数学笔记：集合
高中数学笔记总结【高一至高三_很全】.doc
高中数学第一章-集合①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ；③ 空集是任何非空集合的真子集；如果 A ，同时 A ，那么 A=B.BB如果 A B， B C，那么 A C.Z ={ 全体整数} （×）s A= {0}）3. ① {（ x， y） | xy =0 ， x∈ R， y∈ R}坐标轴上的点集.② {（ x， y） | xy＜ 0 ， x∈ R， y∈ R二、四象限的点集.③ {（ x， y） | xy＞ 0 ， x∈ R， y∈ R} 一、三象限的点集.4. ① n 个元素的子集有2n个. ② n 个元素的真子集有2 n ③ n 个元素的非空真子集有 2n－ 2 个 .. 否命题逆命题.. 原命题逆否命题.② x 1且 y2，x y3,故：补 C U A{ x U , 且 x A}（ 2）等价关系：A B0)的解可以根据各区间的符号确“或”、“且”、“非”些这叫词做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简和题命单逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命是题复合命题。
（ 2）“p 且 q”形式复合命题当P 与 q 同为真为时真，其他情况时为假；（ 3）“p 或 q”形式复合命题当p 与 q 同为假时为否命题若┐p┐则 q假，其他情况时为真．( 原命题逆否命题)高中数学第二章-函数§ 02.函数知识要点函数三要素是定义域，对和则法应值域，而定义域和对是则法应起决定作用的要素，因为这二者确定后，域值也就相应得到确定，因此只有定义域和对二则法应者完全相同的函数才是同一函数 .y=f(x) 的单间区调.此时也说函数是这一区间上的单调函数（ 2 ） f (x )f ( x) f (| x |) ，反之亦成立。
4 ．如果 f ( x ) 是偶函数，则时有意，义则⑴偶函数： f ( x) f ( x)a,b ）也是图象上一点.②满足 f ( x) f (x) ，或 f ( x) f ( x) 0 ，若 f ( x)0时，⑵奇函数： f (x)a, b ）也是图象上一点.在 [1, 1) 上不是奇函数.②满足 f (x)例如：已知函数f（ x）= 1+解： f ( x) 的值域是 f ( f (x))的定义域B ， f ( x) 的值域R ，故 B R ，而A x | x 1 ，故 B A .2x 1| →| y |关于x轴对称.定义域 { x | x 3, x R}值域{ y | y2, y R} →值域x 前的系数之比.指数函数y a (a0 a1) 的图象和性质（）过定点（，），即3log (M N ) log M log a N（以上 M 0, N 0, a 0,a 1,b 0, b 1,c 0, c 1,a , a ...a 0 且 1 ）且M0时，M0 ，故取“—” .（ a 0,a 1 ）与y互为反函数.当a1，时y l o a g x的a值大，越越靠近x轴；当在（ 0 ， +∞）上是减函数log (M N ) log M log N注⑴：当 a,b 0，时log( a b) log( a) log( b) .⑵ ：当时，取“ +”，当n是偶数时且0 M 0 时， M（ a 0,a 1 ）与 y log a x 互为反函数大于0 ，底数大于零且不等于1；④ 零指数幂的底数不等于零；⑤际实题问要考实虑意际等义f(-x)与f(x)之间的关系：① f(-x)=f(x)为偶；f(x)+f( -x)=0§03.数列知识要点等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和a n a n 1 d ； aa p a q (m, n, p,q N * , m n p q)a =a+（n-1）d= a +（n-k）d=dn+a-d aa (1 q )a a q1aa n若 m+n=p+q 则m{ a }若{ k n}① a n a n 1d(n2,d 为常数 )③a n kn b ( n, kac ，是 a 、 b、 c 成等比的双非条件，即a、 b、 c 等比数列.ac （ ac ＞ 0）→为a、 b、 c 等比数列的充分不必要.ac →为a、 b、 c 等比数列的必要不充分.ac 且 ac、、0 →a为 b c 等比数列的充要 .注意：任意两数 a 、 c 不一定有等比中项，除非有③ a n cq n ( c, q).log a（⑷数列{}a的前项和 S 与通项a 的关系：[ 注 ] ：①a n a 1n 1 d nd a 1 d （ d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列项和S n An2 Bn2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 倍S , S③若等差数列的项数为2n 1n N代入 n到2n 1得到所求项数.a n 10n1； 5， 55，555 ， ?4. 等比数列的前 n 项公式的常见：题用应和⑴ 生产部门中有增长率的总题问量产. