）如图，△11OA B 为所作，点1A 的坐标为(4,2)；（2）如图，△222O A B 为所作，点2B 的坐标为(1,1)--．20．【解答】解：根据题意知，402AD x =-．040218x <-．x ∴的取值范围为：1120x <．设这个苗圃园垂直于墙的一边AB 为x m ，根据题意得：(402)192x x -=，整理，得220960x x -+=．解得：18x =，212x =．1120x <．当8x =时，40240162418x -=-=>∴不合题意，舍去．12x ∴=，即AB 的长度为12米．答：若苗圃园的面积为192平方米，则AB 的长度为12米．21．【解答】解：（1）列表如下：1 2 3 1(1,1) (2,1) (3,1) 2(1,2) (2,2) (3,2) 3 (1,3) (2,3)(3,3)所有等可能的情况有9种，分别为(1,1)；(1,2)；(1,3)；(2,1)；(2,2)；(2,3)；(3,1)；(3,2)；(3,3)， 则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种；（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种，P ∴（甲)P <（乙)，则该游戏对甲乙双方不公平．22．【解答】解：（1）根据题意得0k ≠且△2(6)40k =-->，解得9k <且0k ≠；（2）k 的最大整数为8，此时方程化为28610x x -+=，(21)(41)0x x --=， 所以112x =，214x =． 23．【解答】（1）证明：90B ∠=︒，90ACE ∠=︒，90BAC BCA ∴∠+∠=︒，90BCA DCE ∠+∠=︒．BAC DCE ∴∠=∠．ABC CED ∴∆∆∽．（2）解：90B ∠=︒，4AB =，2BC =，AC ∴==CE AC =，CE ∴=，5CD =，ABC CED ∆∆∽， ∴BC AB DE CE=， ∴2DE ，解得DE24．【解答】（1）证明：直径AB ⊥弦CD ，∴弧BC =弧BD ．A BCD ∴∠=∠；（2）连接OC直径AB ⊥弦CD ，8CD =，4CE ED ∴==．直径10AB =，5CO OB ∴==．在Rt COE ∆中，5OC =，4CE =，22543OE ∴=-，532BE OB OE ∴=-=-=．25．【解答】解：（1）反比例函数m y x=经过点(1,2)A ， 21m ∴=， 2m ∴=，∴反比例函数的表达式为2y x=， 把点B 的坐标(2,)n -代入2y x =得，22n =-，解得1n =-， ∴点B 的坐标为(2,1)--，分别把点A ，点B 的坐标代入y kx b =+得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的表达式为1y x =+；（2）把0y =代入1y x =+，解得1x =-，∴点C 的坐标为(1,0)-，ACP ∆的面积是4，点A 的纵坐标等于2， ∴1242PC ⨯=， 解得4CP =，∴点P 的坐标为(5,0)-或(3,0)．26．【解答】（1）证明：连接OC ，OA OC =，OCA BAC ∴∠=∠，点C 是BD 的中点，EAC BAC ∴∠=∠，EAC OCA ∴∠=∠，//OC AE ∴，AE EF ⊥，OC EF ∴⊥，即EF 是O 的切线；（2）解：AB 为O 的直径，90BCA ∴∠=︒， 224AC AB BC ∴=-=，EAC BAC ∠=∠，90AEC ACB ∠=∠=︒，AEC ACB ∴∆∆∽，∴AE AC AC AB=， 2165AC AE AB ∴==．27．【解答】解：（1）二次函数221(0)y ax ax a =-+>的对称轴为x b =， 212a b a∴==． 点(2,)A m -在直线3y x =-+上，235m ∴=+=；（2）点(3,2)D 在二次函数221(0)y ax ax a =-+>上，223231a a ∴=⨯-⨯+，13a ∴=； （3）当3x =-时，36y x =-+=，∴当(3,6)-在221(0)y ax ax a =-+>上时，26(3)2(3)1a a =⨯--⨯-+， 13a ∴=． 又当1x =-时，34y x =-+=，∴当(1,4)-在221(0)y ax ax a =-+>上时，24(1)2(1)1a a =⨯--⨯-+， 1a ∴=． ∴113a <<． 28．【解答】解：（1）当2k =时，1242y kx k x =+=+，函数2223y x x =-+，定义新函数21y y y =-，22234261y x x x x x ∴=-+--=-+，故答案为：261x x -+；（2）函数12y kx k =+与函数2223y x x =-+，定义新函数21y y y =-， ∴新函数y 的解析式为222322(1)3y x x kx k x k x k =-+--=-++-， 新函数y 的解析式为22y x bx =+-，2(1)b k ∴=-+，32k -=-，5k ∴=，12b =-，故答案为：5，12-；（3）①由（2）知，新函数2222(1)3(1)32y x k x k x k k k =-++-=----+， 新函数y 顶点为(,)m n ，∴2132m k n k k =+⎧⎨=--+⎩， ∴2231732()24n k k k =--+=-++， 当32k =-时，174n =最大值； ②由①知，2132m k n k k =+⎧⎨=--+⎩，将1k m =-代入232n k k =--+得： 24n m m ∴=--+．。
2020-2021北京市清华大学附属中学初三数学上期末模拟试卷(及答案)
2020-2021北京市清华大学附属中学初三数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( )A ．()1119802x x +=B ．()1119802x x -= C ．()11980x x += D ．()11980x x -=2．如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，若35C ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．65︒3．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（ ）A ．27B ．36C ．27或36D ．184．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 5．二次函数236y x x =-+变形为()2y a x m n =++的形式，正确的是（ ）A ．()2313y x =--+B ．()2313y x =--- C ．()2313y x =-++ D ．()2313y x =-+- 6．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．4－9πB ．4－89πC ．8－49πD ．8－89π 7．将抛物线y=2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A ．y=2（x ﹣3）2﹣5B ．y=2（x+3）2+5C ．y=2（x ﹣3）2+5D ．y=2（x+3）2﹣58．下列函数中是二次函数的为（ ）A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －3 9．二次函数2y (x 3)2=-++图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )A ．向下，直线x 3=，()3,2B ．向下，直线x 3=-，()3,2C ．向上，直线x 3=-，()3,2D ．向下，直线x 3=-，()3,2-10．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG ，AE ，FG 分别交射线CD 于点 PH ，连结 AH ，若 P 是 CH 的中点，则△APH 的周长为（ ）A ．15B ．18C ．20D ．2411．若20a ab -=（b ≠0），则a ab +=（ ） A ．0 B ．12 C ．0或12 D ．1或 212．关于y=2（x ﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）A ．顶点坐标为（﹣3，2）B ．对称轴为直线y=3C ．当x≥3时，y 随x 增大而增大D ．当x≥3时，y 随x 增大而减小二、填空题13．抛物线y=2(x −3)2+4的顶点坐标是__________________．14．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为______．15．