数学物理方法复习资料及参考答案(一)
《数学物理方法》第一章作业参考解答
《数学物理方法》第一章作业参考解答1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数),(),()(ϕρϕρiv u z f +=的C-R 条件为∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11 证：由于复变函数)(z f 可导，即沿任何路径，任何方式使0→∆z 时，z z f z z f ∆−∆+)()(的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径，（1）沿径向，0→∆=∆ϕρi e z.ϕϕρρϕρρϕρρϕρϕρϕρρϕρρϕρϕρρi i e v i u e iv u iv u z f f −→∆∂∂+∂∂=∆−−∆++∆+=∆−∆+),(),(),(),(),(),(),(),(lim（2）沿半径为ρ的圆周，()()ϕρρρρϕϕϕϕϕ∆≈−=∆=∆∆+i i i i e i e e e zϕϕϕϕϕρϕϕρϕϕρϕρϕρϕρϕϕρϕϕρρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρi i i i e u i v ie iv u iv u e e iv u iv u zf f −∆→∆∂∂−∂∂=∆−−∆++∆+=−−−∆++∆+=∆−∆+1),(),(),(),(),(),()1(),(),(),(),(),(),(lim以上两式应相等，因而，ϕρρ∂∂=∂∂vu 1 ϕρρ∂∂−=∂∂u v 1 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族C xy =,求电场线族，并求此电场的复势（约定复势的实部为电势）。
如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？解：0)(2=∇xy xy y x u =∴),(由C-R 条件可得C x x b x y u x b x v x b y y x v y x u y v +−=⇒−=∂∂−=′=∂∂+=⇒=∂∂=∂∂2221)()()(21),(C y x y x v +−−=)(21),(22电场线族为：（或者：由 +−=+−=∂∂+∂∂=222121),(y x d ydy xdx dy y v dx x v y x dv ，得C y x y x v +−−=)(21),(22）iC z i i C y x xy +−=+−−+=2222)(21w 复势为：若虚部为电势，则xy y x v =),(同理由C-R 条件可得Cx x A x y v x A x u x A y y x u y x v y u +=⇒=∂∂=′=∂∂+−=⇒−=∂∂−=∂∂2221)()()(21),(C y x y x u +−=)(21),(22C z ixy C y x +=++−=22221)(21w 复势为：3．讨论复变函数||)(xy iy x z f =+=在0=z 的可导性？（提示：选择沿X 轴、Y 轴和Y=aX 直线讨论）解：考虑当函数沿y=ax 趋近z=0时2)(ax z f = )1()1(||||lim )()(lim00+±=+∆−∆+=∆−∆+→∆→∆ia aia x x a x x a z z f z z f x z 可见上式是和a 有关的，不是恒定值所以该函数在z=0处不可导4.判断函数()()111)(2−++=−+=z z z z z z f 的支点，选定一个单值分支)(0z f ，计算)(0x f ？计算)(0i f −的值？ 解：可能的支点为∞−=,1,1,0z 。
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
22
22
解： ， ，它表示两相切 x2 + (y − 1)2 > 1 22
x2 + (y − 3)2 > 1 22
1
圆半径为 2 的外部区域。
(9).Im z > 1且 z < 2;
解：此图形表示半径为 2 的圆的内部，
4
且Im z >1的部分，它是区域。 ） (10). z < 2且0 < arg z < π ;
， 得 ，即 。 x2 + y2 =1
arg ( x + iy) = π
2
x = 0, y = 1
z=i
7
20.试求 及 。 (1+ i)i,3i,ii,e2+i
Ln(1+ i)
解： ii
= eiLni
i(π +2kπ )i
=e 2
−π −2kπ
=e 2 ,k
= 0, ±1, ±2,⋅⋅⋅
， (1+ i)i
03
2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右
半单位圆，（3）左半单位圆。
8
解： ， （1）令z = it(−1 ≤ t ≤ 1)，dz = idt， z = t
i
1
1
1
∫ ∫ ∫ ∫ 所以 z dz = t idt = i (−t)dt + i tdt = i
−i
−1
−1
0
(2).令：z = cosθ + i sinθ (− π ≤ θ ≤ π )，dz = (− sinθ + cosθ )dθ，
k = 0, ±1, ±2,⋅⋅⋅
3i = eiLn3 = ei(ln3+2kπ ) = cos ln 3 + i sin ln 3
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
高考物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题含解析