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为 其中第n年产量为1 r .a(1 r ) n 1，且过年后总：为量产na 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的 a 元过n 个月后便成为a(1 r )⑶分期付款应用：题a分为期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.5.数列常见的几种形式：（p、 q二为常阶数）x 2应对a，对应a），并二设根x , x② 若x x；③由初始值a ,a确定 c ,c121 2a n；④（公式法）， c ,c 由 a ,aa c c P 1 2 1 2n 1 2⑴等差数列的前n和项为S，在d0时有最大值如，何确定使S取最大值的时n值，有两a n 10 ，成立的n；值二是由求此数列前n项可依照和等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： 1 ,3 ,...(2n 1))为同一常数。
高中数学集合笔记
高中数学集合笔记1.集合的性质：集合具有无序性、互异性、确定性等性质。
2.集合的加法运算：集合的加法运算可以表示为A + B = {x|x属于A或x属于B}。
3.集合的分类：按照元素的特点，集合可分为有限集、无限集和空集。
4.空集的性质：空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集。
5.集合的表示方法：列举法和描述法是表示集合的两种常用方法。
6.空集的性质：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集都不可能是空集。
7.有限集的性质：有限集的元素个数是有限的，可以数得出来的。
8.集合的互异性：在一个集合中，不同的元素必须用不同的符号表示，相同的元素不能用不同的符号重复表示。
9.集合的无序性：在一个集合中，元素的顺序是不重要的，换顺序不影响集合的含义。
10.相等集的定义：如果两个集合的元素完全相同，那么称这两个集合为相等集。
11.以上只是部分笔记内容，建议查阅高中数学教材或请教数学老师获取更多信息。
12.集合的减法运算：集合的减法运算是从A中去掉B中的元素，表示为A - B = {x|x属于A且x不属于B}。
13.集合的并集运算：集合的并集运算可以表示为A ∪B = {x|x属于A或x属于B}。
14.元素与集合的关系：元素与集合之间存在两种关系，即属于关系和不属于关系。
15.集合的交集运算：集合的交集运算可以表示为A ∩B = {x|x属于A且x属于B}。
16.真子集的定义：如果一个集合A是另一个集合B的子集，并且A中至少有一个元素不属于B，那么称A是B的真子集。
17.列举法的表示方法：列举法是一种常用的表示集合的方法，即将集合中的元素一一列举出来。
18.描述法的表示方法：描述法是一种常用的表示集合的方法，即用一些属性来描述集合中的元素。
19.集合的表示方法：通常用大括号{}来表示一个集合，用元素来表示集合中的每一个元素。
20.元素与集合的关系：元素属于集合时，用属于符号表示；元素不属于集合时，用不属于符号表示。
集合高中数学知识点笔记
集合的概念知识点总结与例题讲解一、本节知识要点（1）集合的含义与表示;（2）元素与集合之间的关系与表示;（3）集合元素的三个基本性质;（4）常用数集的表示;（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）;（6）集合的分类.二、集合的含义与表示一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合用大写字母来表示,集合的元素与小写字母来来表示.三、元素与集合之间的关系与表示元素与集合之间是从属关系:若元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a∉.Aa∈;若元素a不在集合A中,则称元素a不属于集合A,记作A 要求会判断元素与集合之间的从属关系.四、集合元素的三个基本性质集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.确定性给定一个集合,它的的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.互异性给定一个集合,它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复出现.在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.无序性集合中的元素是没有顺序的.如果构成两个集合的元素是相同的,那么就称这两个集合相等.五、常用数集的表示自然数集N ;正整数集N +或N *;整数集Z ;有理数集Q ;实数集R .六、集合的两种表示方法集合有两种常用表示方法,即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn 图法）.列举法把集合的元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.用列举法表示集合时要注意以下几点:（1）元素之间必须用逗号隔开;（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1,2,3,…﹜;（5）注意a 与{}a 的表示是有区别的:a 表示的是一个元素,{}a 表示的是只有一个元素a 的集合.二者具有从属关系,及a A ∈.