若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____．16．如图，在直角坐标系中，已知点30A （，）、04B （，），对OAB V 连续作旋转变换，依次得到1234V V V V 、、、，则2019V 的直角顶点的坐标为__________．17．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．18．在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．19．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x 2﹣6x ﹣16，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的线段CD 的长为_____．20．已知二次函数y =a (x +3)2﹣b (a ≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为_____．三、解答题21．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．22．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？23．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；24．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(n﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n的取值范围；(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．25．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1980．【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，∴全班共送：（x-1）x=1980，故选：D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x 个人是解决问题的关键．2．A解析：A【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得35BAD C =∠=︒∠，再根据圆直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求出ABD ∠的度数．【详解】∵35C ∠=︒∴35BAD C =∠=︒∠∵AB 是圆O 的直径∴90ADB ∠=︒∴18055ABD ADB BAD =︒--=︒∠∠∠故答案为：A ．【点睛】本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角是直角、三角形内角和定理是解题的关键．3．B解析：B【解析】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k 的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k 的值，再求出方程的两个根进行判断即可．试题解析：分两种情况：（1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得：32-12×3+k=0解得:k=27将k=27代入原方程，得：x 2-12x+27=0解得x=3或93，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去；（2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0，此时：144-4k=0将k=36代入原方程，得：x 2-12x+36=0解得：x=63，6，6能够组成三角形，符合题意．故k 的值为36．故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解．4．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x =1，而点（﹣1，0）关于直线x =1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x =﹣2b a=1，即b =﹣2a ，而x =﹣1时，y =0，即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，所以③错误； ∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．5．A解析：A【解析】【分析】根据配方法，先提取二次项的系数-3，得到()232y x x =--，再将括号里的配成完全平方式即可得出结果．【详解】解：()()()222236=323211313y x x x x x x x =-+--=--+-=--+，【点睛】本题主要考查的是配方法，正确的掌握配方的步骤是解题的关键．6．B解析：B【解析】试题解析：连接AD ，∵BC 是切线，点D 是切点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF=2∠EPF=80°，∴S 扇形AEF =280?283609ππ=， S △ABC =12AD•BC=12×2×4=4， ∴S 阴影部分=S △ABC -S 扇形AEF =4-89π． 7．A解析：A【解析】把22y x =向右平移3个单位长度变为：223()y x =-，再向下平移5个单位长度变为：22(3)5y x =--．故选A ．8．B解析：B【解析】A. y =3x −1是一次函数，故A 错误；B. y =3x 2−1是二次函数，故B 正确；C. y =(x +1)2−x 2不含二次项，故C 错误；D. y =x 3+2x −3是三次函数，故D 错误；故选B.9．D解析：D【解析】【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据二次项系数可判断开口方向，根据解析式可知顶点坐标及对称轴．【详解】解：由二次函数y=-（x+3）2+2，可知a=-1＜0，故抛物线开口向下；顶点坐标为（-3，2），对称轴为x=-3．故选：D ．【点睛】顶点式可判断抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，函数的增减性．10．C解析：C【解析】【分析】连结AC ，先由△AGH ≌△ADH 得到∠GHA ＝∠AHD ，进而得到∠AHD ＝∠HAP ，所以△AHP 是等腰三角形，所以PH ＝PA ＝PC ，所以∠HAC 是直角，再在Rt △ABC 中由勾股定理求出AC 的长，然后由△HAC ∽△ADC ，根据＝求出AH 的长，再根据△HAC ∽△HDA 求出DH 的长，进而求得HP 和AP 的长，最后得到△APH 的周长.【详解】∵P 是CH 的中点，PH ＝PC ，∵AH ＝AH ，AG ＝AD ，且AGH 与ADH 都是直角，∴△AGH ≌△ADH ，∴∠GHA ＝∠AHD ，又∵GHA ＝HAP ，∴∠AHD ＝∠HAP ，∴△AHP 是等腰三角形，∴PH ＝PA ＝PC ，∴∠HAC 是直角，在Rt △ABC 中，AC ＝＝10，∵△HAC ∽△ADC ，∴＝，∴AH ＝＝＝7.5，又∵△HAC ∽△HAD ，＝，∴DH ＝4.5，∴HP ＝＝6.25，AP ＝HP ＝6.25，∴△APH 的周长＝AP ＋PH ＋AH ＝6.25＋6.25＋7.5＝20.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是清楚直角三角形斜边上的中线是斜边的一半以及会运用相似三角形线段成比例求出各边长的长.11．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵20a ab -= ()0b ≠，∴a(a-b)=0，∴a=0，b=a．当a=0时，原式=0；当b=a时，原式=12，故选C12．C解析：C【解析】∵ y=2（x﹣3）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（3，2），对称轴为直线x=3，∴当3x 时，y随x的增大而增大.∴选项A、B、D中的说法都是错误的，只有选项C中的说法是正确的.故选C.二、填空题13．(34)【解析】【分析】根据二次函数配方的图像与性质即可以求出答案【详解】在二次函数的配方形式下x-3是抛物线的对称轴取x=3则y=4因此顶点坐标为（34）【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质解析：(3,4)【解析】【分析】根据二次函数配方的图像与性质，即可以求出答案.