(精选3份合集)2020届四川省绵阳中学高考数学模拟试卷

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2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模模拟理科数学试卷-学生用卷

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模模拟理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第1题5分集合A={x∣x(x−2)>0}，B={x∣x−1>0}，则A∩B=（）．A. {x∣x>2}B. {x∣1<x<2}C. {x∣x<0或x>1}D. {x∣x>1}2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第2题5分若复数z满足z−√3(1+z)i=1，复数z的共轭复数是z，则z+z=（）．A. 1B. 0C. −1D. −12+√32i3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第3题5分在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=4，∠C=120°，则c=（）．A. 37B. 13C. √13D. √374、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第4题5分直线ax+by+√2ab=0(ab>0)与圆x2+y2=1的位置关系是（）．A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切5、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第5题5分在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE→=2EO→，则ED→=（）．A. 23AD→−13AB→B. 23AD→+13AB→C. 13AD→−23AB→D. 13AD→+23AB→6、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第6题5分若a∈[1,6]，则函数y=x 2+ax在区间[2,+∞)上单调递增的概率是（）．A. 15B. 25C. 35D. 457、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第7题5分2020年安徽合肥高三零模理科第10题5分函数f(x)=ln⁡x⋅(e x−1)e x+1的图象大致为（）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第8题5分一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）．A. 24πB. 8√6πC. 4√33πD. 12π9、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第9题5分(x−1x +1)5展开项中的常数项为（）．A. 1B. 11C. −19D. 5110、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第10题5分△ABC中，lg⁡cos⁡A=lg⁡sin⁡C−lg⁡sin⁡B=−lg⁡2，则△ABC的形状是（）．A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形11、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第11题5分点A ，B ，C 是单位圆O 上的不同三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若OC →=mOA →+nOB →（m >0，n >0），m +n =2，则∠AOB 的最小值为（）．A. π6B. π3C. π2D. 2π312、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第12题5分直线y =kx +1与抛物线C ：x 2=4y 交于A ，B 两点，直线l//AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记△PAB 的面积为S ，则S −|AB|的最小值为（）．A. −94B. −274C. −3227D. −6427二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第13题5分已知f(x)=sin⁡[π3(x+1)]−√3cos⁡[π3(x+1)]，则f(1)+f(2)+⋯+f(2020)=．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第14题5分已知x，y满足{x⩾1 x+y⩽4ax+by+c⩽0，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则a+b+ca=．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第15题5分若f(x)=13kx3+(k−2)x2−5k+7在(0,2)上单调递减，则k的取值范围是．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第16题5分2020年安徽合肥高三零模理科第15题5分若函数f(x)=2|x−2a|−4|x+a|在区间(−2,+∞)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第17题12分a n+1，n∈N∗．在数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12(1) 求数列{a n}的通项a n．(2) 若存在n∈N∗，使得a n⩽(n+1)λ成立，求实数λ的最小值．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第18题12分绵阳市为了激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如下表所示．(1) 根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210)，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P(36<Z⩽79.5)．(2) 在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：(i)得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会．(ii)每次抽奖所获奖券和对应的概率为：现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式，√210≈14.5．若X∼N(μ,σ2)，则①P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6827；②P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9545；③P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9973．19、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第19题12分如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．(1) 求证：AB 1⊥CC 1．(2) 若AB 1=√6，求平面A 1B 1C 1和平面ACB 1所成锐二面角的余弦值．20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第20题12分 2020年安徽合肥高三零模理科第22题12分已知f (x )=e x −mx ．(1) 若曲线y =ln⁡x 在点(e 2,2)处的切线也与曲线y =f (x )相切，求实数m 的值．(2) 试讨论函数f (x )零点的个数．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第21题12分已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P (1,32)在椭圆C 上，满足PF 1→⋅PF 2→=94．(1) 求椭圆C 的标准方程．(2) 直线l 1过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线l 2与l 1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点M ，N ，与直线x =1交于点K （K 介于M ，N 两点之间）．① 求证：|PM |⋅|KN |=|PN |⋅|KM |．②是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出l2的方程，若不能，请说明理由．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第22题10分2017~2018学年4月四川成都双流区高三下学期月考理科第22题10分2018年四川宜宾高三二模文科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=2sinα(α为参数)．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ=√3．(1) 求曲线C1的极坐标方程．(2) 设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第23题10分已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x．(1) 解关于x的不等式g(x)⩾f(x)−|x−1|．(2) 如果对任意的x∈R，不等式g(x)+c⩽f(x)−|x−1|恒成立，求实数c的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 D;13 、【答案】√3;14 、【答案】−2;15 、【答案】(−∞,1];16 、【答案】a=0或a⩾12;17 、【答案】 (1) a n={1,(n=1)2n×3n−2,(n⩾2)．;(2) 13．;18 、【答案】 (1) 0.8186．;(2)EX=36．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 35．;20 、【答案】 (1) m=1−e−2．;(2) 0⩽m<e时，f(x)无零点；m<0或m=e时，f(x)有一个零点；m>e时，f(x)有两个零点．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2)①证明见解析．②不存在直线l2,证明见解析．;22 、【答案】 (1) C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．;(2) △ABO的面积为√3．;23 、【答案】 (1) [−1,12]．;(2) (−∞,−98]．;。

2020年四川绵阳高三三模数学试卷(理科)

2020年四川绵阳高三三模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则中元素的个数是（）．A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）．A. B. C. D.3.已知，则（）．A. B. C. D.4.有报道称，据南方科技大学，上海交大等家单位的最新研究显示：、、、血型与易感性存在关联，具体调查数据统计如下：武汉市名正常人血型占比武汉市名患者血型占比型型型型A.与非型血相比，型血人群对相对不易感，风险较低B.与非型血相比，型血人群对相对易感，风险较高C.与型血相比，非型血人群对都不易感，没有风险D.与型血相比，型，型血人群对的易感性要高5.在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（）．A.B.C.D.6.已知在中，，则一定是（）．A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.已知两个单位向量，的夹角为，若向量，则（）．A.B.C.D.8.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图，若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在轴上的双曲线 )上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）．A.B.C.D.9.设函数，则下列结论错误的是（）．A.函数的值域为B.函数为偶函数C.函数为奇函数D.函数是定义域上的单调函数10.已知函数的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）．A.B.C.D.11.已知为实数，表示不超过的最大整数，若函数，则函数的零点个数为（）．A.B.C.D.12.在中，，，，为上的一点（不含端点），将沿直线折起，使点在平面上的射影在线段上，则线段的取值范围是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则．14.若曲线，在点处的切线的倾斜角为，则实数．15.已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则．16.在一个半径为的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.若数列的前项和为，已知，．求．设，求证：．（1）（2）18.如图，已知点为正方形所在平面外一点，是边长为的等边三角形，点为线段的中点．证明：平面．若侧面底面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）（2）19.年月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期天内每天配送的蔬菜量，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装)，并分组统计得到表格如下：蔬菜量天数若将频率视为概率，试解答如下问题：该物流公司负责人决定随机抽出天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这天配送的蔬菜量中至多有天小于件的概率；该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车?（1）20.已知函数，其中．当时，求函数的极值．【答案】解析:∵，∴表示点在上，∵，∴表示点在上，和，（2）试讨论函数在上的零点个数．（1）（2）21.已知动直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，且点在轴上方．若线段的垂直平分线交轴于点，若，求直线的斜率．设点，若点恒在以为直径的圆外，求的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点．分别写出半圆、圆的极坐标方程．直线与曲线，分别交于、两点（异于极点），为上的动点，求面积的最大值．（1）（2）23.已知函数．解关于的不等式．若函数的最小值记为，设，，均为正实数，且，求的最小值．C 1.∴中元素个数为，故选：．解析:∵，∴．故选．解析:∵，∴，∴．故选．解析:∵展开式中，仅第四项的系数最大，∴，，令，，∴．故选．解析:∵，∴，B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.，∴一定为等腰三角形，故选：．解析:因为，为单位向量，所以，又因为，的夹角为，所以，又因为，所以．故．故选．解析:∵上焦点到上顶点的距离为，∴，又到渐近线距离为，而倾斜角的正切值为，∴，又，∴，∴，即，∴，，A 7.C 8.故选．解析:∵,对于：令，则，∴，而，∴，∵为奇函数，故选项正确；对于：令，则，∴，令，则，∴，∴时，∴为偶函数，故选项正确；对于：当时，为单增函数，当时，，也为单增函数，∴是定义域上的单调函数，故选项正确；对于：时，没有定义，故值域不为，故选项错．故选．解析:∵最小正周期为，，，又关于中心对称，∴，，A 9.D 10.∴，，，，，令，∴，，∴，=，∴，∴，选．解析:令，∴，∴的零点个数即为函数与函数的交点个数．时，，时，，时，，∴的图象为∴，又∵，B 11.∴，∴时，，时，，∴在单减，在单增，时，又时，∴的图象为又时，∴与图象只有两个交点，即零点个数为．故选．解析:由题知：，，，∴，，现分析将在线段上移动时变化情况（移动方向从到），①当在线段上移动很小时，沿折叠后不会出现在平面上投影点在线段上的情况 ;A 12.②继续移动，会出现沿折叠后恰好在线段上，此时也就是出现点在平面上的投影点在线段上的临界情况，此时，，即线段临界情况为 ;③继续移动，会出现平面且点在向点方向移动，∴ ;④再移动点，直到至点时，为另一临界情况，，，∴，∴ .故选．13.解析:∵，∴，即，∴．14.解析:∵，∴，，∴．解析:设，，，则由椭圆的定义可得：①，在中，，由余弦定理得：②，则得，又因为，∴．故答案为：．解析:设正四棱柱高为，钢球球心为，为在正四棱柱底面投影．∴，，．∴．∴体积．∴．当时，．当时，．∴当时，正四棱柱体积最大．故答案为．15.①②16.（1）（2）（1）（2）解析:由，得，∴，即．∵，∴数列是一个首项为，公比为的等比数列，故．由，得．解析:连接交于，连接．∵正方形，为中点，又为中点，∴ ．又平面，平面，∴平面．取的中点为，连接并延长，显然．在等边三角形中，易得，（1）．（2）证明见解析．17.（1）证明见解析．（2）．18.（1）（2）∵侧面底面，且侧面底面，∴ 平面．∴，，于是可以为原点，分别以、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图．得，，，，，∴ ，，，，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，所以．设平面的法向量为．∴ ，令，则，，所以．∴ ，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．解析:记事件为“在天随机抽取天，其蔬菜量小于件”．则．∴随机抽取的天中配送的蔬菜量中至多有天的蔬菜量小于件的概率为．由题意得每天配送蔬菜量在，，，的概率分别为．设物流公司每天的营业利润为．（1）．（2）辆车．19.（1）（2）若租赁辆车，则的值为元；若租赁辆车，则的可能取值为，．其分布列为：故元；若租赁辆车，则的可能取值为，，，其分布列为：故元；若租赁辆车，则的可能取值为，，，，其分布列为：故元；因为．所以为使该物流公司每天的营业利润最大，该公式应租赁辆车．解析:当时，，，得．∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．（1）极大值，极小值．（2）当，在上有唯一零点；当或时，在上有没有零点．20.，当时，得在上递减，，故在上没有零点；当时，得在上递增，，故在上没有零点：当，即，得在上递减，要使在上有零点，则解得：，当，即时，得在上递减，在上递增，由于，，令，令，则，∴在上递减，故，即，∴在上递增，故，即，∴在上没有零点．综上所述，当，在上有唯一零点；当或时，在上没有零点．（1）．21.（2）．（1）（2）解析:设直线的方程为，若，则的垂直平分线与轴重合，与题意不合，若，设，，线段的中点，联立方程，整理得，由韦达定理得，，∴，，即，故线段的垂直平分线的方程为，令，则，即，解得，综上所述，直线的斜率．故答案为：直线的斜率．点恒在以为直径的圆外，则为锐角，等价于，设，，，则，，故恒成立，令，则，原式等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，①，解得，（1）（2）（1）②，解得，又，故，综上所述，的取值范围是．故答案为：．解析:由题意得，半圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为．由()得，，显然当点到直线的距离最大时，面积最大．此时点为过且与直线垂直的直线与圆的一个交点，如图，设与直线垂直于点，在中，，∴点到直线的最大距离为，∴面积的最大值为．解析:当时，，解得，当时，，满足题意；当时，，解得．（1）半圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为．（2）面积的最大值为．22.（1）．（2）．23.（2）综上所述，不等式的解集为．由，即的最小值为，即．．当且仅当时等号成立，所以最小值为．。