列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.描述法定义用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作(){}x P I x ∈,其中x 为集合的代表元素,I 表示元素x 的取值范围,()x P 表示集合的元素所具有的共同特征.第二定义用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法.注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合{}0322=--=x x x A ,集合{}062<-=x x B .用描述法表示集合时要注意以下几点:（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集;（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;（3）不能出现未被说明的字母,如集合{}n x Z x 2=∈中的n 未被说明,应正确表示为{}Z n n x Z x ∈=∈,2或{}Z x n x x ∈=,2;（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略.如集合{}02=+∈x x R x ,也可以写作{}02=+x x x .（5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;（6）所有描述的内容都要写在大括号内;（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集.当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.例1.用两种方法表示二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+152y x y x 的解.注意:二元一次方程组的解是有序实数对,所以在表示二元一次方程组的解时,要表示为点集的形式.解:解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+152y x y x 得:⎩⎨⎧==12y x 用列举法表示为(){}1,2,用描述法表示为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧==12,y x y x .提示:(){}1,2与(){}2,1表示的是两个不同的集合.例2.指出集合{}12-=x y x 与集合(){}12,-=x y y x 的区别.注意:区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作(){}x P I x ∈,其中x 表示的就是代表元素,它可以是一个数字（数集）,也可以是有序实数对（点集）.解:集合{}12-=x y x 表示的是一个数集,它表示函数解析式12-=x y 中自变量的取值范围,所以{}=-=12x y x R ;集合(){}12,-=x y y x 表示的是一个点集,它表示函数12-=x y 的图象上所有点的坐标.例3.用合适的方法表示下列集合:（1）文房四宝;（2）2019年9月3日,新乡市平原示范区所辖乡镇;（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.注意:在用描述法表示集合时,元素之间必须用逗号隔开,不要用错标点符号.点集的代表元素为有序实数对.解:（1）{}砚纸墨笔,,,;（2）{}师寨镇桥北乡原武镇韩董庄乡祝楼乡,,,,;（3）(){}0,0,><y x y x 且.例4.分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）方程022=-x 的所有实数根组成的集合;（2）由大于10小于15的所有整数组成的集合.注意:在用描述法表示集合时,代表元素的取值范围,如果从上、下文来看是明确的,可以省略.解:（1）列举法:{}2,2-;描述法:{}022=-∈x R x 或{}022=-x x .（2）列举法:﹛11,12,13,14﹜;描述法:{}1511<<∈x Z x .七、集合的分类集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集.不含任何元素的集合叫做空集,记作∅.如方程012=+x 的实数根组成的集合{}012=+∈x R x 就是一个空集,即{}∅==+∈012x R x .八、重要结论:判断形如02=++c bx ax 的方程的实数根的个数的方法是:（1）当0=a 时,方程可化为0=+c bx 的形式:①当0≠b 时,方程有唯一一个实数根bc x -=;②当0,0==c b 时,方程有无数个实数根;③当0,0≠=c b 时,方程没有实数根;（2）当0≠a 时,原方程为关于x 的一元二次方程:①若042>-=∆ac b ,则方程有两个不相等的实数根;②若042=-=∆ac b ,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）;③若042<-=∆ac b ,则方程没有实数根.提示:在讨论集合元素的个数时,一定要注意分类讨论.例5.