【详解】在二次函数的配方形式下，x-3是抛物线的对称轴，取x=3,则y=4，因此，顶点坐标为（3，4）.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质.14．4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE即可求解【详解】令y＝0则：x＝±1令x＝0则y＝2则：OB＝1BD＝2OB＝2S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝解析：4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．故：答案为4．【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．15．2或-1【解析】【分析】根据已知题意求第三边的长必须分类讨论即8是斜边或直角边的两种情况然后利用勾股定理求出另一边的长再根据内切圆半径公式求解即可【详解】若8是直角边则该三角形的斜边的长为：∴内切圆解析：2-1【解析】【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求出另一边的长，再根据内切圆半径公式求解即可.【详解】若8，∴内切圆的半径为：6+810=22-；若8=1.故答案为2【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.16．【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB的长再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环然后求出一个循环组旋转前进的长度再用2019除以3根据商为673可知第201解析：()8076,0【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2019除以3，根据商为673可知第2019个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【详解】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2019÷3=673，∴△2019的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵673×12=8076，∴△2019的直角顶点的坐标为（8076，0）．故答案为（8076，0）.【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．17．－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1一个交点为（10）可推出另一交点为（﹣30）结合图象求出y＞0时x的范围解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1已知一个交点为（1解析：－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．考点：二次函数的图象．18．【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球∴任意从口袋中摸出一个球来P（摸到白球）==解析：3 8【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）=353=38.19．20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=x2-6x-16可以求出AB=10；在Rt△COM中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20【详解】抛物线的解析式为y=x2-6x-16则D（0解析：20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=x 2-6x-16，可以求出AB=10；在Rt △COM 中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20．【详解】抛物线的解析式为y=x 2-6x-16，则D （0，-16）令y=0，解得：x=-2或8，函数的对称轴x=-2b a=3，即M （3，0）， 则A （-2，0）、B （8，0），则AB=10， 圆的半径为12AB=5， 在Rt △COM 中，OM=5，OM=3，则：CO=4，则：CD=CO+OD=4+16=20．故答案是：20.【点睛】考查的是抛物线与x 轴的交点，涉及到圆的垂径定理．20．(﹣31)【解析】【分析】根据二次函数y=a （x-h ）2+k （a≠0）的顶点坐标是（hk ）即可求解【详解】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1∴﹣b=1根据二次函数的顶点式方程y解析：(﹣3，1)【解析】【分析】根据二次函数y=a （x-h ）2+k （a ≠0）的顶点坐标是（h ，k ），即可求解．【详解】解：∵二次函数y =a (x +3)2﹣b (a ≠0)有最大值1，∴﹣b =1，根据二次函数的顶点式方程y =a (x +3)2﹣b (a ≠0)知，该函数的顶点坐标是：(﹣3，﹣b )， ∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)．故答案为：(﹣3，1)．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义．三、解答题21．(1)见解析;(2)1 3 .【解析】【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．【点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键. 22．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得806010050k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：k2b200=-⎧⎨=⎩∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x－30）（－2x+200）－450=－2x2+260x－6450=－2（x－65）2 +2000）（3）W =－2（x－65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．23．（1）12（2）当x=11时，y 最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y ，根据题意得到二次函数的解析式y=x （30-2x ）=-2x 2+30x ，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米．依题意可列方程 x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0．解得x 1＝3（舍去），x 2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x ≤18．解得6≤x ≤11．面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252； ②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.24．(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.25．（1）（300﹣10x ）．（2）每本书应涨价5元．【解析】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.试题解析：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．。
北京市西城区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
11.如图，在 中， ， ， ，则 __________．
【答案】
12.若抛物线 （ ）的示意图如图所示，则 ____0， ____0， ____0（填“ ”，“＝”或“ ”）．
【答案】(1). (2). (3).
13.如图， 为 的直径， ， 是弦， 于点 ，若 ，则 __________．
A. B. C. D.
【答案】B