2020年四川省绵阳市南山中学高考(理科)数学三诊试卷含解析

2020届绵阳南山中学高考（理科）数学三诊模拟试卷一、选择题（共12小题）1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．5110．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜0，或x＞2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|x＞2}．故选：C．2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由，得z＝＝，∴，则z+＝﹣1．故选：C．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．【分析】由已知结合余弦定理即可求解．解：因为a＝3，b＝4，∠C＝120°，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝9＝37．故c＝．故选：D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【分析】根据点到直线的距离得到d＝，结合基本不等式a2+b2≥2ab（ab＞0），可得d的取值范围，即可得到与原的位置关系．解：圆心（0，0）到直线的距离d＝，因为a2+b2≥2ab（ab＞0），代入可得d≤1，故选：D．5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的基本定理得：＝＝﹣＝（）＝，得解解：＝＝﹣＝（）＝，故选：C．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率．解：∵函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增，∴y′＝1﹣＝≥0，在[2，+∞）恒成立，∴a≤x2在[2，+∞）恒成立，∴a≤4∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]，∴函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增的概率是＝，故选：C．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，据此分析选项即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣x）＝ln＝＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；对于f（x）＝，设t＝，则y＝lnt；在（0，+∞）上，t＝＝x（1﹣），易得t在（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在（0，+∞）上为增函数，则f（x）＝在（0，+∞）为增函数，排除C；故选：B．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π【分析】由四面体A﹣BCD所有棱长都为4，求出边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB 在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，由此求出球O的半径r，由此能求出球的表面积．解：∵四面体A﹣BCD所有棱长都为4，如图，∴边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，设OA＝OB＝r，则r2＝（﹣r）2+（）2，解得r＝，∴球的表面积S球＝4πr2＝24π．故选：A．9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．51【分析】类比二项展开式的通项处理即可．解：依题意，（x﹣+1）5展开式中r个因式选择x，s个因式选择﹣，则展开项为：T＝＝，要使该项为常数，则r＝1，①当r＝s＝0时，对应常数为1；②当r＝s＝1时，对应常数为＝﹣20；③当r＝s＝2时，对应常数为＝30；所以展开式的常数项为1﹣20+30＝11．故选：B．10．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2可得结合0＜A＜π 可求，，代入sin C＝sin B＝＝，从而可求C，B，进而可判断解：由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2∴∵0＜A＜π∴，∴sin C＝sin B＝＝∴tan C＝，C＝，B＝故选：B．11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设圆O的半径为1，对＝m+n，两边平方可得1＝m2+2mn cos∠AOB+n2，根据已知条件可知m，n∈（0，2），所以将m＝2﹣n带入上式并求出cos∠AOB的表达式，进而得到答案．解：由已知条件知，m，n∈（0，2），设圆O的半径为1；2＝（m+n）2；∴1＝m2+2mn cos∠AOB+n2；将m＝2﹣n带入并整理得﹣2n2+4n﹣3＝（﹣2n2+4n）cos∠AOB；∴cos∠AOB＝1+；∵n∈（0，2）时，2n2﹣4n＜0；且n＝1时，2n2﹣4n取最小值﹣2，1+取最大值﹣；此时，∠AOB＝，即为最小值．故选：A．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设出A，B的坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离，得到△PAB的面积为S，作差后利用导数求最值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，．则|AB|＝．由x2＝4y，得，，设P（x0，y0），则，x0＝2k，．则点P到直线y＝kx+1的距离d＝，从而S＝．S﹣|AB|＝（d≥1）．令f（x）＝2x3﹣4x2，f′（x）＝6x2﹣8x（x≥1）．当1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故，即S﹣|AB|的最小值为．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝2sin，分析可得其周期，进而可得f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin，进而计算可得答案．解：根据题意，＝2[sin（+）﹣cos （+）]＝2sin，其周期T＝＝6，f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin＝；故答案为：．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝﹣2．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解：由题意得：目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，∴则＝﹣2．故填：﹣2．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减⇔f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，分①当k＜0，②当k＝0，③当k＞0时，三类讨论，利用对应的函数的性质分析解决即可．解：∵f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，∴f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，①当k＜0，f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x的图象开口向下，对称轴方程为x＝﹣＝﹣1+＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0恒成立，故f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，满足题意；②当k＝0时，f（x）＝﹣2x2+7的图象开口向下，在（0，2）上单调递减，满足题意；③当k＞0时，由f′（x）≤0对∀x∈（0，2）恒成立得：，解得0＜k≤1；综上所述，k∈（﹣∞，1]故答案为：（﹣∞，1]．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是a ＝0或a≥【分析】利用转化思想，将函数的零点转化为y＝2|x﹣2a，y＝22|x+a|图象的交点．解：若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，令g（x）＝2|x﹣2a|，h（x）＝4|x+a|＝22|x+a|，即g（x）与h（x）图象在（﹣2，+∞）有且只有一个交点．∵g（x），h（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，所以①2（x+a）＝x﹣2a在（﹣2，+∞）恒成立，即a≥；②2（x+a）＝﹣（x﹣2a）在（﹣2，+∞）恒成立，即a＝0．故a的取值范围是a＝0或a≥．故答案为：a＝0或a≥．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．【分析】（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式相减可得＝，求得a2＝1，累乘化简可得数列{a n}的通项a n．（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．解：（1）当n≥2时，由a1＝1 及①可得②．两式相减可得na n＝﹣，化简可得＝，∴a2＝1．∴••…＝＝×××…×＝＝．综上可得，．…（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P （36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．【分析】（1）由题意求出Ez＝65，从而μ＝65，进而P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．由此能求出p（36＜Z≤79.5）．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）由题意得Ez＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05＝65．∴μ＝65，∵＝14.5，∴P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．∴p（36＜Z≤50.5）≈＝0.1359，综上，p（36＜Z≤79.5）＝p（36＜Z≤50.5）+p（50.5＜Z≤79.5）≈0.1359+0.6287＝0.8186．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．P（X＝20）＝，P（X＝40）＝＝，P（X＝60）＝＝，P（X＝80）＝＝．∴X的分布列为：X20 40 60 80P∴EX＝+＝36．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【分析】（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，推导出CC1⊥OA，CC1⊥OB1，从而CC1⊥平面AOB1，由此能证明AB1⊥CC1．（II）以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用同量法能求出平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，．解：（II）由（I）及AC＝2知，，又∴AO⊥OB1，∴以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，C1（0，1，0），，，C（0，﹣1，0）∴，，，，设平面A1B1C1的法向量为＝（a1，b1，c1），平面ACB1的法向量为＝（a2，b2，c2），则，取＝（1，，﹣1）＝（﹣1，，﹣1），设平面A1B1C1与平面ACB1所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值为．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．【分析】（Ⅰ）求得y＝lnx的导数，可得切线的斜率和方程，求y＝f（x）的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，可得m的方程，解方程，结合构造函数，即可得到所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，讨论m＜0，m＝0，m＝e，0＜m＜e，m＞e，判断f（x）的单调性和函数值的变化，以及最值的符号，可得所求零点个数．解：（Ⅰ）y＝lnx的导数为y′＝，可得曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线斜率为e﹣2，切线方程为y﹣2＝e﹣2（x﹣e2），f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，设与曲线y＝f（x）相切的切点为（s，t），可得切线的斜率为e s﹣m，则e s﹣m＝e﹣2，t＝e s﹣ms＝2+se﹣2﹣1，化为e s﹣se s＝1，设y＝e x﹣xe x，可得y′＝﹣xe x，当x＞0时函数y递减，x＜0时函数y递增，可得x＝0处函数y取得最大值1，解得s＝0，m＝1﹣e﹣2；（Ⅱ）f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，当m≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，当m＝0时，f（x）＝e x无零点；当m＜0时，x→﹣∞，f（x）→﹣∞，可得f（x）有一个零点；当m＞0时，由x＞lnm，f′（x）＞0，f（x）递增，由x＜lnm，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝lnm处取得极小值，且为最小值m﹣mlnm，当m﹣mlnm＞0，即0＜m＜e时，f（x）无零点；当m﹣mlnm＝0，即m＝e时，f（x）有一个零点；当m﹣mlnm＜0即m＞e时，f（x）有两个零点．综上可得，0≤m＜e时，f（x）无零点；m＜0或m＝e时，f（x）有一个零点；m＞e时，f（x）有两个零点．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则有•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c ﹣1，﹣），解可得题意可得c的值，进而由椭圆的定义可得a的值，计算可得b的值，将a、b 的值代入椭圆的方程可得答案；（Ⅱ）（ⅰ）设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，可得关于x的一元二次方程，令△＝0解可得k的值，结合题意可以设直线l2方程，联立两直线方程，整理可得x2+tx+t2﹣3＝0，由根与系数的关系分析可得PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，进而由正弦定理分析可得，即可得证明；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0），由等比数列的性质分析可得q＝﹣1，进而分析可得结论．解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，则•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c﹣1，﹣）＝1﹣c2+，所以c＝1，因为2a＝|PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，又由c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆C的标准方程为＝1；（Ⅱ）（ⅰ）证明：设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，消y得（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（3﹣2k）2﹣12＝0由题意知△＝0，解得k＝﹣，因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是．设直线l2方程：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得x2+tx+t2﹣3＝0，由△＞0，得t2＜4，x1+x2＝﹣t，x1•x2＝t2﹣3；直线PM、PN的斜率之和k PM+k PN＝＝＝＝0所以PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，在△PMK和△PNK中，由正弦定理得，，又因为∠MPK＝∠NPK，∠PKM+∠PKN＝180°所以故|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|成立；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0）若﹣，﹣k，k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q＝﹣1或q2＝﹣1或q3＝﹣1．所以q＝﹣1，则k＝，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符，故不存在直线l2，满足题意．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组求出交点坐标，进一步求出三角形面积．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数的C1的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2＝0．所以：C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ（2）解方程组，得到：4sinθcosθ＝．所以：，则：（k∈Z）．当（k∈Z）时，，当（k∈Z）时，ρ＝2．所以：C1和C2的交点极坐标为：A（），B（）．所以：．故△ABO的面积为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．【分析】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣2x），∴g（x）＝﹣x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．作出函数F（x）＝2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．。