已知集合{}R a x ax R x A ∈=++∈=,0122.（1）若A 中只有一个元素,求a 的值;（2）若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.分析:先弄清楚集合A 的本质.集合A 是由方程0122=++x ax 的实数根组成的集合,该方程中含有参数a ,为含参方程.（1）集合A 中只有一个元素,指的是方程0122=++x ax 只有一个实数根,该方程可以说一次方程()0=a ,也可以是二次方程()0≠a ,注意分类讨论;（2）集合A 中至多有一个元素,指的是方程0122=++x ax 只有一个实数根或没有实数根.解:（1）当0=a 时,原方程可化为:012=+x ,解之得:21-=x ,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21A ,符合题意;当0≠a 时,∵0122=++x ax 只有一个实数根∴044=-=∆a ,解之得:1=a综上,当0=a 或1=a 时,A 中只有一个元素;（2）当A 中只有一个元素时,由（1）可知:0=a 或1=a ;当A 中没有元素时,即方程0122=++x ax 没有实数根∴044<-=∆a ,解之得:1>a 综上,当0=a 或a ≥1时,A 中至多有一个元素.例6.实数集A 满足条件:A ∉1,若A a ∈,则A a∈-11.（1）若A ∈2,求A ;（2）集合A 能否为单元素集合?若能,求出A ;若不能,请说明理由;（3）求证:A a ∈-11.分析:本题重点考查集合元素的三个基本性质:确定性、互异性和无序性.（1）解:∵A ∈2,12≠∴A ∈-=-1211∵11,1≠-∈-A ∴()A ∈=--21111∵121,21≠∈A ∴A ∈=-22111∴=A ﹛2,1-,21﹜;（2）解:A 不能为单元素集合.理由如下:若A 为单元素集合,则有aa -=11,整理得:012=+-a a ∵()031412<-=⨯--=∆∴方程012=+-a a 没有实数根∴A 不能为单元素集合;（3）证明:若A a ∈,则A a ∈-11∴A aa a a ∈-=-=--1111111.例7.已知集合{}032=+-=a x x x A ,若A ∈4,求集合A .分析:由题意可知集合A 是由方程032=+-a x x 的实数根构成的,“A ∈4”指的是4=x 是方程032=+-a x x 的一个实数根.解:∵A∈4∴4=x 是方程032=+-a x x 的一个实数根∴04342=+⨯-a 解之得:4-=a ∴原方程为:0432=--x x 解之得:1,421-==x x ∴集合{}4,1=A .例8.已知集合{}R x x ax x A ∈=--=,0432.（1）当A 中只有一个元素时,求a 的值,并求出此元素;（2）当A 中有两个元素时,求a 满足的条件;（3）当A 中至少有一个元素时,求a 满足的条件.分析:集合A 为含参方程0432=--x ax 的实数根构成的集合.因为方程所含参数为二次项系数,所以该方程可以是关于x 的一元一次方程,也可以是一元二次方程,所以在研究该方程的实数根时,要分为两种情况进行讨论.（1）当A 中只有一个元素时,说明方程0432=--x ax 只有一个实数根,此时0=a ;或该方程有两个相等的实数根,此时0≠a ;（2）当A 中有两个元素时,说明方程0432=--x ax 为一元二次方程,此时0≠a ,且方程有两个不相等的实数根;（3）当A 中至少有一个元素时,说明方程0432=--x ax 只有一个实数根或有两个不相等的实数根,为（1）问和（2）问结果的综合.解:（1）分为两种情况:①当0=a 时,原方程为:043=--x ,解之得:34-=x ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=34A ,符合题意;②当0≠a 时,由题意可知方程0432=--x ax 有两个相等的实数根∴()()04432=-⨯--=∆a 解之得:169-=a ∴原方程为:0431692=---x x 解之得:3821-==x x ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=38A .综上,当0=a 时,集合A 只有一个元素34-;当169-=a 时,集合A 只有一个元素38-;（2）∵A 中有两个元素∴方程0432=--x ax 为一元二次方程,且有两个不相等的实数根∴()()⎩⎨⎧>-⨯--=∆≠044302a a 解之得:169->a 且0≠a ;（3）∵A 中至少有一个元素∴A 中有一个元素或有两个元素当A 中有一个元素时,由（1）可知:0=a 或169-=a ;当A 中有两个元素时,由（2）可知:169->a 且0≠a .综上,a 满足的条件是a ≥169-.重要结论:判断形如02=++c bx ax 的方程的实数根的个数的方法是:（1）当0=a 时,方程可化为0=+c bx 的形式:①当0≠b 时,方程有唯一一个实数根bc x -=;②当0,0==c b 时,方程有无数个实数根;③当0,0≠=c b 时,方程没有实数根;（2）当0≠a 时,原方程为关于x 的一元二次方程:①若042>-=∆ac b ,则方程有两个不相等的实数根;②若042=-=∆ac b ,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）;③若042<-=∆ac b ,则方程没有实数根.