7.近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 ，则可列出关于 的方程为（）．
【答案】（1） ，图象见解析；（2） 或 ．
21.如图， 为 的直径， 为弦，点 在 外， ， 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
22.如图，正方形 的边长为4，点 在 边上， ， 为 的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形 ，点 在线段 上运动（点 可与点 ，点 重合），作矩形 ，其中 ， 两点分别在 ， 边上．设 ，矩形 的面积为 ．
19.借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格， 的三个顶点是网格线的交点，点 在 边的上方， 于点 ， ， ， ．以 为直径作 ，射线 交 于点 ，连接 ， ．
（1）补全图形；
（2）填空： ______°，理由是__________；
（3）判断点 与 的位置关系并说明理由；
（4） ______ （填“ ”，“＝”或“ ”）．
2020-2021学年北京市海淀区九年级(上)期末数学测试卷
2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学测试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.分别写有数字0，−1，−2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，将卡片背面朝上洗匀后从中任意抽取一张，那么抽到正数的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 453.方程2x2−5x−3=0根的情况是()A. 方程有两个不相等的实根B. 方程有两个相等的实根C. 方程没有实根D. 无法判断4.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的一点，DE//BC，且AD︰AB=1︰2，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为()A. 1:4B. 1:3C. 1:2D. 2:35.圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是()A. πcm2B. 3πcm2C. 9πcm2D. 6πcm26.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=70°，∠C=()A. 70°B. 55°C. 110°D. 140°7.当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=a在同一坐标系中的图象可能是()xA. B.C. D.x+2的图象上．则m的值为()8.若点(3,m)在函数y=−13A. 0B. 1C. 2D. 3第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若反比例函数y=−3的图象上有两点A(−1,y1)、B(−2,y2)，则y1______y2(填“>”、x“<”或“=”)．10.若一元二次方程ax2−bx−2016=0有一根为x=−1，则a+b=______．11.如图，在△ABC中，DE//BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是______．12.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似，把△ABO缩小，则点A的对应点Aˈ的坐标是____．比为1213.在同样的条件下对某种小麦进行发芽试验，统计发芽种子数，获得频数及频率如下表：试验种子数n(粒) 1 5 50 200 500 1000 3000发芽频数m 0 4 45 188 476 951 2850发芽频率m n0 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95由表估计该麦种的发芽概率是______ ．14. 如图，AD 是⊙O 的直径，AB⏜=CD ⏜，若∠AOB =40°，则圆周角∠BPC 的度数是______．15. 如图，点A 、C 在反比例函数y =ax 的图像上，点B 、D 在反比例函数y =bx 的图像上，a >b >0，AB//CD//x 轴，AB 、CD 在x 轴的两侧，AB =34，CD =32，AB 与CD 间的距离为6，则a −b 的值是 ．16. 如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0,4)，直线y =34x −3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.17.解下列一元二次方程．(1)x2−8x+1=0；(2)2x2+1=3x．18.如图，△ABC中，D是AC上一点，E是BD上一点，∠A=∠CBD=∠DCE．(1)求证：△ABC∽△CDE；(2)若BD=3DE，试求的值．19.一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80km/ℎ的平均速度用了6ℎ到达乙地．(1)当他按原路返回时，求汽车平均速度υ(km/ℎ)与时间t(ℎ)之间的函数表达式；(2)如果该司机返回时用了4.8ℎ，求汽车返回时的平均速度．20.如图，已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB=AC．(1)求证：直径AD平分∠BAC．(2)若BC经过半径OA的中点E，点F是CD⏜的中点，点G是BF⏜的中点，⊙O的半径为1.求GF的长．21.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0，求证：方程总有两个实数根．22.小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4(背面完全相同)，现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．23.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC=200mm，高AD=150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．(1)设PN=x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，指出x的取值范围．(2)当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？(x>0)图象与直线y=x−2交于点24.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kxA(3,m)。
北京市清华大学附属中学2022-2023学年九年级下学期3月考数学试题(含答案解析)
北京市清华大学附属中学2022-2023学年九年级下学期3月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．被誉为“中田天眼”的FAST 望远镜首次发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为（）A ．25.1910-⨯B ．35.1910-⨯C ．551910-⨯D ．451910-⨯3．不．一定相等的一组是（）A ．a b +与b a +B ．3a 与a a a ++C ．3a 与a a a⋅⋅D ．()3a b +与3a b+4．一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形5．若将铅笔，直尺和圆规在桌面上随机排成一行，则圆规在中间的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．236．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=图象经过点()1,P m ，且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则点P 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能是（）A ．5B ．6C ．7D ．88．一件工作，已知每人每天完成的工作量相同，一个人完成需24天，若m 个人共同完成需n 天，选取6组数对(,)m n ，在坐标系中进行描点，则正确的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．