2020年四川省绵阳市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一

数学试卷一、选择题1.已知复数z 满足1i z =+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i2.设{}{}24,4P x x Q x x =<=<，则( ) A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆ðD ．R Q P ⊆ð3.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为4,n S a 是3a 与7a 的等比中项，832S =，则10S 等于( ) A ．18B ．24C ．60D ．904.函数3e e x xy x x--=-的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．5.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布()210,0.1N （单位：kg ）现抽取500袋样本，x 表示抽取的面粉质量在()10,10.2kg 的袋数，则x 的数学期望约为( )附：若()2,Z N μσ-，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+≈，()220.9544P Z μσμσ-<≤+≈A ．171B ．239C ．341D ．4776.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象( )A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是( )A ．8B ．8πC ．16D ．16π8.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当他们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为 ( ) A ．1415B ．15C ．29D ．7910.若抛物线24y x =上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则OFP △的面积为( ) A ．12B ．1C ．32D ．211.设2018log a =2019log b =，120192018c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>12.如图，直角梯形ABCD ，90ABC ∠=︒，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE △沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为( )A ．12B C D ．1二、填空题13.双曲线2221x y -=的渐近线方程为_____________. 14.若1234,,,a a a a 成等比数列，且12323a a =-，2324a a =-，则公比q =_____________. 15.若函数(),021,01x x f x x mx m ⎧≥+⎪=⎨<+-⎪⎩在(),-∞+∞上单调递增，则m 的取值范围是__________．16.已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点()1,1--为中心的中心对称图形，2()e x g x ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．三、解答题17.已知数列{}n a 为等差数列，7210a a -=，且1621,,a a a 依次成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若225n S =，求n 的值. 18.“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友(女20人，男20人)在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0～2000步，(说明：“0～2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理)，B 、2000～5000步，C 、5000～8000步，D 、8000～10000步，E 、10000～12000步，且A B C 、、三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”．(Ⅰ)若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000～8000的人数；(Ⅱ)若在大学生M 该天抽取的步数在8000～12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；(Ⅲ)请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95％的把握认为“认定类别”与“性别”有关？19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，面ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（I ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得//AF 面PCE ，并说明理由；（II ）当二面角D FC B --的余弦值为14时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 20.已知椭圆22:1189x y C +=的短轴端点为12,B B ，点M 是椭圆C 上的动点，且不与12,B B 重合，点N 满足1122,NB MB NB MB ⊥⊥.（Ⅰ）求动点N 的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形21MB NB 面积的最大值. 21.已知设函数()ln(2)(1)e ax f x x x =+-+. （I ）若0a =，求()f x 极值；（II ）证明：当1,0a a >-≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，且0t >，π(0,)2α∈），曲线2C 的参数方程为cos 1x y sin ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数，且ππ(,)22β∈-）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为π1cos ((0,))2ρθθ=+∈，曲线4C 的极坐标方程为cos 1ρθ=.（I ）求3C 与4C 的交点到极点的距离；（II ）设1C 与2C 交于P 点，1C 与3C 交于Q 点，当α在π(0,)2上变化时，求||||OP OQ +的最大值.23.设0a b >>，且2ab =，记22a b a b+-的最小值为M .（I ）求M 的值，并写出此时,a b 的值；（II ）解关于的不等式：332x x M ++->.参考答案1.答案：A解析：∵1i z =-+∴1i z =-则复数z 的共轭复数z 的虚部为1-故选：A 2.答案：B解析：{}22Q x x =-<<,所以Q P ⊆.选B 3.答案：C解析：4a ∵是3a 与7a 的等比中项，2437a a a =∴，即()()()2111326a d a d a d +=++，又因为0d ≠，所以1230a d +=①，又81568322S a d ===∵，整理得1278a d +=②，由①②联立，解得12,3d a ==-， 1019010602S a d =+=∴. 4.答案：A解析：由()3e e x xf x x x --=-,得()()33e e e e x x x xf x f x x x x x -----===-+-，可得()f x 为偶函数，排除C ；当x →+∞时, 3e ,e 0,x x x x -→+∞→-→+∞，结合“指数爆炸”可得()3e e x xf x x x --=→+∞-，排除B ，D. 故选：A. 5.答案：B解析：∵()220.9544P Z μσμσ-<≤+≈，且10,0.1μσ==， ∴()9.810.20.9545P X <<≈,∴()0.95451010.20.477252P X <<==，则面粉质量在()10,10.2kg 的袋数Y 服从二项分布,即()500,0.47752Y B ~，则()5000.47752239E Y =⨯≈. 故选：B. 6.答案：D解析：因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，所以22T π=，所以T π=，所以22πωπ==，即()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即为了得到函数()sin 2g x x =的图象,只需将()y f x =的图象向右平移12π个单位长度，故选：D. 7.答案：B解析：由三视图可知：该几何体为底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱截去12，其体积为整个圆柱体积的12，即()()231248cm 2ππ⨯⨯=.故选：B. 8.答案：B解析：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B. 9.答案：A解析：从10部名著中选择2部名著的方法数为9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种， 2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为6+5+4+3+2+1=21种，只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为7×3=21种， ∴事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率：42144515P ==. 10.答案：B解析：由抛物线定义, 12p PF x =+=,所以1,2p p x y ==，所以, PFO △的面积1112122p S OF y ==⨯⨯=. 故选：B 11.答案：C解析：∵函数2018log y x =在()0,+∞是增函数，且2201820192018<<，220182018218log 2018log 2019log 2018<<∴，即20181log 20192<<， 201811log 2019122<<∴，20181log log 20192a ==∵，112a <<∴. 2019log y x =∵在()0,+∞是增函数，且20182019<，20192019log 2018log 20191<=∴，201911log 201822<∴，20191log log 20182b ==∵，12b <∴∵函数2018x y =在R 上是增函数，且102019>， 102019201820181c =>=∴，c a b >>∴.故选：C. 12.答案：B解析：直角梯形,//,90,2,1ABCD AB CD ABC CD AB BC ∠=︒===, E 是边CD 中点,ADE △沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，当D E CE '⊥时,点C 到平面ABD 距离取最大值， ∵,D E AE CE AE E '⊥=I ,∴D E '⊥平面ABCE ，以E 为原点,EC 为x 轴,EA 为y 轴,ED '为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,1,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0A C D B '， ()()()1,0,0,1,1,0,0,1,1AB AC AD ==-=-u u u r u u u r u u u r，设平面ABD '的法向量(),,n x y z =r ，则00n AB x n AD y z ⎧⋅==⎪⎨'⋅=-+=⎪⎩r u u u r r u u u u r ,取1y =,得()0,1,1n =r ，∴点C到平面ABD'距离的最大值为：AC ndn⋅===u u u r rr.故选：B.13.答案：y=解析：由双曲线的方程知1,a b==by xa=±= 14.答案：32-解析：∵122332,243a a a a=-=-，∴1212332149a a aa a a q===∴32q=-故答案为：32-15.答案：(]0,3解析：∵函数(),021,01x xf xxmx m⎧≥+⎪=⎨<+-⎪⎩在().-∞+∞上单调递增，∴函数1y mx m=+-在区间(),0-∞上为增函数，∴1212mm>⎧⎪⎨-≤+=⎪⎩，解得03m<≤，∴实数m的取值范围是(]0,3.故答案为：(]0,316.答案：43-解析：由1y x x =+的图象关于()0,0对称,()y f x =的图象可由1y x x=+平移可得。