例9.已知{}x q px x x A =++=2,()(){}1112+=+-+-=x q x p x x B ,当{}2=A 时,求集合B .解:∵{}2=A ∴方程x q px x =++2,即()012=+-+q x p x 有两个相等的实数根,且221==x x 由根与系数的关系定理可得:()⎩⎨⎧==--441q p 解之得:⎩⎨⎧=-=43q p ∴()(){}()(){}1413111122+=+---=+=+-+-=x x x x x q x p x x B 整理得:{}0762=+-=x x x B 解方程0762=+-x x 得:23,2321-=+=x x ∴集合{}23,23-+=B .例10.设b ax x y +-=2,{}0=-=x y x A ,{}0=-=ax y x B ,若{}1,3-=A ,试用列举法表示集合B .分析:本题要先由根与系数的关系定理求出b a ,的值,然后把集合B 中的方程转化为关于x 的具体的一元二次方程,解方程即可求出集合B .解:∵bax x y +-=2∴{}(){}0102=++-==-=b x a x x x y x A {}{}0202=+-==-=b ax x x ax y x B ∵{}1,3-=A∴1,321=-=x x 是方程()012=++-b x a x 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧-=-=+321b a 解之得:⎩⎨⎧-=-=33b a ,∴{}{}0360222=-+==+-=x x x b ax x x B 解方程0362=-+x x 得:323,32321--=+-=x x ∴集合{}323,323--+-=B .例11.已知集合()(){}012=-+--=a ax x a x x M 中各元素之和等于3,求实数a 的值,并用列举法表示集合M .分析:本题考查到集合元素的基本性质:互异性,注意分类讨论.解:∵()(){}012=-+--=a ax x a x x M ∴()()()[]}{011=----=a x x a x x M ∵1-≠a a ,且集合M 中各元素之和等于3∴当1=a 时,{}0,1=M ,301≠+,不符合题意;当11=-a ,即2=a 时,{}1,2=M ,312=+,符合题意;当1≠a 且2≠a 时,{}1,1,-=a a M ,由311=-++a a 得23=a ,此时⎭⎫⎩⎨⎧=21,1,23M ,符合题意.综上,实数a 的值为2或23,集合{}1,2=M 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,1,23M .提示:在用列举法表示有限集时,要注意集合元素的互异性.题型二、集合元素的基本性质的应用集合的元素具有确定性、互异性和无序性,其中对互异性的考查最为常见.例12.已知集合{}10,4,22a a a A +-=,若A ∈-3,求实数a 的值.分析:由元素与集合之间的关系可求出实数a 的值,但要注意所求a 的值要保证集合A 中的元素互不相同,即满足互异性,所以要对求得的a 的值进行检验.解:当32-=-a 时,解之得:1-=a ,此时{}10,3,3--=A ,不满足元素的互异性,舍去;当342-=+a a 时,解之得:11-=a （已舍去）,32-=a 当3-=a 时,{}10,3,5--=A ,符合题意.综上,实数a 的值为3-.例13.由实数22,,,,x x x x x --所组成的集合中,含有元素的个数最多有【】（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5分析:本题主要考查集合元素的互异性.解:∵x x =2,xx -=-2∴①当0>x 时,x x x ==2,xx x -=-=-2∴所组成的集合中含有2个元素x x -,;②当0=x 时,所组成的集合中,只有一个元素0;③当0<x 时,x x x -==2,xx x =-=-2∴所组成的集合中含有2个元素x x -,.综上,含有元素的个数最多有2个.选择【A 】.题型三、元素与集合的关系元素与集合的关系是从属关系,只有元素属于集合和元素不属于集合两种关系.判断一个元素是否属于集合的方法是:（1）弄清集合代表元素的含义以及集合所含元素的共同特征;（2）看元素是否满足集合元素的共同特征.例14.已知集合A 满足条件:若A a ∈,则()111≠∈-+a A a a .若A ∈31,且集合A 中的元素不超过4个,求集合A 中的其它元素.分析:根据“若A a ∈,则()111≠∈-+a A a a ”,将31=a 代入a a -+11即可求出集合A 的另一个元素,以此类推,可得集合A 中的其它三个元素.解:∵A ∈31∴A ∈=-+2311311∴A ∈-=-+32121∴A ∈-=+-213131∴A ∈=+-31211211……∴集合A 中的其它元素为2,3-,21-.例15.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,21,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,12,若M x ∈0,则0x与N 的关系是【】（A ）N x ∈0（B ）Nx ∉0（C ）N x ∈0或Nx ∉0（D ）不能确定解:∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x M ,212,21∴集合M 为全体奇数的一半所组成的集合∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x N ,22,12∴集合N 为全体整数的一半所组成的集合∴若M x ∈0,则必有N x ∈0.