00023自考高等数学(工本)
00023高等数学(工本) 全国13年10月自考 试题
全国2013年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.在空间直角坐标系中，点（-1，4，2）关于axy 坐标面对称点为 A.（-1，4，-2） B.（1，-4，-2） C.（1，4，2）D.（-1，-4，-2）2.点（0，0）是函数z =1-xy 的 A.极小值点 B.极大值点 C.驻点D.间断点 3.设积分曲线L ：x +y =2(0≤x ≤2),则对弧长的曲线积分(1)d Lx y s +-=⎰A.-B.C.4.下列方程是可分离变量微分方程的是 A.2y x y '=+B.2ed e d x yx y x y -+=C.22()d ()d 0x y x x y y +++= D.235y y x '+=5.下列收敛的无穷级数是A.11sin n n n ∞=∑B. 221n n n ∞=+∑ C. 11n n∞=∑D. 023nn n ∞=∑二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6. 已知向量α={3，-5，1}，β={-2，c,-6}，并且αβ =0，则常数c=_________.7.已知函数z则zy∂∂=_________. 8.设积分区域Ω：x 2+y 2≤1,0≤z,则三重积分22()f xy dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标下的三次积分为 _________.9.微分方程e xy '=的通解为_________. 10.已知无穷级数11111234nn u ∞==++++∑…，则通项u n =________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点P （3，-1，2）并且通过x 轴的平面方程. 12.设f 是可微的二无函数，并且z =f (3x +4y ,xy 2),求全微分d z . 13.求曲线x =3cos t ,y =3sin t ,z =4t 在t=2π所对应的点处的切线方程. 14.设函数f (x ,y ,z )=(x -y )2+(y -z )2+(z -x )2,求grad f (x ,y ,z ). 15.计算二重积分d d D xy x y ⎰⎰，其中积分区域D ：22xy +≤4，x≥0，y≥0.16.计算三得积分()d x y z v Ω++⎰⎰⎰，其中积分区域Ω: 222x y z ++≤9，z≥0. 17.验证积分e cos d e sin d y yLx x x y +⎰与路径无关，并计算I =(,1)4(,0)2e cos d e sin d y y x x x y ππ+⎰.18.求向量场A =222e ee xy yz x z++i j k 的散度div A .19.求微分方程2221xy y x '+=+的通解. 20.求微分方程6160y y y '''--=的通解.21.判断无穷级数115n n n ∞=+∑的敛散性. 22.已知f (x )是周期为2π的周期函数，它在[),ππ-上的表达式为1, 0,()0, 0 .x f x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩求f (x )傅里叶级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数a 5. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23.求函数f (x ,y )=(x 2-1)(2y -y 2)的极值.24.求由平面x =1,y =0,y =x ,z =0及抛物面z =x 2+y 2所围立体的体积. 25.将函数21()23f x x x =+-展开为（x +1）的幂级数.。
2023年4月高等数学(00023)试卷参考答案
2023年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题答案（课程代码00023）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1.B2.C3.B4.A5.D6.D7.A8.D9.C10.C二、计算题：本大题共10小题，每小题6分，共60分11.解：由题意可得设平面方程为1x y za a a++= 将点(),-321，带入上述平面方程可得a =2,故平面方程为20x y z ++-=12.解：由题意可得取所求直线的方向向量为{}3,0,1n =-则所求的直线方程为x y z --+==-12330113.解：令(),,F x y z x y z =++-2222315 ，则()()()()()()()2,2,12,2,12,2,1,,2,4,64,8,622,4,3x y z nF F F x y z ====切平面方程为()()()2242310243150x y z x y z -+-+-=⇒++-=14.解：由题意可得grad u u u u i j k y zi xyz j xy k x y z∂∂∂=++=++∂∂∂222 所以有()(),,,,grad u y zi xyz j xy ki j k =++=++221111112215.解：令(),,F x y z x y z xyz =++-3333，则有2233,33x z F x yz F z xy =-=-则有x z F z x yz yz x x F z xy z xy∂--=-=-=∂--22223333 16.解：积分区域为():,D θπr ≤≤≤≤0202极坐标，则πDπd θr dr ==⎰⎰222016317解：曲线::,L x y ds =-→==222，则LI y ds π-===⎰⎰2222418解：由意义可知()(),,,xy xy P x y ye xy y Q x y xe x xy =++=++22，由格林公式可得()()()xy xy L D DQ P I ye xy y dx xe x xy dy dxdy y dxdy x y ⎛⎫∂∂=+++++=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰221 其中区域:,D y y x -≤≤≤≤2111关于x 轴对称，则()yDDy dxdy dxdy dy dx --=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰211141319解：该级数nn ∞=∑013为几何级数，且其公比q =<113，故该级数收敛。
自考00023高等数学(工本)201301
2013年1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：00023考生答题注意事项：1. 本卷所有试卷必须在答题卡上作答。