2020届四川省绵阳南山中学高三高考仿真模拟(一)数学(理)试题(解析版)

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形重心的性质，结合题意，求得结果.
【详解】
设，由抛物线的焦点的坐标为，
焦点F为的重心，
所以，
显然直线斜率存在，设为，则直线方程为，
联立，消去得：，
所以，即 ①，且，
所以，
【详解】
解：（1）∵调查的500位被隔离者中有位
需要社区非医护人员提供帮助，
∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为
；
（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，
．
∵ ，
∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关．
三、解答题
17．已知一个公比q不为1的等比数列和一个公差也为q的等差数列，且成等差数列．
（1）求q的值；
（2）若数列前n项和为，，试比较时，与的大小．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析.
【解析】（1）根据等比数列的通项公式及等差中项列出方程即可求出；
（2）计算出等差数列的通项公式，利用求和公式得，做差，分类讨论即可.
2020届四川省绵阳南山中学高三高考仿真模拟（一）数学（理）试题
一、单选题
1．在复平面内，已知点所对应的复数为z，则为（）
A．1B． C．2D．0
【答案】B
【解析】由题意可得，从而可求得其模.
【详解】
解：因为在复平面内点所对应的复数为z，
所以，所以，
故选：B
【点睛】
此题考查复数的几何意义，复数的模，属于基础题.
【详解】

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={x|2x ≥1}，则A ∩B =( )A. (−∞,−3]B. (−∞,1]C. (−3,0]D. [0,1)2. 设不等式组{x −y ≤2√2x +y ≥−2√2y ≤0所表示的区域为M ，函数y =−√4−x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A. π4B. π8C. π16D. 2π 3. 如图所示的程序框图是为了求出满足1+12+13+⋯+1n <100的最大正整数n的值，那么在“◇”和“▱”两个空白框中，可以分别填入( )A. “S <100？”和“输出i −1”B. “S <100？”和“输出i −2”C. “S ≥100？”和“输出i −1”D. “S ≥100？”和“输出i −2”4. 已知i 是虚数单位，则|2i1+i |=( ) A. 1 B. 2√2 C. 2 D. √25. “|b|≤√2”是“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1有公共点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 数列{a n }中，已知a 61=2 000，且a n+1=a n +n ，则a 1等于( )A. 168B. 169C. 170D. 1717. 某组合体的三视图如图所示(其中侧视图中的弧线为半圆)，则该几何体的体积为( )A. 2π+2B. π+43C. 43π+43D. 2π+438. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 39. 若“0≤x ≤4”是“(x −a)[x −(a +2)]≤0”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. (0,2)B. [0,2]C. [−2,0]D. (−2,0)10. 已知奇函数f(x)在[−1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且α>β，则下列结论正确的是( )A. f(cos α)>f(cos β)B. f(sin α)>f(sin β)C. f(sin α)>f(cos β)D. f(sin α)<f(cos β) 11. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为( )A. √52B. √102C. √152D. √512. 已知函数f(x)={x −2lnx,x ⩾1−x 2+2x,x <1，若关于x 的方程f(x)=k 有3个不相等的实根，则实数k 的取值范围为( )A. (2−2ln 2,1)B. (−∞,2−2ln 2)C. (2−2ln 2,+∞)D. (1,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的两个焦点且F 1，F 2到直线x a +y b =1的距离之和为√3b ，则离心率e = ______ ．14. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______．15. 小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有______ 种．16. 在△ABC 中，∠A 为钝角，AB =2，AC =3，AO⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且2λ+3μ=1，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |(其中x 为实数)的最小值为1，则|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在平面四边形ABCD中，已知∠ABC=3π，AB⊥AD,AB=1．4(1)若AC=√5，求ΔABC的面积；(2)若，求CD的长．18.某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[40,50)，第二组[50,60)，…，第六组[90,100]，作出频率分布直方图，如图所示：(1)用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差(精确到个位)；(2)以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为Y，是估算Y的数学期望．19.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1⊥AB，AB=3,BC=5.(1)求证：AA1⊥BC；(2)求二面角A1−BC1−B1的余弦值.20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(−2,0)、P2(−1,32)、P3(1,1)、P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)过定点P(−2,t)(t≠0)作直线l、与椭圆C相交于不同的两点M、N，过点M作x轴的垂线分别与直线P1P2、P1N交于点A、B，若点A为线段MN的中点，求t的值．21.已知函数f(x)=e x−ax2−bx−1，其中a,b∈R，e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)=0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e−2<a<1．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：{x=2+2cosθy=2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α(ρ>0)．(1)将圆C的参数方程化为极坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,√3)，射线l与圆C交于点B不同于点O)，求△OAB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|x−a|+|2x−2|(a∈R)．(1)当a=2时，求不等式f(x)>2的解集；(2)若x∈[−2,1]时不等式f(x)≤3−2x成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A ={x|−3<x <1}，B ={x|x ≥0}；∴A ∩B =[0,1)．故选：D ．可解出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算． 2.答案：A解析：解：不等式组{x −y ≤2√2x +y ≥−2√2y ≤0所表示的区域为M ，作出可行域，得M 是如图所示的阴影三角形，该三角形的面积S =12×4√2×2√2=8，函数y =−√4−x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，N 是以O(0,0)为圆心，以2为半径的下半圆，该下半圆的面积S 半圆=12π×22=2π，∴由几何概型得：向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为S 半圆S =2π8=π4．故选：A ．作出可行域，得M 是等腰直角三角形，该三角形的面积S =12×4√2×2√2=8，N 是以O(0,0)为圆心，以2为半径的下半圆，由几何概型能求出向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3.答案：D解析：本题考查循环结构的程序框图，属于基础题．由题意程序循环至1+12+...+1i≥100时，退出循环，则判断框应填S≥1 00，由于满足1+12+13+⋯+1n≥1000后，又执行了一次i=i+1，故输出的应为i−2的值．解：求满足1+12+13+⋯+1n<1 00的最大正整数n 的值，初始值i=1，S=0，则S=1，i=2，...循环至1+12+...+1i≥100时，退出循环，所以在应填“S≥1 00”，因为当1+12+...+1i≥100时，i变为i+1，且应输出1+12+13+⋯+1n<1 00的最大n值，故输出“i−2”.故选D．4.答案：D解析：本题考查复数的运算及复数的模，直接计算即可，属基础题．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i，所以|2i1+i|=|1+i|=√2．故选D．5.答案：C解析：根据题意，求出圆x2+y2=1的圆心到直线y=x+b的距离d，由直线与圆的位置关系分析可得“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；即可得答案．本题考查直线与圆位置关系的判断，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．解：根据题意，圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径r=1，圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d=√2，若“|b|≤√2”，则d≤r，直线与圆相交或相切，直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点；则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分条件；若“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”，则有d≤r，即√2≤1，解可得“|b|≤√2”，则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的必要条件；故“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；故选：C．6.答案：C解析：本题考查了数列的递推关系，累加法的应用，属于基础题．解：∵a61=2000,a n+1−a n=n，则a61=(a61−a60)+(a60−a59)+⋯+(a2−a1)+a1=60+59+⋯+1+a1=60×(60+1)2+a1=2000，∴a1=170．故选C．7.答案：B解析：解：几何体为半圆柱与正四棱锥的组合体，其中，半圆柱的底面半径为1，高为2，正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴几何体的体积为V =π×12×2×12+13×22×1=π+43．故选：B ．几何体上部分半圆柱，下部分为正四棱锥，代入数据计算即可．本题考查了常见几何体及其简单组合体的三视图，结构特征与体积计算，属于中档题． 8.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z =x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z =x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2,−2)时z 取到最小值，所以z =x +2y 的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B ． 9.答案：B解析：解：由(x −a)[x −(a +2)]≤0，解得：a ≤x ≤a +2，由集合的包含关系知：{a ≥0a +2≤4(其中等号不同时成立)， ∴a ∈[0,2]，故选：B ．先解出不等式(x −a)[x −(a +2)]≤0，结合集合之间的关系，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．。