选择【A 】.令解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x N ,22,12当()Z n n k ∈=2时,{}Z n n x x N ∈+==,1;当()Z n n k ∈-=12时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n x x N ,21.∵Mx ∈0可设()Z k k x ∈+=2100∴N x ∈0.（由后面可知,集合M 与集合N 的关系为N M ⊆,所以若M x ∈0,则有N x ∈0）例16.已知集合{}N x x x A ∈≤-=,21,{}A x x y y B ∈+==,12,则集合B 中所有元素之和为_________.分析:先解绝对值不等式21≤-x ,再用列举法表示出集合A .下面给你补充简单绝对值不等式的解法.知识点简单绝对值不等式的解法（1）x ≥a （a ≥0）型不等式的解法:x ≥a （a ≥0）x ⇔≥a 或x ≤a -.（2）x ≤a （a ≥0）型不等式的解法:x ≤a （a ≥0）a -⇔≤x ≤a .根据上面补充的结论,若21≤-x ,则2-≤1-x ≤2,解之得:1-≤x ≤3.解:∵{}{}{}3,2,1,0,31,21=∈≤≤-=∈≤-=N x x x N x x x A ∴{}{}10,5,2,1,12=∈+==A x x y y B ,集合B 中所有元素之和为18.。
高一数学上集合知识点笔记
高一数学上集合知识点笔记数学作为一门基础学科，贯穿于我们整个学习生涯。
其中，集合论是数学的一个基本概念和工具，它广泛应用于各个领域。
在高中数学中，集合论也是一个非常重要的内容，今天将和大家一起回顾高一数学上集合知识点。
一、集合的基本概念集合是指把具有相同特点的事物组合在一起的概念。
我们可以用大括号{}表示一个集合，其中包含的事物叫做集合的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}表示由元素1、2、3组成的集合A。
二、常见的集合表示方法除了用简单列举元素的方法外，还可以使用以下常见的集合表示方法：1. 描述法：根据元素的特征举例描述的方法。
例如，集合A={x|x 是正整数，且x<10}表示由小于10的正整数组成的集合A。
2. 列举法：直接列举出集合中的全部元素。
3. 区间法：表示某个范围内的连续元素。
例如，集合B={x|1≤x≤5}表示由1到5的整数组成的集合B。
三、集合之间的关系1. 子集关系：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。
用符号“⊆”表示。
例如，若集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，则A是B的子集。
2. 相等关系：如果两个集合既是对方的子集，又具有相同的元素个数，那么这两个集合相等。
用符号“=”表示。
3. 真子集关系：如果一个集合是另一个集合的子集，但两个集合不相等，那么这个集合是另一个集合的真子集。
用符号“⊂”表示。
四、集合的运算1. 并集：将两个或多个集合的所有元素合并在一起，并去掉重复的元素。
用符号“∪”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：两个集合中共同的元素组成的集合。
用符号“∩”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合后，剩余的元素组成的集合。
用符号“-”表示。
必修一数学笔记
必修一数学笔记一、集合。
1. 集合的概念。
- 集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
- 常用的数集：- 自然数集：N={0,1,2,3,·s}（注意：在有些教材中，自然数集不包含0）。
- 正整数集：N^ *={1,2,3,·s}或N_+。
- 整数集：Z ={·s,- 2,-1,0,1,2,·s}。
- 有理数集：Q=所有整数与分数组成的集合。
- 实数集：R，包含有理数和无理数。
2. 集合的表示方法。
- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如{1,2,3}。
- 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
例如{xx > 0,x∈R}，表示大于0的所有实数组成的集合。
3. 集合间的基本关系。
- 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆ B（或B⊇ A）。
- 真子集：如果A⊆ B，且存在元素x∈ B，但x∉ A，那么集合A称为集合B 的真子集，记作A⊂neqq B。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 空集varnothing是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