高考物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题含解析一、数学物理法1．两块平行正对的水平金属板AB ，极板长0.2m L =，板间距离0.2m d =，在金属板右端竖直边界MN 的右侧有一区域足够大的匀强磁场，磁感应强度3510T B -=⨯，方向垂直纸面向里。
两极板间电势差U AB 随时间变化规律如右图所示。
现有带正电的粒子流以5010m/s v =的速度沿水平中线OO '连续射入电场中，粒子的比荷810C/kg qm=，重力忽略不计，在每个粒子通过电场的极短时间内，电场视为匀强电场（两板外无电场）。
求： (1)要使带电粒子射出水平金属板，两金属板间电势差U AB 取值范围；(2)若粒子在距O '点下方0.05m 处射入磁场，从MN 上某点射出磁场，此过程出射点与入射点间的距离y ∆；(3)所有粒子在磁场中运动的最长时间t 。
【答案】(1)100V 100V AB U -≤≤；(2)0.4m ；(3) 69.4210s -⨯ 【解析】 【分析】 【详解】(1)带电粒子刚好穿过对应偏转电压最大为m U ，此时粒子在电场中做类平抛运动，加速大小为a ，时间为t 1。
水平方向上01L v t =①竖直方向上21122d at =② 又由于mU qma d=③ 联立①②③得m 100V U =由题意可知，要使带电粒子射出水平金属板，两板间电势差100V 100V AB U -≤≤(2)如图所示从O '点下方0.05m 处射入磁场的粒子速度大小为v ，速度水平分量大小为0v ，竖直分量大小为y v ，速度偏向角为θ。
粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R ，则2mv qvB R=④ 0cos v v θ=⑤2cos y R θ∆=⑥联立④⑤⑥得20.4m mv y qB∆== (3)从极板下边界射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长。
如图所示粒子进入磁场速度大小为v 1，速度水平分量大小为01v ，竖直分量大小为v y 1，速度偏向角为α，则对粒子在电场中011L v t =⑦11022y v d t +=⑧ 联立⑦⑧得101y v v =101tan y v v α=得π4α=粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R'，则211mv qv B R ='⑨ 1mv R qB'=⑩ 带电粒子在磁场中圆周运动的周期为T12π2πR m T v qB'==⑪在磁场中运动时间2π(π2)2πt T α--=⑫联立⑪⑫得663π10s 9.4210s t --=⨯=⨯2．如图所示，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为q (q ＞0)、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ′．球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(02πθ<<)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度B 的最小值及小球P相应的速率．(已知重力加速度为g )【答案】min 2cos m g B q R θ=cos gRv θθ=【解析】 【分析】 【详解】据题意，小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O’．P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力f ＝qvB ①式中v 为小球运动的速率．洛仑兹力f 的方向指向O’．根据牛顿第二定律cos 0N mg θ-= ②2sin sin v f N mR θθ-= ③由①②③式得22sin sin 0cos qBR qR v v m θθθ-+=④由于v 是实数，必须满足222sin 4sin ()0cos qBR qR m θθθ∆=-≥ ⑤由此得2cos m gB q R θ≥⑥可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为min 2cos m gB q R θ=⑦此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为min sin 2qB R v m θ=⑧由⑦⑧式得sin cos gRv θθ=⑨3．如图所示，在竖直分界线MN 的左侧有垂直纸面的匀强磁场，竖直屏与MN 之间有方向向上的匀强电场。
数学物理方法(一)——解析函数与留数定理_北京大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数学物理方法（一）——解析函数与留数定理_北京大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.已知【图片】是函数【图片】的【图片】阶零点，则函数【图片】在【图片】点处的留数为参考答案:m2.【图片】点是【图片】的参考答案:本性奇点3.若函数【图片】在【图片】点可导，则C-R条件参考答案:在该点成立4.当z →∞时，sinz 之值参考答案:与z →∞的方式有关5.已知【图片】是函数【图片】的【图片】阶极点，则函数【图片】参考答案:−(m + 1)6.已知一复数，有确定的模而辐角不定，则参考答案:此复数为7.已知【图片】是函数【图片】的【图片】阶极点，则函数【图片】在【图片】点处的留数为参考答案:−m8.【图片】点是函数【图片】的参考答案:解析点 (或可去奇点)9.函数在【图片】内解析的定义是参考答案:函数在内处处可导10.