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(文科)(有答案解析)

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数A. B. C. i D.2.设集合，，则中元素的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33.已知单位向量，满足，则A. 0B.C. 1D. 24.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是A. 与非O型血相比，O型血人群对相对不易感，风险较低B. 与非A型血相比，A型血人群对相对易感，风险较高C. 与O型血相比，B型、AB型血人群对的易感性要高D. 与A型血相比，非A型血人群对都不易感，没有风险5.已知，则A. 4B. 6C.D. 96.在中，若，那么一定是A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形7.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为A. 2B. 3C.D.8.已知定义在R上的奇函数满足，若，，则实数a的取值范围为A. B. C. D.9.某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为A. B. C. D.10.已知函数的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是A. B.C. D.11.如图，教室里悬挂着日光灯管AB，，灯线，将灯管AB绕着过AB中点O的铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为A. 30cmB. 40cmC. 60cmD.75cm12.已知x为实数，表示不超过x的最大整数，若函数，则函数的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.曲线在的处的切线方程为______．15.已知，是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆上的一点，，且的面积为，则______．16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率三等品10二等品30b一等品a特等品20合计n1求a，b，n；从质量指标值在的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18.若数列的前n项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．19.如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，．证明：平面PCD；求三棱锥的体积．20.已知动直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．若直线OG的斜率为，求直线l的方程；设点，若恒为锐角，求的取值范围．21.已知函数，其中．当时，求函数的极值；试讨论函数在上的零点个数．22.如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点O．分别写出半圆，的极坐标方程；直线l：与曲线，分别交于M、N两点异于极点，P为上的动点，求面积的最大值．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：解：画出和的图象如下：可看出圆和直线有两个交点，的元素个数为2．故选：C．可画出圆和直线的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出中的元素个数．考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：因为单位向量，满足，则．故选：C．直接把已知代入数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．4.答案：D解析：解：根据A、B、O、AB血型与易感性存在关联，患者占有比例可知：A型最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．本题考查由频数直方图，看频数、频率，判断问题的关联性，属于基础题5.答案：D解析：解：，，，故选：D．利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．解析：解：，，即，，为等腰三角形．故选B．由三角形的内角和定理得到，代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到，由此可得到三角形为等腰三角形．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7.答案：B解析：解：双曲线的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得，，，所以双曲线的离心率为：．故选：B．利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基本知识的考查，基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，函数满足，则有，函数是周期为4的周期函数，则，又由且，则有，变形可得，解可得：；故a的取值范围为；故选：D．根据题意，分析可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得，进而可得，变形可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.答案：A解析：解：某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，基本事件总数，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数，则这两位居民参加不同服务队的概率．基本事件总数，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数，由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：D解析：解：函数的最小周期是，，得，则，关于中心对称，，，即，，，当时，，即，则函数在上递增，在上递减，，，，即，故选：D．根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键．难度中等．11.答案：D解析：解：设与交于点N，过点作于M，连接MN，如图所示；则，中，，，，所以；在中，由勾股定理得，，解得．故选：D．设与交于点N，过点作于M，连接MN，由等边三角形求出，由勾股定理求得AC的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数与的交点个数．由，得．可知当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．作出两函数与的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数与的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．13.答案：解析：解：，两边平方可得：，可得，．故答案为：．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：解析：【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．【解答】解：而切点的坐标为曲线在的处的切线方程为故答案为：15.答案：2解析：解：的面积，则，又根据余弦定理可得，即，所以，解得，故答案为：2．根据正余弦定理可得且，解出b即可．本题考查椭圆性质，考查正、余弦定理的应用，属于中档题．16.答案：解析：解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则，所以，所以正四棱柱容器的容积为，；求导数得，令，解得，所以时，，单调递增；时，，单调递减；所以时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题．17.答案：解：由，即，，．设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得，，在抽取的6件中，有特等品2件，记为，，有一等品4件，记为，，，，则所有的抽样情况有15种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：，，，，，，，，，至少有1件特等品被抽到的概率为：．解析：由，得，由此能求出a，b．设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得，，在抽取的6件中，有特等品2件，记为，，有一等品4件，记为，，，，由此利用列举法能求出至少有1件特等品被抽到的概率．本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：数列的前n项和为，已知，所以，所以是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．．，，成立，即，解得，所以最小自然数n为100．解析：利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解即可．化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．本题考查数列与不等式相结合，数列求和以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.答案：证明：取PC的中点G，连接DG，四边形ABCD为正方形，且，，且．，且．四边形DEFG为平行四边形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．解：平面PCD，到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，．平面ABCD，．．解析：取PC的中点G，连接DG，利用正方形的性质、三角形中位线定理可得：，且于是四边形DEFG为平行四边形，可得，即可证明平面PCD．根据平面PCD，可得F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，可得由平面ABCD，可得，即可得出．本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积、转化方法、平行四边形与正方形的性质、三角形中位线定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由题意得，设直线l的方程为：，设，，线段MN的中点，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，可得，，所以，，即，所以，由题意可得，解得或，所以直线l的方程为：，或；恒为锐角，等价于，设，，，，，则恒成立，令，则，原式等价于，对任意的恒成立，令，，解得，，解得：，又，故，综上所述：的取值范围．解析：由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得中点G的坐标，求出直线OG的斜率，再由题意可得直线中参数的值，进而求出直线方程；恒为锐角，等价于，设M的坐标，求出向量的代数式，使其大于0恒成立，令函数，分两种情况讨论函数大于0时的的范围．本题考查直线与抛物线的综合及角为锐角与数量积的关系，考查函数大于0恒成立的条件，属于中难题．21.答案：解：当时，，，，易得在，上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，，当时，在上单调递减，，此时函数在上没有零点；当时，在上单调递增，，此时函数在上没有零点；当即时，在上单调递减，由题意可得，，解可得，，当即时，在上单调递减，在上单调递增，由于，，令，令，则，所以在上递减，，即，所以在上递增，，即，所以在上没有零点，综上，当时，在上有唯一零点，当或时，在上没有零点．解析：把代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用．22.答案：解：曲线是以为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．由得：．显然当点P到直线MN的距离最大时，的面积最大．此时点P为过且与直线MN垂直的直线与的一个交点，设与直线MN垂直于点H，如图所示：在中，，所以点P到直线MN的最大距离，所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：．，或或，，不等式的解集为．的最小值为1，即，．，当且仅当时等号成立，最小值为3．解析：将写为分段函数的形式，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；利用绝对值三角不等式求出的最小值m，然后由，根据，利用基本不等式求出的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科) (含答案解析)