若代数式13x -有意义，则实数x 的取值范围___．10．分解因式：2242a a ++=_________．11．如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，3OA =，30B ∠=︒，则扇形AOC （阴影部分）的面积为___．12．用一个a 的值说明命题“若0a >，则1a a>”是假命题，则这个值可以是=a ___．13．将抛物线2y x =向下平移b 0b >（）个单位长度后，所得新抛物线经过点12-（，），则b 的值为___．14．如图，在Rt ABC △中，90B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4BC =，则cos C 的值为___．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,3)，点P 为直线y x =上一动点，则线段AP 的最小值为___．16．某工厂生产I 号、II 号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A 款，B 款，C 款，且三款包装的重量及所含I 号、II 号产品的重量如下表：包装款式包装的重量（吨）含I 号新产品的重量（吨）含II 号产品的重量（吨）A 款633B 款532C 款523现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B 款、C 款的个数依次为______；（2）若装运的I 号产品不超过13吨．同时装运的II 号产品最多，则装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次为___．（写出一种即可）三、解答题17．计算：()034sin451π-+︒+18．解不等式组：247412x xxx ->+⎧⎪⎨--<⎪⎩19．已知2340x x +-=．求代数式()()()21211x x x +---的值．20．如图在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，E 为AC 中点，过点A 作AF BC ∥．交DE 的延长线于F ．连接CF ．(1)求证：四边形ADCF 为矩形；(2)若tan 2ACF ∠=，AD =DF 的长．21．已知关于x 的一元二次方程22320x mx m -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m 是负数，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数y kx b =+（0k ≠）的图象过点(2,3)-，(4,0)-．(1)求该函数的解析式；(2)当2x >-，对于x 的每一个值，函数y x m =-+的值都小于函数(0)y kx b k =+≠的值，请直接写出实数m 的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象在第一象限交于点()1,B b ．(1)求点A 的坐标和该反比例函数的表达式；(2)点M 在这个反比例函数图象上，过M 作平行于x 轴的直线，交y 轴于点C ．交直线2y x =+于点D ．连接OM ，OB ，OD ．若34OBD OCM S S = ，请直接写出点M 的坐标．24．如图，BA 是O 的直径，C 是O 上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE ．(1)求证：BE 与O 相切；(2)延长EC 交BA 的延长线于点F ．若2AF ＝，1tan 2ABC ∠=，求O 的半径长．25．已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O ，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在第一次跳跃时，空中飞行的高度y （米）与水平距离x （米）具有二次函数关系，记点A 为该二次函数图像与x 轴的交点，点B 为该运动员的落地点，BC x ⊥轴于点C ．相关数据如下：20OA =米，30OC =米，59tan BAC ∠=．(1)直接写出第一次跳跃的落地点B 的坐标：___；(2)请求出第一次跳跃的高度y （米）与水平距离x （米）的二次函数解析式___；(3)若该运动员第二次跳跃时高度y （米）与水平距离x （米）满足20.05 1.1y x x =-+．记他第二次跳跃时起跳点与落地点的水平距高为d 米，则d30（填“<”、“>”或“=”）．26．已知抛物()262(0)y ax a x a =+->，点(3,)m -，(1,)n -，0(,)x t 在该抛物线上．(1)若m n =，0t >，求0x 的取值范围；(2)若存在001x ≤≤．使得n t m <<，求a 的取值范围．27．如图，点D 为等边ABC 外一点，且点A ，D 位于直线BC 的两侧，60BDC ∠= ，过点A 作AE CD ⊥于E ，记CAE α∠=(1)求CBD ∠（用含α的式子表示）(2)证明：32AE =；(3)直接写出CE ，BD 与AE 的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形W 和点P ，若图形W 上存在点Q ，使得1P Q ''≤，其中点P '为点P 关于直线y x m =+的对称点，点Q '为点Q 关于y 轴的对称点，则称点P 为图形W 的“m -近对点”．已知点(2,1)A -，(1,2)B -．(1)当1m =时，①在点1(1,3)P -，2()1,1-P ，3(0,2)P 中，是点A 的“1-近对点”的是___；②若(0,)T t 是线段AB 的“1-近对点”，求t 的取值范围；(2)若线段OA 上存在线段OA 的“m -近对点”，直接写出m 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据中心对称和轴对称图形的定义逐个判断，从而得出选项．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；C 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；故答案是：C ．【点睛】本题考查轴对称图形的判定和中心对称图形的判定，掌握图形对称的基本概念，是求解的关键．2．B【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：30.00519 5.1910-=⨯，故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．D【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．【详解】解：A .a b +=b a +，故选项A 不符合题意；B .=3a a a a ++，故选项B 不符合题意；C .3=a a a a ⋅⋅，故选项C 不符合题意；D .()3333a b a b a b +=+≠+，故选项D 符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．4．B【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【详解】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n−2）×180°＝360°，解得：n＝4．故选：B．【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．5．B【分析】根据题意，使用列举法，可得随机排成一行，有6种情况，而圆规在中间的有2种，根据概率公式可得答案．【详解】解：如果把铅笔（Q），直尺（Z）和圆规（Y），随机排成一行，有Q、Z、Y；Y、Z、Q；Q、Y、Z；Z、Y、Q；Z、Q、Y；Y、Q、Z；共6种情况；其中有2种Y在中间，故圆规在中间的概率是21 63=，故选：B．【点睛】本题考查概率的求法与运用，注意使用列举法解题时，按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6．A【分析】根据反比例函数的增减性可得0k>，从而可得反比例函数的图象在第一、三象限，再根据点P的横坐标大于0即可得出答案．【详解】解： 反比例函数kyx=图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，k∴>，∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限，又 反比例函数kyx=图象经过点()1,P m，且10>，∴点P在第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．