【图片】点是【图片】(沿实轴直接连接【图片】与【图片】作割线)的参考答案:极点11.指出函数【图片】在【图片】点的性质参考答案:解析点 (或可去奇点)12.已知【图片】，则：参考答案:一定为实数13.在【图片】上给定一个复数序列，则此序列参考答案:存在聚点，但数量不定14.已知函数【图片】和【图片】分别以【图片】为【图片】和【图片】阶极点，且【图片】，则函数【图片】在【图片】点的性质：参考答案:mn 阶零点_解析点（或可去奇点）15.【图片】【图片】参考答案:π/216.已知函数【图片】和【图片】分别以【图片】为【图片】和【图片】阶零点，且【图片】，则函数【图片】在【图片】点的性质：参考答案:m−n 阶零点17.【图片】在【图片】点的性质参考答案:非孤立奇点_多值函数的枝点。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法习题及解答1
数学物理方法习题及解答1试题1一、单项选择题1.复通区域柯西定理（）（A ）0)(=?dz z f l（B ）0)(1=∑?=n i l idz z f （C ）0)()(1=+∑??=ni l lidz z f dz z f （l 是逆时针方向，i l 也是逆时针方向）(D)0)()(1=+∑??=ni l lidz z f dz z f （l 是逆时针方向，i l 是顺时针方向）2.周期偶函数:,cos)(10为其中k k k a lxk a a x f ∑∞=+=π：（）（A ）?=lk d l k f l a 0cos )(1ξπξξ （B ）?-=ll k d l k f l a ξπξξcos )(1（C ） ?=lk k d l k f l a 0cos )(1ξπξξδ （D ）?lkk d lk f l a 0cos)(2ξπξξδ 3.柯西公式为：（）（A ）ξξξπd z f i n z f l ?-=)(2!)( (B) ξξξπd z f i z f l ?-=)(21)( (C) ξξξπd z f i z f l n ?-=)()(21)( (D) ξξξπd z f i n z f l n ?-=)()(2!)( 4.在00=z 的邻域上把()=z f 2zz )(sin 展开为（）（A ）+-+-!6!4!21642z z z(B) +-+-!7!5!31642z z z (C) +-+-6421642z z z(D) +-+-!7!5!31864z z z5.求()z z f sin 1=在z 0=πn 的留数为（）（A ）!1n （B ）n （C ）n )1(- （D ）16.以下那一个是第一类边界条件（）（A ）)(),(t f t x u ax == （B ）)(,()t f t x u ax n == （C ）)()(t f H u ax n u =+= （D ）lx ttlx xu Mg t x u ==-=),(7.下列公式正确的为：（A ）)()()(0x f dx x x f t =-?+∞∞-δ （B ）0)()(0=-?+∞∞-dx x x f t δ （C ）∞=-?+∞∞-dx x x f t )()(0δ （D ）)()()(0t t f dx x x f =-?+∞∞-δ8.勒让德方程为（A ）0)1(2)1(222=++--y l l dx dy x dx yd x（B ）0]1)1([2)1(22222=--++--y x m l l dx dy x dx y d x（C ）0)(22222=-++y dx dy x dx ym x d x（D ）0)(22222=+-+y dxdy x dx y m x d x9.m 阶贝塞尔方程为：（A ）0)(22222=--+R m x dx dR x dx R d x （B ）0)(22222=-++R m x dx dR x dx R d x （C ）0)(22222=+-+R m x dxdR x dx R d x （D ）0)(2222=-++R m x dxdR x dx R d x 上 10Z 0是方程W ‘’+P （Z ）W ‘+Q （Z ）W=0的正则奇点，用级数解法求解时，这个方程的“判定方程“为（A ）0)1(21=++---q sp s s （B ）0)1(21=++--q sp s s （C ）0)1(11=++---q sp s s （D ）0)1(22=++---q sp s s二、填空题1、已知解析函数22),()(y x y x u z f -=的实部，则这个解析函数为。
数学物理方法参考答案
数学物理方法参考答案数学物理方法参考答案数学物理方法是一门综合性的学科，它将数学和物理相结合，通过数学方法来解决物理问题。
在物理学的研究中，数学方法起到了至关重要的作用。
本文将为读者提供一些数学物理方法的参考答案，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、微积分微积分是数学物理方法中最基础也是最重要的一部分。
它包括了导数、积分和微分方程等内容。
在物理学中，微积分可以用于描述物体的运动、求解力学问题、计算电磁场等等。
下面是一些常见的微积分问题的参考答案：1. 求解函数的导数：对于一个函数f(x)，求它的导数f'(x)。
可以使用导数的定义，即f'(x) =lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
也可以使用求导法则，如常数法则、幂法则、指数函数法则、对数函数法则等。
2. 求解定积分：对于一个函数f(x)，求它在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx。
可以使用定积分的定义，即将区间[a, b]划分为若干小区间，然后对每个小区间求和，再取极限。