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合M ={x|x >0,x ∈R}，N ={x||x −1|≤2,x ∈Z}，则M ∩N =( )A. {x|0<x ≤2,x ∈R}B. {x|0<x ≤2,x ∈Z}C. {−1,−2,1，2}D. {1,2，3}2. 已知a 是实数，a−i1+i 是纯虚数，则a =( )A. 1B. −1C. √2D. −√23. 若θ∈(π4,π2)，sin 2θ=4√29，则cosθ=( )A. 13B. 23C. 2√23D. 894. 下列四个结论，其中正确的是( )①命题“∃x 0∈R,sinx 0+cosx 0<1”的否定是“∀x ∈R,sinx +cosx ≥1”； ②若p ∧q 是真命题，则¬p 可能是真命题； ③“a >5且b >−5”是“a +b >0”的充要条件； ④当a <0时，幂函数y =x a 在区间(0,+∞)上单调递减．A. ②④B. ②③C. ①③D. ①④5. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a6. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =1，|b ⃗ |=2则(3a ⃗ −2b⃗ )⋅b ⃗ =( ) A. 5 B. −5 C. 6 D. −67. 如图所示的程序框图，若输入a =101201，则输出的b =( )A. 64B. 46C. 289D. 3078.若函数f(x)的导函数f′(x)的图像如下图所示，则下列说法正确的是()A. x1是f(x)的极大值点B. x1和x3都是f(x)的极值点C. x2和x3都是f(x)的极值点D. x2，x3都不是f(x)的极值点9.在区间[−12 ,12]上随机取一个数x，则cosπx的值介于√22与√32之间的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 1610.直三棱柱ABC−A1B1C1底面是等腰直角三角形，AB⊥AC，BC=BB1，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. √36B. 23C. √32D. 1211.过原点O作直线l：(2m+n)x+(m−n)y−2m+2n=0的垂线，垂足为P，则点P到直线x−y+3=0的距离的最大值为()A. √2+1B. √2+2C. 2√2+1D. 2√2+212.已知函数f(x)=ax−1+ln x，若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A. a≥1B. a≤1C. a>2D. a<2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.经过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位：km/ℎ)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中这100辆汽车时速的范围是[30,80]，数据分组为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80].设时速达到或超过60km/ℎ的汽车有x辆，则x等于______ ．14.将函数f(x)=sin2x−√3cos2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则φ的最小值为______．15.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为______ ．16.在三棱锥D−ABC中，DC⊥底面ABC，AD=6，AB⊥BC且三棱锥D−ABC的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ADC=90°，CD=1，AD=√3，AB=4，CB=2√3.将△ADC沿AC折起，使得点D在平面ABC的正投影O恰好落在AC边上，得到几何体D−ABC，如图2所示．(1)求证：AD⊥平面BCD；(2)求点C到平面ABD的距离．18. 已知某蔬菜商店买进的土豆x(吨)与出售天数y(天)之间的关系如表所示：x 2 3 4 5 6 7 9 12 y 1 2 3 3 4 5 6 8(Ⅰ)请根据表中数据在所给网格中绘制散点图；(Ⅱ)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(其中b ^保留2位有效数字)；(Ⅲ)根据(Ⅱ)中的计算结果，若该蔬菜商店买进土豆40吨，则预计可以销售多少天(计算结果保留整数)？附：b ^=∑x i n i=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx 2，a ^=y .−b ^x .．19. 设各项均为正数的数列{a n }满足4S n =(a n +1)2(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求a n 的通项公式； (Ⅱ)设b n =1an ⋅a n+1，n ∈N ∗，求b n 的前n 项和T n ．20.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,32)，离心率为12.过椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆于A，B两点．(1)求实数a、b的值；(2)若AB=72，求直线AB的方程．21.已知函数g(x)=(1−a)lnx+x+ax,a∈R．(1)当a=2时，求曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程；(2)求g(x)在区间[1,e]上的最小值m(a)．22. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23. 设函数f(x)=|x −a|+|x +2a |(a ≠0,a ∈R)．(1)当a =1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接进行集合运算即可．解：集合M={x|x>0,x∈R}，N={x||x−1|≤2,x∈Z}={x|−1≤x≤3,x∈Z}={−1,0，1，2，3}，则M∩N={1,2，3}．故选D．2.答案：A解析：解：由a−i1+i =(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−12−a+12i是纯虚数，则a−12=0且a+12≠0，故a=1故选A．化简复数分母为实数，复数化为a+bi(a、b是实数)明确分类即可．本小题主要考查复数的概念．是基础题．3.答案：A解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求可得cos2θ，进而利用二倍角公式可求cosθ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的综合应用，属于基础题．解：由θ∈(π4,π2)，sin2θ=4√29，得2θ∈(π2,π)，可得cos2θ=−√1−sin 22θ=−79，所以cosθ=√1+cos2θ2=13．故选：A ．4.答案：D解析：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，题目涉及的知识点较多，但大多难度不大．解：①命题“∃x 0∈R,sinx 0+cosx 0<1”的否定是“∀x ∈R,sinx +cosx ⩾1”，正确，故①正确； ②若“p ∧q 是真命题”，则p ，q 都为真命题，则“￢p 是假命题，故②错误；③由a +b >0可得a >−b ，所以“a >5且b >−5”是“a +b >0”的充分不必要条件，故③错误；④当a <0时，幂函数y =x a 在区间(0,+∞)上单调递减，故④正确．故正确的是①④，故选D ．5.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ．故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查向量数量积的运算，属基础题．根据向量数量积的运算法则化简即可．解：因为a ⃗ ⋅b ⃗ =1，|b ⃗ |=2，所以(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =3a ⃗ ·b ⃗ −2b ⃗ 2=3−8=−5．故选B ．7.答案：B解析：解：经计算得b =1×30+0×31+2×32+1×33=46．故选：B ．根据题意模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出b =1×30+0×31+2×32+1×33的值，从而计算得解．本题考查循环结构的程序框图的应用，模拟程序的运行进行求解即可，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查函数图象的应用，函数的极值和单调性，属于基础题．根据f′(x)的图像可知f(x)的单调区间，结合选项可得结果．解：根据函数f(x)的导函数f′(x)的图像可知，函数f(x)在(−∞,x 1)单调递减，在(x 1,+∞)单调递增，所以x 1是f(x)的极小值点，x 2，x 3都不是f(x)的极值点，结合选项可知D 正确．故选D ．9.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出满足条件的测度，利用公式解答．由题意，本题符合几何概型，只要分别求出满足条件的区间的长度，利用概率公式解答即可．解：区间[−12,12]的长度为1，满足则cosπx 的值介于√22与√32之间x ∈(−14,−16)∪(16,14)，区间长度为16，由几何概型的概率可求cosπx 的值介于√22与√32之间的概率为161=16．故选D ．10.答案：A解析：本题主要考查了异面直线所成角，建立空间直角坐标系即可解得答案，属于基础题．解：以A 为原点建立空间直角坐标系，AB 为x 轴，AC 为y 轴，所以A(0,0，0)，B 1(a,0，√2a)，B(a,0，0)，C 1(0,a ，√2a)，所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，√2a)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，√2a)，所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√36，故选A ．11.答案：A解析：本题考查了直线过定点问题，点到直线的距离公式，属于一般题．根据题意，可得直线l 过定点Q(0,2)，进行求解即可．解：(2m +n)x +(m −n)y −2m +2n =0整理得(2x +y −2)m +(x −y +2)n =0，由题意得{2x +y −2=0x −y +2=0，解得{x =0y =2，所以直线l 过定点Q(0,2)．因为OP ⊥l ，所以点P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为(0,1)，半径为1，因为圆心(0,1)到直线x −y +3=0的距离为d =2=√2，所以P 到直线x −y +3=0的距离的最大值为√2+1．故选：A ．12.答案：A解析：本题考查了函数恒成立问题，考查了分离变量法求参数的取值范围，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．根据题意不等式f(x)≥0恒成立，可转化为不等式a ≥x −xlnx 在x ∈(0,+∞)上恒成立，进而得到a ≥g(x)max ，再由导数求得其最大值，则a 的取值范围可求．解：对任意的x ∈(0,+∞)，不等式f(x)≥0恒成立，可转化为不等式a ≥x −xlnx 在x ∈(0,+∞)上恒成立，令g(x)=x −xlnx ，则问题转化为a ≥g(x)max,因为gˈ(x)=1−(1+lnx)=−lnx ，当0<x <1时，gˈ(x)>0，当x>1时，gˈ(x)<0，所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=1，所以a≥1．故选A．13.答案：38解析：解：根据频率分布直方图，得时速达到或超过60km/ℎ的汽车的频率为：(0.028+0.010)×10=0.38；∴时速达到或超过60km/ℎ的汽车辆数为：x=100×0.38=38．故答案为：38．根据频率分布直方图，求出时速达到或超过60km/ℎ的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，得出解答问题的有效数据，求出正确的解答来，是基础题．14.答案：5π12解析：解：函数f(x)=sin2x−√3cos2x，=2sin(2x−π3)，把函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到：g(x)=2sin(2x+2φ−π3)的图象，由于函数g(x)的图象关于y轴对称，故：g(0)=±2，即：2sin(2φ−π3)=±2，所以：2ϕ−π3=kπ+π2(k∈Z)，解得：φ=kπ2+5π12(k∈Z)，当k=0时，φ的最小值为5π12．故答案为：5π12．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的对称性求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.答案：7+4√3 解析：解：抛物线的焦点F(1,0)，设直线AB 的方程为x =my +1．联立方程组{y 2=4x x =my +1，得x 2−(4m 2+2)x +1=0．设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，则y 12y 2216=1.∴y 22=16y 12．由抛物线的性质得|AF|=y 124+1，|BF|=y 224+1=4y 12+1． ∴3|AF|+4|BF|=3y 124+3+16y 12+4=7+3y 124+16y 12≥7+2√12=7+4√3．故答案为：7+4√3．设直线方程为x =my +1，联立方程组得出A ，B 两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出3|AF|+4|BF|关于A ，B 两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．16.答案：36π解析：解：如图，∵DC ⊥底面ABC ，∴DC ⊥AB ，又AB ⊥BC ，DC ∩BC =C ，∴AB ⊥平面DBC ，则AB ⊥DB ，又DC ⊥AC ，∴AD 的中点O 为三棱锥D −ABC 的外接球的球心，则半径r =12AD =3．∴球O 的表面积为4πr 2=36π．故答案为：36π．由已知画出图形，证明AB ⊥BD ，又DC ⊥AC ，可得AD 的中点O 为三棱锥D −ABC 的外接球的球心，再由球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：证明：(1)据题意得：DO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DO⊥BC，因为AC=2，CB=2√3，AB=4，满足AC2+CB2=AB2，所以AC⊥BC，又DO∩AC=O，DO、AC⊂平面ADC，所以BC⊥平面ADC，又AD⊂平面ADC，得BC⊥AD，又AD⊥DC，BC∩DC=C，BC、DC⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD．(2)设点C到平面ABD的距离为d，由(1)知：DO是三棱锥D−ABC的高，且DO=AD⋅CDAC =√32，S△ABC=12⋅AC⋅BC=2√3，由(1)知AD⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，∵AD⊥BD，∴BD=√AB2−AD2=√13，S△ABD=12⋅AD⋅BD=√392，由V C−ABD=V D−ABC，得S△ABD⋅d=S△ABC⋅DO，即√392×d=2√3×√32，解得d=2√3913，所以点C到平面ABD的距离为2√3913．解析：本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．(1)推导出DO⊥平面ABC，从而DO⊥BC，推导出AC⊥BC，从而BC⊥平面ADC，即有BC⊥AD，再由AD⊥DC，能证明AD⊥平面BCD．(2)设点C到平面ABD的距离为d，由V C−ABD=V D−ABC，能求出点C到平面ABD的距离．18.答案：解：(Ⅰ)根据表中数据画出散点图如下所示：(Ⅱ)依题意，计算x .=18(2+3+4+5+6+7+9+12)=6，y .=18(1+2+3+3+4+5+6+8)=4，∑x 8i=1 i 2=4+9+16+25+36+49+81+144=364， ∑x i 8i=1y i =2+6+12+15+24+35+54+96=244，求回归系数为b ^=∑x i 8i=1y i −8xy ∑x 8i=1 i 2−8x 2=244−8×6×4364−8×62=5276=0.68， ∴a^=4−0.68×6=−0.08； ∴回归直线方程为y ^=0.68x −0.08．(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当x =40时，y =0.68×40−0.08≈27，故买进土豆40吨，预计可销售27天．解析：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，是基础题．(Ⅰ)根据表中数据画出散点图即可；(Ⅱ)依题意，计算x .、y .，求出回归系数，写出回归直线方程；(Ⅲ)由回归方程计算x =40时y 的值即可． 19.答案：解：(Ⅰ)4S n =(a n +1)2(n ∈N ∗)，n =1时，4a 1=4S 1=(a 1+1)2，解得a 1=1，当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=(a n +1)24−(a n−1+1)24，整理可得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，因为数列{a n }各项均为正数，a n −a n−1=2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以{a n }的通项公式为a n =2n −1；(Ⅱ)由b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1．解析：(Ⅰ)由数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 20.答案：解：(1)因为椭圆离心率为12，且a 2=b 2+c 2，所以a =√3b ，又因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(1,32)，所以1a 2+94b 2=1，解得a =2，b =√3． (2)当直线AB 斜率为0时，AB =2a =4，不符合题意．所以可设直线AB 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立得：(3m 2+4)y 2+6my −9=0，△=36m 2+36(3m 2+4)>0，则y A +y B =−6m 3m 2+4，y A ·y B =−93m 2+4， AB =√1+m 2·|y A −y B |=√1+m 2·√(y A +y B )2−4y A ·y B =12m 2+123m 2+4=72，所以m 2=43，m =±2√33，故直线AB 的方程为x ±2√33y −1=0．解析：本题考查椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)利用椭圆性质可得a2=b2+c2，所以a=√3b，然后点带入求出a，b值；(2)联立直线和椭圆然后利用韦达定理可得AB=√1+m2·|y A−y B|=√1+m2·√(y A+y B)2−4y A·y B=12m2+123m2+4=72，即可求出参数，进而求出直线方程．21.答案：解：(1)当a=2时，g(x)=−lnx+x+2x，g(1)=3，又g′(x)=−1x +1−2x2，∴g′(1)=−2，∴曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线斜率为g′(1)=−2，∴曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y−3=−2(x−1)，即2x+y−5=0．(2)定义域为(0,+∞)，∵g(x)=(1−a)lnx+x+ax，∴g′(x)=1−ax +1−ax2=x2+(1−a)x−ax2=(x+1)(x−a)x2，若a≤1，当1<x<e时，g′(x)>0，∴g(x)在区间[1,e]上是增函数，∴g(x)在区间[1,e]上的最小值为m(a)=g(1)=1+a，若1<a<e，当1<x<a时，g′(x)<0，当a<x<e时，g′(x)>0，∴g(x)在区间[1,a]上是减函数，在区间[a,e]上是增函数，∴g(x)在区间[1,e]上的最小值为m(a)=g(a)=(1−a)lna+a+1，若a≥e，当1<x<e时，g′(x)<0，∴g(x)在区间[1,e]上是减函数，∴g(x)在区间[1,e]上的最小值为m(a)=g(e)=1−a+e+ae，综上所述，m(a)={1+a,a≤1(1−a)lna+a+1,1<a<e 1−a+e+ae,a≥e．解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)当a=2时，求出函数的导数，计算g(1)，g′(1)，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值m(a)．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ，整理得(ρcosθ)2=2ρsinθ，转换为直角坐标方程为x 2=2y ．(2)把直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t，代入x 2=2y ，得到：(√22t −1)2=2×√22t ，整理得12t 2−2√2t +1=0，即：t 2−4√2t +2=0，故t 1+t 2=4√2，t 1t 2=2，所以：|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +2|，故f(x)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，①当x >1时，由2x +1≤5解得：x ≤2，故1<x ≤2，②当−2≤x ≤1时，由3≤5得x ∈R ，故−2≤x ≤1，③当x <−2时，由−2x −1≤5得x ≥−3，故−3≤x <−2，综上，不等式的解集是[−3,2]；(2)f(x)=|x −a|+|x +2a| ≥|(x −a)−(x +2a )|=|a +2a |，当且仅当(x −a)(x +2a )≤0，即−2a ≤x ≤a(a >0)或a ≤x ≤−2a (a <0)取“=”，故g(a)=|a +2a |，∵|a +2a |=|a|+|2a |≥2√|a|⋅|2a |=2√2，当且仅当|a|=|2a |，即a =±√2时取“=”，故g(x)min=g(±√2)=2√2．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．(1)求出a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)通过讨论x的范围，得到关于a的不等式，求出g(x)的最小值即可．。