答在试卷和草稿纸上的无效。
2. 第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用2B 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3. 第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号，使用0.5毫米黑色字迹笔作答。
4. 合理安排答题空间，超出答题区域无效。
选择题部分一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.在空间直角坐标系中，点（2，-1，4）到oyz 坐标面的距离为 A.1 B.2 C.42.点（1，2）是函数(1)(2)2z x y =---的 A.极小值点 B.极大值点 C.最大值点D.间断点 3.设积分曲线L ：y =1+x (0≤x ≤1)，则对弧长的曲线积分()Lx y ds -=⎰A.C.D.-4.微分方程2(2)(6)x xy dx x xy dy -=+是 A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微方程5.下列条件收敛的无穷级数是A.31(1)nn n∞=-∑ B.1(1)1n n n n ∞=-+∑C.1(1)2nnn ∞=-∑D.nn ∞=非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 6.已知向量α=｛1，-1，1｝，β=｛-2，C ，-2｝,并且α×β=0，则常数C =______. 7.已知函数cos yz e x =，则(,0)2zx π∂=∂______. 8.设积分区域：Ω0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1，则三重积分()x y z dv Ω++=⎰⎰⎰______.9.微分方程6y x ''=的通解为______.10.已知无穷级数23111111113323232n n u ∞==-+-+⋅⋅⋅∑，则通项u n =______. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.求过点P 1(-2,3,-1)和P 2(3,3,5)的直线方程.12.设f 是可微的二元函数，并且22(23,)z f x y x y =-+，求全微分dz . 13.已知方程222325x y z z -+-=，确定函数(,)z z x y =，求z x ∂∂和z y∂∂. 14.设函数(,)cos()xf x y e x y =-，求梯度grad (,)f x y . 15.计算二重积分2222x y De dxdy --⎰⎰，其中积分区域D ：224x y +≤16.计算三重积分ydxdydz Ω⎰⎰⎰，其中积分区域Ω是由0,0,0x y z ===及1x y z ++=所围的.17.验证对坐标的曲线积分22(23)(2)Lxy y dx x xy dy ++++⎰与路径无关，并计算(1,0)22(0,1)(23)(2)I xy y dx x xy dy =++++⎰.18.计算对坐标的曲面积分333=I x d y d z y d z d x z d x d y ∑++⎰⎰，其中∑是球面2229x y z ++=的外侧.19.求微分方程22211xy xy x x '+=++的通解. 20.求微分方程320y y y '''-+=的通解.21.判断无穷级数1()31nn nn ∞=-∑的敛散性.22.已知f (x )是周期为2π的周期函数，它在[-π，π）上的表达式为,0,()1,0,x x f x x ππ-⎧=⎨<⎩≤＜≤ 求f (x )傅里叶级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数a 0. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23.从斜边之长为k 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 24.求由曲面228z x y =--和22z x y =+所围成的立体的体积. 25.将函数21()56f x x x =-+展开为x 的幂级数.。
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
自考00023《高等数学(工本)》考点押题版
1. a b a x bx a y b y a z bz
2. a b 的充要条件是： a b 0
3. cos( ab)
ab ab
2：向量的向量积{一级重点}{选择、计算} 公式：
i
1. a b a x
j ay by
k a z (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k bz
2
1
dx
r2 ( )
r1 ( )
rdr
z 2 ( r , )
z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z )dz
x r cos sin 3. 利用球面坐标计算： 为 y r sin sin y r cos
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
2. 设 z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
dz z du z dv dx u dx v dx
3. 设 F ( x, y, z ) 0
f ( x, y)dxdy, 曲面 : z
D
f ( x, y )
2. 设 V 为 的体积： V dv
3. 设 为曲面 z f ( x, y )
曲面的面积为 S
1 f x2 f y2 d
第四章 曲线积分与曲面积分
1：两类曲线积分的计算{一类重点}{计算题} 公式： 1. 对弧长的曲线积分计算： {1}若 L： y f ( x), a x b ，则
自考00023高等数学(工本)201110
2011年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
高等数学（工本）试卷
(课程代码 00023)
一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
三、计算题 (本大题共12小题．每小题5分，共60分)
15．求曲面2x2+3y2+4z2=81上平行于平面2x+3y+4z=18的切平面方程．
四、综合题 (本大题共3小题。
每小题5分，共15分)
23．用钢板做一个容积为8cm3的长方体箱子，试问其长、宽、高各为多少cm时，可使所使用的钢板最省?