7．A【分析】连接112212,,,,OP PP OP PP PP ，根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】解：如图，连接112212,,,,OP PP OP PP PP ，∵P 1是P 关于直线l 的对称点，∴直线l 是PP 1的垂直平分线，∴1= 2.8OP OP =，∵P 2是P 关于直线m 的对称点，∴直线m 是PP 2的垂直平分线，∴2= 2.8OP OP =，当P 1，O ，P 2不在同一条直线上时，121212OP OP PP OP OP <<-+即120 5.6PP <<，当P 1，O ，P 2在同一条直线上时，1212 5.6PP OP OP =+=，∴1P ，2P 之间的距离可能是5，故选：A ．【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键．8．C【分析】根据题意建立函数模型可得24mn =，即24n m=，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．【详解】解：依题意可得：1124m n ⋅=，即：24mn =，∴24n m=，m ，0n >且为整数．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．9．3x ≠【分析】根据分式的分母不能为0即可得．【详解】解：由题意得：30x -≠，解得3x ≠，故答案为：3x ≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．10．2（a+1）2【详解】2242a a ++=2（a+1）2.故答案为2（a+1）2考点：因式分解11．32π【分析】直接由圆周角定理得出AOC ∠的度数，再利用扇形面积求法得出答案．【详解】∵30B ∠=︒，∴60AOC ∠=︒，∴扇形AOC （阴影部分）的面积为：260333602ππ⨯=，故答案为：32π．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，扇形面积求法，正确记忆扇形面积公式是解题关键．12．12（答案不唯一）【分析】根据a 与1a是倒数的关系，判断即可．【详解】解：当12a =时，则12a=，而122<，∴命题“若0a >，则1a a>”是假命题，故答案为：12（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．13．3【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点()12-，代入即可求得．【详解】解：将抛物线2y x =向下平移b ()0b >个单位长度后，所得新抛物线为2y x b =-，∵新抛物线经过点()12-，，∴21b -=-,∴3b =．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的平移知识内容等，解题的关键是得出平移后的表达式．14【分析】利用基本作图得到AG 平分BAC ∠，作GH AC ⊥，利用角平分线的性质得1HG BG ==，然后根据勾股定理求得CH 即可求得cos C 的值．【详解】解：由作法可知，AG 平分BAC ∠，作GH AC ⊥，∵90B Ð=°，GH AC ⊥，AG 平分BAC ∠，∴1HG BG ==，∵4BC =，则413CG BC BG =-=-=，∴CH =∴cos CH C CG =故答案为：3．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，勾股定理及求一个角的余弦值，掌握尺规作图作角平分线的方法是解决问题的关键．15【分析】可先设P 点坐标为(,)a a ，再根据两点间距离公式可求得答案．【详解】解：∵点P 为直线y x =上一动点，则设P 点坐标为(,)a a ，∴AP ===∵()220a -≥，∴当2a =时，AP ，．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，先设P 点坐标为(,)a a 是解题的关键，注意两点间距离公式的应用．16．3，1，11，1，3【分析】（1）设装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次x 、y 、z ，根据题意可得方程组565528x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，求解即可；（2）设装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次x 、y 、z ，则565528x y z x y z ++=⎧⎨++≤⎩，解得3x ≤，然后由装运的I 号产品不超过13吨，同时装运的II 号产品最多，可得不等式组3321332313x y z x y z ++≤⎧⎨++≥⎩，进一步分析即得结果．【详解】解：（1）设装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次x 、y 、z ，则565528x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得32x y z =⎧⎨+=⎩，由于x 、y 、z 为整数，且每种款式至少有1个，所以1,1y z ==，故答案为：3，1，1；（2）设装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次x 、y 、z ，则565528x y z x y z ++=⎧⎨++≤⎩，解得3x ≤，∵装运的I 号产品不超过13吨，同时装运的II 号产品最多，∴3321332313x y z x y z ++≤⎧⎨++≥⎩，当1,1,3===x y z 时，3321213,3231413,13142728x y z x y z ++=<++=>+=<，符合题目要求；故答案为：1，1，3．【点睛】本题考查了三元一次方程组和不等式组的应用，正确理解题意、列出相应的方程组和不等式组是解题的关键．17【分析】首先根据零指数幂运算、特殊角的三角函数值、利用二次根式的性质化简、化简绝对值，进行运算，再进行实数的混合运算，即可求得结果．【详解】解：()034sin451π-+︒141=+⨯【点睛】本题考查了零指数幂运算、特殊角的三角函数值、利用二次根式的性质化简、化简绝对值、实数的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．18．1x <-【分析】首先解每一个不等式，再求不等式组的解集即可．【详解】解：247412x x x x ->+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②由①解得：1x <-，由②解得：2x <所以，原不等式组的解集为1x <-．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是掌握不等式的解法，注意求解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．2【分析】首先由2340x x +-=移项，得到234x x +=，再根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则进行乘法运算，再合并同类项，再把234x x +=代入化简结果计算即可．【详解】解：2340x x +-= ，234x x ∴+=，()()()21211x x x ∴+---2222121x x x x x =-+--+-232x x =+-42=-2=【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是关键．20．(1)见解析；(2)DF =．【分析】（1）利用AAS 证明AEF CED △≌△，可得AF DC =，易证四边形ADCF 是平行四边形，由AD BC ⊥进而可证得四边形ADCF 为矩形；（2）由矩形性质可知，AD CF ==DF AC =，90AFC ∠=︒，由tan 2ACF ∠=，可得2AF CF ==AC ，即可求得结果．【详解】（1）证明： AF BC ∥，AFE CDE ∴∠=∠，点E 为AC 的中点，∴AE EC =，又AEF CED ∠=∠，()AAS AEF CED ∴△≌△，AF DC ∴=，又AF BC ∥，AF DC ∴∥，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD BC ⊥ ，90ADC ∴∠=︒，∴四边形ADCF 是矩形．