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2021届新高考化学模拟试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．化学与社会、生活密切相关。

下列说法错误的是（）A．蚕丝属于天然高分子材料B．雾霾纪录片《穹顶之下》，提醒人们必须十分重视环境问题，提倡资源的“3R”利用，即：减少资源消耗（Reduce)、增加资源的重复使用（Reuse）、提高资源的循环利用（Recycle）C．化石燃料完全燃烧不会造成大气污染D．中国古代用明矾溶液清洗铜镜表面的铜锈【答案】C【解析】【详解】A. 蚕丝主要成分是蛋白质，属于天然高分子材料，A正确；B.资源的“3R”利用，即：减少资源消耗（Reduce)、增加资源的重复使用（Reuse）、提高资源的循环利用（Recycle）符合绿色化学理念，B正确；C.化石燃料完全燃烧会生成CO2,可以形成温室效应，会造成大气污染，C错误；D.明矾是KAl(SO 4)2·12H2O，Al3＋在溶液中发生水解反应Al3＋＋3H2O Al(OH)3＋3H＋，明矾溶液呈酸性，可清洗铜镜表面的铜锈，D正确。

故选D。

2．全钒液流电池是一种新型的绿色环保储能电池，其电池总反应为：V3++VO2++H2O VO2++2H++V2+．下列说法正确的是（）A．放电时正极反应为：VO2++2H++e-=VO2++H2OB．放电时每转移2mol电子时，消耗1mol氧化剂C．放电过程中电子由负极经外电路移向正极，再由正极经电解质溶液移向负极D．放电过程中，H+由正极移向负极【答案】A【解析】【分析】根据电池总反应V3++VO2++H2O VO2++2H++V2+和参加物质的化合价的变化可知，放电时，反应中VO2+离子被还原，应在电源的正极反应，V2+离子化合价升高，被氧化，应是电源的负极反应，根据原电池的工作原理分析解答。

【详解】A、原电池放电时，VO2+离子中V的化合价降低，被还原，应是电源的正极反应，生成VO2+离子，反应的B 、放电时氧化剂为VO 2+离子，在正极上被还原后生成VO 2+离子，每转移2mol 电子时，消耗2mol 氧化剂，故B 错误；C 、内电路由溶液中离子的定向移动形成闭合回路，电子不经过溶液，故C 错误；D 、放电过程中，电解质溶液中阳离子向正极移动，阴离子向负极移动，故D 错误；答案选A 。