24．验证在整个axy平面内(2xy+3x2+1)dx+(x2+2y-3)dy是某个二元函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个u(x，y)．。
00023自考高等数学(工本)
00023自考高等数学(工本) D则常数c=______.7.函数z =224y x --ln(x 2+y 2-1)的定义域为______. 8．二次积分I =⎰⎰--21011d d y x f ( x, y )y ,交换积分次序后I =______.9．已知y =sin2x +ce x 是微分方程y ''+4y =0的解，则常数c =______. 10.幂级数∑∞=+013n nn x 的收敛半径R =______.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．将直线⎩⎨⎧=-++=++0432023z y x z y x 化为参数式和对称式方程.12.设方程f ( x + y + z, x, x + y )=0确定函数z = z( x, y ),其中f 为可微函数，求xz∂∂和y z ∂∂.13.求曲面z = 2y + ln y x 在点（1，1，2）处的切平面方程.14.求函数z = x2 - y2在点（2，3）处，沿从点A （2，3）到点B（3，3+3）的方向l的导数.15.计算二重积分()⎰⎰+Dy xxy ddsin32，其中积分区域D是由y = | x |和y = 1所围成.16.计算三重积分I=⎰⎰⎰Ωzyxxy ddd，其中积分区域Ω是由x2+y2=4及平面z = 0，z = 2所围的在第一卦限内的区域.17.计算对弧长的曲线积分I=⎰Ldsy2，其中L为圆周x2+y2=9的左半圆.18.计算对坐标的曲线积分I =⎰-++Lyy x x x y d )1(d )1(22，其中L 是平面区域D ：x 2 + y 2 ≤4的正向边界.19.验证y 1 = e x ,y 2 = x 都是微分方程（1 – x ）y ''+y x '-y = 0的解，并写出该微分方程的通解。
20．求微分方程x ye xy=+1d d 的通解.21.设α为任意实数，判断无穷级数∑∞=1n 2)sin(n n α的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？22．设函数f ( x )=x 2cos x 的马克劳林级数为∑∞=0n nn x a ，求系数a 6.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数z=ln(x +y )，证明2x xz ∂∂+2y y z ∂∂=1.24.求函数f ( x, y )=3+14y +32x -8xy -2y 2-10x 2的极值.25.将函数f ( x )=322--x x x 展开为x 的幂级数.自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012”11。
全国2020年10月自考00023高等数学(工本)试题及答案
D020·00023(附参考答案）绝密★考试结束前2020年10月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）（课程代码:00023）1.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
2.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
选择题部分注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.在空间直角坐标系中，点（2，-1，-9）在A.第一卦限B.第四卦限C.第五卦限D.第八卦限 2.极限()y xy y x 3sin lim 02→→ A.等于2B.等于3C.等于6D.不存在 3.已知dy e dx e y x y x ---是某函数u （x ，y ）的全微分，则u （x ，y ）=A.y x e -B.y x e --C.x y e -D.x y e -- 4.方程y dxdy =的通解为 A.Cx e y = B.x Ce y = C.x e C y += D.x C e e y +=5.下列无穷级数中，条件收敛的无穷级数是A.()∑∞=--111n n nB.()∑∞=•-1251n n n nC.()∑∞=+•-111n n n nD.()∑∞=--1121n nn非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。
二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。
6.设向量{}{}1,2,3,0,1,1--=βα，则βα-2= .7.已知()()2,y x y x xy f +=-，则()y x f ,= . 8.设()404:≤≤=+x y x C ，则对弧长的曲线积分()ds y x C+⎰2= . 9.微分方程2x '=y 满足初始条件()00=y 的特解•y = .10.设函数()x f 是周期为π2的周期函数，()x f 的傅里叶级数为()nx n n n sin 212111∑∞=+•-+，则()x f 的傅里叶系数1a = .三、计算题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9．已知 y=sin2x+cex 是微分方程 y +4y=0 的解，则常数 c=______.
