全国2010年10月高等教育高等数学(工本)自考试题

全国2010年10月高等教育高等数学（工本)自考试题 4

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.以下哪个性质或量不是仿射不变性质或仿射不变量?（）

A.二直线间的平行性

B.两个三角形的面积之比

C.线段的长度

D.一直线上两线段之比

2．在仿射平面上，一组平行直线上的无穷远点有（）

A.唯一一个

B.两个

C.无穷多个

D.没有

3.设A,B,C,D是共线四点，取A和B为基底，将这四点的齐次坐标顺次表达为a,b,a＋λb,a+μb,则交比(AB,CD)=（）

A.λμ

B.λ-μ

C.λ/μ

D.μ/λ

4.以ABC为坐标三角形，E为单位点建立平面射影坐标系，则A,E的射影坐标分别为（）

A.(0,0,1),(1,1,0)

B.(0,1,0),(1,1,-1)

C.(1,0,0),(1,1,1)

D.(1,1,1),(1,0,0)

5.以下说法不正确的是（）

A.自极三角形中每个顶点都是其对边的极点

B.自极三角形的顶点关于二次曲线两两共轭

C.自极三角形中每条边都是其对顶点的极线

D.完全四点形的对角三角形是自极三角形

二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.若共线四点A，B，C，D的交比为（AB，CD）＝2，则交比（BC，AD）＝________。

7.平面射影几何基本定理是：像与原像分别无三点共线的________对对应点决定________的射影对应。

8.平面二次曲线的射影等价类共有________类。

9.在仿射平面上，无穷远点关于二次曲线Γ的极线（极线为无穷远直线除外）叫做Γ的________。

10.在欧氏平面上，二次曲线的主轴是一条________，它垂直于________。

三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)

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11．设平面仿射变换将点(0,0),(0,1),(1,0)分别变为(1,0),(1,1),(0,0)，求此仿射变换的代数表达式。

12．求联接点P(1,2,-1)与二直线l (2,1,3),m(1,-1,0)之交点Q 的直线的方程和坐标。

13.已知平面上三点A(2,1,-1),B(1,-1,1),C(1,0,0)，求该直线上点D ，使得C 与D 调和分割线段AB 。

14.求射影变换ρx 1′=-x 1,ρx 2′=x 2,ρx 3′=x 3的二重点。

15.已知二次曲线Γ的点坐标方程为x 1x 3-22x =0，求其线坐标方程。

16.求二次曲线2211221323:23240x x x x x x x x Γ+-+-=的中心和渐近线。

四、作图题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

作图并写出作图步骤。

17.如图，已知直线l 上三点A,B,C ，求作l 上点D ，使C,D 调和分割线段AB 。

题17图

18.如图，已知Γ上五点A,B,C,D,E （Γ未给出），求作Γ过A 的切线。

B D

题18图

五、证明题（本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分）19.设ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行。证明：交比A(BD,CE)=-1。

20.设FGH 是完全四点形ABCD 的对角三点形，即F=AC ×BD,G=AB ×CD,H=AD ×BC.试利用代沙格定理证明三点

L=BC ×FG ,M=AC ×HG,N=AB ×HF 共线。

题20图

21.如图，设P是二次曲线Γ外一点，过P作Γ的两条切线PS,PT，S,T是切点，又过P作Γ的两条割线分别交Γ于

A,B和C,D，令Q=AD×BC，R=AC×BD。试用极点极线理论证明Q,R,S,T四点共线。

题21图

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