（2）解：∵四边形ADCF 是矩形，∴AD CF ==DF AC =，90AFC ∠=︒，∵tan 2ACF ∠=，即：tan 2AF ACF CF∠==，∴2AF CF ==由勾股定理可得：AC =∴DF AC ==【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，已知正切求边长，掌握以上知识是解题的关键．21．(1)见解析(2)2m =-【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）先求出一元二次方程的两个根为12,2x m x m ==，再由m 是负数，且该方程的两个实数根的差为2，即可求解．【详解】（1）证明：∵21,3,2a b m c m ==-=，∴()2222434120b ac m m m ∆=-=--⨯⨯=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：22320x mx m -+=∴()()20x m x m --=，解得：12,2x m x m ==，∵m 是负数，即：0m <∴2m m >，∵该方程的两个实数根的差为2，∴22m m -=，解得：2m =-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键．22．(1)1y x 42=-(2)7m ≤-【分析】（1）通过待定系数法将点(2,3)-，(4,0)-代入解析式求出k b ，的值，进而可得函数的解析式；（2）根据题意得出142x m x -+<-，求出x 得取值范围，结合2x >-即可得出m 的取值范围．【详解】（1）解：∵一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点(2,3)-，(4,0)-，∴234k b b +=-⎧⎨=-⎩，解得：124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数的解析式为：1y x 42=-；（2）根据题意，由（1）可得：142x m x -+<-，解得：()243x m >+，∵当2x >-，对于x 的每一个值，函数y x m =-+的值都小于函数1y x 42=-的值，∴()2423m +≤-，解得：7m ≤-．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．23．(1)()0,2A ，3y x=(2)()3,1M 【分析】（1）求出当函数2y x =+的自变量0x =时，y 的值即可得点A 的坐标，再根据直线的解析式求出点B 的坐标，然后利用待定系数法即可得反比例函数的解析式；（2）先利用反比例函数的性质求出32OCM S = ，再分两种情况：①点M 在第一象限，②点M 在第三象限，求出3OBD S m =- ，根据34OBD OCM S S = 建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：对于函数2y x =+，当0x =时，2y =，()0,2A ∴，将点()1,B b 代入函数2y x =+得：123=+=b ，()1,3B ∴，将点()1,3B 代入k y x=得：133k =⨯=，则该反比例函数的表达式为3y x =．（2）解：设直线2y x =+与x 轴的交点为点N ，点M 的坐标为3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()0,,2,C m D m m -，3,OC m CM m ∴==，1322OCM OC CM S ∴=⋅= ，对于函数2y x =+，当0y =时，20x +=，解得2x =-，()2,0,2N ON ∴-=，①如图，当点M 在第一象限时，则0m >，11232322OBD OBN ODN S S m S m ∴=-=⨯⨯-⨯=- ，34OBD OCM S S = ，()34332m =∴-⨯，解得1m =，符合题意，则3331m ==，则此时点M 的坐标为()3,1；②如图，当点M 在第三象限时，则0m <，()11232322OBD OBN ODN S S S m m ∴=+=⨯⨯+⨯⋅-=- ，34OBD OCM S S = ，()34332m =∴-⨯，解得1m =，不符合题意，舍去，综上，点M 的坐标为()3,1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题关键．24．(1)见详解(2)3【分析】（1）OD BC ⊥，垂径定理得COE BOE ∠=∠，得到COE BOE △≌△，OCE OBE ∠=∠，EC 为O 的切线，即BE 与O 相切；（2）由（1）得90OBE ∠=︒，EC 为O 的切线，即得FOC FEB ∽，因为1tan 2ABC ∠=，所以12OD BD =，12OB BE =，然后列出等式即可．【详解】（1）证明：∵EC 为O 的切线，∴90OCE ∠=︒，∵OD BC ⊥，∴COE BOE ∠=∠，在COE 和BOE △中∵CO OB COE BOE OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴COE BOE △≌△，∴90OBE OCE ∠=∠=︒，BE 与O 相切；（2）解：由（1）得90OBE ∠=︒，90OBD EBD ∠+∠=︒，∵OD BC ⊥，∴90OEB EBD ∠+∠=︒，OBD OEB ∠=∠，∵1tan 2ABC ∠=，∴在BOD ，设OD x =，则2BD x =，OB =，2AB =，∵1tan 2ABC ∠=，OB =，2AF ＝，∴在OBE △，2BE =22FB =+∵EC 为O 的切线，∴90FCO ∠=︒，由（1）得90OBE ∠=︒，∵F F ∠=∠，∴FOC FEB ∽，∵FO CO FE BE =，2FE +=∴42FE =+∵在EBF △中，222EF FB EB =+，∴5x =，∵OB =，∴3OB =．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理和相似三角形性质等内容．25．(1)()30,18-(2)()20.06 1.20y x x x =-+≥(3)>【分析】（1）根据正切的定义求出BC 的长，由此即可得；（2）设该二次函数的解析式为()20y ax bx a =+≠，根据点,A B 的坐标，利用待定系数法求解即可得；（3）求出当函数20.05 1.1y x x =-+的函数值为18y =-时，x 的值，由此即可得．【详解】（1）解：20OA = 米，30OC =米，10AC OC OA ∴=-=米，BC x ⊥Q 轴，59tan BAC ∠=，95BC AC ∴=，即9105BC =，解得18BC =（米），由图像可知，点B 位于第四象限，()30,18B ∴-，故答案为：()30,18-．（2）解：由题意，设该二次函数的解析式为()20y ax bx a =+≠，20OA = 米，()20,0A ∴，将点()()20,0,30,18A B -代入2y ax bx =+得：4002009003018a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得0.061.2a b =-⎧⎨=⎩，则该二次函数的解析式为()20.06 1.20y x x x =-+≥，故答案为：()20.06 1.20y x x x =-+≥．（3）解：对于二次函数20.05 1.1y x x =-+，当18y =-时，20.05 1.118x x -+=-，解得11x =或110x =<（不符合题意，舍去），则11d =1130190+== ，1130∴+，即30d >，故答案为：>．【点睛】本题考查了正切、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26．(1)00x >或04x <-(2)1233a <<【分析】（1）将点(3,)m -，(1,)n -，0(,)x t 代入抛物线解析式，再根据m n =得出1a =，20040t x x =+>，求解不等式即可；（2）根据m n >可得01a <<，进而求得11a >，由直线对称轴为13x a =-+，展开讨论，①当113a<<时，即113a <<，此时，对称轴1230x a -<=-+<，当001x ≤≤时，y 随x 增大而增大，若要存在n t m <<，则需要690a ->，②当13a ≥时，即：13a ≤，此时，对称轴130x a=-+>，且250n a =->，比较函数72a -与n 的大小，发现不存在t n >，进而可得a 的取值范围．