xn 1
10.幂级数
的收敛半径 R=______.
n 0 3n
三、计算题（本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分）
11．将直线
3x x
2y 2y
z 3z
0 4
0 化为参数式和对称式方程.
12.设方程 f ( x + y + z, x, x + y)=0 确定函数 z = z ( x, y ),其中 f 为可微函数，求
自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012” 5
自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012” 6
自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012” 7
）
A．x2ydx + xy2dy
B．xdx + xydy
4．微分方程 y ddyx =x 的阶数是（
）
C．ydx - xdy
D．ydx + xdy
A．0
B．1
5．无穷级数
n
2
1 的和为（ n!
）
C．2
D．3
A．e + 1
B．e - 1
C．e - 2
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10分）
2．已知函数 h ( x, y ) = x – y + f ( x + y ),且 h (0,y) = y2,则 f ( x + y )为（
）
A．y (y + 1)
B．y (y - 1)
C．( x + y)( x + y -1) D．( x + y )( x + y +1)
3．下列表达式是某函数 u(x,y)的全微分的为（
18.计算对坐标的曲线积分 I= y(1 x 2)dx x(1 y 2)dy ，其中 L 是平面区域 L D：x2 + y2 ≤4 的正向边界.
19.验证 y1 = ex,y2 = x 都是微分方程（1 – x） y + xy -y = 0 的解，并写出该微分方程的通 解。
2
自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012”
15.计算二重积分 3y 2 sin x dxdy ，其中积分区域 D 是由 y = | x |和 y = 1 所围成.D来自16.计算三重积分 I=
+y =4 及平面 z = 0，z = 2 所围
xydxdydz ，其中积分区域 是由 x2 2
的在第一卦限内的区域.
17.计算对弧长的曲线积分 I= y2ds ，其中 L 为圆周 x2+y2=9 的左半圆. L
D．e + 2
6．已知向量 a={ -2, c, 6}与向量 b={ 1, 4, -3}垂直，则常数 c=______.
7.函数 z= 4 x 2 y 2 ln(x2+y2-1)的定义域为______.
1
1 y2
8．二次积分 I= dy 10
f ( x, y ) dx ,交换积分次序后 I=______.
z和 x
z y
.
1
自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012”
13.求曲面 z = 2y + ln x 在点（1，1，2）处的切平面方程. y
14.求函数 z = x2 - y2 在点（2，3）处，沿从点 A（2，3）到点 B（3，3+ 3 ）的方向 l 的 导数.
x+
y )，证明 2x
z +2y x
yz =1.
24.求函数 f ( x, y)=3+14y+32x-8xy-2y2-10x2 的极值. 25.将函数 f ( x )= x 展开为 x 的幂级数.
x2 2x 3
3
自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012” 4
20．求微分方程
x
dy dx
1
e y 的通解.
21.设
为任意实数，判断无穷级数
n1
sinn(n2 ) 的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收
敛？
22．设函数 f ( x )=x2cosx 的马克劳林级数为 an x ，求系数 a6.
n0
n
四、综合题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分）
23．设函数 z=ln(
自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012”
全国 2012年 4 月高等教育自学考试
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15分）
1．下列曲面中，母线平行于 y 轴的柱面为（
）
A．z = x2
B．z = y2
C．z = x2 + y2
D．x + y + z =1