4. 集合的基本运算。
- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
- 并集：A∪ B ={xx∈ A或x∈ B}。
- 补集：设U是一个全集，A⊆ U，则∁_U A={xx∈ U且x∉ A}。
二、函数。
1. 函数的概念。
- 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x∈ A}叫做函数的值域。
2. 函数的表示法。
- 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y = 2x+1。
高中数学必修一知识点总结(学习笔记)
高中数学必修一知识点总结(学习笔记)集合是数学中的基本概念之一。
它指的是在一定范围内，某些确定的、不同的对象的全体构成的一个集合。
集合的表示有列举法、描述法和图示法三种方式。
其中，列举法是指通过列举集合中的元素来表示集合，描述法是通过一个代表元和一条满足该元素的性质来表示集合，而图示法则是通过数轴或Venn图来表示集合。
常用的数集有自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集。
元素与集合的关系有属于和不属于两种情况，而集合相等则是指两个集合所含元素完全相同。
集合可以分为有限集、无限集和空集三种类型。
子集、全集和补集是集合中常用的概念。
子集指的是一个集合中的任一元素都属于另一个集合，而真子集则是指一个集合是另一个集合的子集，但不相等。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的所有元素构成的集合。
交集是指两个集合中共有的元素构成的集合，而并集则是指两个集合中所有的元素构成的集合。
区间则是指在实数轴上的一段连续区域，包括闭区间、开区间、半开半闭区间和无限区间等。
函数是数学中的重要概念之一，它指的是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的关系。
函数的定义包括定义域、值域和对应法则等。
函数可以用图像、符号和表格等方式表示。
1.定义如果对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:A→B。
函数包括三个要素：定义域、值域和对应法则。
2.函数定义域对于分式函数f(x)，定义域是使分母不为零的一切实数；对于偶次根式f(x)，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合；对于对数函数，真数大于零；对于指数函数或对数函数的底数中含变量时，底数须大于零；对于tanx函数，x不等于kπ+π(k∈Z)；零（负）指数幂的底数不能为零。
对于由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数f(x)，其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。
高中数学学霸笔记
数学典型易错题（一）集合一、混淆集合中元素的形成 例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 。
错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴【易错分析】 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集。
{}(11)AB =-，∴二、忽视空集的特殊性 例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 。
错解： 由(1)10m x -+= 得11x m =-由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵111m =--∴或3 2m =∴或23m = 【易错分析】由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =。
m ∴的值为2123， ， 。
三、忽视集合中的元素的互异性这一特征 例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37AB =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a =【易错分析】由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37AB =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1。
人教版高一数学集合知识汇总笔记