也可以使用定积分的性质，如线性性、区间可加性、换元积分法等。
3. 求解微分方程：对于一个微分方程，求它的通解或特解。
可以使用常微分方程的解法，如变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
也可以使用偏微分方程的解法，如分离变量法、特征线法、变换法等。
二、线性代数线性代数在数学物理方法中也扮演着重要的角色。
它包括了矩阵、向量、线性方程组等内容。
在物理学中，线性代数可以用于描述物体的旋转、变换、矢量运算等。
下面是一些常见的线性代数问题的参考答案：1. 求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，求它的解x。
可以使用高斯消元法，将线性方程组转化为阶梯形或行最简形，然后逐步求解。
也可以使用矩阵的逆，即x=A^(-1)b。
2. 求解特征值和特征向量：对于一个矩阵A，求它的特征值和特征向量。
可以使用特征方程，即det(A-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
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数学物理方法复习资料及参考答案（一）一、填空题： 1. 复数ii-+11用三角式可表示为 （主辐角[)π2,0）。
2. 已知幂级数∑∞=0k kk za 和∑∞=0k kk zb 的收敛半径分别是1R 和2R ，则幂级数()∑∞=±0k k k kz b a的收敛半径为： 。
3. 勒让德多项式()l P x 的模l N = ()0,1,2,l =。
4. 在00=z 的邻域上，ze zf 1)(=展开的洛朗级数为： 。
5. 函数2)2)(1()(--=z z z z f 的留数)1(resf ＝ 。
6. 求解无限长弦的自由振动，设弦的初始位移为)(x ϕ，初始速度为)(/x a ϕ-，=),(t x u 。
7. 在00=z 的邻域上，z z f sin )(=的泰勒级数为： 。
8. 幂级数()∑∞=-11k ki z k 的收敛圆： 。
9. 数理方程中的定解条件包括三大类 初始条件 、 和 衔接条件 。
10. 在本征值问题()()()'''12012--+=-1<<±1⎧⎨⎩x y xy y x y λ有限中，方程()'''1202--+=x y xy y λ称为___ _ __微分方程，该本征值问题的本征值λn =___ _ ，相应本征函数是y x n ()=__________，其中n=___ _ ____，该本征函数称为______ __ _，写出它的表达式(至少一种)：___________ _____。
二、简答题：1、孤立奇点分为几类？如何判别？2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。
三、基础题：1、计算实变函数定积分()()222294x dxI xx ∞=++⎰2、已知解析函数()f z 的实部233),(xy x y x u -=，0)0(=f ，求虚部和这个解析函数。
3、设)0()(>=-ββtet f ，证明te d t ββπωωβω-∞=+⎰2cos 022 4、试证递推公式()()()()()21111n xP x nP x n P x n n n +-=+-+四、综合题： 1、求解定解问题u a u x l t u t u l t u x u x x l xl tt xx x t =<<>====+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪200000000232(,)(,),(,)(,)(,)sin sinππ2、求解定解问题u u u a u a A ρρρϕϕρρρϕϕ++=>=⎧⎨⎪⎩⎪1102()(,)sin3、求解定解问题u r u ru u r u rr r +++=<=⎧⎨⎪⎩⎪2101122(cos sin )()(,)cos θθθθθθθ参考答案一、填空题：（每空2分，共30分） 1.2sin2cosππi + 2.},m in{21R R3.122+l4.∑∞=0)1(!1k kzk5.16.)(at x -ϕ7. +-+-!7!5!3!1753z z z z 8.1=-i z 9.边界条件 10.勒让德、 )1(+n n 、 )(x P n 、 ,2,1,0=n 、 勒让德多项式、nnnn n x dx d n x P )1(!21)(2-=或∑=-----=]2[02)!2()!(!2)!22()1()(n k n k n k n k n k n k x k n x P二、简答题（每题5分，共10分） 1. 可去奇点、极点、本性奇点。
(→→→⎧⎪⎪∞⎨⎪⎪⎩0000z z z z z z 可去奇点： l imf(z)=a 有限值） 或无负幂项极点： l imf(z)=或有有限个负幂项本性奇点： l imf(z)=不存在 或有无限多个负幂项2. ①有无穷多个本征值： ≤≤≤321λλλ相应地有无穷多个本征函数： ),(),(),(321x y x y x y ②所有的本征值都大于或等于零：0≥n λ③相应于不同本征值m λ和n λ的本征函数)(x y m 和)(x y n ，在区间[]b a ,上带权重)(x ρ正交，即：⎰=ban m dx x x y x y 0)()()(ρ④本征函数族 ),(),(),(321x y x y x y 是完备的。