【点睛】本题的易错点为A ，要注意从化合价的变化进行判断反应的类型和电极方程式，同时把握原电池中电子及溶液中离子的定向移动问题。

3．下列属于氧化还原反应，且氧化剂和还原剂为同一种物质的是A ．MgO +2HCl=MgCl 2+H 2OB ．C +H 2O(g)CO +H 2 C ．8NH 3+6NO 27N 2+12H 2O D ．2Na 2O 2+2H 2O=4NaOH +O 2↑ 【答案】D【解析】【详解】A. MgO+2HCl=MgCl 2+H 2O 中元素化合价没有发生变化，反应不是氧化还原反应，A 不符合题意；B. C+H 2O(g)CO+H 2中C 、H 两种元素的化合价都发生了变化，反应属于氧化还原反应，其中C 是还原剂，H 2O 是氧化剂，氧化剂和还原剂不是同一种物质，B 不符合题意；C. 8NH 3+6NO 27N 2+12H 2O 中只有N 元素的化合价发生了变化，反应属于氧化还原反应，其中NH 3是还原剂，NO 2是氧化剂，氧化剂和还原剂不是同一种物质，C 不符合题意；D. 反应2Na 2O 2+2H 2O=4NaOH+O 2↑中有O 元素化合价的变化，反应属于氧化还原反应，其中Na 2O 2既是还原剂也是氧化剂，氧化剂和还原剂是同一种物质，D 符合题意；故合理选项是D 。

4．我国科学家发明了一种“可固氮”的锂－氮二次电池，用可传递 Li +的醚类物质作电解质，电池的总反应为6Li +N 2 固氮脱氧垐垎?噲垐? 2Li 3N ，下列说法正确的是A ．固氮时，电能转化为化学能B ．固氮时，电流由锂电极经用电器流向钌复合电极C ．脱氮时，钌复合电极的电极反应： 2Li 3N - 6e - =6 Li ++N 2↑+【详解】A.固氮时为原电池原理，化学能转化为电能，A错误；B.固氮时，Li电极为负极，钌复合电极为正极，电流由钌复合电极经用电器流向锂电极，B错误；C.脱氮时为电解原理，钌复合电极为阳极，阳极上发生失电子的氧化反应，钌复合电极的电极反应为2Li3N - 6e- =6 Li++N2↑，C正确；D.脱氮时，钌复合电极为阳极，锂电极为阴极，Li+（阳离子）向锂电极迁移，D错误；答案选C。

5．口服含13C 的尿素胶囊，若胃部存在幽门螺杆菌，尿素会被水解形成13CO2，医学上通过检测呼出气体是否含13CO2，间接判断是否感染幽门螺杆菌，下列有关说法正确的是（）A．13CO2和12CO2互称同位素B．13C 原子核外有 2 个未成对电子C．尿素属于铵态氮肥D．13C 的质量数为 7【答案】B【解析】【详解】A. 12CO2和13CO2具有相同元素的化合物，不属于同位素，故A错误；B. 根据13C电子排布式ls22s22p2可知，原子核外有2 个未成对电子，故B正确；C. 尿素属于有机物，不是铵盐；尿素属于有机氮肥，不属于铵态氮肥，故C错误；D. 13C 的质量数为13，故D错误；故选：B。

【点睛】注意尿素和铵态氮肥的区别，为易错点。

6．某有机物结构简式如图，下列对该物质的叙述中正确的是A．该有机物能发生取代反应、氧化反应和消去反应B．1mol该有机物最多可与2molNaOH发生反应C．该有机物可以与溴的四氯化碳溶液发生加成反应使之褪色D．该有机物有3个手性碳原子A．该有机物中与羟基相连的碳原子的邻位碳原子上没有氢原子，不能发生消去反应，故A错误；B．该分子含有酯基，1mol该有机物含有1mol酯基，酯基水解后生成羧基和醇羟基，只能和1molNaOH 发生反应，故B错误；C．该分子中不含碳碳双键或三键，不能与溴发生加成反应，故C错误；D．连接四个不同原子或原子团的饱和碳原子为手性碳原子，所以与苯环相连的碳原子、六元环上与O相连的碳原子、六元环上连接一个甲基的碳原子均为手性碳原子，故D正确；答案为D。

【点睛】与羟基相连的碳原子的邻位碳原子上有氢原子可发生消去反应；与羟基相连的碳原子上有氢原子可发生氧化反应；连接四个不同原子或原子团的饱和碳原子为手性碳原子。

7．图1为CO2与CH4转化为CH3COOH的反应历程(中间体的能量关系如虚框中曲线所示)，图2为室温下某溶液中CH3COOH和CH3COO－两种微粒浓度随pH变化的曲线。

下列结论错误的是A．CH4分子在催化剂表面会断开C—H键，断键会吸收能量B．中间体①的能量大于中间体②的能量C．室温下，CH3COOH的电离常数K a＝10－4.76D．升高温度，图2中两条曲线交点会向pH增大方向移动【答案】D【解析】【分析】【详解】A.虚框内中间体的能量关系图可知，CH4分子在催化剂表面断开C－H键，断裂化学键需要吸收能量，A项正确；B. 从虚框内中间体的能量关系图看，中间体①是断裂C—H键形成的，断裂化学键需要吸收能量，中间体②是形成C—C和O—H键形成的,形成化学键需要释放能量，所以中间体①的能量大于中间体②的能量，C.由图2可知，当溶液pH=4.76，c(CH3COOH)=c(CH3COO-)=0.05mol/L，CH3COOHƒCH3COO-+H+的电离常数K a=-+33c(CH COO)c(H)c(CH COOH)g=c(H+)=10-4.76。

C项正确；D.根据CH3COOHƒCH3COO-+H+的电离常数K a=-+33c(CH COO)c(H)c(CH COOH)g可知，图2两条曲线的交点的c(H+)值等于醋酸的电离常数K a的值，而升高温度电离常数增大，即交点的c(H+)增大，pH将减小，所以交点会向pH减小的方向移动。

D项错误；答案选D。

8．如图是研究铁被海水腐蚀的实验装置。

图2中M是某种与铁片紧贴的金属，下列说法正确的是A．图1铁片靠近烧杯底部的部分，腐蚀更严重B．若M 是锌片，可保护铁C．若M是铜片，可保护铁D．M是铜或是锌都不能保护铁，是因没有构成原电池【答案】B【解析】【分析】据钢铁的腐蚀条件、原电池原理分析判断。

【详解】A. 图1中铁片在海水中主要发生吸氧腐蚀，水面处铁片接触氧气和水，腐蚀更严重，A项错误；B. 图2中，若M是锌片，则锌、铁与海水构成原电池，电子从锌转移向铁，使铁得到保护，B项正确；C. 图2中，若M是铜片，则铜、铁与海水构成原电池，电子从铁转移向铜，铁更易被腐蚀，C项错误；D. M是铜或锌，它与铁、海水都构成原电池，只有当M为锌时铁被保护，D项错误。

本题选B。

9．下列有关化学用语表示正确的是（）A．对硝基甲苯的结构简式：B．CS2的比例模型：C．CH2F2的电子式：D．氯原子结构示意图：【解析】【详解】A. 对硝基甲苯的结构简式：，A错误；B. 半径：r(C) < r(S) ，CS2的的比例模型：，B正确；C. CH2F2的电子式：，C错误；D. 氯原子结构示意图：，D错误；故答案选B。

10．下列实验Ⅰ～Ⅳ中，正确的是（）A．实验Ⅰ：配制一定物质的量浓度的溶液B．实验Ⅱ：除去Cl2中的HClC．实验Ⅲ：用水吸收NH3D．实验Ⅳ：制备乙酸乙酯【答案】B【解析】【详解】A. 配制一定物质的量浓度的溶液，把溶液或蒸馏水加入容量瓶中需要用玻璃棒引流，故A错误；B. HCl极易溶于水，Cl2在饱和食盐水中溶解度很小，可用饱和食盐水除去Cl2中的HCl杂质，故B正确；C. NH3极易溶于水，把导管直接插入水中，会发生倒吸，故C错误；D. 制备乙酸乙酯时缺少浓硫酸，乙酸乙酯在氢氧化钠溶液中会发生水解，并且导管直接插入液面以下，会发生倒吸，故D错误；11．下列有关钢铁腐蚀与防护的说法不正确的是A．生铁比纯铁容易生锈B．钢铁的腐蚀生成疏松氧化膜，不能保护内层金属C．钢铁发生吸氧腐蚀时，正极反应式为：O2＋2H2O＋4e－== 4OH－D．为保护地下钢管不受腐蚀，可使其与直流电源正极相连【答案】D【解析】【分析】【详解】A. 生铁中含有C、Fe，生铁和电解质溶液构成原电池，Fe作负极而加速被腐蚀，纯铁不易构成原电池，所以生铁比纯铁易生锈，故A正确；B．钢铁和空气、水能构成原电池导致钢铁被腐蚀，钢铁的腐蚀生成疏松氧化膜不能隔绝空气，所以不能保护内层金属，故B正确；C．钢铁发生吸氧腐蚀时，正极上氧气得电子发生还原反应，电极反应式为O2+2H2O+4e-═4OH-，故C正确；D．作电解池阳极的金属加速被腐蚀，作阴极的金属被保护，为保护地下钢管不受腐蚀，可使其与直流电源负极相连，故D错误；故选D。