【详解】（1）解：∵当0x =时，0y =，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0,0)，∵点(3,)m -，(1,)n -，0(,)x t 在该抛物线()262(0)y ax a x a =+->上，m n =，∴()()936262a a a a --=--，()20062t ax a x =+-，∴1a =，∵0t >，()20062t ax a x =+-，∴20040t x x =+>，即：()0040x x +>，∴00040x x >⎧⎨+>⎩或00040x x <⎧⎨+<⎩，∴0x 的取值范围为：00x >或04x <-；（2）∵点(3,)m -，(1,)n -在该抛物线()262(0)y ax a x a =+->上，∴69m a =-，25n a =-，∵n t m <<，∴2569a a -<-，可得，01a <<，∵抛物线的对称轴为直线62132a x a a -=-=-+，∵01a <<，∴11a>，①当113a <<时，即113a <<，此时，对称轴1230x a -<=-+<，则当001x ≤≤时，y 随x 增大而增大，当00x =时，0y =，当01x =时，72y a =-，则072t a ≤≤-∴720a -≥，即27a ≥，若要存在n t m <<，则需要690a ->，即23<a ，亦即：1233a <<；②当13a ≥时，即：13a ≤，此时，对称轴130x a=-+>，且250n a =->，()72251240a a a ---=-≤，即2572a a -≥-即当001x ≤≤时，不存在t n >，综上，1233a <<．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，熟悉二次函数的性质是解决问题的关键．27．(1)90CBD α∠=︒+(2)见解析(3))AE BD CE =+【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得60ACB ∠=︒，根据直角三角形的性质可得90ACD α∠=︒-，可得30BCD α∠=︒-，再根据三角形内角和定理，即可求解；（2）延长DC 到点F ，使=CF BD ，首先根据等边三角形的性质，可证得AC CB =，根据90ACD α∠=︒-，可证得ACF CBD ∠=∠，即可证得()SAS ACF CBD △≌△，再根据全等三角形的性质及解直角三角形，即可证得结论；（3）根据解直角三角形即可求解．【详解】（1）解：ABC 是等边三角形，60ACB ∠=︒∴，AE CD ⊥Q ，90AEC ∴∠=︒CAE α∠= ，9090ACD CAE α∴∠=︒-∠=︒-，906030BCD ACD ACB αα∴∠=∠-∠=︒--︒=︒-，()180180306090CBD BCD BDC αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒=︒+；（2）证明：如图：延长DC 到点F ，使=CF BD ，ABC 是等边三角形，AC CB ∴=，90ACD α∠=︒- ，()1801809090ACF ACD αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，ACF CBD ∴∠=∠，在ACF △与CBD △中，AC CB ACF CBD CF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ACF CBD ∴△≌△，AF CD ∴=，60F BDC ∠=∠=︒，∴在Rt AEF △中，sin AE AF F =⋅∠=，AE ∴=；（3）解：如上图：在Rt AEF △中，60F ∠=︒，)tan AE EF F CF CE ∴=⋅∠==+，CF BD =，)AE BD CE ∴=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．28．(1)①1P ，3P；②34t ≤≤；(2)2m ≤≤．【分析】（1）①根据对称作图，找到对应点，结合定义判断即可；②利用对称作图，表示出T '与线段A B ''上的点之间的距离，根据定义求解即可；（2）作线段OA 与O A '''关于直线y x m =+的对称，求出O '，A ''的坐标，作线段OA 与线段OA '关于y 轴对称，找到满足1P Q ''≤的点P '的区域，在结合O '，A ''的坐标，分类进行找临界点，求出临界值即可（具体分析见解析）．【详解】（1）解：当1m =时，在坐标系中画出直线1y x =+，作出线段AB 关于y 轴对称的线段A B ''，则(2,1)A '，(1,2)B '，点Q '在线段A B ''上，①在坐标系中描出点1(1,3)P -，2()1,1-P ，3(0,2)P ，并作出它们关于直线1y x =+对称的点，则1(2,0)P '，2(2,2)P -'，3(1,1)P '，根据坐标可得，11A P ''=，21A P ''=，31A P ''=，∴点1P ，3P 是点A 的“1-近对点”，故答案为：1P ，3P ；②设直线1y x =+与y 轴交于M ，当0x =时，1y =，即：()0,1M ，又∵(2,1)A '，(1,2)B '，∴MB A B '''==2MA '=，故MA B ''△为等腰直角三角形，∴45B A M B MA ''''∠=∠=︒，MB A B '''⊥，则45B MT '∠=︒则T '为点T 关于直线1y x =+的对称点应在直线A M '上，当T 在M 下方时，T '在y 轴左侧，此时在线段A B ''显然不存在点Q '能使1T Q ''≤；当T 在M 上方时，∵(0,)T t ，则1MT t =-，则1MT t '=-，若T '在A '左侧，则()213T A t t ''=--=-，由于MB A B '''⊥，则T '与线段A B ''上的点最短的长度为T '与线段A B ''的垂线段的长度：)sin 4532T A t ''⋅︒=-，当)312t -≤，存在Q '能使1T Q ''≤；此时(0,)T t 是线段AB 的“1-近对点”，即：3t ≥若T '在A '右侧，则()123T A t t ''=--=-，此时135B A T ''∠=︒为钝角，则T '到线段A B ''最短的长度为3T A t ''=-，当31t -≤，存在Q '（即点A '）能使1T Q ''≤；此时(0,)T t 是线段AB 的“1-近对点”，即：4t ≤，综上：当(0,)T t 是线段AB 的“1-近对点”时，t 的取值范围为34t ≤≤；（2）作线段OA 与线段OA '关于y 轴对称，可知()2,1A '，将线段OA '绕点O 逆时针旋转90︒得OC ，则()1,2C -，则直线OC 解析式为2y x =-，且与OA '垂直，作线段OA 与O A '''关于直线y x m =+的对称，作AD x ∥轴，交y x m =+于点D ，连接DA ''，结合（1）可知，AD 与y x m =+的夹角为45︒，则DA ''与y x m =+的夹角为45︒，故DA DA ''⊥，且DA DA ''=，当1y =时，1x m =+，得1x m =-，即：()1,1D m -，∴点A ''的纵坐标为：()1122m m ----=-⎡⎤⎣⎦，即：()1,2A m m ''--，同理可得：(),O m m '-，设O A '''的解析式为y kx b =+，代入O '，A ''可得：()12m k b m mk b m ⎧-+=-⎨-+=⎩，解得：2k b m =-⎧⎨=-⎩，即线段O A '''是直线2y x m =--上的一部分，∴O A OC '''∥，则O A OA ''''⊥，点Q '在线段OA '上，则1P Q ''≤，当存在P '在以O 和A '为圆心，半径为1的圆，和距离直线OA '距离为1的直线之间时，（即如下图，点P '在矩形MNRS 和以O 和A '为圆心的两个半圆围成的封闭区域内，且2MN SR ==）∴MN OA '⊥，且MN 与2y x =-重合，则线段O A MN '''∥，若要使得线段OA 上存在线段OA 的“m -近对点”，则只需要满足线段O A '''有点在封闭区域内即可，找到临界点即可，当0m >时，此时O A '''在MN 的左侧，∴当A ''在半圆上时为临界点，即：()()22121m m -+-=，解得：1m =或2m =，结合图形，当1m =时，A ''不为临界位置，故舍去；当0m <时，此时O A '''在MN 的右侧，∴当O '在线段NR 上为临界点，由()2,1A '，可知OA '与x 轴夹角α的余弦值为cos5α==，正弦值为sin 5α==，由互余可知，ON 与y 轴的夹角也为α，故()sin ,cos N ON ON αα⋅-⋅，即：N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得NR 的解析式为：122y x =-，∵(),O m m '-在NR 上，∴12m m =-，解得：m =综上，线段OA 上存在线段OA 的“m -近对点”，则m 的取值范围2m ≤≤．【点睛】本题考查了轴对称相关知识，一次函数的性质，锐角三角函数，图形W 的“m -近对点”，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。