三、基础题（每题6分，共24分） 1. 解：因为被积函数是偶函数，所以()()22221294x dxI x x ∞-∞=++⎰ 本题中，()()()()()()2222222223349)(i z i z i z i z z z zz z f -+-+=++=它在上半平面的奇点有两个：一阶极点i z 3=，二阶极点i z 2=， ……（2分）()()()503493lim )3(Re 22223iz zz i z i sf iz =++-=→ ()()()()20013492!121lim )2(Re 222222i z z z i z dz d i sf i z -=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++--=→ ……（2分） 所以，20020013503221ππ=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅=i i i I ……（2分） 2. 解：xy yuy x xu6,3322-=∂∂-=∂∂ ……（2分） 由R C -条件，得：2233y x xu y v -=∂∂=∂∂， 则：)(3)33(3222x y y x dy y x v ϕ+-=-=⎰得：)6()(6/xy yu x xy x v --=∂∂-=+=∂∂ϕ， C x x ==⇒)(,0)(/ϕϕ得：C y y x v +-=323，（C 为常数） ……（2分）iC z iC iy x C y y x i xy x iv u z f +=++=+-+-=+=333223)()3(3)(因为：0,0)0(=⇒=iC f ， 0=⇒C ， 故：3)(z z f = ……（2分）3.证：先对原式进行拉普拉斯变换有：22121)(ωβπβπωωβ+⋅==⎰∞∞---dt e eF t i t……（3分） 再对上式进行拉普拉斯逆变换有：tti t i e d t dw e d e F t f βωωωωβωπβωβπβωω-∞∞-∞∞-∞∞-=+=+⋅==⎰⎰⎰2222cos 21)()( 命题得证。
……（3分）4. 证： 由母函数公式：∑∞==+-02)(211n n n x P r r rx对r 求导，得：∑∞=-=+--01232)()21(n n n x P nr r rx r x ……（3分） 两边同乘以)21(2r rx +-，得：∑∞=-+-=+--0122)()21(21n n n x P nr r rx r rx r x再由母函数公式，得：∑∑∞=-∞=+-=-012)()21()()(n n n n n nx P nr r rx x P rr x比较两边的nr 的系数，得：)()1()(2)()1()()(111x P n x xnP x P n x P x xP n n n n n -+--+-+=-整理后，命题得证。
……（3分）四、综合题：（每题12分，共36分） 1.解：令()()()t T x X t x u =, 由分离变量法解得：()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+=+=l at n B l at n A t T l xn x X l n n 2)12(sin 2)12(cos 2)12(sin )()2()12(222ππππλ本征函数：本征值： …（6分） 得：()l xn l at n B l at n A t x u n n n2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos,0πππ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∑∞= …（2分） 代入初始条件有，()0,02)12(sin0,0=⇒=+=∑∞=n n n A lxn A x u π()lxl x l x n l a n B x u n nt 23sin 2sin 2)12(sin 2)12(0,0ππππ+=++=∑∞= 比较两边系数可得：)1,0(0,32,2123,12101≠===⇒==n B alB a l B l a B l aB n ππππ故：()lxl at a l l x l at a l t x u 23sin23sin 322sin 2sin 2,ππππππ+= …（4分） 2.解：极坐标系下，拉普拉斯方程的通解为：∑∑∞=-∞=+++++=1100)sin cos ()sin cos (ln ),(m m m m m m m mm D m C m B m A D C u ϕϕρϕϕρρϕρ…（4分）考虑圆外自然边界条件：0,0,0===⇒→∞→D B A u m m 有限值，ρ …（2分）则可得：∑∞=-+=0)sin cos (),(m m m m m D m C u ϕϕρϕρ …（2分）由边界条件：ϕϕϕϕsin )sin cos (),(0A m D m C a a u m m m m =+=∑∞=-比较两边系数可得：))1(0,,,0111≠==⇒==-m D aA D A D a C m m …（2分）故：ϕρϕρsin ),(aA u = …（2分）3.解：由于边界条件与ϕ无关，故可以球坐标系的极轴为对称轴，则轴对称情况下拉普拉斯方程通解为：∑∞=++=01)(cos )(),(l l l Ll l P rB r A r u θθ …（4分） 考虑圆心的自然边界条件：00=⇒==l r B u 有限值， …（2分） 则可得：∑∞==)(cos ),(l ll lP r A r u θθ …（2分）由边界条件：)(32)(31cos )(cos ),1(20220x P x P x P A u l l l +====∑∞=θθθ 比较两边系数可得：)2,0(0,32,3120≠===l A A A l …（2分） 故：)(cos 32)(cos 31),(220θθθP r P r u += …（2分）。