(每日一练)人教版高一数学集合知识汇总笔记单选题1、已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2},N={3,4}，则∁U(M∪N)=（）A．{5}B．{1,2}C．{3,4}D．{1,2,3,4}答案：A解析：首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.由题意可得：M∪N={1,2,3,4}，则∁U(M∪N)={5}.故选：A.2、已知函数f(x)={x2+1,x≥0−x3+3x+a,x<0的值域为[1,+∞)，则实数a的取值范围是（）A．[1,+∞)B．(1,+∞)C．(3,+∞)D．[3,+∞)答案：D解析：求出函数y=x2+1在x≥0时值的集合，函数y=−x3+3x+a在x<0时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.当x≥0时，f(x)=x2+1在[0,+∞)上单调递增，∀x∈[0,+∞)，f(x)≥f(0)=1，则f(x)在[0,+∞)上值的集合是[1,+∞)，当x<0时，f(x)=−x3+3x+a，f′(x)=−3x2+3=−3(x+1)(x−1)，当x<−1时，f′(x)<0，当−1<x<0时，f′(x)>0，即f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增，∀x<0，f(x)≥f(−1)=a−2，则f(x)在(−∞,0)上值的集合为[a−2,+∞)，因函数f(x)={x2+1,x≥0−x3+3x+a,x<0的值域为[1,+∞)，于是得[a−2,+∞)⊆[1,+∞)，则a−2≥1，解得a≥3，所以实数a的取值范围是[3,+∞).故选：D3、若{1，2}⊆M⊆{0，1，2，3，4}，则满足条件的集合M的个数为（）A．7B．8C．31D．32答案：B解析：根据集合间的关系以及子集的概念和子集和数的计算，即可求解.由题意，因为{1,2}⊆M⊆{0,1,2,3,4}，所以集合M中至少含有1，2两个元素，至多含有0，1，2，3，4这5个元素，因此集合M的个数即为集合{0,3,4}的子集个数，即为23=8个.故选：B．小提示：根据两个集合间的关系求参数时，一是将两个集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系；二是当题目中有条件B⊆A时，不要忽视B=ϕ，导致丢解.填空题4、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为_________答案：15解析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．所以答案是：15．5、设集合A={x|−3≤x≤2}，B={x|k−1≤x≤2k+1}，且A⊇B，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).}答案：{k|k<−2或−2≤k≤12解析：由B⊆A知，集合B为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得k的范围.由B⊆A知，集合B为A的非空子集或空集，即{k−1≥−3 2k+1≤2k−1≤2k+1或k−1>2k+1，解得k<−2或−2≤k≤12所以答案是：{k|k<−2或−2≤k≤12}。
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集合：把一些不同的，可以确定的对象看做整体。
(明确表达、无序性、不重复)
1)元素：我们把研究对象统称为元素。
集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
通常用大写拉丁字母A、B、C表示。
2）确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
无序性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
3) a∈A 读作：a属于集合A
a∉A 读作：a不属于集合A
4）数集
N：非负整数集（自然数集）
N*或N+：正整数集
Z：整数集（Zahlen）
Q：有理数集（quotient）
R：实数集(包括有理数和无理数）
C：复数集
∅：空集（不含有任何元素的集合）
5）集合的表示方法：
①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
一般用于元素个数较少、元素为有限个的集合。
A={a,b,c,} B={（1,2）}
②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
数集{x/y=x2} 点集：{（x,y）/y=x2}
③图示法
⑴venn图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
⑵数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
④区间：
开区间：区间边界的两个值不包括在内；（a,b）
闭区间：区间边界的两个值包括在内。
[a,b]
半开半闭区间:开区间一边的边界值不包括在内，而闭区间一边的边界值包括在内。
[a,b）、（a,b]
集合的运算：
由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合叫做A和B的交集。
A∩B={x/x∈A,且x∈B}
由所有属于集合A或者集合B的元素组成的集合叫做A和B的并集。
A∪B={x/x∈A,或x∈B}
设U为全集，A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素构成的集合叫做A在全集
U中的补集。
C u A={x/x∈U,且x∉A}
运算：把一个或多个对象按规则生成一个新对象。